Bli ferdig. Furnitura. Reparasjoner. Installasjon. Valg. Åpning
Dato: 11/20/2014.
Hva er et derivat?
Bordderivater.
Derivatet er en av de viktigste konseptene av høyere matematikk. I denne leksjonen vil vi bli kjent med dette konseptet. Det er å bli kjent, uten strenge matematiske formuleringer og bevis.
Denne bekjentskapet vil tillate:
Forstå essensen av enkle oppgaver med derivatet;
Vellykket løse disse svært enkle oppgavene;
Forbered deg på mer alvorlige derivatleksjoner.
Først en hyggelig overraskelse.)
Strenge bestemmelse av derivatet er basert på teorien om grenser og tingen er ganske komplisert. Det grieves. Men den praktiske anvendelsen av derivatet, som regel, krever ikke så omfattende og dyp kunnskap!
For den vellykkede implementeringen av de fleste oppgaver på skolen og universitetet, er det nok å vite bare noen få vilkår - Å forstå oppgaven, og bare noen få regler - Å løse det. Og det er det. Dette gjør meg glad.
La oss starte bekjentskap?)
Vilkår og betegnelser.
I elementær matematikk, mange matematiske operasjoner. Tillegg, subtraksjon av multiplikasjon, trening i en grad, logaritme, etc. Hvis du legger til mer på disse operasjonene, blir elementær matematikk den høyeste. Denne nye operasjonen kalles differensiering. Definisjonen og meningen med denne operasjonen vil bli diskutert i separate leksjoner.
Det er viktig her Det er viktig å forstå at differensiering bare er en matematisk drift av funksjonen. Vi tar noen funksjon, og ifølge en viss regler konverterer vi det. Resultatet blir en ny funksjon. Dette er denne nye funksjonen og kalles: derivat.
Differensiering - Handling på funksjon.
Derivat - Resultatet av denne handlingen.
Akkurat som for eksempel, sum - Resultatet av tillegg. Eller privat - Resultatet av divisjonen.
Å vite vilkårene, kan du minst forstå oppgavene.) Ordlyden er slik: finn en avledet funksjon; ta et derivat; Differensiere funksjon; Beregne derivatet etc. Det er alt samme. Selvfølgelig er det mer komplekse oppgaver hvor funnet av derivatet (differensiering) vil være bare ett av trinnene for å løse oppgaven.
Derivatet er betegnet av slaget øverst til høyre over funksjonen. Som dette: y " eller f "(x) eller S "(t) etc.
Lesning cheregor Barcode, EF Barcter fra X, ES-streik fra TE, Vel, du forstod ...)
Strekkoden kan også betegne et derivat av en bestemt funksjon, for eksempel: (2x + 3) ", (X. 3 )" , (SINX) " etc. Ofte blir derivatet betegnet av differensialer, men vi vil ikke vurdere en slik betegnelse i denne leksjonen.
Anta at vi lærte å forstå oppgavene. Det er ingenting igjen å lære å bestemme.) La oss minne igjen: Finne et derivat - dette konvertere funksjon i henhold til en bestemt regler. Disse reglene, overraskende, ganske mye.
For å finne en derivatfunksjon, må du bare vite tre ting. Tre hvaler som alle differensieringskostnader. Her er de disse tre hvalene:
1. Tabell av derivater (differensieringsformler).
3. Derivatkompleksfunksjon.
La oss starte i orden. I denne leksjonen bør du vurdere tabellen av derivater.
Bordderivater.
I verden - uendelig mange funksjoner. Blant dette settet er det funksjoner som er viktigst for praktisk anvendelse. Disse funksjonene sitter i alle naturlover. Fra disse funksjonene, som fra murstein, kan du konstruere alle de andre. Denne klassen av funksjoner kalles elementære funksjoner. Det er disse funksjonene som studeres i skolen - lineær, kvadratisk, hyperbole, etc.
Differensiering av funksjoner "fra scratch", dvs. Basert på bestemmelsen av derivatet og grensens teori - er tingen ganske tidkrevende. Og matematikere er også folk, ja - ja!) Så de er ganske enkelt forenklet livet (og oss). De beregnede derivative elementære funksjoner til oss. Det viste seg et bord med derivater, hvor alt er allerede klart.)
Her er det, denne platen for de mest populære funksjonene. Venstre - Elementær funksjon, Høyre - Dens derivat.
| Funksjon y. |
Derivatfunksjonen y. y " |
|
| 1 | C (permanent verdi) | C "\u003d 0 |
| 2 | x. | x "\u003d 1 |
| 3 | x n (n - et hvilket som helst nummer) | (x n) "\u003d nx n-1 |
| x 2 (n \u003d 2) | (x 2) "\u003d 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | synd X. | (SIN X) "\u003d COSX |
| cOS X. | (Cos x) "\u003d - synd x | |
| tG X. |  |
|
| cTG X. |  |
|
| 5 | arcsin X. |  |
| arcCOS X. |  |
|
| arktg X. |  |
|
| arcctg X. |  |
|
| 4 | eN. X. |  |
| e. X. | ||
| 5 | logg. EN.x. |  |
| ln x ( a \u003d E.) |
Jeg anbefaler å være oppmerksom på den tredje gruppen av funksjoner i denne tabellen av derivater. Derivatet av strømfunksjonen er en av de vanligste formlene, med mindre de mest forbrukerne! Et hint er forståelig?) Ja, er det ønskelig å vite ved hjertet. Forresten, det er ikke så vanskelig som det kan virke. Prøv å løse flere eksempler, selve bordet vil også bli husket!)
