I dag er oppmerksomheten din invitert til en annen presentasjon om et fantastisk og mystisk emne - geometri. I denne presentasjonen vil vi introdusere deg til en ny egenskap ved geometriske former, spesielt konseptet med proporsjonale segmenter i rette trekanter.

Først må du huske hva en trekant er? Dette er den enkleste polygonen, som består av tre hjørner forbundet med tre segmenter. En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90 grader. Du har allerede blitt mer detaljert kjent med dem i vårt tidligere opplæringsmateriell som ble presentert for deg.

Så, for å gå tilbake til emnet vårt i dag, angir vi at høyden til en rettvinklet trekant, trukket fra en vinkel på 90 grader, deler den i to trekanter, som ligner både på hverandre og den opprinnelige. Alle tegningene og grafene du er interessert i er gitt i den foreslåtte presentasjonen, og vi anbefaler at du refererer til dem, sammen med den beskrevne forklaringen.

Et grafisk eksempel på oppgaven ovenfor kan sees på det andre lysbildet. Trekanter er like fordi de har to like vinkler. Hvis du spesifiserer mer detaljert, danner høyden senket til hypotenusen en rett vinkel med den, det vil si at det allerede er de samme vinklene, og hver av de dannede vinklene har også en felles vinkel som den første. Resultatet er to vinkler lik hverandre. Det vil si at trekantene er like.

La oss også betegne hva begrepet "middelproporsjonal" eller "geometrisk gjennomsnitt" betyr i seg selv? Dette er et visst XY-segment for segmentene AB og CD når det er lik kvadratroten av produktet av lengdene deres.

Hvorav det også følger at benet i en rettvinklet trekant er det geometriske gjennomsnittet mellom hypotenusen og projeksjonen av dette benet på hypotenusen, det vil si det andre benet.

En annen egenskap ved en rettvinklet trekant er at høyden, trukket fra en vinkel på 90 o, er gjennomsnittlig proporsjonal mellom projeksjonene av bena på hypotenusen. Hvis du refererer til presentasjonen og annet materiale som er gjort oppmerksom på, vil du se at det er et bevis på denne oppgaven i en veldig enkel og tilgjengelig form. Tidligere har vi allerede bevist at de resulterende trekantene ligner hverandre og den opprinnelige trekanten. Deretter, ved å bruke forholdet mellom bena til disse geometriske figurene, kommer vi til den konklusjon at høyden til en rettvinklet trekant er direkte proporsjonal med kvadratroten av produktet av segmentene som ble dannet som et resultat av å senke høyden fra rett vinkel på den opprinnelige trekanten.

Det siste i presentasjonen er at benet i en rettvinklet trekant er det geometriske gjennomsnittet for hypotenusen og dens segment plassert mellom benet og høyden tegnet fra en vinkel lik 90 grader. Dette tilfellet bør vurderes fra siden at disse trekantene ligner hverandre, og benet til en av dem oppnås ved hypotenusen til den andre. Men du vil få vite dette mer detaljert ved å studere de foreslåtte materialene.

Leksjonens mål:

1. introdusere begrepet gjennomsnittlig proporsjonal (geometrisk gjennomsnitt) av to segmenter;
2. vurdere problemet med proporsjonale segmenter i en rettvinklet trekant: en egenskap av høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel;
3. å danne elevenes ferdigheter i å bruke det studerte emnet i prosessen med å løse problemer.

Leksjonstype: leksjon lære nytt materiale.

Plan:

1. Organisatorisk øyeblikk.
2. Kunnskapsoppdatering.
3. Å studere egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til en rett vinkel:
   - forberedende stadium;
   – introduksjon;
   - assimilering.
4. Introduksjon av begrepet gjennomsnitt proporsjonal med to segmenter.
5. Assimilering av konseptet med gjennomsnittlig proporsjonal av to segmenter.
6. Bevis på konsekvensene:
   - Høyden på en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, er gjennomsnittet proporsjonalt mellom segmentene som hypotenusen er delt i med denne høyden;
   - benet i en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom benet og høyden.
7. Problemløsning.
8. Oppsummering.
9. Sette lekser.

I løpet av timene

I. ORGANISASJON

Hei folkens, sett deg. Er alle klare for leksjonen?

Vi starter arbeidet.

II. OPPDATERING AV KUNNSKAP

Hvilket viktig matematisk konsept lærte du i tidligere leksjoner? ( med konseptet trekantlikhet)

– La oss huske hvilke to trekanter som kalles like? (to trekanter kalles like hvis vinklene deres er like store og sidene i den ene trekanten er proporsjonale med de like sidene i den andre trekanten)

Hva bruker vi for å bevise likheten mellom to trekanter? (

- List opp disse tegnene. (formuler tre tegn på likhet mellom trekanter)

III. Å STUDERE EGENSKAPERNE TIL HØYDEN AV EN REKTANGULÆR TREKANT UTFØRT FRA TOPPEN AV EN RETT VINKEL

a) forberedende fase

- Gutter, se på det første lysbildet. ( applikasjon) Her er to rettvinklede trekanter - og . og er høydene og hhv. .

