Այսօր ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք զարմանալի և առեղծվածային թեմայի՝ երկրաչափության վերաբերյալ հերթական շնորհանդեսին: Այս շնորհանդեսում մենք ձեզ կներկայացնենք երկրաչափական ձևերի մի նոր հատկություն, մասնավորապես՝ ուղղանկյուն եռանկյունիներում համաչափ ուղիղ հատվածների հայեցակարգը։

Նախ, դուք պետք է հիշեք, թե ինչ է եռանկյունը: Սա ամենապարզ բազմանկյունն է, որը բաղկացած է երեք գագաթներից, որոնք միացված են երեք գծային հատվածներով։ Ուղղանկյուն եռանկյունը կոչվում է եռանկյուն, որի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է: Դուք արդեն ավելի մանրամասն ծանոթացել եք դրանց հետ ձեր ուշադրությանը ներկայացված մեր նախորդ ուսումնական նյութերում:

Այսպիսով, վերադառնալով մեր այսօրվա թեմային, որպեսզի նշենք, որ 90 աստիճան անկյան տակ գծված ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը այն բաժանում է երկու եռանկյունների, որոնք նման են և՛ միմյանց, և՛ սկզբնականին։ Ձեզ հետաքրքրող բոլոր թվերն ու գրաֆիկները տրված են առաջարկվող ներկայացման մեջ, և մենք խորհուրդ ենք տալիս կապ հաստատել նրանց հետ՝ կցելով նկարագրված բացատրությունը:

Վերոնշյալ թեզի գրաֆիկական օրինակը կարելի է տեսնել երկրորդ սլայդում: Եռանկյունների նմանության առաջին նշանի հիման վրա եռանկյունները նման են, քանի որ ունեն երկու նույնական անկյուններ։ Եթե ​​ավելի մանրամասն նշեք, ապա մինչև հիպոթենուս իջեցված բարձրությունը դրա հետ ուղիղ անկյուն է կազմում, այսինքն՝ արդեն կան նույն անկյունները, և ձևավորված անկյուններից յուրաքանչյուրն ունի նաև մեկ ընդհանուր անկյուն, ինչպես սկզբնականը։ Ստացվում է երկու անկյուն, որոնք հավասար են միմյանց: Այսինքն՝ եռանկյունները նման են։

Նշենք նաև, թե ի՞նչ է նշանակում «համամասնական կամ երկրաչափական նշանակություն» հասկացությունը։ Սա որոշակի XY հատված է AB և CD հատվածների համար, երբ այն հավասար է դրանց երկարությունների արտադրյալի քառակուսի արմատին։

Որից նաև հետևում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը երկրաչափական միջինն է հիպոթենուսի և այս ոտքի ելքի միջև հիպոթենուսի, այսինքն՝ մյուս ոտքի վրա:

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեկ այլ հատկանիշ այն է, որ նրա բարձրությունը, գծված 90 ° անկյան տակ, միջին համամասնությունն է ոտքերի ելքերի միջև հիպոթենուսի վրա: Եթե ​​անդրադառնաք ներկայացմանը և ձեր ուշադրությանը ներկայացված այլ նյութերին, կտեսնեք, որ կա այս թեզի ապացույցը շատ պարզ և մատչելի ձևով։ Ավելի վաղ մենք արդեն ապացուցել ենք, որ ստացված եռանկյունները նման են միմյանց և սկզբնական եռանկյունին: Այնուհետև, օգտագործելով այս երկրաչափական պատկերների ոտքերի հարաբերակցությունը, մենք գալիս ենք այն փաստին, որ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը ուղիղ համեմատական ​​է այն հատվածների արտադրյալի քառակուսի արմատին, որոնք ձևավորվել են բարձրության իջեցման արդյունքում: սկզբնական եռանկյունու աջ անկյունից:

Վերջինս ներկայացման մեջ նշել է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և դրա հատվածի երկրաչափական միջինն է, որը գտնվում է ոտքի և 90 աստիճան անկյան տակ գծված բարձրության միջև: Այս դեպքը պետք է դիտարկել այն կողմից, որ նշված եռանկյունները նման են միմյանց, և դրանցից մեկի ոտքը ստացվում է մյուսի հիպոթենուզայով։ Բայց սրան ավելի մանրամասն կծանոթանաք՝ ուսումնասիրելով առաջարկվող նյութերը։

Դասի նպատակները.

