Vektor kunstværker. Blandede vektorer

Ved denne lektion vil vi overveje to flere operationer med vektorer: vektor kunstværker og blandede vektorer (straks link, hvem har brug for det. Intet forfærdeligt, så nogle gange sker det, at for fuldstændig lykke, derudover scalar produktvektorer, det er også påkrævet. Sådan er her en vektor lægemiddelafhængighed. Det kan søge indtryk af, at vi klatrer ind i affaldet af analytisk geometri. Det er ikke sandt. I dette afsnit af den højeste matematik er der ikke nok brænde generelt, undtagen Pinocchio. Faktisk er materialet meget almindeligt og enkelt - næppe vanskeligere end det samme scalar Product.Selv de typiske opgaver bliver mindre. Det vigtigste i analytisk geometri, så mange vil blive dræbt eller allerede er overbevist, ikke fejl i beregninger. Gentag som en stave, og du vil være glad \u003d)

Hvis vektorerne glitter et sted langt som lyn i horisonten, ikke problemer, start fra lektionen Vektorer for tekandeAt genoprette eller genvinde grundlæggende viden om vektorerne. Flere forberedte læsere kan lære oplysningerne selektivt, jeg forsøgte at indsamle den mest komplette samling af eksempler, der ofte findes i praktisk arbejde.

Hvad skal du straks venligst? Da jeg var lille, så vidste jeg, hvordan jeg skulle jonglere to og endda tre bolde. DefTly lykkedes. Nu bliver du ikke nødt til at jonglere overhovedet, da vi vil overveje kun rumlige vektorer., og flade vektorer med to koordinater forbliver overbord. Hvorfor? Disse handlinger blev født - en vektor og blandet produkt af vektorer defineres og drives i tredimensionelt rum. Allerede lettere!

I denne operation deltager på samme måde som i skalarproduktet to vektorer.. Lad det være nonsens bogstaver.

Handling selv betegner På følgende måde :. Der er andre muligheder, men jeg plejede at betegne vektor kunstværker af vektorer ligesom det i firkantede parenteser med et kryds.

Og straks spørgsmål: Hvis IN. scalar produktvektorer To vektorer er involveret, og her multipliceres to versioner her, da hvad er forskellen? Eksplicit forskel, først og fremmest som følge heraf:

Resultatet af et skalærprodukt af vektorer er et tal:

Resultatet af vektor kunstvektorer er vektor: Det vil sige, vi multiplicerer vektorerne og får vektoren igen. Lukket klub. Faktisk, dermed navnet på operationen. I forskellige læringslitteratur kan betegnelserne også variere, jeg vil bruge brevet.

Definition af vektor kunst

Først vil der være en definition med et billede, så kommentarer.

Definition: Vektorarbejde nonollyline. vektorer, taget i denne rækkefølge, kaldet vektor, længde. som er numerisk svarende til parallelogrammetBygget på disse vektordata; vektor ortogonale vektorer. Og det er rettet, så grundlaget har den rigtige orientering:

Vi demonterer definitionen af \u200b\u200bknoglerne, der er mange interessante ting!

Så du kan vælge følgende vigtige øjeblikke:

1) Kildevektorer markeret med røde pile pr. Definition ikke collinear. Sagen om kollinære vektorer vil være hensigtsmæssigt at overveje lidt senere.

2) Vektorer taget i strengt defineret rækkefølge: – "A" multipliceres med "være", ikke "være" på "A". Resultatet af multiplikationsvektorer Det er en vektor, der er angivet i blåt. Hvis vektorerne multipliceres i omvendt rækkefølge, får vi lig med længden og den modsatte vektor (hindbær farve). Det vil sige, ligestilling er ret .

3) Lad os nu blive bekendt med den geometriske betydning af vektorproduktet. Dette er et meget vigtigt punkt! Længden af \u200b\u200bden blå vektor (og derfor er hindbærvektoren numerisk lig med kvadratet af parallelogrammet, der er bygget i vektorerne. I figuren er dette parallelogram skygget i sort.

Bemærk : Tegningen er skematisk, og naturligvis er den nominelle længde af vektorproduktet ikke lig med området for parallelogrammet.

Vi husker en af \u200b\u200bde geometriske formler: området af parallelogrammet er lig med produktet af tilstødende sider på hjørnet sinus mellem dem. Derfor, baseret på det foregående, er formlen til beregning af længden af \u200b\u200bvektorproduktet:

Jeg understreger, at i formlen taler vi om længden af \u200b\u200bvektoren, og ikke om meget vektor. Hvad er den praktiske betydning? Og meningen er, at i de analytiske geometries opgaver, findes området for parallelogrammet ofte gennem begrebet vektorkunst:

Vi får en anden vigtig formel. Diagonalen af \u200b\u200bparallelogrammet (rød dottedier) deler det i to lige trekanter. Følgelig kan området af trekanten, bygget i vektorerne (røde ruge), findes ved formlen:

4) Ikke mindre vigtigt faktum er, at vektoren er ortogonale vektorer, det vil sige . Selvfølgelig er den modsatte rettede vektor (Raspberry-pilen) også ortogonal i de oprindelige vektorer.

5) Vektoren er rettet således, at basis Det har ret Orientering. I klasseværelset O. overgang til et nyt grundlag Jeg talte i detaljer om orientering af flyetOg nu vil vi håndtere rummets orientering. Jeg vil forklare dine fingre højre hånd. Mentalt kombinere pegefinger. Med vektor I. lange finger Med vektor. Navngivne finger og en lille finger Tryk på palmen. Som resultat tommelfinger - Vektor kunst vil se op. Dette er den højrefluged basis (i figuren det er han). Nu ændre vektorerne ( indeks og mellemfingre) Steder, som følge heraf udfolder tommelfingeren, og vektorarbejdet vil allerede se ned. Dette er også et regelmæssigt grundlag. Måske har du et spørgsmål: Hvilket grundlag er venstreorientering? "Navn" de samme fingre venstre hånd vektorer og få venstre og venstre orientering af rummet (I dette tilfælde vil tommelfingeren være placeret i retning af den nederste vektor). Figurativt talende, disse baserer "spin" eller Orient Space i forskellige retninger. Og dette koncept bør ikke betragtes som noget konstrueret eller abstrakt - så for eksempel ændrer rummets orientering det mest almindelige spejl, og hvis du "trækker det reflekterede objekt fra castorcal." Det vil ikke være i stand til at kombinere det i generel. Forresten, tag tre fingre til spejlet og analyserer refleksionen ;-)

... hvordan det er godt, at du nu ved om lov og venstreorienteret Baser, for de forfærdelige udsagn af nogle foredragsholdere om ændringen af \u200b\u200borientering \u003d)

Vektor kunstværk af kollinære vektorer

Definitionen demonteres i detaljer, det er fortsat at finde ud af, hvad der sker, når de kollinerede vektorer. Hvis vektorerne er kollinerede, kan de placeres på en lige linje, og vores parallelogram også "folder" i en lige. Området herom, som matematik siger, degenerate. Parallellogrammet er nul. Det følger af formlen - sinus nul eller 180 grader er nul, og derfor er området nul

Således, hvis . Strengt taget er selve vektorproduktet nulvektor, men i praksis er det ofte forsømt og skrevet, at det simpelthen er nul.

