DIPARTIMENTO DELL'ISTRUZIONE DELLA CITTÀ DI MOSCA

PROFESSIONISTA DEL BILANCIO DELLO STATO

ISTITUZIONE EDUCATIVA a Mosca

"Politecnico n. 47 intitolato a V.G. Fedorov"

Lezione

nella disciplina Matematica

"Equazioni trigonometriche ridotte a quadratiche"

Insegnante

Protasevich Olga Nikolaevna

PROFESSIONE: Ingegnere hardware e software

DISCIPLINA: Matematica

BENE : 1

SEMESTRE : 2

GRUPPO :

Argomento della lezione:

"Equazioni trigonometriche ridotte a equazioni quadratiche."

Tipo di lezione: lezione combinata

Formato della lezione: allenamento collettivo secondo la metodologia di V.K. Dyachenko

(formazione scolastica in sistemi di piccoli gruppi)

Obiettivi della lezione:

Educativo – considerare approcci generali, riassumere informazioni sui tipi e metodi di risoluzione delle equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a quadratiche; sviluppare competenze e capacità di applicare le conoscenze durante la risoluzione di equazioni di base e l'applicazione delle conoscenze acquisite nelle attività professionali.

Sviluppo – promuovere lo sviluppopensiero logico tra gli studenti, sviluppare le capacità di analizzare, ragionare, confrontare, trarre conclusioni, comprendere il materiale;

Educativo – promuovere l’interesse cognitivo, elementi di una cultura della comunicazione, incoraggiare gli studenti a superare le difficoltà nel processo di attività mentale, sviluppare capacità per lavorare in un gruppo lavorativo ed educativo.

Obiettivo della lezione:

Conoscere gli studenti con i principali tipi e metodi per risolvere equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a quadratiche.

Supporto (risorse):

Hardware: computer, proiettore multimediale.

Software:MicrosoftEccellere.

Concetti basilari:

Equazione quadrata; semplici equazioni trigonometriche; funzioni trigonometriche inverse; equazioni trigonometriche ridotte a quadratiche.

Letteratura:

Bashmakov M.I. Matematica: libro di testo per l'istruzione professionale primaria e secondaria – M.; "Accademia", 2010. - 256 p.

Dyachenko V.K.-M.; "Istruzione pubblica", 2001. - 496 s.

Letteratura metodologica:

Bashmakov M.I. Matematica: un libro per gli insegnanti. Manuale metodologico. - M.; « Accademia", 2013 - 224 pag.

Risorse elettroniche:

Materiali del sitomovimento sociale e pedagogico per creare un modo collettivo di insegnare:www.kco-kras.ru.

Passi della lezione

Organizzare il tempo.

Controllo dei compiti.

Aggiornamento delle conoscenze di base.

Imparare nuovo materiale.

Consolidamento e sistematizzazione delle conoscenze acquisite.

Riflessione. Riassumendo. Compiti a casa.

Durante le lezioni

Organizzare il tempo.

L’insegnante stabilisce gli obiettivi della lezione per gli studenti:

1) Introdurre i principali tipi di equazioni trigonometriche riducibili a quadratiche;

2) Introdurre metodi standard per la risoluzione di equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a quadratiche.

3) Insegnare come applicare le conoscenze e le abilità acquisite per risolvere equazioni standard;

4) Insegnare come lavorare con le informazioni presentate in varie forme, esercitare il controllo reciproco e l'autocontrollo e applicare le conoscenze acquisite nelle attività professionali.

II . Controllo dei compiti.

L'insegnante include una presentazione dei "compiti a casa", in base alla quale gli studenti controllano autonomamente i compiti a casa e, se necessario, apportano modifiche e correzioni al lavoro.

Su richiesta degli studenti, l'insegnante commenta le soluzioni delle equazioni che hanno causato difficoltà, dopodiché annuncia i nomi degli studenti che, al termine della lezione, consegnano i loro quaderni per il controllo.