1. ներկայացնել երկու հատվածների համամասնական միջին (երկրաչափական միջին) հայեցակարգը.
2. Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունու համամասնական հատվածների խնդիրը.
3. սովորողների մոտ ձևավորել ուսումնասիրված թեման խնդիրների լուծման գործընթացում օգտագործելու հմտություններ.

Դասի տեսակը:նոր նյութ սովորելու դաս.

Պլան:

1. Կազմակերպչական պահ.
2. Գիտելիքների թարմացում:
3. Ուղիղ անկյան գագաթից գծված ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության հատկության ուսումնասիրություն.
   - նախապատրաստական ​​փուլ;
   - ներածություն;
   - ձուլում.
4. Երկու հատվածներին համամասնական միջին հասկացության ներդրում:
5. Երկու հատվածներին համամասնական միջինի հայեցակարգի յուրացում:
6. Հետևանքների ապացույց.
   - ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է աջ անկյան վերևից, այն հատվածների միջև համաչափ միջինն է, որոնցում հիպոթենուսը բաժանվում է այս բարձրության վրա.
   - Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջին համամասնությունն է, որը պարփակված է ոտքի և բարձրության միջև:
7. Խնդիրների լուծում.
8. Ամփոփելով.
9. Տնային աշխատանքների կարգավորում.

Դասերի ժամանակ

I. ORGMOMENT

-Բարև տղերք, նստե՛ք: Բոլորը պատրա՞ստ են դասին։

Սկսել.

II. ԳԻՏԵԼԻՔՆԵՐԻ ԹԱՐՄԱՑՈՒՄ

- Ի՞նչ կարևոր մաթեմատիկական հասկացության եք հանդիպել նախորդ դասերին: ( եռանկյունների նմանության հայեցակարգով)

-Հիշենք, թե ո՞ր երկու եռանկյուններն են կոչվում նման։ (երկու եռանկյունները կոչվում են նման, եթե նրանց անկյունները համապատասխանաբար հավասար են, և մի եռանկյան կողմերը համամասնական են մյուս եռանկյան նման կողմերին.)

- Ի՞նչ ենք օգտագործում երկու եռանկյունների նմանությունն ապացուցելու համար: (

- Ձևակերպեք այս նշանները (ձևակերպել եռանկյունների նմանության երեք չափանիշ)

III. ՈՒՂԻՂ ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՎԵՐՋԻՑ գծված ուղղանկյուն եռանկյունու բարձրության հատկությունների ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆ.

ա) նախապատրաստական ​​փուլ

- Տղերք, խնդրում եմ նայեք առաջին սլայդին: ( Դիմում) Ահա երկու ուղղանկյուն եռանկյուն - և. եւ - բարձունքներ եւ, համապատասխանաբար. .

Առաջադրանք 1.ա)Որոշեք, թե արդյոք և նման են:

- Ի՞նչ ենք օգտագործում եռանկյունների նմանությունն ապացուցելու համար: ( եռանկյունների նմանության նշաններ)

(առաջին նշանը, քանի որ խնդրի եռանկյունների կողմերի մասին ոչինչ հայտնի չէ)

... (Երկու զույգ՝ 1.∟B = ∟B1 (ուղիղ գծեր), 2.∟A = ∟A 1)

- Եզրակացություն արեք. եռանկյունների նմանության առաջին նշանով ~)

Առաջադրանք 1.բ)Որոշեք, թե արդյոք և նման են:

-Նմանության ո՞ր նշանն ենք օգտագործելու և ինչո՞ւ։ (առաջին նշանը, քանի որ խնդրի մեջ ոչինչ հայտնի չէ եռանկյունների կողմերի մասին)

-Քանի՞ զույգ հավասար անկյուններ պետք է գտնենք: Գտեք այս զույգերը (քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուրեմն բավարար է մեկ զույգ հավասար անկյուն՝ ∟A = ∟A 1)

-Եզրակացություն արեք. (Եռանկյունների նմանության առաջին նշանով մենք եզրակացնում ենք, որ այս եռանկյունները նման են):

Զրույցի արդյունքում սլայդ 1-ն ունի հետևյալ տեսքը.