Finn et tabellverdi derivat som du forstår, oppgaven er ikke den vanskeligste. Derfor er det ofte flere sjetonger i slike oppgaver. Enten i ordlyden av oppgaven, eller i den opprinnelige funksjonen, som i tabellen ser ut til å være nei ...
Vurder noen få eksempler:
1. Finn derivatfunksjonen y \u003d x 3
Det er ingen slik funksjon i tabellen. Men det er et derivat av strømfunksjonen generelt form (tredje gruppe). I vårt tilfelle, n \u003d 3. Så vi erstatter de tre øverste i stedet for n og nøye skriver resultatet:
(X. 3) "\u003d 3 · x 3-1 = 3x. 2
Det er alt.
Svar: y "\u003d 3x 2
2. Finn verdien av derivatfunksjonen Y \u003d SINX på punkt X \u003d 0.
Denne oppgaven betyr at du først må finne et derivat av sinus, og deretter erstatte verdien x \u003d 0. Til dette svært derivatet. Det er i denne rekkefølgen! Og så skjer det, umiddelbart erstatter null i den opprinnelige funksjonen ... Vi blir også bedt om å finne betydningen av den opprinnelige funksjonen, men verdien dets derivatet. Derivatet, påminner - dette er allerede en ny funksjon.
På bordet finner vi sinus og det tilsvarende derivatet:
y "\u003d (sin x)" \u003d cosx
Vi erstatter null til derivatet:
y "(0) \u003d cos 0 \u003d 1
Dette vil svare.
3. Differensieringsfunksjon:
Hva inspirerer?) En slik funksjon i tabellen av derivater og er ikke nært.
La meg minne deg på at funksjonen er å finne derivatet til denne funksjonen direkte. Hvis du glemmer den grunnleggende trigonometrien, er søk etter derivatet av vår funksjon ganske plagsom. Tabellen hjelper ikke ...
Men hvis du ser at vår funksjon er kosinus Double Corner.Så går alt umiddelbart opp!
Ja ja! Husk at konverteringen av den opprinnelige funksjonen før differensiering Det er fullt tillatt! Og det skjer, flott letter livet. Ved den kosete formelen av en dobbeltvinkel:
De. Vår vanskelige funksjon er ingenting annet enn y \u003d cosx.. Og dette er en tabellfunksjon. Umiddelbart få:
Svar: y "\u003d - synd x.
Eksempel på avanserte kandidater og studenter:
4. Finn en derivatfunksjon:
Det er selvsagt ingen slik funksjon i tabellen av derivater. Men hvis du husker den elementære matematikken, handlingen med grader ... så er det ganske mulig å forenkle denne funksjonen. Som dette:
Og graden er en tiendedel i graden - dette er en tabellfunksjon! Tredje gruppe, n \u003d 1/10. Direkte med formelen og nedskrivning:
Det er alt. Det blir svaret.
Jeg håper at med den første designets første cyt - bordet av derivater - alt er klart. Det gjenstår å håndtere de to gjenværende hvalene. I den neste leksjonen vil jeg mestre differensieringsreglene.
Første nivå
Avledet funksjon. Uttømmende veiledning (2019)
Tenk deg en rett vei som passerer gjennom et kupert område. Det vil si det, det går ned, men rett eller venstre blir ikke svinger. Hvis aksen er rettet langs veien horisontalt, og - vertikalt, vil veien på veien være svært lik en tidsplan for en kontinuerlig funksjon:
Aksen er et visst nivå på null høyde, vi bruker nivået på havet som det.
Fremover på en slik vei, flytter vi også opp eller ned. Vi kan også si: Når argumentet endres (avansert langs abscissa-aksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). Og la oss nå tenke på hvordan du bestemmer "brattheten" av veien vår? Hva kan det være for størrelsen? Veldig enkelt: Hvor mye vil høyden endres når du går videre for en viss avstand. Tross alt, i forskjellige deler av veien, fremover (langs abscissa-aksen) i en kilometer, vil vi stige eller falle på et annet antall meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).
Kampanje fremover for å bli betegnet (les "Delta X").
Det greske brevet (Delta) i matematikk brukes vanligvis som et prefiks som betyr "endring". Det er - dette er en endring i verdien - endring; Så hva er det? Det er riktig, endrer verdi.
Viktig: Ekspresjon er et enkelt heltall, en variabel. Du kan aldri rive av "Delta" fra "Iksa" eller noe annet brev! Det er for eksempel.
Så, vi avgikk fremover, horisontalt, på. Hvis linjen på veien vi sammenligner funksjonen med en graf, så hvordan utpeker vi økningen? Sikker, . Det vil si når de går videre på at vi stiger over.
Det er enkelt å beregne beløpet: Hvis vi i begynnelsen var i høyden, og etter flyttet var det på høyden. Hvis sluttpunktet viste seg å være lavere enn den første, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke går opp, men la ned.
