MOSKVA ODELJENJE ZA OBRAZOVANJE

DRŽAVNI BUDŽET STRUČNA

OBRAZOVNA USTANOVA u Moskvi

"Politehnički koledž br. 47 po imenu V.G. Fedorov"

Lekcija

u disciplini Matematika

"Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne"

Učitelju

Protasevich Olga Nikolaevna

PROFESIJA: Hardverski i softverski inženjer

DISCIPLINA: Matematika

Pa : 1

SEMESTAR : 2

GRUPA :

Tema lekcije:

"Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne jednadžbe."

Vrsta lekcije: kombinovana lekcija

Format lekcije: kolektivna obuka po metodologiji V.K. Dyachenko

(obrazovanje u sistemima malih grupa)

Ciljevi lekcije:

Obrazovni – razmotriti opšte pristupe, sumirati informacije o vrstama i metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina koje se mogu svesti na kvadratne; razvijati vještine i sposobnosti primjene znanja prilikom rješavanja osnovnih jednačina i primjene stečenih znanja u stručnim aktivnostima.

Razvojni – promovišu razvojlogičko razmišljanje kod učenika, razvijati vještine analiziranja, zaključivanja, upoređivanja, zaključivanja, razumijevanja gradiva;

Obrazovni – negovanje kognitivnog interesovanja, elementi kulture komunikacije, podsticanje učenika na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, razvijanje veština za rad u radnom i vaspitnom timu.

Cilj lekcije:

Upoznati studente sa glavnim vrstama i metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina koje se mogu svesti na kvadratne.

Podrška (resursi):

Hardver: kompjuter, multimedijalni projektor.

softver:MicrosoftExcel.

Osnovni koncepti:

Kvadratna jednadžba; jednostavne trigonometrijske jednadžbe; inverzne trigonometrijske funkcije; trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne.

književnost:

Bašmakov M.I. Matematika: udžbenik za osnovno i srednje stručno obrazovanje – M.; "Akademija", 2010. - 256 str.

Dyachenko V.K. - M.; "Narodno obrazovanje", 2001. - 496 s.

Metodološka literatura:

Bašmakov M.I. Matematika: knjiga za nastavnike. Metodički priručnik - M.; « Akademija", 2013. - 224 str.

Elektronski izvori:

Materijali sajtadruštveni i pedagoški pokret za stvaranje kolektivnog načina podučavanja:www.kco-kras.ru.

Koraci lekcije

Organiziranje vremena.

Provjera domaćeg.

Ažuriranje osnovnih znanja.

Učenje novog gradiva.

Učvršćivanje i sistematizacija stečenog znanja.

Refleksija. Rezimirajući. Zadaća.

Tokom nastave

Organiziranje vremena.

Nastavnik postavlja ciljeve časa za učenike:

1) Uvesti glavne tipove trigonometrijskih jednačina koje se mogu svesti na kvadratne;

2) Uvesti standardne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina koje se mogu svesti na kvadratne.

3) Naučiti kako stečena znanja i vještine primijeniti za rješavanje standardnih jednačina;

4) Naučiti kako raditi sa informacijama predstavljenim u različitim oblicima, ostvarivati ​​međusobnu kontrolu i samokontrolu i primjenjivati ​​stečena znanja u profesionalnim aktivnostima.

II . Provjera domaćeg.

Nastavnik uključuje prezentaciju „Domaća zadaća“, prema kojoj učenici samostalno provjeravaju domaće zadatke i po potrebi unose dopune i ispravke u rad.

Na zahtjev učenika, nastavnik komentariše rješenja jednačina koje su izazvale poteškoće, nakon čega saopštava imena učenika koji na kraju časa predaju svoje sveske na provjeru.

№ 1

odgovor:

№ 2

odgovor:

№ 3

odgovor:

№ 4

jer tada jednačina nema korijena

Odgovor: nema korijena

№ 5

odgovor:

№ 6

odgovor:

III . Ažuriranje osnovnih znanja.

Nastavnik formira nastavne grupe/parove i predlaže da se pomoću ponuđenih formulara uspostavi korespondencija između jednačina i odgovora: „Pred vama je slajd sa obrazovnim zadatkom. Spojite jednačine (lijeva strana tabele) sa odgovorima (desna strana tabele). Zapišite brojeve tačnih parova iskaza u svoju bilježnicu.”

Navedeni zadaci su duplirani u uključenoj prezentaciji.

Match

p/p

Jednačina

p/p

Odgovori

nema korijena

Na kraju rada nastavnik frontalno intervjuiše predstavnike grupa, nakon čega otvara stranicu za prezentaciju sa tačnim rješenjima.

