Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da shvatimo množenje i dijeljenje. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše izvesti od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj kada postoje dva pozitivna razlomka bez namjenskog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate posebno pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, dovoljno je zamijeniti pozicije brojnika i nazivnika. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, može nastati razlomak koji se može opozvati (i često se javlja) - on se, naravno, mora poništiti. Ako se nakon svih kontrakcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba odabrati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: bez unakrsnih metoda, najvećih faktora i najmanje zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje cijelih i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u netačne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako postoji minus u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega, on se može izvaditi iz opsega množenja ili čak ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus i minus daje minus;
2. Dva negativa čine afirmativnu.

Do sada su se ova pravila susrela samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvodnju, oni se mogu generalizirati da "spale" nekoliko nedostataka odjednom:

1. Precrtajte minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju može preživjeti jedan minus - onaj za koji nije bilo para;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, pomjeramo ga izvan granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prevodimo sve razlomke u netačne, a zatim pomičemo minuse iz raspona množenja. Ono što ostane, množimo po uobičajenim pravilima. Dobijamo:

Još jednom da vas podsjetim da se minus koji stoji ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također, obratite pažnju na negativne brojeve: kada se množe, oni su zatvoreni u zagradama. Ovo je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je operacija koja oduzima mnogo vremena. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja... Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu poništiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Napomena: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu postoji samo nekoliko koji se, općenito govoreći, mogu izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali je ukupna količina proračuna ipak smanjena.

Međutim, ni u kom slučaju ne koristite ovu tehniku ​​prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledajte:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti osnovno svojstvo razlomka, jer se ovo svojstvo bavi upravo množenjem brojeva.

Jednostavno ne postoji drugi razlog za smanjenje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije baš lijep. Općenito, budite oprezni.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Ovako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je bilo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje za ovo pitanje..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz od veličine do. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korišćenje promenljivih mernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji razmišljanja, primjenjujemo stalne mjerne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao dilatacija vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada je Ahilej u ravni sa kornjačom. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo sustići kornjaču“.

Kako možete izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim vremenskim jedinicama i ne vraćajte se unazad. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme u kojem će Ahilej pretrčati hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. U sljedećem vremenskom intervalu, jednakom prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neprevaziđenosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva aporija Zeno govori o letećoj streli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela stoji na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije, snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali je nemoguće odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali one ne mogu utvrditi činjenicu kretanja (naravno, dodatni podaci su još potrebni za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. jula 2018

Razlika između skupa i višeskupa je veoma dobro dokumentovana na Wikipediji. Gledamo.

Kao što vidite, "ne mogu biti dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Takvu logiku apsurda razumna bića nikada neće razumjeti. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, kojima nedostaje inteligencija od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most srušio, nesposobni inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Kada bi most mogao da izdrži opterećenje, talentovani inženjer bi izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze "čur, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i dijelimo plate. Dolazi nam matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo na našem stolu na različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake gomile uzimamo po jednu novčanicu i predajemo matematičaru njegov „matematički set plate“. Objasnimo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: "Vi to možete primijeniti na druge, ne možete primijeniti na mene!" Nadalje, počećemo da nas uvjeravamo da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma u svakom novčiću je jedinstven...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka nije ležala nigdje u blizini.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istim terenom. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Kako je to tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog keca iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao ni jedne celine" ili "nezamislivog kao celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali zato su oni šamani da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu Suma cifara broja. Ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani - to je elementarno.

Hajde da vidimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba učiniti da se nađe zbir cifara ovog broja? Prođimo kroz sve korake redom.

1. Zapisujemo broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

Zbir cifara 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivenja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak gledati pod mikroskopom, to smo već uradili. Da vidimo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da biste dobili potpuno drugačije rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.

Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument za činjenicu da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike - ne. Realnost nije sve u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Na kraju krajeva, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? Ovo je kada rezultat matematičke radnje ne zavisi od veličine broja, korišćene jedinice mere i od toga ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Jao! Zar ovo nije ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neselektivne svetosti duša tokom uzašašća na nebo! Halo na vrhu i strelica usmjerena prema gore. Koji drugi toalet?