La oss gå tilbake til "brattheten": Dette er verdien som viser hvor mye sterkt (kul) øker høyden når du går videre per enhetsavstand:
Anta at på et sted på banen når du beveger deg på Km, stiger veien opp på Km. Deretter er brattheten på dette stedet likeverdig. Og hvis veien når du markedsfører på M sank til km? Så er den bratte lik.
Nå vurdere toppen av en bakke. Hvis du tar begynnelsen på stedet i en halv kilometer til toppen, og slutten - etter en halv kilometer etter det, kan det ses at høyden er nesten den samme.
Det er i vår logikk, det viser seg at brattheten her er nesten lik , noe som tydeligvis ikke er sant. Bare på avstand i km kan det forandre seg mye. Det er nødvendig å vurdere mindre seksjoner for en mer tilstrekkelig og nøyaktig vurdering av brattheten. For eksempel, hvis du måler endringen i høyden når du flytter til en meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men denne nøyaktigheten kan ikke være nok for oss - fordi hvis det er en søyle i midten av veien, kan vi bare slippe den. Hvilken avstand velger du? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!
I det virkelige liv, måling av avstanden med en nøyaktighet til Miliethra - mer enn nok. Men matematikere streber alltid for fortreffelighet. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig litenDet vil si at størrelsen på modulen er mindre enn noe som bare kan kalles. For eksempel sier du: en trillion! Hvor er mindre? Og du arkiverte dette nummeret på - og det blir enda mindre. Etc. Hvis vi ønsker å skrive at størrelsen er uendelig liten, skriver vi slik: (jeg leste "X er streve for null"). Det er veldig viktig å forstå at dette nummeret ikke er null! Men veldig nært til ham. Dette betyr at det kan deles inn i det.
Konseptet motsatt er uendelig liten - uendelig stor (). Du snakket allerede sannsynligvis med ham da jeg var engasjert i ulikheter: Dette er antall moduler mer enn et hvilket som helst nummer som kan oppfunnes. Hvis du kom opp med det største av de mulige tallene, bare multipliser det til to, og det vil vise seg enda mer. Og uendelig enda mer enn hva som skjer. Faktisk revers den uendelig store og uendelig små, det er, det vil si når, og tvert imot: når.
Nå tilbake til veien vår. Den perfekt tellede brattheten er en bongeon, beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:
Jeg merker at med en uendelig liten bevegelse, vil endringen i høyden også være uendelig liten. Men jeg påminner deg, uendelig liten - betyr ikke lik null. Hvis du deler uendelig små tall hver andre, kan det være ganske vanlig nummer, for eksempel. Det vil si at en lav verdi kan være nøyaktig mer enn en gang til.
Hva er alt dette? Veien, brattheten ... Vi kommer ikke til å gå til Rally, og vi lærer matematikk. Og i matematikk er alt bare det samme, bare kalt annerledes.
Begrepet derivat
Funksjonenes derivat er forholdet mellom økningen av funksjonen til økningen av argumentet med en uendelig liten økning av argumentet.
Øke I matematikk samtale endring. Hvor mye argumentet endret () når de beveger seg langs aksen kalles økning av argumentet og referert til hvor mye funksjonen endret (høyde) når de beveger seg fremover langs aksen, kalles, kalt økning av funksjonen og er betegnet.
Så, den avledede funksjonen er holdning til når. Vi angir derivatet av samme brev som funksjon, bare med stroke til høyre: eller enkelt. Så, vi vil skrive derivatformelen ved hjelp av denne notasjonen:
Som i analogi med dyrt her, med en økning i funksjonen, er derivatet positivt, og når det er redusert er negativt.
Skjer det derivatet med null? Sikker. For eksempel, hvis vi går langs en flat horisontal vei, er den bratte null. Og sannheten er, høyden er ikke helt endring. Så med derivatet: Derivatet av den konstante funksjonen (konstant) er null:
siden økningen av en slik funksjon er null på noen.
La oss huske eksemplet fra bakken. Det viste seg at det var mulig at du kan plassere endene på segmentet langs forskjellige retninger fra toppunktet at høyden på endene viser seg å være det samme, det vil si at segmentet er plassert i parallellaksen:
Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil øke vår kutt opp parallelt med deg selv, så vil lengden reduseres.
Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig lite. Men samtidig forblir det parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i slutten er null (ikke søker, nemlig lik). Så derivat
Det er mulig å forstå dette: Når vi står på toppen av toppen, er den lille forskyvningen til venstre eller høyre endring vår høyde ubetydelig.
Det er en rent algebraisk forklaring: venstre for toppen er funksjonen øker, og til høyre - reduseres. Som vi allerede har funnet ut tidligere, med en økning i funksjonen, er derivatet positivt, og som synkende, er negativt. Men det endres jevnt, uten hopp (fordi veien ikke endrer hellingen hvor som helst). Derfor må mellom negative og positive verdier være. Han vil være der funksjonen ikke øker, eller reduserer - på toppunktspunktet.
Det samme gjelder for depresjonen (området der funksjonen til venstre faller, og til høyre øker):
Litt mer om trinn.
Så, vi endrer argumentet etter størrelsen. Endre fra hvilken verdi? Hva er han (argument) nå? Vi kan velge ethvert punkt, og nå vil vi danse fra det.
