Direkte AB er parallell med projeksjonens akse OX, det nødvendige planet vil projisere horisontalt - i frontplanet vil sporet til planet P være vinkelrett på aksen OX.

Derfor er det bare nødvendig å konstruere et horisontalt spor av planet P, som går gjennom den vertikale projeksjonen av punktet C og vinkelrett på den vertikale projeksjonen av linjen AB.

Den horisontale kurven til planet P er en perpendikulær fra skjæringspunktet mellom den vertikale kurven til planet P med projeksjonsaksen.

original artikkel

Litteratur

Kh. A. Arustamov "Samling av problemer i beskrivende geometri", M., 1971

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "Konstruere et plan vinkelrett på en rett linje" er i andre ordbøker:

Gitt. Linje AB og punkt C. Påkrevd. Tegn et plan P gjennom punkt C vinkelrett på linjen AB. Løsning. Siden både de horisontale og vertikale projeksjonene av linjen AB er vinkelrett på projeksjonsaksen OX, vil ethvert plan med spor ... ... Wikipedia

Perpendikularitet er en binær relasjon mellom ulike objekter (vektorer, linjer, underrom, etc.) i det euklidiske rom. Et spesielt tilfelle av ortogonalitet. Innhold 1 Vinkelretthet av linjer i planet ... Wikipedia

Innhold: 1) Grunnleggende begreper. 2) Newtons teori. 3) Huygens' eter. 4) Huygens prinsipp. 5) Prinsippet om interferens. 6) Huygens Fresnel-prinsippet. 7) Prinsippet om tverrvibrasjoner. 8) Fullføring av den eteriske teorien om lys. 9) Grunnlaget for eter-teorien. ... ...

Innhold: 1) Grunnleggende begreper. 2) Newtons teori. 3) Huygens' eter. 4) Huygens prinsipp. 5) Prinsippet om interferens. 6) Huygens Fresnel-prinsippet. 7) Prinsippet om tverrvibrasjoner. 8) Fullføring av den eteriske teorien om lys. 9) Grunnlaget for eter-teorien. ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Efron

GOST 22268-76: Geodesi. Begreper og definisjoner- Terminologi GOST 22268 76: Geodesi. Begreper og definisjoner originaldokument: 114. Disposisjon Ndp. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Disposisjon Feltskisse F. Croquis Skjematisk tegning av et områdeområde Definisjoner av begrepet fra ulike dokumenter ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon

En gren av geometri der romlige figurer studeres ved å konstruere bildene deres på et plan, spesielt konstruere projeksjonsbilder, samt metoder for å løse og studere romlige problemer på et plan. ... ... Stor sovjetisk leksikon

MIKROSKOP- (fra det greske mikros small og skopeo I look), et optisk instrument for å studere små gjenstander som ikke er direkte synlige for det blotte øye. Det er enkle M., eller et forstørrelsesglass, og komplekse M., eller et mikroskop i egentlig forstand. Forstørrelsesglass… … Big Medical Encyclopedia

En gjennomsiktig krystall av et mineral kalt islandsk spar (kalkspat, kalsitt), når den plasseres på en tegning eller tegning, viser linjene deres gaffel. Dekker en side av en slik krystall med en ugjennomsiktig plate der ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Efron

Innhold: 1) Historisk oversikt over utviklingen av klokkemekanismer: a) solklokker, b) vannklokker, c) sandklokker, d) hjulklokker 2) Generell informasjon. 3) Beskrivelse av astronomiske deler 4.) Pendel, dens kompensasjon. 5) Utforminger av bakker kap. 6) Kronometre ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Efron

Innhold. 1) Historisk oversikt over utviklingen av klokkemekanismer: a) solklokker, b) vannklokker, c) sandklokker, d) hjulklokker 2) Generell informasjon. 3) Beskrivelse av astronomiske deler 4.) Pendel, dens kompensasjon. 5) Utforminger av bakker kap. 6) Kronometre ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Efron

Konstruksjonen av innbyrdes perpendikulære linjer og plan er en viktig grafisk operasjon for å løse metriske problemer.