№ 1

Risposta:

№ 2

Risposta:

№ 3

Risposta:

№ 4

Perché allora l'equazione non ha radici

Risposta: nessuna radice

№ 5

Risposta:

№ 6

Risposta:

III . Aggiornamento delle conoscenze di base.

L'insegnante forma gruppi/coppie di studio e suggerisce di utilizzare le schede fornite per stabilire una corrispondenza tra le equazioni e le risposte: “Davanti a te c'è una diapositiva con un compito didattico. Abbina le equazioni (lato sinistro della tabella) con le risposte (lato destro della tabella). Annota sul tuo quaderno i numeri delle coppie di affermazioni corrette”.

Le attività specificate vengono duplicate nella presentazione inclusa.

Incontro

p/p

L'equazione

p/p

Risposta

senza radici

Al termine del lavoro, l'insegnante intervista frontalmente i rappresentanti del gruppo, dopodiché apre la pagina di presentazione con le soluzioni corrette.

Risposte giuste

p/p

L'equazione

p/p

Risposta

senza radici

senza radici

11.

13.

10.

12.

IV . Imparare nuovo materiale.

Il docente include una presentazione del nuovo materiale “Equazioni trigonometriche ridotte a quadratiche. Tipi di equazioni e metodi per le loro soluzioni.

Invita gli studenti ad annotare i punti necessari e inizia a commentare ciascuna diapositiva, dopodiché accendono la presentazione.

Introduciamo il concetto:

Vista generale di un'equazione quadratica:

1 tipo di equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a equazioni quadratiche – equazioni algebriche rispetto a una delle funzioni trigonometriche.

L'insegnante spiega le soluzioni.

1. Sostituzione diretta

Sostituzione ,

E

senza radici

Risposta:

Le equazioni della forma hanno una soluzione simile

Sostituzione

Sostituzione

2. Equazioni che richiedono la conversione utilizzando la formula dell'unità trigonometrica

Sostituzione , quindi l'equazione assume la forma

E

senza radici

Risposta:

Le equazioni della forma hanno una soluzione simile:

sostituiremo , utilizzando la formula dell'unità trigonometrica

.

Otteniamo un'equazione contenente una sola funzione trigonometrica :

Sostituzione

3. Equazioni che richiedono trasformazione utilizzando la formula di connessione tgx E Con tgx

Applichiamo la formula:

Moltiplicare l'equazione per

Sostituzione , quindi l'equazione assume la forma

E

Risposta:

Tipo 2 equazioni trigonometriche che si riducono ad equazioni quadratiche– equazioni omogenee in cui ogni termine ha lo stesso grado.

Dividi l'equazione per

Sostituzione , quindi l'equazione assume la forma

E

Risposta:

L'insegnante suggerisce di riassumere il materiale presentato e pone domande: “In quanti tipi sono divise le equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a equazioni quadratiche? Il loro nome? Nomina modi per risolvere equazioni trigonometriche che possono essere ridotte a quadratiche.

L’insegnante guida le azioni degli studenti durante la creazione di un algoritmo per la risoluzione di equazioni di questo tipo.

Le equazioni trigonometriche che si riducono ad equazioni quadratiche si dividono in due tipologie principali:

tgx E Con tgx :

Tipo 2 – equazioni omogenee in cui ogni termine ha lo stesso grado:

L'insegnante fa una correzione Algoritmo di soluzione:

1. Determinare il tipo di equazione. Se necessario, riorganizza l'equazione in modo che contenga solo una funzione trigonometrica. Per fare ciò, selezionare la formula desiderata: o o dividere in

2. Viene introdotta una sostituzione (ad es, sinx = T , cosx = T , tgx = T ).

5. Scrivi la risposta.

Per consolidare le conoscenze acquisite, l'insegnante suggerisce di stabilire una corrispondenza tra le equazioni e i possibili metodi per risolverle: “Davanti a te c'è una diapositiva con un compito formativo.

