Mes apžiūrėjome keletą fiziškai visiškai įvairios sistemos, ir įsitikino, kad judėjimo lygtys yra sumažintos į tą pačią formą

Skirtumai tarp fizinių sistemų atsiranda tik skirtingas apibrėžimas kiekiai ir įvairiomis fizinėmis kintamojo prasmėmis x: tai gali būti koordinatė, kampas, krūvis, srovė ir tt Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju, kaip matyti iš pačios (1.18) lygties struktūros, dydis visada turi atvirkštinio laiko matmenį.

(1.18) lygtis apibūdina vadinamąją harmonines vibracijas.

Harmoninių virpesių lygtis (1.18) yra antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis (nes joje yra antroji kintamojo išvestinė x). Lygties tiesiškumas reiškia tai

jei kokia nors funkcija x(t) yra šios lygties sprendimas, tada funkcija Cx(t) taip pat bus jo sprendimas ( C– savavališka konstanta);

jei funkcijos x 1 (t) Ir x 2 (t) yra šios lygties sprendiniai, tada jų suma x 1 (t) + x 2 (t) taip pat bus tos pačios lygties sprendimas.

Taip pat įrodyta matematinė teorema, pagal kurią antros eilės lygtis turi du nepriklausomi sprendimai. Visi kiti sprendimai pagal tiesiškumo savybes gali būti gauti kaip jų tiesiniai deriniai. Tiesioginės diferenciacijos būdu lengva patikrinti, ar nepriklausomos funkcijos ir tenkina (1.18) lygtį. Reiškia, bendras sprendimasši lygtis atrodo taip:

Kur C 1,C 2- savavališkos konstantos. Šis sprendimas gali būti pateiktas kita forma. Įveskime vertę

ir kampą nustatykite pagal santykius:

Tada bendrasis sprendimas (1.19) rašomas kaip

Pagal trigonometrijos formules išraiška skliausteliuose yra lygi

Pagaliau priėjome harmoninių virpesių lygties bendrasis sprendimas kaip:

Neneigiama vertė A paskambino vibracijos amplitudė, - pradinė virpesių fazė. Visas kosinuso argumentas – derinys – vadinamas svyravimo fazė.

Išraiškos (1.19) ir (1.23) yra visiškai lygiavertės, todėl, atsižvelgdami į paprastumą, galime naudoti bet kurią iš jų. Abu sprendimai yra periodinės laiko funkcijos. Iš tiesų sinusas ir kosinusas yra periodiški su tašku . Štai kodėl įvairios valstybės sistema, atliekanti harmoninius virpesius, kartojama po tam tikro laiko t*, kurio metu svyravimo fazė gauna prieaugį, kuris yra kartotinis :

Tai seka

Mažiausiai iš šių kartų

paskambino svyravimų periodas (1.8 pav.), ir - jo apskritas (ciklinis) dažnis.

Ryžiai. 1.8.

Jie taip pat naudoja dažnis svyravimai

Atitinkamai, apskritimo dažnis yra lygus virpesių skaičiui per sekundžių

Taigi, jei sistema tuo metu t apibūdinamas kintamojo reikšme x(t), tada kintamasis po tam tikro laiko turės tokią pačią reikšmę (1.9 pav.), t.y

Natūralu, kad laikui bėgant ta pati reikšmė kartosis 2T, ZT ir tt

Ryžiai. 1.9. Virpesių laikotarpis

Bendrasis sprendimas apima dvi savavališkas konstantas ( C 1, C 2 arba A, a), kurių reikšmės turi būti nustatytos dviem pradines sąlygas. Paprastai (nors nebūtinai) jų vaidmenį atlieka pradinės kintamojo reikšmės x(0) ir jo vedinys.

Pateikime pavyzdį. Tegul harmoninių svyravimų lygties sprendinys (1.19) nusako spyruoklės švytuoklės judėjimą. Savavališkų konstantų reikšmės priklauso nuo to, kaip mes išvedėme švytuoklę iš pusiausvyros. Pavyzdžiui, mes ištraukėme spyruoklę į atstumą ir paleido kamuolį be pradinio greičio. Tokiu atveju

Pakeičiant t = 0(1.19) randame konstantos reikšmę C 2

Taigi sprendimas atrodo taip:

Apkrovos greitį randame diferencijuodami laiko atžvilgiu

Pakeičiamas čia t = 0, raskite konstantą C 1:

Pagaliau

Palyginus su (1.23), matome, kad yra svyravimų amplitudė, o jo pradinė fazė lygi nuliui: .

