Hei, kjære venner! Vi fortsetter å vurdere oppdrag knyttet til studiet av funksjoner. Jeg anbefaler det som er nødvendig for å løse oppgavene for å finne maksimal (minimum) funksjonen til funksjonen og for å finne maksimum (minimum) funksjonspunkter.

Oppgaver med logaritmer for å finne den høyeste (minste) funksjonen til funksjonen. I denne artikkelen vurderer vi tre oppgaver der spørsmålet om å finne poengene til maksimumet (minimum) av funksjoner, med noe i en gitt funksjon er det en naturlig logaritme.

Teoretisk øyeblikk:

Ved definisjon av logaritme må uttrykket som står under tegnet på logaritmen være mer null. * Dette er nødvendig for å ta hensyn til ikke bare i disse oppgavene, men også i å løse ligninger og ulikheter som inneholder logaritme.

Algoritme for å finne poeng maksimum (minimum) funksjoner:

1. Beregn derivatfunksjonen.

2. Sørg for at den skal , løse ligningen.

3. De resulterende røttene notat på en numerisk linje.* Også, vi merker poengene der derivatet ikke eksisterer. Vi oppnår intervaller som funksjonen øker eller reduseres.

4. Bestem tegnene til derivatet ved disse intervaller (erstatte vilkårlig verdier av dem i derivatet).

5. Vi konkluderer med.

Finn poenget med maksimal funksjon Y \u003d LN (X-11) -5x + 2

Skriv straks ned den X-11\u003e 0 (per definisjon av logaritme), det vil si x\u003e 11.

Vi vil vurdere funksjonen på intervallet (11; ∞).

Vi finner ZEROS-derivat:

Poenget x \u003d 11 er ikke inkludert i feltdefinisjonsområdet og eksisterer ikke i det. Vi merker på tallaksen to poeng 11 og 11.2. Vi definerer tegnene til derivatfunksjonen, som erstatter vilkårlig verdier fra intervaller (11; 11.2) og (11,2; + ∞) i derivatet, og oppførselen til funksjonen er vist i figuren:

Således, ved punktet x \u003d 11,2, endrer derivatet av funksjonen tegnet fra en positiv til negativ, noe som betyr at dette er ønsket maksimumspunkt.

Svar: 11,2.

Løs deg selv:

Finn poenget med maksimal funksjon Y \u003d LN (x + 5) -2x + 9.

Finn poenget med minimumsfunksjonen y \u003d 4x-ln (x + 5) +8

Skriv straks ned at x + 5\u003e 0 (i henhold til LOGARITHM-egenskapen), det vil si x\u003e -5.

Vi vil vurdere funksjonen i intervallet (- 5; + ∞).

Finn et derivat av en gitt funksjon:

Vi finner ZEROS-derivat:

Punkt x \u003d -5 Det er ikke inkludert i definisjonen av funksjonen, og det er ikke noe derivat i det. Vi feirer to poeng på tallaksen-5 og -4,75. Bestem tegnene til den avledede funksjonen, som erstatter vilkårlig verdier fra intervaller (-5; -4,75) og (-4,75; + ∞) i derivatet, og vis oppførselen til funksjonen i figuren:

Således, ved punktet x \u003d -4,75, endres derivatet av funksjonen med en negativ på en positiv, noe som betyr at dette er ønsket minimumspunkt.

Svar: - 4.75

Løs deg selv:

Finn poenget med en minimumsfunksjon Y \u003d 2x-ln (x + 3) +7.

Finn poenget med maksimal funksjon Y \u003d x 2 -34x + 140lnx-10

Ifølge logaritmenes egenskap, er uttrykket som står under tegnet sitt større enn , det vil si x\u003e 0.

Funksjonen vil bli vurdert på intervallet (0; + ∞).

Finn et derivat av en gitt funksjon:

Vi finner ZEROS-derivat:

Løse firkantlig ligning, vi får: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.

Punkt x \u003d 0 Det er ikke inkludert i definisjonen av funksjonen, og det er ikke noe derivat i det. Vi merker på tallsaksen tre poeng 0, 7 og 10.

Aksen er brutt i intervaller: (0; 7), (7; 10), (10; + ∞).

Vi definerer tegnene til derivatfunksjonen, som erstatter vilkårlig verdier fra de oppnådde intervaller i derivatet, og viser oppførselen til funksjonen i figuren:

Det er alt. Jeg ønsker deg suksess!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitsky

P.S: Jeg vil være takknemlig hvis du forteller om nettstedet på sosiale nettverk.

Søk etter et maksimumspunkt og en minimumsfunksjon - en ganske vanlig oppgave i matematisk analyse. Noen ganger er det nødvendig med en ekstremum. Mange tror at under ordet "Extremum" innebærer den største eller minste verdien av funksjonen. Dette er ikke helt sant. Verdien kan være det største eller minimumet, men ikke å være en ekstremum.

Maksimal skjer lokal eller global. Det lokale maksimumsstedet er et argument som, når du erstatter i f (x), gir en verdi minst enn på andre punkter fra området i nærheten av dette argumentet. For et globalt maksimum utvider dette området til hele området av tillatte argumenter. For et minimum er motsatt det motsatte. Extremum er en lokal ekstreme - minimum eller maksimal verdi.

Hvis matematikere er som regel interessert i globalt den største verdien av f (x), så i intervallet, ikke på hele aksen av argumenter. Lignende oppgaver vanligvis formulert av setning "Finn en funksjon av en maksimal funksjon på segmentet." Her er det forstått at det er nødvendig å identifisere et argument hvor det ikke er mindre enn på resten av det angitte segmentet. Søket etter lokal ekstremhet er et av trinnene for å løse en slik oppgave.

Danched y \u003d f (x). Det kreves å bestemme toppfunksjonen på det angitte segmentet. F (x) kan nå den på punktet:

• extremum, hvis den faller inn i det angitte segmentet,
• mellomrom
• begrenser det angitte segmentet.

