Overvej aksial og central symmetri som egenskaber af nogle geometriske former; Overvej aksial og central symmetri som egenskaber af nogle geometriske former; Være i stand til at bygge symmetriske punkter og være i stand til at genkende de figurer, der er symmetriske i forhold til punktet eller lige; Være i stand til at bygge symmetriske punkter og være i stand til at genkende de figurer, der er symmetriske i forhold til punktet eller lige; Forbedring af de færdigheder med at løse problemer Forbedring af de færdigheder med at løse problemer Fortsæt arbejde på nøjagtigheden af \u200b\u200boptagelsen og udførelse af en geometrisk tegning; Fortsæt arbejde på nøjagtigheden af \u200b\u200boptagelsen og udførelse af en geometrisk tegning;

Mundtlig Arbejde "Sparing Survey" mundtlig arbejde "sparsomme undersøgelse" Hvilket punkt kaldes en midt i segmentet? Hvilken trekant hedder en lige så chagrin? Hvilken ejendom er diagonalt rhombus? Ord Egenskaberne af bisektoren af \u200b\u200ben ækvigible trekant. Hvad er de direkte kaldet vinkelret? Hvilken trekant hedder ligevægt? Hvilken ejendom har firkantens diagonale? Hvilke tal kaldes lige?

Hvilke nye koncepter på lektionen mødtes? Hvilke nye koncepter på lektionen mødtes? Hvilken ny lært om geometriske figurer? Hvilken ny lært om geometriske figurer? Giv eksempler på geometriske figurer med aksial symmetri. Giv eksempler på geometriske figurer med aksial symmetri. Giv et eksempel på figurer med central symmetri. Giv et eksempel på figurer med central symmetri. Giv eksempler på genstande fra det omgivende liv, der besidder en eller to typer symmetri. Giv eksempler på genstande fra det omgivende liv, der besidder en eller to typer symmetri.

Bestemmelse af symmetri;

• Bestemmelse af symmetri;

• Central symmetri;

• Aksial symmetri;

• Symmetri i forhold til flyet;

• Symmetri af rotation;

• Spejl symmetri;

• Symmetri lighed;

• Plante symmetri;

• Dyresymmetri;

• Symmetri i arkitektur;

• Manden er en symmetrisk væsen?

• Symmetri af ord og tal;

Symmetri

• Symmetri - Proportionalitet, det samme på placeringen af \u200b\u200bde dele af noget på modsatte sider fra punktet, direkte eller fly.

• (Forklarende ordbog af Ozhegov)

• Så det geometriske objekt betragtes som symmetrisk, hvis noget som det kan gøres med det, hvorefter det vil forblive uændret.

OM OM OM hedder center for Symmetry Figur.

• Figuren kaldes symmetrisk om punktet OMHvis for hver punkts form symmetrisk til hendes punkt i forhold til punktet OM tilhører også denne figur. Punkt OM hedder center for Symmetry Figur.

cirkel og parallelogram center Circle. ). Tidsplan ulige funktion

Eksempler på figurer, der besidder central symmetri er cirkel og parallelogram. Centret for cirklen i cirklen er center Circle., og centrum for symmetri parallelogram - skæringspunktet for hans diagonaler. Enhver direkte har også en central symmetri ( ethvert punkt direkte er dets symmetri centrum.). Tidsplan ulige funktionsymmetrisk på begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne.

• Et eksempel på en figur, der ikke har et symmetricenter, er vilkårlig trekant..

men men eN. hedder symmetriens akse.

• Figuren kaldes symmetrisk relativt direkte menHvis for hver figur af figuren symmetrisk til hende i forhold til direkte men tilhører også denne figur. Lige eN. hedder symmetriens akse.

I ujævnt hjørne. en akse af symmetri bisector corner. en akse af symmetri tre akser af symmetri to akser af symmetri, og kvadrat. fire akser af symmetri vedrørende ordinataksen.

I ujævnt hjørne. en akse af symmetri- Direkte på, som er placeret bisector corner.. En ækvilibrieret trekant har også en akse af symmetriog ligesaterale trekant- tre akser af symmetri. Rektangel og diamanter, der ikke er kvadrater, har to akser af symmetri, og kvadrat. fire akser af symmetri. Omkredsen af \u200b\u200bdem er uendeligt meget. Planlægningsfunktionen, når konstruktionen er symmetrisk vedrørende ordinataksen.

• Der er tal, der ikke har nogen symmetriakse. Disse tal omfatter parallelogram, forskellig fra rektanglet, alsidig trekant..

Points MEN og A1. men men AA1. og vinkelret men Overveje symmetrisk selv.

Points MEN og A1. kaldet symmetrisk i forhold til flyet men (symmetriplan) Hvis flyet men passerer gennem midten af \u200b\u200bsegmentet AA1. og vinkelret Til dette segment. Hvert punkt plan men Overveje symmetrisk selv.. To figurer kaldes symmetriske i forhold til planet (eller spejl-symmetrisk relativ), hvis de består af parvise symmetriske punkter. Det betyder, at for hvert punkt af en figur symmetrisk til hende (relativ) ligger punktet i en anden figur.