Oppgave 1. a) Finn ut om og er like.

Hva bruker vi for å bevise likheten mellom trekanter? ( tegn på likhet mellom trekanter)

(det første tegnet, siden ingenting er kjent om sidene til trekanter i problemet)

. (To par: 1. ∟B= ∟B1 (rette linjer), 2. ∟A= ∟A 1)

- Lag en konklusjon. ( ved det første tegnet på likhet av trekanter ~)

Oppgave 1. b) Finn ut om og er like.

Hvilket likhetskriterium vil vi bruke og hvorfor? (det første tegnet, fordi i problemet er ingenting kjent om sidene til trekanter)

Hvor mange par like vinkler må vi finne? Finn disse parene (fordi trekantene er rettvinklede, er ett par like vinkler nok: ∟A= ∟A 1)

- Lag en konklusjon. (ved det første tegnet på likhet av trekanter, konkluderer vi med at disse trekantene er like).

Som et resultat av samtalen ser lysbilde 1 slik ut:

b) oppdagelse av teoremet

Oppgave 2.

Bestem om og , og er like. Som et resultat av samtalen bygges svar, som reflekteres på lysbildet.

- Tallet indikerte at . Brukte vi dette gradsmålet når vi svarte på oppgavespørsmålene? ( Nei, ikke brukt)

- Gutter, trekk en konklusjon: i hvilke trekanter deler høyden trukket fra toppen av den rette vinkelen den rette trekanten? (lag en konklusjon)

– Spørsmålet oppstår: vil disse to rettvinklede trekantene, som høyden deler den rettvinklede trekanten i, være like hverandre? La oss prøve å finne par med like vinkler.

Som et resultat av samtalen bygges det en post:

- Og la oss nå gjøre en fullstendig konklusjon. ( KONKLUSJON: høyden av en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen deler trekanten i to lignende

- Det. vi har formulert og bevist et teorem om egenskapen til høyden til en rettvinklet trekant.

La oss etablere strukturen til teoremet og lage en tegning. Hva er gitt i teoremet og hva må bevises? Elevene skriver i notatbøkene sine:

La oss bevise det første punktet i teoremet for den nye tegningen. Hvilket likhetskriterium vil vi bruke og hvorfor? (For det første, siden ingenting er kjent om sidene til trekanter i teoremet)

Hvor mange par like vinkler må vi finne? Finn disse parene. (I dette tilfellet er ett par nok: ∟A-generelt)

- Lag en konklusjon. Trekantene er like. Som et resultat vises et eksempel på formuleringen av teoremet

– Skriv det andre og tredje punktet hjemme selv.

c) assimilering av teoremet

- Så, formuler teoremet på nytt (Høyden til en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, deler trekanten i to lignende rettvinklede trekanter, som hver ligner på denne)

- Hvor mange par like trekanter i konstruksjonen "i en rettvinklet trekant høyden fra toppunktet til en rett vinkel" kan man finne ved denne teoremet? ( Tre par)

Elevene får følgende oppgave:

IV. INTRODUKSJON AV KONSEPTET MED GJENNOMSNITTLIG PROPORTIONAL AV TO LINJER

Nå skal vi lære et nytt konsept.

Merk følgende!

Definisjon. Linjestykke XY kalt gjennomsnittlig proporsjonal (geometrisk gjennomsnitt) mellom segmentene AB og CD, hvis

(skriv i notatbok).

V. ASSOSIERING AV KONSEPTET MED GJENNOMSNITTLIG FORHOLD AV TO LINJER

La oss nå gå videre til neste lysbilde.

Øvelse 1. Finn lengden på de gjennomsnittlige proporsjonale segmentene MN og KP, hvis MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Hva er gitt i oppgaven? ( To segmenter og deres lengde: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Hva trenger du å finne? ( Lengden på gjennomsnittlig proporsjonal av disse segmentene)

– Hva er formelen for middelproporsjonal og hvordan finner vi den?

(Vi erstatter dataene i formelen og finner lengden på den gjennomsnittlige rekvisitten.)

Oppgave nummer 2. Finn lengden på segment AB hvis gjennomsnittlig proporsjonal av segmentene AB og CD er 90 cm og CD = 100 cm

– Hva er gitt i oppgaven? (lengden på segmentet CD = 100 cm og gjennomsnittlig proporsjonal av segmentene AB og CD er 90 cm)

Hva skal finnes i problemet? ( Lengde på segment AB)

– Hvordan skal vi løse problemet? (La oss skrive ned formelen for de gjennomsnittlige proporsjonale segmentene AB og CD, uttrykke lengden på AB fra den og erstatte dataene til problemet.)

