ՄՈՍԿՎԱՅԻ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԲԱԺԻՆ

ՊԵՏԱԿԱՆ ԲՅՈՒՋԵ ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆ Մոսկվայում

«Վ.Գ.Ֆեդորովի անվան թիվ 47 պոլիտեխնիկական քոլեջ».

Դաս

Մաթեմատիկա առարկայից

«Եռանկյունաչափական հավասարումները վերածվել են քառակուսի»

Ուսուցիչ

Պրոտասևիչ Օլգա Նիկոլաևնա

ՄԱՍՆԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ: Սարքավորման և ծրագրային ապահովման ինժեներ

ԿԱՐԳԱՊԱՀՈՒԹՅՈՒՆ: Մաթեմատիկա

ԼԱՎ : 1

ԿԻՍՄԵՍՏՐ : 2

ԽՈՒՄԲ :

Դասի թեման.

«Եռանկյունաչափական հավասարումները վերածվել են քառակուսի հավասարումների»։

Դասի տեսակը. համակցված դաս

Դասի ձևաչափ. կոլեկտիվ ուսուցում Վ.Կ.-ի մեթոդաբանությամբ. Դյաչենկո

(կրթություն փոքր խմբերի համակարգերում)

Դասի նպատակները.

Ուսումնական - դիտարկել ընդհանուր մոտեցումները, ամփոփել տեղեկատվություն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման տեսակների և մեթոդների մասին, որոնք կարող են կրճատվել մինչև քառակուսի. զարգացնել գիտելիքները կիրառելու հմտություններ և կարողություններ հիմնական հավասարումներ լուծելիս և ձեռք բերված գիտելիքները մասնագիտական ​​գործունեության մեջ կիրառելիս:

Զարգացնող - նպաստել զարգացմանըտրամաբանական մտածողություն ուսանողների շրջանում, զարգացնել վերլուծելու, տրամաբանելու, համեմատելու, եզրակացություններ անելու, նյութը ընկալելու հմտությունները.

Ուսումնական – խթանել ճանաչողական հետաքրքրությունը, հաղորդակցման մշակույթի տարրերը, խրախուսել ուսանողներին հաղթահարել դժվարությունները մտավոր գործունեության գործընթացում, զարգացնել աշխատանքային և կրթական թիմում աշխատելու հմտություններ:

Դասի նպատակը.

Աշակերտներին ծանոթացնել եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական տեսակներին և մեթոդներին, որոնք կարող են կրճատվել մինչև քառակուսի:

Աջակցություն (ռեսուրսներ).

Սարքավորումներ՝ համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր։

Ծրագրային ապահովում:Microsoft-ըExcel.

Հիմնական հասկացություններ.

Քառակուսային հավասարում; պարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ; հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ; եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ վերածված քառակուսի.

Գրականություն:

Բաշմակով Մ.Ի. Մաթեմատիկա՝ նախնական և միջին մասնագիտական ​​կրթության դասագիրք – Մ. «Ակադեմիա», 2010. - 256 էջ.

Դյաչենկո Վ.Կ. - Մ.; «Հանրային կրթություն», 2001 թ. - 496 թ.

Մեթոդական գրականություն.

Բաշմակով Մ.Ի. Մաթեմատիկա. գիրք ուսուցիչների համար. Մեթոդական ձեռնարկ.- Մ. « ակադեմիա», 2013 - 224 էջ.

Էլեկտրոնային ռեսուրսներ.

Կայքի նյութերսոցիալական և մանկավարժական շարժում՝ ուսուցման հավաքական ձև ստեղծելու համար.www.kco-kras.ru.

Դասի քայլեր

Կազմակերպման ժամանակ.

Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Նոր նյութ սովորելը.

Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբում և համակարգում:

Արտացոլում. Ամփոփելով. Տնային աշխատանք.

Դասերի ժամանակ

Կազմակերպման ժամանակ.

Ուսուցիչը դասի նպատակներ է դնում ուսանողների համար.

1) Ներկայացրե՛ք եռանկյունաչափական հավասարումների հիմնական տեսակները, որոնք կարող են կրճատվել մինչև քառակուսի.

2) Ներկայացրե՛ք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ստանդարտ մեթոդներ, որոնք կարող են վերածվել քառակուսայինի:

3) սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել ձեռք բերված գիտելիքներն ու հմտությունները ստանդարտ հավասարումների լուծման համար.

4) սովորեցնել աշխատել տարբեր ձևերով ներկայացված տեղեկատվության հետ, իրականացնել փոխադարձ վերահսկողություն և ինքնատիրապետում, ձեռք բերված գիտելիքները կիրառել մասնագիտական ​​գործունեության մեջ.

II . Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Ուսուցիչը ներառում է «Տնային առաջադրանք» ներկայացում, ըստ որի աշակերտներն ինքնուրույն ստուգում են իրենց տնային առաջադրանքները և անհրաժեշտության դեպքում կատարում են փոփոխություններ և ուղղումներ աշխատանքում:

Աշակերտների խնդրանքով ուսուցիչը մեկնաբանում է դժվարություններ առաջացրած հավասարումների լուծումները, որից հետո հայտարարում է այն սովորողների անունները, ովքեր դասի վերջում հանձնում են իրենց տետրերը ստուգման։

№ 1

Պատասխան.

№ 2

Պատասխան.

№ 3

Պատասխան.

№ 4

որովհետեւ ապա հավասարումը արմատներ չունի

Պատասխան՝ արմատներ չկան

№ 5

Պատասխան.

№ 6

Պատասխան.

III . Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Ուսուցիչը կազմում է ուսումնական խմբեր/զույգեր և առաջարկում տրամադրված ձևերի միջոցով հաստատել հավասարումների և պատասխանների միջև համապատասխանություն. Համապատասխանեցրե՛ք հավասարումները (աղյուսակի ձախ կողմը) պատասխանների հետ (աղյուսակի աջ կողմում): Տետրումդ գրի՛ր ճիշտ զույգ պնդումների թվերը»։

Նշված առաջադրանքները կրկնօրինակված են ներառված ներկայացման մեջ:

Համապատասխանում

p/p

Հավասարումը

p/p

Պատասխանել

ոչ մի արմատ

Աշխատանքի վերջում ուսուցիչը ճակատային հարցազրույց է վերցնում խմբի ներկայացուցիչների հետ, որից հետո բացում է ներկայացման էջը՝ ճիշտ լուծումներով։

Ճիշտ պատասխաններ

p/p

Հավասարումը

p/p

Պատասխանել

ոչ մի արմատ

ոչ մի արմատ

11.

13.

10.

12.

IV . Նոր նյութ սովորելը.

Ուսուցիչը ներառում է նոր նյութի ներկայացում «Եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ վերածված քառակուսի. Հավասարումների տեսակները և դրանց լուծման մեթոդները»։

Հրավիրում է ուսանողներին գրել անհրաժեշտ կետերը և սկսում մեկնաբանել յուրաքանչյուր սլայդը, որից հետո նրանք միացնում են ներկայացումը:

Ներկայացնենք հայեցակարգը.

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք.

Եռանկյունաչափական հավասարումների 1 տեսակ, որոնք կարող են վերածվել քառակուսային հավասարումների – հավասարումներ, որոնք հանրահաշվական են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ:

Ուսուցիչը բացատրում է լուծումները:

1. Ուղղակի փոխարինում

Փոխարինում ,

Եվ

ոչ մի արմատ

Պատասխան.

Նմանատիպ լուծում ունեն ձևի հավասարումները

Փոխարինում

Փոխարինում

2. Հավասարումներ, որոնք փոխակերպում են պահանջում՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական միավորի բանաձեւը

Փոխարինում , ապա հավասարումը ստանում է ձև

Եվ

ոչ մի արմատ

Պատասխան.

Ձևի հավասարումները ունեն նմանատիպ լուծում.

մենք կփոխարինենք , օգտագործելով եռանկյունաչափական միավորի բանաձևը

.

Մենք ստանում ենք միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա պարունակող հավասարում :

Փոխարինում

3. Միացման բանաձևի միջոցով փոխակերպում պահանջող հավասարումներ tgx Եվ Հետ tgx

Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Բազմապատկեք հավասարումը

Փոխարինում , ապա հավասարումը ստանում է ձև

Եվ

Պատասխան.

Տիպ 2 եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների- միատարր հավասարումներ, որոնցում յուրաքանչյուր անդամ ունի նույն աստիճանը:

Հավասարումը բաժանե՛ք

Փոխարինում , ապա հավասարումը ստանում է ձև

Եվ

Պատասխան.

Ուսուցիչն առաջարկում է ամփոփել ներկայացված նյութը և տալիս հարցեր՝ «Քանի՞ տեսակի են բաժանվում եռանկյունաչափական հավասարումները, որոնք կարելի է վերածել քառակուսային հավասարումների։ Նրանց անունը. Անվանե՛ք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման եղանակներ, որոնք կարող են կրճատվել մինչև քառակուսի։

Ուսուցիչն ուղղորդում է ուսանողների գործողությունները այս տեսակի հավասարումների լուծման ալգորիթմ ստեղծելիս:

Եռանկյունաչափական հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների, բաժանվում են երկու հիմնական տեսակի.

tgx Եվ Հետ tgx :

Տիպ 2 – միատարր հավասարումներ, որոնցում յուրաքանչյուր անդամ ունի նույն աստիճանը.

Ուսուցիչը ճշգրտում է կատարում Լուծման ալգորիթմ.

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը. Անհրաժեշտության դեպքում հավասարումը վերադասավորիր այնպես, որ այն պարունակի միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա: Դա անելու համար ընտրեք ցանկալի բանաձևը՝ կամկամ բաժանել

2. Ներկայացվում է փոխարինում (օրինակ, sinx = տ , cosx = տ , tgx = տ ).

5. Գրի՛ր պատասխանը։

Ձեռք բերված գիտելիքները համախմբելու համար ուսուցիչը առաջարկում է համապատասխանություն հաստատել հավասարումների և դրանց լուծման հնարավոր մեթոդների միջև.

1. Դասակարգե՛ք հավասարումները՝ ըստ լուծման մեթոդների, ըստ ստորև բերված աղյուսակի

(սեղանի տպագիր տարբերակները ձեր գրասեղաններին են):

2. Համապատասխան վանդակում մուտքագրեք լուծման մեթոդի համարը:

Լրացրեք աղյուսակը»:

Աշխատանքը կատարվում է զույգերով։

p/p

Հավասարումը

մեթոդ

Մեթոդներ:

1) Մուտքագրեք նոր փոփոխական:

2) Մուտքագրեք նոր փոփոխական

3) Մուտքագրեք նոր փոփոխական:

4) Փոխակերպել հավասարումը բանաձևով և ներմուծել նոր փոփոխական:

5) Փոխակերպել հավասարումը բանաձևով, ներմուծել նոր փոփոխական:

6) Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բաժանել, ներմուծել նոր փոփոխական:

7) Փոխակերպեք հավասարումը բանաձևով, բազմապատկեք հավասարման պայմանները, մուտքագրեք նոր փոփոխական:

Առաջադրանքը ստուգվում է ճակատային զրույցի տեսքով։

Ուսուցիչ. «Ձեր առջև սլայդ է՝ ուսումնական առաջադրանքի ճիշտ պատասխաններով: . Ստուգեք՝ ստուգելով ուսումնական առաջադրանքի ճիշտ պատասխանները: Աշխատեք ձեր նոթատետրի սխալների վրա»։

Առաջադրանքների թերթիկները հավաքվում են դասի վերջում։

p/p

Հավասարումը

մեթոդ

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբում և համակարգում:

Ուսուցիչը հրավիրում է ուսանողներին շարունակել աշխատել խմբերով:

Ուսուցիչ. «Լուծե՛ք հավասարումները. Ստուգեք արդյունքը խմբագրում Microsoft-ը Excel . Լուծման վերջում խմբի ներկայացուցիչը գնում է գրատախտակի մոտ և ներկայացնում խմբի կողմից լրացված հավասարման լուծումը»։ Ուսուցիչը ստուգում է լուծումը, գնահատում խմբի աշխատանքը և, անհրաժեշտության դեպքում, նշում է սխալները»:

Ուսուցիչ:

1 ) Խմբով քննարկել լուծումները:

2) Լուծումը և ստացված պատասխանը գրի՛ր տետրիդ մեջ.

3) Ստուգեք արդյունքը խմբագրում Microsoft-ը Excel .

4) Տեղեկացրեք ձեր ուսուցչին, որ պատրաստ եք:

5) Բացատրեք ձեր որոշումը՝ գրելով այն գրատախտակին այլ խմբերի անդամներին:

6) Մտածված լսեք ձեր ընկերների ելույթները, անհրաժեշտության դեպքում հարցեր տվեք:

Ուսումնական խմբերը, որոնք կատարել են առաջադրանքները ամբողջությամբ, հրավիրվում են կատարել այլ խմբերի առաջադրանքները: Հաջողակ խմբերը պարգևատրվում են վերջնական միավորի ավելացմամբ:

Առաջին խումբ.

Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Եվ

ոչ մի արմատ

որովհետեւ

Պատասխան.

Երկրորդ խումբ.

Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Փոխարինում, ապա հավասարումը դառնում է

Եվ

Պատասխան՝ ;

Երրորդ խումբ.

Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Բազմապատկեք հավասարումը

Փոխարինում, ապա հավասարումը դառնում է

Եվ

Պատասխան.

Չորրորդ խումբ.

Հավասարումը բաժանե՛ք

Փոխարինում, ապա հավասարումը դառնում է

Եվ

Պատասխան.