Krop (eller figur) har symmetri af rotationHvis når du vender til vinklen 360º / n, hvor n heltal fuldt kombineret

• Krop (eller figur) har symmetri af rotationHvis når du vender til vinklen 360º / n, hvor n heltal, om nogle lige AV (symmetriakse) det fuldt kombineretmed sin oprindelige position.

• Radial Symmetry.- Symmetri formular, gemt, når objektet drejes rundt om et bestemt punkt eller direkte. Ofte falder dette punkt sammen med tyngdepunktet af objektet, det vil sige ved det tidspunkt, hvor krydse Uendelig antal symmetriakser. Lignende objekter kan være cirkel, bold, cylinder eller kegle.

MIRROR SYMMETRY.binder nogen.

MIRROR SYMMETRY.binder nogen. objektet og dets refleksion i et fladt spejl. Det siges, at en figur (eller krop) er spejl symmetrisk anderledes, hvis de sammen danner en spejl symmetrisk figur (eller krop). Symmetrisk, spejlfigurer med alle deres ligheder adskiller sig væsentligt fra hinanden. To spejl symmetriske flade figurer kan altid overlejres på hinanden. Men for dette er det nødvendigt at udlede en af \u200b\u200bdem (eller begge) fra deres overordnede plan.

Symmetri lighed matryushki..

• Symmetri lighed repræsenterer en ejendommelige analoger af tidligere symmetrier med den eneste forskel, at de er forbundet med samtidig fald i eller øge sådanne dele af form og afstande mellem dem. Det enkleste eksempel på sådan symmetri er matryushki..

• Nogle gange kan tallene have forskellige typer af symmetri. For eksempel har nogle bogstaver en drejning og spejl symmetri: J., N., M., OM, MEN.

• Der er mange andre symmetrier, der har abstrakt karakter. For eksempel:

• OmlægningssymmetriHvilket er, at hvis de samme partikler byttes på steder, forekommer der ingen ændringer;

• Kalibreringssymmetriforbundet med en skalaændringer. I den livlige natur af symmetri opstår primært i et sådant fænomen natur som krystallerHvorfra næsten alle faste legemer består. Det er hun, der bestemmer deres egenskaber. Det mest oplagte eksempel på skønheden og perfektionen af \u200b\u200bkrystaller er velkendt for alle. snefnug.

Med symmetri møder vi overalt: i natur, maskiner, kunst, videnskab. Begrebet symmetri passerer gennem hele den århundrede gamle historie om menneskelig kreativitet. Symmetriens principper spiller en vigtig rolle. i fysik og matematik, kemi og biologi, teknologi og arkitektur, maleri og skulptur, poesi og musik. Naturens love er også underlagt symmetriprincipper.

symmetriakse..

• Mange blomster har en interessant ejendom: de kan roteres, så hver kronblad vil besætte naboets position, blomsten er justeret med sig selv. En sådan blomst har symmetriakse..

• Skruesymmetri Det observeres i bladets placering på stænglerne af de fleste planter. Camping på en stilk, bladene synes at være spredt i alle retninger og ikke skjule hinanden fra lyset, hvilket er yderst nødvendigt for planternes liv.

• Bilateral Symmetry.plantorganer besidder også for eksempel stilke af mange kaktus. I nørder mødes ofte radialt. Symmetrisk bygget blomster.

adskille linje.

• Under symmetrien hos dyr, korrespondancen i størrelser, form og skitserer, såvel som den relative placering af kroppens dele på de modsatte sider adskille linje.

• De vigtigste typer af symmetri er radial (stråling) - hun har iglobler, intestinal, vandmænd osv.; eller bilateral. (Bilateral) - Det kan siges, at hvert dyr (om insekt, fisk eller fugl) består af af to halvdel - Højre og venstre.

• Sfærisk symmetrider er et sted for radiillearia og jordbund. Ethvert plan, der bruges gennem midten, deler dyret til de samme halvdele.

• Symmetrien af \u200b\u200bstrukturen er forbundet med organisationen af \u200b\u200bsine funktioner. Fremspringet af symmetriplanet er bygningens akse - det bestemmes normalt af placeringen af \u200b\u200bhovedindgangen og begyndelsen af \u200b\u200bhovedstrømmene.

• Hver detalje i et symmetrisk system eksisterer som en tvilling af hans obligatoriske parBeliggende på den anden side af aksen, og på grund af dette kan den kun betragtes som en del af det hele.

• Mest almindelige i arkitektur mIRROR SYMMETRY.. Hun er underlagt opførelsen af \u200b\u200bdet gamle Ægypten og templerne i det antikke Grækenland, amfithithere, deres, basilika og buerne på romerne, paladserne og renæssancekirken, såvel som de mange konstruktioner af moderne arkitektur.

accents.