VI. KONKLUSJON

- Godt gjort gutter. Og la oss nå gå tilbake til likheten mellom trekanter, bevist av oss i teoremet. Gjenta teoremet. ( Høyden på en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen deler trekanten i to lignende rettvinklede trekanter, som hver er lik en gitt)

- La oss først bruke likheten mellom trekanter og . Hva følger av dette? ( Per definisjon av likhet er sider proporsjonale med lignende sider)

- Hvilken likhet vil man oppnå ved bruk av den grunnleggende egenskapen proporsjon? ()

– Uttrykk CD og trekk en konklusjon (;.

Konklusjon: høyden til en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, er gjennomsnittet proporsjonalt mellom segmentene som hypotenusen er delt i med denne høyden)

- Og bevis nå for deg selv at benet i en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom benet og høyden. Vi finner fra - ... segmentene som hypotenusen er delt i med denne høyden )

Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittet proporsjonalt mellom ... (- ... hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom dette benet og høyden )

– Hvor bruker vi de lærte påstandene? ( Når du løser problemer)

IX. INNSTILLING AV LEKSER

d/z: nr. 571, nr. 572 (a, e), selvstendig arbeid i notatbok, teori.

Tegn på likhet av rette trekanter

La oss først introdusere likhetstegnet til rettvinklede trekanter.

Teorem 1

Tegn på likhet av rette trekanter: to rettvinklede trekanter er like når de har én lik spiss vinkel hver (fig. 1).

Figur 1. Lignende rettvinklede trekanter

Bevis.

La oss få at $\vinkel B=\vinkel B_1$. Siden trekantene er rettvinklede, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Derfor er de like i henhold til det første tegnet på likheten til trekanter.

Teoremet er bevist.

Høydesetning i en rettvinklet trekant

Teorem 2

Høyden på en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen deler trekanten i to like rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte trekanten.

Bevis.

La oss få en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel $C$. Tegn høyden $CD$ (fig. 2).

Figur 2. Illustrasjon av setning 2

La oss bevise at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner trekant $ABC$ og at trekanter $ACD$ og $BCD$ er like.

Siden $\angle ADC=(90)^0$, er trekanten $ACD$ rettvinklet. Trekanter $ACD$ og $ABC$ har felles vinkel $A$, derfor, ved setning 1, er trekanter $ACD$ og $ABC$ like.

Siden $\angle BDC=(90)^0$, er trekanten $BCD$ rettvinklet. Trekanter $BCD$ og $ABC$ har felles vinkel $B$, derfor, ved setning 1, er trekanter $BCD$ og $ABC$ like.

Tenk nå på trekantene $ACD$ og $BCD$

\[\vinkel A=(90)^0-\vinkel ACD\] \[\vinkel BCD=(90)^0-\vinkel ACD=\vinkel A\]

Derfor, ved setning 1, er trekantene $ACD$ og $BCD$ like.

Teoremet er bevist.

Gjennomsnittlig proporsjonal

Teorem 3

Høyden til en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, er gjennomsnittlig proporsjonal for segmentene som høyden deler hypotenusen til denne trekanten i.

Bevis.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $BCD$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom beinet og høyden trukket fra vinkelens toppunkt.

Bevis.

I beviset for teoremet vil vi bruke notasjonen fra figur 2.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $ABC$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Leksjon 40 C.b. en. h. C. f.Kr. H. ac. A. V. Høyden på en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til en rett vinkel, deler trekanten i 2 like rettvinklede trekanter, som hver ligner en gitt trekant. Tegn på likhet av rette trekanter. To rette trekanter er like hvis de har samme spisse vinkel. Segmentet XY kalles middelproporsjonal (geometrisk gjennomsnitt) for segmentene AB og CD hvis egenskap 1. Høyden på en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen er middelproporsjonal mellom projeksjonene av bena på hypotenusen. Egenskap 2. Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og projeksjonen av dette beinet på hypotenusen.

Lysbilde 28 fra presentasjonen "Geometri "lignende trekanter"". Størrelsen på arkivet med presentasjonen er 232 KB.

Geometri klasse 8

oppsummering av andre presentasjoner

"Løsning av problemer på Pythagoras teorem" - Trekant ABC likebenet. Praktisk anvendelse av Pythagoras teorem. ABCD er en firkant. Firkantet område. Finn sol. Bevis. Baser av en likebenet trapes. Tenk på Pythagoras teorem. Arealet av en firkant. Rektangulære trekanter. Pythagoras teorem. Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena.