Privat sag - Vector produktvektor på sig selv:

Ved hjælp af et vektorprodukt kan collineariteten af \u200b\u200btredimensionelle vektorer kontrolleres, og vi vil også se på denne opgave blandt andre.

At løse praktiske eksempler kan kræve trigonometrisk tabelAt finde det værdier af bihule.

Nå, antænd ilden:

Eksempel 1.

a) Find længden af \u200b\u200bvektor kunstvektorer, hvis

b) Find pladsen af \u200b\u200bparallelogrammet bygget i versionerne, hvis

Afgørelse: Nej, det er ikke en typografi, de oprindelige data i klausulforholdene, jeg forsætligt gjorde det samme. Fordi træffer beslutninger vil være anderledes!

a) under den tilstand, du skal finde længde. Vektor (vektor kunst). Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Kohl spurgte snart om længde, så som svar, indikerer dimensionenhederne.

b) under den betingelse, der kræves for at finde areal Et parallelogram bygget i vektorer. Området af dette parallelogram er numerisk lig med længden af \u200b\u200bvektorproduktet:

Svar:

Bemærk venligst, at som svar på vektorproduktet af tale ikke går overhovedet, blev vi spurgt om firkantet af figur, Følgelig er dimensionen firkantede enheder.

Vi ser altid på, hvad der kræves i tilstand, og baseret på dette formulerer vi klar svar. Det kan virke nøgle, men der er nok keystoner blandt lærere, og opgaven med gode chancer vil vende tilbage til forfining. Selvom dette ikke er et særligt strakt kvarid - hvis svaret er forkert, ser det ud til, at en person ikke forstår enkle ting og / eller ikke en i essensen af \u200b\u200bopgaven. Dette øjeblik bør altid holdes på kontrol, løse enhver opgave i højere matematik, og også i andre emner.

Hvor gjorde Big Bucchka "en"? I princippet kunne det desuden deltage i løsningen, men for at reducere posten gjorde jeg det ikke. Jeg håber, at alle forstår, at dette er udpegelsen af \u200b\u200bdet samme.

Populært eksempel for selvløsninger:

Eksempel 2.

Find et trekant område bygget i vektorer, hvis

Formlen for at finde trekantsområdet gennem vektorkunst er angivet i kommentarerne til definitionen. Løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.

I praksis er opgaven virkelig meget almindelig, trekanter kan generelt torturere.

For at løse andre opgaver skal vi:

Egenskaber af vektor kunstværk

Nogle egenskaber ved vektorarbejde Vi har allerede overvejet, men jeg vil omfatte dem i denne liste.

For vilkårlige vektorer og vilkårlige tal er følgende egenskaber retfærdige:

1) I andre informationskilder er denne vare normalt ikke identificeret i ejendommene, men det er meget vigtigt i praksis. Lad det derfor være.

2) - Ejendommen er også adskilt ovenfor, nogle gange kaldes det anti-kommutative. Med andre ord betyder rækkefølgen af \u200b\u200bvektorer.

3) - dyster eller associative. Love om vektorarbejde. Konstanter tages midlertidigt ud af vektorarbejdet. Faktisk, hvad gør de der?

4) - Distribution eller distribut. Love om vektorarbejde. Med offentliggørelsen af \u200b\u200bparenteserne er der ingen problemer.

Som demonstration skal du overveje et kort eksempel:

Eksempel 3.

Find om

Afgørelse: Ved tilstand er det nødvendigt at finde længden af \u200b\u200bvektorproduktet igen. Vi bringer vores miniature:

(1) Ifølge associative love udgør vi konstanterne for omfordeling af vektorarbejde.

(2) Vi udholder konstanten uden for modulet, mens modulet "spiser" et "minus" tegn. Længden kan ikke være negativ.

(3) Yderligere er forståeligt.

Svar:

Det er på tide at kaste brænde i ilden:

Eksempel 4.

Beregn trekantsområdet, der er bygget i vektorerne, hvis

Afgørelse: Triangle Square Find formlen . Snag er, at "CE" og "de" vektorer selv er repræsenteret som summer af vektorer. Algoritme her er standard og noget ligner eksempler nummer 3 og 4 lektioner Scalar produktvektorer. Løsningen for klarhed til at bryde ind i tre faser:

1) I det første skridt udtrykker vi et vektorprodukt gennem en vektorkunst, faktisk, express vektor via vektor. Om længder ikke et ord!

(1) Vi erstatter udtryk for vektorer.

(2) Brug af fordelingslove, afsløre parentes i henhold til multiplikationsreglen af \u200b\u200bpolynomier.

(3) Ved hjælp af associative love udholder vi alle konstanterne ud over vektorværkerne. Under den malomale oplevelse kan 2 og 3 udføres samtidigt.

(4) Første og sidste sigt er nul (nul vektor) takket være en behagelig ejendom. På anden sigt bruger vi vektorarbejdets anti-commutativivitet:

(5) Vi giver sådanne komponenter.

Som et resultat viste vektoren ud af at blive udtrykt gennem vektoren, som skulle opnås:

2) Ved andet trin finder vi længden af \u200b\u200bdet vektorprodukt, du har brug for. Denne handling ligner eksempel 3:

3) Find området af den ønskede trekant:

Stadier 2-3 løsninger kunne arrangeres med en linje.

Svar:

Den betragtede opgave er tilstrækkeligt formidlet i testene, her er et eksempel på en uafhængig afgørelse:

Eksempel 5.

Find om

En kort løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen. Lad os se, hvor opmærksomme du er, når du studerer tidligere eksempler ;-)

Vektor kunstværk af vektorer i koordinater

defineret på det orthonormale grundlag formula er udtrykt:

Formel og sand Sprydskaya: I den øvre linje af determinanten skriver vi ned de koordinatvektorer, i anden og tredje linje "sætter" de vektorernes koordinater og pasform i streng ordre - For det første koordinaterne for vektoren "ve", så koordinaterne for vektoren "DUBL-WE". Hvis vektorerne skal formere sig i en anden rækkefølge, skal rækkerne byttes på steder:

Eksempel 10.

Kontroller, om de kollinerede vil være følgende rumvektorer:
men)
b)

Afgørelse: Check er baseret på en af \u200b\u200budsagnene for denne lektion: Hvis de kollinerede vektorer, så er deres vektorprodukt nul (nul vektor): .

a) Velkommen en vektor kunst:

Således er vektorerne ikke kollinære.

b) Find en vektor kunst:

Svar: a) ikke collinear, b)

Dette er måske alle de grundlæggende oplysninger om vektorproduktet af vektorer.