• For bedre afspejling af symmetri på strukturer er sat accents. - Specielt vigtige elementer (kuppel, spirer, telte, front indgange og trapper, balkoner og erkers).

• Et ornament bruges til at dekorere udsmykningen af \u200b\u200barkitekturen - et rytmisk gentagende mønster baseret på en symmetrisk sammensætning af dets elementer og en linje udtrykt af en linje, farve eller relief. Der er flere typer ornamenter baseret på to kilder - naturlige former og geometriske former.

• Men arkitekten er primært kunstneren. Og derfor, selv de mest "klassiske" stilarter, der ofte bruges diskimmetri. - Nuance Deviation fra Clean Symmetry eller asymmetri. - Bevidst asymmetrisk konstruktion.

• Ingen kan tvivle på, at udadtil er manden bygget symmetrisk: venstre hånd svarer altid til højre og begge hænder er nøjagtigt de samme. Men ligheden mellem vores hænder, ører, øjne og andre dele af kroppen er det samme som mellem emnet og dets refleksion i spejlet.

ret hans halvt brutto funktioner.Iboende i hangulvet. Venstre halvdel

Talrige målinger af ansigtsparametre hos mænd og kvinder viste det ret hans halvt Sammenlignet med venstre har flere udtalte tværgående dimensioner, som giver ansigtet mere brutto funktioner.Iboende i hangulvet. Venstre halvdelpersoner har mere udtalte langsgående størrelser, der giver ham glathed linjer og femininitet. Denne kendsgerning forklarer de præference ønske hos kvindelige mennesker til at udgøre foran kunstnerne på venstre side af personen, og de mandlige ansigter har ret.

Palindrome.

• Palindrome. (fra GR. Palindromos - Running Tilbage) er noget objekt, hvor symmetrien af \u200b\u200bkomponenterne fra begyndelsen til slutningen og på enden til begyndelsen. For eksempel sætning eller tekst.

• Direkte palindrome tekst læsbar i overensstemmelse med den normale læsningsretning i denne skrivning (normalt fra venstre til højre), kaldet højttalerBaglæns - rocker. eller baglæns(fra højre til venstre). Nogle tal har også symmetri.

"Symmetry Point" - Symmetri i arkitekturen. Eksempler på symmetri af flade figurer. To punkter A og A1 kaldes symmetrisk omkring O, hvis omkring midten af \u200b\u200bAA1-segmentet. Eksempler på figurer med central symmetri er cirkel og parallelogrammer. Punktet C hedder Symmetry Center. Symmetri i videnskab og teknologi.

"Konstruktion af geometriske former" er et uddannelsesmæssigt aspekt. Kontrol og korrektion af assimilering. Studere teorien, hvor metoden er baseret på. I stereometri - ikke streng konstruktion. Stereometriske konstruktioner. Algebraisk metode. Metode til transformationer (lighed, symmetri, paralleloverførsel osv.). For eksempel: lige; bisector hjørne; Midt vinkelret.

"Figuren af \u200b\u200ben person" - form og bevægelse af den menneskelige krop bestemmer stort set skeletet. Retfærdigt med teatralskvisning. Hvad tror du, der vil være et job for en kunstner i et cirkus? Skeletet spiller rollen som en ramme i figurens struktur. Hovedkroppen (mave, brystet) var ikke opmærksom på hovedet, ansigtet, hænderne. A. MATIS. Proportioner. Det gamle Grækenland.

"Symmetri er relativt lige" - Symmetri er relativt direkte kaldet aksial symmetri. Direkte en-akse af symmetri. Symmetri relativt lige. Bulavin Paul, 9V klasse. Hvor mange symmetriakser har hver figur? Figur kan have en eller flere akser af symmetri. Central symmetri. Lige trapezium. Rektangel.

"Square af geometri figurer" - Pytagora sætning. Firkantet af forskellige figurer. Beslutte rebus. Figurer, der har lige områder, er isometriske. Enheder af måleområder. Område af en trekant. Rektangel, trekant, parallelogram. Kvadratcentimeter. Figurer af lige område. Lige former b). Firkantet millimeter. i). Hvad vil være lig med figuren af \u200b\u200bfiguren, der består af figurer A og G

"Limit Function på Point" -, så i dette tilfælde. Med lysten. Begrænsningsfunktion på punkt. Kontinuerlig på punkt. Svarende til værdien af \u200b\u200bfunktionen i. Men når du beregner grænsen for funktionen på. Svarende til værdien. Udtryk. Stræben. Eller det kan siges: I et tilstrækkeligt lille kvarter af punktet. Kompileret fra. Afgørelse. Kontinuerlig med intervaller. På intervallet.

Folks liv er fyldt med symmetri. Det er praktisk, smukt, ikke nødvendigt at opfinde nye standarder. Men hvad er det virkelig og er det smukt i naturen, som det overvejes?

