Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Prisiminkime tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiajam kampui.

Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešinga(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimų kraštinių ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):

Toliau atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams stačiakampis trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat nubraižysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentė neegzistuoja.

Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Nuo ,.

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!

Trikampiui su kampais ir kojelė, priešinga kampui ties, yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes pažvelgėme į uždavinius sprendžiant stačiuosius trikampius – tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Vieningame valstybiniame matematikos egzamine yra daug problemų, susijusių su trikampio išorinio kampo sinusu, kosinusu, tangentu arba kotangentu. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD|
- apskritimo, kurio centras yra taške A, lanko ilgis.

α yra kampas, išreikštas radianais. Tangentas () įdegis α

yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .) Kotangentas (

ctg α

yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| . Tangentas

Kur
.
;
;
.

n

- visuma.

yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| . Tangentas

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( į priešingos kojos ilgį |BC| .- visa).

	y = tg x	y = ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Didėja		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	-

Formulės

Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnio liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų laipsnių eilutės plėtimosi terminų nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, .

Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .
adresu . Kur Bn
;
;
- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
Kur.

Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arktangentas ir arkotangentas.

Arktangentas, arktg į priešingos kojos ilgį |BC| . Tangentas

, Kur

Arktangentas, arktg į priešingos kojos ilgį |BC| . Tangentas

Arkotangentas, arcctg
Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.

Dažniausiai užduodami klausimai Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas

Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar geros kokybės nuotrauką mūsų el. pašto adresu ir mes padarysime reikiamą dublikatą. Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Kokius mokėjimo tipus sutinkate?
Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Per daugelį metų mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: sumokate už užsakymą iškart, kai gaunate jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų dokumentų, išduotų skirtingais išdavimo metais, duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų ir klaidų? Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami originalią formą, būsimojo dokumento maketą išsiunčiame klientui el. paštu patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir kt.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. pas mus.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Aleksejus:

Man reikėjo įgyti diplomą, kad galėčiau įsidarbinti vadybininku. O svarbiausia, kad turiu ir patirties, ir įgūdžių, bet be dokumento negaliu įsidarbinti. Atsidūręs jūsų svetainėje, pagaliau nusprendžiau nusipirkti diplomą. Diplomas buvo baigtas per 2 dienas!! Dabar turiu darbą, apie kurį anksčiau nesvajojau!! Ačiū!

Aš neįtikinsiu tavęs nerašyti apgaulės lapų. Rašyk! Įskaitant trigonometrijos sukčiavimo lapus. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kodėl cheat sheets yra naudingi. Ir čia yra informacija, kaip ne mokytis, o atsiminti kai kurias trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet Mes naudojame asociacijas įsiminimui!

1. Sudėjimo formulės:

Kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas. Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jiems „viskas ne taip“, todėl ženklus „-“ keičia į „+“ ir atvirkščiai.

Sinusai - „mišinys“: sinusas-kosinusas, kosinusas-sinusas.

2. Sumos ir skirtumo formulės:

kosinusai visada „eina poromis“. Pridėjus du kosinusus - „koloboks“, gauname porą kosinusų - „koloboks“. O atėmus tikrai negausime kolobokų. Gauname porą sinusų. Taip pat su minusu į priekį.

Sinusai - „mišinys“ :

3. Produkto pavertimo suma ir skirtumu formulės.

Kada gauname kosinusų porą? Kai pridedame kosinusus. Štai kodėl

Kada gausime porą sinusų? Atimant kosinusus. Iš čia:

„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudedant, tiek atimant sinusus. Kas smagiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei jie prideda:

Pirmoje ir trečioje formulėse suma yra skliausteliuose. Pakeitus terminų vietas, suma nekeičiama. Tvarka svarbi tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau atsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą

ir antra – suma

Sukčiavimo lapai kišenėje suteikia ramybės: jei pamiršite formulę, galite ją nukopijuoti. Ir jie suteikia jums pasitikėjimo: jei nepasinaudosite cheat sheet, galite lengvai prisiminti formules.

– tikrai bus užduočių apie trigonometriją. Trigonometrija dažnai nemėgstama dėl būtinybės sugrūsti daugybę sudėtingų formulių, kuriose knibžda sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų. Svetainėje jau kažkada buvo patarta, kaip prisiminti pamirštą formulę, naudojant Eulerio ir Peel formulių pavyzdį.

Ir šiame straipsnyje mes stengsimės parodyti, kad pakanka tvirtai žinoti tik penkias paprastas trigonometrines formules, o likusias turėti bendrą idėją ir jas išvesti. Panašiai kaip su DNR: molekulė nesaugo visų baigtos gyvos būtybės brėžinių. Atvirkščiai, jame yra instrukcijos, kaip jį surinkti iš turimų aminorūgščių. Taigi trigonometrijoje, žinodami kai kuriuos bendruosius principus, visas reikalingas formules gausime iš nedidelio rinkinio tų, kurias būtina turėti omenyje.