Studere

Peak f (x) på segmentet eller i intervallet er studiet av denne funksjonen. Forskningsplan for å finne maksimalt på et segment (eller intervall):

Nå vil vi analysere i detalj hvert trinn og vurdere noen eksempler.

Område av tillatte argumenter

Området for tillatte argumenter er de X, med en substitusjon som i f (x) det ikke overstiger eksisterer. Prisen på tillatte argumenter kalles også definisjonen. For eksempel er y \u003d x ^ 2 definert på hele aksen av argumenter. Og y \u003d 1 / x er definert for alle argumenter, unntatt x \u003d 0.

Finn skjæringspunktet mellom de tillatte argumentene og det studerte segmentet (intervallet) kreves for å ekskludere fra vederlaget den delen av intervallet, hvor funksjonen ikke er definert. For eksempel er det nødvendig å finne et minimum y \u003d 1 / x på et segment fra -2 til 2. Faktisk er det nødvendig å undersøke to halvintervaller fra -2 til 0 og fra 0 til 2, siden ligningen y \u003d 1/0 har ingen løsning.

Asymptoter

Asymptotta er en slik rett linje som funksjonen strekker seg, men ikke når. Hvis f (x) eksisterer på hele numerisk direkte og uadskillelig på den, er det ikke vertikale asymptoter. Hvis det bryter, er GAP-punktet vertikal Asymptota. For y \u003d 1 / x asymptotta er satt av ligningen x \u003d 0. Dette funksjon strekker seg til null Ifølge argumentene i argumentene, men hun vil ta det til ham, bare rushing i uendelig.

Hvis det er en vertikal Asymptota på det studerte segmentet, nær hvilken funksjonen har en tendens til å uendelig med et pluss, blir ikke Peak F (x) definert her. Og hvis det ble bestemt, ville argumentet som maksimumet oppnås, sammenfalle med krysset i asymptotene og agenes akse.

Derivat og ekstremum

Derivatet er funksjonsendringsgrense Med å streve for null endring av argumentet. Hva betyr det? Ta et lite nettsted fra området av tillatt argumenter og se hvordan f (x) endres her, og så reduserer vi denne delen til uendelig liten størrelse, i så fall f (x) vil endre på samme måte som noen enklere funksjon , som kalles derivatet.

Verdien av derivatet i en viss visning i hvilken vinkel passerer tangent til funksjonen i det valgte punktet. En negativ betydning antyder at funksjonen minker her. På samme måte indikerer et positivt derivat en økning i F (x). Herfra er det to forhold.

1) Derivatet på Extremum Point er enten null eller ubestemt. Denne tilstanden er nødvendig, men ikke nok. Differensiering Y \u003d x ^ 3, vi får ligningderivatet: y \u003d 3 * x ^ 2. Vi erstatter "0" -argumentet i den siste ligningen, og derivatet vender seg til null. Dette er imidlertid ikke en ekstremum for y \u003d x ^ 3. Hun kan ikke ha ekstremer, det reduseres på hele aksen av argumenter.

2) Det er nok at derivatforandringen når derivatet endres når derivatet. Det vil si, til det maksimale f (x) vokser, og etter maksimumet var det redusert - derivatet var positivt, og ble negativt.

Etter at argumentene for det lokale maksimumet ble funnet, bør de erstattes i den opprinnelige ligningen og oppnå maksimalverdien f (x).

Slutten av intervallet og sammenligningen av resultatene

Når du søker etter maksimalt på segmentet, er det nødvendig å sjekke verdien i enden av segmentet. For eksempel, for y \u003d 1 / x på segmentet, vil maksimumet være på punkt x \u003d 1. Selv om det er et lokalt maksimalt i segmentet, er det ingen garanti som verdien på en av endene av segmentet vil ikke være større enn dette maksimumet.

Nå må du sammenligne verdier ved bruddpunkter (Hvis f (x) ikke har en tendens til å uendelig her, i enden av intervallet under studiet og ekstremmen. Den største av disse verdiene vil være den maksimale funksjonen på det angitte området av den rette.

For en oppgave med formuleringen "Finn et minimumspunkt for funksjonen" Du må velge den minste av lokale nedturer og verdier i enden av intervallet og i pausepunktene.

Video

Funksjonen og studien av funksjonene tar en av de viktigste kapitlene i moderne matematikk. Hovedkomponenten i en hvilken som helst funksjon er grafene som representerer ikke bare sine egenskaper, men også parametrene til derivatet av denne funksjonen. La oss finne ut det i dette vanskelige temaet. Så, hvordan bedre se etter et maksimumspunkt og en minimumsfunksjon?

Funksjon: Definisjon

Enhver variabel som på en eller annen måte avhenger av verdiene for en annen verdi, kan refereres til som en funksjon. For eksempel er funksjonen f (x 2) kvadratisk og bestemmer verdiene for hele settet x. Anta at x \u003d 9, så verdien av vår funksjon vil være 9 2 \u003d 81.

Funksjoner er de mest forskjellige typene: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk og andre. Deres studie var engasjert i slike fremragende sinn som Lacra, Lagrange, Leibniz og Bernoulli. Deres arbeid fungerer som et høyborg på moderne måter å studere funksjoner. Før du finner et minimumspunkt, er det svært viktig å forstå betydningen av funksjonen og dets derivat.

Derivat og dens rolle

Alle funksjoner er avhengige av deres variabler, noe som betyr at de kan endre verdien når som helst. På diagrammet vil det bli avbildet som en kurve, som er nedstammet, og stiger deretter langs ordinataksen (disse er alle mange tallene "Y" vertikalt grafikk). Så dette er definisjonen av et maksimumspunkt og en minimumsfunksjon bare knyttet til disse "svingninger". Forklar hva dette forholdet er.

