Ved løsning af algebraiske ligninger skal det ofte nedbrydes en polynom til multiplikatorer. Decisid en polynom til multiplikatorer - det betyder at præsentere det i form af et arbejde med to eller flere polynomier. Nogle metoder til nedbrydning af polynomier, vi anvender ganske ofte: Gør en fælles faktor, anvendelsen af \u200b\u200bformler af forkortet multiplikation, tildeling af en fuld plads, gruppering. Overvej nogle flere metoder.

Nogle gange, når de nedbrydes en polynom til multiplikatorer, er følgende udsagn nyttige:

1) Hvis en polynom, med heltalskoefficienter, har en rationel rod (hvor er en ubemærket fraktion, så en fri-medlemsmodel og en forhandler af den øverste koefficient:

2) Hvis på en eller anden måde at vælge roden af \u200b\u200bet polynom af graden, kan polynomialet være repræsenteret i form af en polynomialt

Polynomien kan findes enten ved at dividere polynomet til bicked af "søjlen" eller den tilsvarende gruppering af komponenterne i polynom og frigivelsen af \u200b\u200bmultiplikatoren eller ved fremgangsmåden af \u200b\u200bubestemt koefficienter.

Eksempel. DECOMPOSE POLYNOMIALS.

Afgørelse. Da koefficienten ved X4 er 1, eksisterer de rationelle rødder af denne polynom, divisorer af tallet 6, dvs. kan være heltal ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Betegner ved dette polynom gennem P4 (X). Da P P4 (1) \u003d 4 og P4 (-4) \u003d 23, er tallene 1 og -1 ikke rødderne af RA-polynomet (X). Eftersom P4 (2) \u003d 0, X \u003d 2 er roden af \u200b\u200bpolynomet P4 (X), og det betyder, at dette polynom er opdelt i Bouncer X - 2. Derfor X4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Følgelig, P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - зх2 + x - 3). Siden xz - зх2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), derefter x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).

Metode til administration af parameteren

Nogle gange hjælper metoden til indførelse af en parameter til under nedbrydning af en polynomisk til multiplikatorer. Essensen af \u200b\u200bdenne metode forklares i det følgende eksempel.

Eksempel. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Afgørelse. Overvej et polynom med en parameter A: X3 - (A + 1) X2 + A2, som når A \u003d √3 bliver til en given polynom. Vi skriver dette polynom som en firkantet tripleee i forhold til A: AG - AH2 + (X3 - X2).

Da rødderne på denne plads er relativt trigget, er der A1 \u003d X og A2 \u003d X2 - X, derefter ligestilling A2 - AH2 + (XS - X2) \u003d (A - X) (A - X2 + X) er gyldig. Følgelig dekomponerer polynomet X3 - (√3 + 1) x2 + 3 på faktoren af \u200b\u200b√3 - x og √3 - x2 + x, dvs.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - √3) (x2-x-√3).

Introduktionsmetoden for en ny ukendt

I nogle tilfælde kan ved at erstatte ekspressionen F (x), som er inkluderet i polynomial Rp (X), gennem Y, opnås ved en polynomialt i forhold til Y, som allerede er let at nedbryde på multiplikatorer. Derefter får vi efter udskiftning af det i f (x) en nedbrydning af polynomer af polynomial RP (X).

Eksempel. Dispatch polynomier x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15.

Afgørelse. Vi omdanner dette polynom som følger: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Betegner x2 + 3x gennem y. Derefter har vi (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d Y2 + 2AU + 1 - 16 \u003d (Y + 1) 2 - 16 \u003d (Y + 1 + 4) (Y + 1-4) \u003d ( i + 5) (y - 3).

Derfor x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Eksempel. Dekomponere på polynomiske multiplikatorer (X-4) 4+ (x + 2) 4

Afgørelse. Betegner ved x- 4 + x + 2 \u003d x - 1 gennem y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (Y - 3) 4 + (Y + 3) 4 \u003d Y4-2U-2U3 + 54U3-108U + 81 + U4 + 12U3 + 54U2 + 108U + 81 \u003d

2U4 + 108U2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √B48) (U2 + 27 + √B48) \u003d

2 (((x - 1) 2 + 27-√B48) ((x - 1) 2 + 27 + √B48) \u003d 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2).

Kombinere forskellige metoder

Ofte, under nedbrydning af et polynom til multiplikatorer, er det nødvendigt at påføre sekventielt flere af de ovenfor beskrevne fremgangsmåder.

Eksempel. Dispatch polynomials x4 - 3x2 + 4x-3.

Afgørelse. Ved anvendelse af en gruppering skal du omskrive et polynom i form X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Påføring af den første beslag, metoden til isolation af en komplet firkant, har vi X4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Ved hjælp af formlen på en komplet firkant kan du nu skrive ned, at X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Endelig opnåelse af formlen for forskellen mellem firkanter, opnår vi, at X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -X + 1).

§ 2. Symmetriske ligninger

1. Symmetriske ligninger af tredje grad

Ligningerne af formular AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0 og ≠ 0 (1) kaldes symmetriske ligninger af tredje grad. Siden AH3 + BX2 + BX + A \u003d A (X3 + 1) + BX (X + 1) \u003d (x + 1) (AH2 + (B - A) X + A), svarer ligning (1) til Totalitet af ligninger X + 1 \u003d 0 og AH2 + (B - A) X + A \u003d 0, hvilket ikke er svært at bestemme.

Eksempel 1. Løs ligning

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Afgørelse. Ligning (2) er en symmetrisk ligning i tredje grad.

Da 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - ZH + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , Ligningen (2) svarer til totaliteten af \u200b\u200bligningerne X + 1 \u003d 0 og 3x3 + X + 3 \u003d 0.

Løsningen af \u200b\u200bden første af disse ligninger er X \u003d -1, den anden ligning af opløsninger har ikke.

Svar: x \u003d -1.

2. Symmetriske ligninger i fjerde grad

Se ligning

(3) kaldes fjerde grad symmetrisk ligning.

Da X \u003d 0 ikke er roden af \u200b\u200bligning (3), derefter opdeler begge dele af ligning (3) til X2, opnår vi ligning svarende til originalen (3):

Vi omskriver ligning (4) i formularen:

I denne ligning vil vi erstatte, så får vi en firkantet ligning

Hvis ligning (5) har 2 U1- og U2-rødder, svarer den oprindelige ligning til totaliteten af \u200b\u200bligninger

Hvis ligning (5) har en U0-rod, svarer den oprindelige ligning til ligning

Endelig, hvis ligning (5) ikke har nogen rødder, har den oprindelige ligning også ikke rødder.

Eksempel 2. Løs ligning

Afgørelse. Denne ligning er den symmetriske ligning i fjerde grad. Da X \u003d 0 ikke er sin rod, skal vi dividere ligningen (6) til X2, vi får den tilsvarende ligning til den:

Grupperede vilkårene, omskrivning af ligning (7) i formularen eller i formularen

Post, vi får ligningen med to rødder U1 \u003d 2 og U2 \u003d 3. Følgelig svarer den oprindelige ligning til totaliteten af \u200b\u200bligninger

Løsningen af \u200b\u200bden første ligning af denne totalitet er X1 \u003d 1, og der er en afgørelse af den anden og.

