Կետ առ կետ հեռավորությունտվյալ մասշտաբով այս կետերը միացնող գծի հատվածի երկարությունն է: Այսպիսով, երբ խոսքը վերաբերում է հեռավորության չափմանը, դուք պետք է իմանաք այն սանդղակը (երկարության միավորը), որով կիրականացվեն չափումները: Հետևաբար, կետից կետ հեռավորությունը գտնելու խնդիրը սովորաբար դիտարկվում է կամ կոորդինատային գծի վրա, կամ հարթության վրա ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում կամ եռաչափ տարածության մեջ: Այլ կերպ ասած, ամենից հաճախ անհրաժեշտ է հաշվարկել կետերի միջև հեռավորությունը դրանց կոորդինատներով:

Այս հոդվածում մենք, առաջին հերթին, հիշում ենք, թե ինչպես է որոշվում կոորդինատային գծի կետից կետ հեռավորությունը: Այնուհետև մենք կստանանք բանաձեւեր հարթության կամ տարածության երկու կետերի միջև տրված կոորդինատների երկայնքով հեռավորությունը հաշվելու համար: Եզրափակելով, եկեք մանրամասն դիտարկենք բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումները:

Էջի նավարկություն.

Կոորդինատային գծի երկու կետերի միջև հեռավորությունը:

Եկեք նախ սահմանենք նշանակումները. A կետից B կետ հեռավորությունը կնշվի որպես.

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ հեռավորությունը կոորդինատով A կետից մինչև կոորդինատով B կետը հավասար է կոորդինատների տարբերության մոդուլին, այն է, կոորդինատային գծի կետերի ցանկացած վայրում:

Հեռավորությունը հարթության վրա կետից կետ, բանաձև.

Ստացնենք կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձևը, որը տրված է հարթության վրա ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

Կախված A և B կետերի գտնվելու վայրից, հնարավոր են հետևյալ տարբերակները.

Եթե ​​A և B կետերը համընկնում են, ապա նրանց միջև հեռավորությունը զրո է:

Եթե ​​A և B կետերը գտնվում են աբսցիսայի առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա կետերը և համընկնում են, և հեռավորությունը հավասար է հեռավորությանը: Նախորդ պարբերությունում պարզեցինք, որ կոորդինատային գծի երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլին, հետևաբար. ... Հետևաբար, .

Նմանապես, եթե A և B կետերը գտնվում են օրդինատին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա A կետից մինչև B կետ հեռավորությունը հայտնաբերվում է որպես:

Այս դեպքում ABC եռանկյունը կառուցվածքով ուղղանկյուն է, և եւ . Ըստ Պյութագորասի թեորեմկարող ենք գրել հավասարություն, որտեղից։

Ամփոփենք ստացված բոլոր արդյունքները. հարթության կետից մինչև հարթության կետ հեռավորությունը հայտնաբերվում է կետերի կոորդինատների միջոցով բանաձևով .

Կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու արդյունքում ստացված բանաձևը կարող է օգտագործվել, երբ A և B կետերը համընկնում են կամ գտնվում են կոորդինատային առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա: Իսկապես, եթե A-ն և B-ն համընկնում են, ապա. Եթե ​​A և B կետերը ընկած են Ox առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա. Եթե ​​A և B-ն ընկած են Oy առանցքին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, ապա.

Տարածության կետերի միջև հեռավորությունը, բանաձևը:

Եկեք տիեզերքում ներկայացնենք Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Ստացնենք կետից հեռավորությունը գտնելու բանաձևը դեպի կետ .

Ընդհանուր առմամբ, A և B կետերը չեն գտնվում կոորդինատային հարթություններից մեկին զուգահեռ հարթությունում: Եկեք գծենք A և B կետերով հարթություններ, որոնք ուղղահայաց են Ox, Oy և Oz կոորդինատային առանցքներին: Այս հարթությունների հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ մեզ կտան A և B կետերի պրոյեկցիան այս առանցքների վրա: Մենք նշում ենք կանխատեսումները .

