Šis straipsnis tęsia transformacijos temą algebrinės trupmenos: apsvarstykite tokį veiksmą kaip algebrinių trupmenų mažinimą. Apibrėžkime patį terminą, suformuluokime redukcijos taisyklę ir panagrinėkime praktinius pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebrinės trupmenos mažinimo reikšmė

Medžiagoje apie paprastąsias trupmenas nagrinėjome jo sumažinimą. Mes apibrėžėme trupmenos mažinimą kaip jos skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš bendro koeficiento.

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra panaši operacija.

1 apibrėžimas

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra jo skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš bendro koeficiento. Šiuo atveju, priešingai nei paprastosios trupmenos redukcija (bendrasis vardiklis gali būti tik skaičius), bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas gali būti daugianomas, ypač mononomas arba skaičius.

Pavyzdžiui, algebrinė trupmena 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 gali būti sumažinta skaičiumi 3, todėl gaunama: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Tą pačią trupmeną galime sumažinti kintamuoju x, ir tai suteiks mums išraišką 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Taip pat galima tam tikrą trupmeną sumažinti monomialu 3 x arba bet kuris iš daugianario x + 2 m, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y arba 3 x 2 + 6 x y.

Galutinis tikslas algebrinės trupmenos sumažinimas yra trupmena daugiau paprastas tipas, geriausiu atveju, yra neredukuojama trupmena.

Ar visos algebrinės trupmenos turi būti redukuojamos?

Vėlgi, iš įprastų frakcijų medžiagų žinome, kad yra redukuojamų ir neredukuojamų frakcijų. Neredukuojamos trupmenos yra trupmenos, kurios neturi bendrų skaitiklio ir vardiklio faktorių, išskyrus 1.

Tas pats yra ir su algebrinėmis trupmenomis: jų skaitiklis ir vardiklis gali turėti bendrų faktorių arba ne. Bendrų veiksnių buvimas leidžia supaprastinti pradinę frakciją redukuojant. Kai nėra bendrų veiksnių, tam tikros trupmenos optimizuoti redukciniu metodu neįmanoma.

Apskritai, atsižvelgiant į frakcijos tipą, gana sunku suprasti, ar ją galima sumažinti. Žinoma, kai kuriais atvejais bendras veiksnys tarp skaitiklio ir vardiklio yra akivaizdus. Pavyzdžiui, algebrinėje trupmenoje 3 x 2 3 y visiškai aišku, kad bendras koeficientas yra skaičius 3.

Trupmenoje - x · y 5 · x · y · z 3 taip pat iš karto suprantame, kad ją galima sumažinti x, y, arba x · y. Ir vis dėlto daug dažniau pasitaiko algebrinių trupmenų pavyzdžių, kai skaitiklio ir vardiklio bendras veiksnys nėra taip lengvai įžiūrimas, o dar dažniau jo tiesiog nėra.

Pavyzdžiui, trupmeną x 3 - 1 x 2 - 1 galime sumažinti x - 1, o nurodyto bendro koeficiento įraše nėra. Tačiau trupmenos x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 negalima sumažinti, nes skaitiklis ir vardiklis neturi bendro koeficiento.

Taigi algebrinės trupmenos redukuojamumo nustatymo klausimas nėra toks paprastas ir dažnai lengviau dirbti su tam tikros formos trupmena, nei bandyti išsiaiškinti, ar ji redukuojama. Šiuo atveju vyksta tokios transformacijos, kurios tam tikrais atvejais leidžia nustatyti bendrą skaitiklio ir vardiklio koeficientą arba padaryti išvadą apie trupmenos neredukuojamumą. Mes išsamiai išnagrinėsime šią problemą kitoje straipsnio pastraipoje.

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų nuoseklių veiksmų:

• rasti bendrus skaitiklio ir vardiklio veiksnius;
• jei tokių randama, frakcijos mažinimo veiksmas atliekamas tiesiogiai.

Patogiausias būdas rasti bendruosius vardiklius yra apskaičiuoti polinomus, esančius tam tikros algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Tai leidžia iš karto aiškiai matyti bendrų veiksnių buvimą ar nebuvimą.

