Značajka težišta je da ta sila ne djeluje na tijelo ni u jednoj tački, već je raspoređena po cijelom volumenu tijela. Sile gravitacije koje djeluju na pojedine elemente tijela (koje se mogu smatrati materijalnim točkama) usmjerene su prema središtu Zemlje i nisu strogo paralelne. No, budući da su dimenzije većine tijela na Zemlji mnogo manje od radijusa, te se sile smatraju paralelnima.

Određivanje težišta

Definicija

Točka kroz koju prolazi rezultanta svih paralelnih gravitacijskih sila koje utječu na elemente tijela za bilo koji položaj tijela u svemiru naziva se centar gravitacije.

Drugim riječima: težište je točka na koju se sila gravitacije primjenjuje na bilo koji položaj tijela u prostoru. Ako je poznat položaj težišta, tada možemo pretpostaviti da je sila gravitacije jedna sila i da se primjenjuje u težištu.

Zadatak pronalaženja težišta značajan je zadatak u tehnologiji, jer stabilnost svih struktura ovisi o položaju težišta.

Metoda pronalaženja težišta tijela

Određujući položaj težišta tijela složenog oblika, prvo možete mentalno razbiti tijelo na dijelove jednostavnog oblika i pronaći za njih težišta. Za tijela jednostavnog oblika, možete odmah odrediti težište iz simetričnih razloga. Sila gravitacije homogenog diska i kugle nalazi se u njihovom središtu, homogeni cilindar u tački u sredini svoje osi; homogeni paralelepiped na sjecištu njegovih dijagonala itd. Za sva homogena tijela, težište se poklapa sa centrom simetrije. Težište može biti izvan tijela, poput prstena.

Otkrijmo lokaciju težišta dijelova tijela, pronađemo lokaciju težišta tijela u cjelini. Zbog toga je tijelo predstavljeno kao zbirka materijalnih tačaka. Svaka takva točka nalazi se u težištu svog dijela tijela i ima masu ovog dijela.

Koordinate težišta

U trodimenzionalnom prostoru, koordinate točke primjene rezultante svih paralelnih gravitacijskih sila (koordinate težišta) za kruto tijelo izračunavaju se kao:

\ [\ lijevo \ (\ početak (niz) (c) x_c = \ frac (\ sum \ limits_i (\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\ y_c = \ frac (\ sum \ limits_i (\ Delta m_iy_i) ) (m) ;; \\ z_c = \ frac (\ sum \ limits_i (\ Delta m_iz_i)) (m) \ end (array) \ right. \ left (1 \ right), \]

gdje je $ m $ masa tijela. $ ;; x_i $ je koordinata na osi X elementarne mase $ \ Delta m_i $; $ y_i $ - koordinata na osi Y elementarne mase $ \ Delta m_i $; ; $ z_i $ - koordinata na osi Z elementarne mase $ \ Delta m_i $.

U vektorskom zapisu sistem tri jednadžbe (1) zapisan je kao:

\ [(\ overline (r)) _ c = \ frac (1) (m) \ sum \ limits_i (m_i (\ overline (r)) _ i \ lijevo (2 \ desno),) \]

$ (\ overline (r)) _ c $ - poluprečnik - vektor koji definiše položaj težišta; $ (\ overline (r)) _ i $ - radijusni vektori koji definiraju položaje elementarnih masa.

Težište, centar mase i centar inercije tijela

Formula (2) se podudara s izrazima koji određuju središte mase tijela. U slučaju da su dimenzije tijela male u usporedbi s udaljenošću do središta Zemlje, smatra se da se težište podudara s centrom mase tijela. U većini zadataka težište se poklapa s centrom mase tijela.

Sila inercije u ne-inercijalnim referentnim okvirima, koja se kreće translatorno, primjenjuje se na težište tijela.

No, treba imati na umu da se centrifugalna sila inercije (u općem slučaju) ne primjenjuje na težište, jer u ne-inercijalnom referentnom okviru različite centrifugalne sile inercije djeluju na elemente tijela ( čak i ako su mase elemenata jednake), budući da su udaljenosti do osi rotacije različite.

Primjeri zadataka s rješenjem

Primjer 1

Zadatak. Sistem se sastoji od četiri male kugle (slika 1). Koje su koordinate njegovog težišta?