Tačni odgovori

p/p

Jednačina

p/p

Odgovori

nema korijena

nema korijena

11.

13.

10.

12.

IV . Učenje novog gradiva.

Nastavnik uključuje prezentaciju novog gradiva „Trigonometrijske jednačine svedene na kvadratne. Vrste jednadžbi i metode za njihova rješenja.”

Poziva učenike da zapišu potrebne točke i počinje komentirati svaki slajd, nakon čega uključuju prezentaciju.

Hajde da predstavimo koncept:

Opšti pogled na kvadratnu jednačinu:

1 vrsta trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe – jednadžbe koje su algebarske u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Nastavnik objašnjava rješenja.

1. Direktna zamjena

Zamjena ,

I

nema korijena

odgovor:

Jednačine oblika imaju slično rješenje

Zamjena

Zamjena

2. Jednačine koje zahtijevaju konverziju pomoću formule trigonometrijske jedinice

Zamjena , tada jednačina poprima oblik

I

nema korijena

odgovor:

Jednačine oblika imaju slično rješenje:

mi ćemo zameniti , koristeći formulu trigonometrijske jedinice

.

Dobijamo jednačinu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju :

Zamjena

3. Jednačine koje zahtijevaju transformaciju pomoću formule veze tgx I With tgx

Primjenjujemo formulu:

Pomnožite jednačinu sa

Zamjena , tada jednačina poprima oblik

I

odgovor:

Tip 2 trigonometrijske jednačine koje se svode na kvadratne jednačine– homogene jednačine u kojima svaki član ima isti stepen.

Podijelite jednačinu sa

Zamjena , tada jednačina poprima oblik

I

odgovor:

Nastavnik predlaže sažimanje prezentiranog materijala i postavlja pitanja: „Na koliko tipova su podijeljene trigonometrijske jednačine koje se mogu svesti na kvadratne jednačine? Njihovo ime? Navedite načine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne.”

Nastavnik vodi radnje učenika prilikom kreiranja algoritma za rješavanje ovakvih jednačina.

Trigonometrijske jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe podijeljene su u dva glavna tipa:

tgx I With tgx :

Tip 2 – homogene jednačine u kojima svaki član ima isti stepen:

Nastavnik vrši prilagođavanje Algoritam rješenja:

1. Odredite vrstu jednačine. Ako je potrebno, preuredite jednadžbu tako da sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Da biste to učinili, odaberite željenu formulu: ili ili podijeliti na

2. Uvodi se zamjena (npr, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Zapišite odgovor.

Za konsolidaciju stečenog znanja nastavnik predlaže uspostavljanje korespondencije između jednačina i mogućih metoda njihovog rješavanja: „Pred vama je slajd sa zadatkom za obuku.

1. Klasificirajte jednačine prema metodama rješenja prema donjoj tabeli

(štampane verzije tabele su na vašim stolovima).

2. Unesite broj metode rješenja u odgovarajuće polje.

Popunite sto".

Rad se radi u parovima.

p/p

Jednačina

metoda

Metode:

1) Unesite novu varijablu.

2) Unesite novu varijablu

3) Unesite novu varijablu.

4) Transformirajte jednačinu koristeći formulu i uvedite novu varijablu.

5) Transformirajte jednačinu koristeći formulu, uvedite novu varijablu.

6) Podijelite svaki član jednačine sa, uvedite novu varijablu.

7) Transformirajte jednačinu koristeći formulu, pomnožite članove jednadžbe sa, unesite novu varijablu.

Zadatak se provjerava u obliku frontalnog razgovora.

Učitelj: „Pred vama je slajd sa tačnim odgovorima na obrazovni zadatak. . Provjerite tako što ćete provjeriti tačne odgovore zadatka za učenje. Radite na greškama u svojoj svesci."

Listovi sa zadacima se prikupljaju na kraju lekcije.

p/p

Jednačina

metoda

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Učvršćivanje i sistematizacija stečenog znanja.

Nastavnik poziva učenike da nastave rad u grupama.

Učitelj: „Rješite jednačine. Provjerite rezultat u uređivaču Microsoft Excel . Na kraju rješenja, predstavnik grupe odlazi do table i predstavlja rješenje jednačine koju je grupa ispunila.” Nastavnik provjerava rješenje, ocjenjuje rad grupe i po potrebi ukazuje na greške.”

Učitelj:

1 ) Razgovarajte o rješenjima kao grupa.

2) Rešenje i dobijeni odgovor zapišite u svoju svesku.

3) Provjerite rezultat u editoru Microsoft Excel .