Pats algebrinės trupmenos mažinimo veiksmas yra pagrįstas pagrindine algebrinės trupmenos savybe, išreikšta lygybe neapibrėžta, kur a, b, c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis. Pirmiausia reikia sumažinti trupmeną iki formos a · c b · c, kurioje iš karto pastebime bendrą veiksnį c. Antras žingsnis – atlikti sumažinimą, t.y. perėjimas į a b formos trupmeną.

Tipiški pavyzdžiai

Nepaisant tam tikro akivaizdumo, išsiaiškinkime ypatingą atvejį, kai algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs. Panašios trupmenos yra identiškos 1 visame šios trupmenos kintamųjų ODZ:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Kadangi paprastosios trupmenos yra ypatingas algebrinių trupmenų atvejis, prisiminkime, kaip jos redukuojamos. Natūralūs skaičiai, įrašyti į skaitiklį ir vardiklį, įtraukiami į pirminius veiksnius, tada bendrieji veiksniai atšaukiami (jei yra).

Pavyzdžiui, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Paprastų identiškų veiksnių sandaugą galima parašyti kaip laipsnius, o mažinant trupmeną naudoti laipsnių dalijimo savybę su tuo pačiu pagrindu. Tada aukščiau pateiktas sprendimas būtų toks:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(skaitiklis ir vardiklis padalintas iš bendro koeficiento 2 2 3). Arba aiškumo dėlei, remdamiesi daugybos ir padalijimo savybėmis, sprendiniui suteikiame tokią formą:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Pagal analogiją atliekamas algebrinių trupmenų redukavimas, kuriame skaitiklis ir vardiklis turi monomius su sveikųjų skaičių koeficientais.

1 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima užrašyti kaip sandaugą pagrindiniai veiksniai ir kintamuosius, tada atlikite sumažinimą:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Tačiau daugiau racionaliu būdu sprendimas bus parašytas išraiškos su laipsniais forma:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Atsakymas:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kai algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra trupmeniniai skaitiniai koeficientai, yra du galimi tolesni veiksmai: arba padalinti šiuos trupmeninius koeficientus atskirai, arba pirmiausia atsikratyti trupmeninių koeficientų, skaitiklį ir vardiklį padauginus iš tam tikro natūralusis skaičius. Paskutinė transformacija atliekama dėl pagrindinės algebrinės trupmenos savybės (apie tai galite perskaityti straipsnyje „Algebrinės trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio“).

2 pavyzdys

Pateikta trupmena yra 2 5 x 0, 3 x 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Sumažinti trupmeną galima taip:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pabandykime problemą išspręsti kitaip, pirmiausia atsikratę trupmeninių koeficientų – skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šių koeficientų vardiklių mažiausio bendro kartotinio, t.y. LCM (5, 10) = 10. Tada gauname:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Atsakymas: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kai sumažiname algebrines trupmenas bendras vaizdas, kuriame skaitikliai ir vardikliai gali būti vienanariai arba daugianariai, gali kilti problemų, kai bendras veiksnys ne visada matomas iš karto. Arba, be to, jis tiesiog neegzistuoja. Tada, norint nustatyti bendrą koeficientą arba užfiksuoti jo nebuvimo faktą, į faktorių įtraukiamas algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

3 pavyzdys

Pateikiama racionalioji trupmena 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Išskaidykime daugianario skaitiklį ir vardiklį. Išimkime jį iš skliaustų:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Matome, kad skliausteliuose esanti išraiška gali būti konvertuojama naudojant sutrumpintas daugybos formules:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Aiškiai matyti, kad trupmeną galima sumažinti bendru koeficientu b 2 (a + 7). Sumažinkime:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Parašykime trumpą sprendimą be paaiškinimo kaip lygybių grandinę:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Atsakymas: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Pasitaiko, kad bendrus veiksnius slepia skaitiniai koeficientai. Tada, mažinant trupmenas, skaitinius veiksnius, esančius didesnėse skaitiklio ir vardiklio laipsniais, geriausia dėti iš skliaustų.

4 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Jei įmanoma, būtina jį sumažinti.