Følgelig har den indledende ligning tre rødder: X1, X2 og X3.

Svar: x1 \u003d 1.

§3. Algebraiske ligninger.

1. Sænk graden af \u200b\u200bligning

Nogle algebraiske ligninger ved at erstatte nogle polynomier i dem kan reduceres til algebraiske ligninger, hvis grad er mindre end graden af \u200b\u200bkildeekvationen og den, hvis opløsning er lettere.

Eksempel 1. Løs ligning

Afgørelse. Betegner, så ligningen (1) kan omskrive i form af den sidste ligning har en rod, og derfor svarer ligningen (1) til totaliteten af \u200b\u200bligninger og. Løsningen af \u200b\u200bden første ligning af denne totalitet er og opløsninger af den anden ligning er

Løsninger ligning (1) er

Eksempel 2. Løs ligning

Afgørelse. Multiplicere begge dele af ligningen for 12 og betegne gennem

Vi får ligningen til at omskrive denne ligning i formularen

(3) og betegnet ved omskrivning af ligning (3), da den sidste ligning har en rod, og derfor får vi den, at ligning (3) svarer til kombinationen af \u200b\u200bto ligninger og løser dette sæt ligninger, og det vil sige ligning (2) svarer til totaliteten af \u200b\u200bligninger og (2) fire)

Løsningerne af aggregatet (4) er, og de er opløsninger af ligning (2).

2. Se ligninger

Ligningen

(5) Hvor -Denny-tal kan reduceres til en BIC-toldlig ligning ved hjælp af en udskiftning af et ukendt, dvs. udskiftning

Eksempel 3. Løs ligning

Afgørelse. Betegner ved, t. e. Vi erstatter variablerne eller derefter ligningen (6) kan omskrives i formularen eller påføring af formlen, som

Da rødderne af den firkantede ligning er løsningerne af ligning (7), er der løsninger til kombinationen af \u200b\u200bligninger og. Denne helhed af ligninger har to løsninger, og derfor er løsningerne af ligning (6) og

3. Se ligninger

Ligningen

(8) hvor tallene α, β, γ, δ og a er sådan, at a

Eksempel 4. Løs ligning

Afgørelse. Vi vil gøre en udskiftning af ukendt t. E. Y \u003d X + 3 eller X \u003d Y - 3. Derefter kan ligning (9) omskrives som

(Y-2) (Y-1) (Y + 1) (Y + 2) \u003d 10, dvs. i form

(Y2- 4) (Y2-1) \u003d 10 (10)

Biquette ligning (10) har to rødder. Følgelig har ligningen (9) også to rødder:

4. Se ligninger.

Ligning, (11)

Hvor, ikke har rodet x \u003d 0, derfor adskiller ligningen (11) til X2, får vi den tilsvarende ligning

Som efter at have erstattet det ukendte omskrivning i form af en firkantet ligning, hvis opløsning ikke repræsenterer vanskeligheder.

Eksempel 5. Løs ligning

Afgørelse. Da H \u003d 0 ikke er roden til ligning (12), så adskilles det til X2, får vi tilsvarende svarende til det

Gør en erstatning ukendt, vi opnår ligning (Y + 1) (Y + 2) \u003d 2, som har to rødder: Y1 \u003d 0 og Y1 \u003d -3. Følgelig svarer den oprindelige ligning (12) til totaliteten af \u200b\u200bligninger

Denne kombination har to rødder: X1 \u003d -1 og X2 \u003d -2.

Svar: x1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Kommentar. Ligning af type

I hvilken, kan du altid føre til sind (11) og desuden tæller α\u003e 0 og λ\u003e 0 til formularen.

5. Se ligninger

Ligningen

, (13), hvor tal, α, β, γ, δ, og a er sådan, at αβ \u003d γΔ ≠ 0 kan omskrives, bevæger den første beslag med det andet og den tredje med den fjerde i form af det, dvs. ligning (13) nu er det skrevet i formularen (11), og dets beslutning kan udføres på samme måde som løsningen af \u200b\u200bligning (11).

Eksempel 6. Løs ligning

Afgørelse. Ligning (14) har formularen (13), så vi omskriver det som

Da X \u003d 0 ikke er en løsning på denne ligning, så adskiller vi det med begge dele på X2, svarende til den oprindelige ligning. Gør udskiftning af variabler, får vi en firkantet ligning, hvis opløsning er og. Følgelig svarer den indledende ligning (14) til totaliteten af \u200b\u200bligninger og.

Løsningen af \u200b\u200bden første ligning af denne totalitet er

Den anden ligning af dette sæt løsninger har ikke. Så den oprindelige ligning har rødder X1 og X2.

6. Se ligninger

Ligningen

(15) Hvor tallene A, B, C, Q, A er sådan, ikke har en rod X \u003d 0, derfor adskiller ligningen (15) til X2. Vi opnår den tilsvarende ligning, som efter at have erstattet det ukendte omskrivning i form af en firkantet ligning, hvis opløsning ikke repræsenterer vanskeligheder.

Eksempel 7. Løsning af ligningen

Afgørelse. Da X \u003d 0 ikke er roden af \u200b\u200bligning (16), så adskiller vi begge dele af den på X2, at en ligning

, (17) ækvivalent ligning (16). Gør en erstatning ukendt, ligning (17) for at omskrive i formularen

Den firkantede ligning (18) har 2 rødder: U1 \u003d 1 og Y2 \u003d -1. Derfor svarer ligningen (17) til totaliteten af \u200b\u200bligninger og (19)

Kombinationen af \u200b\u200bligninger (19) har 4 rødder: ,.

De vil være rødderne af ligning (16).

§Før. Rationelle ligninger.

Ligninger af form \u003d 0, hvor n (x) og q (x) er polynomier, kaldet rationel.

Find rødderne af ligningen H (x) \u003d 0, så skal du kontrollere, hvilken af \u200b\u200bdem ikke er rødderne af ligningen Q (x) \u003d 0. Disse rødder og kun de vil løse ligningen.

Overvej nogle metoder til løsning af ligningen af \u200b\u200bformularen \u003d 0.

1. Se ligninger

Ligningen

(1) Under visse forhold kan tallene løses som følger. Gruppering af ligningsmedlemmer (1) To og opsummering hvert par, det er nødvendigt at opnå polynomier af den første eller nulgrad i det numeriske nummer, adskiller sig kun i numeriske faktorer og i nævner - tre meter med de samme to udtryk indeholdende x , så efter udskiftning af variabler vil ligningen enten også have formularen (1), men med et mindre antal vilkår, eller det svarer til kombinationen af \u200b\u200bto ligninger, hvoraf den ene vil være den første grad og For det andet vil være ligningen af \u200b\u200bformularen (1), men med et mindre antal vilkår.