բ) թեորեմի բացահայտում

Առաջադրանք 2.

- Որոշեք, եթե և, և-ն նման են: Զրույցի արդյունքում կառուցվում են պատասխանները, որոնք արտացոլվում են սլայդի վրա։

-Նկարը դա էր ցույց տալիս։ Մենք կիրառե՞լ ենք այս աստիճանի չափումը առաջադրանքների հարցերին պատասխանելիս: ( Ոչ, մենք չենք օգտագործել)

- Տղերք, եզրակացություն արեք՝ ուղղանկյուն եռանկյունը ո՞ր եռանկյունիների է բաժանում ուղիղ անկյան գագաթից գծված բարձրությունը։ (եզրակացություն)

-Հարց է առաջանում՝ այս երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, որոնց բարձրությունը բաժանում է ուղղանկյուն եռանկյունին, նման կլինեն իրար։ Փորձենք գտնել հավասար անկյունների զույգեր։

Զրույցի արդյունքում ստեղծվում է ձայնագրություն:

-Իսկ հիմա եկեք ամբողջական եզրակացություն անենք. ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ. ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկուսի. նման

-Այդ։ մենք ձևակերպել և ապացուցել ենք ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության հատկության թեորեմը։

Սահմանենք թեորեմի կառուցվածքը և գծենք: Ի՞նչ է տրված թեորեմում և ի՞նչ է պետք ապացուցել։ Ուսանողները նոթատետրում գրում են.

- Նոր գծագրի համար ապացուցենք թեորեմի առաջին կետը: Ինչպիսի՞ նմանության հատկանիշ կօգտագործենք և ինչու: (Առաջինը, քանի որ թեորեմում ոչինչ հայտնի չէ եռանկյունների կողմերի մասին)

-Քանի՞ զույգ հավասար անկյուններ պետք է գտնենք: Գտեք այս զույգերը: (Այս դեպքում բավարար է մեկ զույգ. ∟A-ընդհանուր)

-Եզրակացություն արեք. Եռանկյունները նման են. Արդյունքում ցուցադրվում է թեորեմի ձևակերպման օրինակ

- Երկրորդ և երրորդ կետերը ինքներդ գրեք տանը։

գ) թեորեմի յուրացում

-Ուրեմն թեորեմը նորից ձեւակերպեք (Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկուսի. նմանուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է այս մեկին)

- «Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ բարձրությունը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից» կառուցման մեջ քանի՞ զույգ համանման եռանկյուններ է թույլ տալիս գտնել այս թեորեմը: ( Երեք զույգ)

Ուսանողներին առաջարկվում է հետևյալ առաջադրանքը.

IV. ԵՐԿՈՒ ՈՏՔԻ ՄԻՋԻՆ ՀԱՄԱՄԲՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՆԵՐԱԾՈՒՄ.

-Իսկ հիմա ձեզ հետ կուսումնասիրենք նոր հայեցակարգ։

Ուշադրություն.

Սահմանում.Բաժին XYկանչեց միջին համամասնական (երկրաչափական միջին)հատվածների միջև ԱԲև CD, եթե

(գրեք նոթատետրում):

V. ԵՐԿՈՒ ՀԱՏՈՒՄՆԵՐԻ ՄԻՋԻՆ ՀԱՄԱՄԲՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ԱՌԱՋԱՐԿՈՒՄ.

- Հիմա անդրադառնանք հաջորդ սլայդին:

Վարժություն 1.Գտե՛ք MN և KP համամասնական հատվածների միջինի երկարությունը, եթե MN = 9 սմ, KP = 16 սմ:

-Ի՞նչ է տրված խնդրի մեջ։ ( Երկու հատված և դրանց երկարությունները՝ MN = 9 սմ, KP = 16 սմ)

-Ի՞նչ է պետք գտնել: ( Այս հատվածներին համաչափ միջինի երկարությունը)

- Ո՞րն է համամասնական միջինի բանաձեւը և ինչպե՞ս ենք այն գտնում։

(Մենք տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով և գտնում ենք միջին հենարանի երկարությունը):