A և B կետերի միջև անհրաժեշտ հեռավորությունը նկարում ներկայացված ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագիծն է: Ըստ կառուցման՝ այս զուգահեռականի չափերը հավասար են եւ . Ավագ դպրոցի երկրաչափության դասընթացում ապացուցվել է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին, հետևաբար՝։ Այս հոդվածի առաջին բաժնի տեղեկատվության հիման վրա մենք կարող ենք գրել հետևյալ հավասարումները, հետևաբար.

որտեղից ենք մենք ստանում Տարածության կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևը .

Այս բանաձևը նույնպես վավեր է, եթե A և B կետերը

• համընկնում;
• պատկանում է կոորդինատային առանցքներից մեկին կամ կոորդինատային առանցքներից մեկին զուգահեռ ուղիղ գծի.
• պատկանում են կոորդինատային հարթություններից մեկին կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին զուգահեռ հարթությանը:

Կետից կետ հեռավորության որոնում, օրինակներ և լուծումներ:

Այսպիսով, մենք ստացել ենք կոորդինատային գծի երկու կետերի, հարթության և եռաչափ տարածության միջև հեռավորությունը գտնելու բանաձևեր: Ժամանակն է դիտարկել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Խնդիրների թիվը, որոնց լուծման վերջին փուլը երկու կետերի միջև հեռավորությունը գտնելն է իրենց կոորդինատներով, իսկապես հսկայական է: Նման օրինակների ամբողջական ակնարկը դուրս է այս հոդվածի շրջանակներից: Այստեղ մենք կսահմանափակվենք օրինակներով, որոնցում հայտնի են երկու կետերի կոորդինատները և պահանջվում է հաշվարկել նրանց միջև հեռավորությունը:

Աշակերտների համար մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը հաճախ ուղեկցվում է բազմաթիվ դժվարություններով։ Օգնել ուսանողին հաղթահարել այդ դժվարությունները, ինչպես նաև սովորեցնել նրան կիրառել իր առկա տեսական գիտելիքները «Մաթեմատիկա» առարկայի դասընթացի բոլոր բաժիններում կոնկրետ խնդիրների լուծման գործում:

Սկսելով լուծել որևէ թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ՝ ուսանողները պետք է կարողանան հարթության վրա կառուցել կետ՝ ըստ դրա կոորդինատների, ինչպես նաև գտնել տվյալ կետի կոորդինատները։

Հարթության վրա վերցված A (x A; y A) և B (x B; y B) երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվարկը կատարվում է բանաձևով. d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), որտեղ d-ը հարթության այս կետերը միացնող ուղիղ հատվածի երկարությունն է։

Եթե ​​հատվածի ծայրերից մեկը համընկնում է կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ մյուսն ունի M կոորդինատներ (x M; y M), ապա d-ի հաշվարկման բանաձևը կունենա OM = √ (x M 2 + y M 2) ձևը. ):

1. Երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվարկն ըստ այդ կետերի տրված կոորդինատների

Օրինակ 1.

Գտե՛ք կոորդինատային հարթության վրա A (2; -5) և B (-4; 3) կետերը միացնող հատվածի երկարությունը (նկ. 1):

Լուծում.

Խնդրի ձևակերպման մեջ տրված է՝ x A = 2; x B = -4; y A = -5 և y B = 3. Գտեք d.

Կիրառելով d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2 բանաձևը, մենք ստանում ենք.

d = AB = √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) = 10:

2. Տրված երեք կետերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետի կոորդինատների հաշվարկը

Օրինակ 2.

Գտե՛ք O 1 կետի կոորդինատները, որոնք հավասար են A (7; -1) և B (-2; 2) և C (-1; -5) երեք կետերից:

Լուծում.

Խնդրի դրույթի դրույթից հետևում է, որ О 1 А = О 1 В = О 1 С. Օ 1 պահանջվող կետը թող ունենա կոորդինատներ (a; b): d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) բանաձևով մենք գտնում ենք.