Dette afsnit vil ikke være meget stor, da de opgaver, hvor det blandede produkt af vektorer anvendes, lidt. Faktisk vil alt være begrænset til definition, geometrisk betydning og et par arbejdsformler.

Blandet kunstværk af vektorer er et arbejde med tre vektorer.:

Sådan blev de lined op af et tog og vent, ville ikke vente, da de blev beregnet.

For det første igen definition og billede:

Definition: Blandet arbejde noncomplenar. vektorer, taget i denne rækkefølge, hedder mængden af \u200b\u200bparallelepipeda, bygget på dataene i vektoren, udstyret med "+" -tegnet, hvis basis er højre, og tegnet "-", hvis basisen er tilbage.

Udfør et billede. Usynlige linjer er slået af den stiplede linje:

Fordyb dig i definition:

2) Vektorer taget i en bestemt rækkefølge, det vil sige omlægningen af \u200b\u200bvektorer i arbejdet, som du gætter, passerer ikke uden konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer geometrisk betydning, vil jeg notere det indlysende faktum: blandede vektorer er et tal:. I den pædagogiske litteratur kan designet være noget anderledes, jeg plejede at underskrive et blandet produkt gennem og resultatet af beregninger af bogstavet "PE".

A-Priory. blandet arbejde er et parallelepipet volumenIndbyggede vektorer (figuren rengøres med røde vektorer og sorte linjer). Det vil sige, at tallet er lig med mængden af \u200b\u200bdenne parallelepiped.

Bemærk : Tegningen er skematisk.

4) Lad os ikke re-damp med begrebet orientering af basis og rummet. Betydningen af \u200b\u200bden endelige del er, at et minustegn kan tilføjes til volumenet. Enkle ord, et blandet produkt kan være negativt :.

Direkte fra definitionen følger formlen til beregning af mængden af \u200b\u200bparallelepiped, indbyggede vektorer.

7.1. Definition af vektor kunst

Tre noncomplete Vectors A, B og C, taget i den angivne rækkefølge, danner de rigtige tre, hvis fra enden af \u200b\u200bden tredje vektor med den korteste rotation fra den første vektor A til den anden vektor B er synlig mod uret og venstre, hvis med uret (se ris. seksten).

Vektor produkt A på vektor B kaldet Vector med, som:

1. Vinkelret på vektorer A og B, dvs. med ^ a og c ^ b;

2. Har en længde, numerisk lig med området af parallelogrammet, bygget i vektorer A ogb.som på siderne (se fig. 17), dvs.

3. Vektorer A, B og C danner den rigtige trojka.

Vektorproduktet betegnes med Xb eller [A, B]. Fra bestemmelsen af \u200b\u200bvektorproduktet måles følgende forhold mellem orthops I direkte j. og k.(Se fig. 18):

jeg x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Vi beviser for eksempel detjeg xj \u003d k.

1) K ^ I, K ^ j;

2) | K | \u003d 1, men | jeg X J.| \u003d | I | | J | synd (90 °) \u003d 1;

3) Vektorer I, J og k. Danner den rigtige trojka (se fig. 16).

7.2. Egenskaber af vektorarbejde

1. Når du tillader faktorerne, ændrer vektorproduktet tegnet, dvs. og xb \u003d (b ha) (se fig. 19).

Vektorer En CHB og B H-collineearpes har de samme moduler (parallelogramområdet forbliver uændret), men modsat rettet (tre A, B, A XB og A, B, B, B, B, B, Modsat orientering). Det er en xb. = -(b xa.).

2. Vektorproduktet har en bekæmpende egenskab i forhold til skalarfaktoren, det vil sige l (A xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (lb).

Lad l\u003e 0. Vektor l (en xb) vinkelret på vektorer A og B. Vektor ( l.a) H. b.også vinkelret på vektorer a og b.(vektorer a, l.og ligge i samme plan). Så vektorer l.(og HB) og ( l.a) H. b.collinear. Selvfølgelig falder de deres anvisninger. Har samme længde:

derfor l.(En Hb) \u003d l.og xb. På samme måde bevist for l.<0.

3. To nonzero vektorer a og b.collinear derefter og kun hvis deres vektor kunst er lig med nulvektor, dvs. a || b<=>en xb \u003d 0.

Især jeg * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0.

4. Vector produkt har en distributionsegenskab:

(a + B) XS \u003d A XS + b. xs.

Vi accepterer uden bevis.

7.3. Ekspression af vektorarbejde gennem koordinater

Vi vil bruge bordvektorer kunstvektorer i, j.og k:

hvis retningen af \u200b\u200bden korteste sti fra den første vektor til det andet falder sammen med pilens retning, er arbejdet lig med den tredje vektor, hvis det ikke falder sammen - den tredje vektor tages med "minus" -tegnet.

Lad to vektorer A \u003d A X I + A Y j. + A Z. k.og b \u003d b x jEG. + b y. j. + B Z. k. . Vi finder et vektorprodukt af disse vektorer, der multiplicerer dem som polynomier (ifølge egenskaberne af vektorproduktet):

Den resulterende formel kan registreres selv på kort tid:

da den højre side af ligestilling (7.1) svarer til nedbrydning af en tredje ordre determinant for elementerne i den første linje. Faktum (7.2) er let at huske.

7.4. Nogle applikationer vektor virker

Indstilling af collinearity vektorer

Find området for parallelogrammet og trekanten

Ifølge definitionen af \u200b\u200bvektor kunstvektorer menog B. | A HB | \u003d. | A | * | b | Sin g, dvs. s par \u003d | a x b |. Og derfor d s \u003d 1/2 | a x b |.

Bestemmelse af magtens øjeblik i forhold til punktet

Lad på det punkt og strømmen anvendes F \u003d AB.giv slip OM- et stykke punkt i rummet (se fig. 20).

Fra fysik er det kendt at moment of Si Lia F. i forhold til punktet OM kaldet vektor M,som passerer gennem punktet OMog:

1) vinkelret på flyet, der passerer gennem punkter Åh, A, B;

2) er numerisk lig med kraftens arbejde på skulderen

3) udgør den rigtige trojka med OA og en centreringer.

Derfor m \u003d oa x f.

Lineær rotationshastighed

Fart v.punkter af fast krop, der roterer med vinkelhastighed w.omkring den stationære akse bestemmes ved formlen for Euler V \u003d W XR, hvor R \u003d ohm, hvor O-nogle faste punkt af aksen (se figur 21).