Sprendimas

Iš pirmo žvilgsnio skaitiklis ir vardiklis neturi bendro vardiklio. Tačiau pabandykime konvertuoti duotąją trupmeną. Iš skaitiklio išimkime koeficientą x:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Dabar galite pamatyti tam tikrą panašumą tarp išraiškos skliausteliuose ir išraiškos vardiklyje dėl x 2 y . Išimkime šių daugianario didesniųjų laipsnių skaitinius koeficientus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Dabar matomas bendras veiksnys, atliekame sumažinimą:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Atsakymas: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Pabrėžkime, kad racionaliųjų trupmenų mažinimo įgūdis priklauso nuo gebėjimo koeficientuoti daugianario.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmas lygis

Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)

Išraiškų konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar išmokysiu nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Panašus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - Jūs klausiate.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingos raidės reprezentuoja skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašių:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Tai dažniausiai būna daugiausia svarbi dalis supaprastinant posakius. Pateikus panašius, dažniausiai gautą išraišką reikia faktorizuoti, tai yra pateikti kaip produktą. Tai ypač svarbu trupmenoms: norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, nuspręskite keletą pavyzdžių(reikia suskaidyti faktoriais):

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną dalyką tipiška klaida sudarant sutartis. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai: .

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atminkite lengvas kelias kaip nustatyti, ar išraiška yra faktorinuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami konsoliduoti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui: .

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingi rodikliai. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Ką tu išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais. Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratau? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:

Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?

Taip, tas pats! Pirmiausia tuo įsitikinkime maksimali suma vardiklių veiksniai buvo tokie patys:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o tada iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:

Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Būtent tai, ko reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Atsiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinės operacijos turite atlikti algebrinius veiksmus, ty veiksmus, aprašytus ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai, norint suskirstyti faktorių, reikia naudoti I arba tiesiog iš skliaustų sudėti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Gerai, dabar viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną. Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena. Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, vadinasi, temą įvaldėte.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;

Sumažinti trupmenas būtina norint sumažinti trupmeną į paprastesnę formą, pavyzdžiui, atsakyme, gautame sprendžiant išraišką.

Mažinančios trupmenos, apibrėžimas ir formulė.

Kas yra frakcijų mažinimas? Ką reiškia sumažinti dalį?

Apibrėžimas:
Mažinančios frakcijos- tai trupmenos skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš to paties teigiamo skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui ir vienetui. Dėl sumažinimo gaunama trupmena su mažesniu skaitikliu ir vardikliu, lygi ankstesnei trupmenai pagal.

Funkcijų mažinimo formulė pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Sumažinti trupmeną \(\frac(9)(15)\)

Sprendimas:
Dalį galime įtraukti į pirminius veiksnius ir atšaukti bendruosius veiksnius.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(raudona) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Atsakymas: po sumažinimo gavome trupmeną \(\frac(3)(5)\). Pagal pagrindinę racionaliųjų skaičių savybę pradinė ir gaunamoji trupmenos yra lygios.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kaip sumažinti frakcijas? Dalies redukavimas iki neredukuojamos formos.

Kad gautume neredukuojamą trupmeną, mums reikia rasti didžiausią bendrą daliklį (GCD) trupmenos skaitikliui ir vardikliui.

Yra keletas būdų, kaip rasti GCD. Pavyzdyje mes naudosime skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.

Gaukite neredukuojamąją trupmeną \(\frac(48)(136)\).

Sprendimas:
Raskime GCD(48, 136). Surašykime skaičius 48 ir 136 į pirminius koeficientus.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6

' \times 17)=\frac(\spalva(raudona) (6) \kartai 2 \kartai 3)(\spalva(raudona) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Trupmenos sumažinimo į neredukuojamą formą taisyklė.

1. Turime rasti didžiausią bendrą skaitiklio ir vardiklio daliklį.
2. Skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš didžiausio bendro daliklio, kad padalijus gautumėte nesumažinamą trupmeną.

Pavyzdys:
Sumažinkite trupmeną \(\frac(152)(168)\).

Sprendimas:
Raskime GCD(152, 168). Surašykime skaičius 152 ir 168 į pirminius koeficientus.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\spalva(raudona) (6) \kartų 19)(\spalva(raudona) (6) \kartų 21)=\frac(19)(21)\)

Atsakymas: \(\frac(19)(21)\) yra neredukuojama trupmena.

Sumažinti netinkamas trupmenas.

Kaip pjaustyti netinkama trupmena?
Trupmenų mažinimo taisyklės yra vienodos tinkamoms ir netinkamoms trupmenoms.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Sumažinkite netinkamą trupmeną \(\frac(44)(32)\).