4) Obavijestite svog učitelja da ste spremni.

5) Objasnite svoju odluku tako što ćete je napisati na tabli članovima drugih grupa.

6) Pažljivo slušajte govore svojih drugova, postavljajte pitanja ako je potrebno.

Pozivaju se studijske grupe koje su u potpunosti riješile zadatke da urade zadatke ostalih grupa. Uspješne grupe se nagrađuju povećanjem konačnog rezultata za jednu jedinicu.

prva grupa:

Primjenjujemo formulu:

I

nema korijena

jer

odgovor:

druga grupa:

Primjenjujemo formulu:

Zamjena, tada jednačina postaje

I

Odgovor: ;

Treća grupa:

Primjenjujemo formulu:

Pomnožite jednačinu sa

Zamjena, tada jednačina postaje

I

odgovor:

Četvrta grupa:

Podijelite jednačinu sa

Zamjena, tada jednačina postaje

I

odgovor:

peta grupa:

Zamjena, tada jednačina postaje

I

Odgovor:; .

VII . Refleksija. Rezimirajući. Zadaća.

Učitelj: Hajde da sumiramo vaš rad, povezujući rezultate vaših aktivnosti sa vašim ciljem.

Hajde da ponovimo koncepti:

• “Trigonometrijske jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe transformacijom i promjenom varijable nazivaju se trigonometrijskim jednadžbama koje se svode na kvadratne jednadžbe.”

Tip 1 – jednadžbe, algebarske u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija:

- direktna zamjena - zamjena ili;

- jednačine koje zahtijevaju konverziju pomoću formule trigonometrijske jedinice;

- jednadžbe koje zahtijevaju transformaciju prema formuli veze tgx i sa tgx :

Tip 2 – homogene jednačine u kojima svaki član ima isti stepen: podijelite jednačinu sa, a zatim zamijenite.

Algoritam rješenja:

1. Odredite vrstu jednačine. Ako je potrebno, preuredite jednadžbu tako da sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.

Da biste to učinili, odaberite željenu formulu:

ili ili podijeliti na

2. Uvodi se zamjena (na primjer, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Riješite kvadratnu jednačinu.

4. Izvršena je obrnuta zamjena i riješena najjednostavnija trigonometrijska jednačina.

5. Zapišite odgovor.

Nastavnik ocjenjuje rad studenata i studijskih grupa i objavljuje ocjene.

Učitelj: „Zapišite svoj domaći zadatak: Bašmakov M.I. Matematika: udžbenik za osnovce i srednjoškolce. obrazovanje – M.; "Akademija", 2010. Str. 114-115. U broju 10 riješiti jednačine broj 4,5,7,9. str.118. Provjerite rezultat u editoru Microsoft Excel ».

Tema lekcije: “Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi uvođenjem nove varijable”

Vrsta lekcije: lekcija o učenju novog gradiva

Ciljevi lekcije: edukativni: konsolidovati znanja i vještine u rješavanju najjednostavnijih problema

trigonometrijske jednačine, naučiti kako se rješavaju trigonometrijske jednačine

uvođenjem nove varijable.

razvojni: razvijati sposobnost rješavanja trigonometrijskih jednačina, razvijati

sposobnost brzog i pravilnog određivanja tipa jednačine i načina njenog rješavanja.

edukativni: stvaraju kulturu rada i međusobno poštovanje.

Plan časa: 1. Organiziranje vremena.

2. Provjera domaćeg.

3. Ažuriranje znanja.

4. Učenje novog gradiva.

5. Konsolidacija novog materijala.

6. Minut fizičkog vaspitanja.

7. Primarna kontrola znanja.

8. Rezimirajući.

9. Refleksija.

10. Zadaća.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat .

2. Provjera domaćeg zadatka. 18 br. 13(c)

3. Ažuriranje znanja. Riješite jednačinu:

sin x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Withtgx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Kako se zovu jednačine zapisane u lijevoj koloni? u desnoj koloni?

Koje metode su korištene za rješavanje jednačina u lijevoj koloni?

grijeh 2 x - 6 grijeh x + 5 =0

Šta mislite koja će danas biti tema lekcije?

Otvorili smo sveske i zapisali broj, rad na času, temu časa: “Rješavanje trigonometrijskih jednačina uvođenjem nove varijable."

Šta je naš cilj za lekciju?Naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe koristeći metodu zamjene varijabli.

4. Proučavanje novog gradiva.

Ova lekcija će pokriti najčešći metod za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne jednadžbe .