О 1 А = √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

О 1 С = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Կազմենք երկու հավասարումների համակարգ.

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2):

Հավասարումների ձախ և աջ կողմերը քառակուսացնելուց հետո գրում ենք.

((ա - 7) 2 + (բ + 1) 2 = (ա + 2) 2 + (բ - 2) 2,
((ա - 7) 2 + (բ + 1) 2 = (ա + 1) 2 + (բ + 5) 2.

Պարզեցնելով՝ գրում ենք

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք՝ a = 2; b = -1.

О 1 (2; -1) կետը հավասար է պայմանում նշված երեք կետերից, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա: Այս կետը երեք տրված կետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնն է (նկ. 2).

3. Այն կետի աբսցիսայի (օրդինատի) հաշվարկը, որը գտնվում է աբսցիսայի (օրդինատի) վրա և գտնվում է այս կետից որոշակի հեռավորության վրա.

Օրինակ 3.

B կետից (-5; 6) մինչև Ox առանցքի վրա ընկած A կետի հեռավորությունը 10 է։ Գտե՛ք Ա կետը։

Լուծում.

Խնդրի դրույթից հետևում է, որ A կետի օրդինատը հավասար է զրոյի և AB = 10։

A կետի աբսցիսսը a-ով նշելով գրում ենք A (a; 0):

AB = √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) = √ ((a + 5) 2 + 36):

Ստանում ենք √ ((a + 5) 2 + 36) = 10 հավասարումը։ Պարզեցնելով այն՝ ունենք.

ա 2 + 10 ա - 39 = 0:

Այս հավասարման արմատներն են 1 = -13; ա 2 = 3.

Մենք ստանում ենք երկու միավոր A 1 (-13; 0) և A 2 (3; 0):

Փորձաքննություն:

A 1 B = √ ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10:

A 2 B = √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) = 10:

Ստացված երկու միավորները տեղավորվում են ըստ խնդրի հայտարարության (նկ. 3):

4. Կետի աբսցիսայի (օրդինատի) հաշվարկ, որը գտնվում է աբսցիսայի (օրդինատի) վրա և գտնվում է նույն հեռավորության վրա երկու տրված կետերից.

Օրինակ 4.

Գտե՛ք Oy առանցքի վրա մի կետ, որը գտնվում է A (6; 12) և B (-8; 10) կետերից նույն հեռավորության վրա:

Լուծում.

Խնդրի դրույթով պահանջվող Oy առանցքի վրա գտնվող կետի կոորդինատները թող լինեն O 1 (0; b) (Oy առանցքի վրա ընկած կետում աբսցիսան հավասար է զրոյի): Պայմանից հետևում է, որ O 1 A = O 1 B:

d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) բանաձևով մենք գտնում ենք.

О 1 А = √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) = √ (36 + (b - 12) 2);

О 1 В = √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) = √ (64 + (b - 10) 2):

Մենք ունենք հավասարումը √ (36 + (b - 12) 2) = √ (64 + (b - 10) 2) կամ 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2:

Պարզեցումից հետո ստանում ենք՝ b - 4 = 0, b = 4:

Խնդրի հայտարարությամբ պահանջվող O 1 (0; 4) կետը (նկ. 4):

5. Կոորդինատների առանցքներից և որոշակի կետից նույն հեռավորության վրա գտնվող կետի կոորդինատների հաշվարկը.

Օրինակ 5.

Գտեք M կետը, որը գտնվում է կոորդինատային հարթության վրա կոորդինատային առանցքներից և A կետից նույն հեռավորության վրա (-2; 1):

Լուծում.

Պահանջվող M կետը, ինչպես A կետը (-2; 1), գտնվում է երկրորդ կոորդինատային անկյունում, քանի որ այն հավասար է A, P 1 և P 2 կետերից: (նկ. 5)... M կետի հեռավորությունները կոորդինատային առանցքներից նույնն են, հետևաբար նրա կոորդինատները կլինեն (-a; a), որտեղ a> 0:

Խնդրի պայմանից հետևում է, որ MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = | -a |,

դրանք. | -ա | = ա.

d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) բանաձևով մենք գտնում ենք.