Rešenje. Uzmite u obzir sliku 1. U ovom slučaju, težište će imati jednu koordinatu $ x_c $, koju definiramo kao:

Tjelesna težina u našem slučaju jednaka je:

Brojnik razlomka na desnoj strani izraza (1.1) u slučaju (1 (a)) poprima oblik:

\ [\ zbir \ ograničenja_ (i = 4) (\ Delta m_ix_i = m \ cdot 0 + 2m \ cdot a + 3m \ cdot 2a + 4m \ cdot 3a = 20m \ cdot a). \]

Dobijamo:

Odgovor.$ x_c = 2a; $

Primjer 2

Zadatak. Sistem se sastoji od četiri male loptice (slika 2). Koje su koordinate njegovog težišta?

Rešenje. Razmotrimo sliku 2. Težište sistema nalazi se u ravnini, stoga ima dvije koordinate ($ x_c, y_c $). Pronađimo ih po formulama:

\ [\ left \ (\ begin (array) (c) x_c = \ frac (\ sum \ limits_i (\ Delta m_ix_i)) (m) ;; \\ y_s = \ frac (\ sum \ limits_i (\ Delta m_iy_i) ) (m). \ end (niz) \ desno. \]

Težina sistema:

Pronađi koordinatu $ x_c $:

$ Y_s $ koordinata:

Odgovor.$ x_c = 0,5 \ a $; $ y_s = 0,3 \ a $

Savijanje armirano-betonskih konstrukcija pravokutnog presjeka nije efikasno sa stanovišta ekonomičnosti. To je zbog činjenice da su normalna naprezanja duž visine presjeka tijekom savijanja elemenata neravnomjerno raspoređena. U usporedbi s pravokutnim presjecima, T-presjeci su mnogo isplativiji, jer pri istoj nosivosti manja je potrošnja betona u elementima T-profila.

T -profil u pravilu ima jedno armaturu.

U proračunima čvrstoće normalnih presjeka elemenata savijanja T-profila postoje dva projektantska slučaja.

Algoritam za prvi projektni slučaj temelji se na pretpostavci da se neutralna os savijenog člana nalazi unutar komprimirane prirubnice.

Algoritam za drugi projektni slučaj temelji se na pretpostavci da se neutralna os savijenog elementa nalazi izvan komprimirane prirubnice (prolazi uz rub T-presjeka elementa).

Proračun čvrstoće normalnog presjeka savijenog armirano -betonskog elementa s jednom armaturom u slučaju da se neutralna os nalazi unutar komprimirane prirubnice identičan je algoritmu za proračun pravokutnog presjeka s jednom armaturom širine presjeka jednaka širini T-prirubnice.

Shema projektiranja za ovaj slučaj prikazana je na slici 3.3.

Pirinač. 3.3. Do proračuna čvrstoće normalnog presjeka savijenog armirano -betonskog elementa u slučaju kada se neutralna os nalazi unutar sabijene prirubnice.

Geometrijski, slučaj kada se neutralna os nalazi unutar komprimirane prirubnice znači da visina komprimirane zone dijela presjeka () nije veća od visine komprimirane prirubnice i izražena je uvjetom: .

Sa stajališta djelovanja sila od vanjskog opterećenja i unutrašnjih sila, ovaj uvjet znači da je čvrstoća presjeka osigurana ako je izračunata vrijednost momenta savijanja od vanjskog opterećenja (M ) neće premašiti izračunatu vrijednost momenta unutrašnjih sila u odnosu na težište presjeka vlačne armature pri vrijednostima .

M (3.25)

Ako je uvjet (3.25) zadovoljen, tada se neutralna os zaista nalazi unutar komprimirane prirubnice. U ovom slučaju potrebno je razjasniti koju veličinu širine komprimirane prirubnice treba uzeti u obzir pri proračunu. Norme uspostavljaju sljedeća pravila:

Značenje b " f uneo u obračun; uzeto iz uvjeta da širina prevjesa police sa svake strane rebra ne smije biti veća od 1 / 6 raspon elementa i ne više:

a) u prisustvu poprečnih rebara ili h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 jasna udaljenost između uzdužnih rebara;

b) u nedostatku poprečnih rebara (ili ako su udaljenosti između njih veće od udaljenosti između uzdužnih rebara) i h " f < 0,1 h - 6 h " f

c) sa konzolnim prevjesima police:

at h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

at 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

at h " f < 0,05 h - prevjesi se ne uzimaju u obzir.

Zapišimo stanje čvrstoće u odnosu na težište rastegnute uzdužne armature

M (3.26)

Jednačinu (3.26) pretvaramo slično transformacijama izraza (3.3). (3.4) dobivamo izraz

M (3.27)

Odavde definiramo vrijednost

= (3.28)

Prema vrijednosti iz tabele definirati vrijednosti i.