Ženka ... Nimb iznad i strelica dolje je muški.

Ako vam ovakva dizajnerska umjetnost bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Ja se lično trudim da kod osobe koja kaki (jedna slika) vidim minus četiri stepena (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima stereotip percepcije grafičkih slika. I matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

U srednjoj i srednjoj školi učenici su izučavali temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izvršiti proračune bilo kojeg izraza, na primjer, množenje razlomaka.

Šta je razlomak?

Istorijski se dogodilo da su se razlomci pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri određivanja dužine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju sa konceptom udjela. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, onda će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se razlomak.

Razlomak jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovina; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Običan razlomak je podijeljen na brojnik i imenilac. Između njih je razlomka, ili frakciona linija. Kosa crta se može nacrtati kao horizontalna ili kosa linija. U ovom slučaju, označava znak podjele.

Imenilac predstavlja koliko je jednakih udjela vrijednost, predmet je podijeljen; a brojnik je koliko je jednakih udjela uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako segment jedinice podijelite na 4 jednaka dijela, označite svaku dionicu latiničnim slovom, onda kao rezultat možete dobiti odličnu vizualnu pomoć. Dakle, tačka A prikazuje razlomak jednak 1/4 cijelog jediničnog segmenta, a tačka B označava 2/8 ovog segmenta.

Sorte frakcija

Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na tačne i netačne. Ova klasifikacija je prikladnija za obične frakcije.

Ispravan razlomak se podrazumijeva kao broj čiji je brojilac manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojilac veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli dio, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (podjela ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili transformacija), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Tačan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netačan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se toga tiče, ovaj izraz označava zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan sa nekoliko nula. Ako je razlomak tačan, tada će cijeli dio u decimalnom zapisu biti nula.

Da biste zapisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga zarezom od razlomka, a zatim zapisati frakcijski izraz. Mora se imati na umu da nakon zareza brojnik mora sadržavati isti broj digitalnih znakova kao što su nule u nazivniku.

Primjer... Predstavite razlomak 7 21/1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Pogrešno je zapisati pogrešan razlomak u odgovoru na zadatak, pa se mora pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojilac sa postojećim nazivnikom;
• u konkretnom primjeru, nepotpuni količnik je cjelina;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer... Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47/5.

Rješenje... 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad želite da mešoviti broj predstavite kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli broj se množi sa nazivnikom razlomka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojiocu;
• rezultat je upisan u brojiocu, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer... Navedite mješoviti broj kao nepravilan razlomak: 9 8/10.

Rješenje... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - brojilac.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da pomnožite dva broja, pomnožite brojilac sa brojicom, a imenilac sa imeniocem. Štaviše, množenje razlomaka sa različitim nazivnicima ne razlikuje se od proizvoda razlomaka sa istim nazivnicima.

Dešava se da nakon pronalaženja rezultata morate poništiti razlomak. Imperativ je pojednostaviti rezultirajući izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je netačan razlomak u odgovoru greška, ali ga je teško nazvati i tačnim odgovorom.

Primjer... Pronađite proizvod dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što možete vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja rada, dobijate skraćeni razlomak. I brojnik i imenilac u ovom slučaju su podijeljeni sa 4, a odgovor je 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po principu se prilično razlikuje od proizvoda običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da su krajnje desne cifre jedna ispod druge;
• potrebno je pomnožiti napisane brojeve, uprkos zarezima, odnosno prirodno;
• izbrojati broj cifara iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu koji se dobije nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih simbola s desne strane koliko je sadržano u zbroju u oba faktora nakon decimalnog zareza i staviti znak za razdvajanje;
• ako je u proizvodu manje brojeva, onda ispred njih trebate napisati što više nula da pokrijete ovaj iznos, stavite zarez i dodijelite cijeli dio jednak nuli.

Primjer... Izračunajte proizvod dva decimalna razlomka, 2,25 i 3,6.

Rješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• pronaći umnožak brojilaca;
• pronaći proizvod nazivnika;
• zapišite rezultirajući rezultat;
• Pojednostavite izraz što je više moguće.

Primjer... Pronađite proizvod 4½ i 6 2/5.

