Internetinis skaičiuotuvas atlieka sumažinimas algebrinės trupmenos vadovaujantis trupmenų redukavimo taisykle: pradinę trupmeną pakeičiant lygia trupmena, bet mažesniu skaitikliu ir vardikliu, t.y. Vienu metu dalijant trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš jų bendro didžiausio bendro koeficiento (GCD). Taip pat rodomas skaičiuotuvas detalus sprendimas, kuris padės suprasti mažinimo seką.

Duota:

Sprendimas:

Atlieka frakcijų mažinimą

tikrinant galimybę atlikti algebrinės trupmenos redukciją

1) trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendro daliklio (GCD) nustatymas

algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendrojo daliklio (GCD) nustatymas

2) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio sumažinimas

sumažinant algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį

3) Visos trupmenos dalies pasirinkimas

atskiriant visą algebrinės trupmenos dalį

4) Algebrinės trupmenos konvertavimas į dešimtainę trupmeną

konvertuojant algebrinę trupmeną į dešimtainis

Pagalba kuriant projekto svetainę

Gerbiamas svetainės lankytojau.
Jei nepavyko rasti to, ko ieškojote, būtinai parašykite apie tai komentaruose, ko šiuo metu svetainėje trūksta. Tai padės suprasti, kuria kryptimi reikia judėti toliau, o kiti lankytojai netrukus galės gauti reikiamos medžiagos.
Jei svetainė jums pasirodė naudinga, padovanokite svetainę projektui tik 2 ₽ ir žinosime, kad judame teisinga kryptimi.

Ačiū, kad užsukote!

I. Algebrinės trupmenos mažinimo naudojant internetinį skaičiuotuvą procedūra:

1. Norėdami sumažinti algebrinę trupmeną, atitinkamuose laukuose įveskite trupmenos skaitiklio ir vardiklio reikšmes. Jei trupmena sumaišyta, taip pat užpildykite lauką, atitinkantį visą trupmenos dalį. Jei trupmena paprasta, palikite visą dalies lauką tuščią.
2. Norėdami nurodyti neigiamą trupmeną, padėkite minuso ženklą ant visos trupmenos dalies.
3. Priklausomai nuo nurodytos algebrinės trupmenos, automatiškai atliekama tokia veiksmų seka:

• nustatantis trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausią bendrąjį daliklį (GCD).;
• trupmenos skaitiklį ir vardiklį sumažinant gcd;
• paryškinant visą trupmenos dalį, jei galutinės trupmenos skaitiklis didesnis už vardiklį.
• paverčiant galutinę algebrinę trupmeną į dešimtainę trupmeną suapvalinti iki artimiausios šimtosios.

Dėl sumažinimo gali susidaryti netinkama frakcija. Tokiu atveju galutinė netinkama trupmena bus paryškinta visa dalis ir gauta trupmena bus konvertuojama į teisinga trupmena.

II. Nuoroda:

Trupmena yra skaičius, susidedantis iš vienos ar kelių vieneto dalių (trupmenų). Paprastoji trupmena (paprastoji trupmena) rašoma kaip du skaičiai (trupnos skaitiklis ir trupmenos vardiklis), atskirti horizontalia juosta (trupmenos juosta), rodančia padalijimo ženklą. Trupmenos skaitiklis yra skaičius, esantis virš trupmenos linijos. Skaitiklis rodo, kiek akcijų buvo paimta iš visumos. Trupmenos vardiklis yra skaičius, esantis žemiau trupmenos linijos. Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalinta visuma. Paprastoji trupmena yra trupmena, kuri neturi visos dalies. Paprastoji trupmena gali būti tinkama arba netinkama. tinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, todėl tinkama trupmena visada yra mažiau nei vienas. Tinkamų trupmenų pavyzdys: 8/7, 11/19, 16/17. Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, todėl netinkamoji trupmena visada yra didesnė už vienetą arba lygi jam. Netinkamų trupmenų pavyzdys: 7/6, 8/7, 13/13. mišri trupmena yra skaičius, kuriame yra sveikas skaičius ir tinkama trupmena, ir žymi šio sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos sumą. Bet kuri mišri frakcija gali būti paversta netinkama trupmena paprastoji trupmena. Mišrių frakcijų pavyzdys: 1¼, 2½, 4¾.