1. Classificare le equazioni in base ai metodi di soluzione secondo la tabella seguente

(le versioni stampate della tabella sono sulle vostre scrivanie).

2. Immettere il numero del metodo di soluzione nell'apposita casella.

Riempi la tabella".

Il lavoro viene svolto in coppia.

p/p

L'equazione

metodo

Metodi:

1) Immettere una nuova variabile.

2) Immettere una nuova variabile

3) Immettere una nuova variabile.

4) Trasforma l'equazione utilizzando la formula, inserisci una nuova variabile.

5) Trasforma l'equazione applicando la formula, introduce una nuova variabile.

6) Dividere ogni termine dell'equazione per, introdurre una nuova variabile.

7) Trasforma l'equazione utilizzando la formula, moltiplica i termini dell'equazione per, inserisci una nuova variabile.

L'attività viene verificata sotto forma di conversazione frontale.

Insegnante: “Davanti a te c'è una diapositiva con le risposte corrette al compito educativo. . Controlla controllando le risposte corrette al compito di apprendimento. Lavora sugli errori sul tuo quaderno."

I fogli dei compiti vengono raccolti al termine della lezione.

p/p

L'equazione

metodo

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Consolidamento e sistematizzazione delle conoscenze acquisite.

L'insegnante invita gli studenti a continuare a lavorare in gruppo.

Insegnante: “Risolvi le equazioni. Controlla il risultato nell'editor Microsoft Eccellere . Alla fine della soluzione, un rappresentante del gruppo si avvicina alla lavagna e presenta la soluzione dell’equazione completata dal gruppo.” L’insegnante verifica la soluzione, valuta il lavoro del gruppo e, se necessario, segnala gli errori.”

Insegnante:

1 ) Discutere le soluzioni in gruppo.

2) Annota sul tuo quaderno la soluzione e la risposta ricevuta.

3) Controlla il risultato nell'editor Microsoft Eccellere .

4) Avvisa il tuo insegnante che sei pronto.

5) Spiega la tua decisione scrivendola alla lavagna ai membri di altri gruppi.

6) Ascolta attentamente i discorsi dei tuoi compagni, fai domande se necessario.

I gruppi di studio che hanno completato integralmente i compiti sono invitati a completare i compiti degli altri gruppi. I gruppi vincitori vengono premiati con un aumento del punteggio finale di un'unità.

Primo gruppo:

Applichiamo la formula:

E

senza radici

Perché

Risposta:

Secondo gruppo:

Applichiamo la formula:

Sostituzione, quindi l'equazione diventa

E

Risposta: ;

Terzo gruppo:

Applichiamo la formula:

Moltiplicare l'equazione per

Sostituzione, quindi l'equazione diventa

E

Risposta:

Quarto gruppo:

Dividi l'equazione per

Sostituzione, quindi l'equazione diventa

E

Risposta:

Quinto gruppo:

Sostituzione, quindi l'equazione diventa

E

Risposta:; .

VII . Riflessione. Riassumendo. Compiti a casa.

Insegnante: Riassumiamo il tuo lavoro, correlando i risultati delle tue attività con il tuo obiettivo.

Ripetiamo concetti:

• "Le equazioni trigonometriche ridotte a equazioni quadratiche mediante trasformazione e cambiamento di variabile sono chiamate equazioni trigonometriche riducibili a equazioni quadratiche."

Tipo 1 – equazioni algebriche rispetto ad una delle funzioni trigonometriche:

- sostituzione diretta - sostituzione o;

- equazioni che richiedono la conversione utilizzando la formula dell'unità trigonometrica;

- equazioni che richiedono trasformazione secondo la formula di connessione tgx e con tgx :

Tipo 2 – equazioni omogenee in cui ogni termine ha lo stesso grado: dividi l'equazione per, quindi sostituisci.

Algoritmo di soluzione:

1. Determinare il tipo di equazione. Se necessario, trasforma l'equazione in modo che contenga solo una funzione trigonometrica.

Per fare ciò, seleziona la formula desiderata:

O o dividere in

2. Viene introdotta una sostituzione (ad esempio, sinx = T , cosx = T , tgx = T ).

3. Risolvi l'equazione quadratica.

4. Viene effettuata la sostituzione inversa e viene risolta l'equazione trigonometrica più semplice.

5. Scrivi la risposta.

L'insegnante valuta il lavoro degli studenti e dei gruppi di studio e annuncia i voti.

Insegnante: “Scrivi i tuoi compiti: Bashmakov M.I. Matematica: un libro di testo per professionisti primari e secondari. educazione. – M.; "Accademia", 2010. Pg. 114-115. Nel numero 10, risolvi le equazioni numero 4,5,7,9. p. 118. Controllare il risultato nell'editor Microsoft Eccellere ».

Argomento della lezione: "Risolvere equazioni trigonometriche introducendo una nuova variabile"

Tipo di lezione: lezione sull'apprendimento di nuovo materiale

Obiettivi della lezione: Educativo: consolidare conoscenze e abilità nella risoluzione dei problemi più semplici

equazioni trigonometriche, insegna a risolvere equazioni trigonometriche

introducendo una nuova variabile.

Sviluppo: sviluppare la capacità di risolvere equazioni trigonometriche, sviluppare

la capacità di determinare rapidamente e correttamente il tipo di equazione e come risolverla.

Educativo: creare una cultura del lavoro e del rispetto reciproco.

Programma della lezione: 1. Organizzare il tempo.

2. Controllo dei compiti.

3. Aggiornamento della conoscenza.

4. Imparare nuovo materiale.

5. Consolidamento di nuovo materiale.

6. Minuto di educazione fisica.

7. Controllo primario della conoscenza.

8. Riassumendo.

9. Riflessione.

10. Compiti a casa.

Durante le lezioni.

1. Momento organizzativo .

2. Controllare i compiti. 18 N. 13(c)

3. Aggiornamento delle conoscenze. Risolvi l'equazione:

peccato x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Contgx = 0

1. X 2 +3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x+6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Quali sono i nomi delle equazioni scritte nella colonna di sinistra? nella colonna di destra?

Quali metodi sono stati utilizzati per risolvere le equazioni nella colonna di sinistra?

peccato 2 X - 6 peccato X + 5 =0

Quale pensi che sarà l’argomento della lezione oggi?

Abbiamo aperto i nostri quaderni e abbiamo annotato la data, il lavoro in classe, l’argomento della lezione: “Risolvere equazioni trigonometriche introducendo una nuova variabile."

Qual è il nostro obiettivo per la lezione?Impara a risolvere equazioni trigonometriche utilizzando il metodo della sostituzione delle variabili.

4. Studio di nuovo materiale.

Questa lezione tratterà il metodo più comune per risolvere le equazioni trigonometriche.

Equazioni trigonometriche ridotte ad equazioni quadratiche .

Questa classe può includere equazioni che includono una funzione (seno o coseno, tangente o cotangente) o due funzioni dello stesso argomento, ma una di esse è ridotta alla seconda utilizzando identità trigonometriche di base.UNpeccato 2 X + peccatoX + C =0, UN.

Ad esempio, seCOSx entra nell'equazione con potenze pari, quindi lo sostituiamo con 1-peccato 2 X, Sepeccato 2 X, quindi lo sostituiamo con 1-cos 2 X.

5. Consolidamento di nuovo materiale.

Esempio.

Risolvi l'equazione:peccato 2 X - 6 peccatoX + 5 =0, 2 peccato 2 x-3cosx-3 = 0.

6. Minuto di educazione fisica.

Un compito per alleviare l'affaticamento degli occhi: non bisogna muovere le mani, ma solo gli occhi. La tabella contiene i numeri da 1 a 20, ma mancano quattro numeri. Il tuo compito: dai un nome a questi numeri.