Množenje broja sa razlomkom (razlomci brojem)

Pored pronalaženja umnožaka dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci gdje je potrebno množiti razlomkom.

Dakle, da biste pronašli proizvod decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upišite broj ispod razlomka tako da su krajnje desne cifre jedna iznad druge;
• pronaći posao uprkos zarezu;
• u rezultirajućem rezultatu, odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući broj znamenki s desne strane koji je iza decimalne točke u razlomku.

Da biste običan razlomak pomnožili brojem, morate pronaći proizvod brojnika i prirodnog faktora. Ako odgovor sadrži razlomak poništavanja, treba ga pretvoriti.

Primjer... Izračunaj proizvod 5/8 i 12.

Rješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno skratiti rezultirajući rezultat i konvertovati netačan razlomak u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje proizvoda broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti brojem, pomnožiti brojnik istom vrijednošću, a imenilac ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer... Pronađite proizvod 9 5/6 i 9.

Rješenje... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo slijedi iz prethodnog stava. Da pomnožite decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, 10000, itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju nakon jedan.

Primjer 1... Pronađite proizvod 0,065 i 1000.

Rješenje... 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primjer 2... Pronađite proizvod 3,9 i 1000.

Rješenje... 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem proizvodu za onoliko cifara koliko ima nula do jedan. Ako je potrebno, dovoljno nula se upisuje ispred prirodnog broja.

Primjer 1... Pronađite proizvod 56 i 0,01.

Rješenje... 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primjer 2... Pronađite proizvod 4 i 0,001.

Rješenje... 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka u nekoliko mogućih verzija.

Množenje običnog razlomka razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:

• pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka i upiše njihov proizvod u brojnik novog razlomka;
• nazivnik prvog razlomka se množi sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod se upisuje u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojilaca i nazivnika, provjerite mogu li se razlomci poništiti. Smanjenje razlomaka u vašim proračunima učinit će vaše proračune mnogo lakšim.



Množenje razlomka prirodnim brojem

Do razlomka pomnožiti prirodnim brojem potrebno je pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

Ako se kao rezultat množenja dobije netočan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.



Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja običnih razlomaka.



Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem

Ponekad je pri izračunavanju prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.



Kao što možete vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je pogodnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka.

Radnje sa razlomcima

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

• Sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom
• Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, proučimo sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromijenjen. Na primjer, dodajte razlomke i. Dodajte brojioce i ostavite imenilac nepromijenjen:



Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pice, dobijate pizze:

Primjer 2. Dodajte razlomke i.

Opet, zbrojite brojioce, a nazivnik ostavite nepromijenjen:



Odgovor je netačan razlomak. Ako dođe kraj problema, uobičajeno je da se riješite netočnih razlomaka. Da biste se riješili pogrešnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli dio se lako razlikuje - dva podijeljena sa dva jednako je jednom:



Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu:

Primjer 3... Dodajte razlomke i.



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju zbrojiti, a nazivnik mora ostati nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze, a pizzi dodate pizze, dobijate 1 celu i više pizze.

Kao što vidite, nema ništa teško u sabiranju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, dodajte njihove brojioce i ostavite imenilac istim;
2. Ako se ispostavi da je odgovor netačan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Kada se zbrajaju razlomci, nazivnici tih razlomaka trebaju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, možete sabirati i razlomke jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci dovedu u isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode mogu činiti teškim za početnika.

Suština ove metode je da se prvo traži najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Uradite isto sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako sabirati takve razlomke.

Primjer 1... Dodajte razlomke i

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je 3, a imenilac drugog razlomka je 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vraćamo na razlomke i. Prvo, LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju iznad razlomka i napišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga na drugi razlomak. Opet, nacrtamo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje da pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima:



Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim imeniocima. I već znamo kako sabirati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:



Tako se primjer završava. Ispada da dodam.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu i drugu šestu picu:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Svodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pice. Jedina razlika je što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).



