Labai dažnai trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra algebrinės išraiškos, kurios pirmiausia turi būti suskaičiuotos, o paskui, radusios identiškas, iš jų padalykite skaitiklį ir vardiklį, tai yra, sumažinkite trupmeną. Visas 7 klasės algebros vadovėlio skyrius skirtas daugianario faktoringo užduočiai. Galima atlikti faktorizavimą 3 būdai, taip pat šių metodų derinys.

1. Sutrumpintų daugybos formulių taikymas

Kaip žinoma, į padauginkite daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir pridėti gautus sandaugus. Į sąvoką įtraukiami bent 7 (septyni) dažnai pasitaikantys daugianario dauginimo atvejai. Pavyzdžiui,

1 lentelė. Faktorizavimas 1-uoju būdu

2. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų

Šis metodas pagrįstas skirstomojo daugybos dėsnio taikymu. Pavyzdžiui,

Kiekvieną pradinės išraiškos narį padalijame iš koeficiento, kurį išimame, ir gauname išraišką skliausteliuose (tai yra, padalijus tai, kas buvo iš to, ką pašalinome, lieka skliausteliuose). Pirmiausia jums reikia teisingai nustatyti daugiklį, kurį reikia išimti iš laikiklio.

Bendras veiksnys taip pat gali būti daugianario skliausteliuose:

Atliekant „faktorizavimo“ užduotį, turite būti ypač atsargūs su ženklais, kai bendras koeficientas yra skliausteliuose. Norėdami pakeisti kiekvieno termino ženklą skliausteliuose (b – a), išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų -1 , ir kiekvienas terminas skliausteliuose bus padalintas iš -1: (b - a) = - (a - b) .

Jei išraiška skliausteliuose yra kvadratinė (arba bet kokia lyginė laipsnė), tada skaičiai skliausteliuose gali būti keičiami visiškai laisvai, nes iš skliaustų ištraukti minusai padauginus vis tiek virs pliusu: (b – a) 2 = (a – b) 2, (b – a) 4 = (a – b) 4 ir taip toliau…

3. Grupavimo metodas

Kartais ne visi išraiškos terminai turi bendrą veiksnį, o tik kai kurie. Tada galite pabandyti grupės terminai skliausteliuose, kad iš kiekvieno iš jų būtų galima išskirti veiksnį. Grupavimo metodas- tai dvigubas bendrų veiksnių pašalinimas iš skliaustų.

4. Naudojant kelis metodus vienu metu

Kartais reikia naudoti ne vieną, o kelis daugianario faktoriaus metodus vienu metu.

Tai yra temos santrauka "Faktorizacija". Pasirinkite, ką daryti toliau:

• Eikite į kitą santrauką:

Medžiagai konsoliduoti bus nagrinėjami keli pavyzdžiai ir nagrinėjama trupmenų skaidymo į paprasčiausias teorija. Išsamiai apsvarstysime neapibrėžtų koeficientų metodą ir dalinių reikšmių metodą, išnagrinėsime visas galimas kombinacijas.

Paprastosios trupmenos vadinamos elementariosiomis trupmenomis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Skiriamos trupmenos:

1. A x - a ;
2. A(x - a)n;
3. Mx+Nx2+px+q;
4. M x + N (x 2 + p x + q) n .

Iš kurių A, M, N, a, p, q yra skaičiai, o 3 ir 4 trupmenų diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai yra, išraiška neturi šaknų.

Supaprastinus išraišką, skaičiavimo funkcijos atliekamos greičiau. Racionaliosios trupmenos, kaip paprastųjų trupmenų sumos, vaizdavimas yra panašus. Norėdami tai padaryti, Laurent serijos naudojamos norint išplėsti galios serijas arba rasti integralus.

Pavyzdžiui, jei reikia imti trupmeninės racionaliosios funkcijos integralą formos ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x . Po to integrandą reikia išskaidyti į paprastas trupmenas. Visa tai veda prie paprastų integralų susidarymo. Mes tai gauname

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 2 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ∫ d (x 2 + 1) x 2 + 1 - 2 ∫ d x x 2 + 1 = = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan (x) + C

1 pavyzdys

Išskaidykite formos trupmeną - 2 x + 3 x 3 + x.

Sprendimas

Kai daugianario skaitiklio laipsnis mažesnis laipsnis daugianario vardiklyje, vyksta skaidymas į paprastas trupmenas. Kitu atveju dalijimas naudojamas visai daliai izoliuoti, o po to išskaidoma trupmeninė-racionali funkcija.

Taikykime padalijimą pagal kampą. Mes tai gauname

Iš to išplaukia, kad trupmena įgis formą

2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Tai reiškia, kad toks išplėtimas lems, kad rezultatas bus lygus - 2 x + 3 x 3 + x.