Uporedimo vrijednost . presjek elementa. Ako je uvjet 𝛏 zadovoljen, tada on predstavlja uvjet čvrstoće u odnosu na težište komprimirane T-zone.

M (3.29)

Izvođenjem transformacije izraza (3.29) slično transformaciji izraza (3.12) dobivamo:

= (3.30)

potrebno je odabrati vrijednosti površine rastegnute uzdužne radne armature.

Proračun čvrstoće normalnog presjeka savijenog armirano -betonskog elementa s jednom armaturom u slučaju da se neutralna osovina nalazi izvan stisnute prirubnice (prolazi duž ruba t -profila) nešto se razlikuje od gore opisanog.

Shema projektiranja za ovaj slučaj prikazana je na slici 3.4.

Pirinač. 3.4. Do proračuna čvrstoće normalnog presjeka savijenog armirano -betonskog elementa u slučaju kada se neutralna os nalazi izvan sabijene prirubnice.

Razmotrimo presjek komprimirane Tavr zone kao zbir koji se sastoji od dva pravokutnika (prevjesa police) i pravokutnika koji pripada komprimiranom dijelu rebra.

Stanje čvrstoće u odnosu na težište vlačne armature.

M + (3.31)

gdje – napor pri stisnutim prevjesima polica;

Ramen od težišta rastegnute armature do težišta prevjesa police;

- sila u stisnutom dijelu rebra marke;

- ramena od težišta rastegnute armature do težišta komprimiranog dijela rebra.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Zamijenite izraze (3.32 - 3.35) u formulu (3.31).

M + b (3.36)

Pretvaramo u izrazu (3.36) drugi član na desnoj strani jednadžbe, slično transformacijama izvedenim gore (formule 3.3; 3.4; 3.5)

Dobijamo sledeći izraz:

M + (3.37)

Odavde određujemo numeričku vrijednost .

= (3.38)

Prema vrijednosti iz tabele definirati vrijednosti i.

Usporedimo vrijednost s graničnom vrijednošću relativne visine komprimirane zone . presjek elementa. Ako je uvjet 𝛏 zadovoljen, tada se stvara uvjet ravnoteže projekcija sila na uzdužnoj osi elementa. Σ N=0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

Odavde određujemo potrebnu površinu poprečnog presjeka rastegnute uzdužne radne armature.

= (3.41)

Asortiman armature šipki potrebno je odabrati vrijednosti površine rastegnute uzdužne radne armature.

Izračuni su isti kao i za pravokutnu gredu. Oni pokrivaju definiciju sile u gredi i na uglovima ploče. Sile tada dovode težište novog T-presjeka.

Osa prolazi kroz težište ploče.

Pojednostavljeni pristup uzimanju u obzir sila iz ploče sastoji se u množenju sila na čvorove ploče (zajednički čvorovi ploče i grede) s izračunatom širinom ploče. Prilikom postavljanja grede u odnosu na ploču uzimaju se u obzir pomaci (također relativni pomaci). Dobiveni skraćeni rezultati isti su kao da je T-presjek izdignut iz ravnine ploče za pomak jednak udaljenosti od težišta ploče do težišta T-presjeka (vidi sliku ispod).

Dovođenje sila u težište T-presjeka je kako slijedi:

M = Mb + Mp * B + Np * B * e1 + Nb * e2

B = beff1 + b + beff2

Određivanje težišta T-presjeka

Statički moment izračunat u težištu ploče

S = b * h * (pomak)

A = (beff1 + b + beff2) * hpl + b * h

Težište, podignuto u odnosu na težište ploče:

b - širina grede;

h je visina grede;

beff1, beff2 - proračunate širine ploče;

hpl - visina ploče (debljina ploče);

offset je pomak grede u odnosu na ploču.

BILJEŠKA.

1. Treba uzeti u obzir da mogu postojati zajedničke površine ploče i grede, koje će se nažalost dvaput izračunati, što će dovesti do povećanja krutosti T-grede. Kao rezultat toga, sile i otkloni su manji.
2. Rezultati ploča se čitaju iz čvorova konačnih elemenata; zgušnjavanje mreže utječe na rezultate.
3. U modelu, osovina t -profila prolazi kroz težište ploče.
4. Množenje odgovarajućih sila pretpostavljenom projektovanom širinom ploče previše je pojednostavljenje koje dovodi do približnih rezultata.