Konstruksjonen av en vinkelrett på en linje eller et plan er basert på egenskapen til en rett vinkel, som er formulert som følger: hvis en av sidene i en rett vinkel er parallell med projeksjonsplanet, og den andre ikke er vinkelrett på det , så projiseres vinkelen i full størrelse på dette planet.

Figur 28

Siden BC av den rette vinkelen ABC, vist i figur 28, er parallell med planet P 1. Derfor vil projeksjonen av vinkelen ABC på dette planet representere en rett vinkel A 1 B 1 C 1 =90.

En linje er vinkelrett på et plan hvis den er vinkelrett på to kryssende linjer som ligger i det planet. Når du konstruerer en perpendikulær fra et sett med linjer som tilhører planet, velges nivålinjene - den horisontale og den frontale. I dette tilfellet utføres den horisontale projeksjonen av perpendikulæren vinkelrett på horisontalen, og frontalprojeksjonen er vinkelrett på fronten. Eksempelet vist i figur 29 viser konstruksjonen av en vinkelrett på planet gitt av trekanten ABC fra punkt K. For å gjøre dette, tegn først en horisontal linje og en frontal i planet. Deretter, fra frontprojeksjonen av punktet K, tegner vi en vinkelrett på frontprojeksjonen av fronten, og fra den horisontale projeksjonen av punktet, en vinkelrett på horisontalprojeksjonen. Deretter bygger vi skjæringspunktet for denne perpendikulæren med planet ved hjelp av hjelpesekantplanet Σ. Det ønskede punktet er F. Dermed er det resulterende segmentet KF vinkelrett på planet ABC.

Figur 29

Figur 29 viser konstruksjonen av vinkelrett KF til planet ABC.

To plan er vinkelrett hvis en linje i ett plan er vinkelrett på to kryssende linjer i et annet plan. Konstruksjonen av et plan vinkelrett på dette planet ABC er vist i figur 30. En linje MN er trukket gjennom punktet M, vinkelrett på planet ABC. Den horisontale projeksjonen av denne linjen er vinkelrett på AC, siden AC er horisontal, og frontprojeksjonen er vinkelrett på AB, siden AB er en frontal. Deretter trekkes en vilkårlig linje EF gjennom punktet M. Dermed er planet vinkelrett på ABC og er gitt av to kryssende linjer EF og MN.

Figur 30

Denne metoden brukes til å bestemme de naturlige verdiene til segmenter i generell posisjon, så vel som deres helningsvinkler til projeksjonsplanene. For å bestemme den faktiske størrelsen på segmentet på denne måten, er det nødvendig å fullføre den rette trekanten til en av projeksjonene til segmentet. Det andre benet vil være forskjellen i høyder eller dybder til endepunktene til segmentet, og hypotenusen vil være en naturlig verdi.

Tenk på et eksempel: Figur 31 viser et segment AB i generell posisjon. Det er nødvendig å bestemme dens naturlige størrelse og helningsvinklene til frontale og horisontale projeksjonsplaner.

Vi tegner en vinkelrett på en av endene av segmentet på et horisontalt plan. Sett til side høydeforskjellen (ZA-ZB) til endene av segmentet på den og fullfør den høyre trekanten. Hypotenusen er den naturlige verdien av segmentet, og vinkelen mellom den naturlige verdien og projeksjonen av segmentet er den naturlige verdien av helningsvinkelen til segmentet til planet P 1. Rekkefølgen på konstruksjoner på frontplanet er den samme. På perpendikulæren setter vi til side forskjellen i dybdene til endene av segmentet (YA-YB). Den resulterende vinkelen mellom segmentets naturlige størrelse og frontprojeksjonen er helningsvinkelen til segmentet til planet P 2.

Figur 31

1. Formuler et teorem om rettvinkleegenskapen.

2. I hvilket tilfelle er linjen vinkelrett på planet?

3. Hvor mange rette linjer og hvor mange plan vinkelrett på et gitt plan kan trekkes gjennom et punkt i rommet?

4. Hva brukes den rettvinklede trekantmetoden til?

5. Hvordan bruke denne metoden for å bestemme helningsvinkelen til et segment i generell posisjon til det horisontale projeksjonsplanet?