Առաջադրանք թիվ 2.Գտե՛ք AB հատվածի երկարությունը, եթե AB և CD հատվածներին միջին համամասնությունը 90 սմ է, իսկ CD = 100 սմ։

-Ի՞նչ է տրված խնդրի մեջ։ (CD հատվածի երկարությունը = 100 սմ, իսկ AB և CD հատվածների միջին համամասնությունը 90 սմ է)

-Ի՞նչ է պետք գտնել խնդրի մեջ: ( Սեգմենտի երկարությունը AB)

-Ինչպե՞ս ենք լուծելու խնդիրը։ (Մենք գրում ենք AB և CD համամասնական հատվածների միջինի բանաձևը, դրանից արտահայտում ենք AB երկարությունը և փոխարինում խնդրի տվյալները):

Vi. ՀԵՏԵՎԱՆՔՆԵՐԻ ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ

-Բարև տղաներ: Հիմա վերադառնանք եռանկյունների նմանությանը, որն ապացուցեցինք թեորեմում։ Նորից ձևակերպեք թեորեմը: ( Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, գծված ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկուսի. նմանուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է տրվածին)

- Նախ օգտագործենք եռանկյունների նմանությունը և. Ի՞նչ է բխում սրանից։ ( Ըստ նմանության սահմանման՝ կողմերը համաչափ են նմանություններին)

- Ի՞նչ հավասարություն կստացվի համամասնության հիմնական հատկությունն օգտագործելիս: ()

- Արտահայտեք CD և եզրակացություն արեք (;.

Արդյունք: Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, համաչափ միջինն է այն հատվածների միջև, որոնց հիպոթենուսը բաժանվում է այս բարձրության վրա:)

- Եվ հիմա ապացուցեք ինքներդ ձեզ, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջև, որը պարփակված է ոտքի և բարձրության միջև: Եկեք գտնենք - ... այն հատվածներից, որոնց բաժանվում է հիպոթենուսը: այս բարձրությամբ )

Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է ... (- ... հիպոթենուսը և հիպոթենուսի հատվածը, որը պարփակված է այս ոտքի և բարձրության միջև )

- Որտե՞ղ ենք կիրառում սովորած պնդումները: ( Խնդիրներ լուծելիս)

IX. ՏՆԱՅԻՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ

d / s:Թիվ 571, թիվ 572 (ա, ե), ինքնուրույն աշխատանք տետրում, տեսություն։

Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշան

Եկեք նախ ներկայացնենք ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության չափանիշը:

Թեորեմ 1

Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշանԵրկու ուղղանկյուն եռանկյուններ նման են, երբ ունեն մեկ հավասար սուր անկյուն (նկ. 1):

Նկար 1. Նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի, որ $ \ անկյուն B = \ անկյուն B_1 $: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ապա $ \ անկյուն A = \ անկյուն A_1 = (90) ^ 0 $: Հետեւաբար, նրանք նման են եռանկյունների նմանության առաջին նշանով:

Թեորեմն ապացուցված է.

Բարձրության թեորեմն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ

Թեորեմ 2

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկու նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է այս եռանկյունին։

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի ուղղանկյուն եռանկյուն $ ABC $ ուղիղ անկյունով $ C $: Նկարենք $ CD $ բարձրությունը (նկ. 2):

Նկար 2. Թեորեմ 2-ի նկարազարդում

Եկեք ապացուցենք, որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են $ ABC $ եռանկյունին, և որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են միմյանց:

Քանի որ $ \ անկյուն ADC = (90) ^ 0 $, $ ACD $ եռանկյունը ուղղանկյուն է: $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները ունեն ընդհանուր անկյուն $ A $, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են:

Քանի որ $ \ անկյուն BDC = (90) ^ 0 $, $ BCD $ եռանկյունը ուղղանկյուն է: $ BCD $ և $ ABC $ եռանկյունները ունեն ընդհանուր անկյուն $ B $, հետևաբար, թեորեմ 1-ի համաձայն, $ BCD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են:

Այժմ դիտարկենք $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները

\ [\ անկյուն A = (90) ^ 0- \ անկյուն ACD \] \ [\ անկյուն BCD = (90) ^ 0- \ անկյուն ACD = \ անկյուն A \]

Հետևաբար, թեորեմ 1-ով $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են:

Թեորեմն ապացուցված է.