Dabar išbalansuokime švytuoklę kitu būdu. Apkrovą pataikykime taip, kad jis įgautų pradinį greitį, bet smūgio metu praktiškai nejudėtų. Tada mes turime kitus pradines sąlygas:

mūsų sprendimas atrodo taip

Krovinio greitis keisis pagal įstatymą:

Pakeiskime čia:

1.Svyruojančio judėjimo nustatymas

Svyruojantis judėjimas– Tai judesys, kuris kartojasi tiksliai arba maždaug vienodais intervalais. Ypač akcentuojamas svyruojančio judėjimo tyrimas fizikoje. Taip yra dėl įvairaus pobūdžio svyruojančio judėjimo modelių ir jo tyrimo metodų bendrumo. Vienu požiūriu nagrinėjami mechaniniai, akustiniai, elektromagnetiniai virpesiai ir bangos. Svyruojantis judėjimas būdingas visiems gamtos reiškiniams. Ritmiškai pasikartojantys procesai, tokie kaip širdies plakimas, nuolat vyksta bet kurio gyvo organizmo viduje.

Mechaninės vibracijosVirpesiai yra bet koks fizinis procesas, kuriam būdingas pakartojamumas laikui bėgant.

Jūros šiurkštumas, laikrodžio švytuoklės siūbavimas, laivo korpuso virpesiai, žmogaus širdies plakimas, garsas, radijo bangos, šviesa, kintamos srovės – visa tai yra vibracijos.

Virpesių proceso metu fizinių dydžių reikšmės, lemiančios sistemos būseną, kartojasi vienodais arba nevienodais laiko intervalais. Virpesiai vadinami periodiškai, jei kintančių fizikinių dydžių reikšmės kartojasi reguliariais intervalais.

Trumpiausias laiko tarpas T, po kurio kartojasi kintančio fizikinio dydžio reikšmė (dydžiu ir kryptimi, jei šis dydis vektorius, dydžiu ir ženklu, jei skaliarinis), vadinamas laikotarpį dvejonės.

Vadinamas pilnų svyravimų skaičius n per laiko vienetą dažnisšios reikšmės svyravimai ir žymimas ν. Virpesių periodas ir dažnis yra susiję su ryšiu:

Bet kokį svyravimą sukelia vienokios ar kitokios įtakos virpesių sistemai. Atsižvelgiant į svyravimus sukeliančios įtakos pobūdį, išskiriami šie periodinių svyravimų tipai: laisvieji, priverstiniai, savaiminiai svyravimai, parametriniai.

Laisvos vibracijos- tai svyravimai, atsirandantys sistemoje, paliktoje sau po to, kai ji pašalinama iš stabilios pusiausvyros būsenos (pavyzdžiui, spyruoklės apkrovos svyravimai).

Priverstinės vibracijos- tai svyravimai, kuriuos sukelia išorinis periodinis poveikis (pavyzdžiui, elektromagnetiniai svyravimai televizoriaus antenoje).

Mechaninissvyravimai

Savaiminiai svyravimai- laisvieji svyravimai, palaikomi išorinio energijos šaltinio, kurį reikiamu momentu įjungia pati virpesių sistema (pvz., laikrodžio švytuoklės svyravimai).

Parametriniai virpesiai- tai svyravimai, kurių metu periodiškai pasikeičia koks nors sistemos parametras (pavyzdžiui, siūbuojant sūpynės: pritūpęs ekstremaliose padėtyse ir atsitiesdamas vidurinėje padėtyje, sūpynėse esantis žmogus keičia siūbavimo inercijos momentą ).

Skirtingos prigimties svyravimai atskleidžia daug bendro: jie paklūsta tiems patiems dėsniams, apibūdinami tomis pačiomis lygtimis ir tiriami tais pačiais metodais. Tai leidžia sukurti vieningą svyravimų teoriją.

Paprasčiausi iš periodinių svyravimų

yra harmoninės vibracijos.

Harmoniniai virpesiai yra svyravimai, kurių metu fizikinių dydžių reikšmės laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį. Dauguma virpesių procesų yra aprašyti šiuo dėsniu arba gali būti išreikšti kaip harmoninių virpesių suma.

Kitas „dinaminis“ harmoninių virpesių apibrėžimas yra įmanomas kaip procesas, atliekamas veikiant elastingiems arba „kvazielastingiems“

2. Periodinis vadinami svyravimais, kuriuose procesas kartojamas tiksliai vienodais intervalais.

Laikotarpis periodiniai svyravimai – tai minimalus laikas, po kurio sistema grįžta į pradinę būseną

x yra svyruojantis dydis (pavyzdžiui, srovės stipris grandinėje, būsena ir prasideda proceso kartojimas. Procesas, vykstantis per vieną svyravimo periodą, vadinamas „vienu pilnu svyravimu“.

periodiniai virpesiai yra pilnų svyravimų skaičius per laiko vienetą (1 sekundė) – tai gali būti ne sveikas skaičius.

T – svyravimų periodas – vieno pilno svyravimo laikas.

Norint apskaičiuoti dažnį v, reikia padalyti 1 sekundę iš vieno virpesio laiko T (sekundėmis) ir gauti virpesių skaičių per 1 sekundę arba taško koordinatę) t - laikas

Harmoninis svyravimas

Tai periodinis svyravimas, kurio metu judesį apibūdinančios koordinatės, greitis, pagreitis kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Harmoninis grafikas

Grafikas nustato kūno poslinkio priklausomybę laikui bėgant. Prie spyruoklinės švytuoklės pritvirtinkime pieštuką, o už švytuoklės – popierinę juostelę, kuri juda tolygiai. Arba priverskime matematinę švytuoklę palikti pėdsaką. Judėjimo grafikas bus rodomas popieriuje.

Harmoninio virpesio grafikas yra sinusinė banga (arba kosinuso banga). Iš virpesių grafiko galite nustatyti visas svyruojančio judėjimo charakteristikas.

Harmoninių virpesių lygtis

Harmoninių virpesių lygtis nustato kūno koordinačių priklausomybę nuo laiko

Pradiniu momentu kosinuso grafikas turi didžiausią reikšmę, o sinuso grafikas pradiniu momentu turi nulinę reikšmę. Jei pradėsime tirti svyravimą iš pusiausvyros padėties, tada svyravimas kartos sinusoidę. Jei pradėsime svarstyti svyravimą nuo didžiausio nuokrypio padėties, tada svyravimas bus apibūdinamas kosinusu. Arba tokį svyravimą galima apibūdinti sinuso formule su pradine faze.

Greičio ir pagreičio pokytis harmoninių virpesių metu

Laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį kinta ne tik kūno koordinatė. Tačiau tokie dydžiai kaip jėga, greitis ir pagreitis taip pat keičiasi panašiai. Jėga ir pagreitis yra didžiausi, kai svyruojantis kūnas yra kraštutinėse padėtyse, kur poslinkis yra didžiausias, ir yra lygus nuliui, kai kūnas eina per pusiausvyros padėtį. Greitis, priešingai, ekstremaliose padėtyse yra lygus nuliui, o kai kūnas praeina per pusiausvyros padėtį, jis pasiekia maksimalią vertę.

Jei svyravimas apibūdinamas kosinuso dėsniu

Jeigu svyravimas aprašomas pagal sinuso dėsnį

Didžiausio greičio ir pagreičio vertės

Išanalizavę priklausomybės v(t) ir a(t) lygtis, galime spėti, kad greitis ir pagreitis įgauna didžiausias reikšmes tuo atveju, kai trigonometrinis koeficientas yra lygus 1 arba -1. Nustatoma pagal formulę

Kaip gauti priklausomybes v(t) ir a(t)

(lot. amplitudė- dydis) yra didžiausias svyruojančio kūno nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.

Švytuoklės atveju tai yra didžiausias atstumas, per kurį rutulys nutolsta nuo pusiausvyros padėties (paveikslas žemiau). Mažos amplitudės virpesiams toks atstumas gali būti laikomas lanko ilgiu 01 arba 02 ir šių atkarpų ilgiais.

Virpesių amplitudė matuojama ilgio vienetais – metrais, centimetrais ir tt Virpesių grafike amplitudė apibrėžiama kaip maksimali (modulio) sinusinės kreivės ordinatė (žr. paveikslėlį žemiau).

Virpesių laikotarpis.

Virpesių laikotarpis- tai trumpiausias laiko tarpas, per kurį svyruojanti sistema vėl grįžta į tą pačią būseną, kurioje ji buvo savavališkai pasirinktu pradiniu laiko momentu.

Kitaip tariant, svyravimo periodas ( T) – laikas, per kurį įvyksta vienas visiškas svyravimas. Pavyzdžiui, žemiau esančiame paveikslėlyje tai yra laikas, per kurį švytuoklės svirtis juda iš labiausiai dešiniojo taško per pusiausvyros tašką APIEį kairįjį tašką ir atgal per tašką APIE vėl į dešinę.