Eksempel. Løse ligning

Afgørelse. Grumping i den venstre del af ligning (2) det første medlem med sidstnævnte, og det andet med den næstsidste, omskrivning af ligning (2) i form af

Summering i hver beslagt vilkår, omskrivning af ligning (3) som

Da der ikke er nogen lighedsligning (4), skal vi dividere denne ligning på, vi får ligningen

, (5) ækvivalent ligning (4). Vi erstatter det ukendte, så ligning (5) vil omskrive i form af

Således reduceres opløsningen af \u200b\u200bligning (2) med fem udtryk i venstre del til opløsningen af \u200b\u200bligning (6) af samme art, men med tre udtryk i venstre side. Opsummering af alle medlemmer i den venstre del af ligningen (6) omskriver det i form af

Løsningerne af ligningen er også. Ingen af \u200b\u200bdisse tal trækker til nulnominatoren for den rationelle funktion i den venstre del af ligning (7). Følgelig har ligning (7) disse to rødder, og derfor svarer den oprindelige ligning (2) til totaliteten af \u200b\u200bligninger

Løsninger af den første ligning af denne totalitet

Løsninger af den anden ligning fra denne totalitet der er

Så den oprindelige ligning har rødder

2. Se ligninger

Ligningen

(8) Under visse forhold kan tallene løses som dette: Det er nødvendigt at allokere hele delen i hver af fraktionerne af ligningen, dvs. erstatte ligning (8) ved ligningen

At reducere det til formularen (1) og derefter løse det på den måde, der er beskrevet i det foregående afsnit.

Eksempel. Løse ligning

Afgørelse. Vi skriver ligning (9) som eller som

Opsummering af komponenterne i parentes, omskrivning af ligning (10) som

Gør udskiftning af den ukendte, omskrivning af ligning (11) som

Opsummering af medlemmerne i den venstre del af ligningen (12), omskrive det som

Det er nemt at se, at ligning (13) har to rødder: og. Følgelig har den indledende ligning (9) fire rødder:

3) Ligninger af arten.

Ligningen af \u200b\u200bformularen (14) under visse betingelser i tal kan løses som denne: Nedbrydning (hvis det selvfølgelig er muligt) hver af fraktionerne i den venstre del af ligning (14) i suma af enkleste fraktioner.

For at reducere ligning (14) til dannelse (1), derefter udfører praktisk omlejring af medlemmerne af den opnåede ligning for at løse det ved fremgangsmåden beskrevet i afsnit 1).

Eksempel. Løse ligning

Afgørelse. Siden og derefter multiplicere tælleren for hver fraktion i ligning (15) med 2 og bemærke, at ligning (15) kan skrives som

Ligning (16) har formularen (7). Opdatering af komponenterne i denne ligning, omskriv det i formularen eller i formularen

Ligning (17) svarer til totaliteten af \u200b\u200bligninger og

For at løse den anden ligning af sættet (18) erstatter vi det ukendte, så det vil omskrive i formularen eller i formularen

Sammenfatning Alle medlemmerne i den venstre del af ligningen (19) omskriver det i form af

Da ligningen ikke har rødder, har ligningen (20) heller ikke.

Den første ligning af aggregatet (18) har den eneste rod, da denne rod er inkluderet i OTZ af den anden ligning af sættet (18), så er det den eneste rod af aggregatet (18) og derfor den indledende ligning .

4. Se ligninger.

Ligningen

(21) Under visse forhold i antal og A, efter præsentationen af \u200b\u200bhvert udtryk i venstre side kan det reduceres til formularen (1).

Eksempel. Løse ligning

Afgørelse. Omskrivning af ligning (22) som eller som

Således reduceres ligning (23) til formularen (1). Nu gruppering af første medlem med det sidste, og den anden med den tredje, omskrive ligningen (23) i form af

Denne ligning svarer til totaliteten af \u200b\u200bligninger og. (24)

Den sidste ligning af totaliteten (24) kan omskrives som

Løsningerne af denne ligning er, og da den er inkluderet i OTZ'en af \u200b\u200bden anden ligning af sættet (30), har aggregatet (24) tre rødder:. Alle er løsninger af den oprindelige ligning.

5. Ligninger af arten.

Ligning af formularen (25)

Under visse forhold kan tallene på det ukendte reduceres til ligning af typen

Eksempel. Løse ligning

Afgørelse. Da det ikke er en opløsning af ligning (26), skal du dividere tælleren og nævneren af \u200b\u200bhver fraktion på venstre side på, omskrive den som

Gør udskiftning af variabler ved at dreje ligningen (27) som

Løsning af ligning (28) er også. Derfor svarer ligning (27) sig til totaliteten af \u200b\u200bligninger og. (29)

Brugen af \u200b\u200bligninger er udbredt i vores liv. De bruges i mange beregninger, opførelse af strukturer og endda sportsgrene. Personens ligninger anvendt i antikken og siden da er deres anvendelse kun stigende. I matematik er ligningerne af højere grader med hele koefficienter ret almindelige. For at løse denne form for ligning er det nødvendigt:

Bestemme ligningens rationelle rødder;

Dekomponere på polynomiske multiplikatorer, som er placeret på venstre side af ligningen;

Find rødderne af ligningen.

Antag, at vi får ligningen af \u200b\u200bfølgende formular:

Vi finder alle de faktiske rødder. Multiplicer de venstre og højre dele af ligningen på \\

Udfør udskiftning af variabler \\

Således opnåede vi en given ligning af fjerde grad, som er løst i overensstemmelse med standardalgoritmen: Vi kontrollerer dividere, vi udfører division og som følge heraf finder vi ud af, at ligningen har to gyldige rødder \\ og to kompleks. Vi får det næste svar af vores ligning for fjerde grad:

Hvor kan jeg løse ligningen af \u200b\u200bde højeste grader af online-solveren?

Du kan løse ligningen på vores hjemmeside https: // site. En gratis online-solver løser online-ligningen af \u200b\u200benhver kompleksitet i sekunder. Alt du skal gøre er at indtaste dine data i solveren. Du kan også se videoinstruktionen og lære at løse ligningen på vores hjemmeside. Og hvis du har spørgsmål, kan du spørge dem i vores VKontakte Group http://vk.com/pocketteacher. Deltag i vores gruppe, vi er altid glade for at hjælpe dig.

For at nyde forhåndsvisning af præsentationer, skal du oprette dig selv en konto (konto) Google og logge ind på det: https://accounts.google.com

Signaturer for dias:

Ligninger af højere grader (rødder af polynom fra en variabel).

P lan foredrag. № 1. Ligninger af de højeste grader i skoleforløbet af matematik. № 2. Standard type polynom. № 3. rødderne af polynomet. Gorner ordning. № 4. Fraktionelle rødder af polynomet. № 5. Ligninger af formularen: (x + a) (x + c) (x + c) ... \u003d en nummer 6. Return-ligninger. Nr. 7. Ensartede ligninger. Nr. 8. Metode til usikre koefficienter. Nr. 9. Funktionelt - Grafisk metode. Nr. 10. Vieta formler til højere graders ligninger. Nr. 11. Ikke-standardmetoder til løsning af ligningerne af højere grader.