III. Pastaba:

1. Paryškintas šaltinio duomenų blokas geltona , paskirtas tarpinis skaičiavimo blokas mėlyna , sprendimo blokas paryškintas žaliai.
2. Norėdami sudėti, atimti, dauginti ir padalinti bendrąsias arba mišriąsias trupmenas, naudokite internetinį trupmenų skaičiuotuvą su išsamiais sprendimais.

Trupmenos ir jų mažinimas – dar viena tema, kuri prasideda 5 klasėje. Čia susidaro šio veiksmo pagrindas, o tada šie įgūdžiai gija įtraukiami į aukštąją matematiką. Jei mokinys nesupranta, jis gali turėti problemų su algebra. Todėl geriau kartą ir visiems laikams suprasti kelias taisykles. Taip pat atsiminkite vieną draudimą ir niekada jo nepažeiskite.

Trupmena ir jos redukcija

Kiekvienas mokinys žino, kas tai yra. Bet kurie du skaitmenys, esantys tarp horizontalios linijos, iš karto suvokiami kaip trupmena. Tačiau ne visi supranta, kad juo gali tapti bet koks skaičius. Jei tai yra sveikasis skaičius, jį visada galima padalyti iš vieneto, tada gausite netinkamą trupmeną. Bet apie tai vėliau.

Pradžia visada paprasta. Pirmiausia turite išsiaiškinti, kaip sumažinti tinkamą dalį. Tai yra toks, kuriame skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Norėdami tai padaryti, turėsite atsiminti pagrindinę trupmenos savybę. Jame teigiama, kad jo skaitiklį ir vardiklį tuo pačiu metu padauginus (taip pat ir padalijus) iš to paties skaičiaus, gaunama lygiavertė trupmena.

Šioje nuosavybėje atliekami padalijimo veiksmai, dėl kurių sumažėja. Tai yra, kiek įmanoma supaprastinti. Dalis gali būti sumažinta tol, kol yra bendri veiksniai virš ir žemiau linijos. Kai jų nebėra, sumažinti neįmanoma. Ir jie sako, kad ši trupmena yra nesumažinama.

Du keliai

1.Žingsnis po žingsnio mažinimas. Jame naudojamas įvertinimo metodas, kai abu skaičiai dalijami iš minimalaus bendro koeficiento, kurį pastebi studentas. Jei po pirmo susitraukimo aišku, kad tai dar ne pabaiga, tada skirstymas tęsiasi. Kol trupmena tampa neredukuojama.

2. Didžiausio bendro skaitiklio ir vardiklio daliklio radimas. Tai yra labiausiai racionaliu būdu kaip sumažinti trupmenas. Tai apima skaitiklio ir vardiklio įtraukimą į pirminius veiksnius. Tarp jų tuomet reikia pasirinkti visus tuos pačius. Jų produktas duos didžiausią bendrą koeficientą, kuriuo sumažinama frakcija.

Abu šie metodai yra lygiaverčiai. Mokinys skatinamas juos įsisavinti ir naudoti tą, kuris jam labiausiai patinka.

Ką daryti, jei yra raidžių ir sudėties bei atimties operacijos?

Pirmoji klausimo dalis daugiau ar mažiau aiški. Raidės gali būti sutrumpintos kaip ir skaičiai. Svarbiausia, kad jie veiktų kaip daugikliai. Tačiau daugelis žmonių turi problemų dėl antrosios.

Svarbu atsiminti! Galite sumažinti tik tuos skaičius, kurie yra veiksniai. Jei tai yra terminai, tai neįmanoma.

Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas, turinčias algebrinės išraiškos formą, turite suprasti taisyklę. Pirmiausia išreikškite skaitiklį ir vardiklį kaip sandaugą. Tada galite sumažinti, jei atsiranda bendrų veiksnių. Norint jį pavaizduoti daugiklių pavidalu, naudingi šie metodai:

• grupavimas;
• laikikliai;
• sutrumpintų daugybos tapatybių taikymas.

Be to paskutinis metodas leidžia iš karto gauti terminus daugiklių pavidalu. Todėl jį visada reikia naudoti, jei matomas žinomas raštas.

Bet tai dar nebaisu, tada atsiranda užduočių su laipsniais ir šaknimis. Tuomet reikia įgauti drąsos ir išmokti porą naujų taisyklių.

Išraiška su laipsniu

Frakcija. Skaitiklis ir vardiklis yra sandauga. Yra raidės ir skaičiai. Ir jie taip pat pakeliami į galią, kuri taip pat susideda iš terminų ar veiksnių. Yra ko bijoti.

Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas su galia, turėsite išmokti du dalykus:

• jei eksponente yra suma, tada ją galima išskaidyti į veiksnius, kurių laipsniai bus pradiniai nariai;
• jei skirtumas, tada dividendas ir daliklis, pirmasis turės minuend į laipsnį, antrasis turės subtrahendą.

Atlikus šiuos veiksmus, matomi bendri daugikliai. Tokiuose pavyzdžiuose nereikia skaičiuoti visų galių. Pakanka tiesiog sumažinti laipsnius tais pačiais rodikliais ir bazėmis.

Norint pagaliau išmokti sumažinti trupmenas su galiomis, reikia daug praktikos. Po kelių panašių pavyzdžių veiksmai bus atliekami automatiškai.

Ką daryti, jei išraiškoje yra šaknis?

Jis taip pat gali būti sutrumpintas. Tik vėl laikantis taisyklių. Be to, visa tai, kas aprašyta aukščiau, yra tiesa. Apskritai, jei kyla klausimas, kaip sumažinti dalį su šaknimis, tuomet reikia padalyti.

Įjungta neracionalios išraiškos taip pat galima padalinti. Tai yra, jei skaitiklis ir vardiklis turi identiškus veiksnius, įrašytus po šaknies ženklu, tada juos galima saugiai sumažinti. Tai supaprastins išraišką ir užbaigs užduotį.

Jei po sumažinimo neracionalumas lieka po trupmenos linija, tuomet reikia jo atsikratyti. Kitaip tariant, padauginkite iš jo skaitiklį ir vardiklį. Jei po šios operacijos atsiranda bendrų veiksnių, juos vėl reikės sumažinti.

Tikriausiai viskas apie tai, kaip sumažinti trupmenas. Yra keletas taisyklių, bet tik vienas draudimas. Niekada netrumpinkite terminų!

Praėjusį kartą sudarėme planą, pagal kurį galite išmokti greitai sumažinti trupmenas. Dabar pasvarstykime konkrečių pavyzdžių frakcijų mažinimas.

Pavyzdžiai.

Pažiūrėkime, ar didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio skaičiaus (skaitiklis iš vardiklio ar vardiklis iš skaitiklio)? Taip, visuose trijuose šiuose pavyzdžiuose didesnis skaičius dalijamas iš mažesnio skaičiaus. Taigi kiekvieną trupmeną sumažiname mažesniu iš skaičių (skaitikliu arba vardikliu). Mes turime:

Patikrinkime, ar didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio skaičiaus? Ne, nesidalina.

Tada pereiname prie kito punkto tikrinimo: ar skaitiklio ir vardiklio įvedimas baigiasi vienu, dviem ar daugiau nulių? Pirmajame pavyzdyje skaitiklis ir vardiklis baigiasi nuliu, antrajame pavyzdyje – du nuliai, o trečiame – trys nuliai. Tai reiškia, kad pirmąją trupmeną sumažiname 10, antrąją 100, o trečią 1000:

Gavome neredukuojamas trupmenas.

Didesnis skaičius negali būti padalintas iš mažesnio skaičiaus, o skaičiai nesibaigia nuliais.

Dabar patikrinkime, ar daugybos lentelės skaitiklis ir vardiklis yra tame pačiame stulpelyje? 36 ir 81 dalijasi iš 9, 28 ir 63 dalijasi iš 7, o 32 ir 40 dalijasi iš 8 (jie taip pat dalijasi iš 4, bet jei yra pasirinkimas, visada sumažinsime didesniu). Taigi, mes pasiekiame atsakymus:

Visi gauti skaičiai yra neredukuojamos trupmenos.

Didesnis skaičius negali būti padalintas iš mažesnio skaičiaus. Tačiau ir skaitiklio, ir vardiklio įrašas baigiasi nuliu. Taigi, mes sumažiname trupmeną 10:

Šią dalį dar galima sumažinti. Patikriname daugybos lentelę: ir 48, ir 72 dalijasi iš 8. Trupmeną sumažiname iš 8:

Taip pat galime sumažinti gautą trupmeną 3:

Ši dalis yra neredukuojama.

Didesnis skaičius nesidalija iš mažesnio skaičiaus. Skaitiklis ir vardiklis baigiasi nuliu Tai reiškia, kad trupmeną sumažiname 10.

Patikriname skaičius, gautus skaitiklyje ir vardiklyje ir. Kadangi ir 27, ir 531 skaitmenų suma dalijasi iš 3 ir 9, šią trupmeną galima sumažinti arba 3, arba 9. Mes pasirenkame didesnę ir sumažiname 9. Gaunamas neredukuojamas trupmenas.

Supraskime, kas yra trupmenų mažinimas, kodėl ir kaip sumažinti frakcijas, pateiksime frakcijų mažinimo taisyklę ir jos naudojimo pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra "mažinančios frakcijos"

Sumažinti frakciją

Sumažinti trupmeną reiškia jos skaitiklį ir vardiklį padalyti iš bendro koeficiento, kuris yra teigiamas ir skiriasi nuo vieno.

Atlikus šį veiksmą, bus gauta trupmena su nauju skaitikliu ir vardikliu, lygi pradinei trupmenai.

Pavyzdžiui, paimkime bendrąją trupmeną 6 24 ir ją sumažinkime. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš 2 ir gaukite 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Šiame pavyzdyje pradinę trupmeną sumažinome 2.

Frakcijos redukuojamos į neredukuojamą formą

Ankstesniame pavyzdyje trupmeną 6 24 sumažinome 2, todėl trupmena 3 12. Nesunku pastebėti, kad šią dalį galima dar labiau sumažinti. Paprastai trupmenų mažinimo tikslas yra gauti neredukuojamą trupmeną. Kaip sumažinti dalį iki neredukuojamos formos?

Tai galima padaryti sumažinus skaitiklį ir vardiklį didžiausiu bendru koeficientu (GCD). Tada pagal didžiausio bendro daliklio savybę skaitiklis ir vardiklis bus abipusiai pirminiai skaičiai, o trupmena bus neredukuojama.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Dalies redukavimas į neredukuojamą formą

Norėdami sumažinti trupmeną iki neredukuojamos formos, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš jų gcd.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos 6 24 ir perkelkime ją į neredukuojamą formą. Didžiausias bendras skaičių 6 ir 24 daliklis yra 6. Sumažinkime trupmeną:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Mažinančias frakcijas patogu naudoti, kad nereikėtų dirbti dideliais skaičiais. Apskritai, matematikoje yra neišsakyta taisyklė: jei galite supaprastinti bet kurią išraišką, turite tai padaryti. Sumažinti trupmeną dažniausiai reiškia jos sumažinimą į neredukuojamą formą, o ne tiesiog sumažinimą bendru skaitiklio ir vardiklio dalikliu.