Derivatet av enhver funksjon er avbildet på diagrammet for å studere hovedegenskapene og beregne hvordan funksjonen raskt endres (dvs. endrer verdien avhengig av variabelen "X"). I det øyeblikket, når funksjonen øker, vil grafen av derivatet også øke, men i enhver sekund kan funksjonen begynne å synke, og deretter vil derivatplanen reduseres. De peker der derivatet passerer fra Markus Minus på plusen, kalles poeng på minimum. For å vite hvordan du finner et minimumspunkt, bør du bedre finne ut

Hvordan beregne derivatet?

Definisjonen og funksjonen innebærer flere konsepter fra generelt, den derivatbestemmelsen selv kan uttrykkes som følger: Dette er verdien som viser hastigheten på funksjonen.

Den matematiske metoden for sin definisjon for mange studenter virker vanskelig, men faktisk er alt mye lettere. Det er bare nødvendig å følge standardplanen for å finne et derivat av enhver funksjon. Nedenfor beskrives hvordan du finner punktet i en minimumsfunksjon uten å bruke differensieringsreglene og ikke huske derivatbordet.

1. Det er mulig å beregne den avledede funksjonen ved hjelp av grafen. For å gjøre dette, må du skildre selve funksjonen, og ta et punkt på det (punktet A i fig.) Den er vertikalt ned for å utføre linjen til abscissa-aksen (punkt X 0), og på punktet og tangent til grafikken i funksjonen. Abscissen og den tangent danner en viss vinkel a. For å beregne verdien av hvor raskt funksjonen øker, er det nødvendig å beregne tangenten til denne vinkelen a.
2. Det viser seg at tangenten i vinkelen mellom tangenten og retningen av aksen X er et derivat av funksjonen på et lite område med et punkt A. Denne metoden anses å være en geometrisk metode for å bestemme derivatet.

Funksjonsforskningsmetoder

I skolens læreplan for matematikk er det mulig å finne poenget med en minimumsfunksjon på to måter. Vi har allerede demontert den første metoden ved hjelp av tidsplanen, men hvordan å bestemme den numeriske verdien av derivatet? For dette vil det være nødvendig å lære flere formler som beskriver egenskapene til derivatet og bidrar til å konvertere variablene til typen "X" til tall. Følgende metode er universell, så det kan brukes til nesten alle typer funksjoner (både geometrisk og logaritmisk).

1. Det er nødvendig å likestille funksjonen til derivatfunksjonen, og forenkler deretter uttrykket ved hjelp av differensieringsreglene.
2. I noen tilfeller, når en funksjon er gitt der variabelen "X" står i divider, er det nødvendig å bestemme området for tillatte verdier, unntatt punktet "0" (for en enkel grunn som i alle fall ikke kan deles i null).
3. Deretter skal den opprinnelige form av funksjonen konverteres til en enkel ligning, som tilsvarer alt uttrykket til null. For eksempel, hvis funksjonen så ut som dette: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, i henhold til differensieringsregler, er derivatet F "(x) \u003d 3x 2 +1. Deretter forvandler vi dette uttrykket til ligningen av Følgende skjema: 3x 2 +1 \u003d 0.
4. Etter å ha løst ligningen og funnet poeng "X", bør de avbildes på Abscesseaksens akse og avgjøre om derivatet på disse områdene mellom de noterte punktene er positivt eller negativt. Etter betegnelsen blir den tydelig på hvilket tidspunkt funksjonen begynner å synke, det vil si endrer skiltet fra en minus til motsatt. På denne måten kan du finne både minimumspunkter og maksimalt.

Differensieringsregler

Den mest grunnleggende komponenten i studien av funksjonen og dets derivat er kunnskap om differensieringsreglene. Bare med deres hjelp kan du konvertere bulkuttrykk og store komplekse funksjoner. La oss bli kjent med dem, det er ganske mange av dem, men de er alle veldig enkle takket være de naturlige egenskapene til både kraft- og logaritmiske funksjoner.

1. Derivatet av enhver konstant er null (f (x) \u003d 0). Det vil si at derivatet f (x) \u003d x 5 + x - 160 vil ta denne typen: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Derivatet av de to vilkårene: (F + W) "\u003d F" W + FW ".
3. Derivatet til logaritmisk funksjon: (Log a d) "\u003d D / Ln A * D. Denne formelen gjelder for alle typer logaritmer.
4. Derivatgrad: (x N) "\u003d N * x N-1. For eksempel (9x 2)" \u003d 9 * 2x \u003d 18x.
5. Derivatet av den sinusformede funksjonen: (SIN A) "\u003d cos a. Hvis syndens vinkel A er 0,5, så er derivatet √3 / 2.

Pointest ofrexum

Vi har allerede demontert hvordan du finner et minimumspunkt, men det er et konsept og funksjon. Hvis minimumet betegner disse punktene der funksjonen går fra minustegn på pluss, så er de maksimale punktene de punktene på abscissa-aksen, hvor den avledede funksjonen endres fra plusset til motsatt - minus.

Det er mulig å finne et maksimumssted av den som er beskrevet ovenfor, bare en bør vurdere at de angir områdene som funksjonen begynner å synke, det vil si derivatet vil være mindre enn null.

I matematikk er det vanlig å generalisere begge konseptene, erstatte dem med uttrykket "Point of Extremes". Når oppgaven blir bedt om å identifisere disse punktene, betyr det at det er nødvendig å beregne derivatet til denne funksjonen og finne minimums- og maksimumspunktene.

Stigende, Redusere og Extremma-funksjon

Å finne intervaller i økende, nedadgående og ekstremitet i funksjonen er både en uavhengig oppgave og den viktigste delen av andre oppgaver, særlig, full funksjon av funksjonen. Initial informasjon om økende, nedadgående og ekstremiteter av funksjonen er gitt i teoretisk kapittel om derivatat jeg sterkt anbefale til foreløpig studie (eller repetisjon) - Også på grunn av at følgende materiale er basert på mest essensielt derivatÅ være en harmonisk fortsettelse av denne artikkelen. Selv om, hvis tiden i kanten, er det mulig og rent formell testing av eksempler på dagens leksjon.