Ligninger af de højeste grader i skoleforløbet af matematik. 7. klasse. Standard type polynom. Handlinger med polynomier. Nedbrydning af polynomier på multiplikatorer. I den sædvanlige klasse på 42 timer i specialklassen 56 timer. 8 Special klasse. Hele rødder af polynomet, fordelingen af \u200b\u200bpolynomier, returneringsligninger, forskellen og mængden af \u200b\u200bpumper af de to-mero's beføjelser, metoden for usikre koefficienter. Yu.n. MakarycheV "Yderligere kapitler til skolekurset 8 klasse algebras", m.l.galitsky samling af opgaver på algebra 8 - 9. klasse. " 9 Special klasse. Rationelle rødder af polynom. Generaliserede returligninger. Vieta formler til ligninger af højere grader. N.ya. VILENKIN "ALGEBRA GRADE 9 med dybtgående undersøgelse. 11 Special klasse. Polynomernes identitet. Polynomialt fra flere variabler. Funktionelt - en grafisk metode til at løse ligningerne af højere grader.

Standard type polynom. Polynom P (x) \u003d A ⁿ x ⁿ + og p-1 x p-1 + ... + A2H ² + A1H + A₀. Kaldet et polynom af en standard art. A P x ⁿ er et ledende medlem af polynomet en P-koefficient med et højtstående medlem af polynomet. Ved en p \u003d 1 p (x) kaldes ovennævnte polynom. A ₀ - et frit medlem af polynomet P (X). P - grad af polynomialt.

Hele rødder er polynomiale. Gorner ordning. Teorem nr. 1. Hvis et helt tal A er roden af \u200b\u200bpolynomet P (X), er A en fri medlemsdivider P (X). Eksempel nr. 1. Beslutte ligning. X⁴ + 2x³ \u003d 11xx - 4x - 4 Vi præsenterer ligningen til standardformularen. X⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0. Vi har en polynom P (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 frie medlemmer DELISTERS: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 rod ligning fordi P (1) \u003d 0, x \u003d 2 rod ligning fordi P (2) \u003d 0 sætning af mouture. Resten fra opdelingen af \u200b\u200bpolynomet p (x) på biccoon (X-A) er lig med P (A). Corollary. Hvis A er roden af \u200b\u200bpolynomet P (X), er P (X) opdelt i (X-A). I vores ligning p (x) er den opdelt i (x - 1) og på (x - 2) og derfor (x - 1) (x - 2). Når du deler P (x) på (x ² - 3x + 2), viser det sig at klemme x ² + 5x + 2 \u003d 0, som har rødder x \u003d (- 5 ± √17) / 2

Fraktionerede rødder af polynomialt. Teorem nummer 2. Hvis P / G er roden af \u200b\u200bpolynomialen P (X), er P en fri medlemsdeler, G er koefficientdeleren af \u200b\u200bledelseskoefficienten P (X). Eksempel nr. 2. Bestem ligningen. 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Fritid Divisors: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Ingen af \u200b\u200bdisse tal opfylder ligningen. Der er ingen rødder. Naturlige divisorer af ledelseskoefficienten P (X): 1, 2, 3, 6. Mulige fraktionelle rødder af ligningen: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Kontrollen er overbevist om, at P (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 rod af ligningen. Ifølge Horner-ordningen deler vi P (X) på (x - 4/3).

Eksempler på selvbeslutninger. Bestem ligninger: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x ² -3x + 1 \u003d 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, x⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x ² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 2 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4х³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Svar: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -en; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; en.

Ligninger af formularen (x + a) (x + c) (x + c) (x + d) ... \u003d A. Eksempel nr. 3. Bestem ligning (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. A \u003d 1, B \u003d 2, C \u003d 3, D \u003d 4 A + D \u003d B + C. Jeg drejer den første beslag med den fjerde og anden med den tredje. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. Lad x ² + 5x + 4 \u003d y , derefter (Y + 2) \u003d 24, U² + 2Y - 24 \u003d 0 Y1 \u003d - 6, U2 \u003d 4. X ² + 5x + 4 \u003d -6 eller X ² + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, d

Eksempler på selvbeslutninger. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3 ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x -4) ( X - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, indikation: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Svar: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -en; -4 ± √3.

Returneringsligninger. Definition nummer 1. Ligningen af \u200b\u200bformularen: AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0 kaldes den fjerde grad returneringsligning. Definition nummer 2. Ligningen af \u200b\u200bformularen: AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0 kaldes en generaliseret returneret ligning for fjerde grad. K² A: A \u003d C²; SQ: B \u003d k. Eksempel nr. 6. Bestem ligningen X ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. Vi deler begge dele af ligningen på X ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Lad x + 1 / x \u003d y. Vi bygger begge dele af ligestilling på pladsen. X ² + 2 + 1 / X ² \u003d U², X ² + 1 / X ² \u003d U² - 2. Vi opnår firkantet ligning U² - 7U + 12 \u003d 0, U1 \u003d 3, Y \u003d 4. X + 1 / X \u003d 3 eller x + 1 / x \u003d 4. Vi opnår to ligninger: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Eksempel nr. 7. 3x⁴ - 2x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. Tilstanden af \u200b\u200bden generelle returligning udføres til \u003d -5. Den løses analogt til eksempel nr. 6. Vi deler begge dele af ligningen på X ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Lad x - 5 / x \u003d y, Vi bygger begge dele af ligestilling i Square X ² - 10 + 25 / X ² \u003d U², X ² + 25 / X ² \u003d UQ² + 10. Vi har en firkantet ligning 3OW ² - 2AU - 1 \u003d 0, U1 \u003d 1, U2 \u003d - 1/3. x - 5 / x \u003d 1 eller x - 5 / x \u003d -1/3. Vi får to ligninger: x ² - x - 5 \u003d 0 og 3x² + x - 15 \u003d 0

Eksempler på selvbeslutninger. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3. x ⁴ - x ³ - 10xqm + 2x + 4 \u003d 0, 4. 6x⁴ + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Svar: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Ensartede ligninger. Definition. Ligningen af \u200b\u200bformularen A₀ U3 + A1 U2 V + A2 UV2 + A3 V3 \u003d 0 kaldes en homogen ligning af den tredje grad i forhold til U v. Definition. Ligningen af \u200b\u200bformularen A₀ U⁴ + A1 U3V + A2 U2V2 + A3 UV3 + A4 v⁴ \u003d 0 kaldes en homogen ligning af den fjerde grad i forhold til U v. Eksempel nr. 8. Bestem ligning (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 ensartet ligning af tredje grad i forhold til U \u003d x ² + 1, v \u003d x ². Vi deler begge dele af ligningen på x ⁶. Tidligere kontrolleret, at x \u003d 0 ikke er roden af \u200b\u200bligningen. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 rod ligning. Vi deler polynomialen P (X) \u003d U3 + 2AU - 3 på Y - 1 ifølge bjergsystemet. I private får vi trehile, som ikke har rødder. Svar: 1.