Symmetri

Siden oldtiden søger folk at strømline verden omkring sig selv. Derfor anses noget som smukt, og noget er ikke meget. Fra æstetisk synspunkt betragtes begge attraktive for guld- og sølvafsnit, såvel som, selvfølgelig symmetri. Dette udtryk har en græsk oprindelse og betyder bogstaveligt "proportionalitet". Det handler selvfølgelig ikke kun om tilfældigheden af \u200b\u200bdenne funktion, men også på en anden. I den generelle følelse af symmetri er dette objektets egenskab, når resultatet er lig med kildedata som følge af visse formationer. Det findes både i live og i livløs natur, såvel som i emnerne foretaget af en person.

Først og fremmest anvendes udtrykket "symmetri" i geometri, men den finder anvendelse på mange videnskabelige felter, og dets værdi forbliver generelt og det samme uændrede. Dette fænomen findes ofte ret og betragtes som interessant, fordi flere af dets art adskiller sig, såvel som elementer. Brugen af \u200b\u200bsymmetri er også interessant, fordi den ikke kun findes i naturen, men også i ornamenter på stof, grænser af bygninger og mange andre menneskeskabte objekter. Det er værd at overveje dette fænomen mere detaljeret, fordi det er ekstremt fascinerende.

Brugen af \u200b\u200budtrykket på andre videnskabelige felter

I fremtiden vil symmetri blive overvejet ud fra geometriens synspunkt, men det er værd at nævne, at dette ord ikke kun bruges her. Biologi, virologi, kemi, fysik, krystallografi - al denne ufuldstændige liste over områder, hvor dette fænomen er studeret fra forskellige sider og under forskellige forhold. Fra hvordan videnskaben refererer til dette udtryk afhænger for eksempel klassificering. Således er adskillelsen af \u200b\u200btyper alvorligt varieret, selvom nogle grundlæggende, måske forbliver uændrede overalt.

Klassifikation

Der er flere grundlæggende typer af symmetri, hvoraf tre er mest almindelige:

Derudover er følgende typer også kendetegnet i geometri, de er meget mindre almindelige, men ikke mindre nysgerrige:

• glidende;
• rotational;
• prik;
• progressiv;
• skrue;
• fraktal;
• etc.

I biologi er alle typer noget anderledes, selvom det i det væsentlige kan være det samme. Opdelingen i visse grupper er baseret på tilstedeværelsen eller fraværet, såvel som antallet af visse elementer, såsom centre, planer og symmetriakse. De bør betragtes særskilt og mere detaljeret.

Grundlæggende elementer

I fænomenet tildele nogle funktioner, hvoraf den ene er nødvendigvis til stede. De såkaldte grundlæggende elementer omfatter fly, centre og akse symmetri. Det er i overensstemmelse med deres tilstedeværelse, fravær og mængde en type bestemmes.

Symmetriens centrum kaldes et punkt inde i figuren eller en krystal, hvor linjerne forbinder parvis af alle parallelle med hinanden side, konvergeres. Det er selvfølgelig ikke altid. Hvis der er parter, som der ikke er noget parallelt par, så er et sådant punkt ikke muligt, da det ikke er det. I overensstemmelse med definitionen er det indlysende, at symmetricentret er, at figuren kan afspejles af sig selv. Et eksempel kan tjene, for eksempel en cirkel og punkt i midten. Dette element betegnes sædvanligvis som C.

Symmetriplanet forestiller sig selvfølgelig, men det er, at hun deler figuren i to lige store dele af hinanden. Det kan passere gennem en eller flere sider, være parallelt med hende og kan dele dem. For samme figur kan der være flere fly på én gang. Disse elementer betegnes sædvanligvis som P.

Men måske møder oftest hvad der hedder "symmetriens akse". Dette er et hyppigt fænomen, der kan ses både i geometri og i naturen. Og det er værd at være særskilt overvejelse.

Akse

Ofte elementet i forhold til hvilket figuren kan kaldes symmetrisk,

udfører direkte eller segment. Under alle omstændigheder taler vi ikke om punkt og ikke om flyet. Derefter overvejes tallene. De kan være meget, og de kan være som om du kan lide: Del parterne eller være parallelle med dem, såvel som tværgående hjørner eller ikke gøre det. Symmetriakser betegnes sædvanligvis som L.

Eksempler kan tjene som muligt, og i det første tilfælde vil der være en vertikal symmetriakse på begge sider, hvoraf samme ansigter, og i den anden linje vil krydse hver vinkel og falde sammen med alle bisektorer, medianer og højder. De sædvanlige trekanter har ikke det.

Forresten kaldes kombinationen af \u200b\u200balle ovennævnte elementer i krystallografi og stereometri graden af \u200b\u200bsymmetri. Denne indikator afhænger af antallet af akser, fly og centre.

Eksempler i geometri

Det er konventionelt divideret med alle mange genstande for at studere matematikere på tallene med en symmetriakse, og dem, der ikke har det. I den første kategori er alt omkreds, ovaler, såvel som nogle særlige tilfælde, de resterende falder i den anden gruppe, falder automatisk.

Som i tilfældet, når Triangle Symmetry Axis sagde, eksisterede dette element for de firduraterale ikke altid. For en firkant, rektangel, rhombus eller et parallelogram, er det, men for den forkerte figur, nej. For omkredsen af \u200b\u200bsymmetriaksen er en masse direkte, som passerer gennem sit center.

Derudover er det interessant at overveje surround figurerne fra dette synspunkt. Mindst en symmetriakse, ud over alle de rigtige polygoner og bolden, vil nogle kegler såvel som pyramider, parallelogrammer og nogle andre. Hvert tilfælde skal betragtes særskilt.

Eksempler i naturen

I livet kaldes bilateralt, opfylder det mest
tit. Enhver og meget mange dyr er et eksempel. Aksen kaldes radial og forekommer meget mindre ofte som regel i planteverdenen. Og alligevel er de. For eksempel er det værd at tænke på, hvor mange symmetrier akser der har en stjerne, og har hun dem overhovedet? Selvfølgelig taler vi om marine indbyggere, og ikke om emnet for at studere astronomer. Og det korrekte svar vil være sådan: Det afhænger af antallet af stråler af stjernen, for eksempel fem, hvis det er fem-spids.

Derudover observeres radial symmetri i mange blomster: kamille, kornblomster, solsikker osv. Eksempler er en stor mængde, de er bogstaveligt talt overalt omkring.

Arytmi.

Dette udtryk minder først og fremmest flertallet af medicin og kardiologi, men det har oprindeligt en lidt anden betydning. I dette tilfælde vil synonymet være "asymmetri", det vil sige fraværet eller krænkelse af regelmæssighed i en eller anden form. Det kan findes som en ulykke, og nogle gange kan det blive en fremragende modtagelse, for eksempel i tøj eller arkitektur. Symmetriske bygninger er trods alt meget, men den berømte lidt vippet, og selvom det ikke er en, men det er det mest berømte eksempel. Det er kendt, at det skete tilfældigt, men det har sin egen charme.

Derudover er det indlysende, at ansigterne og kroppe af mennesker og dyr også ikke er helt symmetriske. Selv undersøgelser blev gennemført, ifølge de resultater, som de "korrekte" personer blev betragtet som ikke-hjemmehørende eller simpelthen uinteressant. Alligevel er opfattelsen af \u200b\u200bsymmetri og dette fænomen i sig selv fantastisk og er endnu ikke blevet undersøgt til slutningen, og derfor er yderst interessante.

Symmetri af rumlige figurer

Ifølge den berømte tyske matematik af Vaila (1885-1955) er "symmetri ideen gennem hvilken en person har forsøgt at forstå og skabe ordre, skønhed og perfektion."
Fremragende billeder af symmetri Demonstrere kunstværker: Arkitektur, Maleri, Skulptur mv.
Begrebet symmetri af figurer på flyet blev betragtet i forbindelse med planimetri. Især blev begreberne central og aksial symmetri bestemt. Til rumlige figurer bestemmes begrebet symmetri på en lignende måde.
Overvej først den centrale symmetri.
symmetrisk i forhold til punktet O, kaldet centrum af symmetriHvis o er midten af \u200b\u200bAA-segmentet. "Punkt O betragtes som symmetrisk til mig selv.
Omdannelsen af \u200b\u200bdet rum, hvori hvert punkt A sammenlignes med en symmetrisk (i forhold til dette punkt o) Point A kaldet central Symmetry.. Punkt o kaldes centrum af symmetri.
To figurer F og F "kaldes centralt symmetrisk.Hvis der er en symmetri-transformation, der oversætter en af \u200b\u200bdem til en anden.
Figur F kaldes centralt symmetrisk.Hvis det er centralt symmetrisk til sig selv.
For eksempel er parallelepiped centralt symmetrisk om skæringspunktet for dets diagonaler. Bolden og kuglen er centralt symmetrisk om deres centre.
Af den korrekte polyhedra centralt symmetriske er Cube, Octahedron, Ikosahedron og Dodecahedron. Tetrahedron er ikke en centralt symmetrisk figur.
Overvej nogle egenskaber af central symmetri.
Ejendom 1. Hvis O. 1, o 2 - Symmetricentre Figur F, så punkt o 3, symmetrisk O 1 i forhold til O 2 det er også centrum for symmetri af denne figur.
Beviser. Lad et være et punkt af plads, en 2 - punkt, symmetrisk til hende, relativt o 2, en 1 - punkt, symmetrisk a 2 i forhold til O 1 og en 3 - POINT SYMMETRICAL A 1 i forhold til O2 (fig. 1).