Endelig fik jeg hænder til et omfattende og efterlængt emne analytisk geometri. For det første, lidt om dette afsnit af de højeste matematik .... Du huskede sikkert nu skolens geometri med mange sætninger, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, unloved og ofte et overkommeligt emne for en betydelig andel af eleverne. Analytisk geometri, mærkeligt nok, kan virke mere interessant og overkommelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To stemplet matematisk omsætning kommer straks til at tænke på: "Grafisk løsningsmetode" og "Analytisk Solution Method". Grafisk metode, Klart er forbundet med konstruktion af grafer, tegninger. Analytical.samme metode forudsætter løsning af opgaver overvejende Ved hjælp af algebraisk virkning. I denne henseende er algoritmen af \u200b\u200bløsninger af næsten alle opgaver af analytisk geometri enkel og gennemsigtig, ofte nok til forsigtigt at anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig, ganske uden tegninger her vil det ikke koste, foruden en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at bringe dem over nødvendigheden.

Åbningshastigheden for lektioner i geometri hævder ikke teoretisk fuldstændighed, det er fokuseret på at løse praktiske opgaver. Jeg inkluderede kun i mine forelæsninger, at fra mit synspunkt er vigtigt i praksis. Hvis du har brug for et mere komplet certifikat i henhold til ethvert afsnit, anbefaler jeg følgende ganske overkommelige litteratur:

1) den ting, som uden joke er kendt for flere generationer: Skole lærebog på geometri, forfattere - L.s. Atanasyan og selskabet. Denne bøjle af skole omklædningsrum har allerede opretholdt 20'erne (!) Reprint, som selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 volumener. Forfattere L.s. Atanasyan, Basilev V.T.. Disse er litteratur til videregående uddannelse, du skal bruge første tom. Fra mit synsfelt kan sjældent fundet opgaver falde ud, og lærebogen vil give uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis på internettet. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, der kan findes på siden. Download eksempler på højere matematik.

Fra instrumentelle værktøjer foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke Ifølge analytisk geometri, som vil reducere livet betydeligt og spare en masse tid.

Det antages, at læseren er bekendt med de grundlæggende geometriske koncepter og figurer: punkt, direkte, plan, trekant, parallelogram, parallelepiped, kube osv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste soorem af Pythagora, Hej til 10. år)

Og nu vil vi konsekvent overveje: Vector koncept, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Næste anbefaler jeg at læse Den vigtigste artikel Scalar produktvektorersåvel som Vektor og blandede kunstvektorer. Lokal opgave er ikke for meget - deler segmentet i denne henseende. Baseret på ovenstående oplysninger kan du mestere direkte ligning på flyet fra de enkleste eksempler på opløsningerhvad der vil tillade lær at løse geometri udfordringer. Følgende artikler er også nyttige: Plan ligning i rummet, Ligninger direkte i rummetDe vigtigste opgaver for lige og plan, andre sektioner af analytisk geometri. Naturligvis overvejer samtidig typiske opgaver.

Vektor koncept. Gratis vektor

Først gentager vi skoldefinitionen af \u200b\u200bvektoren. Vektor hedder rettet Segmentet, for hvilken dets begyndelse og enden er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af \u200b\u200bsegmentet det punkt, slutningen af \u200b\u200bsegmentet - punktet. Selve vektoren er angivet igennem. Retning Det er vigtigt, hvis du omarrangerer pilen til en anden ende af segmentet, så vil vektoren være, og det er allerede en helt anden vektor. Konceptet af vektoren er praktisk at identificere med bevægelsen af \u200b\u200bden fysiske krop: du ser, gå til instituttets dør eller komme ud af instituttets dør er helt forskellige ting.

Separate punkter i flyet, rummet er praktisk at overveje den såkaldte nul vektor . I en sådan vektor falder enden og begyndelsen sammenhænge.

!!! Bemærk: I det følgende kan det vurderes, at vektorerne ligger i samme plan, eller du kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af \u200b\u200bdet skitserede materiale er også gyldigt for flyet og for rummet.

Betegnelser: Mange tog straks opmærksomheden på staven uden pil i betegnelsen og sagde, på samme tid de satte pilen! Sandt nok kan du skrive med pilen: men tilladt den rekord, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende har en sådan vane udviklet sig fra praktiske overvejelser, mine pile på skolen og universitetet viste sig for at være for differentieret og shaggy. I den pædagogiske litteratur, nogle gange gider de ikke med ure overhovedet, men allokere breve med fed skrift:, hvilket indebærer, at dette er en vektor.

Det var stilen, og nu om metoderne til optagelse af vektorer:

1) Vektorer kan skrives af to store latinske bogstaver:
etc. Samtidig er det første bogstav før Angiver begyndelsen af \u200b\u200bvektoren og det andet bogstav - punkt-end vektoren.

2) Vektorer registrerer også små latinske bogstaver:
Især er vores vektor mulig for korthed til at konvertere et lille latinbrev.

Lena. eller modul Nonzero vektoren kaldes længden af \u200b\u200bsegmentet. Længden af \u200b\u200bnulvektoren er nul. Logisk.

Vektorens længde er angivet ved tegn på modulet:

Sådan finder du længden af \u200b\u200bvektoren, vi vil lære (eller gentage, for hvem som) lidt senere.

At der var elementære oplysninger om vektoren, der var kendt for alle skolebørn. I den analytiske geometri, den såkaldte gratis vektor.

Hvis det er enkelt - vektor kan udskydes fra et hvilket som helst punkt.:

Vi plejede at ringe til sådanne vektorer (definitionen af \u200b\u200blige vektorer vil blive givet nedenfor), men er udelukkende fra et matematisk synspunkt. Dette er den samme vektor eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi du under løsningen af \u200b\u200bopgaver kan "vedhæfte" en eller anden vektor i nogen, punktet på det plane eller rum, du har brug for. Dette er en meget cool ejendom! Forestil dig en vilkårlig længde og retninger - det kan være "kloning" et uendeligt antal gange og på et hvilket som helst punkt af rum, faktisk eksisterer det overalt. Der er et så student tillæg: Til hver lektor i F ** Y via vektoren. Trods alt, ikke bare et vittigt rim, er alt matematisk korrekt - vektoren kan fastgøres der. Men skynd dig ikke for at glæde sig, eleverne har selv oftere \u003d)

Så, gratis vektor - dette er masser af identiske rettede segmenter. Skole Definition af en vektor givet i begyndelsen af \u200b\u200bstykket: "Vektoren kaldes en rettet snit ...", indebærer bestemt Direktionssegmentet taget fra dette sæt, som er bundet til et bestemt punkt på flyet eller rummet.

Det skal bemærkes, at i form af fysik er begrebet fri vektor i det generelle tilfælde forkert, og punktet for vektorapplikationen vigtig. Faktisk er et direkte slag af samme kraft på næsen eller i panden tilstrækkelig til at udvikle mit dumme eksempel tage forskellige konsekvenser. Imidlertid, ikke-fri Vektorer mødes og informeres (ikke gå der :)).

Handlinger med vektorer. COLLINEARITY VECTORS.

I skoleåret af geometri overvejes en række handlinger og regler med vektorer: tilsætning af regel for trekanten, tilsætning ifølge reglen for parallelogrammet, vektorforskel regel, vektor multiplikation med nummer, skalærprodukt af vektorer osv. For frø gentager vi to regler, der er særligt relevante for at løse problemerne med analytisk geometri.