Vurder et punkt med koordinaten. Verdien av funksjonen i den er lik. Deretter gjør du noe å øke: øke koordinaten på. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Og hva er verdien av funksjonen nå? Hvor argumentet, der og funksjonen :. Og hva med inkrementet av funksjonen? Ingenting nytt: Det er fortsatt omfanget av hvilken funksjonen har endret seg:
Øv på å finne trinn:
- Finn økningen av funksjonen på det punktet når argumentet øker.
- Det samme for funksjonen på punktet.
Løsninger:
På forskjellige punkter på en og samme trinn på argumentet, vil økningen av funksjonen være annerledes. Det betyr at derivatet på hvert punkt er sitt eget (vi diskuterte i begynnelsen - den brattheten i veien på forskjellige punkter er annerledes). Derfor, når vi skriver et derivat, må du spesifisere på hvilket tidspunkt:
Strømfunksjon.
Strømmen kalles funksjonen der argumentet er i noen grad (logisk, ja?).
Videre, til enten :.
Det enkleste tilfellet er når graden indikatoren:
Vi finner sitt derivat på punktet. Vi husker definisjonen av derivatet:
Så endres argumentet fra før. Hva er økningen av funksjonen?
Økning er. Men funksjonen på et hvilket som helst punkt er lik sitt argument. Derfor:
Derivatet er lik:
Avledet fra like:
b) Vurder nå den kvadratiske funksjonen () :.
Og husk det. Dette betyr at verdien av økning kan forsømmes, siden det er uendelig lite, og derfor ubetydelig mot bakgrunnen til et annet begrep:
Så, vi ble født neste regel:
c) Vi fortsetter det logiske området :.
Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: å avsløre den første braketten med formelen til forkortet multiplikasjon av kubenbeløpet, eller dekomponere hele uttrykket på faktorene av kubeforskjellen. Prøv å gjøre det selv på noen av de foreslåtte måtene.
Så, jeg fikk følgende:
Og igjen husk det. Dette betyr at du kan forsømme av alle vilkårene som inneholder:
Vi får :.
d) Lignende regler kan fås for store grader:
e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en strømfunksjon med en vilkårlig indikator, ikke engang:
| (2) |
Du kan formulere regelen med ord: "Graden blir tatt frem som koeffisient, og deretter reduseres med".
La oss bevise denne regelen senere (nesten i slutten). Og nå vurdere noen få eksempler. Finn avledede funksjoner:
- (på to måter: med formelen og ved bruk av derivatbestemmelsen - med tanke på inkrementet av funksjonen);
- . Du vil ikke tro, men dette er en strømfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er det? Og hvor er graden? ", Husk emnet" "!
Ja, roten er også graden, bare fraksjonal :.
Så vår kvadratrot er bare en grad med en indikator:
.
Vi leter etter en nylig lært formel:Hvis det på dette stedet ble uforståelig igjen, gjenta emnet "" !!! (om graden med en negativ indikator)
- . Nå indikatoren for graden:
Og nå gjennom definisjonen (jeg har ikke glemt ennå?):
;
.
Nå, som vanlig forsømmer vilkårene som inneholder:
. - . Kombinasjon av tidligere tilfeller :.
Trigonometriske funksjoner.
Her vil vi bruke et faktum av den høyeste matematikken:
Når du uttrykker.
Beviset du vil vite i det første året av instituttet (og å være der, må du passere det godt). Bare bare vis det grafisk:
Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - punktet på grafen av befolkningen. Men jo nærmere verdien, jo nærmere funksjonen til. Dette er den mest "streve".
Du kan i tillegg sjekke denne regelen ved hjelp av kalkulatoren. Ja, ja, vær ikke sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på eksamen ennå.
Så prøv :;
Ikke glem å overføre kalkulatoren til "Radian" -modus!
etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere verdien av forholdet til.
a) Vurder funksjonen. Som vanlig vil vi finne økningen:
Vri forskjellen i Sines i arbeidet. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet "") :.
Nå derivatet:
Vi vil erstatte :. Så, med uendelig liten, er det også uendelig liten :. Uttrykket for tar skjemaet:
Og nå husker du det når du uttrykker. Og også at hvis den uendelig lave verdien kan forsømmes i mengden (det vil si når).
Så, vi får følgende regel: Sinusderivat lik Cosine:
Dette er grunnleggende ("tabular") derivater. Her er de en liste:
Senere legger vi til dem noen flere, men disse er de viktigste, som de oftest brukes.
Øve på:
- Finn avledet funksjon på punkt;
- Finn avledet funksjon.
Løsninger:
- Først finner vi derivatet generelt, og erstatter deretter i stedet for sin verdi:
;
. - Her har vi noe som ligner på strømfunksjonen. La oss prøve å bringe det til
Normal form:
.
Utmerket, nå kan du bruke formelen:
.
. - . Eeeeee ... .. hva er det ????
Ok, du har rett, vi vet fortsatt ikke hvordan man finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:
Utstiller og naturlig logaritme.
Det er en slik funksjon i matematikk, derivatet som med enhver likeverdig verdi av funksjonen selv på samme måte. Det kalles "utstiller", og er en indikativ funksjon
Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant er en uendelig desimalfraksjon, det vil si tallet er irrasjonell (som). Det kalles "antall Euler", og betegner derfor brevet.