Համամասնական միջին

Թեորեմ 3

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, գծված ուղիղ անկյան գագաթից, համաչափ միջինն է այն հատվածների համար, որոնց բարձրությունը բաժանում է այս եռանկյան հիպոթենուսը:

Ապացույց.

Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են, հետևաբար.

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 4

Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջին համամասնությունն է, որը պարփակված է ոտքի և անկյան գագաթից գծված բարձրության միջև:

Ապացույց.

Թեորեմի ապացույցում մենք կօգտագործենք Նկար 2-ի նշումը:

Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են, հետևաբար.

Թեորեմն ապացուցված է.

Դաս 40. Համամասնական գծերի հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ: C. բ. ա. հ. Ք.ա. Հ.ակ. A. V. Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, գծված ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է 2 նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է այս եռանկյունին: Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշան: Երկու ուղղանկյուն եռանկյունները նման են, եթե ունեն հավասար սուր անկյուն: XY հատվածը կոչվում է համամասնական միջին (երկրաչափական միջին) AB և CD հատվածների համար, եթե հատկություն 1: Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է աջ անկյան գագաթից, համաչափ միջինն է ոտքերի ելքերի միջև: դեպի հիպոթենուզ: Հատկություն 2. Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և այս ոտքի ելքի միջին հարաբերակցությունն է հիպոթենուսի վրա:

Սլայդ 28ներկայացումից «Երկրաչափություն» Նմանատիպ եռանկյուններ»... Ներկայացման հետ արխիվի չափը 232 ԿԲ է:

Երկրաչափություն 8-րդ դասարան

այլ ներկայացումների ամփոփագրեր

«Պյութագորասի թեորեմի խնդիրների լուծումը»՝ հավասարաչափ եռանկյուն ABC: Պյութագորասի թեորեմի գործնական կիրառում. AVSD-ն քառանկյուն է: Քառակուսի տարածք. Գտեք ինքնաթիռ: Ապացույց. Հավասարաչափ տրապիզոնի հիմքերը։ Դիտարկենք Պյութագորասի թեորեմը։ Քառանկյունի տարածքը. Ուղղանկյուն եռանկյուններ. Պյութագորասի թեորեմ. Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

«Գտեք զուգահեռագծի տարածքը» - հիմք: Բարձրություն. Զուգահեռագծի բարձրության որոշում. Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ. Զուգահեռագծի տարածք: Գտեք եռանկյան մակերեսը: Տարածքների հատկությունները. Բանավոր վարժություններ. Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը: Զուգահեռագծի բարձրություններ. Գտե՛ք քառակուսու պարագիծը: Եռանկյունի մակերեսը. Գտեք հրապարակի մակերեսը: Գտեք ուղղանկյան մակերեսը: Քառակուսի տարածք.

«Քառակուսի» Դասարան 8 - Սև քառակուսի. Քառակուսու պարագծի շուրջ բանավոր աշխատանքի առաջադրանքներ. Քառակուսի տարածք. Քառակուսու նշաններ. Հրապարակը մեր մեջ է։ Քառակուսին ուղղանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Քառակուսի. Քառակուսի հիմքով պայուսակ։ Բանավոր առաջադրանքներ. Քանի՞ քառակուսի է պատկերված նկարում: Հրապարակի հատկությունները. Հարուստ վաճառական. Քառակուսու տարածքի վրա բանավոր աշխատանքի առաջադրանքներ. Հրապարակի պարագիծը.

«Սռնու համաչափության որոշում» - Միևնույն ուղղահայաց վրա ընկած կետերը: Գծեք երկու ուղիղ գիծ: Շինարարություն. Հողամասի կետեր. Հուշել. Ձևեր, որոնք առանցքային սիմետրիկ չեն: Բաժին. Բացակայում են կոորդինատները: Նկար. Երկուսից ավելի համաչափության առանցքներով ձևեր: Համաչափություն. Համաչափությունը պոեզիայում. Կառուցեք եռանկյուններ: Համաչափության առանցքներ. Սեգմենտի ստեղծում. Կետի գծագրում. Համաչափության երկու առանցքներով ձևեր. Ժողովուրդներ. Եռանկյուններ. Համաչափություն.