Reglen om tilsætning af vektorer i henhold til regyrens regel

Overvej to vilkårlig nonzero vektor og:

Det er nødvendigt at finde størrelsen af \u200b\u200bdisse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som gratis, udsættes vektor fra ende VECTOR:

Summen af \u200b\u200bvektorer og er vektor. For en bedre forståelse af reglen i den, er det tilrådeligt at investere fysisk betydning: Lad noget krop lavet en vej til vektoren, og derefter ved vektoren. Derefter er summen af \u200b\u200bvektorerne en vektor af den resulterende vej med begyndelsen ved udgangspunktet og enden ved ankomstpunktet. En lignende regel formuleres for mængden af \u200b\u200bet hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen passere sin vej stærkt fra en zigzag, og måske på autopilot - ifølge den resulterende vektor sum.

Forresten, hvis vektoren udskydes fra start vektor, så vil det være ækvivalent pollogram Rule. Tilsætning af vektorer.

Først om vektorens collinearity. To vektorer kaldes collinearHvis de ligger på en lige linje eller på parallelle lige linjer. Grandigt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruger adjektivet "collinear" altid.

Præsentere to kollinære vektor. Hvis pilen af \u200b\u200bdisse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer soned.. Hvis pilene ser i forskellige retninger, så vil vektorerne den modsatte rettede.

Betegnelser: Vektorernes kollinering optages med det sædvanlige parallelisikon: Det er muligt at detaljere: (Vektorerne er overtrukket) eller (vektorer er modsatte).

Arbejde Nonzero-vektoren på tallet er en sådan vektor, hvis længde er lige, og vektorerne og er overtrukket med den modsat rettede.

Vektormultiplikationsreglen er lettere at forstå med tegningen:

Vi forstår flere detaljer:

1) retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektor ændrer retningen På modsat.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er afsluttet inden for eller, så længden af \u200b\u200bvektoren falder. Så vektorlængde er to gange mindre end længden af \u200b\u200bvektoren. Hvis multiplikatormodulet er mere end en, så længden af \u200b\u200bvektoren stigninger i tide.

3) Bemærk at alle kollinære vektorerI dette tilfælde udtrykkes en vektor gennem en anden, for eksempel. Det modsatte er også retfærdigt: Hvis en vektor kan udtrykkes gennem den anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis collinear. På denne måde: hvis vi multiplicerer vektoren til nummeret, så den kollinære (i forhold til den oprindelige) vektor.

4) Vektorerne er overtrukket. Vektorer og er også overtrukket. En hvilken som helst af den første gruppe af den første gruppe er modsat rettet mod en hvilken som helst anden gruppe vektor.

Hvilke vektorer er lige?

To vektorer er ens, hvis de er forsynet og har samme længde.. Bemærk, at køleren indebærer, at vektorernes kolliaritet. Definitionen vil være unøjagtig (overflødig), hvis du siger: "To vektorer er lige, hvis de er collinear, er belagt og har samme længde."

Ud fra begrebet fri vektor er lige vektorer den samme vektor, som allerede er sket i det foregående afsnit.

Koordinaterne for vektoren på flyet og i rummet

Første punkt overvejer vektorer på flyet. Jeg vil skildre det kartesiske rektangulære koordinatsystem og udsætte fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne enkelt Vektorer og:

Vektorer I. ortogonal.. Ortogonal \u003d vinkelret. Jeg anbefaler, at det langsomt bliver vant til terminerne: I stedet for parallelisme og vinkelrettelse bruger vi ord i overensstemmelse hermed collinearity. og ortogonalitet.

Betegnelse: Orthogonaliteten af \u200b\u200bvektorer registreres af det sædvanlige vinkeltikonikon, for eksempel:.

De pågældende vektorer kaldes koordinere vektorer eller orthy.. Disse vektorer form basis på overfladen. Hvad er grundlaget, jeg tror, \u200b\u200bintuitivt mange forståelige, mere detaljerede oplysninger findes i artiklen. Lineær (ikke) vektorafhængighed. Basisvektorer.. Surrentible ord, grundlaget og begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne sætter hele systemet - dette er en slags fundament, hvor en komplet og mættet geometrisk liv koger.

Nogle gange bygget base kaldet ortonormated. Grundlaget for flyet: "Orto" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, adjektivet "normaliseret" betyder en, dvs. Længden af \u200b\u200bbasisvektorer er lig med en.

Betegnelse: Basis er normalt optaget i parentes inde i hvilket i streng sekvens. Opført grundlæggende vektorer, for eksempel:. Koordinere vektorer det er umuligt Omarrangere på steder.

Nogen Vector plane. den eneste måde udtrykt i formularen:
hvor - numbers.hedder koordinater for vektoren I denne base. Og selve udtrykket hedder nedbrydning af vektor Basis. .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet :. Ifølge tegningen ses det tydeligt, at når vektornedbrydning af grundlaget, netop overvejet:
1) Vector multiplikationsregel efter nummer: og;
2) Tilsætning af vektorer i Triangle-reglen :.

Og nu sætter mentalt vektoren fra et hvilket som helst andet punkt i flyet. Det er klart, at hans nedbrydning vil være "ubarmhjertigt følge ham." Her er det, vektorens frihed - vektoren "alle bærer med dig." Denne ejendom er selvfølgelig sandt for enhver vektor. Det er sjovt, at de grundlæggende (gratis) vektorer ikke er nødvendige for at udsætte fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne, kan man for eksempel tegne til venstre i bunden, og den anden er til højre over, og intet vil ændre sig! Sandt nok er det ikke nødvendigt at gøre det, fordi læreren også vil vise originalitet og trækker dig "krediteret" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt vektor multiplikationsregel efter nummer, vektor er co-rettet med en basisk vektor, vektoren er rettet modsat bunden vektor. Dataene fra vektorerne er et af koordinaterne er nul, det kan registreres, at:

Og de grundlæggende vektorer, forresten, så: (Faktisk er de udtrykt sig selv i sig selv).

Og endelig: ,. Forresten, hvad er subtraktionen af \u200b\u200bvektorer, og hvorfor fortalte jeg ikke om fradragsreglen? Et sted i en lineær algebra kan jeg ikke huske, hvor jeg bemærkede, at subtraktion er et specielt tilfælde af tilsætning. Så dekomponeringen af \u200b\u200bvektorerne "de" og "E" er roligt optaget i form af mængden: . Omorganiserer pladsernes komponenter og følg tegningen, da den gamle god tilsætning af vektorer i henhold til registreringsreglen virker tydeligt i disse situationer.

