Ujævnheder og ulighedssystemer er et af de emner, der er i gymnasiet på algebra. Med hensyn til vanskeligheder er det ikke det sværeste, da det har ukomplicerede regler (om dem lidt senere). Som regel er løsningen af \u200b\u200bulighedssystemer skolebørn tilstrækkelig nok. Dette er også forbundet med, at lærere simpelthen "fortolker" deres elever på dette emne. Og de kan ikke gøre dette, fordi det er undersøgt i fremtiden med brug af andre matematiske værdier, og også kontrolleres på OGE og EGE. I skolebøger, er emnet dedikeret til uligheder og systemer af uligheder omtalt i meget detaljeret, så hvis du vil studere det, er det bedst at ty til dem. Denne artikel fortæller kun store materialer, og der kan være nogle udelade.

Begrebet et ulighedssystem

Hvis du henviser til det videnskabelige sprog, kan du definere begrebet "ulighedssystem". Dette er en matematisk model, der repræsenterer flere uligheder. Af denne model er selvfølgelig en løsning påkrævet, og i sin kvalitet vil være et fælles svar for alle de uligheder i det system, der foreslås i opgaven (normalt de skriver i det, for eksempel: "Bestem systemet med uligheder 4 x + 1\u003e 2 og 30 - x\u003e 6 ... "). Men inden du går videre til de typer og metoder til løsninger, skal du finde ud af det.

Uligheder og systemer af ligninger

I processen med at studere et nyt emne opstår der misforståelser meget ofte. På den ene side er alt klart og snarere, jeg vil begynde at løse opgaver, og på den anden side forbliver nogle øjeblikke i "skyggerne", ikke helt godt reflekterende. Også nogle elementer af den opnåede viden kan være sammenflettet med nye. Som et resultat af sådanne "overlejringer" forekommer der ofte fejl.

Derfor, før man går videre med analysen af \u200b\u200bvores emne, det skal huskes om forskellene i ligninger og uligheder, deres systemer. For at gøre dette skal du igen forklare, hvad matematiske koncepter er data. Ligningen er altid lighed, og det er altid noget lige (i matematik dette ord er angivet med tegnet "\u003d"). Ujævneligheden er den samme model, hvor en værdi eller mere eller mindre end den anden eller indeholder påstanden om, at de er ulige. I det første tilfælde er således hensigtsmæssigt at tale om lighed, og i det andet, uanset hvor naturligvis lød fra selve navnet, ulighed af kilden data. Systemer af ligninger og uligheder fra hinanden er praktisk taget ingen forskellige metoder til at løse dem er de samme. Den eneste forskel er, at ligestillingen i det første tilfælde anvendes, og uligheder anvendes i det andet.

Typer af uligheder

To typer uligheder er kendetegnet: numerisk og ukendt variabel. Den første type er det værdsatte værdier (tal) ulige hinanden, for eksempel 8\u003e 10. Den anden er uligheder indeholdende en ukendt variabel (angivet med et bogstav af det latinske alfabet, oftest x). Denne variabel kræver dets ophold. Afhængigt af hvor mange af dem i den matematiske model er der uligheder med en (udgør et system med uligheder med en variabel) eller flere variabler (udgør et system med uligheder med flere variabler).

De to seneste synspunkter om graden af \u200b\u200bderes konstruktion og niveauet for kompleksiteten af \u200b\u200bbeslutningen er opdelt i enkle og komplekse. Enkel kaldet mere lineære uligheder. De er igen opdelt i strenge og utrolige. Strenge specifikt "Sig", at en værdi nødvendigvis skal være mindre eller mere, derfor er den i sin rene form ulighed. Du kan citere et par eksempler: 8 x + 9\u003e 2, 100 - 3 x\u003e 5 osv. Husk omfatter lighed. Det vil sige, at en værdi kan være større end eller lig med en anden værdi ("≥" tegnet) er enten mindre eller lig med en anden værdi ("≤" tegn). Stadig i lineære uligheder er variablen ikke i roden, pladsen er ikke opdelt i noget, på grund af hvilke de kaldes "simple". Kompliceret omfatter ukendte variabler, hvis konstatering kræver en større mængde matematiske operationer. De er ofte på en firkant, Cuba eller under roden, kan være modulært, logaritmisk, fraktioneret osv. Men da vores opgave bliver behov for at forstå løsninger af uligheder, vil vi tale om systemet med lineære uligheder. Men før dette skal et par ord om deres egenskaber siges.

Egenskaber af uligheder

Egenskaberne for uligheder omfatter følgende bestemmelser:

1. Tegn på uligheder ændres til det modsatte, hvis en operation anvendes til at ændre parterne (for eksempel, hvis t 1 ≤ t 2, t 2 ≥ T 1).
2. Begge dele af ulighed gør det muligt at tilføje det samme nummer til sig selv (for eksempel, hvis t 1 ≤ t 2, t 1 + nummer ≤ t 2 + nummer).
3. To eller flere uligheder med et tegn på en retning giver dig mulighed for at sætte deres venstre og højre dele (for eksempel, hvis t 1 ≥ T2, T3 ≥ T4, T1 + T3 ≥ T2 + T4).
4. Begge dele af ulighed giver sig mulighed for at formere sig eller opdele på samme positive nummer (for eksempel, hvis t 1 ≤ t 2 og nummeret ≤ 0, så nummeret · t 1 ≥ nummer · t 2).
5. To eller flere uligheder, der har positive medlemmer og et tegn på en retning, tillader dem at formere sig på hinanden (for eksempel, hvis T1 ≤ T2, T3 ≤ T4, T1, T2, T3, t 4 ≥ 0 derefter t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Begge dele af ulighed giver sig mulighed for at formere sig eller opdele på samme negative tal, men samtidig ændrer tegn på uligheder (for eksempel, hvis t 1 ≤ t 2 og nummeret ≤ 0, så nummeret · t 1 ≥ nummeret · T 2).
7. Alle uligheder har transitivitets egenskab (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og t 2 ≤ t 3, derefter t 1 ≤ t 3).

Efter at have studeret de grundlæggende bestemmelser i teorien om uligheder, er det muligt at gå direkte til behandlingen af \u200b\u200breglerne for løsning af deres systemer.

Løse systemer af uligheder. Generel. Metoder Solutions.