Sprendimas:
Surašykime skaitiklį ir vardiklį į paprastus veiksnius. Ir tada sumažinsime bendrus veiksnius.

\(\frac(44)(32)=\frac(\spalva(raudona) (2 \kartai 2 ) \kartai 11)(\spalva(raudona) (2 \kartai 2 ) \kartai 2 \kartai 2 \kartai 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Sumaišytų frakcijų mažinimas.

Mišrioms trupmenoms taikomos tos pačios taisyklės kaip ir paprastosioms trupmenoms. Vienintelis skirtumas yra tas, kad mes galime nelieskite visos dalies, o sumažinkite trupmeninę dalį arba Paverskite mišrią trupmeną į netinkamą, sumažinkite ją ir paverskite ją atgal į tinkamą trupmeną.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Atšaukti mišrią trupmeną \(2\frac(30)(45)\).

Sprendimas:
Išspręskime tai dviem būdais:
Pirmas būdas:
Trupmeninę dalį surašykime į paprastus veiksnius, bet visos dalies neliesime.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \kartai \spalva(raudona) (5 \kartai 3))(3 \kartai \spalva(raudona) (5 \kartai 3))=2\ frac(2)(3)\)

Antras būdas:
Pirmiausia konvertuokime jį į netinkamą trupmeną, o tada įrašykime į pirminius veiksnius ir sumažinkime. Paverskime gautą netinkamąją trupmeną į tinkamą trupmeną.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(raudona) (5 \kartai) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color (raudona) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2) (3)=\frac(8) (3)= 2\frac(2)(3)\)

Susiję klausimai:
Ar galite sumažinti trupmenas pridėdami arba atimdami?
Atsakymas: ne, pirmiausia turite pagal taisykles sudėti arba atimti trupmenas, o tik tada jas mažinti. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Įvertinkite išraišką \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Sprendimas:
Jie dažnai daro klaidą mažindami tuos pačius skaičius skaitiklyje ir vardiklyje, mūsų atveju skaičių 20, tačiau jų negalima sumažinti, kol nebaigsite sudėties ir atimties.

\(\frac(50+\spalva(raudona) (20)-10)(\spalva(raudona) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Kokiais skaičiais galite sumažinti trupmeną?
Atsakymas: trupmeną galite sumažinti didžiausiu bendruoju koeficientu arba bendruoju skaitiklio ir vardiklio dalikliu. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(100)(150)\).

Surašykime skaičius 100 ir 150 į pirminius koeficientus.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Didžiausias bendras daliklis bus skaičius gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Gavome neredukuojamąją trupmeną \(\frac(2)(3)\).

Tačiau ne visada reikia padalyti iš GCD. Pavyzdžiui, skaičių 100 ir 150 turi bendras daliklis 2. Sumažinkime trupmeną \(\frac(100)(150)\) 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Gavome redukuojamą trupmeną \(\frac(50)(75)\).

Kokias frakcijas galima sumažinti?
Atsakymas: Galite sumažinti trupmenas, kuriose skaitiklis ir vardiklis turi bendrą daliklį. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(4)(8)\). Skaičius 4 ir 8 turi skaičių, iš kurio jie abu dalijasi iš skaičiaus 2. Todėl tokią trupmeną galima sumažinti skaičiumi 2.

Pavyzdys:
Palyginkite dvi trupmenas \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(8)(12)\).

Šios dvi trupmenos yra lygios. Pažvelkime atidžiau į trupmeną \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

Iš čia gauname \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dvi trupmenos yra lygios tada ir tik tada, kai viena iš jų gaunama kitą trupmeną sumažinus bendru skaitiklio ir vardiklio koeficientu.

Pavyzdys:
Jei įmanoma, sumažinkite šias trupmenas: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Sprendimas:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\spalva(raudona) (5) \times 13)=\frac (2 \kartai 3 \kartai 3) (13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\spalva(raudona) (3 \kartai 3) \kartai 3)(\spalva(raudona) (3 \kartai 3) \kartai 7)=\frak (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) neredukuojama trupmena
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\spalva(raudona) (2 \kartai 5 \kartai 5) \kartai 2)(\spalva (raudona) (2 \kartai 5 \kartai 5) \ kartus 5)=\frac(2)(5)\)

Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime mažinant algebrines trupmenas. Pirmiausia išsiaiškinkime, ką reiškia terminas „algebrinės trupmenos sumažinimas“ ir išsiaiškinkime, ar algebrinė trupmena visada yra redukuojama. Žemiau pateikiame taisyklę, leidžiančią atlikti šią transformaciją. Galiausiai apsvarstysime tipiškų pavyzdžių sprendimus, kurie leis suprasti visas proceso subtilybes.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia sumažinti algebrinę trupmeną?

Studijuodami kalbėjome apie jų mažinimą. vadinome jo skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš bendro koeficiento. Pavyzdžiui, bendrąją trupmeną 30/54 galima sumažinti 6 (ty jos skaitiklį ir vardiklį padalyti iš 6), todėl gauname trupmeną 5/9.

Mažindami algebrinę trupmeną turime omenyje panašų veiksmą. Sumažinkite algebrinę trupmeną- tai reiškia, kad jo skaitiklis ir vardiklis yra padalintas iš bendro koeficiento. Bet jei įprastos trupmenos skaitiklio ir vardiklio bendras koeficientas gali būti tik skaičius, tai bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas gali būti daugianomas, ypač mononomas arba skaičius.

Pavyzdžiui, algebrinė trupmena gali būti sumažinta skaičiumi 3, suteikiant trupmeną . Taip pat galima atlikti kintamojo x susitraukimą, todėl gaunama išraiška . Pradinė algebrinė trupmena gali būti sumažinta iki vienanario 3 x, taip pat į bet kurį iš daugianario x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y arba 3 x 2 +6 x y.

Galutinis algebrinės trupmenos mažinimo tikslas yra gauti paprastesnės formos trupmeną, geriausiu atveju neredukuojamą trupmeną.

Ar galima sumažinti bet kurią algebrinę trupmeną?

Žinome, kad paprastosios trupmenos skirstomos į . Neredukuojamos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje neturi bendrų veiksnių, išskyrus vieną, todėl jų negalima sumažinti.

Algebrinės trupmenos gali turėti arba neturėti bendrų skaitiklio ir vardiklio veiksnių. Jei yra bendrų veiksnių, galima sumažinti algebrinę trupmeną. Jei bendrų veiksnių nėra, algebrinės trupmenos supaprastinimas ją sumažinant neįmanoma.

Apskritai, pasak išvaizda algebrinė trupmena, gana sunku nustatyti, ar ją galima sumažinti. Žinoma, kai kuriais atvejais bendri skaitiklio ir vardiklio veiksniai yra akivaizdūs. Pavyzdžiui, aiškiai matyti, kad algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą 3. Taip pat nesunku pastebėti, kad algebrinė trupmena gali būti sumažinta x, y arba tiesiogiai x · y. Tačiau daug dažniau bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio veiksnys nėra matomas iš karto, o dar dažniau jis tiesiog neegzistuoja. Pavyzdžiui, trupmeną galima sumažinti x−1, tačiau šis bendras veiksnys žymėjime nėra aiškiai nurodytas. Ir algebrinė trupmena sumažinti neįmanoma, nes jo skaitiklis ir vardiklis neturi bendrų veiksnių.

Apskritai algebrinės trupmenos redukuojamumo klausimas yra labai sunkus. Ir kartais lengviau išspręsti problemą dirbant su algebrine trupmena jos pradine forma, nei išsiaiškinti, ar šią trupmeną galima pirmiausia sumažinti. Tačiau vis dar yra transformacijų, kurios kai kuriais atvejais leidžia palyginti nedaug pastangų rasti bendrus skaitiklio ir vardiklio veiksnius, jei tokių yra, arba padaryti išvadą, kad pradinė algebrinė trupmena yra neredukuojama. Ši informacija bus atskleista kitoje pastraipoje.

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė

Ankstesnėse pastraipose pateikta informacija leidžia natūraliai suvokti šiuos dalykus algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė, kurį sudaro du etapai:

• pirma, randami bendrieji pradinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio veiksniai;
• jei tokių yra, tai sumažina šiuos veiksnius.

Reikia patikslinti nurodytus paskelbtos taisyklės veiksmus.

Dauguma patogus būdas bendrų radimas apima daugianarių įtraukimą į pradinės algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Tokiu atveju iš karto išryškėja bendri skaitiklio ir vardiklio veiksniai arba paaiškėja, kad bendrų veiksnių nėra.