Prva slika prikazuje razlomak (četiri od šest komada), a druga slika prikazuje razlomak (tri od šest komada). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu odabrali cijeli dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i drugu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detalja. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožite pronađene dodatne faktore sa vašim brojiocima i nazivnicima. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:



Ali postoji i loša strana novčića. Ako u prvim fazama studiranja matematike ne pravite detaljne bilješke, tada se počinju pojavljivati ​​takva pitanja „Odakle dolazi ta brojka?“ „Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

3. Naći LCM nazivnika razlomaka;
4. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
5. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima;
6. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima;
7. Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo shemu koju smo predstavili gore.

Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

Naći LCM za nazivnike oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve morate pronaći LCM:

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

LCM dijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnikom

Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim (zajedničkim) imeniocima. Ostaje dodati ove razlomke. dodajemo:



Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red i uvijek morate staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu ukazuje da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, odaberite cijeli njegov dio

Dobili smo pogrešan razlomak u našem odgovoru. Iz toga moramo odabrati cijeli dio. Istaknite:



Dobio odgovor

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

8. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom
9. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, proučimo oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti. Pa uradimo to:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako sečete pizze od pizze, dobijate pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Ponovo oduzmite brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostavite isti:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako sečete pizze od pizze, dobijate pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Odgovor je netačan razlomak. Ako je primjer potpun, uobičajeno je da se riješite netočnog razlomka. Hajde da se riješimo pogrešnog razlomka u odgovoru. Da biste to učinili, odaberite cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa teško u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti;

Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, tada morate odabrati cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju isti nazivnik. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza:

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je 3, a imenilac drugog razlomka je 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Napiši četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši tri preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim imeniocima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Dobio odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako sečete pizze od pice, dobijate pizzu

Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo ovaj primjer morali riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i. Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam od dvanaest komada), a drugi crtež prikazuje razlomak (tri od dvanaest komada). Odsijecajući tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak i opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sve je sada spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da se razlomci sa različitim nazivnicima pretvaraju u razlomke sa istim (zajedničkim) imeniocima. Već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prenosimo u sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

U odgovoru smo dobili tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Treba ga učiniti jednostavnijim i estetski ugodnijim. Šta se može učiniti? Možete skratiti ovaj razlomak. Podsjetimo da je ukidanje razlomka dijeljenje brojila i nazivnika najvećim zajedničkim faktorom brojnika i nazivnika.

Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.

GCD ne treba brkati sa NOC. Najčešća greška koju prave mnogi novajlije. GCD je najveći zajednički imenilac. Nalazimo da smanjujemo razlomak.

A LCM je najmanji umnožak. Nalazimo ga da bismo razlomke doveli do istog (zajedničkog) nazivnika.

Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (GCD) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

GCD (20 i 30) = 10

Sada se vratite na naš primjer i podijelite brojilac i nazivnik razlomka sa 10:

Dobili smo lep odgovor

Množenje razlomka brojem

Da pomnožite razlomak brojem, potrebno je da pomnožite brojilac ovog razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostane isti.

Primjer 1... Pomnožite razlomak sa 1.

Pomnožite brojilac razlomka sa 1

Snimanje se može shvatiti kao uzimanje pola puta. Na primjer, ako uzmete pizze 1 put, dobićete pizze

Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i faktor obrnu, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao, onda će proizvod i dalje biti jednak. Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj zapis se može shvatiti kao da uzima polovinu jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac vašeg razlomka sa 4

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako se pokaže da je odgovor netačan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Poželjno je skratiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačna odluka imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od polovine pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako dobiti dvije trećine ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Zapamtite kako izgleda pica kada se podijeli na tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pice. Dakle, vrijednost izraza je

Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojilac prvog razlomka sa brojiteljem drugog razlomka, a imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Odgovor je tačan razlomak, ali će biti dobro ako ga smanjite. Da biste smanjili ovaj razlomak, on se mora podijeliti s GCD brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

GCD za (105 i 150) je 15

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD:

Reprezentacija razlomaka cijelog broja

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 se može predstaviti kao. Iz ovoga, pet neće promijeniti svoju vrijednost, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. Zove se "povratni brojevi".

Definicija. Inverzno od broja a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Inverzno od broja 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Možete li pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa, dobija se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

• recipročna vrijednost 3 je razlomak
• inverz od 4 je razlomak

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Množenje običnih razlomaka

Pogledajmo primjer.