Som nævnt ovenfor virker opløsningen værdierne af den variable, der er egnet til alle uligheder i dette system. Løsningen af \u200b\u200bulighedssystemer er implementeringen af \u200b\u200bmatematiske handlinger, som i sidste ende fører til løsningen af \u200b\u200bhele systemet eller bevise, at det ikke har løsninger. I dette tilfælde siges det, at variablen refererer til et tomt numerisk sæt (skrevet som følger: brev, der betegner en variabel ∈ (tegn "tilhører") Ø (tegn "tomt sæt"), for eksempel X ∈ Ø (læs som dette: "" ex "variablen" tilhører et tomt sæt "). Flere måder at løse inequality-systemer uddyber: Grafisk, algebraisk, substitutionsmetode. Det er værd at bemærke, at de vedrører de matematiske modeller, der har flere ukendte variabler. I det tilfælde, hvor der kun er en, passer den til intervallernes metode.

Grafisk metode

Giver dig mulighed for at løse systemet med uligheder med flere ukendte værdier (fra to og højere). Takket være denne metode løses det lineære uligheder system ret let og hurtigt, så det er den mest almindelige måde. Dette forklares af, at opførelsen af \u200b\u200btidsplanen reducerer mængden af \u200b\u200bskrivning af matematiske operationer. Især bliver det behageligt at distrahere lidt fra håndtaget, tage en blyant med en linje med en linjal og fortsæt til yderligere handlinger med deres hjælp, når der er sket en masse arbejde, og du vil have en lille mangfoldighed. Denne metode er imidlertid misfarvet på grund af, at du skal brydes fra opgaven og skifte din mentale aktivitet til tegning. Dette er dog en meget effektiv måde.

For at løse ulighedssystemet ved hjælp af en grafisk metode er alle medlemmer af hver ulighed nødvendigt at overføre til deres venstre del. Tegn vil skifte til det modsatte, til højre skal skrives nul, så skal du skrive ned hver ulighed separat. Som følge heraf vil ulighederne resultere. Derefter kan du få en blyant og en linjal: Nu skal du tegne en graf for hver opnået funktion. Alle mange tal, der vil være i intervallet af deres kryds, vil være en løsning af ulighedssystemet.

Algebraisk metode

Giver dig mulighed for at løse systemet med uligheder med to ukendte variabler. Også uligheder bør have samme ulighed tegn (dvs. det er forpligtet til at indeholde enten kun tegnet "mere" eller kun tegnet "mindre" osv.) På trods af dets begrænsning er denne metode også mere kompleks. Det bruges i to faser.

Den første omfatter handlinger for at slippe af med en af \u200b\u200bde ukendte variabler. Først skal du vælge det, og tjek derefter for tilstedeværelsen af \u200b\u200btal før denne variabel. Hvis de ikke er (så variablen vil ligne et enkelt bogstav), så vi ikke ændre noget, hvis der er (den type variabel vil være, for eksempel sådan - 5Y eller 12Y), så er det nødvendigt at gøre det således at der i hver ulighed antallet foran den valgte variabel samme. For at gøre dette, formere hvert medlem af uligheder fra den generelle faktor, for eksempel, hvis 3y er skrevet i den første ulighed, og i den anden 5y, så alle medlemmer af den første ulighed er nødvendige for at formere med 5, og den anden - På 3. Det vil vise sig 15Y og 15Y.

Den anden fase af opløsningen. Det er nødvendigt at overføre den venstre del af hvert ulighed til deres rigtige dele med en ændring i tegnet af hvert medlem til det modsatte, at retten til at optage nul. Derefter kommer den mest interessante ting: At slippe af med den valgte variabel (forskelligt kaldes det "forkortelse") under foldningen af \u200b\u200buligheder. Det vil være ulighed med en variabel, der skal løses. Derefter bør du gøre det samme, kun med en anden ukendt variabel. De opnåede resultater og vil blive løst systemet.

Metode til substitution

Giver dig mulighed for at løse ulighedssystemet, hvis du har mulighed for at indtaste en ny variabel. Normalt anvendes denne metode, når en ukendt variabel i et medlem af uligheden opføres i en fjerde grad, og i et andet element har en firkant. Denne metode har således rettet mod at sænke graden af \u200b\u200buligheder i systemet. Ujævnelsen af \u200b\u200bprøven X 4 - X 2 - 1 ≤ 0 løses ved denne metode. En ny variabel introduceres for eksempel t. De skriver: "Lad t \u003d x 2", så er modellen omskrevet i en ny form. I vores tilfælde viser det sig T 2 - T - 1 ≤0. Denne ulighed skal løses med mellemrum (om det lidt senere), så tilbage til variablen X, så gør det samme med en anden ulighed. De modtagne svar vil blive løst systemet.

Interval metode.

Dette er den nemmeste måde at løse inequality systemer på, og samtidig er det universelt og distribueret. Det bruges også i gymnasiet, og selv i højeste. Dens essens er, at den studerende på udkig efter inequality intervaller på en numerisk direkte, som er trukket i notebook'en (dette er ikke en graf, men blot den sædvanlige lige linje med tal). Hvor intervallerne for uligheder skærer, løses systemet. For at bruge intervallmetoden skal du udføre følgende trin:

1. Alle medlemmer af hver ulighed overføres til venstre med en ændring af tegn til det modsatte (højre er skrevet).
2. Ujævnheder udledes separat, opløsningen af \u200b\u200bhver af dem bestemmes.
3. Der er krydsninger af uligheder på en numerisk linje. Alle numre på disse kryds vil være en løsning.

Hvad er måden at bruge?

Selvfølgelig synes man det nemmeste og bekvemme, men der er sådanne tilfælde, når opgaver kræver en bestemt metode. Oftest i dem er det skrevet, at du skal løse enten ved hjælp af grafen eller intervallmetoden. Den algebraiske metode og substitution anvendes yderst sjældent sjældent eller ikke anvendes, da de er ret komplekse og indviklede, og udover mere brugt til at løse systemer af ligninger, ikke uligheder, bør det derfor benyttes på tegning af grafer og intervaller. De bringer klarhed, som ikke kan bidrage til den effektive og hurtige adfærd af matematiske operationer.