MA = √ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2):

Կազմենք հավասարումը.

√ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Քառակուսուց և պարզեցնելուց հետո մենք ունենք՝ a 2 - 6a + 5 = 0: Լուծում ենք հավասարումը, գտնում ենք a 1 = 1; ա 2 = 5.

Ստանում ենք երկու միավոր M 1 (-1; 1) և M 2 (-5; 5)՝ բավարարելով խնդրի պայմանը։

6. Մի կետի կոորդինատների հաշվարկ, որը գտնվում է աբսցիսայից (օրդինատից) և տվյալ կետից նույն նշված հեռավորության վրա.

Օրինակ 6.

Գտեք այնպիսի M կետ, որ նրա հեռավորությունը օրդինատների առանցքից և A կետից (8; 6) հավասար լինի 5-ի:

Լուծում.

Խնդրի պնդումից հետևում է, որ MA = 5, իսկ M կետի աբսցիսան 5 է: Թող M կետի օրդինատը հավասար լինի b, ապա M (5; b) (նկ. 6):

d = √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) բանաձևով ունենք.

MA = √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2):

Կազմենք հավասարումը.

√ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Պարզեցնելով այն՝ ստանում ենք՝ b 2 - 12b + 20 = 0. Այս հավասարման արմատներն են b 1 = 2; b 2 = 10. Հետևաբար, կա երկու կետ, որը բավարարում է խնդրի պայմանը. M 1 (5; 2) և M 2 (5; 10):

Հայտնի է, որ շատ ուսանողներ խնդիրներն ինքնուրույն լուծելիս մշտական ​​խորհրդատվության կարիք ունեն դրանց լուծման տեխնիկայի և մեթոդների վերաբերյալ։ Հաճախ աշակերտը առանց ուսուցչի օգնության չի կարողանում գտնել խնդիրը լուծելու միջոց: Խնդիրները լուծելու վերաբերյալ անհրաժեշտ խորհրդատվություն ուսանողը կարող է ստանալ մեր կայքում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք, թե ինչպես կարելի է գտնել հարթության երկու կետերի միջև հեռավորությունը:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք:
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ինքնաթիռի երկու կետերի միջև հեռավորությունը:
Կոորդինատների համակարգեր

Հարթության A կետը բնութագրվում է իր կոորդինատներով (x, y): Նրանք համընկնում են 0А վեկտորի կոորդինատների հետ՝ դուրս գալով 0 կետից՝ սկզբնաղբյուրից։

Թող A և B լինեն հարթության կամայական կետեր՝ համապատասխանաբար (x 1 y 1) և (x 2, y 2) կոորդինատներով։

Այնուհետև AB վեկտորը, ակնհայտորեն, ունի կոորդինատներ (x 2 - x 1, y 2 - y 1): Հայտնի է, որ վեկտորի երկարության քառակուսին հավասար է նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարին։ Հետևաբար, A և B կետերի միջև հեռավորությունը d կամ, որը նույնն է, AB վեկտորի երկարությունը որոշվում է պայմանից.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ստացված բանաձևը թույլ է տալիս գտնել հարթության ցանկացած երկու կետերի միջև հեռավորությունը, եթե հայտնի են միայն այդ կետերի կոորդինատները:

Ամեն անգամ, երբ խոսելով հարթության որոշակի կետի կոորդինատների մասին, մենք նկատի ունենք ամբողջովին որոշակի կոորդինատային համակարգ x0y: Ընդհանրապես, ինքնաթիռի կոորդինատային համակարգը կարելի է ընտրել տարբեր ձևերով։ Այսպիսով, x0y կոորդինատային համակարգի փոխարեն կարող եք դիտարկել x «0y» կոորդինատային համակարգը, որը ստացվում է հին կոորդինատային առանցքները 0 մեկնարկային կետի շուրջ պտտելու արդյունքում։ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբսլաքները անկյունում α .