Konstruksjonen av planet p, vinkelrett på planet a, kan gjøres på to måter: I) planet p er tegnet gjennom en rett linje vinkelrett på planet a; 2) planet p er tegnet vinkelrett på en rett linje som ligger i planet a eller parallelt med dette planet. For å få en unik løsning kreves det ytterligere betingelser. Figur 148 viser konstruksjonen av et plan vinkelrett på planet definert av trekanten CDE. En tilleggsbetingelse her er at ønsket plan må passere gjennom den rette linjen AB. Derfor er det ønskede planet bestemt av den rette linjen AB og vinkelrett på trekantens plan. For å tegne dette vinkelrett på CDE-planet, er frontene CN og den horisontale CM tatt i det: hvis B "F" ± C "N" og B "D 1 CM \\ så BFX av CDF-planet. Planet dannet av de skjærende linjene AB og BF er vinkelrett på CDE-planet, hvordan går det gjennom vinkelrett på dette planet. Kan vinkelrettigheten til sporene til planene med samme navn tjene som et tegn på vinkelrettheten til selve planene? åpenbare tilfeller når dette er tilfelle omfatter også den innbyrdes perpendikulariteten til to horisontalt udragende plan, hvor de horisontale sporene er innbyrdes perpendikulære Dette skjer også med innbyrdes perpendikularitet av frontalsporene til de frontalt utstikkende plan, disse planene er innbyrdes perpendikulære. Betrakt (Figur 149) et horisontalt projisert plan p, vinkelrett på planet i generell posisjon a. Hvis planet p er vinkelrett på planet i, og på planet a, så p 1 med hensyn til skjæringslinjer for planet a og planet i. Derfor h "0a 1p og følgelig h" 0u 1 p" som til en av linjene i planet s. Så vinkelrettheten til de horisontale sporene til planet i generell posisjon og det horisontalt projiserte planet tilsvarer den gjensidige vinkelrettheten til disse planene. Åpenbart tilsvarer vinkelrettheten til frontsporene til det frontalt fremspringende plan og planet i generell posisjon også den innbyrdes vinkelrettheten til disse plan. Men hvis sporene med samme navn av to gyoscoes i generell posisjon er gjensidig vinkelrett, så er ikke selve planene vinkelrette på hverandre, siden ingen av betingelsene som er angitt i begynnelsen av denne delen er oppfylt her. Spørsmål til egenundersøkelse 1. Hvordan er planet definert på tegningen? 2. Hva er sporet av et plan på projeksjonsplanet? 3. Hvor er frontprojeksjonen av horisontalsporet og horisontalprojeksjonen av frontalsporet til planet plassert? L. Hvordan bestemmes det på tegningen om en rett linje tilhører et gitt plan? 5. Hvordan bygge et punkt på en tegning som tilhører et gitt plan? 6. Hvordan ligger nt i systemet, jeg? og 713 et fly i generell posisjon? 7. Hva er front-, horisontal- og profil-projiserte plan? 8. Hvordan tegnes et frostfremspringende plan gjennom en rett linje i generell posisjon avbildet på tegningen? 9. Hva er den relative posisjonen til to plan? 10. Hva er tegnet på parallellisme til to plan? 11. Hvordan er sporene med samme navn gjensidig ordnet i to parallelle plan? 12. Hvordan etablere den relative posisjonen til en rett linje og et plan? 13. Hva er den generelle måten å tegne en skjæringslinje mellom to plan? 14. Hva er den generelle måten å konstruere skjæringspunktet for en rett linje med et plan? 15. Hvordan bestemme "sikten" i skjæringspunktet mellom en rett linje med et plan? 16. Hva bestemmer den gjensidige parallelliteten til to plan? 17. Hvordan tegne et plan parallelt med et gitt plan gjennom et punkt? 18. Hvordan er projeksjonen av vinkelrett på planet? 19. Hvordan konstruere innbyrdes vinkelrette plan?

Av alle mulige posisjoner til en linje som skjærer et plan, merker vi tilfellet når linjen er vinkelrett på planet, og vurderer egenskapene til projeksjonene til en slik linje.

På fig. 185 er gitt et plan definert av to kryssende linjer AN og AM, hvor AN er horisontal og AM er frontal til dette planet. Linjen AB vist i samme figur er vinkelrett på AN og AM, og derfor vinkelrett på planet de definerer.