Så, regelen:
Husk veldig enkelt.
Vel, la oss ikke gå langt, vi vil umiddelbart vurdere omvendt funksjon. Hvilken funksjon er omvendt for en indikativ funksjon? Logaritme:
I vårt tilfelle er grunnlaget nummeret:
En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og for det bruker vi en spesiell betegnelse: i stedet for å skrive.
Hva er lik? Selvfølgelig, .
Derivatet av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:
Eksempler:
- Finn avledet funksjon.
- Hva er den avledede funksjonen like?
Svar: Utstiller og naturlig logaritme - funksjonene er unikt enkle fra det derivatens synspunkt. Exchange- og logaritmiske funksjoner med annen base vil ha et annet derivat, som vi vil analysere senere med deg, etter å ha bestått differensieringsreglene.
Differensieringsregler
Regler hva? Igjen det nye begrepet, igjen?! ...
Differensiering - Dette er prosessen med å finne et derivat.
Bare og alt. Og hvordan kan ellers søke denne prosessen i ett ord? Ikke en produksjon av ... Differansen av matematikk kalles mest økning av funksjonen på. Denne begrepet skjer fra Latin Differentia - en forskjell. Her.
Når vi viser alle disse reglene, vil vi for eksempel bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for deres inkrementer:
Totalt er det 5 regler.
Konstanten er laget av tegnet av derivatet.
Hvis - en slags konstant tall (konstant), da.
Tydeligvis fungerer denne regelen for forskjell :.
Vi beviser. La eller enklere.
Eksempler.
Finn avledede funksjoner:
- på punktet;
- på punktet;
- på punktet;
- på punktet.
Løsninger:
- (Derivatet er det samme i alle poeng, siden dette er en lineær funksjon, husk?);
Avledet arbeid
Her er alt lignende: Vi introduserer en ny funksjon og finner økningen:
Derivat:
Eksempler:
- Finn derivater av funksjoner og;
- Finn funksjonsderivatet på punktet.
Løsninger:
Derivat indikativ funksjon
Nå er din kunnskap nok til å lære å finne et derivat av en hvilken som helst indikativ funksjon, og ikke bare utstillere (ikke glemt hva det er?).
Så, hvor er noe nummer.
Vi kjenner allerede derivatfunksjonen, så la oss prøve å få vår funksjon til en ny base:
For å gjøre dette, bruker vi en enkel regel :. Deretter:
Vel, det viste seg. Prøv nå å finne et derivat, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.
Skjedde?
Her, sjekk deg selv:
Formelen viste seg å være veldig lik derivatutstillingen: Som det var, ble det forblev, bare en multiplikator dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.
Eksempler:
Finn avledede funksjoner:
Svar:
Dette er bare et tall som ikke kan telles uten kalkulator, det vil si, ikke å registrere i en enklere form. Derfor, som svar i dette skjemaet og forlater.
Derivatlogaritmisk funksjon
Her er lik: Du vet allerede derivatet fra den naturlige logaritmen:
Derfor, for å finne en vilkårlig fra logaritmen med en annen grunn, for eksempel:
Du må ta med denne logaritmen til basen. Og hvordan å endre grunnlaget for logaritmen? Jeg håper du husker denne formelen:
Bare nå i stedet vil vi skrive:
I nevneren viste det seg bare et konstant (konstant tall uten variabel). Derivatet er veldig enkelt:
Derivatene til de indikative og logaritmiske funksjonene finnes nesten ikke i eksamen, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.
Derivatkompleks funksjon.
Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, det er ikke en logaritme, og ikke arktang. Disse funksjonene kan være komplekse for forståelse (selv om logaritmen ser ut til deg vanskelig, les emnet "logaritmer" og alt vil passere), men fra matematikkens synspunkt betyr ordet "kompleks" ikke "vanskelig".
Tenk deg en liten transportør: To personer sitter og har noen form for handlinger med noen objekter. For eksempel, den første wraps en sjokolade i omslaget, og det andre innebærer det med et bånd. Det viser seg en slik integrert gjenstand: en sjokolade, innpakket og kantet med et bånd. For å spise en sjokolade må du gjøre omvendt handling i omvendt rekkefølge.
La oss lage en lignende matematisk transportør: Først finner vi en cosine av nummeret, og deretter det resulterende tallet som skal reist til en firkant. Så, vi gir et tall (sjokolade), jeg finner sin cosine (wrap), og så vil du bli reist av det jeg gjorde, i en firkant (bind til båndet). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: Når vi skal finne betydningen, gjør vi den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en annen handling med det som skjedde som følge av den første.
Vi kan helt gjøre de samme handlingene og i omvendt rekkefølge: Først vil du bli reist til en firkant, og så ser jeg etter en cosine av det resulterende nummeret :. Det er lett å gjette at resultatet vil være nesten alltid annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: Når prosedyren endres, endres funksjonen.
Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon, som er en annen funksjon som er en annen funksjon.: .
For det første eksempelet ,.
Det andre eksempelet: (det samme). .
Handling som vi gjør sistnevnte vil ringe "Ekstern" -funksjon, og handlingen som utføres først - henholdsvis "Intern" -funksjon (Dette er uformelle navn, jeg bruker dem bare for å forklare materialet på enkel språk).
Prøv å bestemme meg selv hvilken funksjon som er ekstern, og som er internt:
Svar:Separasjonen av interne og eksterne funksjoner er svært lik erstatning av variabler: for eksempel i funksjon
- Først skal vi utføre hvilken handling? For det første, vurder sinus, men bare deretter reist i kuben. Så, den interne funksjonen og den eksterne.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning :. - Indre:; Eksternt :.
Sjekk :. - Indre:; Eksternt :.
Sjekk :. - Indre:; Eksternt :.
Sjekk :. - Indre:; Eksternt :.
Sjekk :.
vi produserer en erstatning av variabler og får en funksjon.
Vel, nå vil vi trekke ut vår sjokolade sjokolade - Søk etter et derivat. Prosedyren er alltid omvendt: Først leter vi først etter et eksternt funksjonsderivat, deretter multipliserer resultatet på derivatet til den interne funksjonen. Med hensyn til det opprinnelige eksempelet ser det ut til dette:
Et annet eksempel:
Så, vi formulerer endelig den offisielle regelen:
Algoritmen for å finne en derivatkompleksfunksjon:
Det ser ut til å være enkelt, ja?
Sjekk på eksemplene:
Løsninger:
1) Internt :;
Eksternt :;
2) Internt :;
(Bare ikke tenk nå å kutte på! Fra under cosinus, er ingenting gjort, husk?)
3) Internt :;
Eksternt :;
Det er umiddelbart sett at her er en tre-nivå kompleks funksjon: Tross alt er det allerede en kompleks funksjon selv, og det fjerner fortsatt roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (sjokolade i omslaget og med Et bånd satt inn i porteføljen). Men det er ingen grunn til å være redd: Alt det samme "pakke ut" Denne funksjonen vil være i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.
Det vil si, først bruke roten, deretter cosine, og bare deretter uttrykk i parentes. Og så alle disse variablene.
I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlinger. Det er, forestill deg at vi er kjent. Hvilken rekkefølge skal vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? Vi vil undersøke eksemplet:
Den senere handlingen finner sted, jo mer vil den "eksterne" være den tilsvarende funksjonen. Sekvens av handlinger - som før:
Her er nestingen generelt 4-nivå. La oss bestemme prosedyren.
1. Tvunget uttrykk. .
2. Root. .
3. SINUS. .
4. Square. .
5. Vi samler alt i en haug:
Derivat. Kort om det viktigste
Avledet funksjon - Forholdet mellom økningen av funksjonen til økningen av argumentet med en uendelig liten økning av argumentet:
Grunnleggende derivater:
Differensieringsregler:
Konstanten er laget for tegnet av derivatet:
Avledet beløp:
Produksjonsarbeid:
Privat derivat:
Derivative kompleks funksjon:
Algoritme for å finne et derivat av kompleks funksjon:
- Vi definerer den "interne" funksjonen, vi finner sitt derivat.
- Vi definerer "ekstern" -funksjonen, vi finner sitt derivat.
- Multipliser resultatene av de første og andre elementene.
Beregningen av derivatet er ofte funnet i eksamensens oppgaver. Denne siden inneholder en liste over formler for å finne derivater.
Differensieringsregler
- (k⋅ f (x)) '\u003d k⋅ f' (x).
- (f (x) + g (x)) '\u003d f' (x) + g '(x).
- (F (x) ⋅ g (x)) '\u003d f' (x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g '(x).
- Derivatkompleks funksjon. Hvis y \u003d f (u), og u \u003d u (x), kalles funksjonen y \u003d f (x) \u003d f (u (x)) en kompleks funksjon fra x. Lik y '(x) \u003d fu'⋅ ux'.
- Derivat implisitt funksjon. Funksjonen Y \u003d F (x) kalles en implisitt funksjon gitt av forholdet f (x, y) \u003d 0, hvis f (x, f (x)) ≡0.
- Avledet omvendt funksjon. Hvis G (f (x)) \u003d x, kalles funksjonen G (x) den omvendte funksjonen for funksjonen Y \u003d f (x).
- Derivatet av den parametrisk spesifiserte funksjonen. La x og y bli gitt som funksjoner fra variabelen T: x \u003d x (t), y \u003d y (t). Det sies at y \u003d y (x) en parametrisk definert funksjon på gapet X∈ (A, B), hvis ligningen x \u003d x (t) kan uttrykkes i skjemaet t \u003d t (x) og bestem funksjonen y \u003d y (t (x)) \u003d y (x).
- Derivatet av den trinnvise indikativ funksjonen. Ligger ved logariting basert på en naturlig logaritme.
Hvis du følger definisjonen, er derivatet av funksjonen på punktet grensen for forholdet til inkrementfunksjonen Δ y. til økningen av argumentet δ x.:
Det virker som alt er klart. Men prøv å beregne i henhold til denne formelen, si derivatfunksjonen f.(x.) = x. 2 + (2x. + 3) · e. x. · Sin. x.. Hvis du gjør alt per definisjon, så etter et par databehandlingssider, faller du bare. Derfor er det enklere og effektive måter.
Til å begynne med, merker vi at de såkalte elementære funksjonene kan skilles fra ulike funksjoner. Disse er relativt enkle uttrykk, hvor derivatene har lenge blitt beregnet og oppført i tabellen. Slike funksjoner husker bare bare - sammen med deres derivater.
Derivater av elementære funksjoner
Elementære funksjoner er alt som er oppført nedenfor. Derivater av disse funksjonene bør være kjent av hjertet. Videre, å huske dem ganske enkle - de er elementære.
Så, derivater av elementære funksjoner:
| Navn | Funksjon | Derivat |
| Konstant | f.(x.) = C., C. ∈ R. | 0 (ja ja, null!) |
| Rasjonell | f.(x.) = x. n. | n. · x. n. − 1 |
| Sinus | f.(x.) \u003d synd. x. | cos. x. |
| Cosine. | f.(x.) \u003d Cos. x. | - Sin. x. (minus sinus) |
| Tangent. | f.(x.) \u003d Tg. x. | 1 / cos 2 x. |
| Cotangent. | f.(x.) \u003d CTG. x. | - 1 / SIN 2 x. |
| Naturlig logaritme | f.(x.) \u003d ln. x. | 1/x. |
| Vilkårlig logaritme | f.(x.) \u003d Logg. eN. x. | 1/(x. · Ln. eN.) |
| Eksponentiell funksjon | f.(x.) = e. x. | e. x. (ingenting endret seg) |
Hvis elementærfunksjonen multipliseres med en vilkårlig konstant, blir derivatet for den nye funksjonen også lett vurdert:
(C. · f.)’ = C. · f. ’.
Generelt kan konstanter gjøres for et tegn på derivatet. For eksempel:
(2x. 3) '\u003d 2 · ( x. 3) '\u003d 2 · 3 x. 2 = 6x. 2 .
Åpenbart kan elementære funksjoner foldes med hverandre, multiplisert, dele - og mye mer. Så nye funksjoner vil vises, ikke lenger elementær, men også differensiable i henhold til visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.
Derivat av mengden og forskjellen
La funksjonene gitt f.(x.) JEG. g.(x.), derivatene som vi er kjent med. For eksempel kan du ta de grunnleggende funksjonene som diskuteres ovenfor. Deretter kan du finne derivatet av summen og forskjellen på disse funksjonene:
- (f. + g.)’ = f. ’ + g. ’
- (f. − g.)’ = f. ’ − g. ’
Så, derivatet av mengden (forskjell) av de to funksjonene er lik mengden (forskjell) av derivater. Komponentene kan være større. For eksempel, ( f. + g. + h.)’ = f. ’ + g. ’ + h. ’.
Strengt tatt, i algebra er det ikke noe konsept med "subtraksjon". Det er et "negativt element" konsept. Derfor er forskjellen f. − g. kan omskrive som en sum f. + (-1) · g., og så vil bare en formel forbli - et derivat av beløpet.
f.(x.) = x. 2 + synd x; g.(x.) = x. 4 + 2x. 2 − 3.
Funksjon f.(x.) - Dette er summen av to elementære funksjoner, så:
f. ’(x.) = (x. 2 + SIN. x.)’ = (x. 2) '+ (SIN x.)’ = 2x. + Cos x;
På samme måte argumenterer vi for funksjonen g.(x.). Bare det er allerede tre vilkår (fra algebraens synspunkt):
g. ’(x.) = (x. 4 + 2x. 2 − 3)’ = (x. 4 + 2x. 2 + (−3))’ = (x. 4)’ + (2x. 2)’ + (−3)’ = 4x. 3 + 4x. + 0 = 4x. · ( x. 2 + 1).
Svar:
f. ’(x.) = 2x. + Cos x;
g. ’(x.) = 4x. · ( x.
2 + 1).
Avledet arbeid
Matematikk - Vitenskapen er logisk, så mange tror at hvis derivatet av beløpet er lik mengden derivater, så derivatet av arbeidet streik."\u003e er lik produktet av derivater. Men fig. du! Derivatet av arbeidet anses å være ganske på en annen formel. nemlig:
(f. · g.) ’ = f. ’ · g. + f. · g. ’
Formel er enkel, men det blir ofte glemt. Og ikke bare skolebarn, men også studenter. Resultatet er feilaktig løst oppgaver.
En oppgave. Finn avledede funksjoner: f.(x.) = x. 3 · COS X; g.(x.) = (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. .
Funksjon f.(x.) Det er et produkt av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:
f. ’(x.) = (x. 3 · cos. x.)’ = (x. 3) '· cos x. + x. 3 · (cos x.)’ = 3x. 2 · cos. x. + x. 3 · (- synd x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · Sin. x.)
Funksjon g.(x.) Den første faktoren er litt mer komplisert, men den generelle ordningen endres ikke fra dette. Tydeligvis, den første faktorfunksjonen g.(x.) Det er et polynom, og dets derivatet er et derivat av beløpet. Vi har:
g. ’(x.) = ((x. 2 + 7x. - 7) · e. x.)’ = (x. 2 + 7x. - 7) '· e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · ( e. x.)’ = (2x. + 7) · e. x. + (x. 2 + 7x. - 7) · e. x. = e. x. · (2. x. + 7 + x. 2 + 7x. −7) = (x. 2 + 9x.) · e. x. = x.(x. + 9) · e. x. .
Svar:
f. ’(x.) = x. 2 · (3cos x. − x. · Sin. x.);
g. ’(x.) = x.(x. + 9) · e.
x.
