Logaritminės nelygybės

Ankstesnėse pamokose susipažinome su logaritminėmis lygtimis ir dabar žinome, kas jos yra ir kaip jas išspręsti. Šios dienos pamoka bus skirta logaritminių nelygybių tyrimui. Kas yra šios nelygybės ir kuo skiriasi logaritminės lygties sprendimas nuo nelygybės?

Logaritminės nelygybės yra nelygybės, kurių kintamasis yra po logaritmo ženklu arba jo pagrindu.

Arba taip pat galime pasakyti, kad logaritminė nelygybė yra nelygybė, kurioje jos nežinoma reikšmė, kaip ir logaritminėje lygtyje, atsiras po logaritmo ženklu.

Paprasčiausios logaritminės nelygybės turi tokią formą:

kur f(x) ir g(x) yra kai kurios išraiškos, kurios priklauso nuo x.

Pažvelkime į tai naudodami šį pavyzdį: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritminių nelygybių sprendimas

Prieš sprendžiant logaritmines nelygybes, verta paminėti, kad išspręstos jos yra panašios į eksponentinę nelygybę, būtent:

Pirma, pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, taip pat turime palyginti logaritmo bazę su vienu;

Antra, sprendžiant logaritminę nelygybę naudojant kintamųjų pokytį, turime spręsti nelygybes pokyčio atžvilgiu, kol gausime paprasčiausią nelygybę.

Bet jūs ir aš svarstėme panašius logaritminių nelygybių sprendimo aspektus. Dabar atkreipkime dėmesį į gana reikšmingas skirtumas. Jūs ir aš žinome, kad logaritminė funkcija turi ribotą apibrėžimo sritį, todėl pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, turite atsižvelgti į domeną priimtinos vertės(ODZ).

Tai yra, sprendžiant reikia atsižvelgti į tai logaritminė lygtis Jūs ir aš pirmiausia galime rasti lygties šaknis, o tada patikrinti šį sprendimą. Tačiau logaritminės nelygybės sprendimas taip neveiks, nes pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, reikės užrašyti nelygybės ODZ.

Be to, verta prisiminti, kad nelygybių teorija susideda iš realiųjų skaičių, kurie yra teigiami ir neigiami skaičiai, taip pat skaičius 0.

Pavyzdžiui, kai skaičius „a“ yra teigiamas, reikia naudoti tokį žymėjimą: a >0. Šiuo atveju ir šių skaičių suma, ir sandauga taip pat bus teigiami.

Pagrindinis nelygybės sprendimo principas yra pakeisti ją paprastesne nelygybe, tačiau svarbiausia, kad ji būtų lygiavertė duotajai. Be to, mes taip pat gavome nelygybę ir vėl ją pakeitėme paprastesne forma ir pan.

Sprendžiant nelygybes su kintamuoju, reikia rasti visus jo sprendimus. Jei dvi nelygybės turi tą patį kintamąjį x, tai tokios nelygybės yra lygiavertės, jei jų sprendiniai sutampa.

Atlikdami logaritminių nelygybių sprendimo užduotis, turite atsiminti, kad kai a > 1, tada logaritminė funkcija didėja, o kai 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai

Dabar pažvelkime į kai kuriuos metodus, taikomus sprendžiant logaritmines nelygybes. Kad geriau suprastume ir įsisavintume, bandysime juos suprasti pasitelkdami konkrečius pavyzdžius.

Visi žinome, kad paprasčiausia logaritminė nelygybė turi tokią formą:

Šioje nelygybėje V – yra vienas iš šių nelygybės ženklų:<,>, ≤ arba ≥.

Kai duoto logaritmo bazė yra didesnė už vieną (a>1), pereinant nuo logaritmų prie išraiškų po logaritmo ženklu, tada šioje versijoje nelygybės ženklas išsaugomas, o nelygybė bus tokia:

kuri yra lygiavertė šiai sistemai:

Tuo atveju, kai logaritmo pagrindas Virš nulio Ir mažiau nei vienas (0

Tai atitinka šią sistemą:

Pažvelkime į daugiau paprasčiausių logaritminių nelygybių sprendimo pavyzdžių, parodytų paveikslėlyje žemiau:

Sprendimo pavyzdžiai

Pratimas. Pabandykime išspręsti šią nelygybę:

Priimtinų verčių diapazono sprendimas.