En vinkelrett på et plan er vinkelrett på en hvilken som helst linje tegnet i det planet. Men for at projeksjonen av vinkelrett på planet med generell posisjon skal være vinkelrett på projeksjon med samme navn på en linje i dette planet, må linjen være en horisontal, eller en frontal, eller en profillinje av planet . Derfor, som ønsker å bygge en vinkelrett på planet, i det generelle tilfellet, blir to slike linjer tatt (for eksempel en horisontal og en frontal, som vist i fig. 185).

Så, i vinkelrett på planet er dens horisontale projeksjon vinkelrett på horisontalprojeksjonen av horisontalen, frontalprojeksjonen er vinkelrett på frontalprojeksjonen av fronten, profilprojeksjonen er vinkelrett på profilprojeksjonen til profillinjen til dette planet.

Selvfølgelig, i tilfellet når flyet uttrykkes med spor (fig. 186), får vi følgende konklusjon: hvis en linje er vinkelrett på et plan, så er den horisontale projeksjonen av denne linjen vinkelrett på det horisontale sporet av planet, og frontprojeksjonen er vinkelrett på det frontale sporet av planet.

Så hvis i systemet π ​​1, π 2 er den horisontale projeksjonen av den rette linjen vinkelrett på den horisontale kurven og den frontale projeksjonen av den rette linjen er vinkelrett på den frontale kurven til planet, så når det gjelder plan i generell posisjon (fig. 186), samt horisontalt og frontalt utstående, er den rette linjen vinkelrett på planet. Men for et profilprojisert plan kan det vise seg at linjen til dette planet ikke er vinkelrett, selv om

projeksjonene av den rette linjen er henholdsvis vinkelrett på de horisontale og frontale sporene til planet. Derfor, i tilfelle av et profilprojisert plan, er det også nødvendig å vurdere den gjensidige posisjonen til profilprojeksjonen av den rette linjen og profilsporet til det gitte planet, og først etter det å fastslå om den gitte linjen og planet vil være vinkelrett på hverandre,

Åpenbart (fig. 187) går den horisontale projeksjonen av perpendikulæren til planet sammen med den horisontale projeksjonen av skråningslinjen tegnet i planet gjennom bunnen av perpendikulæren.

På fig. 186 fra punkt A tegnes en vinkelrett på kvadratet. α (А""⊥ f" 0α , А""⊥h" 0α) og konstruksjonen av punktet E er vist, der den vinkelrette AC skjærer kvadratet. en. Konstruksjonen er laget ved hjelp av en horisontalt utstikkende firkant. β gjennom vinkelrett AE.

På fig. 188 viser konstruksjonen av en vinkelrett på planet definert av trekanten ABC. Perpendikulæren trekkes gjennom punkt A.

Siden frontprojeksjonen av perpendikulæren til planet må være vinkelrett på frontalprojeksjonen av fronten av planet, og dens horisontale projeksjon er vinkelrett på horisontalprojeksjonen av horisontalen, så i planet gjennom punkt A frontalen med projeksjoner A "D" og A "D" og den horisontale A "E" er tegnet ", A" E", Selvfølgelig trenger disse linjene ikke å trekkes nøyaktig gjennom punkt A.

Ytterligere projeksjoner av perpendikulæren ble laget: M"N"⊥A"D", M"N"⊥A"E". Hvorfor er anslagene i fig. 188 i seksjonene A"N" og A"M" er vist med stiplede linjer? For her vurderes planet gitt av trekanten ABC, og ikke bare denne trekanten: perpendikulæren er delvis foran planet, delvis bak.

På fig. 189 og 190 viser konstruksjonen av et plan som går gjennom punkt A vinkelrett på linjen BC. På fig. 189 flyet uttrykkes med spor. Konstruksjonen begynte med å tegne horisontalen til det ønskede planet gjennom punkt A: siden det horisontale sporet til planet må være vinkelrett på B "C", så må horisontalprojeksjonen av horisontalen være vinkelrett på B "C". Derfor, A "N" ⊥ B "C". Projeksjon A"N"||av x-aksen, slik den skal være for horisontal. Deretter trekkes sporet f "0α ⊥B"C" gjennom punktet N "(N" - frontprojeksjonen av frontsporet til horisontal AN), punktet X α oppnås og sporet h" 0α ||A "N" (h" 0α ⊥B " MED").