Jei nėra bendrų veiksnių, galime daryti išvadą, kad algebrinė trupmena yra neredukuojama. Jei randami bendri veiksniai, antrajame žingsnyje jie mažinami. Rezultatas – nauja paprastesnės formos dalis.

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė grindžiama pagrindine algebrinės trupmenos savybe, kuri išreiškiama lygybe, kur a, b ir c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis. Pirmuoju žingsniu pradinė algebrinė trupmena redukuojama iki formos, iš kurios matomas bendras veiksnys c, o antrajame žingsnyje atliekamas redukavimas – perėjimas į trupmeną.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo naudojant šios taisyklės. Juose išanalizuosime visus galimus niuansus, atsirandančius suskaidant algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį į veiksnius ir vėliau redukuojant.

Tipiški pavyzdžiai

Pirmiausia turime kalbėti apie algebrinių trupmenų, kurių skaitiklis ir vardiklis yra vienodi, sumažinimą. Tokios trupmenos yra identiškos vienai visame į jį įtrauktų kintamųjų ODZ, pavyzdžiui,
ir taip toliau.

Dabar neskauda prisiminti, kaip sumažinti paprastas trupmenas - juk tai yra ypatingas algebrinių trupmenų atvejis. Natūralūs skaičiai bendrosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje, po kurių bendrieji veiksniai panaikinami (jei yra). Pavyzdžiui, . Identiškų pirminių koeficientų sandauga gali būti rašoma laipsnių forma ir naudojama trumpinant. Šiuo atveju sprendimas atrodytų taip: , čia skaitiklį ir vardiklį padalinome iš bendro koeficiento 2 2 3. Arba, siekiant didesnio aiškumo, remiantis daugybos ir dalybos savybėmis, sprendimas pateikiamas forma.

Absoliučiai panašiais principais mažinamos algebrinės trupmenos, kurių skaitiklyje ir vardiklyje yra monomijų su sveikųjų skaičių koeficientais.

Pavyzdys.

Atšaukti algebrinę trupmeną .

Sprendimas.

Galite pavaizduoti pradinės algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį kaip paprastų veiksnių ir kintamųjų sandaugą, tada atlikti redukciją:

Tačiau racionaliau sprendimą rašyti išraiškos forma su laipsniais:

Atsakymas:

.

Kalbant apie algebrinių trupmenų, kurių skaitiklis ir vardiklis turi trupmeninius skaitinius koeficientus, sumažinimą, galite padaryti du dalykus: arba padalinti šiuos trupmeninius koeficientus atskirai, arba pirmiausia atsikratyti trupmeninių koeficientų, padauginus skaitiklį ir vardiklį iš tam tikro natūraliojo skaičiaus. Straipsnyje kalbėjome apie paskutinę transformaciją, perkeliančią algebrinę trupmeną į naują vardiklį, ją galima atlikti dėl pagrindinės algebrinės trupmenos savybės. Supraskime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Atlikite frakcijų mažinimą.

Sprendimas.

Dalį galite sumažinti taip: .

Arba pirmiausia galite atsikratyti trupmeninių koeficientų, padauginę skaitiklį ir vardiklį iš šių koeficientų vardikų, ty iš LCM(5, 10)=10. Šiuo atveju mes turime .

Atsakymas:

.

Galite pereiti prie bendrosios formos algebrinių trupmenų, kurių skaitiklyje ir vardiklyje gali būti tiek skaičių, tiek vienanarių, tiek daugianarių.

Mažinant tokias trupmenas, pagrindinė problema yra ta, kad ne visada matomas bendras skaitiklio ir vardiklio veiksnys. Be to, jis ne visada egzistuoja. Norėdami rasti bendrą veiksnį arba patikrinti jo nebuvimą, turite apskaičiuoti algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį.

Pavyzdys.

Sumažinti racionalioji trupmena .

Sprendimas.

Norėdami tai padaryti, į skaitiklio ir vardiklio daugianario koeficientą. Pradėkime iš skliaustų: . Akivaizdu, kad skliausteliuose esančias išraiškas galima transformuoti naudojant

Internetinis skaičiuotuvas atlieka algebrinių trupmenų mažinimas vadovaujantis trupmenų redukavimo taisykle: pradinę trupmeną pakeičiant lygia trupmena, bet mažesniu skaitikliu ir vardikliu, t.y. Vienu metu dalijant trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš jų bendro didžiausio bendro koeficiento (GCD). Skaičiuoklė taip pat rodo išsamų sprendimą, kuris padės suprasti mažinimo seką.