Եթե ​​x0y կոորդինատային համակարգում հարթության ինչ-որ կետ ուներ կոորդինատներ (x, y), ապա նոր x «0y» կոորդինատային համակարգում այն ​​կունենա տարբեր կոորդինատներ (x «, y»):

Որպես օրինակ, դիտարկենք M կետը, որը գտնվում է 0x «առանցքի վրա և 0 կետից 1-ի հավասար հեռավորության վրա:

Ակնհայտ է, որ x0y կոորդինատային համակարգում այս կետն ունի կոորդինատներ (cos α , մեղք α ), իսկ x կոորդինատային համակարգում «0y» կոորդինատները (1,0):

A և B հարթության ցանկացած երկու կետերի կոորդինատները կախված են նրանից, թե ինչպես է նշված կոորդինատային համակարգը այս հարթությունում: Բայց այս կետերի միջև հեռավորությունը կախված չէ նրանից, թե ինչպես է նշվում կոորդինատային համակարգը: Այս կարևոր հանգամանքը մեր կողմից ըստ էության կօգտագործվի հաջորդ բաժնում։

Զորավարժություններ

I. Գտե՛ք հարթության կոորդինատներով կետերի հեռավորությունները.

1) (3.5) և (3.4); 3) (0.5) և (5, 0); 5) (-3.4) և (9, -17);

2) (2, 1) և (- 5, 1); 4) (0, 7) և (3.3); 6) (8, 21) և (1, -3):

II. Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված են հավասարումներով.

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 և y = 1:

III. x0y կոորդինատային համակարգում M և N կետերն ունեն համապատասխանաբար (1, 0) և (0,1) կոորդինատներ։ Գտեք այս կետերի կոորդինատները նոր կոորդինատային համակարգում, որը նաև արդյունք է հին առանցքները ելակետի շուրջ 30 ° անկյան տակ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելու:

IV. x0y կոորդինատային համակարգում M և N կետերն ունեն կոորդինատներ (2, 0) և (\) / 3/2, - 1/2) համապատասխանաբար: Գտեք այս կետերի կոորդինատները նոր կոորդինատային համակարգում, որը ստացվում է ելակետի շուրջ հին առանցքները ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 30 ° անկյան տակ պտտելով:

Կետերի միջև հեռավորությունների հաշվարկը հարթության վրա իրենց կոորդինատներով տարրական է, Երկրի մակերևույթին մի փոքր ավելի բարդ է. մենք կքննարկենք կետերի միջև հեռավորությունը և սկզբնական ազիմուտը չափել առանց պրոյեկցիոն փոխակերպումների: Նախ, եկեք հասկանանք տերմինաբանությունը:

Ներածություն

Շրջանի աղեղի մեծ երկարություն- ոլորտի մակերևույթի ցանկացած երկու կետերի միջև ամենակարճ հեռավորությունը, որը չափվում է այս երկու կետերը միացնող գծի երկայնքով (այդպիսի գիծը կոչվում է օրթոդրոմիա) և անցնում է ոլորտի կամ պտտման այլ մակերևույթի երկայնքով: Գնդային երկրաչափությունը տարբերվում է սովորական էվկլիդյանից, և հեռավորության հավասարումները նույնպես տարբեր ձև են ստանում: Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ երկու կետերի միջև ամենակարճ հեռավորությունը ուղիղ գիծ է։ Գնդի վրա ուղիղ գծեր չկան։ Ոլորտի վրա գտնվող այս գծերը մեծ շրջանակների մաս են կազմում՝ շրջանակներ, որոնց կենտրոնները համընկնում են ոլորտի կենտրոնի հետ: Սկզբնական ազիմուտ- ազիմուտը, որը վերցնելով A կետից շարժման սկզբում, B կետից ամենակարճ հեռավորության վրա հետևելով մեծ շրջանագծին, վերջնակետը կլինի B կետը: Մեծ շրջանագծի գծով A կետից B կետ շարժվելիս , ազիմուտը ընթացիկ դիրքից մինչև B վերջակետը հաստատուն է, փոխվում է: Սկզբնական ազիմուտը տարբերվում է հաստատունից, որից հետո ընթացիկ կետից մինչև վերջնական ազիմուտը չի փոխվում, բայց երթուղին, որին պետք է հետևել, ամենակարճ հեռավորությունը չէ երկու կետերի միջև:

Գնդի մակերևույթի ցանկացած երկու կետերի միջով, եթե դրանք ուղղակիորեն հակադիր չեն միմյանց (այսինքն՝ հակապոդներ չեն), կարելի է գծել եզակի մեծ շրջան։ Երկու կետը մեծ շրջանը բաժանում է երկու կամարի։ Կարճ աղեղի երկարությունը երկու կետերի միջև ամենակարճ հեռավորությունն է: Անսահման թվով մեծ շրջանակներ կարելի է գծել երկու հակապոդ կետերի միջև, բայց նրանց միջև հեռավորությունը կլինի նույնը ցանկացած շրջանագծի վրա և հավասար է շրջանագծի շրջագծի կեսին, կամ π * R, որտեղ R-ը ոլորտի շառավիղն է։

Հարթության վրա (ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում) մեծ շրջանակները և դրանց բեկորները, ինչպես նշվեց վերևում, կամարներ են բոլոր ելուստներում, բացառությամբ գնոմոնիկից, որտեղ մեծ շրջանակները ուղիղ գծեր են։ Գործնականում դա նշանակում է, որ ինքնաթիռները և այլ օդային տրանսպորտը վառելիք խնայելու համար միշտ օգտագործում են կետերի միջև նվազագույն հեռավորության երթուղին, այսինքն՝ թռիչքն իրականացվում է մեծ շրջանի հեռավորության վրա, ինքնաթիռում այն ​​կարծես աղեղ է:

Երկրի ձևը կարելի է բնութագրել որպես գնդիկ, այդ իսկ պատճառով մեծ շրջանի վրա հեռավորությունները հաշվելու համար հավասարումները կարևոր են Երկրի մակերևույթի կետերի միջև ամենակարճ հեռավորությունը հաշվարկելու համար և հաճախ օգտագործվում են նավիգացիայի մեջ: Այս մեթոդով հեռավորությունը հաշվարկելն ավելի արդյունավետ և շատ դեպքերում ավելի ճշգրիտ է, քան կանխատեսվող կոորդինատների համար հաշվարկելը (ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգերում), քանի որ, նախ, դրա համար անհրաժեշտ չէ աշխարհագրական կոորդինատները վերածել ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգի (իրականացնել պրոյեկցիոն փոխակերպումներ) և, երկրորդը, շատ կանխատեսումներ, եթե սխալ ընտրված են, կարող են հանգեցնել երկարության զգալի աղավաղումների՝ պրոյեկցիոն աղավաղումների առանձնահատկությունների պատճառով: Հայտնի է, որ դա ոչ թե Երկրի ձևն ավելի ճշգրիտ նկարագրող գունդ է, այլ էլիպսոիդ, այնուամենայնիվ, այս հոդվածում դիտարկվում է ոլորտի վրա հեռավորությունների հաշվարկը, հաշվարկների համար օգտագործվում է 6372795 մետր շառավղով գունդ, ինչը կարող է հանգեցնել 0,5% կարգի հեռավորությունները հաշվարկելիս սխալի:

Բանաձևեր

Մեծ շրջանագծի գնդաձև հեռավորությունը հաշվարկելու երեք եղանակ կա. 1. Գնդային կոսինուսների թեորեմՓոքր հեռավորությունների և հաշվարկի փոքր խորության դեպքում (տասնորդական տեղերի քանակը) բանաձևի օգտագործումը կարող է հանգեցնել կլորացման հետ կապված զգալի սխալների: φ1, λ1; φ2, λ2 - երկու կետի լայնություն և երկայնություն ռադիաններով Δλ - կոորդինատային տարբերություն երկայնության Δδ - անկյունային տարբերություն Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Անկյունային հեռավորությունը մետրային փոխարկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել Երկրի շառավղով անկյունային տարբերությունը (6372795 մետր), վերջնական հեռավորության միավորները հավասար կլինեն այն միավորներին, որոնցում արտահայտված է շառավիղը (տվյալ դեպքում՝ մետր): 2. Հավերսինների բանաձեւՕգտագործվում է կարճ հեռավորությունների հետ կապված խնդիրներից խուսափելու համար: 3. Փոփոխություն անտիպոդների համարՆախորդ բանաձևը նույնպես ենթակա է հակապոդային կետերի խնդրին, այն լուծելու համար օգտագործվում է հետևյալ փոփոխությունը.

Իմ ներդրումը PHP-ում

// Երկրի շառավիղը սահմանում է ("EARTH_RADIUS", 6372795); / * * Երկու կետերի միջև հեռավորությունը * $ φA, $ λA - լայնություն, 1-ին կետի երկայնություն, * $ φB, $ λB - լայնություն, 2-րդ կետի երկայնություն * Գրված է http://gis-lab.info/ հիման վրա qa / great-circles.html * Միխայիլ Կոբզարև * * / ֆունկցիան հաշվարկում է Հեռավորությունը ($ φA, $ λA, $ φB, $ λB) (// փոխարկել կոորդինատները ռադիանի $ lat1 = $ φA * M_PI / 180; $ lat2 = $ φB * M_PI / 180; $ երկար1 = $ λA * M_PI / 180; $ երկար2 = $ λB * M_PI / 180; // լայնությունների և երկայնության տարբերությունների կոսինուսներ և սինուսներ $ cl1 = cos ($ lat1); $ cl2 = cos ($ lat2); $ sl1 = մեղք ($ lat1); $ sl2 = մեղք ($ lat2); $ դելտա = $ երկար2 - $ երկար1; $ cdelta = cos ($ դելտա); $ sdelta = մեղք ($ դելտա); // հաշվարկներ մեծ շրջանակի երկարությունը $ y = sqrt (pow ($ cl2 * $ sdelta, 2) + pow ($ cl1 * $ sl2 - $ sl1 * $ cl2 * $ cdelta, 2)); $ x = $ sl1 * $ sl2 + $ cl1 * $ cl2 * $ cdelta; // $ ad = atan2 ($ y, $ x); $ dist = $ ad * EARTH_RADIUS; վերադարձ $ dist;) Ֆունկցիայի կանչի օրինակ. $ lat1 = 77.1539; $ երկար1 = -139,398; $ lat2 = -77,1804; $ երկար2 = -139,55; echo հաշվարկել TheDistance ($ lat1, $ long1, $ lat2, $ long2): «մետր»; // Վերադարձնում է «17166029 մետր»

ՏԵՍԱԿԱՆ ՀԱՐՑԵՐ

ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՄԵՏՐԻԱ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ

1. Կոորդինատների մեթոդ՝ թվային գիծ, ​​կոորդինատներ ուղիղ գծի վրա; ուղղանկյուն (կարտեզյան) կոորդինատային համակարգ հարթության վրա; բևեռային կոորդինատներ.

Դիտարկենք մի քանի ուղիղ գիծ: Ընտրենք դրա վրա ուղղություն (այնուհետև այն կդառնա առանցք) և ինչ-որ կետ 0 (ծագում): Ընտրված ուղղությամբ և ծագմամբ ուղիղ գիծ կոչվում է կոորդինատային գիծ(այս դեպքում մենք ենթադրում ենք, որ ընտրված է սանդղակի միավորը):

Թող լինի Մ- կամայական կետ կոորդինատային գծի վրա: Մենք դնում ենք կետին համապատասխան Միրական թիվ xհավասար է Օ.Մհատված: x = OM.Թիվ xկոչվում է կետի կոորդինատ Մ.