Dabar pabandykime padauginti jo dešinę pusę iš:

Pažiūrėkime, ką galime sugalvoti:

Dabar pereikime prie sublogaritminių išraiškų konvertavimo. Dėl to, kad logaritmo pagrindas yra 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ir iš to išplaukia, kad mūsų gautas intervalas visiškai priklauso ODZ ir yra tokios nelygybės sprendimas.

Štai atsakymą gavome:

Ko reikia logaritminėms nelygybėms išspręsti?

Dabar pabandykime išanalizuoti, ko mums reikia norint sėkmingai išspręsti logaritmines nelygybes?

Pirma, sutelkite visą savo dėmesį ir stenkitės nesuklysti atlikdami transformacijas, kurios yra pateiktos šioje nelygybėje. Taip pat reikia atsiminti, kad sprendžiant tokias nelygybes, būtina vengti nelygybės ODZ išsiplėtimų ir susitraukimų, dėl kurių gali būti prarasti ar įgyti pašaliniai sprendimai.

Antra, sprendžiant logaritmines nelygybes, reikia išmokti logiškai mąstyti ir suprasti skirtumą tarp sąvokų, tokių kaip nelygybių sistema ir nelygybių rinkinys, kad galėtumėte lengvai pasirinkti nelygybės sprendimus, vadovaudamiesi jos DL.

Trečia, norėdami sėkmingai išspręsti tokias nelygybes, kiekvienas iš jūsų turite puikiai žinoti visas elementariųjų funkcijų savybes ir aiškiai suprasti jų reikšmę. Tokios funkcijos apima ne tik logaritmines, bet ir racionaliąsias, galios, trigonometrines ir kt., Žodžiu, visas tas, kurias studijavote mokyklinės algebros metu.

Kaip matote, išstudijavus logaritminių nelygybių temą, nėra nieko sudėtingo sprendžiant šias nelygybes, jei esate atsargūs ir atkaklūs siekdami savo tikslų. Norint išvengti problemų sprendžiant nelygybes, reikia kuo daugiau praktikuotis, sprendžiant įvairias užduotis ir tuo pačiu prisiminti pagrindinius tokių nelygybių sprendimo būdus ir jų sistemas. Jei nepavyksta išspręsti logaritminių nelygybių, turėtumėte atidžiai išanalizuoti savo klaidas, kad ateityje prie jų nebegrįžtumėte.

Namų darbai

Norėdami geriau suprasti temą ir konsoliduoti nagrinėjamą medžiagą, išspręskite šias nelygybes:

Iš visos logaritminių nelygybių įvairovės atskirai nagrinėjamos nelygybės su kintamu pagrindu. Jie sprendžiami naudojant specialią formulę, kuri dėl kokių nors priežasčių retai mokoma mokykloje:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Vietoj žymės langelio „∨“ galite įdėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi.

Taip atsikratome logaritmų ir sumažiname problemą iki racionalios nelygybės. Pastarąjį išspręsti daug lengviau, tačiau atmetus logaritmus gali atsirasti papildomų šaknų. Norint juos nupjauti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Jei pamiršote logaritmo ODZ, primygtinai rekomenduoju jį pakartoti – žr. „Kas yra logaritmas“.

Viskas, kas susiję su priimtinų verčių diapazonu, turi būti išrašyta ir išspręsta atskirai:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas priimtinų reikšmių diapazonas, belieka jį susikirsti su racionalios nelygybės sprendimu – ir atsakymas paruoštas.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Pirmiausia užrašykite logaritmo ODZ:

Pirmosios dvi nelygybės tenkinamos automatiškai, tačiau paskutinė turės būti išrašyta. Kadangi skaičiaus kvadratas yra nulis tada ir tik tada, kai pats skaičius yra nulis, turime:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Dabar išsprendžiame pagrindinę nelygybę:

Mes atliekame perėjimą iš logaritminė nelygybė prie racionalaus. Pradinė nelygybė turi ženklą „mažiau nei“, o tai reiškia, kad gauta nelygybė taip pat turi turėti „mažiau nei“ ženklą. Mes turime:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.