Neapibrėžtinių koeficientų metodo algoritmas

Norėdami tinkamai atlikti skaidymą, turite laikytis kelių punktų:

• Faktorizuoti. Galite naudoti skliaustus, sutrumpintas daugybos formules ir šaknies pasirinkimą. Esamas pavyzdys x 3 + x = x x 2 + 1 dėl paprastumo išimamas iš skliaustų.
• Trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas su neapibrėžtais koeficientais.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

2 pavyzdys

Kai vardiklis turi formos (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) išraišką, faktorių skaičius neturi reikšmės, trupmeną galima pavaizduoti kaip pirmojo tipo trupmeną A x - a + B x - b + C x - c + D x - d, kur a, b, c ir d yra skaičiai, A, B, C ir D yra neapibrėžti koeficientai.

3 pavyzdys

Kai vardiklis turi išraišką (x - a) 2 (x - b) 4 (x - c) 3, faktorių skaičius taip pat neturi reikšmės, o pati trupmena turi būti sumažinta iki antrojo arba pirmojo formos tipo :

A 2 x - a 2 + A 1 x - a + B 4 x - b 4 + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + C 3 x - c 3 + C 2 x - c 2 + C 1 x - c

kur turimi a, b, c yra skaičiai, o A 1, A 2, B 1, B 2, B 3, B 4, C 1, C 2, C 3 yra neapibrėžti koeficientai. Koks yra daugianario laipsnis, toks yra ir mūsų turimų terminų skaičius.

4 pavyzdys

Kai vardiklio forma yra x 2 + p x + q x 2 + r x + s, tada kvadratinių funkcijų skaičius neturi reikšmės, o trupmena įgauna trečiojo tipo P x + Q x 2 + p x formą. + q + R x + S x 2 + r x + s, kur turimi p, q, r ir s yra skaičiai, o P, Q, R ir S yra tam tikri koeficientai.

5 pavyzdys

Kai vardiklis turi formą x 2 + p x + q 4 x 2 + r x + s 2, faktorių skaičius neturi reikšmės, taip pat jų laipsniai, trupmena vaizduojama trečiojo ir keturkampio formos pavidalu.

P 4 x + Q 4 (x 2 + p x + q) 4 + P 3 x + Q 3 (x 2 + p x + q) 3 + P 2 x + Q 2 (x 2 + p x + q) 2 + P 1 x + Q 1 x 2 + p x + q + + R 2 x + S 2 (x 2 + r x + s) 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

kur turimi p, q, r ir s yra skaičiai, o P 1, P 2, P 3, P 4, R 1, R 2, S 1, S 2 yra neapibrėžti koeficientai.

6 pavyzdys

Kai yra formos (x - a) (x - b) 3 (x 2 + p x + q) (x 2 + r x + s) 2 vardiklis, tada trupmena turi būti pavaizduota ketvirtojo tipo forma

A x - a + B 3 x - b 3 + B 2 x - b 2 + B 1 x - b + + P x + Q x 2 + p x + q + R 2 x + S 2 x 2 + r x + s 2 + R 1 x + S 1 x 2 + r x + s

Pažvelkime į trupmenų pavyzdį. Kai trupmena išplečiama į trečiojo tipo sumą, kurios forma 2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1, kur A , B ir C yra neapibrėžti koeficientai .

Sumažinę gautą paprastųjų trupmenų sumą, kai yra neapibrėžtas koeficientas, iki bendro vardiklio, naudojame grupavimo metodą toms pačioms x laipsnėms ir nustatome, kad

2 x - 3 x 3 + x = 2 x - 3 x (x 2 + 1) = A x + B x + C x 2 + 1 = = A (x 2 + 1) + (B x + C) x x ( x 2 + 1) = A x 2 + A + B x 2 + C x x (x 2 + 1) = = x 2 (A + B) + x C + A x (x 2 + 1)

Kai x skiriasi nuo 0, tada sprendimas prilygsta dviem polinomams. Gauname 2 x - 3 = x 2 (A + B) + x C + A. Polinomai laikomi lygiais, kai sutampa vienodų laipsnių koeficientai.

• Koeficientų sulyginimas su tokiomis pačiomis x laipsnėmis. Gauname, kad tiesinių lygčių sistema, esant tam tikriems koeficientams:
  A + B = 0 C = 2 A = - 3
• Gautos sistemos sprendimas bet kuriuo metodu neapibrėžtiems koeficientams rasti: A + B = 0 C = 2 A = - 3 ⇔ A = - 3 B = 3 C = 2
• Įrašome atsakymą:
  2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x 3 + x = 2 - 2 x - 3 x (x 2 + 1) = = 2 - A x + B x + C x 2 + 1 = 2 - - 3 x + 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1

Turi būti atliekami nuolatiniai patikrinimai. Tai prisideda prie to, kad redukcija į bendrą vardiklį įgauna formą

2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 = 2 x (x 2 + 1) - (3 x + 2) x x (x 2 + 1) = 2 x 3 + 3 x 3 + x

Neapibrėžtųjų koeficientų metodu laikomas trupmenos išskaidymo į kitas paprasčiausias būdas.

Dalinės vertės metodo naudojimas padeda pateikti linijinius veiksnius tokiu būdu:

x - a x - b x - c x - d .