Og i dag i luften er ånden til en sjelden enstemmighet vridd, og jeg føler direkte at alle de som er til stede er vanskeligere lær å utforske funksjonen ved hjelp av et derivat. Derfor, rimelig god evig terminologi på skjermene på skjermene dine umiddelbart vises.

Til hva? En av grunnene er den mest praktiske: for å gjøre det klart at du vanligvis kreves i en bestemt oppgave!

Monotonisitet i funksjonen. Extremum og ekstreme funksjoner

Vurder en funksjon. Vi trodde at hun kontinuerlige På hele numerisk rett:

Bare i tilfelle, umiddelbart bli kvitt mulige illusjoner, spesielt for de leserne som nylig kjenner seg selv med intervaller på symbolfunksjonen. Nå USA IKKE INTERESSERTSom grafen er lokalisert i forhold til aksen (over, nedenfor hvor aksen krysser). For tillatelser er mentalt slette aksen og la en tidsplan. Fordi interesse for det.

Funksjon øker Ved intervallet, hvis for to punkter i dette intervallet som er forbundet med forholdet, er ulikheten rettferdig. Det vil si at større verdi av argumentet tilsvarer den større verdien av funksjonen, og tidsplanen er "bottom-up". Demo-funksjonen vokser på intervallet.

Tilsvarende en funksjon avta Ved intervallet, hvis for to punkter i dette intervallet, for eksempel, ganske ulikhet. Det vil si at større verdi av argumentet tilsvarer den mindre verdien av funksjonen, og tidsplanen er "topp ned". Vår funksjon reduseres med intervaller .

Hvis funksjonen øker eller senker på intervallet, kalles det strengt monotont. På dette intervallet. Hva er monotoni? Forstå den bokstavelige forstanden - monotoni.

Du kan også bestemme ulovlig funksjon (myket tilstand i den første definisjonen) og ikke-lunge Funksjon (myket tilstand i 2. definisjon). Unpeachment eller ikke-forsterkende funksjon på intervallet kalles monotont funksjon i dette intervallet. (Strikt monotoni - Privat tilfelle "bare" monotoni).

Teorien vurderer også andre tilnærminger for å bestemme økningen / reduksjonen av funksjonen, inkludert i semi-intervaller, segmenter, men for ikke å helle olje-smørolje på hodet ditt, vil vi være enige om åpne intervaller med kategoriske definisjoner - dette er Klar, og å løse mange praktiske oppgaver ganske nok.

På denne måten, i artiklene mine, for ordlyden "monotonisitet i funksjonen", vil nesten alltid være skjult intervaller Streng monotoni (streng økning eller streng reduksjon i funksjonen).

Nabolaget av punktet. Ord, hvoretter elevene løper ut, som kan, og i horror, skjuler i hjørnene. ... selv om etter posten Cauchy grenser Allerede, sannsynligvis ikke skjul, men bare litt shudder \u003d) Ikke bekymre deg, nå vil det ikke være noen tegn på matematiske analyse teoremer - omgivelsene som trengs for å være nødvendig for å formulere definisjoner pointest ofrexum. Huske:

Nabolaget punkt Intervallet som inneholder dette punktet, kalles, mens intervallet ofte tennes symmetrisk for enkelhets skyld. For eksempel er punktet og dets standard nabolaget:

Faktisk definisjoner:

Punktet kalles punkt av strengt maksimum, hvis en eksisterer Hennes nabolag, for alle Verdiene som med unntak av poenget selv er ulikhet. I vårt spesielle eksempel er dette et poeng.

Punktet kalles punkt i streng minimum, hvis en eksisterer Hennes nabolag, for alle Verdiene som med unntak av poenget selv er ulikhet. I tegningen - punktet "a".

Merk : Kravet til symmetriske omgivelser er ikke i det hele tatt. I tillegg er viktig selve faktumet av eksistensen omgivelser (selv små, minst mikroskopiske) tilfredsstillende de angitte forholdene

Points Call. poeng av streng ekstremhet eller bare pointest ofrexum Funksjoner. Det vil si at dette er generalisert løpetid for maksimale punkter og minimumspunkter.

Hvordan forstå ordet "Extremum"? Ja, akkurat som monotoni. Ekstreme prikker av de amerikanske lysbildene.

Som i tilfelle av monotoni, i teorien er det enda mer vanlige utrolige postulater (Under hvilken, selvfølgelig, de betraktede strenge tilfellene faller!):

Punktet kalles maksimumspunkt, hvis en eksisterer omgivelsene slik at for alle
Punktet kalles punkt på minimum, hvis en eksisterer omgivelsene slik at for alle Verdiene av denne omgivelsene er ulikhet.

Merk at i henhold til de to siste definisjonene, anses ethvert punkt i funksjonskonstanten (eller "glatt avsnittet" av en funksjon) som et maksimumspunkt og minimumspunktet! Funksjonen, forresten, er samtidig inkompakte og unrewining, det vil si monotont. Imidlertid vil vi forlate disse argumentene til teoretikere, fordi vi i praksis alltid alltid vurderer de tradisjonelle "åsene" og "depressioner" (se tegningen) med en unik "fjellkongen" eller "prinsesse av sumpen." Som en rekke, møter møtes kantTildelte enten ned, for eksempel, et minimum av funksjonen på punktet.

Ja, forresten, om de kongelige eiendelene:
- Betydningen kalles maksimum funksjoner;
- Betydningen kalles minimum Funksjoner.

Vanlig navn - ekstremer Funksjoner.

Vær forsiktig i ord!

Pointest ofrexum - Disse er "ICS" -verdier.
Ekstremer - "Igarekoy" -verdier.