Taigi per visą svyravimo laikotarpį kūnas eina keturių amplitudių keliu. Virpesių periodas matuojamas laiko vienetais – sekundėmis, minutėmis ir tt Virpesių periodą galima nustatyti pagal gerai žinomą svyravimų grafiką (žr. paveikslėlį žemiau).

Sąvoka „svyravimo periodas“, griežtai tariant, galioja tik tada, kai virpesių dydžio reikšmės tiksliai kartojasi po tam tikro laiko, t.y. harmoniniams virpesiams. Tačiau ši sąvoka taip pat taikoma apytiksliai pasikartojantiems kiekiams, pavyzdžiui, už slopinami svyravimai.

Virpesių dažnis.

Virpesių dažnis- tai svyravimų, atliekamų per laiko vienetą, skaičius, pavyzdžiui, per 1 s.

SI dažnio vienetas yra pavadintas hercų(Hz) vokiečių fiziko G. Hertzo (1857-1894) garbei. Jei virpesių dažnis ( v) yra lygus 1 Hz, tai reiškia, kad kas sekundę yra vienas svyravimas. Virpesių dažnis ir periodas yra susiję ryšiais:

Virpesių teorijoje jie taip pat naudoja šią sąvoką cikliškas, arba apskrito dažnio ω . Tai susiję su normaliu dažniu v ir svyravimo periodas T koeficientai:

.

Ciklinis dažnis yra virpesių skaičius, atliktas per 2π sekundžių

Virpesiai vadinami judesiai ar procesai, kuriems būdingas tam tikras pakartojamumas laikui bėgant. Virpesiai yra plačiai paplitę aplinkiniame pasaulyje ir gali turėti labai skirtingą pobūdį. Jie gali būti mechaniniai (švytuoklė), elektromagnetiniai ( virpesių grandinė) ir kitų tipų vibracijas.
Laisvas, arba savo svyravimai vadinami svyravimais, kurie atsiranda sistemoje, paliktoje sau po to, kai ji buvo atitraukta išorinis poveikis iš pusiausvyros būsenos. Pavyzdys yra rutulio, pakabinto ant sriegio, virpesiai.

Ypatingas vaidmuo svyravimo procesuose turi paprasčiausia forma svyravimai - harmonines vibracijas. Harmoninės vibracijos sudaro vieningo požiūrio į įvairaus pobūdžio virpesių tyrimą pagrindą, nes gamtoje ir technikoje aptinkami virpesiai dažnai yra artimi harmoniniams, o periodiniai skirtingos formos procesai gali būti pavaizduoti kaip harmoninių virpesių superpozicija.

Harmoninės vibracijos vadinami tokie svyravimai, kuriuose svyruojantis dydis kinta laikui bėgant pagal dėsnį sinusas arba kosinusas.

Harmoninė lygtisturi formą:

kur - vibracijos amplitudė (didžiausio sistemos nukrypimo nuo pusiausvyros padėties dydis); -apskrito (ciklinio) dažnio. Periodiškai besikeičiantis kosinuso argumentas vadinamas svyravimo fazė . Virpesių fazė lemia svyruojančio dydžio poslinkį iš pusiausvyros padėties Šis momentas laikas t. Konstanta φ reiškia fazės reikšmę momentu t = 0 ir yra vadinama pradinė virpesių fazė . Pradinės fazės vertė nustatoma pagal atskaitos taško pasirinkimą. X reikšmė gali būti nuo -A iki +A.

Laiko intervalas T, po kurio jie kartojasi tam tikromis sąlygomis svyravimo sistema, vadinamas svyravimo periodu . kosinusas - periodinė funkcija su 2π periodu, todėl per laikotarpį T, po kurio virpesių fazė gaus prieaugį, lygų 2π, kartosis harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsena. Šis laikotarpis T vadinamas harmoninių virpesių periodu.

Harmoninių virpesių periodas lygus : T = 2π/ .

Virpesių skaičius per laiko vienetą vadinamas vibracijos dažnis ν.
Harmoninis dažnis yra lygus: ν = 1/T. Dažnio vienetas hercų(Hz) – vienas svyravimas per sekundę.

Apvalus dažnis = 2π/T = 2πν parodo virpesių skaičių per 2π sekundes.

Grafiškai harmoninius svyravimus galima pavaizduoti kaip x priklausomybę nuo t (1.1.A pav.), o sukimosi amplitudės metodas (vektorinės diagramos metodas)(1.1.B pav.) .