På fig. 190 er planet definert av dets frontale AM ​​og horisontale AN. Disse linjene er vinkelrett på BC (A"M"⊥B"C", A"N"⊥B"C"); planet de definerer er vinkelrett på BC.

Siden vinkelrett på planet er vinkelrett på hver linje tegnet i dette planet, kan du, etter å ha lært å tegne et plan vinkelrett på linjen, bruke dette til å tegne en vinkelrett fra et punkt A til linjen i generell posisjon BC. Selvfølgelig kan vi skissere følgende plan for å konstruere projeksjoner av ønsket linje:

1) tegne et plan gjennom punkt A (la oss kalle det γ) vinkelrett på BC;

2) bestem punktet K for skjæringspunktet mellom den rette linjen BC med pl. y;

3) koble punktene A og K med et rett linjestykke.

Rette linjer AK og BC er innbyrdes vinkelrette.

Et eksempel på konstruksjon er gitt i fig. 191. Et plan (γ) trekkes gjennom punkt A, vinkelrett på BC. Dette gjøres ved å bruke en frontal, hvis frontale projeksjon A"F" er tegnet vinkelrett på frontalprojeksjonen B"C", og en horisontal, hvis horisontale projeksjon er vinkelrett på B"C".

Da finner man punktet K, der linjen BC skjærer kvadratet. γ. For å gjøre dette trekkes et horisontalt utstikkende plan β gjennom linjen BC (på tegningen er det gitt kun av et horisontalt spor (β "). Pl. β skjærer pl. γ langs en rett linje med anslag 1" 2 "og 1" 2 ". Linjen BC gir punktet K. Linjen AK er den ønskede vinkelrett på BC. Faktisk skjærer linjen AK linjen BC og er i området γ vinkelrett på linjen BC, derav AK⊥BC.

I § ​​15 ble det vist (fig. 92) hvordan en perpendikulær kan tegnes fra et punkt til en linje. Men der ble det gjort ved å introdusere et ekstra plan i π 1, π 2-systemet og dermed danne π 3, π 1-systemet, hvor pl. π 3 er parallell med en gitt rett linje. Vi anbefaler å sammenligne konstruksjonene gitt i fig. 92 og 191.

På fig. 192 viser et plan i generell posisjon - α, som går gjennom punktet A, og vinkelrett AM på dette planet, utvidet til skjæringspunktet med pl. π 1 ved punkt B".

Vinkel φ 1 mellom kvadrat. α, og pl.π 1 og vinkelen φ mellom linjen AM og pl. π 1 er spisse vinkler til den rette trekanten B"AM", og derfor φ 1 +φ=90°. På samme måte, hvis pl.α er med pl. π 2 vinkel σ 2, og linjen AM, vinkelrett på α, er med pl. π 2 vinkel σ, deretter σ 2 + σ \u003d 90 °. Av dette, for det første, følger det at planet for generell posisjon, som skal lage en vinkel φ 1 med pl.π 1, og med pl. π 2 vinkel σ 2 kan bygges bare hvis 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Hvis vi legger til ledd for ledd φ 1 + φ=90° og σ 2 +σ=90°, får vi φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, dvs. φ 1 +σ 2 90°. Tar vi φ 1 +σ 2 =90°, så får vi et profilprojisert plan, og hvis vi tar φ 1 +σ 2 =180° får vi et profilplan, dvs. i begge disse tilfellene er ikke flyet i generell posisjon, men spesielt.

Ris. 4.17 Fig. 4.18

Hvis planet er gitt ved kryssende rette linjer (fig. 4.17), så reduseres løsningen av problemet til å tegne gjennom et punkt EN par av linjer parallelt med de gitte.

Hvis flyet er gitt av spor (4.18), kan konstruksjonen utføres i henhold til følgende algoritme:

1. Gjennom en prikk EN vi tegner for eksempel horisontalen til det nødvendige planet Q, parallelt med horisontalene til det gitte planet R.