Duota:

Sprendimas:

Atlieka frakcijų mažinimą

tikrinant galimybę atlikti algebrinės trupmenos redukciją

1) trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendro daliklio (GCD) nustatymas

algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendrojo daliklio (GCD) nustatymas

2) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio sumažinimas

sumažinant algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį

3) Visos trupmenos dalies pasirinkimas

atskiriant visą algebrinės trupmenos dalį

4) Algebrinės trupmenos konvertavimas į dešimtainę trupmeną

konvertuojant algebrinę trupmeną į dešimtainis

Pagalba kuriant projekto svetainę

Gerbiamas svetainės lankytojau.
Jei nepavyko rasti to, ko ieškojote, būtinai parašykite apie tai komentaruose, ko šiuo metu svetainėje trūksta. Tai padės suprasti, kuria kryptimi reikia judėti toliau, o kiti lankytojai netrukus galės gauti reikiamos medžiagos.
Jei svetainė jums pasirodė naudinga, padovanokite svetainę projektui tik 2 ₽ ir žinosime, kad judame teisinga kryptimi.

Ačiū, kad užsukote!

I. Algebrinės trupmenos mažinimo naudojant internetinį skaičiuotuvą procedūra:

1. Norėdami sumažinti algebrinę trupmeną, atitinkamuose laukuose įveskite trupmenos skaitiklio ir vardiklio reikšmes. Jei trupmena sumaišyta, taip pat užpildykite lauką, atitinkantį visą trupmenos dalį. Jei trupmena paprasta, palikite visą dalies lauką tuščią.
2. Norėdami nurodyti neigiamą trupmeną, padėkite minuso ženklą ant visos trupmenos dalies.
3. Priklausomai nuo nurodytos algebrinės trupmenos, automatiškai atliekama tokia veiksmų seka:

• nustatantis trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausią bendrąjį daliklį (GCD).;
• trupmenos skaitiklį ir vardiklį sumažinant gcd;
• paryškinant visą trupmenos dalį, jei galutinės trupmenos skaitiklis didesnis už vardiklį.
• paverčiant galutinę algebrinę trupmeną į dešimtainę trupmeną suapvalinti iki artimiausios šimtosios.

Dėl sumažinimo gali susidaryti netinkama frakcija. Tokiu atveju galutinė netinkama trupmena bus paryškinta visa dalis ir gauta trupmena bus paversta tinkama trupmena.

II. Nuoroda:

Trupmena yra skaičius, susidedantis iš vienos ar kelių vieneto dalių (trupmenų). Paprastoji trupmena(paprastoji trupmena) rašoma kaip du skaičiai (trupnos skaitiklis ir trupmenos vardiklis), atskirti horizontalia juosta (trupmenos juosta), rodančia padalijimo ženklą. Trupmenos skaitiklis yra skaičius, esantis virš trupmenos linijos. Skaitiklis rodo, kiek akcijų buvo paimta iš visumos. Trupmenos vardiklis yra skaičius, esantis žemiau trupmenos linijos. Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalinta visuma. Paprastoji trupmena yra trupmena, kuri neturi visos dalies. Paprastoji trupmena gali būti tinkama arba netinkama. tinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, todėl tinkama trupmena visada yra mažiau nei vienas. Tinkamų trupmenų pavyzdys: 8/7, 11/19, 16/17. Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, todėl netinkamoji trupmena visada yra didesnė už vienetą arba lygi jam. Netinkamų trupmenų pavyzdys: 7/6, 8/7, 13/13. mišri trupmena yra skaičius, kuriame yra sveikas skaičius ir tinkama trupmena, ir žymi to sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos sumą. Bet kuri mišri frakcija gali būti paversta netinkama trupmena paprastoji trupmena. Pavyzdys mišrios frakcijos: 1¼, 2½, 4¾.

III. Pastaba:

1. Paryškintas šaltinio duomenų blokas geltona , paskirtas tarpinis skaičiavimo blokas mėlyna , sprendimo blokas paryškintas žaliai.
2. Norėdami pridėti, atimti, dauginti ir padalinti paprastas ar mišriąsias trupmenas, naudokite internetinį trupmenų skaičiuotuvą su detalus sprendimas.