Sukimosi amplitudės metodas leidžia vizualiai pavaizduoti visus parametrus, įtrauktus į harmoninių virpesių lygtį. Iš tiesų, jei amplitudės vektorius A esantis kampu φ su x ašimi (žr. 1.1 pav. B), tada jos projekcija į x ašį bus lygi: x = Acos(φ). Kampas φ yra pradinė fazė. Jei vektorius A sukasi kampiniu greičiu, lygiu apskritiminiam virpesių dažniui, tada vektoriaus galo projekcija judės išilgai x ašies ir įgaus vertes nuo -A iki +A, o šios projekcijos koordinatė bus laikui bėgant keičiasi pagal įstatymą:
.

Taigi vektoriaus ilgis lygus harmoninio virpesio amplitudei, vektoriaus kryptis pradiniu momentu sudaro kampą su x ašimi, lygų pradinei virpesių fazei φ, o krypties kampo pokytis su laiku yra lygus harmoninių virpesių fazei. Laikas, per kurį amplitudės vektorius sukuria vieną pilnas apsisukimas, yra lygus harmoninių virpesių periodui T. Vektoriaus apsisukimų skaičius per sekundę lygus virpesių dažniui ν.

Harmoninis svyravimas yra periodinio bet kokio dydžio kaitos reiškinys, kai priklausomybė nuo argumento turi sinuso arba kosinuso funkcijos pobūdį. Pavyzdžiui, kiekis harmoningai svyruoja ir laikui bėgant kinta taip:

čia x – kintančio dydžio reikšmė, t – laikas, likę parametrai pastovūs: A – virpesių amplitudė, ω – ciklinis virpesių dažnis, – visa svyravimų fazė, – pradinė svyravimų fazė.

Apibendrintas harmoninis svyravimas diferencine forma

(Bet koks nebanalus šios problemos sprendimas diferencialinė lygtis- yra harmoninis svyravimas su cikliniu dažniu)

Vibracijų rūšys

Veikiant atsiranda laisvos vibracijos vidines jėgas sistema po to, kai sistema buvo pašalinta iš pusiausvyros padėties. Kad laisvieji svyravimai būtų harmoningi, būtina, kad virpesių sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), joje nebūtų energijos išsklaidymo (pastarasis sukeltų slopinimą).

Priverstinės vibracijos atsiranda veikiant išorinei periodinei jėgai. Kad jie būtų harmoningi, pakanka, kad virpesių sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), o pati išorinė jėga laikui bėgant kinta kaip harmoninis svyravimas (tai yra, kad šios jėgos priklausomybė nuo laiko yra sinusoidinė) .

Harmoninė lygtis

1 lygtis

pateikia svyruojančios reikšmės S priklausomybę nuo laiko t; tai yra laisvųjų harmoninių virpesių aiškia forma lygtis. Tačiau dažniausiai vibracijos lygtis suprantama kaip kitoks šios lygties atvaizdas diferencine forma. Tikslumui paimkime (1) lygtį formoje

Atskirkime tai du kartus laike:

Galima pastebėti, kad galioja šie santykiai:

kuri vadinama laisvųjų harmoninių virpesių lygtimi (diferencine forma). (1) lygtis yra diferencialinės lygties (2) sprendimas. Kadangi (2) lygtis yra antros eilės diferencialinė lygtis, reikalingos dvi pradinės sąlygos, kad būtų gautas pilnas sprendimas (ty nustatyti konstantas A ir  , įtrauktas į (1) lygtį); pavyzdžiui, svyravimo sistemos padėtis ir greitis, kai t = 0.

Matematinė švytuoklė yra osciliatorius, kuris yra mechaninė sistema, susidedanti iš materialaus taško, esančio ant nesvario netiesiamojo sriegio arba ant nesvario strypo vienodame gravitacinių jėgų lauke. Matematinės svyruoklės, kurios ilgis l, nejudingai pakibusios tolygiame gravitaciniame lauke su laisvojo kritimo pagreičiu g mažų natūralių svyravimų periodas yra lygus

ir nepriklauso nuo švytuoklės amplitudės ir masės.

Fizinė švytuoklė yra osciliatorius, kuris yra kietas kūnas, svyruojantis bet kokių jėgų lauke, palyginti su tašku, kuris nėra šio kūno masės centras, arba su fiksuota ašimi, statmena jėgų veikimo krypčiai, o ne einančios per šio kūno masės centrą.