7. Controllo primario

Lavoro in coppia: risolvi l'equazione:

1. 3tg 2 x+2 tgx-1=0;

2,5 peccato 2 x+6cosx-6 = 0.

Discutiamo soluzioni alle equazioni, risolviamo e poi controlliamo le soluzioni con la lavagna.

1. 3 tg 2 X +2 tgX-1= 0

PermetteretgX = T.

3 T 2 + 2 T – 1 = 0

D = 16

T 1 = , T 2 = -1.

tgX= otgX = -1

x = arctg + Z X = - + Z

2. 5 peccato 2 X + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Con os 2 X ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Permetterecos x = t.

5 T 2 - 6 T + 1 = 0

D = 16

T 1 = , T 2 = 1.

Torniamo alla variabile originale:

cosX= ocosX = 1

x = arccos + Z X = Z

8. Consolidamento.

Risolvi le equazioni:

1. 2 Contg 2 x+3Contg x + 3= 5;

2.2peccato 2 -peccatoX + 2 = 3.

1. Risolvi l'equazione 2 cos 2 X - 3 cos (X) - 3 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento [ - ; ].

2. 3tg x - 2Conmarrone chiaro x = 5

Ogni opzione risolve le equazioni e controlla le risposte sulla lavagna. I ragazzi si valutano per questo lavoro. Vengono consegnati i fogli con le soluzioni. Nella prossima lezione annuncerò i voti di questo lavoro.

8. Riassumendo .

Ricorda: qual è l'argomento della lezione? Qual è il nostro obiettivo per la lezione di oggi? Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo?

9. Riflessione.

“Nella lezione di oggi ho capito…”;

“Loderei me stesso...”;

“Mi è piaciuto particolarmente...”;

“Oggi sono riuscito...”;

"Sono riuscito...";

"Era difficile…";

"Ho capito che...";

"Ora posso…";

“Ho sentito che...”;

"Ho studiato…";

"Ero sorpreso..."

10. Compiti a casa.

1) §18, n. 6(c), 8(b), 9(a), 21(a).

2) §18, n. 7(b), 9(d). Compiti n. 1 o 2.

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento [; ].

2. = 0.

Lavoro in coppia

1. 3 tg 2 X +2 tg X -1=0;

2. 5 peccato 2 X + 6 cos X -6 = 0.

Lavoro in coppia

1. 3tg 2 x+2 tgx-1=0;

2,5 peccato 2 x+6cosx-6 = 0.

Lavoro in coppia

1. 3 tg 2 X +2 tg X -1=0;

2. 5 peccato 2 X + 6 cos X -6 = 0.

Lavoro in coppia

1. 3 tg 2 X +2 tg X -1=0;

2. 5 peccato 2 X + 6 cos X -6 = 0.

Lavoro in coppia

1. 3tg 2 x+2 tgx-1=0;

2,5 peccato 2 x+6cosx-6 = 0.

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Compiti a casa:

1. Risolvi l'equazione + 4tgX- 6 = 0. Indicare le radici appartenenti al segmento

[ ; ].

2. Risolvi l'equazione

Puoi ordinare una soluzione dettagliata al tuo problema!!!

Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica ("sin x, cos x, tan x" o "ctg x") è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.

Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove "x" è l'angolo da trovare, "a" è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule di radice per ciascuno di essi.

1. Equazione "peccato x=a".

Per `|a|>1` non ha soluzioni.

Quando `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula di radice: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equazione "cos x=a".

Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ha soluzioni tra numeri reali.

Quando `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula di radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casi particolari di seno e coseno nei grafici.

3. Equazione "tg x=a".

Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".

Formula di radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equazione "ctg x=a".

Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".