Neka je $ \ frac (1) (3) $ dio jabuke na tanjiru. Morate pronaći dio $ \ frac (1) (2) $. Traženi dio je rezultat množenja razlomaka $ \ frac (1) (3) $ i $ \ frac (1) (2) $. Rezultat množenja dva razlomka je običan razlomak.

Množenje dva razlomka

Pravilo za množenje običnih razlomaka:

Rezultat množenja razlomka razlomkom je razlomak čiji je brojilac jednak umnošku brojnika pomnoženih razlomaka, a nazivnik je jednak proizvodu nazivnika:

Primjer 1

Izvršiti množenje običnih razlomaka $ \ frac (3) (7) $ i $ \ frac (5) (11) $.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]

odgovor:$ \ frac (15) (77) $

Ako se kao rezultat množenja razlomaka dobije poništivi ili nepravilni razlomak, onda ga morate pojednostaviti.

Primjer 2

Pomnožite razlomke $ \ frac (3) (8) $ i $ \ frac (1) (9) $.

Rješenje.

Koristimo pravilo za množenje običnih razlomaka:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]

Kao rezultat, dobili smo razlomak koji se može opozvati (dijeljenjem sa 3 $. Brojilac i imenilac razlomka podijeljeni su sa 3 $, dobijamo:

\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]

Kratko rješenje:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]

odgovor:$ \ frac (1) (24).

Prilikom množenja razlomaka možete smanjivati ​​brojioce i nazivnike dok ne pronađete njihov proizvod. U ovom slučaju, brojnik i imenilac razlomka se razlažu na proste faktore, nakon čega se ponavljajući faktori poništavaju i rezultat se nalazi.

Primjer 3

Izračunajte proizvod razlomaka $ \ frac (6) (75) $ i $ \ frac (15) (24) $.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje običnih razlomaka:

\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]

Očigledno, brojilac i imenilac sadrže brojeve koji se mogu poništiti u parovima brojevima $2$, $3$ i $5$. Proširimo brojilac i imenilac u proste faktore i izvršimo poništavanje:

\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]

odgovor:$ \ frac (1) (20).

Prilikom množenja razlomaka možete primijeniti zakon pomaka:

Množenje običnog razlomka prirodnim brojem

Pravilo za množenje običnog razlomka prirodnim brojem:

Rezultat množenja razlomka prirodnim brojem je razlomak u kojem je brojilac jednak umnošku brojnika razlomka koji se množi prirodnim brojem, a nazivnik jednak nazivniku pomnoženog razlomka:

gdje je $ \ frac (a) (b) $ običan razlomak, $ n $ je prirodan broj.

Primjer 4

Pomnožite $ \ frac (3) (17) $ sa $ 4 $.

Rješenje.

Koristimo pravilo množenja običnog razlomka prirodnim brojem:

\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]

odgovor:$ \ frac (12) (17).

Ne zaboravite provjeriti rezultat množenja poništavanjem razlomka ili nepravilnim razlomkom.

Primjer 5

Pomnožite razlomak $ \ frac (7) (15) $ sa $ 3 $.

Rješenje.

Koristimo formulu za množenje razlomka prirodnim brojem:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]

Dijeljenjem sa brojem $ 3 $), možete odrediti da se rezultujući razlomak može smanjiti:

\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]

Kao rezultat, dobili smo netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio:

\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

Kratko rješenje:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5)\]

Također je bilo moguće reducirati razlomke zamjenom brojeva u brojiocu i nazivniku njihovom faktorizacijom u proste faktore. U ovom slučaju rješenje bi se moglo napisati ovako:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

odgovor:$ 1 \ frac (2) (5).

Kada množite razlomak prirodnim brojem, možete koristiti zakon pomaka:

Podjela običnih razlomaka

Operacija dijeljenja je inverzna od množenja i njen rezultat je razlomak kojim trebate pomnožiti poznati razlomak da biste dobili poznati proizvod dva razlomka.

Podjela dva razlomka

Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka: Očigledno, brojnik i imenilac rezultujućeg razlomka mogu se proširiti na proste faktore i smanjiti:

\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]

Kao rezultat, dobili smo netačan razlomak, iz kojeg biramo cijeli dio:

\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]

odgovor:$ 1 \ frac (5) (9).