Այսպիսով, կոորդինատային գծի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է որոշակի իրական թվի՝ դրա կոորդինատին։ Հակառակը նույնպես ճիշտ է, յուրաքանչյուր իրական x համապատասխանում է կոորդինատային գծի ինչ-որ կետի, այն է՝ նման կետի Մորի կոորդինատը x է: Այս նամակագրությունը կոչվում է մեկ առ մեկ:

Այսպիսով, իրական թվերը կարող են ներկայացվել կոորդինատային ուղիղի կետերով, այսինքն. կոորդինատային գիծը ծառայում է որպես բոլոր իրական թվերի բազմության պատկեր: Այսպիսով, բոլոր իրական թվերի բազմությունը կոչվում է թվային գիծ, և ցանկացած թիվ այս ուղիղի կետն է։ Թիվը հաճախ նշվում է թվային գծի մի կետի մոտ՝ դրա կոորդինատը:

Ուղղանկյուն (կամ դեկարտյան) կոորդինատային համակարգ հարթության վրա:

Երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցք Օ, xև Օհ յունենալով ընդհանուր ծագում Օև նույն սանդղակի միավորը, ձևը ուղղանկյուն (կամ դեկարտյան) կոորդինատային համակարգ հարթության վրա։

Առանցք Օհկոչվում է abscissa առանցք, առանցք OY- օրդինատների առանցքը. Կետ Օառանցքների հատումը կոչվում է սկզբնակետ։ Հարթությունը, որում գտնվում են առանցքները Օհև OY, կոչվում է կոորդինատային հարթություն և նշվում Օ, xy.

Այսպիսով, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հաստատում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հարթության բոլոր կետերի բազմության և զույգ թվերի բազմության միջև, ինչը հնարավորություն է տալիս կիրառել հանրահաշվական մեթոդներ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս: Կոորդինատային առանցքները հարթությունը բաժանում են 4 մասի, կոչվում են քառորդներ, քառակուսիկամ կոորդինատային անկյուններ.

Բևեռային կոորդինատներ.

Բևեռային կոորդինատների համակարգը բաղկացած է ինչ-որ կետից Օկանչեց բեւեռ, և դրանից բխող ճառագայթը OEկանչեց բևեռային առանցք.Բացի այդ, սահմանվում է հատվածների երկարությունները չափելու սանդղակի միավորը։ Թող տրվի բևեռային կոորդինատային համակարգ և թող Մ- ինքնաթիռի կամայական կետ. Նշենք ըստ Ռ- կետ հեռավորությունը Մկետից Օեւ հետո φ - այն անկյունը, որով ճառագայթը պտտվում է բևեռային առանցքի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ ճառագայթին հավասարեցնելու համար Օ.Մ.

Բևեռային կոորդինատներմիավորներ Մզանգի համարներ Ռև φ ... Թիվ Ռհամարեց առաջին կոորդինատը և կանչեց բևեռային շառավիղ, թիվ φ Երկրորդ կոորդինատն է և կոչվում է բևեռային անկյուն.

Կետ Մբևեռային կոորդինատներով Ռև φ նշանակվում են հետևյալ կերպ. М (; φ).Կապ հաստատենք կետի բևեռային կոորդինատների և նրա ուղղանկյուն կոորդինատների միջև։
Այս դեպքում կենթադրենք, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը բևեռում է, իսկ աբսցիսայի դրական կիսաառանցքը համընկնում է բևեռային առանցքի հետ։

Թող M կետն ունենա ուղղանկյուն կոորդինատներ Xև Յև բևեռային կոորդինատները Ռև φ .

(1)

Ապացույց.

Դուրս գցեք կետերից Մ 1և Մ 2ուղղահայացներ Մ 1 Բև Մ 1 Ա,... որովհետեւ (x 2; y 2)... Թեորեմով, եթե M 1 (x 1)և M 2 (x 2)Արդյո՞ք ցանկացած երկու կետ, և α-ն նրանց միջև եղած հեռավորությունն է, ապա α = | x 2 - x 1 | .