Betragtes som nedbrydning af typen Nogle gange kaldet dekomponeringen af \u200b\u200bvektoren i ORT-systemet (dvs. i systemet med enkeltvektorer). Men det er ikke den eneste måde at optage vektoren på, den følgende mulighed er distribueret:

Eller med tegn på ligestilling:

De grundlæggende vektorer selv er skrevet som følger: Og

Det vil sige i parentes, er koordinaterne for vektoren angivet. I praktiske opgaver anvendes alle tre optagelsesmuligheder.

Tvivlede om at sige, men jeg vil stadig sige: koordinaterne for vektorerne kan ikke omarrangeres. Strengt i første omgang Skriv ned koordinatet, der svarer til enhedens vektor strengt på andenpladsen Vi skriver ned koordinatet, der svarer til enhedens vektor. Faktisk, og - dette er fordi to forskellige vektor.

Koordinater på flyet regnede ud. Overvej nu vektorerne i tredimensionelt rum, her næsten alle de samme! Tilføj kun en anden koordinat. Tredimensionale tegninger udfører hårdt, så jeg vil begrænse den samme vektor, som for enkelhed vil udskyde fra begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne:

Nogen Vektor tredimensionale rum kan enkelt måde Rul gennem det orthormale grundlag:
, hvor - koordinaterne for vektoren (tal) i denne base.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan handlingsreglerne med vektorer arbejder her. For det første er multiplikationen af \u200b\u200bvektoren: (Rød pil), (Green Arrow) og (Raulic Arrow). For det andet et eksempel på at tilføje nogle få, i dette tilfælde tre, vektorer :. Vektoren af \u200b\u200bmængden begynder ved udgangspunktet for afgangen (begyndelsen af \u200b\u200bvektoren) og fast i det sidste punkt for ankomst (ende vektor).

Alle tredimensionale vektorer er naturligt fri, prøv mentalt at udskyde vektoren fra et hvilket som helst andet punkt, og du vil forstå, at hans nedbrydning forbliver hos det. "

Svarende til flad sag, ud over optagelse Versioner med parenteser anvendes i vid udstrækning: enten.

Hvis der ikke er nogen (eller to) koordinatvektor i dekomponeringen, sættes der Zeros i stedet. Eksempler:
Vektor (omhyggeligt ) - Skriv;
Vektor (omhyggeligt ) - Skriv;
Vektor (omhyggeligt ) - Vi skriver.

Basevektorer er skrevet som følger:

Dette er måske al den mindste teoretiske viden, der er nødvendig for at løse problemerne med analytisk geometri. Måske lidt af vilkår og definitioner, så jeg anbefaler at genlæse tekande og forstå disse oplysninger igen. Og enhver læser vil være nyttig fra tid til anden for at kontakte den grundlæggende lektion for bedre at mestre materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, orthormal basis, nedbrydning af en vektor - disse og andre koncepter vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg bemærker, at materialerne på stedet ikke er nok til at passere den teoretiske test, colloquium på geometri, da alle teorerne (desuden uden bevis), krypter jeg omhyggeligt - til skade for den videnskabelige stil af præsentationen, men plus til din forståelse af emnet. For at opnå en detaljeret teoretisk reference beder jeg om en bue til professor Atanasyan.

Og vi vender os til den praktiske del:

De enkleste opgaver af analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Opgaver, der vil blive overvejet, er yderst ønskeligt at lære at løse på en komplet maskine og formler husk Holy.Selv især ikke at huske sig selv, vil de huske \u003d) Dette er meget vigtigt, fordi andre opgaver af analytisk geometri er baseret på de enkleste elementære eksempler, og vil irritere den ekstra tid til at spise bonde. Ingen grund til at blinke de øverste knapper på trøjen, mange ting er bekendt med dig fra skolen.

Præsentationen af \u200b\u200bmaterialet vil gå parallelt med flyet og for rummet. Af den grund, at alle formler ... ser sig selv.

Sådan finder du en vektor på to punkter?

Hvis der gives to flypunkter, og vektoren har følgende koordinater:

Hvis der er to punkter i rummet, og vektoren har følgende koordinater:

Dvs. fra vektor ende koordinater nødt til at fratrække de tilsvarende koordinater begyndelsen af \u200b\u200bvektoren.

Opgaven: For de samme punkter skal du skrive ned formelten for at finde koordinaterne for vektoren. Formler i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Eksempel 1.

Der er to punkter i flyet og. Find koordinaterne for vektoren

Afgørelse: Ifølge den tilsvarende formel:

Alternativt kan du bruge følgende post:

Æstete er løst som følger:

Personligt plejede jeg den første version af optagelsen.

Svar:

Efter betingelse var det ikke nødvendigt at bygge en tegning (som er typisk for opgaverne for analytisk geometri), men for at forklare nogle øjeblikke til tekande, passer ikke:

Sørg for at forstå forskellen mellem koordinaterne for punkterne og koordinaterne for vektorerne:

Koordinaterne for punktet - Disse er de sædvanlige koordinater i det rektangulære koordinatsystem. Gemmer point på koordinatplanet, tror jeg, at alle er i stand til stadig fra 5-6 klasse. Hvert punkt har et stramt sted på flyet, og bevæger dem et sted ikke kan flyttes.

Koordinater for samme vektor - Dette er hans grundlag på grundlag, i dette tilfælde. Enhver vektor er fri, så hvis det er nødvendigt, kan vi nemt udsætte det fra et andet punkt i flyet. Interessant nok, for vektorer, du ikke kan bygge akse overhovedet, er det rektangulære koordinatsystem, kun grundlaget, i dette tilfælde det orthonormale grundlag for flyet.

Records af koordinaterne for punkterne og de vektorernes koordinater synes at være ens:, og betydningen af \u200b\u200bkoordinaterne absolut forskelligeOg du bør forstå denne forskel godt. Denne forskel er selvfølgelig gyldig for rummet.

Mine damer og herrer, få hånd:

Eksempel 2.

a) Donerede punkter og. Find vektorer og.
b) Donas. og. Find vektorer og.
c) Datoer og. Find vektorer og.
d) Datoer. Find vers .

Måske nok. Disse er eksempler til en uafhængig løsning, prøv ikke at forsømme dem, betale af ;-). Tegninger behøver ikke at gøre. Løsninger og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Hvad er vigtigt, når du løser opgaver af analytisk geometri? Det er vigtigt at være yderst opmærksomme på at forhindre, at værkstedet af fejlen "to plus to er lig med nul." Jeg undskylder straks, hvis jeg var forkert \u003d)

Sådan finder du en længde af et segment?

Længde, som allerede nævnt, er angivet med modulets tegn.

Hvis der gives to punkter i flyet, og så kan længden af \u200b\u200bsegmentet beregnes ved formlen

Hvis der er to punkter i rummet, og så kan længden af \u200b\u200bsegmentet beregnes ved formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis relevante koordinater er omarrangeret af steder: og, men mere standard er den første mulighed.

Eksempel 3.