Ova klasa može uključivati ​​jednadžbe koje uključuju jednu funkciju (sinus ili kosinus, tangentu ili kotangens) ili dvije funkcije istog argumenta, ali se jedna od njih svodi na drugu koristeći osnovne trigonometrijske identitete.Agrijeh 2 x + bsinx + c =0, a.

Na primjer, akocOsx ulazi u jednačinu u parnim stepenima, a zatim je zamjenjujemo sa 1-grijeh 2 x, Akogrijeh 2 x, onda ga zamjenjujemo sa 1-cos 2 x.

5. Konsolidacija novog materijala.

Primjer.

Riješite jednačinu:grijeh 2 x - 6 grijehx + 5 =0, 2 grijeh 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. Fizički minut.

Zadatak za ublažavanje umora očiju: ne možete pomicati ruke, već samo oči.Tabela sadrži brojeve od 1 do 20, ali nedostaju četiri broja. Vaš zadatak: navedite ove brojeve.

7. Primarna kontrola

Raditi u parovima: riješi jednačinu:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Razgovaramo o rješenjima jednačina, rješavamo, a zatim provjeravamo rješenja s pločom.

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Nekatgx = t.

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tgx= ilitgx = -1

x = arctg + Z x = - + Z

2. 5 grijeh 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - With os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Nekacos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

Vratimo se na originalnu varijablu:

cosx= ilicosx = 1

x = arccos + Z x = Z

8. Konsolidacija.

Riješite jednačine:

1. 2 Withtg 2 x+3Withtan x + 3= 5;

2.2sin 2 -grehX + 2 = 3.

1. Riješite jednačinu 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu [ - ; ].

2. 3tg x - 2Withtan x = 5

Svaka opcija rješava jednadžbe i provjerava odgovore na tabli. Momci sami sebe ocjenjuju za ovaj rad. Listovi sa rastvorima se predaju. Na sljedećem času ću objaviti ocjene za ovaj rad.

8. Sumiranje .

Zapamtite: Koja je tema lekcije? Šta je naš cilj za današnju lekciju? Jesmo li postigli svoj cilj?

9. Refleksija.

“U današnjoj lekciji sam shvatio...”;

“Pohvalio bih sebe...”;

“Posebno mi se dopalo...”;

“Danas sam uspio...”;

“Uspeo sam...”;

"Bilo je teško...";

“Shvatio sam da...”;

"Sada mogu…";

“Osetio sam da...”;

"Naučio sam…";

"Bio sam iznenađen..."

10. Domaći.

1) §18, br. 6(c), 8(b), 9(a), 21(a).

2) §18, br. 7(b), 9(d). Zadaci br. 1 ili 2.

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu [; ].

2. = 0.

Raditi u parovima

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 grijeh 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Raditi u parovima

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Raditi u parovima

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 grijeh 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Raditi u parovima

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 grijeh 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Raditi u parovima

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Zadaća:

1. Riješite jednačinu + 4tgx- 6 = 0. Navedite korijene koji pripadaju segmentu

[ ; ].

2. Riješite jednačinu

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
• riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (koristeći trigonometrijske formule), uvođenje novih varijabli i faktoring. Pogledajmo njihovu upotrebu na primjerima. Obratite pažnju na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednačina.

Neophodan uslov za uspešno rešavanje trigonometrijskih jednačina je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednačine svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednačinu

Rješenje:

odgovor:

2) Pronađite korijene jednačine

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.

Rješenje:

odgovor:

2. Jednačine koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednačinu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Rješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobijamo

odgovor:

3) Riješite jednačinu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Rješenje:

odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednačinu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cosx. Dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rješenje:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobijamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cos 2 x . Dobijamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

odgovor: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k

4. Jednačine oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednačinu.

Rješenje:

odgovor:

5. Jednačine riješene faktorizacijom.

1) Riješite jednačinu sin2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (X) = φ ( X) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je tačna.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

odgovor: 0.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, mi smo već proučavali arksin, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1)Ako je |a|≤ 1, tada jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednačine: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Rješenje:

A) Ovaj put idemo direktno na izračunavanje korijena jednadžbe odmah:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Kod k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu.
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udaramo ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliki k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Pogledali smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo metodu uvođenja nove varijable koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobijamo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednačina će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednačine oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelite je sa cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobijamo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 na x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a=0 onda će naša jednadžba dobiti oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti obje strane jednadžbe sa kosinusom na kvadrat, dobićemo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobijamo jednačinu:

Riješi primjer br.:3

Riješite jednačinu:
Rješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer br.:4

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer br.:5

Riješite jednačinu:

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Hajde da uvedemo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednačinu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: krevetac 2 (x) + 2 krevetac (x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)