.
Vær oppmerksom på at derivatet i det siste trinnet, faller derivatet til multiplikatorer. Formelt er dette ikke nødvendig å gjøre, men de fleste derivater beregnes av seg selv, men for å utforske funksjonen. Så, vil derivatet likestilles til , dets tegn vil bli avklart og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å ha et uttrykk som er lagt ned på multiplikatorer.
Hvis det er to funksjoner f.(x.) JEG. g.(x.), og g.(x.) ≠ 0 På settet av interesse for oss, kan du definere en ny funksjon h.(x.) = f.(x.)/g.(x.). For en slik funksjon kan du også finne et derivat:
Notlabo, ja? Hvor kom minusen fra? Hvorfor g. 2? Det er hvordan! Dette er en av de vanskeligste formlene - uten en flaske vil ikke spre seg. Derfor er det bedre å studere det på spesifikke eksempler.
En oppgave. Finn avledede funksjoner:
I telleren og denominatoren til hver brøkdel er det grunnleggende funksjoner, så alt vi trenger er formelen til et privat derivat:
Ved tradisjon, spred telleren til multiplikatorer - dette vil betydelig forenkle svaret:
En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en formelengde i halv aquicometer. For eksempel er det nok å ta en funksjon f.(x.) \u003d synd. x. og erstatt variabelen x., la oss si x. 2 + ln. x.. Når som helst f.(x.) \u003d synd ( x. 2 + ln. x.) - Dette er en kompleks funksjon. Hun har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det i henhold til reglene som er diskutert ovenfor.
Hvordan være? I slike tilfeller bidrar det til å erstatte variabelen og formelen til derivatkompleksfunksjonen:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ', hvis en x. Erstattet av t.(x.).
Som regel, med en forståelse av denne formelen, er situasjonen enda mer dessverre enn med et privat derivat. Derfor er det også bedre å forklare for spesifikke eksempler, med en detaljert beskrivelse av hvert trinn.
En oppgave. Finn avledede funksjoner: f.(x.) = e. 2x. + 3 ; g.(x.) \u003d synd ( x. 2 + ln. x.)
Merk at hvis i funksjonen f.(x.) i stedet for uttrykk 2 x. + 3 vil være bare x.så viser det seg en elementær funksjon f.(x.) = e. x. . Derfor gjør vi en erstatning: La 2 x. + 3 = t., f.(x.) = f.(t.) = e. t. . Vi leter etter et derivat av kompleks funksjon av formelen:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (e. t.)’ · t. ’ = e. t. · t. ’
Og nå - oppmerksomhet! Utfør en omvendt erstatning: t. = 2x. + 3. Vi får:
f. ’(x.) = e. t. · t. ’ = e. 2x. + 3 · (2 x. + 3)’ = e. 2x. + 3 · 2 \u003d 2 · e. 2x. + 3
Nå vil vi håndtere funksjonen g.(x.). Tydeligvis må du erstatte x. 2 + ln. x. = t.. Vi har:
g. ’(x.) = g. ’(t.) · t. '\u003d (SIN t.)’ · t. '\u003d Cos. t. · t. ’
Omvendt erstatning: t. = x. 2 + ln. x.. Deretter:
g. ’(x.) \u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · ( x. 2 + ln. x.) '\u003d Cos ( x. 2 + ln. x.) · (2 x. + 1/x.).
Det er alt! Som det kan ses fra det siste uttrykket, reduseres hele oppgaven til beregningen av derivatet.
Svar:
f. ’(x.) \u003d 2 · e.
2x. + 3 ;
g. ’(x.) = (2x. + 1/x.) · COS ( x. 2 + ln. x.).
Svært ofte i sine leksjoner i stedet for begrepet "derivat" Jeg bruker ordet "bar". For eksempel er stangen fra mengden lik summen av slagene. Så klarere? Vel, det er bra.
Dermed kommer beregningen av derivatet ned for å kvitte seg med disse veiledningene i henhold til reglene som er omtalt ovenfor. Som det siste eksemplet kommer vi tilbake til en derivatgrad med en rasjonell indikator:
(x. n.)’ = n. · x. n. − 1
Få vet hva som er i n. Det kan godt handle brøkdel. For eksempel er roten x. 0.5. Og hva om under roten blir det noe vanskelig? Igjen oppnås en kompleks funksjon - slike strukturer elsker å gi i tester og eksamener.
En oppgave. Finn en derivatfunksjon:
Til å begynne med, skriv om roten i form av en grad med en rasjonell indikator:
f.(x.) = (x. 2 + 8x. − 7) 0,5 .
Nå lager vi en erstatning: la x. 2 + 8x. − 7 = t.. Finn et derivat av formelen:
f. ’(x.) = f. ’(t.) · t. ’ = (t. 0.5) '· t. '\u003d 0,5 · t. -0,5 · t. ’.
Vi lager erstatning: t. = x. 2 + 8x. - 7. Vi har:
f. ’(x.) \u003d 0,5 · x. 2 + 8x. - 7) -0,5 · x. 2 + 8x. - 7) '\u003d 0,5 · (2 x. + 8) · ( x. 2 + 8x. − 7) −0,5 .
Til slutt går vi tilbake til røttene:
