Løsning af logaritmiske uligheder med intervaller ved hjælp af eksempler. Komplekse logaritmiske uligheder

Overholdelse af dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og gemmer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og informer os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Under personlige oplysninger er underlagt data, der kan bruges til at identificere en bestemt person eller kommunikere med den.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du opretter forbindelse til os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer personlige oplysninger, som vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger vi indsamler:

Når du forlader et program på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mail-adresse osv.

Som vi bruger dine personlige oplysninger:

Vi indsamlede personlige oplysninger giver os mulighed for at kontakte dig og rapportere om unikke forslag, kampagner og andre arrangementer og nærmeste begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og meddelelser.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom revision, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre tjenesternes tjenester og give dig anbefalinger til vores tjenester.
Hvis du deltager i præmierne, konkurrencen eller lignende stimulerende begivenhed, kan vi bruge de oplysninger, du giver til at administrere sådanne programmer.

Information Oplysninger til tredjepart

Vi afslører ikke de oplysninger, der er modtaget fra dig til tredjepart.

Undtagelser:

Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, domstolsproceduren, i retssagen og / eller på grundlag af offentlige forespørgsler eller anmodninger fra statslige organer på Den Russiske Føderations område - at afsløre dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi definerer, at en sådan oplysning er nødvendig eller hensigtsmæssig med henblik på sikkerhed, opretholdelse af lov og orden eller andre socialt vigtige tilfælde.
I tilfælde af omorganisering, fusioner eller salg kan vi formidle de personlige oplysninger, vi indsamler de tilsvarende til tredjeparten - en efterfølger.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi foretager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og samvittighedsfuldt brug såvel som fra uautoriseret adgang, oplysning, ændringer og ødelæggelse.

Overholdelse af dit privatliv på virksomhedens niveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, bringer vi normen for fortrolighed og sikkerhed til vores medarbejdere og følger strengt gennemførelsen af \u200b\u200bfortrolighedsforanstaltninger.

Blandt de forskellige logaritmiske uligheder er særskilt undersøgt uligheder med variabel base. De løses af en særlig formel, som af en eller anden grund sjældent talte til skole:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

I stedet for DAW "∨", kan du sætte tegn på ulighed: mere eller mindre. Det vigtigste er, at i begge uligheder var tegnene de samme.

Så vi slippe af med logaritmer og reducere opgaven med rationel ulighed. Sidstnævnte er besluttet meget lettere, men når man kasserer logaritmer, kan der opstå ekstra rødder. For at afskære, er det nok at finde området med tilladte værdier. Hvis du glemmer OTZ-logaritmen, anbefaler jeg stærkt at gentage - se "Hvad er logaritme".

Alt, der er forbundet med området for tilladte værdier, skal skrives særskilt:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; K (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

Disse fire uligheder udgør systemet og skal udføres samtidigt. Når området med tilladte værdier blev fundet, forbliver det at krydse det med løsningen af \u200b\u200brationel ulighed - og svaret er klar.

En opgave. Løs ulighed:

Til at begynde med, drik otz logaritme:

De første to uligheder udføres automatisk, og sidstnævnte skal males. Da torvet af nummeret er nul, hvis og kun hvis nummeret selv er nul, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det viser sig, at ulige logaritme er alle tal, undtagen ridse: x ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). Nu løser vi den vigtigste ulighed:

Vi udfører overgangen fra logaritmisk ulighed til rationel. I den oprindelige ulighed er der et "mindre" tegn, det betyder, at den opnåede ulighed også skal være med "mindre" tegn. Vi har:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

Zeros af dette udtryk: x \u003d 3; x \u003d -3; X \u003d 0. Desuden er X \u003d 0 roden af \u200b\u200bden anden multiplicitet, det betyder, at funktionen ikke ændrer sig gennem den, når den skifter gennem den. Vi har:

Vi får x ∈ (-∞ -3) ∪ (3; + ∞). Dette sæt er fuldt indeholdt i OTZ-logaritmen, så dette er svaret.

Transformation af logaritmiske uligheder

Ofte adskiller indledende ulighed fra ovenstående. Det er nemt at rette i overensstemmelse med standardreglerne med logaritmer - se "Logaritmers hovedegenskaber". Nemlig:

Ethvert tal er ideaby som en logaritme med en given base;
Summen og forskellen mellem logaritmer med de samme baser kan erstattes med en logaritme.

Separat vil jeg minde om området med tilladte værdier. Da der kan være flere logaritmer i den oprindelige ulighed, er det nødvendigt at finde OTZ hver af dem. Således er den overordnede ordning for løsning af logaritmiske uligheder som følger:

Find otz af hver logaritme inkluderet i ulighed;
Reducere uligheden til standardformlerne og subtrahere logaritmer;
Løs den resulterende ulighed i henhold til skemaet ovenfor.

En opgave. Løs ulighed:

Vi finder definitionområdet (OTZ) af den første logaritme:

Vi løser intervallmetoden. Vi finder nuller af tælleren:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

Derefter - Zeros af nævneren:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

Vi fejrer nuller og tegn på koordinatpile:

Vi får x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Den anden logaritme af OTZ vil være den samme. Tror ikke - du kan tjekke. Nu omdanner vi den anden logaritme, så en to gange står ved basen:

Som du kan se, faldt de tre øverste og foran logaritmen. Modtaget to logaritme med samme base. Vi folder dem:

log 2 (x - 1) 2< 2;
Log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Modtaget standard logaritmisk ulighed. Slippe af med logaritmer med formlen. Da der i den oprindelige ulighed er et "mindre" tegn, bør det resulterende rationelle udtryk også være mindre end nul. Vi har:

(F (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2X + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

To sæt modtaget:

OTZ: X ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
Kandidat: x ∈ (-1; 3).

Det er fortsat at krydse disse sæt - vi får et rigtigt svar:

Vi er interesserede i krydset mellem sæt, så vi vælger de intervaller, der er malet på begge pile. Vi opnår x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - alle punkter i befolkningen.

Ujævneligheden kaldes logaritmisk, hvis den indeholder en logaritmisk funktion.

Metoder til løsning af logaritmiske uligheder adskiller sig ikke fra, med undtagelse af to ting.

For det første, når man flytter fra logaritmisk ulighed til uligheden af \u200b\u200bfrygtelige funktioner, bør følg det velkendte ulighed tegn. Han adlyder den følgende regel.

Hvis bunden af \u200b\u200bden logaritmiske funktion er større end $ 1 $, så ved at flytte fra logaritmisk ulighed til uligheden af \u200b\u200bfrygtelige funktioner opretholdes tegn på ulighed, og hvis mindre end $ 1 $, ændres det modsat.

For det andet er løsningen af \u200b\u200buligheder intervallet, og det betyder, at det i slutningen af \u200b\u200bafgørelsen af \u200b\u200buligheden af \u200b\u200bfrygtelige funktioner er nødvendigt at lave et system med to uligheder: Den første ulighed af dette system vil være ulighed frygtelige funktioner, og det andet område af regionen med bestemmelse af de logaritmiske funktioner, der er inkluderet i den logaritmiske ulighed.