Eksempler på selvbeslutninger. 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (x² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x² + 1) ² \u003d 0, 2. (x + 5) ⁴ - 13xqm (x + 5) ² + 36x⁴ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1), 4. 2 (x -1) ⁴ - 5 (x² - 3x + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x ² \u003d 0, svar: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Ingen rødder.

Metode til usikre koefficienter. Teorem nummer 3. To polynomier p (x) og g (x) er identiske, hvis og kun hvis de har samme grad og koefficienter med de samme grader af variablen i begge polynomier er ens. Eksempel nr. 9. Decisid på multiplikatorer af polynomer U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1. U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1 \u003d (U² + VO + C) (U² + 1U + S1) \u003d Y ⁴ + U ³ (₁ + C) + U² (S1 + C + V1V) + U (Sun V1 + SV1) + SS1. Ifølge sætning nr. 3 har vi et system af ligninger: 1 + b \u003d -4, C + C + V1B \u003d 5, SUN1 + SV1 \u003d -4, SS1 \u003d 1. Det er nødvendigt at løse systemet i heltal. Sidstnævnte ligning i heltal kan have opløsninger: C \u003d 1, C1 \u003d 1; C \u003d -1, S1 \u003d -1. Lad C \u003d C1 \u003d 1, så har vi fra den første ligning i \u003d -4-in. Vi erstatter i den anden ligning af systemet C2 + 4B + 3 \u003d 0, B \u003d -1, V1 \u003d -3 eller B \u003d -3, V1 \u003d -1. Disse værdier er egnede til systemets tredje ligning. Når C \u003d C1 \u003d -1 D

Eksempel nr. 10. Det er et polynom at nedbryde et polynom i ³ - 5U + 2. U ³ -5U + 2 \u003d (U + A) (U2 + VO + C) \u003d U ³ + (A + C) U² + (Av + C) y + højttalere. Vi har et system af ligninger: A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Mulige hele opløsninger af den tredje ligning: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). Lad A \u003d -2, C \u003d -1. Fra den første ligning af systemet B \u003d 2, som opfylder den anden ligning. At erstatte disse værdier i den ønskede ligestilling Vi får svaret: (Y - 2) (U² + 2OW - 1). Den anden vej. U ³ - 5U + 2 \u003d Y ³ -5U + 10-8 \u003d (Y³-8) - 5 (Y - 2) \u003d (Y - 2) (U² + 2U -1).

Eksempler på selvbeslutninger. Spredt på multiplikatorer af polynomier: 1. U⁴ + 4U³ + 6у ² + 4U -8, 2. U⁴ - 4U³ + 7U² - 6U + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. U⁴ -8U³ + 24U² -32U + 15, 5. Bestem ligningen ved hjælp af nedbrydningsmetoden i multiplikatorer: a) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Svar: 1) (U² + 2OW -2) (U² + 2U +4), 2) (Y - 1) ² (U² -2U + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (Y - 1) (Y - 3 ) (U² - 4U + 5), 5a) ± 1; ± √2, 5b) 0; en.

Funktionelt - en grafisk metode til at løse ligningerne af højere grader. Eksempel nr. 11. Bestem ligningen X ⁵ + 5x -42 \u003d 0. Funktionen Y \u003d x ⁵ Forøgelse af funktionen Y \u003d 42 - 5x faldende (til

Eksempler på selvbeslutninger. 1. Bevis, at ligningen af \u200b\u200bmonotoni af funktionen, vise, at ligningen har den eneste rod, og find denne rod: a) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Svar: a) 2, b) √2. 2. Bestem ligningen ved hjælp af funktionelt - grafisk metode: a) x \u003d ³ √h, b) l x l \u003d ⁵ √h, c) 2 \u003d 6 - x, g) (1/3) \u003d x +4, d) ( X - 1) ² \u003d log2 x, e) Log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √h \u003d ln x, h) √h - 2 \u003d 9 / x. Svar: a) 0; ± 1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, d) 1; 2, e) ½, g) 1, h) 9.

Vieta formler til ligninger af højere grader. Teorem nr. 5 (Vieta Teorem). Hvis ligning AX ⁿ + AX \u200b\u200bⁿ + ... + A1H + A₀ har NS af forskellige gyldige rødder X1, X 2, ..., X, så opfylder de ligeværdier: for den firkantede ligning AH² + VX + C \u003d O : X1 + x 2 \u003d -b / A, X1H2 \u003d S / A; Til kubisk ligning ³ + A2H ² + A1H + A₀ \u003d O: X1 + X2 + X3 \u003d -A2 / A3; X1X 2 + X1X3 + X2H3 \u003d А1 / A3; X1H2H3 \u003d -A5 / A3; ... til ligningen af \u200b\u200bN-grad: X1 + x 2 + ... X \u003d - A / A, X1X 2 + x 3 x 3 + ... + xx \u003d A / A, ..., X ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ ₀ / a. Det omvendte sætning udføres.

Eksempel №13. Skriv den kubiske ligning, hvis rødder er reverseret rødderne af ligningen x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, og koefficienten ved x ³ er 2. 1. Ved Teorem af Vieta for den kubiske ligning, vi har: X1 + x 2 + x 3 \u003d 6, X12 + X1X3 + X2X3 \u003d 12, X1X2H3 \u003d 18. 2. Vi laver omvendte værdier af disse rødder, og for dem bruger vi det omvendte sætning af Vieta. 1 / X1 + 1 / x 2 + 1 / x 3 \u003d (X2X3 + X1X3 + X1X2) / X1X2H3 \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / X1X 2 + 1 / X1X3 + 1 / X2X3 \u003d (x 3 + x 2 + x 1) / xX2H3 \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x1X3 \u003d 1/18. Vi henter ligningen x ³ + 2 / 3xqm + 1 / 3x - 1/18 \u003d 0 · 2 Svar: 2x³ + 4 / 3xqm + 2 / 3x -1 /9 \u003d 0.

Eksempler på selvbeslutninger. 1. Skriv en kubisk ligning, hvis rødder er omvendt kvadraterne af roots af ligningen x ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, og koefficienten ved x ³ er 8. Svar: 8x³ - 98 / 9xqm + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Ikke-standard metoder til løsning af ligninger af højere grader. Eksempel nr. 12. Bestem ligningen x ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Spatulering af den venstre del af faktorernes ligning. Vi fremhæver præcise kvadrater. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (x² - 4x + 7) \u003d 0. Begge diskriminatorer er negative. Svar: Ingen rødder.

Eksempel nr. 14. Bestem ligning 21x³ + x ² - 5x - 1 \u003d 0. Hvis det frie medlem af ligningen er ± 1, omdannes ligningen til den givne ligning ved at erstatte X \u003d 1 / å. 21 / U³ + 1 / U² - 5 / Y - 1 \u003d 0 · U ³, Y ³ + 5U² - 21 \u003d 0. u \u003d -3 rod ligning. (i + 3) (U² + 2OW -7) \u003d 0, Y \u003d -1 ± 2√2. X1 \u003d -1/3, X2 \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, X3 \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Eksempel nr. 15. Løs ligning 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Multiplicer begge dele af ligningen på 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. Vi introducerer en ny variabel Y \u003d 2X, vi får den reducerede ligning i ³ - 5U ² + 14U -10 \u003d 0, Y \u003d 1 rod af ligningen. (Y - 1) (U² - 4. + 10) \u003d 0, D

Eksempel nr. 16. Bevis at ligningen x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 har en positiv rod. Lad f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e o med x\u003e o. Funktionen f (x) stiger ved X\u003e O og værdien F (O) \u003d -2. Selvfølgelig har ligningen en positiv rod af ch.t.d. Eksempel nr. 17. Bestem ligning 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Hvis Sharygin "Valgfri kursus i matematik til klasse 11" .. Uddannelse 1991 P90. 1. l x l 1 2x² - 1\u003e 1 og 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. Vi vil erstatte x \u003d hyggeligt, i € (0; n). Med de resterende værdier af Y gentages værdierne af X, og ligningen har ikke mere end 7 rødder. 2XQM - 1 \u003d 2 COS² - 1 \u003d COS2Y, 8X⁴ - 8XQM + 1 \u003d 2 (2XQM - 1) ² - 1 \u003d 2 COS²2Y - 1 \u003d COS4Y. 3. Ligningen tager formularen 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Multiplicer begge dele af ligningen på SINY. 8 SINYCOSYCOS2YCOS4Y \u003d SINY. Anvendelse af 3 gange formuleringen af \u200b\u200bdobbeltvinklen, vi får ligningen sin8y \u003d Siny, Sin8y - Siny \u003d 0

Slutningen af \u200b\u200bbeslutningen fra eksempel nr. 17. Vi bruger sinusforskellen formel. 2 Sin7y / 2 · COS9Y / 2 \u003d 0. I betragtning af at i € (0; P), Y \u003d 2pk / 3, K \u003d 1, 2, 3 eller Y \u003d N / 9 + 2pk / 9, K \u003d 0, 1, 2, 3. Returnerer til variablen X Vi Få svar: COS2 P / 7, COS4 P / 7, COS6 P / 7, COS P / 9, ½, COS5 P / 9, COS7 P / 9. Eksempler på selvbeslutninger. Find alle værdier af A, i hvilken ligning (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d og har nøjagtigt tre rødder. Svar: 9/16. Bemærk: Byg en graf af den venstre side af ligningen. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Straight Y \u003d 9/16 krydser en graf af en funktion på tre punkter. Bestem ligning (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Svar: -4; 2. Bestem ligning (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Svar: -5; -3. Bestem ligning 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Svaret: -1; -1/2, 2; 4 Find antallet af gyldige rødder af ligningen x ³ - 12x + 10 \u003d 0 til [-3; 3/2]. Bemærk: Find et derivat og udforsk Monot.

Eksempler på selvløsninger (fortsat). 6. Find antallet af gyldige rødder af ligningen X ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Svar: 2 7. Lad X 1, X 2, X3 - rødderne af polynomet P (x) \u003d x ³ - 6XQM -15X + 1. Find X12 + X 2 + X32. Svar: 66. Bemærk: Anvend vieta sætning. 8. Bevis at ved et\u003e o og vilkårlig materiale i ligningen x ³ + ah + b \u003d o har kun en reel rod. Bemærk: Svip bevis fra nasty. Anvend Vieta Teorem. 9. Bestem ligning 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Svar: ½; en; (3 ± √13) / 2. Bemærk: Giv ligningen til en homogen ved hjælp af ligestilling X2 + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Bestem systemet med ligninger X + Y \u003d X ², 3OW - X \u003d U². Svar: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Bestem systemet: 4U² -3HU \u003d 2X -U, 5xqm - 3U² \u003d 4x - 2. Svar: (o; o), (1, 1), (297/265; - 27/53).

Prøve. 1 mulighed. 1. Bestem ligning (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Bestem ligning (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 . 3. Bestem ligning 12xqm (x - 3) + 64 (x - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Bestem ligning X ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Bestem systemet i alderen: X ² + 2 ² - X + 2OW \u003d 6, 1,5xqm + 3 ² - x + 5u \u003d 12.

2 Mulighed 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0. 2. x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24. 3. x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. X ² - 2H + O² + 2xqm - 9 \u003d 0, X - Y - X² på + 3 \u003d 0. 3 valgmulighed. 1. (X ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x - 3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. x4 + 8х² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4. X ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. X + U + X ² + IN ² \u003d 18, HU + X ² + U² \u003d 19.

4 Mulighed. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d o. (x -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7xqm - 6x + 1 \u003d 0. x² + 3H + US² \u003d - 1, 2xqm - 3H - 3U ² \u003d - 4. Yderligere opgave: Resten fra opdelingen af \u200b\u200bpolynomet P (X) på (x - 1) er 4, saldoen af \u200b\u200bdivisionen på (x + 1) er 2, og når du deler på (x - 2) er 8. Find saldoen fra at dividere P (x) til (x ³ - 2x² - x + 2) .

Svar og instruktioner: Valgnummer 1 nr. 2. nr. 3. nr. 4. Nr. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -fem; -four; en; 2. Ensartet ligning: U \u003d x -3, v \u003d x² -2; -en; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Bemærk: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - fire; - 2. 1 ± √11; fire; - 2. Ensartet ligning: U \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- tredive). Bemærk: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; fire; 12 -3; -2; fire; 12 -6; -3; -en; 2. uniform U \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Bemærk: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Bemærk: 1 · 4 + 2.

Beslutning yderligere opgave. Ved soorem mudder: p (1) \u003d 4, p (-1) \u003d 2, p (2) \u003d 8. p (x) \u003d g (x) (x ³ - 2x ² - x + 2) + ah² + vx + fra. Erstatning 1; - en; 2. P (1) \u003d g (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (-1) \u003d A - B + C \u003d 2, P (2) \u003d 4A² + 2V + C \u003d 8. Vi opnår løsning af det resulterende system med tre ligninger: A \u003d B \u003d 1, C \u003d 2. Svar: X ² + X + 2.

Kriterium nr. 1 - 2 point. 1 point er en computerfejl. № 2,3,4 - 3 point. 1 Resultat - LED til en firkantet ligning. 2 point - en computerfejl. Nr. 5. - 4 point. 1 score - udtrykte en variabel gennem den anden. 2 point - fik en af \u200b\u200bløsningerne. 3 point - en computerfejl. Yderligere opgave: 4 point. 1 score - anvendte målet for mouture for alle fire tilfælde. 2 point - tegnede sig for et system af ligninger. 3 point - en computerfejl.

Metoder til løsning af algebraiske ligninger af højere grader.

Habibullina Alfia Yakubovna. ,

matematiklærer af den højeste kategori Mbou Sosh №177

byer i Kazan, Æret lærer for Republikken Tatarstan,

kandidat til pædagogiske videnskaber.

Definition 1. Algebraisk ligning af grad n Ligningen af \u200b\u200bformularen p n (x) \u003d 0, hvor p n (x) er et polynom af grad n, dvs. P n (x) \u003d A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 X + A n A 0.

Definition 2. Rod Ligninger - den numeriske værdi af variablen X, som ved erstatning, giver trofast ligestilling i denne ligning.

Definition 3. Beslutte ligningen betyder at finde alle sine rødder eller bevise, at de ikke er.

JEG. Fremgangsmåde til nedbrydning af polynomier til multiplikatorer med efterfølgende skud.

Ligningen kan nedbrydes på multiplikatorer og løse knusningsmetoden, det vil sige at bryde på sæt af ligninger af mindre grader.

Kommentar: I almindelighed, når vi løser ligningen ved at knuse, bør vi ikke glemme, at produktet er nul så, og kun hvis mindst en af \u200b\u200bmultiplikatorerne er nul, mens andre bevarer betydningen.

Måder at nedbrydning af polynom til multiplikatorer:

1. Fjernelse af en fælles faktor for parenteser.

2. Square threechlen kan dekomponeres på multiplikatorer med formler ah. 2 + WX + C \u003d A (X-X 1 ) (xh. 2 ), Hvor er am. 0, x 1 og x 2 - kvadrat tre-shred rødder.

3. Ved brug af formler af forkortet multiplikation :

a N-i N \u003d (A - C) (og N-1 + CN-2 A N-2 B + CN-3 A N-3 B + ... + C1A i N-2 + i N- 1), N. N.

Valg af komplet firkant. Polynomet kan dekomponeres på multiplikatorer ved hjælp af firkantet forskel formel, forudindskyndelse af den fulde plads af summen eller forskellen mellem udtryk.

4. Gruppering. (Kombineret med overførsel af en fælles faktor bag parenteserne).

5. Brug af virkningen af \u200b\u200bsætningen.

1) Hvis ligningen A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0, A 0 0 c Hele koefficienter har en rationel rod x 0 \u003d (Hvor - Ustabil fraktion, s
Q.
), så P-sequencer af et frit term A n, og Q er en del af en senior koefficient A 0.

2) Hvis X \u003d X 0 er roden af \u200b\u200bligningen P n (x) \u003d 0, så er P n (x) \u003d 0 ækvivalent med ligningen

(x - x 0) P N-1 (x) \u003d 0, hvor R N-1 (X) er et polynom, der kan findes i Division

P n (x) på (x - x 0) "hjørne" eller ved metoden af \u200b\u200bubestemt koefficienter.

II. . Metode til indførelse af en ny variabel (substitution )

Overvej ligningen F (x) \u003d g (x). Det svarer til ligning F (x) -g (x) \u003d 0 betegner forskellen F (x) -g (x) \u003d H (p (x)), og
. Vi introducerer udskiftning t \u003d p (x) (funktionen t \u003d p (x) kaldes substitution. ). Derefter får vi ligningen H (P (X)) \u003d 0 eller H (t) \u003d 0, løsning af den sidste ligning, finder vi T1, T 2, ... Tilbage til substitutionen P (X) \u003d T 1, p (x) \u003d t 2, ..., find værdierne af variablen X.

III. Metode til streng monotoni.

Sætning. Hvis Y \u003d F (x) er strengt monotonne pr. P, så har ligningen F (x) \u003d A (A-Const) ikke mere end en rod på sættet. (Funktionen er strengt monotont: enten kun faldende eller kun stigende)

Kommentar. Du kan bruge ændring af denne metode. Overvej ligningen F (x) \u003d g (x). Hvis funktionen Y \u003d F (X) falder monotonisk til P, og funktionen Y \u003d G (X) falder monotonøst til P (eller omvendt), ligningen F (x) \u003d G (X) har ikke mere end en rod på sættet.

Iv. Metode til sammenligning af et sæt værdier af begge dele af ligningen (vurderingsmetode)

Teorem Hvis for enhver X fra sæt P, udføres uligheder F (x) a, og g (x) a, så ligningen f (x) \u003d g (x) på sæt P svarer til systemet
.

Corollary.: Hvis på sæt r
eller
, Ligningen f (x) \u003d g (x) har ikke rødder.

Denne metode er ret effektiv til at løse transcendentale ligninger.

V. Metode til slukning af divisorer af ekstreme koefficienter

Overvej ligningen A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0

Sætning. Hvis x 0 \u003d - roden til den algebraiske ligning af graden N, og jeg er heltalskoefficienterne, så P er en fri medlemsdeler A n, og Q er en forhandler af den øverste koefficient A 0. Ved en 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (gratis medlemsdeler).

Corollary. Teorems: Hvis X 0 er roden til en algebraisk ligning, er PN (X) opdelt i (x - x 0) uden en rest, dvs. pn (x) \u003d (x - x 0) q n-1 (x) .

VI. Metode til usikre koefficienter.

Den er baseret på følgende påstande:

to polynomier er identisk lige så og kun, hvis deres koefficienter er ens med de samme grader X.

ethvert polynom i tredje grad nedbrydes i arbejdet med to multiplikatorer: lineært og firkantet.

ethvert polynom af fjerde grad nedbrydes i arbejdet med to polynomier

anden grad.

VII. Gorner Scheme. .

Ved hjælp af koefficienttabellen ved byens algoritme er udvælgelsen rødderne af ligningen blandt de frie medlems divisorer.

VIII. . Derivat metode.

Sætning. Hvis 2 polynomier P (X) og Q (x) har identisk lige derivater, er der sådanne basis, at P (x) \u003d q (x) + C for X. R.

Vesem.. Hvis en
(x) og
(x) er opdelt i
T.
(x) er opdelt i
.

Corollary.: Hvis en
(x) og
(x) er opdelt i en polynom r (x), derefter
(x) er opdelt i (x) og den største generelle deler af polynomier
(x) og
(x) har rødder, der kun er rødderne af polynomet
(x) Multiplikation på mindst 2.

IX. . Symmetriske, Return ligninger .

Definition. Ligning A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 X + A n \u003d 0 kaldet symmetrisk. , hvis en

1. Overvej sagen, når n-selv, n \u003d 2k. Hvis en
, så er X \u003d 0 ikke roden af \u200b\u200bligningen, som giver ret til at opdele ligningen på

0
+
+
+\u003d 0 Vi introducerer udskiftningen t \u003d
og i betragtning af lemma, at afgøre kvadratligning i forhold til den variable T. Den omvendte substitution vil give en opløsning i forhold til variablen X.

2. Overvej sagen, når n-ulige, n \u003d 2k + 1. Derefter \u003d -1 er roden af \u200b\u200bligningen. Vi deler ligningen baseret på
Og vi får sagen 1 .. Backstage giver dig mulighed for at finde værdier X. Bemærk, at ved M \u003d -1, kaldes ligningen om at transformere den algebraiske ligning P n (x) \u003d 0 (hvor p n (x) er et polynom af grader n) i ligningen af \u200b\u200bformularen f (x) \u003d g ( x). Vi sætter funktionerne y \u003d f (x), y \u003d g (x); Vi beskriver deres egenskaber og konstruerer grafer i et koordinatsystem. Skæringspunkternes abscissions vil være rødder af ligningen. Kontrollen udføres ved substitution til den indledende ligning.