Հինգերորդ խումբ.

Փոխարինում, ապա հավասարումը դառնում է

Եվ

Պատասխան՝; .

VII . Արտացոլում. Ամփոփելով. Տնային աշխատանք.

Ուսուցիչ. Եկեք ամփոփենք ձեր աշխատանքը՝ կապելով ձեր գործունեության արդյունքները ձեր նպատակի հետ:

Կրկնենք հասկացությունները:

• «Եռանկյունաչափական հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսային հավասարումների՝ փոխակերպման և փոփոխականի փոփոխության արդյունքում, կոչվում են եռանկյունաչափական հավասարումներ, որոնք կրճատվում են քառակուսի հավասարումների»:

Տիպ 1 – հավասարումներ, հանրահաշվական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ.

- ուղղակի փոխարինում - փոխարինում կամ;

- հավասարումներ, որոնք պահանջում են փոխակերպում, օգտագործելով եռանկյունաչափական միավորի բանաձևը.

- միացման բանաձևի համաձայն փոխակերպում պահանջող հավասարումներ tgx և հետ tgx :

Տիպ 2 – միատարր հավասարումներ, որոնցում յուրաքանչյուր անդամ ունի նույն աստիճանը. բաժանել հավասարումը, ապա փոխարինել:

Լուծման ալգորիթմ.

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը. Անհրաժեշտության դեպքում հավասարումը վերադասավորիր այնպես, որ այն պարունակի միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա:

Դա անելու համար ընտրեք ցանկալի բանաձևը.

կամ կամ բաժանել

2. Ներկայացվում է փոխարինում (օրինակ՝ sinx = տ , cosx = տ , tgx = տ ).

3. Լուծի՛ր քառակուսի հավասարումը.

4. Կատարվում է հակադարձ փոխարինում, և լուծվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը։

5. Գրի՛ր պատասխանը։

Ուսուցիչը գնահատում է սովորողների և ուսումնական խմբերի աշխատանքը և հայտարարում գնահատականները:

Ուսուցիչ. «Գրեք ձեր տնային աշխատանքը. Բաշմակով Մ.Ի. Մաթեմատիկա՝ դասագիրք տարրական և միջին մասնագիտական ​​մասնագետների համար. կրթություն – Մ. «Academy», 2010. Pp. 114-115 թթ. 10 թվում լուծե՛ք 4,5,7,9 համարի հավասարումները։ էջ 118. Ստուգեք արդյունքը խմբագրում Microsoft-ը Excel ».

Դասի թեման՝ «Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում՝ նոր փոփոխականի ներմուծմամբ»

Դասի տեսակը. նոր նյութ սովորելու դաս

Դասի նպատակները. Ուսումնական: համախմբել գիտելիքներն ու հմտությունները ամենապարզ խնդիրները լուծելու համար

եռանկյունաչափական հավասարումներ, սովորեցնել, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ

ներմուծելով նոր փոփոխական:

Զարգացնող: զարգացնել եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու կարողությունը, զարգացնել

արագ և ճիշտ որոշելու հավասարման տեսակը և այն լուծելու ունակությունը:

Ուսումնական: ստեղծել աշխատանքի և միմյանց նկատմամբ հարգանքի մշակույթ.

Դասի պլան՝ 1. Կազմակերպման ժամանակ.

2. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

3. Գիտելիքների թարմացում.

4. Նոր նյութ սովորելը.

5. Նոր նյութի համախմբում:

6. Ֆիզիկական դաստիարակության րոպե.

7. Գիտելիքի առաջնային վերահսկում.

8. Ամփոփելով.

9. Արտացոլում.

10. Տնային աշխատանք.

Դասերի ժամանակ.

1. Կազմակերպչական պահ .

2. Տնային աշխատանքների ստուգում. 18 թիվ 13 (գ)

3. Գիտելիքների թարմացում. Լուծե՛ք հավասարումը.

մեղք x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Հետtgx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Որոնք են ձախ սյունակում գրված հավասարումների անվանումները: աջ սյունակում?

Ինչ մեթոդներ են օգտագործվել ձախ սյունակի հավասարումները լուծելու համար:

մեղք 2 x - 6 մեղք x + 5 =0

Ի՞նչ եք կարծում, ո՞րն է լինելու դասի թեման այսօր:

Մենք բացեցինք մեր տետրերը և գրեցինք համարը, դասի աշխատանքը, դասի թեման.Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում՝ նոր փոփոխական ներմուծելով»։

Ո՞րն է մեր դասի նպատակը:Սովորեք լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ օգտագործելով փոփոխական փոխարինման մեթոդը:

4. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Այս դասը կներառի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ամենատարածված մեթոդը:

Եռանկյունաչափական հավասարումները վերածվել են քառակուսային հավասարումների .