Trupmenų mažinimo taisyklė

Norėdami sumažinti trupmenas, tiesiog atsiminkite taisyklę, kurią sudaro du žingsniai.

Trupmenų mažinimo taisyklė

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1. Raskite skaitiklio ir vardiklio gcd.
2. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš jų gcd.

Pažvelkime į praktinius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Sumažinkime trupmeną.

Duota trupmena 182 195. Sutrumpinkime.

Raskime skaitiklio ir vardiklio gcd. Norėdami tai padaryti, šiuo atveju patogiausia naudoti Euklido algoritmą.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš 13. Mes gauname:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Paruošta. Gavome neredukuojamą trupmeną, kuri yra lygi pradinei trupmenai.

Kaip dar galite sumažinti trupmenas? Kai kuriais atvejais patogu skaitiklį ir vardiklį sudėti į paprastus veiksnius, o tada iš viršutinio ir apatines dalis frakcijas, pašalinkite visus bendruosius veiksnius.

2 pavyzdys. Sumažinkite trupmeną

Duota trupmena 360 2940. Sutrumpinkime.

Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite pradinę trupmeną formoje:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Atsikratykime bendrų skaitiklio ir vardiklio veiksnių, todėl gauname:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Galiausiai pažvelkime į kitą būdą, kaip sumažinti trupmenas. Tai yra vadinamasis nuoseklus mažinimas. Naudojant šį metodą, redukcija atliekama keliais etapais, kurių kiekvienoje frakcija sumažinama tam tikru akivaizdžiu bendru veiksniu.

3 pavyzdys. Sumažinkite trupmeną

Sumažinkime trupmeną 2000 4400.

Iš karto aišku, kad skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą 100. Sumažiname trupmeną 100 ir gauname:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Vėl sumažiname gautą rezultatą 2 ir gauname nesumažinamą trupmeną:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmas lygis

Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)

Išraiškų konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar išmokysiu nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Panašus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - Jūs klausiate.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingos raidės reprezentuoja skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašių:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Tai dažniausiai būna daugiausia svarbi dalis supaprastinant posakius. Pateikus panašius, dažniausiai gautą išraišką reikia faktorizuoti, tai yra pateikti kaip produktą. Tai ypač svarbu trupmenoms: norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, nuspręskite keletą pavyzdžių(reikia suskaidyti faktoriais):

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną dalyką tipiška klaida sudarant sutartis. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai: .

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atminkite lengvas kelias kaip nustatyti, ar išraiška yra faktorinuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami konsoliduoti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui: .

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingi rodikliai. Bendras vardiklis bus:

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Ką tu išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais. Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarūs veiksniai, į kuriuos išplečiate išraišką raidėmis, yra analogas pagrindiniai veiksniai, į kurį išskaidote skaičius. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (prisimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš padaugindami šiuos vardiklius paniškai, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratau? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip: .

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dviguba sandauga. Dalinis sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:

Ką daryti, jei jau yra trys frakcijos?

Taip, tas pats! Pirmiausia tuo įsitikinkime maksimali suma vardiklių veiksniai buvo tokie patys:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl pasikeičia į priešingą. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Išrašome visą pirmąjį vardiklį į bendrą vardiklį, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o tada iš trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, viskas pasirodo taip:

Hmm... Aišku, ką daryti su trupmenomis. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, turime padaryti, kad du taptų trupmena! Prisiminkime: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Būtent tai, ko reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Atsiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinės operacijos turite atlikti algebrinius veiksmus, ty veiksmus, aprašytus ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai, norint suskirstyti faktorių, reikia naudoti I arba tiesiog iš skliaustų sudėti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Gerai, dabar viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną. Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena. Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Dabar parodysiu procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudonai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, vadinasi, temą įvaldėte.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo taikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;