I almindelighed kan ligningen, der har en grad over 4, ikke løses i radikaler. Men nogle gange kan vi stadig finde rødderne af den polynomiale stående til venstre i ligningen i højeste grad, hvis vi præsenterer det i form af et produkt af polynomier i en grad af højst 4.. Opløsningen af \u200b\u200bsådanne ligninger er baseret på nedbrydning af polynomier til multiplikatorer, så vi råder dig til at gentage dette emne, før vi lærer denne artikel.

Oftest skal beskæftige sig med ligninger af højere grader med hele koefficienter. I disse tilfælde kan vi forsøge at finde rationelle rødder, og derefter nedbryde et polynom til multiplikatorer for at konvertere det til en lavere grad ligning, der simpelthen vil beslutte. Som en del af dette materiale vil vi overveje blot sådanne eksempler.

Ligninger af højeste grad med hele koefficienter

Alle ligninger, der har en formular A n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0 \u003d 0, vi kan føre til ligningen af \u200b\u200bsamme omfang ved anvendelse af multiplikationen af \u200b\u200bbegge dele ved hjælp af en n-1 og udskiftning af variablen af \u200b\u200bformularen \u003d A n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0 Ann · Xn + AN - 1 · Ann - 1 · Xn - 1 + ... + A 1 · (AN) N - 1 · X + A 0 · (AN) N - 1 \u003d 0 Y \u003d Anstriget ⇒ Yn + Bn - 1 Yn - 1 + ... + B 1 Y + B 0 \u003d 0

De koefficienter, der viste sig i sidste ende, vil også være heltal. Således skal vi løse den givne ligning af N-noate med heltalskoefficienter, der har en form x N + A n x N - 1 + ... + A 1 x + A 0 \u003d 0.

Beregne hele roots af ligningen. Hvis ligningen har hele rødderne, skal du kigge efter dem blandt dividere af et frit sigt A 0. Vi skriver dem ned, og vi vil erstatte i den oprindelige ligestilling igen og kontrollere resultatet. Så snart vi fik identitet og fundet en af \u200b\u200broots af ligningen, kan vi skrive det i form x - x 1 · p n - 1 (x) \u003d 0. Her X1 er roden af \u200b\u200bligningen, og P N - 1 (X) er en privat fra at dividere X n + A n x N - 1 + ... + A 1 x + A 0 til X - X 1.

Vi erstatter de resterende udladede divisorer i P N - 1 (x) \u003d 0, begyndende med X1, da rødderne kan gentages. Efter at have modtaget identiteten anses roden X2 for at blive fundet, og ligningen kan skrives i formularen (x - x 1) (x - x 2) · pn - 2 (x) \u003d 0. PN - 2 (x) vil være privat fra Division P n - 1 (x) til x - x 2.

Vi fortsætter med at gå gennem dividere. Vi finder alle de mange rødder og betegner deres nummer som m. Derefter kan den indledende ligning være repræsenteret som x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0. Her er P N - M (X) en polynom n - m-grad. Til beregning er det bekvemt at bruge Horner-skemaet.

Hvis vores første ligning har hele koefficienter, kan vi ikke resultere i fraktionerede rødder.

Vi opnåede til sidst ligningen P n - m (x) \u003d 0, hvis rødder kan findes på en hvilken som helst bekvem måde. De kan være irrationelle eller komplekse.

Lad os vise på et bestemt eksempel, da en løsningsskema gælder.

Eksempel 1.

Tilstand: Find opløsningen af \u200b\u200bligningen X 4 + X 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0.

Afgørelse

Lad os starte med resultaterne af hele rødderne.

Vi har et frit medlem svarende til minus tre. Han har divisorer svarende til 1, - 1, 3 og - 3. Erstatte dem til den oprindelige ligning og lad os se, hvilke af dem der vil få identiteterne.

For X, svarende til en, opnår vi 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, det betyder, at enheden vil være roden til denne ligning.

Nu udfører vi divisionerne af polynomet x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 på (x - 1) i kolonnen:

Så, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

Vi havde en identitet, det betyder, at vi fandt en anden rod af ligningen svarende til 1.

Vi deler polynomial X 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 på (x + 1) i søjlen:

Vi får det

x4 + X3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Vi erstatter den næste divider i ligestilling X 2 + X + 3 \u003d 0, startende fra - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Ligestilling opnået i sidste ende vil være forkert, det betyder, at ligningen ikke længere har hele rødderne.

De resterende rødder vil være ekspressionens rødder x 2 + x + 3.

D \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0

Det følger heraf, at denne firkantede tre dekhetter ikke er gyldige rødder, men der er grundigt konjugat: X \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Vi vil angive, at i stedet for at dividere i kolonnen kan du bruge Gunner-ordningen. Dette gøres som dette: Når vi har identificeret den første rod af ligningen, skal du udfylde bordet.

I koefficientbordet kan vi straks se individets koefficienter fra at dividere polynomier, det betyder, at x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Efter at have fundet den næste rod, svarende til - 1, får vi følgende:

Svar: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Eksempel 2.

Tilstand: Bestem ligning X 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.

Afgørelse

Et frit medlem har divisorer 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Tjek dem i rækkefølge:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3-5 · 2 2 + 12 \u003d 0

Så x \u003d 2 vil være roden af \u200b\u200bligningen. Vi splittede x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 på x - 2 ved hjælp af Gunner-ordningen:

Som et resultat opnår vi x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Så 2 vil være roden igen. Vi deler x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 til x - 2:

Som følge heraf opnår vi (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.

Kontrol af de resterende divisorer giver ikke mening, da ligestilling X 2 + 3 X + 3 \u003d 0 er hurtigere og mere hensigtsmæssig at løse ved hjælp af diskriminering.

Spest square ligning:

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 d \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

Vi får et omfattende konjugeret par rødder: x \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Svar: X \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Eksempel 3.

Tilstand: Find for ligning X 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 gyldige rødder.

Afgørelse

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

Vi udfører en logning af 2 3 af begge dele af ligningen:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0

Vi erstatter variablerne Y \u003d 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 Y 4 + Y 3 - 20 Y - 48 \u003d 0

Som et resultat havde vi en standard ligning 4., som kan løses i henhold til standardordningen. Vi kontrollerer dividerne, vi deler og får som følge heraf, at den har 2 gyldige rødder Y \u003d - 2, Y \u003d 3 og to komplekse. Beslutningen helt her vil vi ikke lede. I kraft af udskiftningen med de gyldige rødder af denne ligning, vil X \u003d Y2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 og X \u003d Y2 \u003d 3 2 være X \u003d 3 2.

Svar: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du vælge den, og tryk på Ctrl + Enter