! Merk : Noen ganger oppført vilkår kaller "X-Raerek" -punktene, som ligger direkte på grafen til funksjonen.

Hvor mange ekstremer kan være funksjonen?

Ingen, 1, 2, 3, ... etc. til uendelig. For eksempel er sinus uendelig mange minima og høyder.

VIKTIG!Begrepet "maksimal funksjon" ikke identitet Begrepet "maksimal funksjonsverdi". Det er lett å se at meningen bare er mulig i lokalområdet, og venstre over er og "twist kamerater". På samme måte er "minimumsfunksjonen" ikke den samme som "minimumsverdien av funksjonen", og vi ser på tegningen at verdien er minimal bare på et bestemt område. I denne forbindelse kalles også ekstremspunkter poeng av lokal ekstremhet, og ekstremer - lokale ekstremer. Walk-roam ikke langt unna og global brødre. Så, noen parabola har i sin topp global minimum eller global Maksimum. Deretter vil jeg ikke skille typer ekstremer, og forklaringen er uttalt mer generelt utdanning - ekstra adjektiver "Lokal" / "Global" bør ikke finne overraskelse.

La oss oppsummere vår lille utflukt til Theory of Control Shots: Hva finner oppgaven "Intervaller av monotonien og Point of Extremum Funksjonen"?

Ordlyden oppfordrer til å finne:

- Økende / redusere intervaller av funksjonen (mye mindre hyppig, ikke-gjenoppretting, ikke-gjenoppretting);

- Maksimum og / eller minimumspunkt poeng (hvis noen). Vel, fra den umiddelbare bort, er det bedre å finne Minima / Maxima selv ;-)

Hvordan bestemme alt dette? Bruke en avledet funksjon!

Hvordan finne trinnintervaller, synkende
extremum poeng og ekstreme funksjoner?

Mange regler er i hovedsak kjent og forståelige fra leksjon på betydningen av derivatet.

Tangens derivat. Bryter nyheten om at funksjonen øker gjennom hele definisjonsområder.

Med Kotangen og hans derivat Situasjonen er akkurat det motsatte.

Arksinus på intervallet vokser - derivatet her er positivt: .
Funksjonen er bestemt, men ikke differensiable. Imidlertid er det på et kritisk punkt et rettsidig derivat og høyre tangentiell, og på den andre kanten - deres venstre sidede visum.

Jeg tror du ikke vil være mye vanskelig å ta lignende argumenter for Arkskosinus og dets derivat.

Alle listede tilfeller, hvorav mange er bordderivater, Jeg påminner, følger direkte fra derivatdefinisjoner.

Hvorfor undersøke funksjonen ved hjelp av et derivat?

For bedre å vite hva grafen av denne funksjonen ser ut: Hvor han går ned "fra under", hvor "fra topp til bunn", hvor Maxima Minima når (hvis i det hele tatt når). Ikke alle funksjoner er så enkle - i de fleste tilfeller har vi ingen anelse om en graf av en funksjon eller en annen.

Det er på tide å gå til flere meningsfulle eksempler og vurdere algoritme for plasseringen av monotony og extremum intervaller:

Eksempel 1.

Finn intervaller av økt / reduksjon og ekstrem funksjon

Beslutning:

1) I det første trinnet må du finne funksjonsdefinisjonsområde, så vel som å legge merke til GAP Point notatet (hvis de eksisterer). I dette tilfellet er funksjonen kontinuerlig på hele numerisk direkte, og denne handlingen er formelt i en viss grad. Men i noen tilfeller er det alvorlige lidenskaper, derfor behandler vi avsnitt uten å se bort fra.

2) Det andre punktet i algoritmen er på grunn

prerembestitet av Extremum:

Hvis på det punktet er det en ekstremum, så finnes det heller ikke verdiene.

Forvirre slutten? Ekstreme funksjon "modul x" .

Tilstanden er nødvendig, men ikke nokOg motsatt erklæring er ganske langt fra alltid. Så, det følger ikke ennå fra likestilling som funksjonen når maksimalt eller et minimum på punktet. Et klassisk eksempel har allerede tent opp over - dette er en kubikk parabol og dets kritiske punkt.

Men vær så som det kan, dikterer den nødvendige extremma condition behovet for å finne mistenkelige poeng. For å gjøre dette, finn derivatet og løse ligningen:

I begynnelsen av den første artikkelen om grafikkfunksjonen Jeg fortalte hvordan å raskt bygge en parabola på eksemplet : "... ta det første derivatet og likestill den til null: ... så, løsningen av vår ligning: - Det er på dette tidspunktet at toppen av Parabola ligger ...". Nå tror jeg at alle er klare hvorfor toppen av parabolen er på dette tidspunktet \u003d) Generelt ville det være nødvendig å starte med et lignende eksempel her, men det er for enkelt (selv for vannkoker). I tillegg er analogen i slutten av leksjonen om avledet funksjon. Derfor øke graden:

Eksempel 2.

Finn intervaller av monotony og extremum funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning. Komplett løsning og et eksemplarisk rent utvalgsproblem med oppgave på slutten av leksjonen.

Det etterlengtede øyeblikket av møtet med fraksjonelle rasjonelle funksjoner oppsto:

Eksempel 3.

Utforsk funksjonen ved hjelp av det første derivatet

Legg merke til hvordan variativet kan reformeres faktisk den samme oppgaven.

Beslutning:

1) Funksjonen lider uendelige pauser på poeng.

2) Vi oppdager kritiske poeng. Finn det første derivatet og likestill den til null:

Vi løser ligningen. Fraksjonen er , når dens teller er null:

Dermed får vi tre kritiske poeng:

3) Sett på tallet Direkte alle oppdagede poeng og intervallmetode Bestem tegnene til derivatet:

Jeg påminner deg om at du må ta et poeng av intervallet, beregne verdien av derivatet Og bestemme hennes tegn. Det er mer lønnsomt å ikke engang telle, men "fuck" oralt. Ta for eksempel et punkt som tilhører intervallet, og utfører substitusjon: .