Hvis noget ikke virker

Under undersøgelsen af \u200b\u200bet bestemt emne på algebra kan der naturligvis problemer med dens forståelse opstå. Og det er normalt, fordi vores hjerne er designet, så det ikke er i stand til at forstå det komplekse materiale ad gangen. Det er ofte nødvendigt at genlæse stykket, bruge hjælp fra en lærer eller praksis ved at løse typiske opgaver. I vores tilfælde ser de for eksempel så: "Bestem systemet med uligheder 3 x + 1 ≥ 0 og 2 x - 1\u003e 3". Således hjælper det personlige ønske, hjælp fra tredjeparts folk og praksis med at forstå ethvert komplekst tema.

Reshebnik?

Og Reshebnik er stadig meget god, kun ikke at skrive lektier, men for selvhjælp. De kan finde ulighedssystemer med løsningen, se på dem (som på skabeloner), prøv at forstå præcis, hvordan forfatteren af \u200b\u200bbeslutningen klare opgaven, og så forsøge at opfylde dette på en uafhængig måde.

Konklusioner

Algebra er en af \u200b\u200bde sværeste ting i skolen. Nå, hvad skal jeg gøre? Matematik har altid været sådan her: Hun giver nogen til nogen, og nogen med vanskeligheder. Men i hvert fald skal det huskes, at det generelle program er bygget, så enhver elev kan klare det. Derudover er det nødvendigt at huske et stort antal assistenter. Nogle af dem blev nævnt ovenfor.

Ulighedssystem.
Eksempel 1.. Find et udtryksområde
Afgørelse. Under tegnet af en kvadratrod bør være et ikke-negativt tal, hvilket betyder, at to uligheder bør udføres samtidigt: I sådanne tilfælde siges det, at opgaven er reduceret til at løse ulighedssystemet

Men med en sådan matematisk model (inequality system) har vi endnu ikke mødt. Så opløsningen af \u200b\u200beksemplet er ikke i stand til at bringe til enden.

De uligheder, der danner systemet, kombineres med en figurbeslag (det samme er det samme i ligningerne af ligninger). For eksempel skrivning

betyder at uligheder 2x - 1\u003e 3 og Zh - 2< 11 образуют систему неравенств.

Nogle gange bruges det til at registrere systemet med uligheder i form af dobbelt ulighed. For eksempel er ulighedssystemet

kan skrives i form af dobbelt ulighed 3<2х-1<11.

I løbet af algebraen i 9. klasse vil vi kun overveje systemer fra to uligheder.

Overvej et system med ulighed

Du kan vælge nogle få af sine private løsninger, for eksempel x \u003d 3, x \u003d 4, x \u003d 3,5. Faktisk, ved x \u003d 3, tager den første ulighed formularen 5\u003e 3, og den anden er typen 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

På samme tid er værdien X \u003d 5 ikke en løsning af ulighedssystemet. Ved x \u003d 5 tager den første ulighed formularen 9\u003e 3 - den højre numeriske ulighed, og den anden er synspunktet 13< 11- неверное числовое неравенство .
Løs systemet med uligheder - det betyder at finde alle sine private løsninger. Det er klart, hvad gætning, som er demonstreret ovenfor, ikke er en metode til løsning af ulighedssystemet. I det følgende eksempel viser vi, hvordan normalt årsag til løsning af uligheder systemet.

Eksempel 3. Løs systemet med uligheder:

Afgørelse.

men) Løsning af systemets første ulighed, vi finder 2x\u003e 4, x\u003e 2; Løsning af systemets anden ulighed, finder vi sk< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Løsning af systemets første ulighed finder vi X\u003e 2; løse systemets anden ulighed, finder vi Vi bemærker disse huller på en koordinat direkte ved hjælp af den øvre ruge til det første mellemrum og for den anden - den nedre ruge (fig. 23). Løsningen af \u200b\u200bsystemet med uligheder vil være skæringspunktet mellem opløsninger af systemets uligheder, dvs. Det mellemrum, hvorpå begge ruge faldt sammen. I dette eksempel får vi en stråle

i) Løsning af systemets første ulighed finder vi x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Opsummering af argumenterne i det betragtede eksempel. Antag, at vi skal løse ulighedssystemet

Lad for eksempel et interval (A, B) en opløsning af uligheden FX 2\u003e g (x), og intervallet (C, D) er opløsningen af \u200b\u200buligheden F 2 (x)\u003e S2 (x ). Vi bemærker disse huller på samme koordinat direkte ved hjælp af den øvre ruge til det første mellemrum og for den anden - den nedre ruge (fig. 25). Opløsningen af \u200b\u200bulighedssystemet er skæringspunktet mellem systemernes inequality-opløsninger, dvs. Det mellemrum, hvorpå begge ruge faldt sammen. I fig. 25 Dette er intervallet (C, B).

Nu kan vi nemt løse systemet med uligheder, som blev opnået ovenfor, i eksempel 1:

Løsning af systemets første ulighed finder vi X\u003e 2; Løsning af systemets anden ulighed, finder vi x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Selvfølgelig behøver systemet med uligheder ikke at bestå af lineære uligheder, som det hidtil har det; Der kan være nogen rationelle (og ikke kun rationelle) uligheder. Teknisk set arbejder arbejdet med et system med rationelle ikke-lineære uligheder, selvfølgelig mere kompliceret, men fundamentalt nye (sammenlignet med lineære uligheder) er der intet her.

Eksempel 4. Løs systemet med uligheder

Afgørelse.

1) Jeg løser uligheden
Vi bemærker punkt -3 og 3 på den numeriske lige (fig. 27). De splittede lige ind i tre huller, og ved hvert mellemrum sparer udtrykket p (x) \u003d (x- 3) (x + 3) et permanent tegn - disse tegn er anført i fig. 27. Vi er interesserede i de huller, som uligheden P (x)\u003e 0 udføres (de er skygget i figur 27), og de punkter, hvori lighedpen p (x) \u003d 0 udføres, dvs. Punkter x \u003d -3, x \u003d 3 (de er markeret i fig. 2 7 mørke cirkler). Således i fig. 27 præsenterer den geometriske model af opløsningen af \u200b\u200bden første ulighed.

2) Vi løser uligheden
Vi bemærker punkterne 0 og 5 på den numeriske lige (fig. 28). De splittede lige på tre huller og i hvert interval udtryk<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) > O (skygget i figur 28), og punkter, hvor ligestilling g (x) udføres, dvs. Punkter x \u003d 0, x \u003d 5 (de er markeret i figur 28 mørke cirkler). Således i fig. 28 præsenterer en geometrisk model for at løse systemets anden ulighed.

3) Bemærk de fundne løsninger af systemets første og anden uligheder på en koordinat direkte ved hjælp af den øverste ruge til opløsninger af den første ulighed og for den anden låsopløsninger - den nedre ruge (figur 29). Løsningen af \u200b\u200bsystemet med uligheder vil være skæringspunktet mellem opløsninger af systemets uligheder, dvs. Det mellemrum, hvorpå begge ruge faldt sammen. Dette hul er et segment.

Eksempel 5. Løs systemet med uligheder:

Afgørelse:

men) Af de første uligheder finder vi X\u003e 2. Overvej den anden ulighed. Firkantet tre halv X2 + X + 2 har ikke gyldige rødder, og dens senior koefficient (koefficient ved x 2) er positiv. Det betyder, at i alt uligheden X 2 + X + 2\u003e 0 udføres, og derfor har systemets anden ulighed ikke løsninger. Hvad betyder det for ulighedssystemet? Det betyder, at systemet ikke har nogen løsninger.

b) Af de første uligheder finder vi X\u003e 2, og den anden ulighed udføres til enhver værdi af X. Hvad betyder det for ulighedssystemet? Dette betyder, at dens løsning har formularen X\u003e 2, dvs. Falder sammen med beslutningen om den første ulighed.

Om t i e t:

a) ingen løsninger b) X\u003e 2.

Dette eksempel er en illustration for følgende nyttige.

1. Hvis en ulighed ikke har løsninger i et system med flere uligheder med en variabel, har systemet ingen løsninger.

2. Hvis en ulighed udføres i et system med to uligheder med en variabel, med eventuelle værdier af variablen, er opløsningen af \u200b\u200bsystemet løsningen af \u200b\u200bsystemets anden ulighed.

Gennemførelse af dette afsnit, tilbage til opgaven med det påtænkte nummer, der blev givet i begyndelsen og løser det, som de siger, i henhold til alle reglerne.

Eksempel 2. (Se s. 29). Integreret med et naturligt nummer. Det er kendt, at hvis det er føjet til kvadratet af det planlagte antal 13, så beløbet vil være større end produktet af det planlagte antal og nummer 14. Hvis du føjer 45 til kvadratet af det planlagte antal 45, så mængden vil være mindre end arbejdet i det påtænkte antal og nummer 18. Hvilket nummer er beregnet?

Afgørelse.

Første fase. Udarbejdelse af en matematisk model.
Det opfattede nummer X, som vi har set ovenfor, skal opfylde ulighedssystemet

Anden fase. Arbejder med en matematisk model. Vi danner den første ulighed af systemet til at tænke på
x2- 14x + 13\u003e 0.

Find rødderne af tre-shots x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Med hjælp fra parabel y \u003d x 2 - 14x + 13 (fig. 30) vi konkludere, at den ulighed, der interesserer os udføres med x< 1 или x > 13.

Vi omdanner systemets anden ulighed til typen X2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Der er kun "Xers" og kun Abscissa-aksen, nu "tænding" og aktivitetsområdet ekspanderer til hele koordinatplanet. Endvidere ifølge teksten, udtrykket "lineær ulighed" vi forstår i et to-dimensionelle fornemmelse, som vil blive tydeligere i løbet af få sekunder.

Ud over analytisk geometri er materialet relevant for en række målsætninger om matematisk analyse, økonomisk og matematisk modellering, så jeg anbefaler at shutten dette foredrag med al alvorlighed.

Lineære uligheder

Skelne mellem to typer lineære uligheder:

1) Streng uligheder :.

2) Neztreat. uligheder :.

Hvilken geometrisk betydning af disse uligheder? Hvis den lineære ligning sætter direkte, bestemmer den lineære ulighed halvplan..

For at forstå følgende oplysninger skal du kende sorterne om direkte på flyet og være i stand til at bygge lige. Hvis der er vanskeligheder i denne del, skal du læse certifikatet Diagrammer og egenskaber af funktioner - afsnit om en lineær funktion.

Lad os starte med de enkleste lineære uligheder. Den blå drøm om tovejs - koordinatplanet, hvor der ikke er noget:

Som det er kendt, er abscissa-aksen indstillet af ligningen - "Igrek" er altid (med nogen mening "X") er lig med nul

Overveje ulighed. Hvordan forstår det uformelt? "Igrek" er altid (med nogen mening "x") er positiv. Det er indlysende, at denne ulighed bestemmer det øvre halvplan - der er trods alt alle punkter med positivt "spil".

I tilfælde af at uligheden er utrolig, til den øverste halvdel desuden Selve aksen tilsættes.

Tilsvarende: ulighed er tilfreds med alle punkter i det nedre halvplan, den nedre halvplan + akse svarer til ikke-strengt ulighed.

Med ejer af ordinatet, den samme prosaiske historie:

- ulighed fastsætter den højre halvplan
- ulighed fastsætter det højre halvplan, herunder ordinataksen;
- ulighed fastsætter venstre halvplan;
- Ulempenskabet sætter venstrehalvplanet, herunder ordinataksen.

I det andet trin skal du overveje uligheder, hvor der ikke er nogen af \u200b\u200bvariablerne.

Der er ingen "Play":

Eller mangler "x":

Med sådanne uligheder kan søges på to måder, vær venligst opmærksom på begge tilgange. Langs vejen, lad os huske skoleaktioner med uligheder, der allerede er demonteret på lektionen Funktion Definition Area..

Eksempel 1.

Løs lineære uligheder:

Hvad betyder det at løse lineær ulighed?

Løs lineær ulighed - det betyder at finde et halvplanhvis point er tilfredsstillende for denne ulighed (plus den meget direkte, hvis uligheden er utrolig). Afgørelse, som regel, grafisk..

Det er mere bekvemt at straks gøre tegningen, og derefter alle kommentere:

a) Løs ulighed

Mode først

Metoden ligner helt en historie med koordinatakserne, som vi har overvejet ovenfor. Ideen er at konvertere ulighed - at forlade en variabel i den venstre del uden nogen konstanter, i dette tilfælde, "X" variabel.

Herske: I uligheden overføres komponenterne fra delen til delen med skiltets ændring, mens tegn på uligheden selv ændres ikke (For eksempel, hvis der var et "mindre" tegn, vil det forblive "mindre").

Vi bærer "fem" til højre side med skiltets skift:

Herske Positiv ændres ikke.

Nu er de ligetil (blå stiplede linje). Direkte udført af en stiplet linje af grunden til ulighed streng, og punkter, der tilhører denne direkte, vil ikke vide, hvordan man beslutter.

Hvad er meningen med ulighed? "X" er altid (med nogen mening "Igarek") mindre end. Selvfølgelig opfylder denne erklæring alle punkter i venstre halvplan. Dette halvplan kan i princippet være skygget, men jeg vil begrænse de små blå skytter, for ikke at gøre tegningen i den kunstneriske palette.

Metode af den anden

Dette er en alsidig måde. Vi læser meget omhyggeligt!

Første smed. For klarhed, forresten, er ligningen tilrådeligt at indsende i formularen.

Vælg nu ethvert punkt af flyet, ikke tilhørende direkte. I de fleste tilfælde er det højeste punkt selvfølgelig. Vi erstatter koordinaterne for dette punkt til ulighed:

Modtaget ugyldig ulighed (Simple ord, det kan ikke være), det betyder, at punktet ikke opfylder uligheden.

Nøgleregel for vores opgave:
opfylder ikke ulighed, derefter ALT Punkter i denne halvplan ikke tilfredsstille Denne ulighed.
- Hvis ethvert punkt på halvplan (ikke ejet af linjen) tilfredsstille ulighed, derefter ALT Punkter i denne halvplan tilfredsstille Denne ulighed.

Du kan teste: ethvert punkt til højre for straight vil ikke tilfredsstille ulighed.

Hvad er konklusionen fra oplevelsen med det punkt? Der er ingen steder at gå, ulighed opfylder alle punkter i den anden - venstre halvplan (du kan også tjekke).

b) Løs ulighed

Mode først

Vi omdanner ulighed:

Herske: Begge dele af ulighed kan multipliceres (opdelt) på Negativnummer, med tegn på ulighed Ændringerpå det modsatte (for eksempel, hvis der var et "mere enten" tegn, bliver det "mindre eller lige").

Vi multiplicerer begge dele af ulighed på:

Tegn en direkte (rød farve), og tegne en solid linje, fordi vi har ulighed nestor., og antages direkte at løse.

Efter at have analyseret den resulterende ulighed, konkluderer vi, at dens løsning er den nedre halvplan (+ direkte).

Egnede halvplan slagtilfælde eller mærke pile.

Metode af den anden

Tegn lige. Vi vælger et vilkårlig punkt i flyet (ikke tilhørende linjen), for eksempel og erstatter sine koordinater i vores ulighed:

Modtaget trofast ulighedDet betyder, at punktet opfylder uligheden, og generelt - alle punkter i det nederste halvplan opfylder denne ulighed.

Her ramte det eksperimentelle punkt "i det ønskede halvplan.

Problemet med opgaven er markeret med røde lige og røde pile.

Personligt kan jeg lide den første løsning til mig mere, da den anden er mere formbar.

Eksempel 2.

Løs lineære uligheder:

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning. Prøv at løse opgaven på to måder (forresten, det er en god måde at verificere løsningen på). Som svar i slutningen af \u200b\u200blektionen vil der kun være en endelig tegning.

Jeg tror, \u200b\u200bat de, der har gjort i eksemplerne, skal du gifte sig med dem, vil ikke være svært at løse den enkleste ulighed som osv.

Vi vender os til overvejelsen af \u200b\u200bden tredje, generelle sag, når begge variabler er til stede i uligheder:

Alternativt kan en frit term "CE" nul.

Eksempel 3.

Find halvplader svarende til følgende uligheder:

Afgørelse: Dette bruger en universel løsningsmetode med en forskel i punkt.

a) Vi konstruerer linjenekvationen, mens linjen skal udføres af en stiplet linje, da uligheden er streng, og selve selve, vil det ikke logge ind på opløsningen.

Vælg det eksperimentelle punkt i flyet, som ikke tilhører dette direkte, for eksempel og erstatter sine koordinater i vores ulighed:

Modtaget ugyldig ulighedSå, punktet og alle punkter i dette halvplan opfylder ikke ulighed. Løsningen af \u200b\u200bulighed vil være en anden halvplan, beundre blå lyn:

b) Jeg vil løse ulighed. Først opbygge en lige linje. Det er nemt at gøre det, vi har kanonisk direkte proportionalitet. Vi udfører en linje med et solidt, som nestorens ulighed.

Vælg et vilkårligt punkt i flyet, der ikke tilhører linjen. Jeg vil gerne bruge begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne igen, men Alas, nu er det ikke egnet. Derfor skal du arbejde med en anden kæreste. Det er mere rentabelt at tage et punkt med små koordinatværdier, for eksempel. Erstatte sine koordinater i vores ulighed:

Modtaget trofast ulighedDet betyder, at punktet og alle punkter i denne halvplan tilfredsstiller ulighed. Det ønskede halvplan er markeret med de røde pile. Derudover indbefatter opløsningen direkte.

Eksempel 4.

Find halvplader svarende til uligheder:

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning. En komplet løsning, et eksemplarisk prøve design og respons i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Vi vil analysere den inverse opgave:

Eksempel 5.

a) Dana er lige. Bestemme halvplanet, hvor punktet er placeret, mens den direkte direkte skal være i løsning.

b) Dana er lige. Bestemme halvplanet, hvor punktet er placeret. Den lige linje selv er ikke inkluderet i løsningen.

Afgørelse: Der er ikke behov for tegningen her, og løsningen vil være analytisk. Intet svært:

a) udgør hjælpepolynom og beregne sin værdi på punktet:
. Således vil den ønskede ulighed være med et "mindre" tegn. Efter betingelse er den direkte i løsning, så uligheden vil være utroligt:

b) udgør en polynom og beregne dets værdi på punktet:
. Således vil den ønskede ulighed være med "mere" tegn. Efter betingelse er Direkte ikke medtaget i beslutningen, derfor vil uligheden være streng :.