«Նման եռանկյունների սահմանում» - Բազմանկյուններ. Համամասնական գծերի հատվածներ. Նմանատիպ եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությունը: Երկու եռանկյունները կոչվում են նման: Պայմաններ. Կառուցե՛ք տրված երկու անկյուններից եռանկյուն և գագաթի կիսանկյուն: Ենթադրենք, դուք պետք է որոշեք հեռավորությունը դեպի գրառումը: Եռանկյունների նմանության երրորդ նշանը. Եկեք կառուցենք ինչ-որ եռանկյունի: ABC. ABC և ABC եռանկյունները երեք կողմերից հավասար են: Օբյեկտի բարձրության որոշում.

«Պյութագորասի թեորեմի լուծում» - Պատուհանների մասեր. Ամենապարզ ապացույցը. Համուրաբի. Շեղանկյուն: Ամբողջական ապացույց. Հանման ապացույց. Պյութագորաս. Ապացույց ընդլայնման մեթոդով. Թեորեմի պատմություն. Տրամագիծը. Ապացուցում լրացման մեթոդով. Էփշտեյնի ապացույցը. Կանտոր. Եռանկյուններ. Հետևորդներ. Պյութագորասի թեորեմի կիրառությունները. Պյութագորասի թեորեմ. Թեորեմի հայտարարություն. Պերիգալի ապացույցը. Թեորեմի կիրառում.

Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշան

Եկեք նախ ներկայացնենք ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության չափանիշը:

Թեորեմ 1

Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշանԵրկու ուղղանկյուն եռանկյուններ նման են, երբ ունեն մեկ հավասար սուր անկյուն (նկ. 1):

Նկար 1. Նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի, որ $ \ անկյուն B = \ անկյուն B_1 $: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ապա $ \ անկյուն A = \ անկյուն A_1 = (90) ^ 0 $: Հետեւաբար, նրանք նման են եռանկյունների նմանության առաջին նշանով:

Թեորեմն ապացուցված է.

Բարձրության թեորեմն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ

Թեորեմ 2

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկու նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է այս եռանկյունին։

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի ուղղանկյուն եռանկյուն $ ABC $ ուղիղ անկյունով $ C $: Նկարենք $ CD $ բարձրությունը (նկ. 2):

Նկար 2. Թեորեմ 2-ի նկարազարդում

Եկեք ապացուցենք, որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են $ ABC $ եռանկյունին, և որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են միմյանց:

Քանի որ $ \ անկյուն ADC = (90) ^ 0 $, $ ACD $ եռանկյունը ուղղանկյուն է: $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները ունեն ընդհանուր անկյուն $ A $, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են:

Քանի որ $ \ անկյուն BDC = (90) ^ 0 $, $ BCD $ եռանկյունը ուղղանկյուն է: $ BCD $ և $ ABC $ եռանկյունները ունեն ընդհանուր անկյուն $ B $, հետևաբար, թեորեմ 1-ի համաձայն, $ BCD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են:

Այժմ դիտարկենք $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները

\ [\ անկյուն A = (90) ^ 0- \ անկյուն ACD \] \ [\ անկյուն BCD = (90) ^ 0- \ անկյուն ACD = \ անկյուն A \]

Հետևաբար, թեորեմ 1-ով $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են:

Թեորեմն ապացուցված է.

Համամասնական միջին

Թեորեմ 3

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, գծված ուղիղ անկյան գագաթից, համաչափ միջինն է այն հատվածների համար, որոնց բարձրությունը բաժանում է այս եռանկյան հիպոթենուսը:

Ապացույց.

Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ ACD $ և $ BCD $ եռանկյունները նման են, հետևաբար.

Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 4

Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջին համամասնությունն է, որը պարփակված է ոտքի և անկյան գագաթից գծված բարձրության միջև:

Ապացույց.

Թեորեմի ապացույցում մենք կօգտագործենք Նկար 2-ի նշումը:

Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ ACD $ և $ ABC $ եռանկյունները նման են, հետևաբար.

Թեորեմն ապացուցված է.