Så trekanter O. 2 O 1 A 1 og O203 A3, O20 1 A2 og O2O3 A er lige. Derfor, A og A 3 Symmetrisk i forhold til O. 3 . Således symmetri i forhold til o 3 er en sammensætning af symmetrier i forhold til o 2, O 1 og O 2 . Følgelig, med denne symmetri, passerer figuren F i sig selv i sig selv, dvs. O. 3 Det er centrum for symmetri af F. figur

Corollary. Enhver figur eller har ikke et symmetricenter, eller har et symmetricenter eller har uendeligt mange symmetriske centre

Virkelig hvis O. 1, o 2 - Symmetricentre Figur F, så punkt o 3, symmetrisk O 1 i forhold til O 2 det er også centrum for symmetri af denne figur. Tilsvarende punkt o 4 symmetrisk O 2 i forhold til O 3 også er centrum for symmetri figur F osv. Således har figuren F uendeligt mange symmetriecentre.

Overvej nu konceptet aksial Symmetry..
Punkter A og et "rum kaldes symmetrisk relativt direkte eN., hedder symmetriakse.Hvis lige eN. Det passerer gennem midten af \u200b\u200bsegmentet AA "og vinkelret på dette segment. Hvert punkt er lige eN. Det betragtes som symmetrisk sig selv.
Transformationen af \u200b\u200bdet rum, hvori hvert punkt A sammenlignes med et symmetrisk punkt A "(i forhold til denne direkte eN.), hedder aksial Symmetry.. Lige eN. Det kaldes symmetriakse..
To figurer kaldes symmetrisk relativt direkte eN.Hvis transformationen af \u200b\u200bsymmetri i forhold til denne direkte oversætter en af \u200b\u200bdem til en anden.
Figur F i rummet kaldes symmetrisk relativt direkte eN.Hvis hun er symmetrisk til sig selv.
For eksempel er rektangulær parallelepiped symmetrisk med hensyn til den direkte, der passerer gennem centrene i modstående ansigter. Den lige cirkulære cylinder er symmetrisk i forhold til sin akse, bolden og kuglen er symmetrisk omkring enhver direkte passerer gennem deres centre osv.
Cube har tre akser af symmetri, der passerer gennem centrene af modstående ansigter og seks akser af symmetri, der passerer gennem midten af \u200b\u200bde modsatte ribber.
Tetrahedron har tre akser af symmetri, der passerer gennem midten modsatte ribber.
Octahedronen har tre akser af symmetri, der passerer gennem modsatte hjørner og seks akser af symmetri, der passerer gennem midten af \u200b\u200bde modsatte ribber.
Ikosahedron og Dodecahedr har en femten akser af symmetri, der passerer gennem midten modsatte kanter.
Ejendom 3. Hvis eneN. 1 , eN. 2 - Symmetriens akse Figur F, så ligeeN. 3, symmetrisk. eN. 1 med hensyn til eN. 2 også er symmetriens akse af denne figur.

Bevis svarende til bevis for ejendom 1.

Ejendom 4. Hvis to skærende vinkelrette lige linjer i rummet er akser af symmetri af denne figur F, vil den direkte, der passerer gennem skæringspunktet og vinkelret på disse direkte plan, også være symmetriens akse af F. Figur
Beviser. Overvej koordinatets akser x.O. y.O. z.. Symmetri i forhold til aksen o x. x., y., z.) til punktet af figuren F med koordinater ( x, -y, -z). Tilsvarende symmetri i forhold til aksen o y. Overfører punktet for figuren F med koordinater ( x., –y., –z.) til punktet for figuren F med koordinater (- x, -y, z) . Således overfører sammensætningen af \u200b\u200bdisse symmetrier punktet for figuren F med koordinater ( x, y, z) til punktet for figuren F med koordinater (- x, -y, z). Følgelig er aksen o z.det er symmetriens akse af F. Figur

Corollary. Enhver form i rummet kan ikke have et jævnt (ikke-nul) antal symmetriakser.
Faktisk fastgør nogle symmetriakse eN.. Hvis en b.- Symmetriakse, ikke krydser eN.eller krydser det ikke i rette vinkler, så for hende er der en anden symmetriakse b ', symmetrisk om eN.. Hvis symmetriaksen b.overfart eN.i rette vinkler, så for hende er der en anden symmetriakse b 'passerer gennem skæringspunktet og vinkelret på flyets plan eN.og b.. Følgelig, bortset fra symmetriaksen eN.det er muligt eller et jævnt eller uendeligt antal symmetriakser. Således er det samlede selv (ikke-nul) antal symmetriakser umuligt.
Ud over de ovenfor definerede akser er også overvejet akse symmetri n.bestille, n.2 .
Lige eN. hedder symmetriakse. n.bestille Figur f hvis, når du drejer figuren f rundt om lige eN. Ved hjørnet af figuren er F kombineret med sig selv.