To pluss og en "minus" gir en "minus", og derfor er derivatet negativt og på hele intervallet.

Handling, som du forstår, må du bruke for hvert av de seks intervallerene. Forresten, merk at tellermultiplikatoren og denominatoren er strengt positiv for ethvert punkt i et hvilket som helst intervall, noe som betydelig letter oppgaven.

Så, derivatet fortalte oss at funksjonen selv øker på og reduseres på. Den samme typen intervaller er praktiske for å feste foreningsikonet.

På det punktet når funksjonen maksimalt:
På det punktet når funksjonen et minimum:

Tenk hvorfor du ikke kan reinkarnere den andre verdien ;-)

Når du bytter gjennom punktet, endrer derivatet ikke tegnet, slik at funksjonen ikke er ekstrem. Det kommer ned og forblir nedstigende.

! Gjenta et viktig punkt: poeng anses ikke som kritiske - i dem funksjonen uspesifisert. Følgelig her extremums kan ikke være i prinsippet (Selv om derivatet endrer tegnet).

Svar: Funksjonen øker på og reduseres på punktet, oppnås maksimal funksjon: , og på punktet - minimum :.

Kunnskap om monotony og extremum intervaller og sett asymptotami. Det gir en veldig god ide om utseendet på funksjonen til funksjonen. Mid-level-personen er i stand til å bestemme at grafen til funksjonen har to vertikale asymptoter og tilbøyelige asymptoter. Her er vår helt:

Prøv å forholde seg igjen til resultatene av studien med en graf på denne funksjonen.
På det kritiske punktet i ekstremt er det ikke, men det er bøyning grafikk (Som regel skjer det i lignende tilfeller).

Eksempel 4.

Finn ekstreme funksjoner

Eksempel 5.

Finn intervaller av monotony, Maxima og minimum funksjon

... direkte litt ferie "Iksa i Cuba" i dag det viser seg ....
Taaapa, hvem er der på Galling tilbys å drikke for det? \u003d)

I hver oppgave er det egne substansielle nyanser og tekniske finesser som kommenteres på slutten av leksjonen.

verdi

Mest

verdi

De færreste

Maksimumspunkt

Punkt på minimum

Oppgavene med å finne ekstremumfunksjoner løses i henhold til standardordningen i tre trinn.

Trinn 1. Finn en derivatfunksjon

• Å huske derivatet av elementære funksjoner og de grunnleggende regler for differensiering for å finne derivatet.

y '(x) \u003d (x3-243x + 19)' \u003d 3x2-243.

Steg 2.. Finn Zeros-derivatet

• Bestem den resulterende ligningen for å finne nullerederivatet.

3x2-243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d -9, x2 \u003d 9.

Trinn 3.. Finn Extremums poeng

• Bruk intervallmetoden for å bestemme tegnene til derivatet;
• På minimumspunktet er derivatet null og endrer skiltet fra minus på plusen, og maksimal valuta er fra pluss på minus.

Påfør denne tilnærmingen for å løse følgende oppgave:

Finn poenget med maksimal funksjon Y \u003d X3-243X + 19.

1) Finn et derivat: Y '(x) \u003d (x3-243x + 19)' \u003d 3x2-243;

2) Løs ligning Y '(x) \u003d 0: 3x2-243 \u003d 0⇔x2 \u003d 81⇔x1 \u003d -9, x2 \u003d 9;

3) Derivatet er positivt på X\u003e 9 og X<−9 и отрицательная при −9

Hvordan å se etter den største og minste funksjonen

Å løse oppgaven med å søke etter de største og minste verdiene i funksjonen nødvendig:

• Finn poengene i ekstremitetsfunksjoner på segmentet (intervallet).
• Finn verdier i endene av segmentet og velg den mest eller minste verdien fra verdiene på Extremum Points og på enden av segmentet.

I mange oppgaver hjelper theorem.:

Hvis det bare er ett punkt av ekstremhet på segmentet, og dette er et minimumspunkt, oppnår det den minste funksjonsverdien. Hvis dette er et maksimumspunkt, oppnår det den største verdien.

14. Konseptet og hovedegenskapene til en ubestemt integrert.

Hvis funksjonen f.(x. X., JEG. k. - Nummer da

Kort oppsummert: permanent kan gjøres for det integrerte tegnet.

Hvis funksjoner f.(x.) JEG. g.(x.) er perfekte på intervallet X. T.

Kort oppsummert: integralet av beløpet er lik summen av integralene.

Hvis funksjonen f.(x.) har en primær på intervallet X. , for de interne punktene i dette gapet:

Kort oppsummert: derivatet av integralet er lik Integrand-funksjonen.

Hvis funksjonen f.(x.) Kontinuerlig på intervallet X. og skille i de indre punktene i dette gapet, da:

Kort oppsummert: Integralet av differensialfunksjonen er lik denne funksjonen pluss integrering permanent.

La oss gi streng matematisk definisjon konseptene av et udefinert integrert.

Uttrykket av arten kalles integrert fra funksjonen f (x) hvor f (x) - Integrand-funksjonen som er spesifisert (kjent), dX. - Differensial x. , med symbolet er alltid tilstede dX. .

Definisjon. Usikkert integrert kalt funksjon F (x) + c inneholdende vilkårlig konstant C. hvis differensial er lik hemmende uttrykk f (x) dx . eller Funksjonen kalles pred-lignende funksjon . Den primitive funksjonen bestemmes med en nøyaktighet av en konstant verdi.

Husk det - differensial funksjon og er definert som følger:

Oppgaveplassering usikkert integrert ligger i å finne en slik funksjon derivat Som erstattes av konkret uttrykk. Denne funksjonen er fast bestemt på konstant, fordi Det konstante derivatet er null.

For eksempel er det kjent at det viser seg det Her er en vilkårlig konstant.