Այս դասը կարող է ներառել հավասարումներ, որոնք ներառում են մեկ ֆունկցիա (սինուս կամ կոսինուս, տանգենս կամ կոտանգենս) կամ նույն արգումենտի երկու ֆունկցիա, սակայն դրանցից մեկը կրճատվում է երկրորդին՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները:Ամեղք 2 x + bsinx + գ =0, ա.

Օրինակ, եթեգՕսx-ը հավասարման մեջ մտնում է զույգ ուժերով, այնուհետև այն փոխարինում ենք 1-ով.մեղք 2 x, Եթեմեղք 2 x, այնուհետև այն փոխարինում ենք 1-ովcos 2 x.

5. Նոր նյութի համախմբում.

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.մեղք 2 x - 6 մեղքx + 5 =0, 2 մեղք 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. Ֆիզկուլտուրայի րոպե.

Աչքերի հոգնածությունը թեթևացնելու առաջադրանք. պետք չէ շարժել ձեռքերը, այլ միայն աչքերը: Աղյուսակը պարունակում է 1-ից մինչև 20 թվեր, սակայն բացակայում են չորս թվեր: Ձեր խնդիրն է՝ անվանեք այս թվերը:

7. Առաջնային վերահսկողություն

Աշխատանք զույգերով: լուծել հավասարումը.

1. 3 թգ 2 x +2 tg x-1=0;

2.5 մեղք 2 x+ 6cos x -6 = 0:

Քննարկում ենք հավասարումների լուծումները, լուծում, իսկ հետո լուծումները ստուգում ենք գրատախտակի հետ:

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Թողtgx = տ.

3 տ 2 + 2 տ – 1 = 0

Դ = 16

տ 1 = , տ 2 = -1.

tgx= կամtgx = -1

x = arctg + Զ x = - + Զ

2. 5 մեղք 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Հետ օս 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Թողcos x =t.

5 տ 2 - 6 տ + 1 = 0

Դ = 16

տ 1 = , տ 2 = 1.

Եկեք վերադառնանք սկզբնական փոփոխականին.

cosx= կամcosx = 1

x = arccos + Զ x = Զ

8. Համախմբում.

Լուծե՛ք հավասարումները.

1. 2 Հետtg 2 x+3Հետtan x + 3= 5;

2.2 մեղք 2 - մեղքX + 2 = 3.

1. Լուծե՛ք հավասարումը 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. Նշեք [ - ; ].

2. 3տգ x - 2Հետtan x = 5

Յուրաքանչյուր տարբերակ լուծում է հավասարումները և ստուգում պատասխանները գրատախտակի վրա: Տղաներն իրենց գնահատում են այս աշխատանքի համար։ Հանձնվում են լուծույթներով տերևներ։ Հաջորդ դասին կհայտարարեմ այս աշխատանքի գնահատականները։

8. Ամփոփում .

Հիշեք. Ո՞րն է դասի թեման: Ո՞րն է մեր այսօրվա դասի նպատակը: Հասե՞լ ենք մեր նպատակին։

9. Անդրադարձ.

«Այսօրվա դասին ես հասկացա…»;

«Ես ինքս ինձ կգովեի…»;

«Ինձ հատկապես դուր եկավ…»;

«Այսօր ինձ հաջողվեց…»;

"Ինձ հաջողվեց...";

«Դժվար էր…»;

«Ես հասկացա, որ…»;

"Հիմա ես կարող եմ…";

«Ես զգացի, որ ...»;

«Ես սովորեցի…»;

"Ես զարմացած էի..."

10. Տնային աշխատանք.

1) §18, թիվ 6 (գ), 8 (բ), 9 (ա), 21 (ա):

2) §18, թիվ 7 (բ), 9 (դ): Առաջադրանքներ թիվ 1 կամ 2.

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք [; ].

2. = 0.

Աշխատանք զույգերով

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 մեղք 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Աշխատանք զույգերով

1. 3 թգ 2 x +2 tg x-1=0;

2.5 մեղք 2 x+ 6cos x -6 = 0:

Աշխատանք զույգերով

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 մեղք 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Աշխատանք զույգերով

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 մեղք 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Աշխատանք զույգերով

1. 3 թգ 2 x +2 tg x-1=0;

2.5 մեղք 2 x+ 6cos x -6 = 0:

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Տնային աշխատանք:

1. Լուծե՛ք + 4 հավասարումըtgx- 6 = 0. Նշեք հատվածին պատկանող արմատները

[ ; ].