2. Tegn det ønskede planet gjennom denne horisontale linjen parallelt med den gitte. frontal sti Q V tegne gjennom frontal projeksjon P" frontal spor av horisontalet parallelt med sporet P V; horisontalt spor Q H- gjennom en prikk Q X parallelt med sporet R N.

Oppgave 2. Gjennom prikken EN(a, a") tegne et fly Q, vinkelrett på den rette linjen (fig. 4.19).

a) Det kreves å vise ønsket plan ved å krysse rette linjer. I dette tilfellet er det enklest å konstruere et fly Q hovedlinjer - horisontale og frontale, passerer gjennom et punkt A (a, a).

Ris. 4.19 Fig. 4.20

b) Det er påkrevd å vise ønsket plan med spor. Konstruksjonen kan utføres i henhold til følgende algoritme. Gjennom prikken EN tegne et horisontalt plan Q vinkelrett på linjen Sol. Så gjennom denne horisontale tegner vi det nødvendige planet vinkelrett på den rette linjen Sol. frontal sti Q V tegne gjennom frontal projeksjon P" frontspor horisontal vinkelrett b "c′; horisontalt spor Q H- gjennom en prikk Q X vinkelrett på f.Kr.

Oppgave 3. Gjennom prikken A (a, a) holde et fly Q, vinkelrett på et gitt plan R og passerer gjennom forsvinningspunktet Q X på akselen X(Fig. 4.20).

Det er kjent at flyet Q vil være vinkelrett på det gitte planet R, hvis den går gjennom en vinkelrett på den eller vinkelrett på en linje som ligger i et plan R.

På fig. 4.20 løsningen av problemet utføres i henhold til planen ved å bruke den første av disse betingelsene:

1. Gjennom et gitt punkt EN tegnet vinkelrett på planet R(am+PH , a′m′+P V).

2. Gjennom denne vinkelrett og et gitt punkt QXønsket plan tegnes Q. Samtidig sporet Q N trukket gjennom en horisontal projeksjon T horisontal spor av en perpendikulær og et punkt QX; spor Q V- gjennom frontal projeksjon P' frontspor vinkelrett og punkt QX.

Det ønskede planet kan også konstrueres ved å krysse rette linjer, hvis det går gjennom et punkt QX tegne en linje som har et felles punkt med en vinkelrett.

Oppgave 4. Gjennom prikken EN (a, a") tegne en linje vinkelrett på linjen Sol.

Den ønskede perpendikulæren ligger i et plan vinkelrett på den gitte linjen Sol.

Derfor kan problemet løses i henhold til følgende algoritme:

1. Gjennom en prikk EN tegne et fly Q, vinkelrett på linjen Sol.

2. Bestem poenget K (k, k") linjekryss Sol med fly Q ved bruk av et horisontalt projisert plan S.

3. Koble sammen prikkene EN og TIL.

På diagrammet, løse problemet ved hjelp av denne algoritmen, kan du vise planet ved to kryssende hovedlinjer ( h×f) (fig. 4.21) eller spor (fig. 4.22).

Ris. 4.21 Fig. 4.22

Oppgave 5. Konstruer en skjæringslinje mellom plan ABC og DEF.

Dette problemet kan løses ved å bruke problemet med skjæringen av en linje med et plan. På fig. 4.23 viser konstruksjonen av skjæringslinjen for planene gitt av trekanter ABC og DEF. Rett MN bygget på de funnet skjæringspunktene til sidene D.F. og EF triangel DEF med trekantens plan ABC.

For eksempel for å finne et punkt M kryssende side D.F. med fly ABC, gjennom linjen D.F. utføre et frontalprojeksjonsplan R ABC i en rett linje I II df og 12 mønsket punkt M. Finn så frontprojeksjonen m" poeng M. punkt N linjekryss EF med fly ABC funnet ved å bruke det frontprojiserte planet Q, som skjærer med trekantens plan ABC i en rett linje III IV. I skjæringspunktet mellom horisontale projeksjoner ef og 34 få en horisontal projeksjon nønsket punkt N.

Forbinde par med prikker m"og n", m og n, få projeksjoner av skjæringslinjen MN fly ABC og DEF.

Synligheten til deler av segmenter av fly er satt av metoden for konkurrerende poeng.