Det er klart, at symmetriaksen af \u200b\u200bden 2. rækkefølge kun er symmetriaksen.
For eksempel i det rigtige n.Frosne pyramide direkte, passerer gennem bundens top og midten, er symmetriens akse n.-O-ordre.
Vi finder ud af, hvilke symmetriakser der har den rigtige polyhedra.
Kube har tre akser af symmetri af den fjerde rækkefølge, der passerer gennem centrene af modstående ansigter, fire akser af symmetri af den 3. rækkefølge, der passerer gennem modsatte hjørner og seks akser af symmetri af den 2. rækkefølge, der passerer gennem midmodstående ribber.
Tetrahedronen har tre akser af anden ordenssymmetri, der passerer gennem de midterste moder.
Ikosahedr har seks akser af symmetri af den femte rækkefølge, der passerer gennem modsatte hjørner; Ti akser af symmetri af den tredje rækkefølge, der passerer gennem centrene af modstående ansigter og femten akser af symmetri af den 2. rækkefølge, der passerer gennem midten modsatte kanter.
Dodecahedron har seks akser af den femte ordre symmetri, der passerer gennem centrene af modstående ansigter; Ti akser af symmetrien af \u200b\u200bden 3. rækkefølge, der passerer gennem modsatte hjørner og femten akser af symmetri af den 2. rækkefølge, der passerer gennem midten modsatte kanter.
Overvej konceptet mIRROR SYMMETRY..
Point A og A "i rummet kaldes symmetrisk i forhold til flyet , eller på en anden måde, mIRROR SYMMETRICHvis dette fly passerer gennem midten af \u200b\u200bsegmentet AA "og vinkelret på det. Hvert punkt af flyet betragtes som symmetrisk til sig selv.
Transformationen af \u200b\u200bdet rum, hvor hvert punkt A er sammenlignet med det symmetriske punkt A "(i forhold til dette plan), kaldet mIRROR SYMMETRY.. Flyet kaldes symmetrieplan.
To figurer kaldes mIRROR SYMMETRIC I forhold til flyet, hvis symmetri-transformationen i forhold til dette plan oversætter en af \u200b\u200bdem til en anden.
Figur F i rummet kaldes mIRROR SYMMETRICHvis det er spejl symmetrisk til mig selv.
For eksempel er den rektangulære parallelepiped spejl symmetrisk i forhold til planet, der passerer gennem symmetriaksen og parallelt et af parerne af modsatte ansigter. Cylinderen er spejlssymmetrisk omkring ethvert plan, der passerer gennem sin akse osv.
Blandt den korrekte polyhedra kube og oktaedron har ni symmetriplaner. Tetrahedron har seks symmetriplaner. Ikosahedron og Dodecahedr har femten planer af symmetri, der passerer gennem par af modsatte ribber.
Ejendom 5. Sammensætningen af \u200b\u200bto spejlsymmetrier i forhold til parallelle planer er en parallel overførsel til vektoren, vinkelret på disse planer og lig med den tvivlede afstand mellem disse planer.
Corollary. Paralleloverførsel kan repræsenteres som en sammensætning af to spejlsymmetrier.
Ejendom 6. Sammensætningen af \u200b\u200bto spejlsymmetrier i forhold til planerne, der skærer sig i en lige linje, er en drejning omkring denne lige til en vinkel svarende til et fordoblet Dounbon-hjørne mellem disse planer. Især er den aksiale symmetri en sammensætning af to spejlsymmetrier i forhold til vinkelrette planer.
Corollary. Drejningen kan repræsenteres som en sammensætning af to spejlsymmetrier.
Ejendom 7. Central symmetri kan repræsenteres som en sammensætning af tre spejl symmetrier.
Vi beviser denne ejendom ved hjælp af koordinatmetoden. Lad punkt A. rummet har koordinater ( x, y, z). Spejl symmetri i forhold til koordinatplanet ændrer tegn på den tilsvarende koordinat. For eksempel spejl symmetri i forhold til flyet o xy. oversætter punktet med koordinater ( x, y, z) til et punkt med koordinater ( x, y, -z). Sammensætningen af \u200b\u200btre spejlsymmetrier i forhold til koordinatplanerne oversætter punktet med koordinater ( x, y, z) til et punkt med koordinater (- x, -y, -z), som er et centralt symmetrisk udgangspunkt A.
Bevægelser, der oversætter figuren af \u200b\u200bFE selv danner en gruppe vedrørende sammensætningen. Det kaldes gruppesymmetri Figur F.
Vi vil finde rækkefølgen af \u200b\u200bgruppen af \u200b\u200bsymmetri Cuba.
Det er klart, at enhver bevægelse, der oversætter kuben, efterlader centrum af Cuba på plads, overfører centre af ansigterne i ansigterne i ansigterne, midten af \u200b\u200bribbenene i midten af \u200b\u200bribbenene og toppen i toppen.
Det er således tilstrækkeligt at bestemme, hvor midten af \u200b\u200bansigtet går, midten af \u200b\u200bkanterne af dette ansigt og toppen af \u200b\u200bribben går for at sætte kuben.