2. Լուծե՛ք հավասարումը

Կարող եք պատվիրել ձեր խնդրի մանրամասն լուծում!!!

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի («sin x, cos x, tan x» կամ «ctg x») նշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարությունը կոչվում է եռանկյունաչափական հավասարում, և դրանց բանաձևերն են, որոնք մենք կքննարկենք հետագա:

Ամենապարզ հավասարումներն են՝ «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», որտեղ «x»-ը գտնելու անկյունն է, «a»-ն ցանկացած թիվ է: Եկեք գրենք դրանցից յուրաքանչյուրի արմատային բանաձևերը:

1. «sin x=a» հավասարումը:

«|a|>1»-ի համար այն լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z»

2. «cos x=a» հավասարումը

«|a|>1»-ի համար - ինչպես սինուսի դեպքում, այն իրական թվերի մեջ լուծումներ չունի:

Երբ `|ա| \leq 1` ունի անսահման թվով լուծումներ։

Արմատային բանաձև՝ «x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z»:

Սինուսի և կոսինուսի հատուկ դեպքեր գրաֆիկներում:

3. «tg x=a» հավասարումը

«a»-ի ցանկացած արժեքի համար ունի անսահման թվով լուծումներ:

Արմատային բանաձև՝ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. «ctg x=a» հավասարումը

Նաև ունի անսահման թվով լուծումներ «a»-ի ցանկացած արժեքի համար:

Արմատային բանաձև՝ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Աղյուսակում տրված եռանկյունաչափական հավասարումների արմատների բանաձևերը

Սինուսի համար.
Կոսինուսի համար.
Շոշափողի և կոտանգենսի համար.
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող հավասարումների լուծման բանաձևեր.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը բաղկացած է երկու փուլից.

• այն ամենապարզին փոխակերպելու օգնությամբ;
• լուծել վերևում գրված արմատային բանաձևերի և աղյուսակների միջոցով ստացված ամենապարզ հավասարումը:

Դիտարկենք լուծման հիմնական մեթոդները՝ օգտագործելով օրինակներ:

Հանրահաշվական մեթոդ.

Այս մեթոդը ներառում է փոփոխականի փոխարինում և այն հավասարության փոխարինում:

Օրինակ. Լուծեք հավասարումը` «2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

կատարել փոխարինում՝ «cos(x+\frac \pi 6)=y», ապա՝ «2y^2-3y+1=0»,

մենք գտնում ենք արմատները՝ `y_1=1, y_2=1/2`, որից հետևում են երկու դեպք.

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`:

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Պատասխան՝ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`:

Ֆակտորիզացիա.

Օրինակ. Լուծե՛ք «sin x+cos x=1» հավասարումը:

Լուծում. Հավասարության բոլոր անդամները տեղափոխենք ձախ՝ «sin x+cos x-1=0»: Օգտագործելով , մենք վերափոխում և ֆակտորիզացնում ենք ձախ կողմը.

«sin x — 2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0»,

«2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0»,

1. «sin x/2 =0», «x/2 =\pi n», «x_1=2\pi n»:
2. «cos x/2-sin x/2=0», «tg x/2=1», «x/2=arctg 1+ \pi n», «x/2=\pi/4+ \pi n»: , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`:

Պատասխան՝ «x_1=2\pi n», «x_2=\pi/2+ 2\pi n»:

Կրճատում միատարր հավասարման

Նախ, դուք պետք է կրճատեք այս եռանկյունաչափական հավասարումը երկու ձևերից մեկին.

«a sin x+b cos x=0» (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում) կամ «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում):

Այնուհետև երկու մասերը բաժանեք «cos x \ne 0»-ով` առաջին դեպքի համար, և «cos^2 x \ne 0»-ով` երկրորդի համար: Մենք ստանում ենք «tg x»-ի հավասարումներ՝ «a tg x+b=0» և «a tg^2 x + b tg x +c =0», որոնք պետք է լուծվեն հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը` «2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1»:

Լուծում. Եկեք աջ կողմը գրենք որպես `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=``sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Սա երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, որի ձախ և աջ կողմերը բաժանում ենք «cos^2 x \ne 0»-ի, ստանում ենք.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`: Ներկայացնենք «tg x=t» փոխարինումը, որի արդյունքում ստացվում է «t^2 + t - 2=0»: Այս հավասարման արմատներն են՝ «t_1=-2» և «t_2=1»: Ապա.