"Finne området til et parallellogram" - Foundation. Høyde. Bestemme høyden på et parallellogram. Tegn på likhet av rette trekanter. Arealet til et parallellogram. Finn arealet av trekanten. Områdeeiendommer. muntlige øvelser. Finn arealet av parallellogrammet. Parallelogramhøyder. Finn omkretsen av firkanten. Arealet av en trekant. Finn arealet av torget. Finn arealet av rektangelet. Firkantet område.

"Kvadrat 8. klasse" - Svart firkant. Oppgaver for muntlig arbeid rundt torgets omkrets. Firkantet område. Firkantede skilt. Torget er blant oss. Et kvadrat er et rektangel med alle sider like. Torget. Veske med firkantet bunn. muntlige oppgaver. Hvor mange firkanter er vist på bildet. Firkantede eiendommer. Velstående kjøpmann. Oppgaver for muntlig arbeid på torgets areal. Omkretsen av en firkant.

"Definisjon av aksial symmetri" - Punkter som ligger på samme perpendikulær. Tegn to linjer. Konstruksjon. Plot poeng. Clue. Figurer som ikke har aksial symmetri. Linjestykke. Mangler koordinater. Figur. Former som har mer enn to symmetriakser. Symmetri. Symmetri i poesi. Bygg trekanter. Symmetriakser. Bygge et segment. Bygge et poeng. Figurer med to symmetriakser. Folk. Trekanter. Proporsjonalitet.

"Definere lignende trekanter" - Polygoner. proporsjonale kutt. Forholdet mellom arealene til lignende trekanter. To trekanter kalles like. Vilkår. Konstruer en trekant gitt to vinkler og halveringslinjen i toppunktet. Anta at vi må bestemme avstanden til stolpen. Det tredje tegnet på likheten mellom trekanter. La oss bygge en trekant. ABC. Trekanter ABC og ABC har tre like sider. Bestemme høyden på et objekt.

"Løsning av Pythagoras teorem" - Deler av vinduer. Det enkleste beviset. Hammurabi. Diagonal. Fullstendig bevis. Bevis ved subtraksjon. pytagoreere. Bevis ved dekomponeringsmetode. Historien om teoremet. Diameter. Bevis med komplementmetoden. Epsteins bevis. Kantor. Trekanter. følgere. Anvendelser av Pythagoras teorem. Pythagoras teorem. Uttalelse av teoremet. Bevis på Perigal. Anvendelse av teoremet.

Tegn på likhet av rette trekanter

La oss først introdusere likhetstegnet til rettvinklede trekanter.

Teorem 1

Tegn på likhet av rette trekanter: to rettvinklede trekanter er like når de har én lik spiss vinkel hver (fig. 1).

Figur 1. Lignende rettvinklede trekanter

Bevis.

La oss få at $\vinkel B=\vinkel B_1$. Siden trekantene er rettvinklede, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Derfor er de like i henhold til det første tegnet på likheten til trekanter.

Teoremet er bevist.

Høydesetning i en rettvinklet trekant

Teorem 2

Høyden på en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen deler trekanten i to like rettvinklede trekanter, som hver er lik den gitte trekanten.

Bevis.

La oss få en rettvinklet trekant $ABC$ med rett vinkel $C$. Tegn høyden $CD$ (fig. 2).

Figur 2. Illustrasjon av setning 2

La oss bevise at trekanter $ACD$ og $BCD$ ligner trekant $ABC$ og at trekanter $ACD$ og $BCD$ er like.

Siden $\angle ADC=(90)^0$, er trekanten $ACD$ rettvinklet. Trekanter $ACD$ og $ABC$ har felles vinkel $A$, derfor, ved setning 1, er trekanter $ACD$ og $ABC$ like.

Siden $\angle BDC=(90)^0$, er trekanten $BCD$ rettvinklet. Trekanter $BCD$ og $ABC$ har felles vinkel $B$, derfor, ved setning 1, er trekanter $BCD$ og $ABC$ like.

Tenk nå på trekantene $ACD$ og $BCD$

\[\vinkel A=(90)^0-\vinkel ACD\] \[\vinkel BCD=(90)^0-\vinkel ACD=\vinkel A\]

Derfor, ved setning 1, er trekantene $ACD$ og $BCD$ like.

Teoremet er bevist.

Gjennomsnittlig proporsjonal

Teorem 3

Høyden til en rettvinklet trekant, trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, er gjennomsnittlig proporsjonal for segmentene som høyden deler hypotenusen til denne trekanten i.

Bevis.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $BCD$ er like, derfor

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hypotenusen og segmentet av hypotenusen som er innelukket mellom beinet og høyden trukket fra vinkelens toppunkt.

Bevis.

I beviset for teoremet vil vi bruke notasjonen fra figur 2.

Ved teorem 2 har vi at trekantene $ACD$ og $ABC$ er like, derfor

Teoremet er bevist.