Svar:

Kreativt eksempel til selvstudium:

Eksempel 6.

Daniteter og lige. Blandt de noterede punkter for at finde dem, der sammen med begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne ligger på den ene side af den angivne direkte.

Et lille tip: Du skal først foretage en ulighed, der bestemmer halvplanet, hvor oprindelsen er placeret. Analytisk opløsning og respons i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Lineære uligheder systemer

Systemet med lineære uligheder er, som du forstår, systemet sammensat af flere uligheder. Lol, godt, definitionen udstedt \u003d) Hedgehog er en pindsvin, kniven er en kniv. Men sandheden - det viste sig simpelthen og tilgængeligt! Nej, hvis det er seriøst, vil jeg ikke medbringe nogle eksempler generelt, så vi vil straks henvende os til de presserende spørgsmål:

Hvad betyder det at løse et system med lineære uligheder?

Løse lineære uligheder - det betyder find mange punkter flyhvem tilfredsstiller til hver system ulighed.

Som de enkleste eksempler betragter vi systemet med uligheder, der bestemmer koordinatkvarteret i det rektangulære koordinatsystem ("tegning af dværge" er i begyndelsen af \u200b\u200blektionen):

Ujævnelsessystemet sætter det første koordinatkvarter (højre top). Koordinater for ethvert punkt i første kvartal, for eksempel, etc. Tilfredsstille til hver ulighed af dette system.

Tilsvarende:
- Systemet for ulighed fastsætter det andet koordinatkvarter (venstre øverst)
- Systemet for ulighed fastsætter det tredje koordinatkvarter (efterladt nedenfor);
- Ujævnelsessystemet fastsætter det fjerde koordinatkvarter (højre lavere).

Lineære uligheder system må ikke have løsninger, det vil sige være uden stop. Igen det enkleste eksempel :. Det er helt klart, at "X" samtidig kan være mere end tre og mindre end to.

Løsningen af \u200b\u200buligheder systemet kan være direkte, for eksempel:. Svan, kræft, uden en fisse, træk hvem i to forskellige retninger. Ja, hvem og nu der - løsningen af \u200b\u200bdette system er direkte.

Men det mest almindelige tilfælde, når opløsningen af \u200b\u200bsystemet er nogle flyareal. Regionbeslutninger måske ikke begrænset (for eksempel koordinat kvartaler) eller begrænset. Begrænsede arealbeslutninger kaldes polygon System Solutions..

Eksempel 7.

Løse lineære uligheder

I praksis er det i de fleste tilfælde nødvendigt at håndtere utrolige uligheder, så den resterende del af LED-danselektionen vil være dem.

Afgørelse: Det faktum, at uligheder er for meget, bør det ikke skræmme. Hvor meget kan være uligheder i systemet? Ja, så meget som du vil. Det vigtigste er at overholde en rationel algoritme for at opbygge beslutningsområdet:

1) Først beskæftiger vi os med de enkleste uligheder. Ujævnheder bestemmer det første koordinatkvarter, herunder grænsen fra koordinatakserne. Det er allerede meget lettere, da søgningsområdet har indsnævret betydeligt. I tegningen fejre straks de piler, der svarer til halvplanet (rød og blå pile)

2) Den anden med enkelhed er ulighed - der er ingen "Igrek". For det første opbygger vi selve direkte, og for det andet, efter at have konverteret ulighed til formularen, bliver det straks klart, at alle "Xers" er mindre end 6. Vi bemærker de grønne pile det tilsvarende halvplan. Nå, søgningsområdet er blevet endnu mindre - dette er ikke begrænset til toppen af \u200b\u200brektanglet.

3) I sidste trin løser vi uligheden "med fuldstændig ammunition" :. Løsningsalgoritmen betragtes i detaljer i det foregående afsnit. Kort sagt: Først bygger vi en lige linje, så ved hjælp af et eksperimentelt punkt finder vi den, vi har brug for et halvplan.

Stå, børn, stå i en cirkel:


Systemet med opløsninger af systemet er en polygon, på tegningen, den er cirkuleret med hindbær linje og skygget. Omarrangeret lidt \u003d) I notebook'en er området af løsninger tilstrækkeligt eller skygget eller i fedtet til at cirkulere en simpel blyant.

Ethvert punkt i denne polygon opfylder hver system ulighed (du kan tjekke for interesse).

Svar: Løsningen af \u200b\u200bsystemet er en polygon.

Når du laver en CleanStik, ville det være rart at male i detaljer, for hvilke punkter du har bygget lige (se lektion Diagrammer og egenskaber af funktioner), og hvordan halvplanet blev bestemt (se første afsnit i denne lektion). Men i praksis vil du i de fleste tilfælde blive krediteret og simpelthen den korrekte tegning. Beregningerne selv kan udføres på et udkast eller endog oralt.

Ud over polygonet af systemets løsninger, i praksis, omend mindre ofte, findes det åbne område. Prøv at demontere følgende eksempel på egen hånd. Selvom af hensyn til torturens skyld er det ikke - konstruktionsalgoritmen er den samme, bare regionen vil ikke være begrænset.

Eksempel 8.

Løse systemet

Løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen. Du vil højst sandsynligt have anden brevnotation af det opnåede område. Det er ikke fundamentalt, det vigtigste er at finde toppen og korrekt opbygge området.

Det er ikke ualmindeligt, når opgaver ikke kun kræver at bygge området for systemløsninger, men også for at finde koordinaterne for regionens hjørner. I de to tidligere eksempler var datakoordinaterne indlysende, men i praksis sker alt ikke is:

Eksempel 9.

Løs systemet og find koordinaterne for de opnåede område af det opnåede område

Afgørelse: Vis i tegningsområdet af løsninger af dette system. Ujævnheden sætter venstre halvplan med ejer af ordinatet, og der er ikke flere freebies. Efter beregninger på efterbehandling / udkast eller dybe mentale processer opnår vi følgende løsninger:

se også at løse lineær programmeringsproblem grafisk, kanoniske lineære programmeringsopgaver

Systemet med begrænsninger af en sådan opgave består af uligheder fra to variabler:
og målfunktionen har formularen F. = C. 1 X. + C. 2 y.som skal maksimeres.

Besvar spørgsmålet: Hvilke par af tal ( X.; y.) Er beslutninger om ulighedssystemet, dvs. tilfredsstille hver af de uligheder på samme tid? Med andre ord, hvad betyder det at løse systemet grafisk?
Det er først nødvendigt at forstå, hvad der er en løsning på en lineær ulighed med to ukendte.
Løs lineær ulighed med to ukendte midler til at bestemme alle par af ukendte værdier, hvor uligheden udføres.
For eksempel ulighed 3 x. – 5 Y. ≥ 42 tilfredsstiller par ( x. , y.): (100, 2); (3, -10) osv. Opgaven er at finde alle sådan damp.
Overvej to uligheder: ØKSE. + ved≤ C., ØKSE. + ved≥ C.. Lige ØKSE. + ved = c. deler flyet i to halvplader, så koordinaterne for punkter af en af \u200b\u200bdem tilfredsstiller ulighed ØKSE. + ved >c. og anden ulighed ØKSE. + +ved <c..
Faktisk tage et punkt med koordinaten X. = x. 0; Så lyser punktet på en direkte og har abscisse x. 0, har ordinat

Lad for sikkerhed EN.& lt 0, b.>0, c. \u003e 0. Alle punkter med Abscissea x. 0 liggende ovenfor P. (for eksempel punkt M.), har Y M.>y. 0, og alle punkter underliggende punkter P., med abscissa. x. 0, har. Y N.<y. 0. For så vidt. x. 0 -Conal Point, altid på den ene side af lige vil være de punkter, som ØKSE.+ ved > c.danner et halvplan, og på den anden side - de punkter, for hvilke ØKSE. + ved< c..

Billede 1

Tegn på ulighed i halvplanet afhænger af tallene EN., b. , c..
Det følger følgende metode til grafiske løsninger af lineære uligheder fra to variabler. For at løse systemet er det nødvendigt:

1. For hver ulighed, skriv ligningen svarende til denne ulighed.
2. Konstruer direkte, som er grafer af funktioner defineret af ligninger.
3. For hver lige linje for at bestemme halvplanet, som er indstillet i ulighed. For at gøre dette skal du tage et vilkårligt punkt, der ikke ligger på en straight, erstatter sine koordinater til ulighed. Hvis uligheden er korrekt, så er halvplanet indeholdende det valgte punkt og er løsningen af \u200b\u200bden oprindelige ulighed. Hvis uligheden er forkert, er halvplanet på den anden side af Direct en række løsninger af denne ulighed.
4. For at løse systemet med uligheder er det nødvendigt at finde området af skæringspunktet for alle semi-stillinger, som ved løsningen af \u200b\u200bhver system ulighed.

Dette område kan være tomt, så har ulighedssystemet ikke løsninger, inkonsekvent. Ellers siger de, at systemet koordineres.
Løsninger kan være et begrænset antal og et uendeligt sæt. Området kan være en lukket polygon eller at være ubegrænset.

Overvej tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs grafisk system:
X. + y - 1 ≤ 0;
–2 x -2y. + 5 ≤ 0.

• overvej ligningerne X + Y-1 \u003d 0 og -2x-2Y + 5 \u003d 0, svarende til uligheder;
• vi konstruerer direkte, defineret af disse ligninger.

Figur 2.

Vi definerer halvplanet fastsat af uligheder. Tag et vilkårligt punkt, lad (0; 0). Overveje x.+ y-1 0, vi erstatter punktet (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Så i halvplanet, hvor punktet er (0; 0), x. + y. – 1 ≤ 0, dvs. Halvplanet underliggende direkte er løsningen af \u200b\u200bden første ulighed. Substment dette punkt (0; 0), for det andet, vi får: -2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. I halvplanet, hvor punktet er (0; 0), -2 x. – 2y. + 5≥ 0, og vi blev spurgt hvor -2 x. – 2y. + 5 ≤ 0, derfor i en anden halvplan - i den, der er over lige.
Find krydset mellem disse to semi-stillinger. Lige er parallelle, derfor skærer flyet ikke overalt, hvilket betyder, at systemet i uligheden af \u200b\u200bløsninger ikke har, ufuldstændig.

Eksempel 2. Find grafisk løsninger af uligheder systemet:

Figur 3.
1. Drik de ligninger svarende til uligheder, og bygg lige.
x. + 2y.– 2 = 0

X.	2	0
Y.	0	1

y. – x. – 1 = 0

x.	0	2
y.	1	3

y. + 2 = 0;
y. = –2.
2. Ved at vælge et punkt (0; 0) definerer vi tegn på uligheder i halvplanerne:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, dvs. x. + 2y.- 2 ≤ 0 i halvplanet nedenfor lige
0 - 0 - 1 ≤ 0, dvs. y. –x.- 1 ≤ 0 i halvplanet nedenfor lige
0 + 2 \u003d 2 ≥ 0, dvs. y. + 2 ≥ 0 i et halvplan over lige.
3. Krydset mellem disse tre semi-stillinger vil være et område, der er en trekant. Det er nemt at finde hjørnerne af området som krydsningspunkterne i den tilsvarende direkte


På denne måde, MEN(–3; –2), I(0; 1), FRA(6; –2).

Overvej et andet eksempel, hvor det resulterende område af systemopløsningen ikke er begrænset.

Denne artikel indeholder indledende oplysninger om ulighedssystemer. Definitionen af \u200b\u200bulighedssystemet er givet her og bestemmelse af opløsningen af \u200b\u200bulighedssystemet. Og også lister de vigtigste typer af systemer, som oftest arbejder i lektierne af algebra i skolen, og eksempler gives.

Navigeringsside.

Hvad er ulighedssystemet?

Ujævne systemer er bekvemt defineret på samme måde som, hvordan vi introducerede definitionen af \u200b\u200bet system af ligninger, det vil sige ifølge typen af \u200b\u200boptagelse og mening indsat i den.

Definition.

Systemet med uligheder - Dette er en rekord, som er et vist antal uligheder, der er registreret i hinanden, kombineret på venstre bøjle og betegner mange af alle løsninger, der samtidig er løsninger for hver system ulighed.