1. «tg x=-2», «x_1=arctg (-2)+\pi n», «n \in Z»
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`:

Անցում դեպի կես անկյուն

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը` «11 sin x - 2 cos x = 10»:

Լուծում. Եկեք կիրառենք կրկնակի անկյան բանաձևերը, որոնց արդյունքում ստացվում է` «22 sin (x/2) cos (x/2) -` «2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` «10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 տգ^2 x/2 — 11 տգ x/2 +6=0`

Կիրառելով վերը նկարագրված հանրահաշվական մեթոդը՝ մենք ստանում ենք.

1. «tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n», «n \in Z»,
2. «tg x/2=3/4», «x_2=arctg 3/4+2\pi n», «n \in Z»:

Պատասխանել. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`:

Օժանդակ անկյունի ներդրում

«a sin x + b cos x =c» եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, որտեղ a,b,c գործակիցներն են, իսկ x-ը փոփոխական է, երկու կողմերը բաժանեք «sqrt (a^2+b^2)»-ի.

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +բ^2))՚։

Ձախ կողմի գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այսինքն՝ դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի, իսկ մոդուլները 1-ից մեծ չեն: Նշենք դրանք հետևյալ կերպ. «\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ապա.

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`:

Եկեք մանրամասն նայենք հետևյալ օրինակին.

Օրինակ. Լուծե՛ք «3 sin x+4 cos x=2» հավասարումը։

Լուծում. Հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք «sqrt (3^2+4^2)»-ի վրա, ստանում ենք.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))»:

«3/5 մեղք x+4/5 cos x=2/5»:

Նշանակենք `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`: Քանի որ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ապա մենք վերցնում ենք `\varphi=arcsin 4/5` որպես օժանդակ անկյուն: Այնուհետև մենք գրում ենք մեր հավասարությունը ձևով.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Կիրառելով սինուսի անկյունների գումարի բանաձևը, մենք գրում ենք մեր հավասարությունը հետևյալ ձևով.

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Պատասխանել. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`:

Կոտորակի ռացիոնալ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Սրանք հավասարություններ են այն կոտորակների հետ, որոնց համարիչները և հայտարարները պարունակում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`:

Լուծում. Հավասարության աջ կողմը բազմապատկեք և բաժանեք «(1+cos x)»-ով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Հաշվի առնելով, որ հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, մենք ստանում ենք `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`:

Կոտորակի համարիչը հավասարեցնենք զրոյի՝ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`: Այնուհետև՝ «sin x=0» կամ «1-sin x=0»:

1. «sin x=0», «x=\pi n», «n \in Z»:
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`:

Հաշվի առնելով, որ «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z», լուծումներն են՝ «x=2\pi n, n \in Z» և «x=\pi /2+2\pi n»: , `n \in Z`.

Պատասխանել. «x=2\pi n», «n \in Z», «x=\pi /2+2\pi n», «n \in Z»:

Եռանկյունաչափությունը և հատկապես եռանկյունաչափական հավասարումները կիրառվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի և ճարտարագիտության գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Ուսումը սկսվում է 10-րդ դասարանից, Միասնական պետական ​​քննության համար միշտ առաջադրանքներ կան, այնպես որ փորձեք հիշել եռանկյունաչափական հավասարումների բոլոր բանաձևերը. դրանք անպայման օգտակար կլինեն ձեզ համար:

Այնուամենայնիվ, դուք նույնիսկ կարիք չունեք դրանք անգիր անել, գլխավորն այն է, որ հասկանաք էությունը և կարողանաք ելնել այն: Դա այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Կհամոզվեք ինքներդ՝ դիտելով տեսանյութը։

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդներն են՝ հավասարումները հասցնել պարզագույնի (եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործմամբ), նոր փոփոխականների ներմուծում և ֆակտորինգ։ Դիտարկենք դրանց օգտագործումը օրինակներով: Ուշադրություն դարձրեք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ գրելու ձևաչափին:

Եռանկյունաչափական հավասարումների հաջող լուծման համար անհրաժեշտ պայման է եռանկյունաչափական բանաձեւերի իմացությունը (6-րդ աշխատանքի թեմա 13):

Օրինակներ.

1. Հավասարումներ կրճատված մինչև ամենապարզին:

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում:

Պատասխան.

2) Գտե՛ք հավասարման արմատները

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, հատվածին պատկանող:

Լուծում:

Պատասխան.

2. Հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի:

1) Լուծե՛ք 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 հավասարումը:

Լուծում:Օգտագործելով sin 2 x = 1 – cos 2 x բանաձևը, մենք ստանում ենք

Պատասխան.

2) Լուծե՛ք cos 2x = 1 + 4 cosx հավասարումը:

Լուծում:Օգտագործելով cos 2x = 2 cos 2 x – 1 բանաձևը, մենք ստանում ենք

Պատասխան.