Oppgavefunn usikkert integrert Funksjonene er ikke så enkle og enkle, som det ser ut ved første øyekast. I mange tilfeller må det være ferdighetsarbeid med usikre integraler, Det må være en opplevelse som kommer med praksis og med konstant ved å løse eksempler på usikre integraler. Verdt å vurdere det faktum at usikre integralerfra noen funksjoner (det er mange av dem) er ikke tatt i elementære funksjoner.

15.Tlitet av de viktigste usikre integralene.

Grunnleggende formler

16. En bestemt integrert som en integrert mengde grense. Geometrisk og fysisk vasket av integralet.

La funksjonen y \u003d ƒ (x) definert på segmentet [a; b], og< b. Выполним следующие действия.

1. Bruk poeng x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d i (x 0

2. I hvert delvis segment, I \u003d 1,2, ..., N, velg et vilkårlig punkt med I є og beregne verdien av funksjonen i den, dvs. verdien av ƒ (c i).

3. Multipliser den funnet verdien av funksjonen ƒ (c i) for lengden Δx i \u003d x i -x i-1 i det tilsvarende partielle segmentet: ƒ (c i) Δх i.

4. For å gjøre opp summen S n av alle slike arbeider:

Mengden av skjemaet (35.1) kalles den integrerte summen av funksjonen Y \u003d ƒ (x) på segmentet [A; b]. Betegne med λ lengden på det største delvise segmentet: λ \u003d maks Δx i (i \u003d 1,2, ..., n).

5. Vi finner grensen for det integrerte beløpet (35.1), når N → ∞ slik at λ → 0.

Hvis den integrerte summen har begrenset I, som ikke er avhengig av metoden for å splitte segmentet [A; b] på delvise segmenter, heller ikke fra å velge poeng i dem, så nummeret jeg kalles en viss integral fra funksjonen Y \u003d ƒ (x) på segmentet [A; b] og er angitt på denne måten

Tall A og B kalles henholdsvis de nedre og øvre grensene for integrasjon, ƒ (x) - Integrand-funksjonen, ƒ (x) DX - Det integrerte uttrykket, X - Variabel integrasjon, segment [A; b] - område (segment) av integrasjon.

FUNKSJON Y \u003d ƒ (x), som på segmentet [A; b] Det er en bestemt integrert kalt integrert på dette segmentet.

Vi formulerer nå teoremet av eksistensen av en bestemt integral.

Theorem 35.1 (Cauchy). Hvis funksjonen Y \u003d ƒ (x) er kontinuerlig på segmentet [A; b] deretter et bestemt integrert

Legg merke til at kontinuiteten i funksjonen er en tilstrekkelig betingelse for integriteten. Imidlertid kan en viss integral også eksistere for noen diskontinuerlige funksjoner, spesielt for enhver funksjon begrenset på segmentet, som har et begrenset antall bruddpunkter på den.

Vi angir enkelte egenskaper av en bestemt integral direkte som følge av sin definisjon (35,2).

1. En viss integrert er ikke avhengig av betegnelsen av integrasjonsvariabelen:

Dette følger av det faktum at det integrerte mengden (35.1), og dermed er grensen (35,2) ikke avhengig av hvilket brev som er angitt av argumentet for denne funksjonen.

2. En spesifikk integral med de samme integrasjonsgrensene er null:

3. For ethvert faktisk nummer med.

17. Formula Newton Labitsa. De viktigste egenskapene til en bestemt integral.

La funksjonen y \u003d f (x) Kontinuerlig på kutt og F (x) - En av de primitive funksjonene på dette segmentet, så er gyldig formula Newton Labitsa.: .

Formula Newton Labnica kalles den viktigste formelen av integrert kalkulator.

For å bevise Newton-Labits-formelen, trenger vi konseptet med en integrert med en variabel øvre grense.

Hvis funksjonen y \u003d f (x) Kontinuerlig på kutt , For argumentet er integralet av arten funksjonen til den øvre grensen. Betegne denne funksjonen , og denne funksjonen er kontinuerlig og rettferdig likestilling .

Faktisk skriver vi økningen av en funksjon som svarer til økningen av argumentet og bruker den femte egenskapen til en bestemt integral og en konsekvens av de tiende egenskapene:

hvor.

Omskrive det likestillingen i skjemaet . Hvis du husker definisjonen av derivatfunksjonen og går til grensen når vi får. Det vil si, dette er en av de primitive egenskapene. y \u003d f (x) På kuttet . Dermed settet av alle primitive F (x) Du kan skrive som hvor FRA - Vilkårlig konstant.

Regne ut F (a)Bruke den første egenskapen til en bestemt integral: , dermed. Vi bruker dette resultatet når vi beregner F (b): , dvs . Denne likestillingen gir et program-labnic .

Økningen av funksjonen er laget for å utpeke som . Ved hjelp av denne betegnelsen vil formelen Newton Labnice ta skjemaet .

For applikasjonen av Newtons formel, er det nok for oss å kjenne en av de primordiske y \u003d f (x) Hemmende funksjon y \u003d f (x) På kuttet og beregne økningen av dette primitive på dette segmentet. I artikkelen er integreringsmetoder demontert de viktigste måtene å finne primitivt på. Vi gir flere eksempler på å beregne visse integraler ved hjelp av Newton-Leibnia-formelen for avklaring.

Eksempel.

Beregn verdien av en bestemt integral av Newton-Labender-formelen.

Beslutning.

Til å begynne med, merker vi at den integrerte funksjonen er kontinuerlig på segmentet derfor integrere på den. (På de integrerbare funksjonene snakket vi i funksjonen Funksjoner som det er et bestemt integrert).

Fra bordet med ubestemt integraler kan det ses at for funksjonen mye primitiv for alle gyldige verdier av argumentet (følgelig, for) er skrevet som . Ta den primitive når C \u003d 0.: .