Overvej at opdele kube på Tetrahedra, hvor hver af dem er centrum for Cuba, centrum af ansigtet, midten af \u200b\u200bkanterne af dette ansigt og toppen af \u200b\u200bribben. Sådan tetrahedra 48. Da bevægelsen er helt bestemt af den, hvor tetrahedraet er oversat af denne tetrahedron, vil rækkefølgen af \u200b\u200bgruppen af \u200b\u200bsymmetri af kuben være lig med 48.
På samme måde er der ordrer af grupper af symmetrier af Tetrahedra, Octahedron, Ikosahedron og Dodecahedron.
Find en gruppe symmetrier af en enkelt cirkel s 1 . Denne gruppe er angivet med O (2). Det er en endeløs topologisk gruppe. Forestil dig en enkelt cirkel som en gruppe af integrerede tal i modulet af lige enheder. Der er en naturlig epimorphisme P: O (2) -\u003e S 1 sammenligning af elementet U af O (2) elementet U (1) i S 1 . Kernen i denne kortlægning er gruppe z 2 genereret af symmetrien af \u200b\u200ben enkelt cirkel i forhold til oxaksen. Derfor, o (2) / z 2s 1. . Desuden, hvis du ikke tager højde for gruppestrukturen, så homororfikken O (2) og Direct Work S 1 og z 2.
Tilsvarende en gruppe af symmetrier af den todimensionale sfære s 2 betegner O (3), og det foregår isomorfisme O (3) / O (2) S 2 .
En gruppe symmetrier af n-dimensionelle kugler spiller en vigtig rolle i moderne sektioner af topologien: teorien om manifolds, teori om stratificerede rum mv.
En af de mest levende manifestationer af symmetri i naturen er krystaller. Egenskaberne af krystaller bestemmes af de særegenheder af deres geometriske struktur, især det symmetriske arrangement af atomer i krystalgitteret. Eksterne former for krystaller er en konsekvens af deres interne symmetri.
De første, stadig vage antagelser, at atomer i krystaller er placeret korrekt, naturligt, symmetrisk, udtrykt i de forskellige naturalisters værker, allerede i disse dage, da selve begrebet et atom var uklart, og der var ingen eksperimentelle beviser for atomstrukturen af stoffet. Den symmetriske ydre form af krystallerne ufrivilligt bragt til tanken om, at den indre struktur af krystaller skal være symmetriske og naturlige. Symmetriens love af den ydre form af krystaller blev fuldt ud etableret midt i XIX århundrede, og i slutningen af \u200b\u200bdette århundrede var symmetri love tydeligt og præcist og præcist afsluttet, som er underordnet atombygninger i krystaller.
Grundlæggeren af \u200b\u200bden matematiske teori om krystallernes struktur er en fremragende russisk matematiker og krystallograf - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Matematik, kemi, geologi, mineralogi, petrografi, minedrift - E.Fedorov gjorde et betydeligt bidrag til hvert af disse områder. I 1890 bragte det strengt matematisk alle mulige geometriske love om at kombinere symmetrielementer i krystalstrukturer, med andre ord symmetrien af \u200b\u200bpartiklernes placering inde i krystallerne. Det viste sig, at antallet af sådanne love er begrænset. Fedorov viste, at der er 230 rumlige symmetriegrupper, som efterfølgende til ære for forskeren blev navngivet Fedorovsk. Det var et giganarbejde taget 10 år før åbningen af \u200b\u200brøntgenstråler, 2 år før eksistensen af \u200b\u200bCrystal Gitteret blev bevist med deres hjælp. Eksistensen af \u200b\u200b230 fedorov-grupper er en af \u200b\u200bde vigtigste geometriske love af moderne strukturelle krystallografi. "Giant Scientific Feat Es Fedorov, der formåede at bringe alt det naturlige" kaos "af utallige krystalformationer under en enkelt geometrisk ordning, og nu rejser beundring. Denne opdagelse er beslægtet med åbningen af \u200b\u200bden periodiske tabel Di Mendeleev." Kongeriget Krystaller "er et usædvanligt monument og den ultimative top af den klassiske Fedorovsky krystallografi," sagde Academician A.V. Shubbits.

Litteratur
1. Adamar J. Elementary Geometri. Del II. Stereometri. - 3rd ed. - m.: Scispgiz, 1958.
2. Vil symmetri. - m.: Videnskab, 1968.
3. Wigner E. Etudes om symmetri. - m.: MIR, 1971.
4. Gardner M. Denne højre, venstre verden. - m.: MIR, 1967.
5. Guild V. Mirror World. - m.: MIR, 1982.
6. Conseleet A.S. Symmetri i mikro og makromir. - m.: Videnskab, 1978.
7. Paramonova I.M. Symmetri i matematik. - m.: McNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Løbet af elementær geometri. Del II. Geometri i rummet. - M.-l.: State Ed. Teknisk og teoretisk. Litteratur, 1949.
9. Sonin A.S. Forståelse af ekspertise (symmetri, asymmetri, dissimmetri, antisymmetri). - m.: Viden, 1987.
10. Tarasov l.v. Denne utrolig symmetriske verden. - m.: Oplysning, 1982.
11. Symmetri mønstre. - m.: MIR, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Symmetri i naturen. - 2nd ed. - l.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Kjeksik V.A. Symmetri i videnskab og kunst. - m.: Videnskab, 1972.