3) Լուծե՛ք tgx – 2ctgx + 1 = 0 հավասարումը

Լուծում:

Պատասխան.

3. Միատարր հավասարումներ

1) Լուծե՛ք 2sinx – 3cosx = 0 հավասարումը

Լուծում. Եկեք cosx = 0, ապա 2sinx = 0 և sinx = 0 – հակասություն այն փաստի հետ, որ sin 2 x + cos 2 x = 1: Սա նշանակում է cosx ≠ 0, և մենք կարող ենք հավասարումը բաժանել cosx-ի: Մենք ստանում ենք

Պատասխան.

2) Լուծե՛ք 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x հավասարումը

Լուծում:

Մենք օգտագործում ենք 1 = sin 2 x + cos 2 x և sin 2x = 2 sinxcosx բանաձևերը, ստանում ենք.

մեղք 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
մեղք 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Թող cosx = 0, ապա sin 2 x = 0 և sinx = 0 - հակասություն այն փաստի հետ, որ sin 2 x + cos 2 x = 1:
Սա նշանակում է cosx ≠ 0 և մենք կարող ենք հավասարումը բաժանել cos 2 x-ի . Մենք ստանում ենք

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Նշենք tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ա) tgx = 4, x= arctan4 + 2 կ, կ
բ) tgx = 2, x= arctan2 + 2 կ, կ .

Պատասխան. arctg4 + 2 կ, arctan2 + 2 k,k

4. Ձևի հավասարումներ ա sinx + բ cosx = ս, ս≠ 0.

1) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

5. Ֆակտորիզացիայի միջոցով լուծված հավասարումներ.

1) Լուծե՛ք sin2x – sinx = 0 հավասարումը:

Հավասարման արմատը զ (X) = φ ( X) կարող է ծառայել միայն որպես 0 համար: Եկեք ստուգենք սա.

cos 0 = 0 + 1 - հավասարությունը ճշմարիտ է:

0 թիվը այս հավասարման միակ արմատն է։

Պատասխան. 0.

«Պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ Integral առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C: Mathematical Constructor 6.1»

Այն, ինչ մենք կուսումնասիրենք.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսին, արկկոզին, արկտանգենս և արկոտանգենս: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։

Կրկնենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1)Եթե |a|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |a|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձեւերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ T(kx+m)=a, T-ն ինչ-որ եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) sin(3x)= √3/2

Լուծում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև կվերագրենք մեր հավասարումը հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից մենք ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n – հանած մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) cos(x/5)=1 բ) tg(3x- π/3)= √3

Լուծում:

Ա) Այս անգամ եկեք անմիջապես անցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք այն ձևով՝ 3x- π/3=arctg(√3)+ πk: Մենք գիտենք, որ arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա:

Լուծում:

Եկեք լուծենք մեր հավասարումը ընդհանուր ձևով՝ 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k At k=0, x= π/16, մենք գտնվում ենք տրված հատվածում։
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում ենք։
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար մենք նույնպես ակնհայտորեն չենք հարվածի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Մենք նայեցինք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները, բայց կան նաև ավելի բարդ: Դրանք լուծելու համար օգտագործվում է նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը և ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք նայենք օրինակներին:

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Լուծում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար կօգտագործենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը՝ նշելով t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում ստանում ենք՝ t 2 + 2t -1 = 0

Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները՝ t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3, մենք ստանում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները:

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Լուծում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ը արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սահմանում. a sin(x)+b cos(x) ձևի հավասարումները կոչվում են առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանեք cos(x-ի). Դուք չեք կարող բաժանել կոսինուսի վրա, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա asin(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, մենք ստանում ենք հակասություն, այնպես որ կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Լուծում:

Եկեք հանենք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

Cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ժամը x= π/2 + πk;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղաներ, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչի է հավասար a գործակիցը, եթե a=0, ապա մեր հավասարումը կստանա cos(x)(bsin(x)+ccos(x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդ սլայդում է.

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու կողմերը բաժանել կոսինուսի քառակուսու վրա, կստանանք.

Փոխում ենք t=tg(x) փոփոխականը և ստանում հավասարումը.

Լուծել օրինակ թիվ:3

Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Փոխում ենք t=tg(x) փոփոխականը՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Այնուհետև՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծիր օրինակ թիվ 4

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ թիվ:5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնենք փոխարինող tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը կլինեն արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Խնդիրներ անկախ լուծման համար.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 դ) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծե՛ք հավասարումները՝ sin(3x)= √3/2: Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը. մահճակալ 2 (x) + 2 մահճակալ (x) + 1 =0

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)