Vi giver et eksempel på ulighedssystemet. Tag to vilkårlig, for eksempel 2 · X-3\u003e 0 og 5 - x≥4 · X-11, vi skriver dem en under den anden
2 · X-3\u003e 0,
5-x≥4 · x-11
og forene systemskiltet - en figurbeslag, som følge heraf får vi et system med uligheder af denne type:

På samme måde gives en ide om uligheder i skole lærebøger. Det er værd at bemærke, at definitionerne gives mere snævert: for uligheder med en variabel eller med to variabler.

Hovedtyper af uligheder

Det er klart, at du kan gøre uendeligt mange forskellige uligheder. For ikke at gå tabt i denne mangfoldighed, er det tilrådeligt at overveje dem i grupper, der har deres egne karakteristiske træk. Alle uligheder kan opdeles i grupper i henhold til følgende kriterier:

• i antallet af uligheder i systemet
• af antallet af variabler, der er involveret i posten
• ifølge uligheden selv.

I antallet af uligheder, der indgår i posten, er der to, tre, fire systemer mv. uligheder. I det foregående afsnit førte vi et eksempel på et system, der er et system med to uligheder. Lad os vise et andet eksempel på et system med fire uligheder .

Separat sige, at det ikke giver mening at tale om systemet med en ulighed, i dette tilfælde, vi faktisk taler om uligheden selv, og ikke om systemet.

Hvis du ser på antallet af variabler, er der et system med uligheder med en, to, tre osv. variabler (eller som andre steder er de ukendte). Kig på det sidste system af uligheder, der er registreret af to afsnit ovenfor. Dette er et system med tre variabler x, y og z. Bemærk venligst, at dets to første uligheder ikke indeholder alle tre variabler, men kun en af \u200b\u200bdem. I forbindelse med dette system bør de forstås som uligheder med tre variabler af arten X + 0 · Y + 0 · z≥ 2 og 0 · X + Y + 0 · z≤5. Bemærk, at i skole er hovedhjælpen betalt for uligheder med en variabel.

Det er fortsat at diskutere, hvilke typer uligheder er involveret i systemernes optegnelser. Skolen betragter hovedsageligt systemerne med to uligheder (mindre ofte - tre, endnu mindre ofte - fire eller flere) med en eller to variabler, og ulighederne selv er normalt hele uligheder Den første eller anden grad (mindre ofte - højere grader eller fraktioneret rationel). Men vær ikke overrasket, hvis der i forberedelsesmaterialerne støder på i ulighedssystemer, der indeholder irrationelle, logaritmiske, vejledende og andre uligheder. Som et eksempel giver vi systemet med uligheder Hun er taget fra.

Hvad hedder løsningen af \u200b\u200bulighedssystemet?

Vi introducerer en anden definition i forbindelse med ulighedssystemer - bestemmer løsningen af \u200b\u200bsystemet med uligheder:

Definition.

Ved at løse systemet med uligheder med en variabel Det kaldes en sådan variabel værdi, der tilføjer hver af systemets uligheder til de trofaste, med andre ord, som er løsningen af \u200b\u200bhver system ulighed.

Lad os forklare på eksemplet. Tag et system med to uligheder med en variabel. Tag værdien af \u200b\u200bvariablen X lig med 8, det er løsningen af \u200b\u200bvores ulighedssystem pr. Definition, da dets substitution i systemforstyrrelsen giver to trofaste numeriske uligheder 8\u003e 7 og 2-3 · 8 \u003c0. Tværtimod er enheden ikke en løsning på systemet, da når det er substitueret i stedet for en variabel X, bliver den første ulighed til en forkert numerisk ulighed 1\u003e 7.

På samme måde er det muligt at indføre bestemmelsen af \u200b\u200bløsningen af \u200b\u200bsystemet med uligheder med to, tre og store antal variabler:

Definition.

Ved løsningen af \u200b\u200bsystemet med uligheder med to, tre osv. variabler. kaldet damp, tredobbelt osv. Værdierne for disse variabler, som på samme tid er en løsning på hver system ulighed, det vil sige, trækker hver system ulighed til den højre numeriske ulighed.

For eksempel er et par værdier X \u003d 1, Y \u003d 2 eller en anden post (1, 2) en opløsning af et system med uligheder med to variabler, som 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Ujævne systemer må ikke have løsninger, kan have et begrænset antal løsninger og kan have uendeligt mange løsninger. Taler ofte om sæt af løsninger af systemet med uligheder. Når systemet ikke har nogen løsninger, så er der et tomt sæt af sine løsninger. Når opløsningerne er et begrænset tal, indeholder sæt af løsninger et begrænset antal elementer, og når opløsninger er uendeligt meget, består sæt af løsninger af et uendeligt antal elementer.

I nogle kilder indføres definitionerne af en privat og generel løsning af uligheder systemet, som for eksempel i Mordkovich lærebøger. Under privat løsning af systemet med uligheder Forstå hendes en separate beslutning. På tur generel løsning af ulighedssystemet - Det er alle sine private løsninger. Men i disse vilkår giver det kun mening, når det er nødvendigt at understrege, at det er klart over, hvilken beslutning der er, men det er normalt tydeligt fra sammenhængen, så meget oftere siger de simpelthen at "løse ulighedssystemet".

Fra definitionerne af uligheder og løsninger, der er opført i denne artikel, følger det, at løsningen af \u200b\u200bulighedssystemet er skæringspunktet mellem sæt af løsninger af alle uligheder i dette system.

Bibliografi.

1. Algebra: undersøgelser. For 8 cl. Generel uddannelse. Institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. udgave - m.: Oplysning, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: Grade 9: Undersøgelser. Til generel uddannelse. Institutioner / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. udgave - m.: Oplysning, 2009. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. Grade 9. I 2 tsk. 1. Tutorial for studerende af generelle uddannelsesinstitutioner / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. udgave, selv. - m.: Mnemozina, 2011. - 222 c.: Il. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra og begyndelsen af \u200b\u200bmatematisk analyse. Grade 11. I 2 tsk. 1. lærebog for studerende af generelle uddannelsesinstitutioner (profilniveau) / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., CHED. - m.: Mnemozina, 2008. - 287 s.: Il. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Ege.-2013. Matematik: Typiske undersøgelser: 30 muligheder / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - m.: Forlag "National Education", 2012. - 192 s. - (Ege-2013. FIPI SCHOOL).