Šios išraiškos nuliai yra: x = 3; x = –3; x = 0. Be to, x = 0 yra antrojo dauginio šaknis, vadinasi, einant pro ją funkcijos ženklas nekinta. Mes turime:

Gauname x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis rinkinys yra visiškai įtrauktas į logaritmo ODZ, o tai reiškia, kad tai yra atsakymas.

Logaritminių nelygybių konvertavimas

Dažnai pradinė nelygybė skiriasi nuo aukščiau pateiktos. Tai galima lengvai ištaisyti naudojant standartines darbo su logaritmais taisykles – žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“. Būtent:

1. Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su duota baze;
2. Logaritmų su vienodomis bazėmis sumą ir skirtumą galima pakeisti vienu logaritmu.

Atskirai norėčiau priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, reikia rasti kiekvieno iš jų VA. Taigi, bendra schema logaritminių nelygybių sprendimai yra tokie:

1. Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo VA;
2. Sumažinkite nelygybę iki standartinės, naudodami logaritmų pridėjimo ir atėmimo formules;
3. Išspręskite gautą nelygybę pagal aukščiau pateiktą schemą.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

Raskime pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (DO):

Sprendžiame intervalo metodu. Skaitiklio nulių radimas:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tada - vardiklio nuliai:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ant koordinačių rodyklės pažymime nulius ir ženklus:

Gauname x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Antrasis logaritmas turės tą patį VA. Jei netikite manimi, galite tai patikrinti. Dabar paverčiame antrąjį logaritmą taip, kad bazė būtų dvi:

Kaip matote, trys prie pagrindo ir prieš logaritmą buvo sumažinti. Gavome du logaritmus su tuo pačiu pagrindu. Sudėkime juos:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Gavome standartinę logaritminę nelygybę. Atsikratome logaritmų naudodami formulę. Kadangi pradinėje nelygybėje yra ženklas „mažiau nei“, gauta racionali išraiška taip pat turi būti mažesnė už nulį. Mes turime:

(f (x) – g (x)) (k (x) – 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Gavome du komplektus:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidatas į atsakymą: x ∈ (−1; 3).

Belieka susikirsti šias aibes - mes gauname tikrą atsakymą:

Mus domina aibių sankirta, todėl pasirenkame intervalus, kurie yra užtamsinti ant abiejų rodyklių. Gauname x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – visi taškai pradurti.

Nelygybė vadinama logaritmine, jei joje yra logaritminė funkcija.

Logaritminių nelygybių sprendimo metodai niekuo nesiskiria, išskyrus du dalykus.

Pirma, pereinant nuo logaritminės nelygybės prie sublogaritminių funkcijų nelygybės, reikėtų vadovaukitės gautos nelygybės ženklu. Jis laikosi šios taisyklės.

Jei logaritminės funkcijos bazė yra didesnė už $1$, tai pereinant nuo logaritminės nelygybės prie poblogaritminių funkcijų nelygybės, nelygybės ženklas išsaugomas, bet jei mažesnis už $1$, tai keičiasi į priešingą. .

Antra, bet kurios nelygybės sprendimas yra intervalas, todėl, sprendžiant poblogaritminių funkcijų nelygybę, būtina sukurti dviejų nelygybių sistemą: pirmoji šios sistemos nelygybė bus poblogaritminių funkcijų nelygybė, o antrasis bus į logaritminę nelygybę įtrauktų logaritminių funkcijų apibrėžimo srities intervalas.

Praktika.

Išspręskime nelygybes:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmo pagrindas yra $2>1$, todėl ženklas nesikeičia. Naudojant logaritmo apibrėžimą, gauname:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )