I denne artikkelen vil vi håndtere hva en desimalfraksjon er, hvilke funksjoner og egenskaper har det. Gå! 🙂

Desimalfraksjonen er et spesielt tilfelle av vanlige fraksjoner (som er Koint 10.Noominator).

Definisjon

Desimalen kalles fraksjoner, hvis nevner er tall som består av en enhet, og et visst antall ikke-nuller følger. Det vil si det er en brøkdel med en nevner 10, 100, 1000, etc. Ellers kan desimalfraksjonen beskrives som en fraksjon med en nevner på 10 eller en av grader av titalls.

Eksempler på fraksjoner:

, ,

Desimalfraksjonen er skrevet annerledes enn vanlig. Operasjoner med disse fraksjonene er også forskjellige fra operasjoner med vanlig. Virkningsregler på dem er i stor grad omtrentlig for handlingsregler over heltall. Dette skyldes særlig deres relevans i å løse praktiske problemer.

Presentasjon av fraksjoner i desimalrekord

I desimalposten er det ingen nevner, det viser antall teller. Generelt utføres rekorddimalfraksjonen i henhold til en slik skjema:

hvor x er en hel del av brøkdelen, er Y dens brøkdel, "," - et desimalkommisjon.

For å representere en vanlig fraksjon i form av et desimal, er det nødvendig at det er riktig, det vil si med en del uthevet (om mulig) og en teller som er mindre enn nevneren. Deretter i desimalposten er hele delen skrevet til et desimaltalls semikolon (X), og telleren til den vanlige fraksjonen - etter et desimal semikolon (Y).

Hvis nummeret er presentert i nummeret med antall tegn mindre enn antall nuller i nevneren, så i del Y, er det manglende antall tegn i desimalposten fylt med nuller foran tallet på telleren.

Eksempel:

Hvis den vanlige fraksjonen er mindre enn 1, dvs. Det har ikke en hel del, så for x i desimalform er det skrevet 0.

I den brøkdelte delen (Y), etter den siste signifikante (forskjellige null) utslipp, kan et vilkårlig antall nuller påskrevet. Fraksjonen påvirker ikke verdien. Og tvert imot: Alle nuller på slutten av den brøkdelte delen av desimalfraksjonen kan utelates.

Leser desimalfraksjoner

Del X leses generelt som følger: "X heltall."

Del Y leses i samsvar med tallet i nevneren. For denominator 10, bør du lese: "Y av tiendene", for denominatoren 100: "Y of Hundredths", for denominatoren 1000: "Yoghny" og så videre ... 😉

En annen tilnærming til å lese, basert på å beregne antall fraksjonelle separasjoner, er mer korrekt. For dette er det nødvendig å forstå at fraksjonelle utslipp er plassert i en speilrefleksjon i forhold til utslippene til hele delen av fraksjonen.

Navnene på riktig lesing er vist i tabellen:

Basert på dette bør lesingen være basert på overholdelse av navnet på utladningen av den siste figuren av brøkdelen.

• 3,5 leser som "tre heltall fem tiendedeler"
• 0,016 leser som "null av hele seksten tusen"

Oversettelse av vilkårlig vanlig brøkdel i desimal

Hvis det er 10 eller noen grader av den vanlige fraksjonen i en denomotor av en vanlig fraksjon, blir oversettelsen av fraksjonen utført som beskrevet ovenfor. Andre situasjoner trenger ekstra transformasjoner.

Det er 2 oversettelsesmetoder.

Den første måten å oversette

Telleren og denominatoren må skattlegges til et slikt heltall slik at tallet 10 eller en av de grader av dusinvis skal oppnås i nevneren. Og så presenteres fraksjonen i en desimalrekord.

Denne metoden gjelder for fraksjoner, hvor nevneren er utvidet kun med 2 og 5. Så, i det foregående eksempel . Hvis det er andre enkle multiplikatorer i dekomponeringen (for eksempel), må du ty til 2. metode.

Den andre måten å overføre

2.-metoden består i å dele telleren til nevneren i kolonnen eller på kalkulatoren. Hele delen, hvis noen, deltar ikke i transformasjonen.

Divisjonsregelen i kolonnen, noe som resulterer i en desimalfraksjon, er beskrevet nedenfor (se deling av desimalfraksjoner).

Oversettelse av desimalfraksjon i vanlig

For å gjøre dette, bør den fraksjonelle delen skrives i form av en teller, og resultatet av å lese den brøkdelen er i form av et passende tall i nevneren. Neste, hvis mulig, må du redusere den resulterende fraksjonen.

Endelig og uendelig desimalfraksjon

Den endelige kalles en desimalfraksjon, av hvilken brøkdel som består av et begrenset antall tall.

Fremfor alle de ovennevnte eksemplene inneholder endelige desimale fraksjoner. Imidlertid er ikke hver vanlig brøkdel mulig å presentere i form av en endelig desimal. Hvis den første oversettelsesmetoden for denne fraksjonen ikke er aktuelt, og 2.-metoden demonstrerer at divisjon ikke kan fullføres, betyr det at bare en uendelig desimalfraksjon kan oppnås.

Det er umulig å skrive en uendelig fraksjon i sin helhet. I det ufullstendige skjemaet kan slike fraksjoner være representert:

1. som følge av reduksjonen til ønsket antall semikolonutslipp;
2. i form av en periodisk fraksjon.

Den periodiske kalles en brøkdel, som etter kommaet kan du velge en gjentatt uendelig sekvens av tall.

De resterende fraksjonene kalles ikke-periodisk. For ikke-periodiske fraksjoner er bare den første representasjonsveien (avrunding) tillatt.

Et eksempel på en periodisk fraksjon: 0,8888888 ... Det er et repeterende nummer 8, som åpenbart vil gjentas til uendelig, siden det ikke er grunn til å anta noe annet. Denne figuren kalles perobi periode.

Periodiske fraksjoner er rene og blandet. Ren er en desimalfraksjon, hvor perioden begynner umiddelbart etter kommaet. Den blandede fraksjonen har 1 eller flere siffer.

54,33333 ... - Periodisk rene tiere.

2,5621212121 ... - Periodisk blandet fraksjon

Eksempler på oppføring av endeløse desimalfraksjoner:

I det andre eksempelet er det vist hvordan du gjør perioden i opptaket av en periodisk fraksjon.

Oversettelse av periodiske desimalfraksjoner i ordinært

For å overføre netto periodisk fraksjon i den vanlige perioden, er den skrevet til telleren, og et tall som består av ni i et beløp som tilsvarer antall siffer i perioden er skrevet til nevneren.

Den blandede periodiske desimalfraksjonen er oversatt som følger:

1. det er nødvendig å danne et tall som består av et tall etter et komma til perioden og den første perioden;
2. fra det resulterende antallet å trekke nummeret som er etter kommaet i perioden. Resultatet vil være telleren av den vanlige fraksjonen;
3. i nevneren er det nødvendig å legge inn et tall som består av et antall ni, lik antall antall antall perioden, og bak dem nuller, hvorav det som er lik antall tall på nummeret etter kommaet til 1. periode.

Sammenligning av desimalfraksjoner

Desimalfraksjoner sammenlignes i utgangspunktet av deres heltall. Mer den fraksjonen som har mer av henne hele sin del.

Hvis hele delene er de samme, sammenlign deretter tallene til de tilsvarende utslippene til den brøkdelen, som starter fra den første (fra tiendedelen). Her er det samme prinsippet: flere av fraksjonene, som har mer utslipp av den tiende; I likestilling sammenligner sifrene i utladningen av den tiende utladningen av hundre og så videre.

Insofar As.

Siden med like heltall og lik tiende i brøkdelen i 2. fraksjon mer enn antall hundre.

Tillegg og subtraksjon av desimalfraksjoner

Decimalfraksjoner er foldet og trukket og trukket, så vel som heltall, skriver de tilsvarende tallene i hverandre. For å gjøre dette, er det nødvendig for hverandre å være desimal kommaer. Deretter enheter (dusinvis, etc.) i hele delen, så vel som tiendedeler (hundre, etc.) ved fraksjon vil være i samsvar. Den manglende utslipp av den brøkdelen er fylt med nuller. Direkte. prosessen med tilsetning og subtraksjon utføres på samme måte som for heltall.

Multiplisere desimalfraksjoner

For å multiplisere desimalfraksjoner må du registrere dem i hverandre, og justere det siste sifferet og ikke være oppmerksom på plasseringen av desimaltall. Deretter må du multiplisere tallene så vel som når du multipliserer heltall. Etter å ha mottatt resultatet, bør du omberegne antall tall etter semikolonet i både fraksjoner og skille semikolonene i det resulterende antall fraksjonelle utslipp. Hvis utslippene mangler, erstattes de med nuller.

Multiplikasjon og deling av desimalfraksjoner på 10 N

Disse handlingene er enkle og redusert til overføringen av desimaltallolen. S multiplikasjonen av kommaet overføres til høyre (fraksjonen øker) av antall tegn som tilsvarer antall nuller på 10 N, hvor N er en vilkårlig hele grad. Det vil si at noen antall tall overføres fra brøkdelen til hele. Ved henholdsvis delt, overføres kommaet til venstre (tallet minker), og noen av tallene overføres fra hele delen til fraksjonen. Hvis overføringsnumrene ikke er nok, er de manglende utslippene fylt med nuller.

Divisjon desimalfraksjon og et heltall per heltall og for desimalfraksjon

Divisjonen i en desimal kolonnefraksjon utføres lik delingen av to heltall. I tillegg må bare en desimalsituasjon kreves: Når de revnerte sifferifrene, etterfulgt av et komma, må settes på kommaet etter det nåværende sifferet i svaret som er formålet. Deretter må du fortsette å dele til null. Hvis skiltene i Delima mangler for full divisjon, bør Zeros brukes i sin kvalitet.

På samme måte er de delt inn i en kolonne på 2 heltall hvis alle tallene blir revet, og hele divisjonen er ennå ikke fullført. I dette tilfellet, etter nedrivningen av sistnevnte, er utbyttet laget av ti. Spredt i det fremvoksende svaret, og nuller brukes som de hengende tallene. De. Delimi her, faktisk representerer som en desimalfraksjon med en nullfraksjonell del.

Å dele ti.gobi (eller et heltall) i ti. Det er nødvendig å multiplisere en deling og divider til nummeret 10 n, hvor antallet nuller er lik antall siffer etter ti. Restaurering i divideren. På denne måten blir vi kvitt ti. Lagre til fraksjonen du vil dele. Deretter faller divisjonsprosessen sammen med det ovenfor beskrevne.

Grafisk representasjon av desimalfraksjoner

Grafisk desimalfraksjoner er avbildet av koordinatet direkte. For dette er enkeltsegmenter delt inn i 10 like aksjer, akkurat som centimeter og millimeter blir deponert på linjen. Dette sikrer nøyaktige kartlegging av desimalfraksjoner og evnen til å objektivt sammenligne dem.

For at Dolly-divisjonene på enkeltsegmenter skal være den samme, er det nødvendig å tenke grundig gjennom lengden på det enkelt segmentet selv. Det bør være slik at det er mulig å gi bekvemmeligheten av ytterligere divisjon.

Dette materialet vi bruker et så viktig tema som desimalfraksjoner. Først vil vi definere de grunnleggende definisjonene, vi vil gi eksempler og fokusere på reglene for desimalpost, samt utslipp av desimalfraksjoner. Deretter velger du hovedtyper: endelige og uendelige, periodiske og ikke-periodiske fraksjoner. I den siste delen vil vi vise hvordan poeng som tilsvarer brøkdelene er plassert på koordinens akse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hva er en desimalrekord av brøkdeler

Den såkalte desimalrekorden av fraksjonelle tall kan brukes både for naturlige og fraksjonelle tall. Det ser ut som et sett med to eller flere siffer, mellom hvilke det er et komma.

Decimal komma er nødvendig for å skille hele delen av brøkdelen. Som regel er den siste figuren av desimalfraksjonen ikke , bortsett fra i tilfeller der desimaltekommen står umiddelbart etter den første null.

Hva er eksemplene på brøkdeler i en desimalrekord? Det kan være 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9, etc.

I noen lærebøker kan du møte bruken av et punkt i stedet for et komma (5. 67, 6789. 1011, etc.) Dette alternativet regnes som ekvivalent, men det er mer karakteristisk for engelsktalende kilder.

Definisjon av desimalfraksjoner

Basert på ovennevnte begrepet desimalpost kan vi formulere følgende definisjon av desimalfraksjoner:

Definisjon 1.

Desimalfraksjoner er fraksjonelle tall i en desimalrekord.

Hvorfor trenger vi rekruttering i et slikt skjema? Det gir oss noen fordeler over vanlig, for eksempel en mer kompakt oppføring, spesielt i tilfeller der det er 1000, 100, 10, etc. i nevneren eller et blandet tall. For eksempel, i stedet for 6 10, kan vi spesifisere 0, 6, i stedet for 25,1000 - 0, 0023, i stedet for 512 3 100 - 512, 03.

På hvordan man er riktig tilstede i desimalform, vil vanlige fraksjoner med dusinvis, hundrevis, tusenvis i nevneren, bli beskrevet som en del av et separat materiale.

Hvordan lese desimal

Det er noen regler for å lese desimalrekorder. Så de decimalfraksjonene som tilsvarer deres korrekte vanlige ekvivalenter, leses nesten det samme, men med tillegg av ordene "null tiende" i begynnelsen. Dermed leses det 0, 14, som tilsvarer 14 100, leses som "null så mange som fjorten hundre."

Hvis desimalfraksjonen kan settes i tråd med et blandet nummer, leses det på samme måte som dette nummeret. Så, hvis vi har et skudd 56, 002, som tilsvarer 56 2 1000, leser vi en slik oppføring som "femti-seks to tusen to tusen".

Verdien av tallet i desimalposten avhenger av hvordan den er plassert (så vel som i tilfelle av naturlige tall). Så i desimalfraksjonen 0, 7 syv er tiendedeler, i 0, 0007 - ti tusen, og i fraksjonen 70.000, 345, betyr det syv titusenvis av hele enhetene. Således, i desimalfraksjoner, er det også konseptet med utslipp av et tall.

Navnene på utslippene som vises, ligner de som finnes i naturlige tall. Navnene på dem er plassert etter, tydelig presentert i tabellen:

Vi vil analysere et eksempel.

Eksempel 1.

Vi har en desimalfraksjon 43, 098. Hun i kategorien dusinvis er fire, i utslipp av tre enheter, i utløpet av tiende - , hundre - 9, tusendeler - 8.

Det er vanlig å skille ut utslippene av desimalfraksjoner på anciennitet. Hvis vi beveger oss rundt tallene fra venstre til høyre, så vil vi gå fra de eldre utslippene til yngre. Det viser seg at hundrevis av år eldre enn dusin, og millioner aksjer i yngre enn hundre. Hvis du tar den endelige desimalfraksjonen, som vi ledet som et eksempel ovenfor, så i det eldste, eller den høyeste vil være utslipp av hundrevis, og den yngre eller nedre utslipp 10-tusen.

Enhver desimalfraksjon kan dekomponeres på individuelle utslipp, det vil si å forestille seg i form av mengden. Denne handlingen utføres på samme måte som for naturlige tall.

Eksempel 2.

La oss prøve å dekomponere fraksjonen 56, 0455 ved utslipp.

Vi vil ha:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Hvis vi husker egenskapene til tilsetningen, kan vi for eksempel sende denne fraksjonen i andre typer, for eksempel som mengden 56 + 0, 0455 eller 56, 0055 + 0, 4, etc.

Hva er den endelige desimalfraksjonen

Alle fraksjonene, som vi snakket ovenfor er de endelige desimale fraksjonene. Dette betyr at antall tall som er plassert i dem etter at kommaet er finalen. Vi utlede definisjonen:

Definisjon 1.

De endelige desimale fraksjonene er form av desimalfraksjoner, som etter halvcirkelen er et begrenset antall tegn.

Eksempler på slike fraksjoner kan være 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.

En hvilken som helst av disse fraksjonene kan oversettes enten til et blandet tall (hvis verdien av deres fraksjonelle del er forskjellig fra null), eller i en vanlig fraksjon (ved null heltall). Hvordan dette er gjort, har vi dedikert et eget materiale. Her påpeker vi bare et par eksempler: så den endelige desimalfraksjonen 5, 63 kan vi føre til skjemaet 5 63 100, og 0, 2 tilsvarer 2 10 (eller noe annet enn fraksjonen som er lik den, for eksempel , 4 20 eller 1 5.)

Men omvendt prosess, dvs. Opptak av vanlig brøkdel i desimalform, kan ikke alltid være fullført. Således kan 5 13 ikke erstattes med en lik fraksjon med denominatoren 100, 10, etc., betyr det at den endelige desimalfraksjonen ikke vil fungere.

Hovedtyper av uendelige desimalfraksjoner: periodiske og ikke-periodiske fraksjoner

Vi indikerte ovenfor at de endelige fraksjonene kalles fordi etter kommaet har de et begrenset antall tall. Det kan imidlertid godt være uendelig, og i dette tilfellet vil fraksjonene selv også bli kalt uendelig.

Definisjon 2.

Uendelige desimale fraksjoner kalles slik at etter kommaet er det et uendelig antall tall.

Det er åpenbart at helt slike tall er skrevet for å være rett og slett ikke, så vi indikerer bare en del av dem og deretter legger mye. Dette skiltet snakker om en uendelig fortsettelse av sekvensen av tegn etter kommaet. Eksempler på uendelige desimalanlegg kan være 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 6666666666 ..., 69, 748768152 .... etc.

I "halet" kan en slik brøkdel stå ikke bare tilfeldig ved første visning av sekvensen av tall, men konstant repetisjon av samme tegn eller gruppe av tegn. Fraksjonene med veksling etter desimaltallolen kalles periodisk.

Definisjon 3.

Periodiske desimalfraksjoner kalles slike uendelige desimalfraksjoner, som etter komma, ett siffer eller en gruppe med flere sifre gjentar. Den gjentatte delen kalles fraksjonen.

For eksempel, for fraksjoner 3, 444444 .... Perioden vil være et nummer 4, og for 76, 134134134134 ... - Gruppe 134.

Hva er minimum antall tegn tillatt å legge en periodisk fraksjon i opptak? For periodiske fraksjoner vil det være nok til å skrive ned hele perioden en gang i parentes. Så, fraksjon 3, 444444 .... Det vil riktig skrives som 3, (4) og 76, 134134134134 ... - som 76, (134).

Generelt vil opptaket med flere perioder i parentes ha nøyaktig samme betydning: for eksempel er den periodiske fraksjon 0, 677777 den samme som 0, 6 (7) og 0, 6 (77), etc. Tillot også poster av skjemaet 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc.

For å unngå feil, introduserer vi monotoni av betegnelser. Vi er enige om bare en periode (den maksimale korte sekvensen av tall), som er nærmest desimaltegnet, og går inn i parenteser.

Det vil si for de ovennevnte fraksjoner, vil vi vurdere posten 0, 6 (7), og for eksempel i tilfelle en brøkdel på 8, 9134343434 vil vi skrive 8, 91 (34).

Hvis nevneren av den vanlige fraksjonen inneholder enkle multiplikatorer, ikke lik 5 og 2, så når de overføres til en desimalinngang, vil endeløse fraksjoner vise seg.

I prinsippet kan enhver endelig fraksjon vi skrive i form av periodisk. For å gjøre dette trenger vi bare å legge til høyre uendelig mye nuller. Hva ser det ut i posten? Anta at vi har den endelige fraksjonen 45, 32. I en periodisk form vil den se ut som 45, 32 (0). Denne handlingen er mulig fordi tilsetningen av nuller til høyre til enhver desimalfraksjon gir oss som følge av fraksjonen som er lik den.

Separat bør det stoppes på periodiske fraksjoner med en periode 9, for eksempel 4, 89 (9), 31, 6 (9). De er et alternativt opptak av lignende fraksjoner med en periode på 0, slik at de ofte erstattes ved å skrive med null periode. Samtidig tilsettes en enhet til verdien av neste utladning, og i parentes indikerer (0). Likestilling av de resulterende tallene er lett å kontrollere ved å presentere dem i form av vanlige fraksjoner.

For eksempel kan fraksjon 8, 31 (9) erstattes av den tilsvarende fraksjon 8, 32 (0). Eller 4, (9) \u003d 5, (0) \u003d 5.

Uendelig desimal periodiske fraksjoner relaterer seg til rasjonelle tall. Med andre ord kan enhver periodisk fraksjoner være representert som en vanlig, og omvendt.

Det er også fraksjoner, som etter kommaet er ingen uendelig gjentatt sekvens. I dette tilfellet kalles de ikke-periodiske fraksjoner.

Definisjon 4.

De ikke-periodiske desimalfraksjonene inkluderer de endeløse decimalfraksjonene, hvori at komma ikke inneholder en periode, dvs. Gjentatte gruppetall.

Noen ganger indekserte fraksjoner ser veldig ut som periodisk. For eksempel, 9, 03003000300003 ... Ved første øyekast ser det ut til at det er en periode, men en detaljert analyse av tegn etter at kommaet bekrefter at dette fortsatt er en indeksert fraksjon. Med slike tall er det nødvendig å være svært oppmerksomme.

Personlige fraksjoner relaterer seg til irrasjonelle tall. De oversetter dem ikke til vanlige fraksjoner.

Grunnleggende trinn med desimalfraksjoner

Med desimalfraksjoner kan følgende handlinger utføres: sammenligning, subtraksjon, tillegg, divisjon og multiplikasjon. Vi vil analysere hver av dem separat.

En sammenligning av desimalfraksjoner kan reduseres for å sammenligne vanlige fraksjoner som tilsvarer den opprinnelige desimalen. Men uendelige ikke-periodiske fraksjoner kan ikke reduseres til denne arten, og oversettelsen av desimalfraksjoner til vanlig er ofte en tidkrevende oppgave. Hvordan raskt gjøre en sammenligning, hvis vi trenger å gjøre dette i løpet av å løse problemet? Det er praktisk å sammenligne desimalfraksjoner på utladningen på samme måte som vi sammenligner naturlige tall. Vi vil tilegne denne metoden til denne metoden.

For å kaste noen desimalfraksjoner med andre, er det praktisk å bruke metoden i tillegg av kolonnen, som for naturlige tall. For å kaste periodiske desimalfraksjoner, er det nødvendig å forhånds erstatte dem med vanlig og les i henhold til standardordningen. Hvis vi, i henhold til vilkårene for problemet, må vi brette de uendelige ikke-periodiske fraksjonene, må du rense dem før noen utslipp, og deretter legge til. Jo mindre utslipp, som vi rund, jo høyere nøyaktigheten av beregningen. For subtraksjon, multiplikasjon og deling av endeløse fraksjoner, er den foreløpige avrundingen også nødvendig.

Å finne forskjellen i desimalfraksjoner inververe virkningen av tillegg. Faktisk, ved hjelp av subtraksjon, kan vi finne et slikt tall, hvorav mengden med en subtrahert fraksjon vil gi oss en diminutiv. Vi vil fortelle deg mer om dette i et eget materiale.

Multiplikasjonen av desimalfraksjoner utføres på samme måte som for naturlige tall. For dette er metoden for å beregne kolonnen også egnet. Denne handlingen med periodiske fraksjoner, vi reduserer igjen multiplikasjonen av vanlige fraksjoner på reglene som allerede er studert. Uendelige fraksjoner, som vi husker, må du rense ned før du teller.

Forfallsprosessen med desimalfraksjoner er den inverse prosessen med multiplikasjon. Når vi løser oppgaver, bruker vi også telling i en kolonne.

Du kan angi den nøyaktige korrespondansen mellom den endelige desimalfraksjonen og punktet på koordinatets akse. Finn ut hvordan du markerer punktet på aksen, som nøyaktig vil matche den nødvendige desimalfraksjonen.

Vi har allerede studert hvordan man bygger poeng som svarer til vanlige fraksjoner, og decimalfraksjonene kan bringes til denne arten. For eksempel er en vanlig fraksjon 14 10 den samme som 1, 4, slik at det tilsvarende punktet vil bli fjernet fra begynnelsen av referansen i den positive retningen nøyaktig i samme avstand:

Du kan gjøre uten å erstatte en desimalfraksjon på vanlig, og å basere metoden for nedbrytning av utslipp. Så, hvis vi trenger å merke seg det punktet hvis koordinat vil være lik 15, 4008, så vil vi foreløpig presentere dette tallet i form av summen 15 + 0, 4 +, 0008. Til å begynne med, utsette fra begynnelsen av referanse 15 av heltalls enkeltsegmenter i positiv retning, deretter 4 tiendedeler av brøkdelen av ett segment, og deretter 8 ti tusen fraksjoner av ett segment. Som et resultat vil vi få poenget med koordinater, som tilsvarer fraksjonen 15, 4008.

For en uendelig desimalfraksjon, er det best å bruke denne måten, siden det lar deg komme nærmere ønsket punkt som om det er nært. I noen tilfeller er det mulig å konstruere og nøyaktig overholde den uendelige fraksjonen på koordinatets akse: så, 2 \u003d 1, 41421. . . , og med denne fraksjonen kan det være et korrelert punkt på koordinatbjelken, fjernet fra 0 til lengden på torgets diagonal, hvorav siden vil være lik ett enkelt segment.

Hvis vi ikke finner punktet på aksen, men desimalfraksjonen som svarer til det, kalles denne handlingen en desimalmåling av segmentet. La oss se hvordan du gjør det riktig.

Anta at vi må komme fra null på et gitt punkt på koordinatene (eller lukke så mye som mulig i tilfelle en uendelig fraksjon). For å gjøre dette, utsetter vi gradvis enkelt segmenter fra starten av koordinatene til vi kommer til ønsket punkt. Etter alle segmenter må du om nødvendig måle tiende, hundre og mindre aksjer, slik at korrespondansen er så nøyaktig som mulig. Som et resultat mottok vi en desimalfraksjon som tilsvarer et gitt punkt på koordinataksene.

Over, vi førte en tegning med et punkt m. Se på det igjen: For å komme inn på dette punktet må du måle fra null ett enkelt segment og fire tiendedeler av brøkdelen av den, siden dette punktet tilsvarer desimalfraksjonen 1, 4.

Hvis vi ikke kan komme til punktet i prosessen med desimalmåling, betyr det at det tilsvarer en uendelig desimalfraksjon.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

brøkdel.

Desimal rekord av brøkdel Det er et sett med to eller flere tall fra $ 0 $ til $ 9 $, mellom hvilken er den såkalte \\ Textit (desimal komma).

Eksempel 1.

For eksempel, $ 35,02 $; $ 100.7 $; $ 123 \\ 456.5 $; $ 54.89 $.

Det ekstreme venstre sifferet i desimalposten til nummeret kan ikke være , unntaket er bare et tilfelle når et desimalkommak står umiddelbart etter det første sifferet $ 0 $.

Eksempel 2.

For eksempel, $ 0,357 $; $ 0.064 $.

Ofte erstattes et desimal komma med et desimalpunkt. For eksempel, $ 35,02 $; $ 100.7 $; $ 123 \\ 456.5 $; $ 54.89 $.

Definisjon av desimalfraksjoner

Definisjon 1.

Desimalfraksjoner - Dette er fraksjonelle tall som presenteres i en desimalrekord.

For eksempel, $ 121,05 $; $ 67,9 $; $ 345 6700 $.

Decimalfraksjoner brukes til mer kompakt opptak av de riktige vanlige fraksjonene, hvis nevner er tall $ 10 $, $ 100 $, $ 1 \\ 000 $, etc. og blandede tall, nevner den brøkdelte delen av hvilken $ 10 $, $ 100 $, $ 1 \\ 000 $, etc.

For eksempel kan en vanlig brøkdel av $ \\ frac (8) (10) $ skrives i form av en desimalfraksjon $ 0,8 $, og det blandede nummeret $ 405 \\ frac (8) (100) $ - i skjemaet av en desimalfraksjon $ 405,08 $.

Leser desimalfraksjoner

Decimalfraksjoner som tilsvarer de riktige vanlige fraksjonene, leses, så vel som vanlige fraksjoner, er bare uttrykket "null hele" lagt framover. For eksempel, en vanlig fraksjon $ \\ frac (25) (100) $ (tjuefem hundre les) tilsvarer desimalfraksjonen på $ 0,25 $ (null leses av tjuefem hundre).

Desimalfraksjoner som samsvarer med blandede tall, leses også som blandede tall. For eksempel tilsvarer et blandet antall $ 43 \\ frac (15) (1000) $ en desimalfraksjon på $ 43,015 $ ("førtito-tre hele femten tusen førti").

Utslipp i desimalfraksjoner

I desimalposten avhenger verdien av hvert siffer av posisjonen. De. I desimalfraksjoner er det også et konsept utslipp.

Utslippene i desimalfraksjoner til desimaltallolen kalles det samme som utslippene i naturlige tall. Utslipp i desimalfraksjoner etter at kommaet overføres til bordet:

Bilde 1.

Eksempel 3.

For eksempel, i en desimalfraksjon $ 56,328 $, $ 5 $ siffer står i kategorien dusinvis, $ 6 $ - i utslipp av enheter, $ 3 $ - i utslipp av tiende, $ 2 $ - i utslipp av hundre, $ 8 $ - i utslipp av tusenvis.

Utslipp i desimalfraksjoner er preget av anciennitet. Når du leser en desimalfraksjon som beveger seg fra venstre til høyre - fra senior utslipp K. yngre.

Eksempel 4.

For eksempel, i desimalfraksjonen $ 56.328, er senior (høyere) utslipp utladningen av titalls, og den yngre (lavere) - utslipp av tusenvis.

Desimalfraksjonen kan dekomponeres på utslipp som ligner på dekomponering av kategoriene av naturlig tall.

Eksempel 5.

For eksempel vil vi dekomponere desimalfraksjonen $ 37.851 $.

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Endelige desimale fraksjoner

Definisjon 2.

Endelige desimale fraksjoner Kalt desimalfraksjoner, hvor oppføringene inneholder et begrenset antall tegn (siffer).

For eksempel, $ 0,138 $; $ 5,34 $; $ 56,123456 $; $ 350 $ 972.54.

Enhver endelig desimalfraksjon kan oversettes til en vanlig brøkdel eller et blandet tall.

Eksempel 6.

For eksempel tilsvarer den endelige desimalfraksjonen $ 7,39 $ til fraksjonsnummeret $ 7 \\ frac (39) (100) $, og den endelige desimalfraksjonen $ 0,5 $ tilsvarer den riktige vanlige fraksjonen $ \\ frac (5) (10) $ (eller en hvilken som helst brøkdel, som er lik den, for eksempel $ \\ frac (1) (2) $ eller $ \\ frac (10) (20) $.

Oversettelse av vanlig brøkdel i desimalfraksjon

Oversettelse av vanlige fraksjoner med nevner $ 10, 100, \\ Dots $ i desimalfraksjoner

Før overføringen av noen korrekte vanlige fraksjoner til desimal må de være forberedt. Resultatet av dette preparatet bør være det samme antall tall i telleren og antall nuller i nevneren.

Essensen av "foreløpig forberedelse" av de riktige vanlige fraksjonene for å oversette til desimalfraksjoner - legger til venstre i en teller av et slikt nuller, slik at det totale antall tall blir lik antall nuller i nevneren.

Eksempel 7.

For eksempel vil vi forberede en vanlig brøkdel av $ \\ frac (43) (1000) $ for å overføre til desimal og få $ \\ frac (043) (1000) $. Og den vanlige fraksjonen $ \\ frac (83) (100) $ trenger ikke å forberede seg.

Formulere regel om oversettelse av riktig vanlig fraksjon med en nevner $ 10 $, eller $ 100 $, eller $ 1 \\ 000 $, $ \\ prikker $ i en desimalfraksjon:

skriv $ 0 $;

etter det å sette et desimal komma;

ta opp nummeret fra telleren (sammen med dashing nuller etter forberedelsen, hvis det var nødvendig).

Eksempel 8.

Oversett den riktige vanlige fraksjonen $ \\ frac (23) (100) $ i desimal.

Beslutning.

Denominatoren har et nummer $ 100 $, som inneholder $ 2 $ to null. I telleren koster nummeret $ 23 $, der $ 2 $ poster er tatt opp. Det betyr at forberedelsen til denne fraksjonen ikke trenger å bli utført for å oversette til desimal.

Vi installerer $ 0 $, sette desimal komma og installere nummeret $ 23 $ fra telleren. Vi får en desimalfraksjon på $ 0,23 $.

Svar: $0,23$.

Eksempel 9.

Ta opp riktig brøkdel av $ \\ frac (351) (100000) $ i form av en desimalfraksjon.

Beslutning.

I telleren til denne fraksjonen $ 3 $ figurer, og antall nuller i nevneren - $ 5 $, så denne vanlige fraksjonen må være forberedt på oversettelse til desimal. For å gjøre dette, er det nødvendig å legge til $ 5-3 \u003d 2 $ null til venstre i telleren: $ \\ frac (00351) (100000) $.

Nå kan vi gjøre den ønskede desimalfraksjonen. For å gjøre dette, installerer vi $ 0 $, og legg deretter kommaet og installer nummeret fra telleren. Vi får en desimalfraksjon $ 0,00351 $.

Svar: $0,00351$.

Formulere regel om å oversette feil vanlige fraksjoner med denominanter $ 10 $, $ 100 $, $ \\ DOTS $ i desimalfraksjoner:

ta opp tallet fra telleren;

separat desimal semikolonene så mange tall til høyre, hvor mange nuller i denomotoren til den opprinnelige fraksjonen.

Eksempel 10.

Oversett feil vanlig fraksjon $ \\ frac (12756) (100) $ til en desimalfraksjon.

Beslutning.

Vi skriver et nummer fra $ 12.756 $ Numerator, og deretter skiller de desimalsyre-semikolonene $ 2 $ figurer til høyre, fordi I nevneren til den opprinnelige fraksjonen $ 2 $ null. Vi får en desimalfraksjon $ 127.56 $.

Leksjon: De-Sia-Tich-Naya Per-Letter Fractional Numbers

Fraksjonelle tall

Kez-on-Tel Fraci kan bli rammet av ethvert on-tu-raal nummer. Fraksjonelle tall, i den ene ry-rye-on-tl-tappen av deg-skrap 10; 100; 1000; ... Olojo-Wi-Pi-Say-to-Wash uten kjennskap. Ethvert fraksjonsnummer, i meningen på nivå 10; 100; 1000, etc. (det vil si enhet-na-ca med en multi-ki-la-mi), det er mulig å pre-damp i form av de-Xia-tich-si (i form av de-Xia-Tich Noah fraktet ). Single-Cha-La skriv en hel del, deretter nummeret til brøkdelen av brøkdelen, og hele delen av fraksjonen er forskjellig.

For eksempel,

Hvis hele delen er fra dag, dvs. Fraksjonen av Pra-Vil-Naya, så er hele delen av PI-SI-VA i form av 0.

Ta opp desimalfraksjoner

For å PRA-Vil-men å skrive en DE-Xia-fraksjon, er Li-Tel av en brøkdel av en brøkdel av dol-koner til å ha så vel som nuller i svindelen.

1. I form av en de-Xia-tichth-fraksjon.

2. Pre-sta-vite de-xia-tich fraksjon i form av en brøkdel eller en blanding.

3. Pro-chi-time de-xia-tichth fraksjoner.

12,4 - 12 hele 4 de-Xia;

0,3 - 0 hele 3 de-xia;

1,14 - 1 hel 14 hundre;

2,07 - 2 så mange som 7 hundre

0,06 - 0 så mange som 6 hundre

0,25 - 0 så mange som 25 hundre

1,234 - 1 En rekke 234 du knuller;

1,230 - 1 en hel 230 du-syach;

1,034 - 1 hele 34 av deg, Sichni;

1,004 - 1 helhet 4 av dere, Sichni;

1.030 - 1 hele 30 av dere, Sichni;

0,010101 - 0 Så mange som 10101 mil-løgn-NOOM.

4. Pen-non-si-thiem i hvert siffer til 1 ganger en rekke venstre og pro-si-thaime tall.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Pe-re-no-si-thom av lønden til hver nommere om Nomes 1 Tid for Inpray-VI og Profita-Tay-disse i Luch Chean.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Du er-ray-de i Met-Rah og San Ti-Metra.

3,28 m \u003d 3 m +.

7. Du er-ray-våre i tone og ki-lo gram makh.

24,030 t \u003d 24 tonn.

8. I-PI-SHI-TE, i form av de-Xia-Tichthree-fraksjon.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

Av de mange fraksjonene som finnes i aritmetikk, fortjener de separat oppmerksomhet, som i hvilken nevneren koster 10, 100, 1000 - generelt en hvilken som helst grad av dusinvis. Disse brannene har et spesielt navn og en form for opptak.

Desimalfraksjonen er en numerisk fraksjon, i denominatoren som er graden av dusinvis.

Eksempler på desimalfraksjoner:

Hvorfor var det nødvendig å tildele slike fraksjoner? Hvorfor trenger de sin egen form for opptak? Det vil si minst tre grunner:

1. Desimalfraksjoner er mye mer hensiktsmessige å sammenligne. Husk: For sammenligning av vanlige fraksjoner, må de trekkes fra hverandre, og spesielt brytes fraksjonen til en fellesnevner. I desimalfraksjoner er ingenting som dette nødvendig;
2. Redusert databehandling. Decimalfraksjoner legger opp og multiplisert med sine egne regler, og etter en liten trening vil du jobbe med dem mye raskere enn med vanlig;
3. Enkel opptak. I motsetning til vanlige fraksjoner blir decimaler registrert i en linje uten å miste klarhet.

De fleste kalkulatorer gir også svar i desimalfraksjoner. I noen tilfeller kan et annet opptaksformat føre til problemer. For eksempel, det, hvis du trenger å gi ut 2/3 rubler i butikken :)

DECIMAL RECORDING REGLER

Den største fordelen med desimalfraksjoner er en praktisk og visuell oppføring. Nemlig:

Desimalposten er et desimal rekrutteringsskjemaform, hvor hele delen er skilt fra fraksjonspunktet ved hjelp av et konvensjonelt punkt eller komma. Samtidig kalles separatoren selv (punkt eller komma) et desimalpunkt.

For eksempel, 0,3 (Les: "null av hele, 3 tiendedeler"); 7.25 (7 heltall, 25 hundre); 3.049 (3 heltall, 49 tusendeler). Alle eksempler er hentet fra forrige definisjon.

På brevet som et desimalpunkt brukes ofte komma. Her og på hele nettstedet vil også bli brukt av kommaet.

For å skrive en vilkårlig desimalfraksjon i det angitte skjemaet, må du utføre tre enkle trinn:

1. Skriv separat neller;
2. Skift desimalpunktet til venstre for så mange tegn som null inneholder en nevner. Det er opprinnelig et desimalpunkt til høyre for alle tallene;
3. Hvis desimalpunktet beveget seg, og etter det, ble nullene igjen på slutten av posten, de må bli skjøvet.

Det skjer at tallet i det andre trinnet mangler tallene for å fullføre skiftet. I dette tilfellet er de manglende stillingene fylt med nuller. Og generelt, til venstre for et hvilket som helst tall, er det mulig å tilordne et hvilket som helst antall nuller uten fordommer for helse. Det er stygg, men noen ganger nyttig.

Ved første øyekast kan denne algoritmen virke ganske vanskelig. Faktisk er alt veldig veldig enkelt - du trenger bare å øve litt. Ta en titt på eksemplene:

En oppgave. For hver brøkdel, spesifiser dens desimalpost:

Telleren til den første fraksjonen: 73. Vi beveger desimaltegnet til ett tegn (fordi det i nevneren koster 10) - vi får 7,3.

Den andre fraksjonen teller: 9. Vi flytter desimaltegnet for to tegn (fordi det koster 100 i nevneren) - vi får 0,09. Jeg måtte avslutte en null etter desimalpunktet og en mer - foran den, for ikke å legge igjen en merkelig oversikt over skjemaet "09".

Den tredje fraksjonen teller: 10029. Vi flytter desimaltegnet for tre tegn (fordi i nevneren koster 1000) - vi får 10.029.

Teller av den siste fraksjonen: 10500. Vi flytter igjen punktet for tre tegn - vi får 10.500. På slutten av tallet ble ekstra nuller dannet. Uskryp dem - vi får 10,5.

Vær oppmerksom på de to siste eksemplene: Numbers 10.029 og 10.5. Ifølge reglene må nuller til høyre være stresset, slik det er gjort i det siste eksemplet. Men i intet tilfelle kan ikke komme så med nuller, står i nummeret (som er omgitt av andre tall). Derfor fikk vi 10.029 og 10.5, ikke 1,29 og 1,5.

Så, med definisjonen og formen av registrering av desimalfaner funnet ut. Finn nå hvordan du oversetter vanlige fraksjoner til desimal - og omvendt.

Overgang fra vanlige fraksjoner til desimal

Vurder en enkel numerisk brøkdel av skjemaet A / B. Du kan bruke den viktigste egenskapen til fraksjonen og multiplisere telleren og nevnen til et slikt tall slik at bunnen er graden av dusinvis. Men før du gjør dette, les følgende:

Det er nevner som ikke fører til grader av dusinvis. Lær å gjenkjenne slike fraksjoner, fordi du ikke kan jobbe med algoritmen som er beskrevet nedenfor.

Det er det. Vel, hvordan å forstå, er nevneren gitt til graden av dusinvis eller ikke?

Svaret er enkelt: Spred nevneren til vanlige faktorer. Hvis bare multiplikatorer 2 og 5 er tilstede i dekomponeringen, kan dette tallet bringes til grader av dusinvis. Hvis det er andre tall (3, 7, 11 - noe), kan du glemme grader.

En oppgave. Sjekk om det er mulig å sende inn de angitte fraksjonene i form av desimal:

Drikk og spre nevnerne av disse fraksjonene for faktorer:

20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 2 · 5 - Det er bare tall 2 og 5. Derfor kan fraksjonen være representert som desimal.

12 \u003d 4 · 3 \u003d 2 2 · 3 - Det er en "forbudt" multiplikator 3. Fraksjonen er ikke forestilt i form av et desimal.

640 \u003d 8 · 8 · 10 \u003d 2 3 · 2 3 · 2 · 5 \u003d 2 7 · 5. Alt er i orden: I tillegg til tall 2 og 5 er det ingenting. Fraksjonen presenteres i form av et desimal.

48 \u003d 6 · 8 \u003d 2 · 3 · 2 3 \u003d 2 4 · 3. Ambulanse igjen "Surfaced" 3. For å presentere i form av et tiår, er det umulig.

Så, med nevneren funnet ut - nå vurdere hele algoritmen for overgangen til desimalfraksjoner:

1. Eliminer nevneren til den første fraksjonen på multiplikatorer og sørg for at den generelt er forestilt i form av et desimal. De. Kontroller at bare multiplikatorer 2 og 5 er tilstede i ekspansjonen; ellers virker algoritmen ikke;
2. Telle hvor mange kropper og fem som er tilstede i dekomponeringen (det vil ikke være andre tall der, husk?). Plukk opp en slik ekstra faktor slik at mengden bobs og fem kommer med.
3. Faktisk, multipliser telleren og denominatoren til den første fraksjonen på denne multiplikatoren - vi får ønsket visning, dvs. I nevneren vil stå graden av dusinvis.

Selvfølgelig vil en ekstra multiplikator også bli oppdaget bare for to og fives. Samtidig, for ikke å komplisere livet, bør du velge den minste slike multiplikatoren av alt mulig.

Og likevel: Hvis i den opprinnelige fraksjonen er det en hel del, må du oversette denne fraksjonen i feil - og bare bruk den beskrevne algoritmen.

En oppgave. Oversett data Numeriske fraksjoner til desimal:

Misligholder nevneren av den første fraksjonen: 4 \u003d 2 · 2 \u003d 2 2. Følgelig vil fraksjonen representere i form av et desimal. I dekomponeringen er det to to og ikke en enkelt fem, slik at en ekstra faktor er 5 2 \u003d 25. Mengden bobs og fem kommer med den. Vi har:

Nå skal vi finne ut det med den andre fraksjonen. For å gjøre dette, merker vi at 24 \u003d 3 · 8 \u003d 3 · 2 3 - Trioen er tilstede i dekomponeringen, slik at fraksjonen ikke er forestilt som desimal.

De to siste fraksjonene har nevnerne 5 (et enkelt tall) og henholdsvis 20 \u003d 4 · 5 \u003d 2 2 · 5, er det bare to og firer overalt. Samtidig, i det første tilfellet, "for fullstendig lykke" mangler en multiplikator 2, og i den andre - 5. Vi får:

Overgang fra desimalfraksjoner til vanlige

Omvendt transformasjon - fra desimalformen for opptak til normal - det gjøres mye lettere. Det er ingen restriksjoner og spesielle sjekker, så vi kan alltid oversette desimalfraksjonen i den klassiske "to-etasjes".

Oversettelse algoritme neste:

1. Rett alle nuller i desimalfraksjonen til venstre, så vel som et desimalpunkt. Det vil være en teller av ønsket brøkdel. Det viktigste er ikke å overdrive det og ikke krysse de interne nullene, omgitt av andre tall;
2. Telle hvor mange tegn står i den opprinnelige desimalfraksjonen etter kommaet. Ta nummer 1 og legg til høyre som mye nuller, hvor mange tegn du teller. Det vil være en nevner;
3. Egentlig skriv ned brøkdelen, telleren og nevneren som vi nettopp har funnet. Hvis mulig, reduser du. Hvis en hel del var tilstede i den første fraksjonen, vil vi nå få feil fraksjon, noe som er veldig praktisk for videre databehandling.

En oppgave. Oversett desimalfraksjoner til normal: 0,008; 3,107; 2,25; 7.2008.

Jeg vil krysse nullene til venstre og komma - vi får følgende tall (disse vil være tall): 8; 3107; 225; 72008.

I den første og i andre fraksjoner etter kommaet er det 3 tegn, i den andre - 2, og i den tredje - så mange som 4 tegn. Vi får nevnerne: 1000; 1000; 100; 10.000.

Endelig kombinere tall og nevner i vanlige fraksjoner:

Som det fremgår av eksempler, kan den resulterende fraksjonen ofte bli redusert. Igjen, merker jeg at en hvilken som helst desimalfraksjon er tilstede i form av vanlig. Omvendt transformasjon kan ikke alltid gjøres.