Afgørelse: Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

For klarhed vil jeg udføre en tegning

Sektion dette er ikke vektorOg flyt det et sted, selvfølgelig er det umuligt. Også, hvis du udfører en tegning på en skala: 1 enhed. \u003d 1 cm (to lufttale celler), så det resulterende svar kan kontrolleres ved en konventionel linje, der direkte måler længden af \u200b\u200bsegmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er stadig et par vigtige øjeblikke, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke, at det er millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk kompetent løsning være en generel formulering: "enheder" - forkortede "enheder".

For det andet gentager vi skolematerialet, der er nyttigt, ikke kun for den betragtede opgave:

Vær opmærksom på vigtig teknisk teknik – plugging fra under roden. Som et resultat af beregningerne havde vi et resultat, og en god matematisk stil indebærer at lave en faktor fra under roden (hvis muligt). Mere processen ser sådan ud: . For at forlade svaret i formularen vil det ikke være en fejl - men den mangelfulde ting er sikkert og det vægtige argument for soldaterne fra læreren.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte, under roden, opnås et tilstrækkeligt stort antal for eksempel. Hvordan skal man være i sådanne tilfælde? I en lommeregner skal du kontrollere, om et tal er opdelt i 4:. Ja, det blev opdelt, dermed delt: . Eller måske vil nummeret igen blive opdelt i 4? . På denne måde: . I nummeret er den sidste figur mærkeligt, derfor opdelt for tredje gang i 4 er det klart ikke muligt. Vi forsøger at opdele ni :. Som resultat:
Parat.

Produktion: Hvis nummeret er på roden, opnås nummeret, så forsøger vi at udholde en multiplikator fra under roden - på den kalkulator, vi kontrollerer, om nummeret er opdelt af: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

Under løsningen af \u200b\u200bforskellige problemer findes rødderne ofte, altid forsøger at udtrække multiplikatorer fra under roden for at undgå en lavere vurdering af ja unødvendige problemer med forbedring af dine beslutninger i henhold til lærerens kommentar.

Lad os på samme tid gentage opførelsen af \u200b\u200brødderne i pladsen og andre grader:

Handlingsreglerne med grader generelt findes i skolens lærebog på algebra, men jeg tror, \u200b\u200bfra ovenstående eksempler, alt eller næsten alt er allerede klart.

Opgave for en uafhængig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4.

Dana Dots og. Find længden af \u200b\u200bsegmentet.

Løsning og svar i slutningen af \u200b\u200blektionen.

Hvordan finder du længden af \u200b\u200bvektoren?

Hvis der gives et vektorplan, beregnes længden med formlen.

Hvis vektoren af \u200b\u200bplads er givet, beregnes dens længde med formlen .

Yandex.rtb r-A-339285-1

Før du giver begrebet vektorarbejde, skal du dreje til spørgsmålet om orienteringen af \u200b\u200ben bestilt tredobbelt vektorer A →, B →, C → i tredimensionelt rum.

Vi vil udsætte vektorerne A →, B →, C → Fra et punkt. Orienteringen af \u200b\u200bTriple A →, B →, C → er højre eller venstre, afhængigt af vektorens retning C →. På hvilken retning den korteste rotation af vektoren A → K B → fra enden af \u200b\u200bvektoren C → er typen af \u200b\u200btrojka A →, B →, C → bestemmes.

Hvis den korteste rotation udføres mod uret, så er den tredobbelte vektorer A →, B →, C → Kaldet retHvis med uret - lEVA..

Derefter tag to ikke-kollinære vektor A → og B →. Jeg vil derefter sende fra punkt en vektorer A B → \u003d A → og en C → \u003d B →. Vi konstruerer vektoren A D → \u003d C →, som samtidig er vinkelret på både A B → og A C →. Således, når vi konstruerer vektoren selv en D → \u003d C → Vi kan gøre en BICON, indstille den eller en retning eller det modsatte (se illustration).

Bestilte tre vektorer A →, B →, C → Måske, da vi regnede ud til højre eller venstre, afhængigt af vektorens retning.

Fra det foregående kan vi indtaste definitionen af \u200b\u200bet vektorarbejde. Denne definition gives for to vektorer, der er defineret i det rektangulære koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition 1.

Vektor produkt af to vektorer a → og b → Vi vil kalde en sådan vektor, der er specificeret i det rektangulære koordinatsystem af tredimensionelt rum, således at:

hvis vektorer er → og b → kollinære, vil det være nul;
det vil være vinkelret på vektoren A → og vektoren B → dvs. ∠ A → C → \u003d ∠ B → C → \u003d π 2;
dens længde bestemmes af formlen: C → \u003d A → · B → · SIN ∠ A →, B →;
troop of Vectors A →, B →, C → Har samme orientering som det angivne koordinatsystem.

Vektor kunstværk af vektorer A → og B → har følgende betegnelse: A → × B →.

Koordinater for vektorarbejde

Da en vektor har visse koordinater i koordinatsystemet, kan du indtaste den anden definition af et vektorprodukt, hvilket giver dig mulighed for at finde sine koordinater i henhold til de specificerede koordinater for vektorer.

Definition 2.

I det rektangulære koordinatsystem af tredimensionelt rum vektor produkt af to vektorer A → \u003d (A X; A Y; A Z) og B → \u003d (B X; B Y; B Z) Kaldet Vector C → \u003d A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · BY-AY · BX) · K →, hvor jeg →, j →, k → koordinerer vektorer.

Vektorproduktet kan indføres som en tredje-ordens kvadratmatrix determinant, hvor den første linje er eller →, J →, K →, den anden linje indeholder koordinaterne for vektoren A → og den tredje - koordinaterne for vektoren B → I et givet rektangulært koordinatsystem ser denne determinant af matricen det sådan: C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → AxayazbxbyBz

Dekutere denne determinant for elementerne i den første linje, vi får ligestilling: C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → Axazbxbybz \u003d Ayazbybx · I → Axazbxbz · J → + Axaybxby → K → \u003d \u003d A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · BY-AY · BX) · K →

Egenskaber af vektorarbejde

Det er kendt, at vektorproduktet i koordinaterne synes at være determinant af matrixen C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → A X A Y A Z B X B Y B Z, derefter på basis egenskaber af den afgørende for matrixen Viser følgende egenskaber for vektorarbejde:

anti-Commutativess A → × B → \u003d - B → × A →;
distribution A (1) → + A (2) → × B \u003d A (1) → × B → + A (2) → × B → eller → × B (1) → + B (2) → \u003d A → × b (1) → + A → × B (2) →;
association λ · a → × B → \u003d λ · A → × B → Eller → × (λ · B →) \u003d λ · A → × B →, hvor λ er et vilkårligt gyldigt nummer.

Disse egenskaber har ikke vanskelige beviser.

For eksempel kan vi bevise den anti-kommutative egenskab af vektorproduktet.