Formula di radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella

Per il seno:
Per coseno:
Per tangente e cotangente:
Formule per risolvere equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:

Metodi per risolvere equazioni trigonometriche

La risoluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:

• con l'aiuto di trasformarlo nel più semplice;
• risolvere l'equazione più semplice ottenuta utilizzando le formule di radice e le tabelle scritte sopra.

Diamo un'occhiata ai principali metodi di soluzione utilizzando esempi.

Metodo algebrico.

Questo metodo prevede la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in un'uguaglianza.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

effettuare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,

troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.

Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fattorizzazione.

Esempio. Risolvi l'equazione: `sen x+cos x=1`.

Soluzione. Spostiamo tutti i termini dell'uguaglianza a sinistra: `sin x+cos x-1=0`. Utilizzando , trasformiamo e fattorizziamo il membro sinistro:

`peccato x — 2peccato^2 x/2=0`,

`2sen x/2 cos x/2-2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

1. `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Riduzione ad un'equazione omogenea

Innanzitutto, devi ridurre questa equazione trigonometrica in una delle due forme:

`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) oppure `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).

Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` - per il primo caso, e per `cos^2 x \ne 0` - per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte utilizzando metodi noti.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1".

Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 peccato^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,

`2 peccato^2 x+sen x cos x — cos^2 x -` ` peccato^2 x — cos^2 x=0`

`peccato^2 x+peccato x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividiamo i suoi lati sinistro e destro per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, che risulta in `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono "t_1=-2" e "t_2=1". Poi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Risposta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Spostamento a metà angolo

Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluzione. Applichiamo le formule del doppio angolo, ottenendo: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduzione dell'angolo ausiliario

Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividi entrambi i lati per `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` ``\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è uguale a 1 e i loro moduli non sono maggiori di 1. Indichiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, quindi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Diamo uno sguardo più da vicino al seguente esempio:

Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluzione. Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:

`\frac (3 sin x) (quadrato (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(quadrato (3^2+4^2))=` `\frac 2(quadrato (3^2+4^2))`

`3/5 peccato x+4/5 cos x=2/5`.

Indichiamo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Applicando la formula per la somma degli angoli al seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella seguente forma:

`peccato (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equazioni trigonometriche razionali frazionarie

Queste sono uguaglianze con frazioni i cui numeratori e denominatori contengono funzioni trigonometriche.

Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'uguaglianza per "(1+cos x)". Di conseguenza otteniamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considerando che il denominatore non può essere uguale a zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Uguagliamo il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `peccato x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al 10 ° grado, ci sono sempre compiti per l'Esame di Stato Unificato, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti saranno sicuramente utili!

Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è comprenderne l'essenza ed essere in grado di ricavarla. Non è così difficile come sembra. Verificatelo voi stessi guardando il video.

I principali metodi per risolvere le equazioni trigonometriche sono: ridurre le equazioni al più semplice (usando formule trigonometriche), introdurre nuove variabili e fattorizzare. Vediamo il loro utilizzo con degli esempi. Presta attenzione al formato in cui scrivi le soluzioni delle equazioni trigonometriche.

Una condizione necessaria per risolvere con successo le equazioni trigonometriche è la conoscenza delle formule trigonometriche (argomento 13 del lavoro 6).

Esempi.

1. Equazioni ridotte alla più semplice.

1) Risolvi l'equazione

Soluzione:

Risposta:

2) Trova le radici dell'equazione

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenente al segmento.

Soluzione:

Risposta:

2. Equazioni che si riducono a quadratiche.

1) Risolvi l'equazione 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Soluzione: Usando la formula sin 2 x = 1 – cos 2 x, otteniamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione cos 2x = 1 + 4 cosx.

Soluzione: Usando la formula cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otteniamo

Risposta:

3) Risolvi l'equazione tgx – 2ctgx + 1 = 0

Soluzione:

Risposta:

3. Equazioni omogenee

1) Risolvi l'equazione 2sinx – 3cosx = 0

Soluzione: Sia cosx = 0, quindi 2sinx = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1. Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cosx. Noi abbiamo

Risposta:

2) Risolvi l'equazione 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Soluzione:

Usiamo le formule 1 = sin 2 x + cos 2 x e sin 2x = 2 sinxcosx, otteniamo

peccato 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin2x – 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Sia cosx = 0, quindi sin 2 x = 0 e sinx = 0 – una contraddizione con il fatto che sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ciò significa cosx ≠ 0 e possiamo dividere l'equazione per cos 2 x . Noi abbiamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Indichiamo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arcotan4 + 2 K, K
b) tgx = 2, x= arcotan2 + 2 K, K .

Risposta: arcog4 + 2 K, arcotan2 + 2 k, k

4. Equazioni della forma UN sinx + B cosx= s, s≠ 0.

1) Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Risposta:

5. Equazioni risolte mediante fattorizzazione.

1) Risolvi l'equazione sin2x – sinx = 0.

Radice dell'equazione F (X) = φ ( X) può servire solo come numero 0. Controlliamo questo:

cos 0 = 0 + 1 – l'uguaglianza è vera.

Il numero 0 è l'unica radice di questa equazione.

Risposta: 0.

Lezione e presentazione sull'argomento: "Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche"

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Cosa studieremo:
1. Cosa sono le equazioni trigonometriche?

3. Due metodi principali per risolvere equazioni trigonometriche.
4. Equazioni trigonometriche omogenee.
5. Esempi.

Cosa sono le equazioni trigonometriche?

Ragazzi, abbiamo già studiato arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente. Consideriamo ora le equazioni trigonometriche in generale.

Le equazioni trigonometriche sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno di una funzione trigonometrica.

Ripetiamo la forma di risoluzione delle equazioni trigonometriche più semplici:

1)Se |a|≤ 1, allora l'equazione cos(x) = a ha soluzione:

X= ± arcocos(a) + 2πk

2) Se |a|≤ 1, allora l'equazione sin(x) = a ha soluzione:

3) Se |a| > 1, allora l'equazione sin(x) = a e cos(x) = a non hanno soluzioni 4) L'equazione tg(x)=a ha una soluzione: x=arctg(a)+ πk

5) L'equazione ctg(x)=a ha soluzione: x=arcctg(a)+ πk

Per tutte le formule k è un numero intero

Le equazioni trigonometriche più semplici hanno la forma: T(kx+m)=a, T è una funzione trigonometrica.

Esempio.

Risolvi le equazioni: a) sin(3x)= √3/2

Soluzione:

A) Indichiamo 3x=t, quindi riscriviamo la nostra equazione nella forma:

La soluzione di questa equazione sarà: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dalla tabella dei valori otteniamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Torniamo alla nostra variabile: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Allora x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Risposta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dove n è un numero intero. (-1)^n – meno uno elevato a n.

Altri esempi di equazioni trigonometriche.

Risolvi le equazioni: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluzione:

A) Questa volta passiamo direttamente al calcolo delle radici dell'equazione:

X/5= ± arcocose(1) + 2πk. Allora x/5= πk => x=5πk

Risposta: x=5πk, dove k è un numero intero.

B) Lo scriviamo nella forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sappiamo che: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Risposta: x=2π/9 + πk/3, dove k è un numero intero.

Risolvi le equazioni: cos(4x)= √2/2. E trova tutte le radici sul segmento.

Soluzione:

Risolviamo la nostra equazione in forma generale: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X=±π/16+πk/2;

Vediamo ora quali radici ricadono sul nostro segmento. A k A k=0, x= π/16, siamo nel segmento dato.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, colpiamo di nuovo.
Per k=2, x= π/16+ π=17π/16, ma qui non abbiamo colpito, il che significa che anche per k grandi ovviamente non colpiremo.

Risposta: x=π/16, x= 9π/16

Due principali metodi di soluzione.

Abbiamo esaminato le equazioni trigonometriche più semplici, ma ce ne sono anche di più complesse. Per risolverli vengono utilizzati il ​​metodo di introduzione di una nuova variabile e il metodo di fattorizzazione. Diamo un'occhiata agli esempi.

Risolviamo l'equazione:

Soluzione:
Per risolvere la nostra equazione, utilizzeremo il metodo di introduzione di una nuova variabile, che denota: t=tg(x).

Come risultato della sostituzione otteniamo: t 2 + 2t -1 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-1 e t=1/3

Quindi tg(x)=-1 e tg(x)=1/3, otteniamo l'equazione trigonometrica più semplice, troviamo le sue radici.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Risposta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un esempio di risoluzione di un'equazione

Risolvi le equazioni: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluzione:

Usiamo l'identità: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

La nostra equazione assumerà la forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduciamo la sostituzione t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica sono le radici: t=2 e t=-1/2

Allora cos(x)=2 e cos(x)=-1/2.

Perché il coseno non può assumere valori maggiori di uno, allora cos(x)=2 non ha radici.

Per cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x=±2π/3 + 2πk

Risposta: x= ±2π/3 + 2πk

Equazioni trigonometriche omogenee.

Definizione: Le equazioni della forma a sin(x)+b cos(x) sono chiamate equazioni trigonometriche omogenee di primo grado.

Equazioni della forma

equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado.

Per risolvere un'equazione trigonometrica omogenea di primo grado, dividila per cos(x): Non puoi dividere per il coseno se è uguale a zero, assicuriamoci che non sia così:
Sia cos(x)=0, quindi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ma seno e coseno non sono uguali a zero allo stesso tempo, otteniamo una contraddizione, quindi possiamo tranquillamente dividere per zero.

Risolvi l'equazione:
Esempio: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluzione:

Togliamo il fattore comune: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Quindi dobbiamo risolvere due equazioni:

Cos(x)=0 e cos(x)+sen(x)=0

Cos(x)=0 in x= π/2 + πk;

Considera l'equazione cos(x)+sin(x)=0 Dividi la nostra equazione per cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Risposta: x= π/2 + πk e x= -π/4+πk

Come risolvere equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado?
Ragazzi, rispettate sempre queste regole!

1. Guarda a quanto equivale il coefficiente a, se a=0 allora la nostra equazione assumerà la forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un esempio della cui soluzione si trova nella diapositiva precedente

2. Se a≠0, allora devi dividere entrambi i lati dell'equazione per il coseno quadrato, otteniamo:

Cambiamo la variabile t=tg(x) e otteniamo l'equazione:

Risolvi l'esempio n.:3

Risolvi l'equazione:
Soluzione:

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il quadrato del coseno:

Cambiamo la variabile t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Troviamo le radici dell'equazione quadratica: t=-3 e t=1

Quindi: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Risposta: x=-arctg(3) + πk e x= π/4+ πk

Risolvi l'esempio n.:4

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Possiamo risolvere tali equazioni: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risposta: x= - π/4 + 2πk e x=5π/4 + 2πk

Risolvi l'esempio n.:5

Risolvi l'equazione:

Soluzione:
Trasformiamo la nostra espressione:

Introduciamo la sostituzione tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La soluzione della nostra equazione quadratica saranno le radici: t=-2 e t=1/2

Quindi otteniamo: tg(2x)=-2 e tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arcog(1/2) + πk => x=arcog(1/2)/2+ πk/2

Risposta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 e x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi per soluzione indipendente.

1) Risolvi l'equazione

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Risolvi le equazioni: sin(3x)= √3/2. E trova tutte le radici sul segmento [π/2; π].

3) Risolvi l'equazione: lettino 2 (x) + 2 lettino (x) + 1 =0

4) Risolvi l'equazione: 3 sin 2 (x) + √3sen (x) cos(x) = 0

5) Risolvi l'equazione: 3sen 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Risolvi l'equazione: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)