7 pavyzdys

Išskaidykite trupmeną 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad skaitiklio daugianario laipsnis yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, tada dalyti nereikia. Būtina pereiti prie faktorizavimo. Pirmiausia turite pašalinti x iš skliaustų. Mes tai gauname

x 3 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6)

Kvadratinis trinaris x 2 - 5 x + 6 turi šaknis, kurias randa ne diskriminantas, o Vietos teorema. Mes gauname:

x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6 ⇔ x 1 = 3 x 2 = 2

Trinaris gali būti parašytas kaip x 2 - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2) .

Tada vardiklis pasikeis: x 2 - 5 x 2 + 6 x = x (x 2 - 5 x + 6) = x (x - 3) (x - 2)

Turėdami tokį vardiklį, trupmeną išskaidome į paprastas trupmenas su neapibrėžtais koeficientais. Išraiška bus tokia:

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2

Gautas rezultatas turi būti sumažintas iki bendro vardiklio. Tada gauname:

2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = 2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A x + B x - 3 + C x - 2 = = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2)

Supaprastinus gauname formos nelygybę

2 x 2 - x - 7 x (x - 3) (x - 2) = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3) x (x - 3) (x - 2) ⇒ ⇒ 2 x 2 - x - 7 = A (x - 3) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x - 3)

Dabar pereiname prie neapibrėžtų koeficientų paieškos. Gautas reikšmes reikia pakeisti lygybe taip, kad vardiklis būtų lygus nuliui, tai yra, reikšmės x = 0, x = 2 ir x = 3.

Jei x = 0, gauname:

2 0 2 - 0 - 7 = A (0 - 3) (0 - 2) + B 0 (0 - 2) + C 0 (0 - 3) - 7 = 6 A ⇒ A = - 7 6

Jei x = 2, tada

2 2 2 - 2 - 7 = A (2 - 3) (2 - 2) + B 2 (2 - 2) + C 2 (2 - 3) - 1 = - 2 C ⇒ C = 1 2

Jei x = 3, tada

2 3 2 - 3 - 7 = A (3 - 3) (3 - 2) + B 3 (3 - 2) + C 3 (3 - 3) 8 = 3 B ⇒ B = 8 3

Atsakymas: 2 x 2 - x - 7 x 3 - 5 x 2 + 6 x = A x + B x - 3 + C x - 2 = - 7 6 1 x + 8 3 1 x - 3 + 1 2 1 x - 2

Koeficientų metodas ir dalinės vertės metodas skiriasi tik tuo, kaip jie suranda nežinomus. Šiuos metodus galima derinti norint greitai supaprastinti išraišką.

8 pavyzdys

Išskaidykite išraišką x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 į paprastas trupmenas.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad daugianario skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklį, o tai reiškia, kad lygtis įgis tokią formą

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3

Sumažiname iki bendro vardiklio. Mes tai turime

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C (x - 3) 3 + C (x - 3) 2 + C x - 3 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3 ) 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3

Sulyginkime skaitiklius ir gaukime tai

x 4 + 3 x 3 + 2 x + 11 = = A (x + 1) (x - 3) 3 + B (x - 1) (x - 3) 3 + + C 3 (x - 1) (x + 1) + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

Iš to, kas parašyta aukščiau, aišku, kad vardiklio nuliai yra x = 1, x = - 1 ir x = 3. Tada taikome dalinių sprendinių metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskime x reikšmes. gauname, jei x=1:

5 = - 16 A ⇒ A = 5 16

Jei x = - 1

15 = 128 B ⇒ B = - 15 128

157 = 8 C 3 ⇒ C 3 = 157 8

Iš to išplaukia, kad reikia rasti C 1 ir C 3 reikšmes.

Todėl gautą reikšmę pakeičiame skaitikliu

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = = 5 16 (x + 1) (x - 3) 3 - 15 128 (x - 1) (x - 3) 3 + 157 8 (x - 1) (x + 1) + + C 2 (x - 1) (x + 1) (x - 3) + C 1 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 2

Atidarykime skliaustus, kad pateiktume panašius terminus su vienodomis galiomis. Prieikime prie formos išraiškos

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 = x 4 25 128 + C 1 + x 3 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 + + x 2 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 + x 405 64 - C 2 + 6 C 1 + 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128

Būtina sulyginti atitinkamus koeficientus su tais pačiais laipsniais, tada galime rasti norimą C 1 ir C 3 reikšmę. Dabar turime išspręsti sistemą:

25 128 + C 1 = 1 - 85 64 + C 2 - 6 C 1 = 3 673 32 - 3 C 2 + 8 C 1 = 0 405 64 - C 2 + 6 C 1 = 2 3 C 2 - 9 C 1 - 3997 128 = 11

Pirmoji lygtis leidžia rasti C 1 = 103 128, o antroji C 2 = 3 + 85 64 + 6 C 1 = 3 + 85 64 + 6 103 128 = 293 32.