Bevis for anti-kommutativitet

Pr. Definition A → × B → \u003d I → J → K → A X A Y A Z B X B Y B Z og B → K → \u003d I → J → K → B X B Y B Z A X A Y A Z. Og hvis de to linjer af matricerne omarrangere på steder, skal værdien af \u200b\u200bmatrixens determinant ændres til det modsatte, derfor en → × B → \u003d I → J → K → AxayazbxbyBz \u003d - I → J → K → BXBYBZAXAZ \u003d - B → × A → At og beviser vektorens anti-kommissionskraft.

Vektor kunst - Eksempler og opløsninger

I de fleste tilfælde er der tre typer opgaver.

I opgaverne for den første type er længden af \u200b\u200bto vektorer og vinklen mellem dem normalt indstillet, og du skal finde længden af \u200b\u200bvektorproduktet. I dette tilfælde skal du bruge følgende formel C → \u003d A → · B → Sin ∠ A →, B →.

Eksempel 1.

Find længden af \u200b\u200bvektorproduktet af vektorer A → og B →, hvis det er kendt A → \u003d 3, B → \u003d 5, ∠ A →, B → \u003d π 4.

Afgørelse

Brug af definitionen af \u200b\u200blængden af \u200b\u200bvektorproduktet af vektorer A → og B → Jeg løser denne opgave: A → × B → \u003d A → · B → · SIN · A →, B → \u003d 3 · 5 · SIN π 4 \u003d 15 2 2.

Svar: 15 2 2 .

Formålet med den anden type er relateret til de vektorernes koordinater, i dem et vektorprodukt, dets længde osv. Søgte gennem de velkendte koordinater for de specificerede vektorer A → \u003d (A X; A Y; A Z) og B → \u003d (b x; b y; b z) .

For denne type opgave kan du løse en masse opgaver muligheder. For eksempel kan koordinaterne for vektorerne A → og B →, men deres nedbrydning på koordinatvektorerne af formularen gives. B → \u003d b x · i → + b y · j → + b z · k → og C → \u003d A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · BY-AY · BX) · K →, eller Vektorer A → og B → kan indstilles af koordinaterne for punkterne i deres begyndelse og ende.

Overvej de følgende eksempler.

Eksempel 2.

I det rektangulære koordinatsystem, to vektorer A → \u003d (2; 1; - 3), B → \u003d (0; - 1; 1) gives. Find deres vektor kunst.

Afgørelse

På den anden definition finder vi et vektorprodukt af to vektorer i de angivne koordinater: A → × B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · BY-AY · BX) · K → \u003d \u003d (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · I → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · J → + ( 2 · (- 1) - 1 · 0) · K → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.

Hvis du optager et vektorprodukt gennem matrix-determinant, er opløsningen af \u200b\u200bdette eksempel som følger: A → × B → \u003d I → J → K → Axayazbxbybz \u003d I → J → K → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Svar: A → × B → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.

Eksempel 3.

Find længden af \u200b\u200bvektorproduktet af vektorer I → - J → og jeg → + J → + K →, hvor jeg →, J →, K → - Orthops af det rektangulære kartesiske koordinatsystem.

Afgørelse

Til at begynde med finder vi koordinaterne for det angivne vektorprodukt I → - J → → → + J → + K → i dette rektangulære koordinatsystem.

Det er kendt, at vektorer i → - j → og jeg → + j → + k → har koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1). Find længden af \u200b\u200bvektorproduktet ved hjælp af det afgørende for matrixen, så har vi jeg → - J → × I → + J → K → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - I → - J → + 2 K →.

Følgelig har vektorproduktet I → J → × I → + J → + K → koordinater (- 1; - 1; 2) i et givet koordinatsystem.

Vi vil finde længden af \u200b\u200bvektorproduktet i henhold til formlen (se afsnittet Find længden af \u200b\u200bvektoren): I → - J → × I → + J → + K → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

Svar: Jeg → - J → × I → + J → + K → \u003d 6. .

Eksempel 4.

I et rektangulært decartulært koordinatsystem er koordinaterne for tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) indstillet. Find nogle vektor vinkelret A B → og en C → på samme tid.

Afgørelse

Vektorer A B → og A C → har følgende koordinater (- 1; 2; 2) og (0; 4; 1). Efter at have fundet et vektorprodukt af vektorer A B → og A C → er det indlysende, at det er en vinkelret vektor pr. Definition og til en B → og til en C →, er det løsningen af \u200b\u200bvores opgave. Vi finder det en B → × A C → \u003d I → J → K → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 I → + J → - 4 K →.

Svar: - 6 i → + j → - 4 k →. - en af \u200b\u200bde vinkelrette vektorer.

Tredje type opgaver er fokuseret på at bruge vektor kunstegenskaber. Efter brugen heraf modtager vi en løsning på en given opgave.

Eksempel 5.

Vektorer A → og B → vinkelret og deres længder er ens, henholdsvis 3 og 4. Find længden af \u200b\u200bvektorproduktet 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →.

Afgørelse

Ved egenskaben af \u200b\u200bdistributionaliteten af \u200b\u200bvektorproduktet kan vi skrive 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →

Ved associerings egenskab vil vi udføre numeriske koefficienter for tegn på vektorarbejder i det sidste udtryk: 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · (- 2) · A → × B → + (- 1) · B → × A → + (- 1) · (- 2 ) · B → × B → \u003d \u003d 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B →

Vektor virker A → × A → og B → × B → EQUAL 0, som en → × A → \u003d a → → → · SIN 0 \u003d 0 og B → × B → \u003d B → · B → · Sin 0 \u003d 0, Derefter 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B → \u003d - 6 · A → × B → - B → × A →. .

Fra vektorproduktets anti-commutativivitet, 6 · A → × B → - B → → → \u003d - 6 · A → × B → (- 1) · A → × B → \u003d - 5 · A → × B → . .

Ved hjælp af egenskaberne af vektorarbejdet opnår vi ligestilling 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d - 5 · A → × B →.

Ved tilstand er vektorerne A → og B → vinkelret, det vil sige vinklen mellem dem er lig med π 2. Nu forbliver det kun at erstatte de værdier, der findes i de tilsvarende formler: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d - 5 · A → × B → \u003d 5 · A → × B → \u003d 5 · A → · b → · SIN (A →, B →) \u003d 5 · 3 · 4 · SIN π 2 \u003d 60.

Svar: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d 60.

Længden af \u200b\u200bvektorproduktet fra erektionsvektorer er lig med A → × B → \u003d A → · B → Sin ∠ A →, B →. Da det allerede er kendt (fra skolekurset), at Triangle-området er lig med halvdelen af \u200b\u200barbejdet i længden af \u200b\u200bhans to sider, der multipliceres med hjørnet mellem disse parter. Derfor er længden af \u200b\u200bvektorproduktet lig med området af parallelogrammet - en dobbelt trekant, nemlig produktets produkt i form af vektorer a → og b →, der afventer fra et punkt, på hjørnets sinus mellem dem synd ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydning af vektorproduktet.