Nå gjenstår det å dra nytte av Newton-Labender-formelen for å beregne en bestemt integral: .

18. Geometriske applikasjoner av en bestemt integral.

Geometriske applikasjoner av en bestemt integral

Rektangulær S.K.	Funksjon satt parametrisk	Polar SK.
Beregning av flate funksjoner
Beregning av lengden på buen flatskurven
Beregning av rotasjonsområdet

Beregning av kroppsvolum

Beregning av kroppsvolum i henhold til de kjente områdene i parallelle seksjoner:

Rotasjonsomfanget:; .

Eksempel 1.. Finn et område på figuren Limited Curve Y \u003d Sinx, Rett

Beslutning: Finn området av figuren:

Eksempel 2.. Beregn området av formen, begrensede linjer

Beslutning: Vi finner abscissions av skjæringspunktene i disse funksjonene. For å gjøre dette, løse systemet av ligninger

Herfra for å finne x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5.

19. Begrepet differensielle avdelinger. Differensialligninger i den første bestillingen.

Differensial ligning - Ligning Koble verdien av derivatfunksjonen med selve funksjonen, verdiene til en uavhengig variabel, tall (parametere). Prosedyren for derivatene som inngår i derivatligningen, kan være forskjellig (formelt er det ikke begrenset). Derivater, funksjoner, uavhengige variabler og parametere kan inngå i ligningen i ulike kombinasjoner eller alt, bortsett fra minst ett derivat, er fraværende i det hele tatt. Ikke noen ligning som inneholder avledte funksjoner er en differensialligning. For eksempel, Ikke en differensial ligning.

Differensielle ligninger i private derivater (DRRT) er ligninger som inneholder ukjente funksjoner fra flere variabler og deres private derivater. Det generelle utseendet på slike ligninger kan være representert som:

hvor - uavhengige variabler og funksjonen til disse variablene. Ordren av ligninger i private derivater kan bestemmes på samme måte som for vanlige differensialligninger. En annen viktig klassifisering av delvise derivatlige ligninger er deres separasjon på ligninger av elliptisk, parabolisk og hyperbolisk type, spesielt for andreordens ligninger.

Både ordinære differensialligninger og ligninger i private derivater kan deles inn i lineær og ikke-lineær. Differensialligningen er lineær, hvis en ukjent funksjon og dets derivater er inkludert i ligningen bare i første grad (og ikke endres til hverandre). For slike løsninger danner et affint underrom i funksjonen til funksjoner et affint underrom. Teorien om lineær du er utviklet betydelig dypere enn teorien om ikke-lineære ligninger. Generell utsikt over en lineær differensialligning n.-O rekkefølge:

hvor p I.(x.) - kjente funksjoner av en uavhengig variabel, kalt koeffisientene til ligningen. Funksjon r.(x.) i den rette delen kalles gratis medlem (Det eneste begrepet som ikke er avhengig av en ukjent funksjon) En viktig privat klasse av lineære ligninger er lineære differensialligninger med permanente koeffisienter.

Underklasse av lineære ligninger er homogen Differensielle ligninger - ligninger som ikke inneholder et gratis medlem: r.(x.) \u003d 0. For homogene differensialligninger utføres prinsippet om superposisjon: En lineær kombinasjon av private løsninger av en slik ligning vil også være dens løsning. Alle andre lineære differensialligninger kalles heterogen Differensiallikninger.

Ikke-lineære differensialligninger i det generelle tilfellet har ingen utviklede løsningsmetoder, bortsett fra noen private klasser. I noen tilfeller (med bruk av visse tilnærminger), kan de reduseres til lineære. For eksempel, en lineær ligning av en harmonisk oscillator kan betraktes som en tilnærming av en ikke-lineær ligning av en matematisk pendel For tilfelle av små amplituder når y. ≈ SIN. y..

· - Ensartet andreordens differensialligning med konstante koeffisienter. Løsningen er en familie av funksjoner, hvor begge - vilkårlig konstanter, som for en bestemt løsning bestemmes fra de opprinnelige betingelser som er spesifisert separat. Denne ligningen beskriver spesielt bevegelsen av en harmonisk oscillator med en syklisk frekvens på 3.

· Newtons andre lov kan skrives i form av en differensialligning Hvor m. - kroppsmasse, x. - Koordinatet, F.(x., t.) - Force som virker på kroppen med koordinaten x. På tidspunktet for tiden t.. Dens løsning er banebrytende banebevegelse under virkningen av den angitte kraften.

· Differensialbeskinnsligning - en vanlig lineær homogen ligning av andre ordre med variable koeffisienter: Dens løsninger er baderomsfunksjoner.

· Et eksempel på en inhomogen, ikke-lineær vanlig differensialligning av 1. ordre:

I den følgende gruppen av eksempler ukjent funksjon u. Avhenger av to variabler x. og t. eller x. og y..

· Ensartet lineær differensialligning i førsteordens private derivater:

· En-dimensjonal bølge-ligning - en homogen lineær ligning i private derivater av en hyperbolisk type andre rekkefølge med konstante koeffisienter, beskriver svingningen av strengen hvis - avviket på strengen på punktet med koordinatet x. På tidspunktet for tiden t.og parameter eN. Angir egenskapene til strengen:

· Laplace-ligning i todimensjonal plass er en homogen lineær differensialligning i andre rekkefølge av den andre rekkefølgen av elliptisk type med konstante koeffisienter som oppstår i mange fysiske mekanikkproblemer, termisk ledningsevne, elektrostatikk, hydraulikk:

· Chereveg - de Frise-ligning, ikke-lineær differensialligning i tredje ordens private derivater, som beskriver stasjonære ikke-lineære bølger, inkludert solitoner:

20. Differensielle likninger som deler gjeldende. Linjære ligninger og Bernoulli-metoden.

Den lineære differensialligningen i den første ordningen kalles ligning, lineær i forhold til en ukjent funksjon og dets derivat. Den har utsikt