Sprendimo rezultatas yra norimas frakcijos suskaidymas į paprasčiausią formą:

x 4 + 3 x 3 + 2 x - 11 (x - 1) (x + 1) (x - 3) 3 = A x - 1 + B x + 1 + C 3 x - 3 3 + C 2 x - 3 2 + C 1 x - 3 = = 5 16 1 x - 1 - 15 128 1 x + 1 + 157 8 1 x - 3 3 + 293 32 1 x - 3 2 + 103 128 1 x - 3

Pastaba

Jei neapibrėžtųjų koeficientų metodas būtų taikomas tiesiogiai, reikėtų išspręsti visas penkias tiesines lygtis, sujungtas į sistemą. Šis metodas supaprastina kintamųjų reikšmių paiešką ir tolesnį sprendimą suvestinėje. Kartais naudojami keli metodai. Tai būtina norint greitai supaprastinti visą išraišką ir rasti rezultatą.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Ši pamoka apims įvairių būdų sudėjus ir atimant vardiklį algebrinės trupmenos. Tiesą sakant, mes priminsime tuos metodus, kurie jau buvo ištirti anksčiau. Tai apima bendro koeficiento išėmimą iš skliaustų, terminų grupavimą, sutrumpintų daugybos formulių naudojimą, taip pat viso kvadrato išskyrimą. Visi šie metodai naudojami sudedant ir atimant algebrines trupmenas su skirtingus vardiklius. Pamokos metu prisiminsime visas aukščiau pateiktas taisykles, taip pat analizuosime šių taisyklių taikymo pavyzdžius.

Prisiminkite, kad algebrinė trupmena yra išraiška, kurioje yra polinomai. Ir jūs galite ir turėtumėte mokėti faktorių daugianario. Tarkime, kad turime pridėti arba atimti dvi algebrines trupmenas: .

Koks yra mūsų veiksmų algoritmas?

1. Sumažinkite arba supaprastinkite kiekvieną trupmeną.

2. Raskite dviejų trupmenų mažiausią bendrą vardiklį.

Šioms operacijoms atlikti reikalingi faktoringo polinomai.

Pažvelkime į keletą trupmenų mažinimo (supaprastinimo) pavyzdžių.

1 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Pirmas dalykas, kurį turėtumėte pabandyti padaryti mažindami, yra iš skliaustų išimti bendrą veiksnį.

Mūsų atveju tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi veiksnius, kuriuos galima išimti iš skliaustų.

.

Tada sumažiname bendruosius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Mes gauname:

Tuo pačiu metu atsižvelgiame į tai, kad trupmenos vardiklis negali būti lygus . Tai yra: .

Atsakymas:.

2 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Naudodami ankstesnio pavyzdžio sprendimo schemą, pabandysime iš skliaustų išimti bendrą veiksnį. To negalima padaryti skaitiklyje, bet vardiklyje jį galima išimti iš skliaustų.

Jei negalite išsiaiškinti bendro koeficiento, turite pabandyti naudoti sutrumpintas daugybos formules. Iš tikrųjų skaitiklyje yra visas skirtumo kvadratas. Mes gauname:

.

Matome panašius skliaustus skaitiklyje ir vardiklyje.

Tačiau jie skiriasi ženklu.

Norėdami tai padaryti, naudosime lygybę: . Iš čia gauname: . Mes gauname:

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime pavyzdį, kuriame turime supaprastinti dviejų trupmenų skirtumą.

3 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Kadangi pirmosios trupmenos vardiklis yra kubelių skirtumas, tai naudosime sutrumpintą daugybos formulę. Mes gauname:

Atsakymas:.

Prisiminkime: kas yra daugianario? yra monomijų suma. Monomialas yra kintamųjų ir skaičių laipsnių sandauga.

Dabar išvardijame ir analizuojame daugianario faktorizavimo pavyzdžius.

1 būdas. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų.

4 pavyzdys. Faktorizuoti: .

5 pavyzdys. Faktorizuoti: .

Paskutiniame pavyzdyje bendras veiksnys yra dvejetainis.

2 metodas. Grupavimas.

6 pavyzdys. Faktorizuoti: .

Sprendimas:

Šiame pavyzdyje negalima ištraukti bendro veiksnio iš skliaustų. Tokiu atveju turite pabandyti sugrupuoti terminus, kurie turi bendrų veiksnių.

Šiame pavyzdyje patogu sugrupuoti monomius, kuriuose yra ir . Mes gauname: . Matome, kad posakiai skliausteliuose yra beveik identiški iki ženklo. Mes gauname: .

Atsakymas:.

3 būdas. Sutrumpintos daugybos formulės.

Pateikiame pagrindines sutrumpinto daugybos formules:

1. - kvadratų skirtumas;

2. - sumos kvadratas (skirtumas);

3. - kubelių skirtumas (antrame skliaustelyje esanti išraiška vadinama nepilnu sumos kvadratu);

Kubų suma (išraiška antrajame skliaustelyje vadinama nepilnu skirtumo kvadratu).

Jūs turite ne tik prisiminti šias formules, bet ir mokėti jas rasti ir pritaikyti realiose problemose.

7 pavyzdys. Faktorizuoti: .

8 pavyzdys. Faktorizuoti: .

Sprendimas:

Čia rodo skirtumo kvadrato formulė. Tačiau kyla klausimas: kaip taikyti šią formulę. Lengviausias būdas yra pasirinkti kvadratus ir tada rasti dvigubą produktą. IN šiame pavyzdyje: . Tai yra, vaidmenyje. Mes gauname: .

Atsakymas:.

Nepamirškite, kad gryna formaŠie metodai naudojami retai. Dažniau naudojami kombinuoti metodai.

4 būdas. Viso kvadrato pasirinkimas.

Panagrinėkime šio metodo taikymą naudodami konkretų pavyzdį.

9 pavyzdys. Faktorizuoti: .

Sprendimas:

Visas kvadratas paprastai pasirenkamas naudojant pirmuosius du terminus. Išties, jau turime pirmosios kvadratą. Tai reiškia, kad antrasis narys turi būti dvigubas pirmosios ir antrosios išraiškos sandauga. Tai yra: . Tai reiškia, kad jei skirtumas iš kvadratinio skirtumo formulės yra , tada vaidmuo turėtų būti . Kad pritaikytume šią formulę, mums nepakanka. Jei kažko trūksta, galite pridėti šią išraišką ir atimti, kad nepakeistumėte išraiškos vertės. Mes tai suprantame.

Ši paslauga skirta formos trupmenoms skaidyti:

Paprastųjų trupmenų sumai. Ši paslauga bus naudinga sprendžiant integralus. žr. pavyzdį.

Instrukcijos. Įveskite trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Spustelėkite mygtuką Spręsti.

Kurdami kaip kintamąjį, naudokite x t z u p λ

Pastaba: Pavyzdžiui, x 2 rašomas kaip x^2, (x-2) 3 rašomas kaip (x-2)^3. Tarp veiksnių dedame daugybos ženklą (*).

Funkcijos įvedimo taisyklės

Šis laukas skirtas įvesti išraiškos skaitiklį
Bendrąjį kintamąjį x pirmiausia reikia išimti iš skliaustų. Pavyzdžiui, x 3 + x = x(x 2 + 1) arba x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Funkcijos įvedimo taisyklės

Šis laukas skirtas reiškinio vardikliui įvesti Pavyzdžiui, x 2 rašomas kaip x^2, (x-2) 3 rašomas kaip (x-2)^3. Tarp veiksnių dedame daugybos ženklą (*).
Bendrąjį kintamąjį x pirmiausia reikia išimti iš skliaustų. Pavyzdžiui, x 3 + x = x(x 2 + 1) arba x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Neapibrėžtinių koeficientų metodo algoritmas

1. Vardiklio faktorius.
2. Trupmenos išskaidymas kaip paprastųjų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais suma.
3. Skaitiklio sugrupavimas su tokiomis pačiomis x galiomis.
4. Tiesinių algebrinių lygčių sistemos su neapibrėžtais koeficientais, kaip nežinomaisiais, gavimas.
5. SLAE sprendimas: Cramerio metodas, Gauso metodas, atvirkštinės matricos metodas arba nežinomųjų pašalinimo metodas.

Pavyzdys. Mes naudojame skaidymo į paprasčiausius metodą. Suskirstykime funkciją į paprasčiausius terminus:


Sulyginkime skaitiklius ir atsižvelgsime į tai, kad koeficientai yra vienodi X, stovint kairėje ir dešinėje turi sutapti
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Išspręsdami tai randame:
A = 1/16;B = -1/9;C = -5/12;D = 7/144;

Kas nutiko faktorizacija? Tai būdas nepatogų ir sudėtingą pavyzdį paversti paprastu ir mielu.) Labai galinga technika! Jis randamas kiekviename žingsnyje – tiek pradinėje, tiek aukštojoje matematikoje.

Tokios transformacijos matematinėje kalboje vadinamos identiškomis išraiškų transformacijomis. Kas nežino, pažiūrėkite nuorodą. Ten labai mažai, paprasta ir naudinga.) Bet kokios tapatybės transformacijos prasmė yra išraiškos įrašymas kitoje formoje išlaikant savo esmę.

Reikšmė faktorizavimas labai paprastas ir aiškus. Jau nuo paties pavadinimo. Galite pamiršti (arba nežinote), kas yra daugiklis, bet galite suprasti, kad šis žodis kilęs iš žodžio „dauginti“?) Faktoringas reiškia: reiškia išraišką, padauginus kažką iš kažko. Tegu atleidžia man matematika ir rusų kalba...) Tai viskas.

Pavyzdžiui, reikia išplėsti skaičių 12. Galite drąsiai rašyti:

Taigi skaičių 12 pateikėme kaip 3 padaugintą iš 4. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai dešinėje (3 ir 4) yra visiškai kitokie nei kairėje (1 ir 2). Bet mes puikiai suprantame, kad 12 ir 3 4 tas pats. Skaičiaus 12 esmė iš transformacijos nepasikeitė.

Ar įmanoma 12 skaidyti skirtingai? Lengvai!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=......

Dekompozicijos parinktys yra neribotos.

Skaičių faktorius yra naudingas dalykas. Tai labai padeda, pavyzdžiui, dirbant su šaknimis. Tačiau algebrinių išraiškų faktorius yra ne tik naudingas, bet ir būtina! Tik pavyzdžiui:

Supaprastinti:

Tie, kurie nemoka vertinti išraiškos, ilsisi nuošalyje. Tie, kurie žino, kaip – ​​supaprastinkite ir gaukite:

Poveikis nuostabus, tiesa?) Beje, sprendimas gana paprastas. Pamatysite patys žemiau. Arba, pavyzdžiui, ši užduotis:

Išspręskite lygtį:

x 5 - x 4 = 0

Tai, beje, sprendžiama mintyse. Naudojant faktorizaciją. Mes išspręsime šį pavyzdį žemiau. Atsakymas: x 1 = 0; x 2 = 1.

Arba tas pats, bet vyresniems):

Išspręskite lygtį:

Šiuose pavyzdžiuose aš parodžiau Pagrindinis tikslas faktorizavimas: trupmeninių išraiškų supaprastinimas ir kai kurių tipų lygčių sprendimas. Rekomenduoju prisiminti nykščio taisyklė:

Jei priešais mus yra baisi trupmeninė išraiška, galime pabandyti įtraukti skaitiklį ir vardiklį. Labai dažnai frakcija sumažinama ir supaprastinama.

Jei prieš mus yra lygtis, kur dešinėje yra nulis, o kairėje - nesuprantu, ką, galime pabandyti kairę pusę koeficientuoti. Kartais tai padeda).

Pagrindiniai faktorizavimo metodai.

Čia yra populiariausi metodai:

4. Kvadratinio trinalio išplėtimas.

Šiuos metodus reikia atsiminti. Būtent tokia tvarka. Tikrinami sudėtingi pavyzdžiai visiems galimi būdai skilimas. Ir geriau patikrinti eilės tvarka, kad nesusipainiotumėte... Taigi pradėkime iš eilės.)

1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų.

Paprasta ir patikimu būdu. Nieko blogo iš jo nekyla! Tai arba gerai, arba visai ne.) Štai kodėl jis yra pirmas. Išsiaiškinkime.

Visi žino (tikiu!) taisyklę:

a(b+c) = ab+ac

Arba daugiau bendras vaizdas:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Visos lygybės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek atvirkščiai, iš dešinės į kairę. Tu gali rašyti:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Tai yra viso bendro veiksnio išėmimo iš skliaustų esmė.

Kairėje pusėje A - bendras daugiklis visoms sąlygoms. Padauginta iš visko, kas egzistuoja). Dešinėje yra labiausiai A jau yra įsikūręs skliausteliuose.

Praktinis naudojimas Pažvelkime į metodą naudodami pavyzdžius. Iš pradžių variantas yra paprastas, net primityvus.) Bet apie šią parinktį atkreipsiu dėmesį ( žalias) Labai svarbius punktus bet kokiai faktorizacijai.

Faktorizuoti:

ah+9x

Kuris bendras ar daugiklis rodomas abiejose sąlygose? X, žinoma! Išdėsime jį iš skliaustų. Padarykime tai. Iš karto už skliaustų rašome X:

ax+9x=x(

Ir skliausteliuose rašome padalijimo rezultatą kiekvienas terminas apie tai X. Eilės tvarka:

Tai viskas. Žinoma, nereikia to taip smulkiai aprašyti, tai daroma mintyse. Tačiau patartina suprasti, kas yra kas). Į atmintį įrašome:

Bendrąjį koeficientą rašome už skliaustų. Skliausteliuose rašome visų terminų padalijimo iš šio bendro koeficiento rezultatus. tvarka.

Taigi mes išplėtėme išraišką ah+9x pagal daugiklius. Pavertė jį x padauginimu iš (a+9). Atkreipiu dėmesį, kad pradinėje išraiškoje taip pat buvo daugyba, net du: a·x ir 9·x. Bet tai nebuvo faktorizuotas! Kadangi, be daugybos, šioje išraiškoje taip pat buvo pridėjimas, „+“ ženklas! Ir išraiškoje x(a+9) Nėra nieko, išskyrus dauginimą!

Kaip tai!? - Girdžiu pasipiktinę žmonių balsą - Ir skliausteliuose!?)

Taip, skliausteliuose yra papildymas. Tačiau gudrybė ta, kad nors skliausteliai neatidaromi, mes juos svarstome kaip viena raidė. Ir mes atliekame visus veiksmus su skliaustais, kaip su viena raide.Šia prasme, išraiška x(a+9) Nėra nieko, išskyrus dauginimą. Tai yra visa faktorizavimo esmė.

Beje, ar galima kaip nors patikrinti, ar viską padarėme teisingai? Lengvai! Pakanka padauginti tai, ką išrašėte (x) iš skliaustų ir pamatyti, ar tai pavyko originalus išraiška? Jei tai veikia, viskas puiku!)

x(a+9)=ax+9x

Įvyko.)

Šiame primityviame pavyzdyje problemų nėra. Bet jei yra keli terminai ir net su skirtingi ženklai... Trumpai tariant, kas trečias mokinys susipainioja). Todėl:

Jei reikia, patikrinkite faktorizaciją atvirkštine daugyba.

Faktorizuoti:

3ax+9x

Ieškome bendro faktoriaus. Na, su X viskas aišku, galima išimti. Ar yra daugiau bendras veiksnys? Taip! Tai yra trejetas. Išraišką galite parašyti taip:

3ax+3 3x

Čia iš karto aišku, kad bendras veiksnys bus 3x. Čia mes jį išimame:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Išskleisti.

Kas atsitiks, jei jį išimsite tik x? Nieko ypatingo:

3ax+9x=x(3a+9)

Tai taip pat bus faktorizacija. Tačiau šioje jaudinantis procesasĮprasta viską išdėstyti kuo toliau, kol tai įmanoma. Čia skliausteliuose yra galimybė išleisti trejetą. Tai paaiškės:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Tas pats, tik su vienu papildomu veiksmu.) Atminkite:

Išimdami bendrąjį faktorių iš skliaustų, stengiamės išimti maksimalus bendras daugiklis.

Ar tęsime linksmybes?)

Apskaičiuokite išraišką:

3akh+9х-8а-24

Ką mes atimsime? Trys, X? Ne... Tu negali. Primenu, kad galima tik išimti bendras daugiklis tai yra iš viso išraiškos terminai. Štai kodėl jis bendras.Čia tokio daugiklio nėra... Ką, nereikia plėsti!? Na taip, buvome tokie laimingi... Susipažinkite:

2. Grupavimas.

Tiesą sakant, sunku pavadinti grupę nepriklausomu būdu faktorizavimas. Tai labiau būdas išeiti sudėtingas pavyzdys.) Reikia sugrupuoti terminus, kad viskas pavyktų. Tai galima parodyti tik pavyzdžiu. Taigi, turime posakį:

3akh+9х-8а-24

Aišku, kad kai kurie bendrosios raidės ir skaičiai yra. Bet... Generolas nėra daugiklio visais terminais. Nepameskime širdies ir suskaidyti išraišką į dalis. Grupavimas. Kad kiekvienas kūrinys turėtų bendrą veiksnį, yra ką išsinešti. Kaip mes jį sulaužome? Taip, mes tiesiog dedame skliaustus.

Priminsiu, kad skliaustus galima dėti bet kur ir kaip tik nori. Tiesiog pavyzdžio esmė nepasikeitė. Pavyzdžiui, galite tai padaryti:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Atkreipkite dėmesį į antruosius skliaustus! Prieš juos yra minuso ženklas ir 8a Ir 24 pasidarė teigiamas! Jei, norėdami patikrinti, atidarysime skliaustus atgal, ženklai pasikeis ir mes gausime originalus išraiška. Tie. posakio iš skliaustų esmė nepasikeitė.

Bet jei ką tik įterpėte skliaustus neatsižvelgdami į ženklo pasikeitimą, pavyzdžiui, taip:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

tai būtų klaida. Dešinėje – jau kitas išraiška. Atidarykite skliaustus ir viskas taps matoma. Jūs neprivalote toliau spręsti, taip...)

Bet grįžkime prie faktorizavimo. Pažvelkime į pirmuosius skliaustus (3ax+9x) ir mes galvojame, ar galime ką nors išimti? Na, mes išsprendėme šį pavyzdį aukščiau, galime jį priimti 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Išnagrinėkime antruosius skliaustus, ten galime pridėti aštuonis:

(8a+24)=8(a+3)

Visa mūsų išraiška bus tokia:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorizuotas? Nr. Skilimo rezultatas turėtų būti tik daugyba Bet pas mus minuso ženklas sugadina viską. Bet... Abu terminai turi bendrą veiksnį! Tai (a+3). Ne veltui sakiau, kad visi skliaustai yra tarsi viena raidė. Tai reiškia, kad šiuos laikiklius galima išimti iš skliaustų. Taip, būtent taip ir skamba.)

Mes darome taip, kaip aprašyta aukščiau. Rašome bendrą koeficientą (a+3), antruose skliaustuose rašome rezultatus dalijant terminus iš (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Viskas! Dešinėje nėra nieko, išskyrus daugybą! Tai reiškia, kad faktorizavimas sėkmingai baigtas!) Štai:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Trumpai pakartokime grupės esmę.

Jei išraiška ne bendras daugiklis už Visi terminus, išraišką suskaidome į skliaustus, kad skliaustuose būtų bendras veiksnys buvo. Išimame ir žiūrime, kas atsitiks. Jei jums pasisekė ir skliausteliuose liko visiškai identiškų posakių, mes perkeliame šiuos skliaustus iš skliaustų.

Pridursiu, kad grupavimas yra kūrybinis procesas). Ne visada pavyksta iš pirmo karto. Viskas gerai. Kartais tenka keisti sąlygas ir pagalvoti skirtingi variantai grupes, kol bus rasta sėkminga. Svarbiausia čia neprarasti širdies!)

Pavyzdžiai.

Dabar, praturtėję žiniomis, galite spręsti keblius pavyzdžius.) Pamokos pradžioje buvo trys tokie...

Supaprastinti:

Iš esmės šį pavyzdį jau išsprendėme. Mes patys to nežinodami.) Primenu: jei mums duota baisi trupmena, mes stengiamės išskaičiuoti skaitiklį ir vardiklį. Kitos supaprastinimo parinktys tiesiog ne.

Na, čia ne vardiklis išplėstas, o skaitiklis... Jau pamokos metu skaitiklį išplėtėme! Kaip šitas:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Išplėtimo rezultatą įrašome į trupmenos skaitiklį:

Pagal trupmenų redukavimo taisyklę (pagrindinė trupmenos savybė) skaitiklį ir vardiklį galime dalyti (tuo pačiu metu!) iš to paties skaičiaus, arba išraiškos. Dalis iš to nesikeičia. Taigi skaitiklį ir vardiklį padalijame iš išraiškos (3x-8). Ir šen bei ten tokių sulauksime. Galutinis rezultatas supaprastinimai:

Norėčiau ypač pabrėžti: mažinti trupmeną galima tada ir tik tada, jei skaitiklyje ir vardiklyje, be išraiškų dauginimo nieko nėra.Štai kodėl sumos (skirtumo) pavertimas į daugyba toks svarbus supaprastinimui. Žinoma, jei išraiškos kitoks, tada nieko nesumažės. Tai nutiks. Bet faktorizacija suteikia šansą. Tokios galimybės be skilimo tiesiog nėra.

Pavyzdys su lygtimi:

Išspręskite lygtį:

x 5 - x 4 = 0

Išimame bendrą faktorių x 4 iš skliaustų. Mes gauname:

x 4 (x-1) = 0

Suprantame, kad veiksnių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš jų yra lygus nuliui. Jei abejojate, suraskite man keletą ne nulio skaičių, kuriuos padauginus gausime nulį.) Taigi pirmiausia rašome pirmąjį veiksnį:

Esant tokiai lygybei, antrasis veiksnys mums nerūpi. Gali būti bet kas, bet galų gale vis tiek bus nulis. Kokį skaičių ketvirtajai laipsniai suteikia nulis? Tik nulis! Ir ne kito... Todėl:

Išsiaiškinome pirmąjį veiksnį ir radome vieną šaknį. Pažvelkime į antrąjį veiksnį. Dabar mums nerūpi pirmasis daugiklis.):

Čia radome sprendimą: x 1 = 0; x 2 = 1. Bet kuri iš šių šaknų atitinka mūsų lygtį.

Labai svarbi pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad išsprendėme lygtį dalelė po dalelės! Kiekvienas koeficientas buvo lygus nuliui, neatsižvelgiant į kitus veiksnius. Beje, jei tokioje lygtyje yra ne du veiksniai, kaip mūsų, o trys, penki, kiek jums patinka, mes išspręsime panašus. Dalelė po dalelės. Pavyzdžiui:

(x-1) (x+5) (x-3) (x+2) = 0

Kiekvienas, kuris atidarys skliaustus ir viską padaugins, amžiams įstrigs šioje lygtyje.) Teisingas mokinys iš karto pamatys, kad kairėje nėra nieko, išskyrus daugybą, o nulis dešinėje. Ir jis pradės (savo mintyse!) sulyginti visus skliaustus iki nulio. Ir jis gaus (per 10 sekundžių!) teisingą sprendimą: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Puiku, tiesa?) Toks elegantiškas sprendimas įmanomas, jei lygties kairėje pusėje faktorizuotas. Turite užuominą?)

Na, paskutinis pavyzdys, skirtas vyresniems):

Išspręskite lygtį:

Tai šiek tiek panašus į ankstesnįjį, ar nemanote?) Žinoma. Pats laikas prisiminti, kad septintoje klasėje po raidėmis gali būti paslėpti sinusai, logaritmai ir visa kita! Faktoringas veikia visoje matematikoje.

Išimame bendrą faktorių lg 4x iš skliaustų. Mes gauname:

log 4 x=0

Tai viena šaknis. Pažvelkime į antrąjį veiksnį.

Štai galutinis atsakymas: x 1 = 1; x 2 = 10.

Tikiuosi, kad supratote faktoringo galią supaprastinant trupmenas ir sprendžiant lygtis.)

Šioje pamokoje sužinojome apie įprastą faktoringą ir grupavimą. Belieka spręsti sutrumpinto daugybos ir kvadratinio trinalio formules.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.