Remsimės šiomis formulėmis:

Iš sinuso ir kosinuso sumų formulių, žinodami apie kosinuso funkcijos paritetą ir sinusinės funkcijos nelygumą, vietoj b pakeitę -b, gauname skirtumų formules:

1. Skirtumo sinusas: nuodėmė(a–b) = nuodėmėacos(-b)+cosanuodėmė(-b) = nuodėmėacosb-cosanuodėmėb
2. Skirtumo kosinusas: cos(a–b) = cosacos(-b)-nuodėmėanuodėmė(-b) = cosacosb+nuodėmėanuodėmėb

Įdėję a = b į tas pačias formules, gauname dvigubų kampų sinuso ir kosinuso formules:

1. Dvigubo kampo sinusas: nuodėmė2a = nuodėmė(a+a) = nuodėmėacosa+cosanuodėmėa = 2nuodėmėacosa
2. Dvigubo kampo kosinusas: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-nuodėmėanuodėmėa = cos2 a-nuodėmė2 a

Kitų kelių kampų formulės gaunamos panašiai:

1. Trigubo kampo sinusas: nuodėmė3a = nuodėmė(2a+a) = nuodėmė2acosa+cos2anuodėmėa = (2nuodėmėacosa)cosa+(cos2 a-nuodėmė2 a)nuodėmėa = 2nuodėmėacos2 a+nuodėmėacos2 a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėacos2 a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa(1-nuodėmė2 a)-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa-4nuodėmė 3a
2. Trigubo kampo kosinusas: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-nuodėmė2anuodėmėa = (cos2 a-nuodėmė2 a)cosa-(2nuodėmėacosa)nuodėmėa = cos 3 a- nuodėmė2 acosa-2nuodėmė2 acosa = cos 3 a-3 nuodėmė2 acosa = cos 3a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prieš eidami toliau, pažvelkime į vieną problemą.
Duota: kampas smailus.
Raskite jo kosinusą, jei
Vieno studento pateiktas sprendimas:
Nes , Tai nuodėmėa= 3,a cosa = 4.
(Iš matematikos humoro)

Taigi liestinės apibrėžimas susieja šią funkciją ir su sinusu, ir su kosinusu. Bet jūs galite gauti formulę, kuri sietų liestinę tik su kosinusu. Norėdami jį gauti, imame pagrindinę trigonometrinę tapatybę: nuodėmė 2 a+cos 2 a= 1 ir padalykite jį iš cos 2 a. Mes gauname:

Taigi šios problemos sprendimas būtų toks:

(Kadangi kampas smailus, ištraukiant šaknį, imamas + ženklas)

Sumos tangento formulė yra dar viena, kurią sunku prisiminti. Išveskime taip:

Iš karto rodomas ir

Iš dvigubo kampo kosinuso formulės galite gauti sinuso ir kosinuso formules puskampiams. Norėdami tai padaryti, taikykite kairėje dvigubo kampo kosinuso formulės pusėje:
cos2 a = cos 2 a-nuodėmė 2 a
pridedame vieną, o į dešinę - trigonometrinį vienetą, t.y. sinuso ir kosinuso kvadratų suma.
cos2a+1 = cos2 a-nuodėmė2 a+cos2 a+nuodėmė2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Išreiškiantis cosa per cos2 a ir atlikę kintamųjų pakeitimą, gauname:

Ženklas imamas priklausomai nuo kvadranto.

Panašiai, atėmę vieną iš kairės lygybės pusės ir sinuso bei kosinuso kvadratų sumą iš dešinės, gauname:
cos2a-1 = cos2 a-nuodėmė2 a-cos2 a-nuodėmė2 a
2nuodėmė 2 a = 1-cos2 a

Ir galiausiai, norėdami paversti trigonometrinių funkcijų sumą į produktą, naudojame šią techniką. Tarkime, kad sinusų sumą reikia pavaizduoti kaip sandaugą nuodėmėa+nuodėmėb. Įveskime kintamuosius x ir y taip, kad a = x+y, b+x-y. Tada
nuodėmėa+nuodėmėb = nuodėmė(x+y)+ nuodėmė(x-y) = nuodėmė x cos y+ cos x nuodėmė y+ nuodėmė x cos y- cos x nuodėmė y = 2 nuodėmė x cos y. Dabar išreikškime x ir y a ir b atžvilgiu.

Kadangi a = x+y, b = x-y, tada . Štai kodėl

Galite nedelsiant atsiimti

1. Perskirstymo formulė sinuso ir kosinuso sandaugai V suma: nuodėmėacosb = 0.5(nuodėmė(a+b)+nuodėmė(a–b))

Rekomenduojame patiems pasipraktikuoti ir išvesti formules sinusų skirtumui ir kosinusų sumai bei skirtumui paversti sandaugą, taip pat sinusų ir kosinusų sandaugoms padalyti į sumą. Atlikę šiuos pratimus, puikiai įvaldysite trigonometrinių formulių išvedimo įgūdžius ir nepasiklysite net sunkiausiame teste, olimpiadoje ar testuose.