Definisjon

Skalær mengde- en mengde som kan karakteriseres ved et tall. For eksempel lengde, areal, masse, temperatur osv.

Vektor kalt det dirigerte segmentet $\overline(A B)$; punkt $A$ er begynnelsen, punkt $B$ er slutten av vektoren (fig. 1).

En vektor er enten merket med to store bokstaver - begynnelsen og slutten: $\overline(A B)$ eller med en liten bokstav: $\overline(a)$.

Definisjon

Hvis begynnelsen og slutten av en vektor faller sammen, kalles en slik vektor null. Oftest er nullvektoren betegnet som $\overline(0)$.

Vektorene kalles collineær, hvis de ligger enten på samme linje eller på parallelle linjer (fig. 2).

Definisjon

To kollineære vektorer $\overline(a)$ og $\overline(b)$ kalles co-regissert, hvis retningene deres sammenfaller: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). To kollineære vektorer $\overline(a)$ og $\overline(b)$ kalles motsatt rettet, hvis retningene deres er motsatte: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

Definisjon

Vektorene kalles koplanar, hvis de er parallelle med samme plan eller ligger i samme plan (fig. 4).

To vektorer er alltid koplanare.

Definisjon

Lengde (modul) vektor $\overline(A B)$ er avstanden mellom begynnelsen og slutten: $|\overline(A B)|$

Detaljert teori om vektorlengde på lenken.

Lengden på nullvektoren er null.

Definisjon

En vektor hvis lengde er lik én kalles enhetsvektor eller ortom.

Vektorene kalles lik, hvis de ligger på en eller parallelle linjer; retningene deres faller sammen og lengdene er like.

Med andre ord to vektorer lik, hvis de er kollineære, codirectional og har like lengder:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

På et vilkårlig sted $M$ kan man konstruere en enkelt vektor $\overline(M N)$ lik den gitte vektoren $\overline(A B)$.

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

Nettsted fylt med bøker, kan du laste ned bøker

Vektorer på planet og i rommet, metoder for å løse problemer, eksempler, formler

1 Vektorer i rommet

Vektorer i rommet inkluderer 10. klasse geometri, 11. klasse geometri og analytisk geometri. Vektorer lar deg effektivt løse geometriske problemer i den andre delen av Unified State Exam og analytisk geometri i rommet. Vektorer i rommet er gitt på samme måte som vektorer i planet, men den tredje koordinaten z er tatt i betraktning. Utelukkelse fra vektorer i tredjedimensjonalt rom gir vektorer på planet, som forklares med geometri 8., 9. klasse.

1.1 Vektor på flyet og i verdensrommet

En vektor er et rettet segment med en begynnelse og en slutt, avbildet i figuren med en pil. Et vilkårlig punkt i rommet kan betraktes som en nullvektor. Nullvektoren har ikke en bestemt retning, siden begynnelsen og slutten er den samme, så den kan gis hvilken som helst retning.

Vektor oversatt fra engelsk betyr vektor, retning, kurs, veiledning, retningsinnstilling, flykurs.

Lengden (modulen) til en vektor som ikke er null er lengden på segmentet AB, som er betegnet
. Vektorlengde betegnet med . Nullvektoren har en lengde lik null = 0.

Ikke-nullvektorer som ligger på samme linje eller på parallelle linjer kalles kollineære.

Nullvektoren er kollineær til enhver vektor.

Kollineære ikke-nullvektorer som har samme retning kalles codirectional. Samretningsvektorer er indikert med . For eksempel hvis vektoren er codirectional med vektoren , så brukes notasjonen.

Nullvektoren er codirectional med hvilken som helst vektor.

Motsatt rettet er to kollineære ikke-null-vektorer som har motsatte retninger. Motsatt rettede vektorer er indikert med tegnet ↓. For eksempel, hvis vektoren er motsatt rettet til vektoren, brukes notasjonen ↓.

Samretningsvektorer av lik lengde kalles like.

Mange fysiske størrelser er vektormengder: kraft, hastighet, elektrisk felt.

Hvis applikasjonspunktet (begynnelsen) av vektoren ikke er spesifisert, velges den vilkårlig.

Hvis begynnelsen av vektoren er plassert ved punkt O, anses vektoren for å være forsinket fra punkt O. Fra et hvilket som helst punkt kan du plotte en enkelt vektor lik en gitt vektor.

1.2 Vektorsum

Når du legger til vektorer i henhold til trekantregelen, tegnes vektor 1, fra slutten av hvilken vektor 2 er tegnet, og summen av disse to vektorene er vektor 3, tegnet fra begynnelsen av vektor 1 til slutten av vektor 2:

For vilkårlige punkter A, B og C kan du skrive summen av vektorer:

+
=

Hvis to vektorer stammer fra samme punkt

da er det bedre å legge dem til i henhold til parallellogramregelen.

Når man legger til to vektorer i henhold til parallellogramregelen, legges de adderte vektorene ut fra ett punkt, fra endene av disse vektorene fullføres et parallellogram ved å bruke begynnelsen av en annen på slutten av en vektor. Vektoren dannet av parallellogrammets diagonal, som stammer fra opprinnelsespunktet til vektorene som legges til, vil være summen av vektorene

Parallellogramregelen inneholder en annen rekkefølge for å legge til vektorer i henhold til trekantregelen.

Lover for vektoraddisjon:

1. Forskyvningslov + = +.

2. Kombinasjonslov ( + ) + = + ( + ).

Hvis det er nødvendig å legge til flere vektorer, legges vektorene til i par eller i henhold til polygonregelen: vektor 2 er tegnet fra enden av vektor 1, vektor 3 er trukket fra enden av vektor 2, vektor 4 er trukket fra slutten av vektor 3, vektor 5 tegnes fra slutten av vektor 4 osv. En vektor som er summen av flere vektorer trekkes fra begynnelsen av vektor 1 til slutten av den siste vektoren.

I følge lovene for vektoraddisjon påvirker ikke rekkefølgen av vektoraddisjon den resulterende vektoren, som er summen av flere vektorer.

To motsatt rettede vektorer som ikke er null av lik lengde kalles motsatte. Vektor - er det motsatte av vektor

Disse vektorene er motsatt rettet og like store.

1.3 Vektorforskjell

Vektorforskjellen kan skrives som en sum av vektorer

- = + (-),

hvor "-" er vektoren motsatt av vektoren.

Vektorer og - kan legges til i henhold til trekant- eller parallellogramregelen.

La vektorene og

For å finne forskjellen mellom vektorer, konstruerer vi en vektor -

Vi legger til vektorene og - i henhold til trekantregelen, ved å bruke begynnelsen av vektoren - til slutten av vektoren får vi vektoren + (-) = -

Vi legger til vektorene og - i henhold til parallellogramregelen, setter til side begynnelsen av vektorene og - fra ett punkt

Hvis vektorene og stammer fra samme punkt

,

så gir forskjellen mellom vektorer en vektor som forbinder endene deres, og pilen på slutten av den resulterende vektoren plasseres i retningen til vektoren som den andre vektoren trekkes fra

Figuren nedenfor viser addisjon og vektorforskjell

Figuren nedenfor viser vektoraddisjon og forskjell på forskjellige måter

Oppgave. Vektorene og er gitt.

Tegn summen og differansen av vektorer på alle mulige måter i alle mulige kombinasjoner av vektorer.

1.4 Lemma på kollineære vektorer

= k

1.5 Produkt av en vektor og et tall

Produktet av en vektor som ikke er null med tallet k gir vektoren = k, kollineær til vektoren. Vektorlengde:

| | = |k |·| |

Hvis k > 0, så er vektorene og codirectional.

Hvis k = 0, da er vektoren null.

Hvis k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Hvis | k | = 1, deretter vektorer og er like lange.

Hvis k = 1, da er vektorene like.

Hvis k = -1, deretter de motsatte vektorene.

Hvis | k | > 1, så er lengden på vektoren større enn lengden på vektoren.

Hvis k > 1, da er vektorene begge codirectional og lengden er større enn lengden på vektoren.

Hvis k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Hvis | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Hvis 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Hvis -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Produktet av en nullvektor og et tall gir en nullvektor.

Oppgave. Gitt en vektor.

Konstruer vektorer 2, -3, 0,5, -1,5.

Oppgave. Vektorene og er gitt.

Konstruer vektorene 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Lover som beskriver multiplikasjon av en vektor med et tall

1. Kombinasjonslov (kn) = k (n)

2. Den første fordelingsloven k ( + ) = k + k .

3. Andre fordelingslov (k + n) = k + n.

For kollineære vektorer og , hvis ≠ 0, er det et enkelt tall k som lar deg uttrykke vektoren i form av:

= k

1.6 Koplanare vektorer

Vektorer som ligger i samme plan eller i parallelle plan kalles coplanar. Hvis vi tegner vektorer lik disse koplanare vektorene fra ett punkt, vil de ligge i samme plan. Derfor kan vi si at vektorer kalles coplanar hvis det er like vektorer som ligger i samme plan.

To vilkårlige vektorer er alltid koplanære. De tre vektorene kan være koplanare eller ikke-koplanare. Tre vektorer, hvorav minst to er kolineære, er koplanære. Kollineære vektorer er alltid koplanære.

1.7 Dekomponering av en vektor i to ikke-kollineære vektorer

Enhver vektor dekomponerer unikt på planet i to ikke-kollineære ikke-null vektorer Og med enkle ekspansjonskoeffisienter x og y:

= x+y

Enhver vektor som er koplanær til vektorene som ikke er null og kan utvides unikt i to ikke-kollineære vektorer og med unike ekspansjonskoeffisienter x og y:

= x+y

La oss utvide den gitte vektoren på planet i henhold til de gitte ikke-kollineære vektorene og:

La oss tegne de gitte koplanare vektorene fra ett punkt

Fra slutten av vektoren tegner vi linjer parallelt med vektorene og til de skjærer linjene trukket gjennom vektorene og . Vi får et parallellogram

Lengdene på sidene til et parallellogram oppnås ved å multiplisere lengdene til vektorene og med tallene x og y, som bestemmes ved å dele lengdene på sidene av parallellogrammet med lengdene til deres tilsvarende vektorer og. Vi oppnår dekomponeringen av vektoren i henhold til de gitte ikke-kollineære vektorene og:

= x+y

I oppgaven som løses, x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, kan derfor ekspansjonen av vektoren i gitte ikke-kollineære vektorer skrives i formen

1,3 + 1,9 .

I oppgaven som løses, x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, kan derfor ekspansjonen av vektoren i gitte ikke-kollineære vektorer skrives i formen

1,3 - 1,9 .

1.8 Parallelepiped-regel

Et parallellepiped er en tredimensjonal figur hvis motsatte flater består av to like parallellogrammer som ligger i parallelle plan.

Parallellepipedregelen lar deg legge til tre ikke-koplanare vektorer, som er plottet fra ett punkt, og et parallellepiped er konstruert slik at de summerte vektorene danner kantene, og de resterende kantene på parallellepipedet er henholdsvis parallelle og lik lengdene til kantene dannet av de summerte vektorene. Diagonalen til parallellepipedet danner en vektor, som er summen av de gitte tre vektorene, som begynner fra opprinnelsespunktet til vektorene som legges til.

1.9 Dekomponering av en vektor i tre ikke-koplanare vektorer

Enhver vektor utvides til tre gitte ikke-koplanare vektorer , og med enkle ekspansjonskoeffisienter x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Rektangulært koordinatsystem i rommet

I tredimensjonalt rom er det rektangulære koordinatsystemet Oxyz definert av origo O og de kryssende innbyrdes perpendikulære koordinataksene Ox, Oy og Oz med valgte positive retninger indikert med piler og måleenheten for segmenter. Hvis skalaen til segmentene er lik på alle tre aksene, kalles et slikt system et kartesisk koordinatsystem.

Koordinere x kalles abscissen, y er ordinaten, z er applikatet. Koordinatene til punktet M er skrevet i parentes M (x; y; z).

1.11 Vektorkoordinater i rommet

I rommet vil vi definere et rektangulært koordinatsystem Oxyz. Fra opprinnelsen til koordinatene i de positive retningene til aksene Ox, Oy, Oz tegner vi de tilsvarende enhetsvektorene , , , som kalles koordinatvektorer og er ikke-koplanære. Derfor dekomponeres enhver vektor i tre gitte ikke-koplanare koordinatvektorer, og med unike ekspansjonskoeffisienter x, y, z:

= x + y + z .

Ekspansjonskoeffisientene x, y, z er koordinatene til vektoren i et gitt rektangulært koordinatsystem, som er skrevet i parentes (x; y; z). Nullvektoren har koordinater lik null (0; 0; 0). Like vektorer har like tilsvarende koordinater.

Regler for å finne koordinatene til den resulterende vektoren:

1. Når du summerer to eller flere vektorer, er hver koordinat til den resulterende vektoren lik summen av de tilsvarende koordinatene til de gitte vektorene. Hvis to vektorer (x 1 ; y 1 ; z 1) og (x 1 ; y 1 ; z 1) er gitt, gir summen av vektorene + en vektor med koordinater (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1; y1 + y1; z 1 + z 1)

2. Differanse er en type sum, så forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene gir hver koordinat til vektoren som oppnås ved å trekke fra to gitte vektorer. Hvis to vektorer er gitt (x a; y a; z a) og (x b; y b; z b), så gir forskjellen mellom vektorene en vektor med koordinater (x a - x b; ya - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; ya - y b; z a - z b)

3. Når du multipliserer en vektor med et tall, er hver koordinat til den resulterende vektoren lik produktet av dette tallet og den tilsvarende koordinaten til den gitte vektoren. Hvis et tall k og en vektor (x; y; z) er gitt, så gir multiplisering av vektoren med tallet k vektoren k med koordinater

k = (kx; ky; kz).

Oppgave. Finn koordinatene til vektoren = 2 - 3 + 4, hvis koordinatene til vektorene er (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Løsning

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3.(-2); -3.3; -3.(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Koordinater til en vektor, radiusvektor og punkt

Koordinatene til en vektor er koordinatene til slutten av vektoren hvis begynnelsen av vektoren er plassert ved origo.

En radiusvektor er en vektor tegnet fra origo til et gitt punkt koordinatene til radiusvektoren og punktet er like.

Hvis vektoren
er gitt av punktene M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) og M 2 (x 2 ; y 2​; z 2), så er hver av dens koordinater lik forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til enden og begynnelsen av vektoren

For kollineære vektorer = (x 1 ; y 1 ; z 1) og = (x 2 ; y 2​; z 2), hvis ≠ 0, er det et enkelt tall k som lar deg uttrykke vektoren gjennom:

= k

Da uttrykkes vektorens koordinater gjennom vektorens koordinater

= (kx 1; ky 1; kz 1)

Forholdet mellom de tilsvarende koordinatene til kollineære vektorer er lik entallstallet k

1.13 Vektorlengde og avstand mellom to punkter

Lengden på vektoren (x; y; z) er lik kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater

Lengden på vektoren spesifisert av startpunktene M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) og enden M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) er lik kvadratroten av summen av kvadrater av forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til slutten av vektoren og begynnelsen

Avstand d mellom to punkter M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) og M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) er lik lengden på vektoren

Det er ingen z-koordinat på flyet

Avstand mellom punktene M 1 (x 1 ; y 1) og M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Koordinater for midten av segmentet

Hvis poenget C er midten av segmentet AB, da er radiusvektoren til punkt C i et vilkårlig koordinatsystem med origo i punktet O lik halvparten av summen av radisvektorene til punktene A og B

Hvis koordinatene til vektorene
(x; y; z),
(x 1; y 1; z 1),
(x 2; y 2; z 2), da er hver vektorkoordinat lik halvparten av summen av de tilsvarende vektorkoordinatene og

,
,

= (x, y, z) =

Hver av koordinatene til midten av segmentet er lik halvparten av summen av de tilsvarende koordinatene til endene av segmentet.

1.15 Vinkel mellom vektorer

Vinkelen mellom vektorer er lik vinkelen mellom stråler trukket fra ett punkt og samrettet med disse vektorene. Vinkelen mellom vektorer kan være fra 0 0 til og med 180 0. Vinkelen mellom kodireksjonelle vektorer er 0 0 . Hvis én vektor eller begge er null, er vinkelen mellom vektorene, hvorav minst én er null, lik 0 0 . Vinkelen mellom vinkelrette vektorer er 90 0. Vinkelen mellom motsatt rettede vektorer er 180 0.

1.16 Vektorprojeksjon

1.17 Punktprodukt av vektorer

Skalarproduktet av to vektorer er et tall (skalar) lik produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom vektorene

Hvis = 0 0 , da er vektorene codirectional
Og
= cos 0 0 = 1, derfor er skalarproduktet av kodireksjonelle vektorer lik produktet av deres lengder (moduler)

.

Hvis vinkelen mellom vektorene er 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, derfor er skalarproduktet større enn null
.

Hvis vektorer som ikke er null er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null
, siden cos 90 0 = 0. Skalarproduktet av perpendikulære vektorer er lik null.

Hvis
, så er cosinus til vinkelen mellom slike vektorer mindre enn null
, derfor er skalarproduktet mindre enn null
.

Når vinkelen mellom vektorer øker, vil cosinus til vinkelen mellom dem øke
synker og når en minimumsverdi ved = 180 0 når vektorene er motsatt rettet
. Siden cos 180 0 = -1, da
. Det skalare produktet av motsatt rettede vektorer er lik det negative produktet av deres lengder (moduler).

Skalarkvadraten til en vektor er lik modulen til vektoren i annen

Punktproduktet av vektorer hvorav minst én er null er lik null.

1.18 Fysisk betydning av skalarproduktet av vektorer

Fra et fysikkkurs er det kjent at arbeidet utført av A kraft når du beveger kroppen lik produktet av lengdene til kraft- og forskyvningsvektorene og cosinus til vinkelen mellom dem, det vil si lik skalarproduktet av kraft- og forskyvningsvektorene

Hvis kraftvektoren er codirectional med kroppens bevegelse, så vinkelen mellom vektorene
= 0 0, derfor er arbeidet utført av kraften ved forskyvning maksimalt og lik A =
.

Hvis 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Hvis = 90 0, er arbeidet utført av kraften ved forskyvning null A = 0.

Hvis 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Hvis kraftvektoren er rettet motsatt av kroppens bevegelse, så er vinkelen mellom vektorene = 180 0, derfor er kraftens arbeid på bevegelsen negativ og lik A = -.

Oppgave. Bestem tyngdekraftens arbeid når du løfter en personbil som veier 1 tonn langs en 1 km lang vei med en helningsvinkel på 30 0 mot horisonten. Hvor mange liter vann ved en temperatur på 20 0 kan kokes med denne energien?

Løsning

Jobb En gravitasjon når du beveger et legeme, er det lik produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem, det vil si lik skalarproduktet av vektorene for tyngdekraft og forskyvning

Tyngdekraften

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10 000 N.

= 1000 m.

Vinkel mellom vektorer = 120 0 . Deretter

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

La oss erstatte

A = 10 000 N · 1000 m · (-0,5) = - 5 000 000 J = - 5 MJ.

1.19 Punktprodukt av vektorer i koordinater

Punktprodukt av to vektorer = (x 1; y1; z 1) og = (x 2; y 2; z 2) i et rektangulært koordinatsystem er lik summen av produktene av koordinater med samme navn

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Betingelse for perpendikularitet av vektorer

Hvis vektorer som ikke er null = (x 1 ; y 1 ; z 1) og = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) er vinkelrette, så er deres skalarprodukt null

Hvis én ikke-null vektor = (x 1 ; y 1 ; z 1) er gitt, må koordinatene til vektoren vinkelrett (normal) på den = (x 2 ; y 2​; z 2) tilfredsstille likheten

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Det finnes et uendelig antall slike vektorer.

Hvis én ikke-null vektor = (x 1 ; y 1) er gitt på planet, må koordinatene til vektoren vinkelrett (normal) på den = (x 2 ; y 2) tilfredsstille likheten

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Hvis en ikke-null vektor = (x 1 ; y 1) er gitt på planet, så er det nok å vilkårlig sette en av koordinatene til vektoren vinkelrett (normal) på den = (x 2 ; y 2) og fra tilstanden for vinkelrett til vektorene

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

uttrykke den andre koordinaten til vektoren.

For eksempel, hvis du erstatter en vilkårlig koordinat x 2, da

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Andre vektorkoordinat

Hvis vi gir x 2 = y 1, så den andre koordinaten til vektoren

Hvis en ikke-null vektor = (x 1 ; y 1) er gitt på planet, så er vektoren vinkelrett (normal) på den = (y 1 ; -x 1).

Hvis en av koordinatene til en vektor som ikke er null er lik null, har vektoren samme koordinat som ikke er lik null, og den andre koordinaten er lik null. Slike vektorer ligger på koordinataksene og er derfor vinkelrette.

La oss definere en andre vektor vinkelrett på vektoren = (x 1 ; y 1), men motsatt av vektoren , det vil si vektoren - . Da er det nok å endre tegnene til vektorkoordinatene

- = (-y 1; x 1)

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Oppgave.

Løsning

Koordinater til to vektorer vinkelrett på vektor = (x 1 ; y 1) på planet

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Erstatningsvektorkoordinater = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

Ikke sant!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

Ikke sant!

Svar: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Hvis du tilordner x 2 = 1, bytt ut

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Vi får koordinaten y 2 til vektoren vinkelrett på vektoren = (x 1 ; y 1)

For å få en andre vektor vinkelrett på vektoren = (x 1 ; y 1), men motsatt av vektoren . La

Da er det nok å endre tegnene til vektorkoordinatene.

Koordinater til to vektorer vinkelrett på vektor = (x 1 ; y 1) på planet

Oppgave. Gitt vektor = (3; -5). Finn to normalvektorer med forskjellig orientering.

Løsning

Koordinater til to vektorer vinkelrett på vektor = (x 1 ; y 1) på planet

Koordinater til en vektor

Koordinatene til den andre vektoren

For å sjekke vinkelrettheten til vektorene erstatter vi koordinatene deres i tilstanden til vinkelrettheten til vektorene

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

Ikke sant!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

Ikke sant!

Svar: og.

Hvis du tilordner x 2 = - x 1 , bytt ut

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Vi får koordinaten til vektoren vinkelrett på vektoren

Hvis du tilordner x 2 = x 1 , bytt ut

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Vi får y-koordinaten til den andre vektoren vinkelrett på vektoren

Koordinater til en vektor vinkelrett på vektoren på planet = (x 1 ; y 1)

Koordinatene til den andre vektoren vinkelrett på vektoren på planet = (x 1 ; y 1)

Koordinater til to vektorer vinkelrett på vektor = (x 1 ; y 1) på planet

1.21 Cosinus til vinkelen mellom vektorer

Cosinus til vinkelen mellom to ikke-null vektorer = (x 1 ; y 1 ; z 1) og = (x 2 ; y 2​; z 2) er lik skalarproduktet av vektorene delt på produktet av lengdene til disse vektorene

Hvis
= 1, da er vinkelen mellom vektorene 0 0, vektorene er co-directional.

Hvis 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Hvis = 0, så er vinkelen mellom vektorene 90 0, vektorene er vinkelrette.

Hvis -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Hvis = -1, så er vinkelen mellom vektorene 180 0, vektorene er motsatt rettet.

Hvis en vektor er gitt av koordinatene til begynnelsen og slutten, og subtraherer koordinatene til begynnelsen fra de tilsvarende koordinatene til slutten av vektoren, får vi koordinatene til denne vektoren.

Oppgave. Finn vinkelen mellom vektorene (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Løsning

Punktprodukt av vektorer

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

derfor er vinkelen mellom vektorene lik = 90 0 .

1.22 Egenskaper til skalarproduktet til vektorer

Egenskapene til skalarproduktet er gyldige for evt , , , k :

1.
, Hvis
, Det
, Hvis =, Det
= 0.

2. Reiselov

3. Fordelingsrett

4. Kombinasjonsrett
.

1.23 Direkte vektor

Retningsvektoren til en linje er en vektor som ikke er null som ligger på en linje eller på en linje parallelt med en gitt linje.

Hvis en rett linje er definert av to punkter M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) og M 2 (x 2 ; y 2​; z 2), så er guiden vektoren
eller dens motsatte vektor
= - , hvis koordinater

Det er tilrådelig å sette koordinatsystemet slik at linjen går gjennom origo for koordinater, da vil koordinatene til det eneste punktet på linjen være koordinatene til retningsvektoren.

Oppgave. Bestem koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Løsning

Retningsvektoren til den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) er angitt
. Hver av dens koordinater er lik forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til slutten og begynnelsen av vektoren

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

La oss skildre retningsvektoren til en rett linje i koordinatsystemet med begynnelsen i punktet M 1, med slutten i punktet M 2 og en lik vektor
fra origo med slutten i punkt M (-1; 1; 0)

1.24 Vinkel mellom to rette linjer

Mulige alternativer for den relative plasseringen av 2 rette linjer på et plan og vinkelen mellom slike rette linjer:

1. Rette linjer krysser hverandre i et enkelt punkt og danner 4 vinkler, 2 par vertikale vinkler er like i par. Vinkelen φ mellom to kryssende linjer er vinkelen som ikke overskrider de tre andre vinklene mellom disse linjene. Derfor er vinkelen mellom linjene φ ≤ 90 0.

Skjærende linjer kan spesielt være vinkelrett på φ = 90 0.

Mulige alternativer for den relative plasseringen av 2 rette linjer i rommet og vinkelen mellom slike rette linjer:

1. Rette linjer krysser hverandre i et enkelt punkt og danner 4 vinkler, 2 par vertikale vinkler er like i par. Vinkelen φ mellom to kryssende linjer er vinkelen som ikke overskrider de tre andre vinklene mellom disse linjene.

2. Linjene er parallelle, det vil si at de ikke er sammenfallende og ikke krysser hverandre, φ=0 0 .

3. Linjene faller sammen, φ = 0 0 .

4. Linjer krysser hverandre, det vil si at de ikke krysser hverandre i rommet og er ikke parallelle. Vinkelen φ mellom kryssende linjer er vinkelen mellom linjer trukket parallelt med disse linjene slik at de krysser hverandre. Derfor er vinkelen mellom linjene φ ≤ 90 0.

Vinkelen mellom 2 rette linjer er lik vinkelen mellom rette linjer trukket parallelt med disse rette linjene i samme plan. Derfor er vinkelen mellom linjene 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Vinkel θ (theta) mellom vektorer og 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Hvis vinkelen φ mellom linjene α og β er lik vinkelen θ mellom retningsvektorene til disse linjene φ = θ, så

cos φ = cos θ.

Hvis vinkelen mellom rette linjer er φ = 180 0 - θ, da

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Derfor er cosinus til vinkelen mellom rette linjer lik modulen til cosinus til vinkelen mellom vektorer

cos φ = |cos θ|.

Hvis koordinatene til vektorer som ikke er null = (x 1 ; y 1 ; z 1) og = (x 2 ; y 2​; z 2) er gitt, så er cosinus til vinkelen θ mellom dem

Cosinus til vinkelen mellom linjene er lik modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene til disse linjene

cos φ = |cos θ| =

Linjene er de samme geometriske objektene, derfor er de samme trigonometriske cos-funksjonene til stede i formelen.

Hvis hver av to linjer er gitt av to punkter, er det mulig å bestemme retningsvektorene til disse linjene og cosinus til vinkelen mellom linjene.

Hvis cos φ = 1, da er vinkelen φ mellom linjene lik 0 0, vi kan ta for disse linjene en av retningsvektorene til disse linjene, linjene er parallelle eller sammenfallende. Hvis linjene ikke faller sammen, er de parallelle. Hvis linjene faller sammen, hører ethvert punkt på en linje til den andre linjen.

Hvis 0< cos φ ≤ 1, da er vinkelen mellom linjene 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Hvis cos φ = 0, da er vinkelen φ mellom linjene 90 0 (linjene er vinkelrette), linjene krysser eller krysser hverandre.

Oppgave. Bestem vinkelen mellom rette linjer M 1 M 3 og M 2 M 3 med koordinatene til punktene M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) og M 3 (0; 0; 1).

Løsning

La oss konstruere gitte punkter og linjer i Oxyz-koordinatsystemet.

Vi retter retningsvektorene til linjene slik at vinkelen θ mellom vektorene faller sammen med vinkelen φ mellom de gitte linjene. La oss representere vektorene =
og =
, samt vinklene θ og φ:

La oss bestemme koordinatene til vektorene og

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 og ax + by + cz = 0;

Planet er parallelt med koordinataksen, hvis betegnelse er fraværende i ligningen til planet, og derfor er den tilsvarende koeffisienten null, for eksempel ved c = 0, er planet parallelt med Oz-aksen og ikke inneholde z i ligningen ax + by + d = 0;

Planet inneholder den koordinataksen, hvis betegnelse mangler, derfor er den tilsvarende koeffisienten null og d = 0, for eksempel med c = d = 0, er planet parallelt med Oz-aksen og inneholder ikke z i ligningen ax + by = 0;

Planet er parallelt med koordinatplanet, hvis symboler er fraværende i likningen til planet, og derfor er de tilsvarende koeffisientene null, for eksempel for b = c = 0, er planet parallelt med koordinatplanet Oyz og inneholder ikke y, z i ligningen ax + d = 0.

Hvis planet faller sammen med koordinatplanet, så er ligningen til et slikt plan lik null av betegnelsen til koordinataksen vinkelrett på det gitte koordinatplanet, for eksempel når x = 0, er det gitte planet koordinatplanet Oyz.

Oppgave. Normalvektoren er gitt av ligningen

Presenter ligningen til planet i normal form.

Løsning

Normale vektorkoordinater

EN; b; c), så kan du erstatte koordinatene til punktet M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) og koordinatene a, b, c til normalvektoren i den generelle ligningen til planet

ax + by + cz + d = 0 (1)

Vi får en ligning med en ukjent d

ax 0 + x 0 + cz 0 + d = 0

Herfra

d = -(akse 0 + x 0 + cz 0 )

Planligning (1) etter å ha erstattet d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Vi får ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) vinkelrett på vektoren som ikke er null (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

La oss åpne parentesene

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

La oss betegne

d = - akse 0 - med 0 - cz 0

Vi får den generelle ligningen til planet

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Ligning av et plan som går gjennom to punkter og origo

ax + by + cz + d = 0.

Det er tilrådelig å stille inn koordinatsystemet slik at flyet går gjennom origo til dette koordinatsystemet. Punktene M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) og M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) som ligger i dette planet må spesifiseres slik at den rette linjen som forbinder disse punktene ikke går gjennom origo.

Flyet vil passere gjennom origo, så d = 0. Da tar den generelle ligningen til planet formen

ax + by + cz = 0.

Det er 3 ukjente koeffisienter a, b, c. Å erstatte koordinatene til to punkter i den generelle likningen til planet gir et system med 2 likninger. Hvis vi tar en koeffisient i den generelle ligningen til planet lik én, vil systemet med 2 ligninger tillate oss å bestemme 2 ukjente koeffisienter.

Hvis en av koordinatene til et punkt er null, blir koeffisienten som tilsvarer denne koordinaten tatt som én.

Hvis et punkt har to nullkoordinater, blir koeffisienten som tilsvarer en av disse nullkoordinatene tatt som én.

Hvis a = 1 er akseptert, vil et system med 2 ligninger tillate oss å bestemme 2 ukjente koeffisienter b og c:

Det er lettere å løse et system av disse likningene ved å multiplisere en likning med et slikt tall at koeffisientene for noen ukjente blir like. Da vil forskjellen på ligningene tillate oss å eliminere denne ukjente og bestemme en annen ukjent. Hvis du erstatter den funnet ukjente i en ligning, kan du bestemme den andre ukjente.

1.30 Ligning av et plan som går gjennom tre punkter

La oss bestemme koeffisientene til den generelle ligningen til planet

ax + by + cz + d = 0,

passerer gjennom punktene M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) og M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Punkter skal ikke ha to identiske koordinater.

Det er 4 ukjente koeffisienter a, b, c og d. Å erstatte koordinatene til tre punkter i den generelle ligningen til planet gir et system med 3 ligninger. Ta en koeffisient i den generelle ligningen til planet lik enhet, så vil systemet med 3 ligninger tillate deg å bestemme 3 ukjente koeffisienter. Vanligvis aksepteres a = 1, da vil et system med 3 ligninger tillate oss å bestemme 3 ukjente koeffisienter b, c og d:

Det er bedre å løse et ligningssystem ved å eliminere de ukjente (Gauss-metoden). Du kan omorganisere likningene i systemet. Enhver ligning kan multipliseres eller divideres med en koeffisient som ikke er lik null. Hvilke som helst to ligninger kan legges til og den resulterende ligningen kan skrives i stedet for en av de to adderte ligningene. Ukjente er ekskludert fra ligningene ved å få en null koeffisient foran dem. I en ligning, vanligvis den laveste, er det én variabel igjen som bestemmes. Den funnet variabelen erstattes i den andre ligningen nedenfra, som vanligvis etterlater 2 ukjente. Ligningene løses fra bunn til topp og alle ukjente koeffisienter bestemmes.

Koeffisienter plasseres foran de ukjente, og ledd fri for ukjente overføres til høyre side av ligningene

Den øverste linjen inneholder vanligvis en ligning som har en koeffisient på 1 før den første eller en hvilken som helst ukjent, eller hele den første ligningen er delt med koeffisienten før den første ukjente. I dette ligningssystemet deler du den første ligningen med y 1

Før den første ukjente fikk vi en koeffisient på 1:

For å tilbakestille koeffisienten foran den første variabelen i den andre likningen, multipliser den første likningen med -y 2, legg den til den andre likningen og skriv den resulterende likningen i stedet for den andre likningen. Den første ukjente i den andre ligningen vil bli eliminert fordi

y 2 b - y 2 b = 0.

På samme måte eliminerer vi den første ukjente i den tredje likningen ved å multiplisere den første likningen med -y 3, legge den til den tredje likningen og skrive den resulterende likningen i stedet for den tredje likningen. Den første ukjente i den tredje ligningen vil også bli eliminert pga

y 3 b - y 3 b = 0.

På samme måte eliminerer vi den andre ukjente i den tredje ligningen. Vi løser systemet fra bunnen og opp.

Oppgave.

ax + by + cz + d = 0,

passerer gjennom punktene M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) og y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Det angitte planet er koordinatplanet Oyz.

Oppgave. Bestem den generelle ligningen til planet

ax + by + cz + d = 0,

passerer gjennom punktene M1 (1; 0; 0), M2 (0; 1; 0) og M3 (0; 0; 1). Finn avstanden fra dette planet til punktet M 0 (10; -3; -7).

Løsning

La oss konstruere de gitte punktene i Oxyz-koordinatsystemet.

La oss akseptere en= 1. Å erstatte koordinatene til tre punkter i den generelle ligningen til planet gir et system med 3 ligninger

ℓ =

Websider: 1 2 Vektorer på flyet og i verdensrommet (fortsettelse)

Konsultasjoner med Andrey Georgievich Olshevsky på Skype da.irk.ru

Forberedelse av elever og skoleelever i matematikk, fysikk, informatikk, skoleelever som ønsker å få mange poeng (del C) og svake elever til Statens eksamen (GIA) og Unified State Exam. Samtidig forbedring av nåværende akademiske prestasjoner ved å utvikle hukommelse, tenkning og tydelig forklaring av kompleks, visuell presentasjon av objekter. En spesiell tilnærming til hver elev. Forberedelse til olympiade som gir stønad til opptak. 15 års erfaring med å forbedre elevenes prestasjoner.

Høyere matematikk, algebra, geometri, sannsynlighetsteori, matematisk statistikk, lineær programmering.

En klar forklaring av teorien, tette hull i forståelse, undervisningsmetoder for å løse problemer, konsultasjon ved skriving av kurs og vitnemål.

Luftfarts-, rakett- og bilmotorer. Hypersonisk, ramjet, rakett, pulsdetonasjon, pulserende, gassturbin, stempelforbrenningsmotorer - teori, design, beregning, styrke, design, produksjonsteknologi. Termodynamikk, varmeteknikk, gassdynamikk, hydraulikk.

Luftfart, aeromekanikk, aerodynamikk, flydynamikk, teori, design, aerohydromekanikk. Ultralette fly, ekranofly, fly, helikoptre, raketter, kryssermissiler, luftputefartøy, luftskip, propeller - teori, design, beregning, styrke, design, produksjonsteknologi.

Generering og implementering av ideer. Grunnleggende om vitenskapelig forskning, genereringsmetoder, implementering av vitenskapelige, oppfinnsomme forretningsideer. Undervisningsteknikker for å løse vitenskapelige problemer og oppfinnsomme problemer. Vitenskapelig, oppfinnsom, skrivende, teknisk kreativitet. Uttalelse, utvalg, løsning av de mest verdifulle vitenskapelige, oppfinnsomme problemene og ideene.

Publisering av kreative resultater. Hvordan skrive og publisere en vitenskapelig artikkel, søke om en oppfinnelse, skrive, publisere en bok. Teori om å skrive, disputere. Tjen penger på ideer og oppfinnelser. Rådgivning i skapelsen av oppfinnelser, skrive søknader om oppfinnelser, vitenskapelige artikler, søknader om oppfinnelser, bøker, monografier, avhandlinger. Medforfatterskap av oppfinnelser, vitenskapelige artikler, monografier.

Teoretisk mekanikk (teormekh), materialers styrke (materialers styrke), maskindeler, teori om mekanismer og maskiner (TMM), maskinteknisk teknologi, tekniske disipliner.

Teoretisk grunnlag for elektroteknikk (TOE), elektronikk, grunnleggende om digital og analog elektronikk.

Analytisk geometri, beskrivende geometri, ingeniørgrafikk, tegning. Datagrafikk, grafikkprogrammering, tegninger i AutoCAD, NanoCAD, fotomontasje.

Logikk, grafer, trær, diskret matematikk.

OpenOffice og LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makroer, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Oppretting av programmer, spill for PCer, bærbare datamaskiner, mobile enheter. Bruk av gratis ferdige programmer, åpen kildekode-motorer.

Opprettelse, plassering, promotering, programmering av nettsider, nettbutikker, tjene penger på nettsider, Webdesign.

Informatikk, PC-bruker: tekster, tabeller, presentasjoner, opplæring i hurtigskriving på 2 timer, databaser, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internett, nettverk, e-post.

Installasjon og reparasjon av stasjonære og bærbare datamaskiner.

Videoblogger, lage, redigere, legge ut videoer, videoredigere, tjene penger på videoblogger.

Valg, oppnå mål, planlegging.

Opplæring i å tjene penger på Internett: blogger, videoblogger, programmer, nettsider, nettbutikk, artikler, bøker, etc.

Du kan støtte utviklingen av nettstedet, betale for konsulenttjenestene til Andrey Georgievich Olshevsky

10.15.17 Olshevsky Andrey Georgieviche-post:[e-postbeskyttet]

I denne artikkelen vil vi begynne å diskutere en "tryllestav" som lar deg redusere mange geometriproblemer til enkel aritmetikk. Denne "pinnen" kan gjøre livet ditt mye enklere, spesielt når du føler deg usikker på å konstruere romlige figurer, utsnitt osv. Alt dette krever en viss fantasi og praktiske ferdigheter. Metoden som vi vil begynne å vurdere her, vil tillate deg å nesten fullstendig abstrahere fra alle slags geometriske konstruksjoner og resonnement. Metoden kalles "koordinatmetode". I denne artikkelen vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Koordinat fly
2. Punkter og vektorer på planet
3. Konstruere en vektor fra to punkter
4. Vektorlengde (avstand mellom to punkter).
5. Koordinater til midten av segmentet
6. Punktprodukt av vektorer
7. Vinkel mellom to vektorer

Jeg tror du allerede har gjettet hvorfor koordinatmetoden kalles det? Det er riktig, det fikk dette navnet fordi det ikke opererer med geometriske objekter, men med deres numeriske egenskaper (koordinater). Og selve transformasjonen, som lar oss gå fra geometri til algebra, består i å introdusere et koordinatsystem. Hvis den opprinnelige figuren var flat, er koordinatene todimensjonale, og hvis figuren er tredimensjonale, så er koordinatene tredimensjonale. I denne artikkelen vil vi kun vurdere det todimensjonale tilfellet. Og hovedmålet med artikkelen er å lære deg hvordan du bruker noen grunnleggende teknikker for koordinatmetoden (de viser seg noen ganger å være nyttige når du løser problemer med planimetri i del B av Unified State Exam). De neste to delene om dette emnet er viet en diskusjon av metoder for å løse problemer C2 (problemet med stereometri).

Hvor ville det være logisk å begynne å diskutere koordinatmetoden? Sannsynligvis fra konseptet med et koordinatsystem. Husk når du møtte henne første gang. For meg virker det som om man i 7. klasse lærte om eksistensen av en lineær funksjon, for eksempel. La meg minne deg på at du bygget det punkt for punkt. Husker du? Du valgte et vilkårlig tall, erstattet det i formelen og beregnet det på den måten. For eksempel hvis, da, hvis, da osv. Hva fikk du til slutt? Og du fikk poeng med koordinater: og. Deretter tegnet du et "kryss" (koordinatsystem), valgte en skala på det (hvor mange celler du vil ha som et enhetssegment) og markerte punktene du fikk på det, som du deretter koblet med en rett linje linje er grafen til funksjonen.

Det er noen punkter her som bør forklares litt mer detaljert:

1. Du velger et enkelt segment av bekvemmelighetshensyn, slik at alt passer vakkert og kompakt inn i tegningen.

2. Det er akseptert at aksen går fra venstre til høyre, og aksen går fra bunn til topp

3. De skjærer hverandre i rette vinkler, og skjæringspunktet kalles origo. Det er angitt med en bokstav.

4. Når du skriver koordinatene til et punkt, for eksempel, til venstre i parentes er det koordinaten til punktet langs aksen, og til høyre langs aksen. Spesielt betyr det ganske enkelt at på punktet

5. For å spesifisere et hvilket som helst punkt på koordinataksen, må du angi koordinatene (2 tall)

6. For ethvert punkt som ligger på aksen,

7. For ethvert punkt som ligger på aksen,

8. Aksen kalles x-aksen

9. Aksen kalles y-aksen

La oss nå ta neste steg: marker to punkter. La oss koble disse to punktene med et segment. Og vi setter pilen som om vi tegnet et segment fra punkt til punkt: det vil si at vi gjør segmentet vårt rettet!

Husker du hva et annet retningssegment kalles? Det er riktig, det kalles en vektor!

Så hvis vi kobler prikk til prikk, og begynnelsen vil være punkt A, og slutten vil være punkt B, da får vi en vektor. Du gjorde også denne konstruksjonen i 8. klasse, husker du?

Det viser seg at vektorer, som punkter, kan betegnes med to tall: disse tallene kalles vektorkoordinater. Spørsmål: Tror du det er nok for oss å vite koordinatene til begynnelsen og slutten av en vektor for å finne dens koordinater? Det viser seg at ja! Og dette gjøres veldig enkelt:

Siden i en vektor punktet er begynnelsen og slutten er slutten, har vektoren følgende koordinater:

For eksempel hvis, så koordinatene til vektoren

La oss nå gjøre det motsatte, finne koordinatene til vektoren. Hva må vi endre for dette? Ja, du må bytte begynnelsen og slutten: nå vil begynnelsen av vektoren være på punktet, og slutten vil være på punktet. Deretter:

Se nøye, hva er forskjellen mellom vektorer og? Deres eneste forskjell er tegnene i koordinatene. De er motsetninger. Dette faktum er vanligvis skrevet slik:

Noen ganger, hvis det ikke er spesifikt oppgitt hvilket punkt som er begynnelsen av vektoren og hvilket som er slutten, er vektorer ikke merket med to store bokstaver, men med en liten bokstav, for eksempel: , etc.

Nå litt øve på selv og finn koordinatene til følgende vektorer:

Undersøkelse:

Løs nå et litt vanskeligere problem:

En vektor med en begynnelse på et punkt har en co-eller-di-na-du. Finn abs-cis-su-punktene.

Det samme er ganske prosaisk: La være koordinatene til punktet. Deretter

Jeg kompilerte systemet basert på definisjonen av hva vektorkoordinater er. Da har punktet koordinater. Vi er interessert i abscissen. Deretter

Svar:

Hva annet kan du gjøre med vektorer? Ja, nesten alt er det samme som med vanlige tall (bortsett fra at du ikke kan dele, men du kan multiplisere på to måter, hvorav den ene vil diskutere her litt senere)

1. Vektorer kan legges til hverandre
2. Vektorer kan trekkes fra hverandre
3. Vektorer kan multipliseres (eller divideres) med et vilkårlig tall som ikke er null
4. Vektorer kan multipliseres med hverandre

Alle disse operasjonene har en veldig tydelig geometrisk representasjon. For eksempel, trekanten (eller parallellogram) regelen for addisjon og subtraksjon:

En vektor strekker seg eller trekker seg sammen eller endrer retning når den multipliseres eller divideres med et tall:

Men her vil vi være interessert i spørsmålet om hva som skjer med koordinatene.

1. Når vi adderer (subtraherer) to vektorer, legger vi til (subtraherer) deres koordinater element for element. Det er:

2. Når du multipliserer (deler) en vektor med et tall, blir alle dens koordinater multiplisert (delt) med dette tallet:

For eksempel:

· Finn mengden co-or-di-nat århundre-til-ra.

La oss først finne koordinatene til hver av vektorene. De har begge samme opphav - opprinnelsespunktet. Endene deres er forskjellige. Deretter, . La oss nå beregne koordinatene til vektoren. Da er summen av koordinatene til den resulterende vektoren lik.

Svar:

Løs nå følgende problem selv:

· Finn summen av vektorkoordinater

Vi sjekker:

La oss nå vurdere følgende problem: vi har to punkter på koordinatplanet. Hvordan finne avstanden mellom dem? La det første punktet være, og det andre. La oss angi avstanden mellom dem med. La oss lage følgende tegning for klarhet:

Hva jeg har gjort? Først koblet jeg sammen punktene, og også fra punktet tegnet jeg en linje parallelt med aksen, og fra punktet tegnet jeg en linje parallelt med aksen. Skjærte de seg på et punkt og dannet en bemerkelsesverdig figur? Hva er så spesielt med henne? Ja, du og jeg vet nesten alt om den rette trekanten. Vel, Pythagoras teorem helt sikkert. Det nødvendige segmentet er hypotenusen til denne trekanten, og segmentene er bena. Hva er koordinatene til punktet? Ja, de er lette å finne fra bildet: Siden segmentene er parallelle med aksene og henholdsvis lengdene deres er enkle å finne: hvis vi betegner lengdene til segmentene med hhv.

La oss nå bruke Pythagoras teorem. Vi vet lengden på bena, vi finner hypotenusen:

Dermed er avstanden mellom to punkter roten av summen av kvadrerte forskjeller fra koordinatene. Eller - avstanden mellom to punkter er lengden på segmentet som forbinder dem. Det er lett å se at avstanden mellom punktene ikke er avhengig av retning. Deretter:

Herfra trekker vi tre konklusjoner:

La oss øve litt på å beregne avstanden mellom to punkter:

For eksempel hvis, så er avstanden mellom og lik

Eller la oss gå en annen vei: finn koordinatene til vektoren

Og finn lengden på vektoren:

Som du kan se, er det det samme!

Nå skal du trene litt selv:

Oppgave: Finn avstanden mellom de angitte punktene:

Vi sjekker:

Her er et par flere problemer med samme formel, selv om de høres litt annerledes ut:

1. Finn kvadratet av lengden på øyelokket.

2. Finn kvadratet av lengden på øyelokket

Jeg tror du taklet dem uten problemer? Vi sjekker:

1. Og dette er for oppmerksomhet) Vi har allerede funnet koordinatene til vektorene tidligere: . Da har vektoren koordinater. Kvadraten på lengden vil være lik:

2. Finn koordinatene til vektoren

Da er kvadratet av lengden

Ikke noe komplisert, ikke sant? Enkel aritmetikk, ikke noe mer.

Følgende problemer kan ikke klassifiseres entydig de handler mer om generell lærdom og evnen til å tegne enkle bilder.

1. Finn sinusen til vinkelen fra kuttet, koble punktet, med abscisseaksen.

Og

Hvordan skal vi gå frem her? Vi må finne sinusen til vinkelen mellom og aksen. Hvor kan vi se etter sinus? Det stemmer, i en rettvinklet trekant. Så hva må vi gjøre? Bygg denne trekanten!

Siden koordinatene til punktet er og, er segmentet lik, og segmentet. Vi må finne sinusen til vinkelen. La meg minne deg på at sinus er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen

Hva har vi igjen å gjøre? Finn hypotenusen. Du kan gjøre dette på to måter: ved å bruke Pythagoras teorem (bena er kjent!) eller ved å bruke formelen for avstanden mellom to punkter (faktisk det samme som den første metoden!). Jeg går den andre veien:

Svar:

Den neste oppgaven vil virke enda enklere for deg. Hun er på koordinatene til punktet.

Oppgave 2. Fra punktet senkes per-pen-di-ku-lyaren ned på ab-ciss-aksen. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

La oss lage en tegning:

Basen til en perpendikulær er punktet der den skjærer x-aksen (aksen), for meg er dette et punkt. Figuren viser at den har koordinater: . Vi er interessert i abscissen - det vil si "x" -komponenten. Hun er likestilt.

Svar: .

Oppgave 3. I betingelsene for forrige oppgave, finn summen av avstandene fra punktet til koordinataksene.

Oppgaven er generelt elementær hvis du vet hva avstanden fra et punkt til aksene er. Du vet? Jeg håper, men jeg vil likevel minne deg på:

Så, i tegningen min rett ovenfor, har jeg allerede tegnet en slik vinkelrett? Hvilken akse er den på? Til aksen. Og hva er lengden da? Hun er likestilt. Tegn nå en vinkelrett på aksen selv og finn lengden. Det blir likt, ikke sant? Da er summen deres lik.

Svar: .

Oppgave 4. I betingelsene for oppgave 2, finn ordinaten til et punkt symmetrisk til punktet i forhold til abscisseaksen.

Jeg tror det er intuitivt klart for deg hva symmetri er? Mange gjenstander har det: mange bygninger, bord, fly, mange geometriske former: kule, sylinder, firkant, rombe osv. Grovt sett kan symmetri forstås slik: en figur består av to (eller flere) identiske halvdeler. Denne symmetrien kalles aksial symmetri. Hva er da en akse? Dette er nøyaktig linjen langs hvilken figuren relativt sett kan "skjæres" i like halvdeler (i dette bildet er symmetriaksen rett):

La oss nå gå tilbake til oppgaven vår. Vi vet at vi ser etter et punkt som er symmetrisk om aksen. Da er denne aksen symmetriaksen. Dette betyr at vi må markere et punkt slik at aksen kutter segmentet i to like deler. Prøv å markere et slikt punkt selv. Sammenlign nå med min løsning:

Fungerte det på samme måte for deg? Fint! Vi er interessert i ordinaten til det funnet punktet. Det er likt

Svar:

Fortell meg nå, etter å ha tenkt noen sekunder, hva vil abscissen til et punkt som er symmetrisk til punkt A i forhold til ordinaten? Hva er svaret ditt? Korrekt svar: .

Generelt kan regelen skrives slik:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt i forhold til abscisseaksen har koordinatene:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt i forhold til ordinataksen har koordinater:

Vel, nå er det helt skummelt oppgave: finn koordinatene til et punkt som er symmetrisk til punktet i forhold til origo. Du tenker først selv, og så ser du på tegningen min!

Svar:

Nå parallellogram problem:

Oppgave 5: Punktene vises ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finn eller-di-på-det punktet.

Du kan løse dette problemet på to måter: logikk og koordinatmetoden. Jeg bruker først koordinatmetoden, og så skal jeg fortelle deg hvordan du kan løse det annerledes.

Det er helt klart at abscissen til punktet er lik. (den ligger på vinkelrett tegnet fra punktet til abscisseaksen). Vi må finne ordinaten. La oss dra nytte av det faktum at figuren vår er et parallellogram, dette betyr det. La oss finne lengden på segmentet ved å bruke formelen for avstanden mellom to punkter:

Vi senker vinkelrett som forbinder punktet med aksen. Jeg vil angi skjæringspunktet med en bokstav.

Lengden på segmentet er lik. (finn problemet selv der vi diskuterte dette punktet), så vil vi finne lengden på segmentet ved å bruke Pythagoras teorem:

Lengden på et segment sammenfaller nøyaktig med ordinaten.

Svar: .

En annen løsning (jeg skal bare gi et bilde som illustrerer det)

Løsningsfremgang:

1. Oppførsel

2. Finn koordinatene til punktet og lengden

3. Bevis det.

En annen problem med segmentlengde:

Punktene vises på toppen av trekantene. Finn lengden på midtlinjen, parallell.

Husker du hva midtlinjen i en trekant er? Da er denne oppgaven elementær for deg. Hvis du ikke husker det, vil jeg minne deg på: midtlinjen i en trekant er linjen som forbinder midtpunktene til motsatte sider. Den er parallell med basen og lik halvparten av den.

Basen er et segment. Vi måtte se etter lengden tidligere, den er lik. Da er lengden på midtlinjen halvparten så stor og lik.

Svar: .

Kommentar: dette problemet kan løses på en annen måte, som vi kommer til litt senere.

I mellomtiden, her er noen problemer for deg, øv deg på dem, de er veldig enkle, men de hjelper deg å bli bedre til å bruke koordinatmetoden!

1. Punktene vises på toppen av tra-pesjonene. Finn lengden på midtlinjen.

2. Poeng og utseende ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finn eller-di-på-det punktet.

3. Finn lengden fra kuttet, koble punktet og

4. Finn området bak den fargede figuren på koordinatplanet.

5. En sirkel med sentrum i na-cha-le ko-or-di-nat går gjennom punktet. Finn hennes ra-di-us.

6. Finn-di-te ra-di-us av sirkelen, beskriv-san-noy om den rette vinkelen-no-ka, toppen av noe har en med-eller -di-na-du er så ansvarlig

Løsninger:

1. Det er kjent at midtlinjen til en trapes er lik halvparten av summen av dens baser. Basen er lik, og basen. Deretter

Svar:

2. Den enkleste måten å løse dette problemet på er å merke seg det (parallelogramregelen). Å beregne koordinatene til vektorer er ikke vanskelig: . Når vektorer legges til, legges koordinatene til. Da har den koordinater. Punktet har også disse koordinatene, siden opprinnelsen til vektoren er punktet med koordinatene. Vi er interessert i ordinaten. Hun er likestilt.

Svar:

3. Vi handler umiddelbart i henhold til formelen for avstanden mellom to punkter:

Svar:

4. Se på bildet og fortell meg hvilke to figurer det skraverte området er "klemt" mellom? Den er klemt mellom to firkanter. Da er arealet til den ønskede figuren lik arealet til den store firkanten minus arealet til den lille. Siden av en liten firkant er et segment som forbinder punktene og lengden er

Da er arealet av det lille torget

Vi gjør det samme med en stor firkant: siden er et segment som forbinder punktene og lengden er lik

Da er arealet av det store torget

Vi finner arealet til ønsket figur ved å bruke formelen:

Svar:

5. Hvis en sirkel har origo som senter og går gjennom et punkt, så vil dens radius være nøyaktig lik lengden på segmentet (lag en tegning og du vil forstå hvorfor dette er åpenbart). La oss finne lengden på dette segmentet:

Svar:

6. Det er kjent at radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel er lik halvparten av diagonalen. La oss finne lengden på en av de to diagonalene (tross alt, i et rektangel er de like!)

Svar:

Vel, taklet du alt? Det var ikke så veldig vanskelig å finne ut av det, var det? Det er bare én regel her - kunne lage et visuelt bilde og ganske enkelt "lese" alle dataene fra det.

Vi har veldig lite igjen. Det er bokstavelig talt to punkter til som jeg ønsker å diskutere.

La oss prøve å løse dette enkle problemet. La to poeng og gis. Finn koordinatene til midtpunktet av segmentet. Løsningen på dette problemet er som følger: la punktet være det ønskede midten, så har det koordinater:

Det er: koordinater til midten av segmentet = det aritmetiske gjennomsnittet av de tilsvarende koordinatene til endene av segmentet.

Denne regelen er veldig enkel og forårsaker vanligvis ikke vanskeligheter for elevene. La oss se i hvilke problemer og hvordan det brukes:

1. Finn-di-te eller-di-na-tu se-re-di-ny fra-cut, koble-punktet og

2. Poengene ser ut til å være toppen av verden. Finn-di-te eller-di-na-tu poeng per-re-se-che-niya av dia-go-na-ley hans.

3. Finn-di-te abs-cis-su sentrum av sirkelen, beskriv-san-noy om rektangulære-no-ka, toppen av noe har co-eller-di-na-du så-ansvarlig-men.

Løsninger:

1. Det første problemet er rett og slett en klassiker. Vi fortsetter umiddelbart for å bestemme midten av segmentet. Den har koordinater. Ordinaten er lik.

Svar:

2. Det er lett å se at denne firkanten er et parallellogram (til og med en rombe!). Du kan bevise dette selv ved å beregne lengdene på sidene og sammenligne dem med hverandre. Hva vet jeg om parallellogrammer? Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet! Ja! Så hva er skjæringspunktet mellom diagonalene? Dette er midten av noen av diagonalene! Jeg velger spesielt diagonalen. Da har punktet koordinater Ordinaten til punktet er lik.

Svar:

3. Hva sammenfaller midten av sirkelen som er omskrevet om rektangelet? Det faller sammen med skjæringspunktet for diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel? De er like og skjæringspunktet deler dem i to. Oppgaven ble redusert til den forrige. La oss ta for eksempel diagonalen. Så hvis er midten av den omskrevne sirkelen, så er midtpunktet. Jeg ser etter koordinater: Abscissen er lik.

Svar:

Nå skal du øve litt på egen hånd, jeg vil bare gi svarene på hvert problem slik at du kan teste deg selv.

1. Finn-di-te ra-di-us av sirkelen, beskriv-san-noy om tri-angle-no-ka, toppen av noe har en co-eller-di -no misters

2. Finn-di-te eller-di-på-senteret av sirkelen, beskriv-san-noy om trekanten-no-ka, hvis topper har koordinater

3. Hva slags ra-di-u-sa skal det være en sirkel med sentrum i et punkt slik at den berører ab-ciss-aksen?

4. Finn-di-de eller-di-på-det punktet for re-se-sesjon av aksen og fra-skjæring, koble-punktet og

Svar:

Var alt vellykket? Jeg håper virkelig på det! Nå - siste push. Vær spesielt forsiktig. Materialet som jeg nå skal forklare er direkte relatert ikke bare til enkle problemer på koordinatmetoden fra del B, men finnes også overalt i Oppgave C2.

Hvilke av løftene mine har jeg ennå ikke holdt? Husker du hvilke operasjoner på vektorer jeg lovet å introdusere og hvilke jeg til slutt introduserte? Er du sikker på at jeg ikke har glemt noe? Glemte! Jeg glemte å forklare hva vektormultiplikasjon betyr.

Det er to måter å multiplisere en vektor med en vektor. Avhengig av den valgte metoden vil vi få gjenstander av forskjellig natur:

Kryssproduktet er gjort ganske smart. Vi vil diskutere hvordan du gjør det og hvorfor det er nødvendig i neste artikkel. Og i denne vil vi fokusere på det skalære produktet.

Det er to måter som lar oss beregne det:

Som du gjettet, bør resultatet være det samme! Så la oss først se på den første metoden:

Prikk produkt via koordinater

Finn: - generelt akseptert notasjon for skalarprodukt

Formelen for beregning er som følger:

Det vil si at skalarproduktet = summen av produktene av vektorkoordinater!

Eksempel:

Finn-di-te

Løsning:

La oss finne koordinatene til hver av vektorene:

Vi beregner skalarproduktet ved å bruke formelen:

Svar:

Se, absolutt ikke noe komplisert!

Vel, prøv det selv:

· Finn en skalar pro-iz-ve-de-nie av århundrer og

Klarte du deg? Kanskje du la merke til en liten hake? La oss sjekke:

Vektorkoordinater, som i forrige oppgave! Svar: .

I tillegg til koordinaten, er det en annen måte å beregne skalarproduktet på, nemlig gjennom lengdene på vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Angir vinkelen mellom vektorene og.

Det vil si at skalarproduktet er lik produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Hvorfor trenger vi denne andre formelen, hvis vi har den første, som er mye enklere, er det i det minste ingen cosinus i den. Og det er nødvendig slik at du og jeg fra den første og andre formelen kan utlede hvordan du finner vinkelen mellom vektorer!

La Så husk formelen for lengden på vektoren!

Så hvis jeg erstatter disse dataene i skalarproduktformelen, får jeg:

Men på en annen måte:

Så hva fikk du og jeg? Vi har nå en formel for å beregne vinkelen mellom to vektorer! Noen ganger er det også skrevet slik for korthets skyld:

Det vil si at algoritmen for å beregne vinkelen mellom vektorer er som følger:

1. Beregn skalarproduktet gjennom koordinater
2. Finn lengdene på vektorene og gang dem
3. Del resultatet av punkt 1 med resultatet av punkt 2

La oss øve med eksempler:

1. Finn vinkelen mellom øyelokkene og. Gi svaret i grad-du-sah.

2. I betingelsene i forrige oppgave, finn cosinus mellom vektorene

La oss gjøre dette: Jeg skal hjelpe deg med å løse det første problemet, og prøve å gjøre det andre selv! Bli enige? Så la oss begynne!

1. Disse vektorene er våre gamle venner. Vi har allerede beregnet deres skalarprodukt, og det var likt. Koordinatene deres er: , . Så finner vi lengdene deres:

Deretter ser vi etter cosinus mellom vektorene:

Hva er cosinus til vinkelen? Dette er hjørnet.

Svar:

Vel, løs nå det andre problemet selv, og sammenlign! Jeg vil gi en veldig kort løsning:

2. har koordinater, har koordinater.

La være vinkelen mellom vektorene og da

Svar:

Det skal bemerkes at problemer direkte på vektorer og koordinatmetoden i del B av eksamensoppgaven er ganske sjeldne. De aller fleste C2-problemene kan imidlertid enkelt løses ved å innføre et koordinatsystem. Så du kan vurdere denne artikkelen som grunnlaget som vi vil lage ganske smarte konstruksjoner som vi trenger for å løse komplekse problemer.

KOORDINATER OG VEKTORER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Du og jeg fortsetter å studere koordinatmetoden. I den siste delen utledet vi en rekke viktige formler som lar deg:

1. Finn vektorkoordinater
2. Finn lengden på en vektor (alternativt: avstanden mellom to punkter)
3. Legg til og trekk fra vektorer. Multipliser dem med et reelt tall
4. Finn midtpunktet til et segment
5. Beregn prikkprodukt av vektorer
6. Finn vinkelen mellom vektorer

Hele koordinatmetoden passer selvsagt ikke inn i disse 6 punktene. Det ligger til grunn for en slik vitenskap som analytisk geometri, som du vil bli kjent med på universitetet. Jeg vil bare bygge et grunnlag som lar deg løse problemer i en enkelt stat. eksamen. Vi har behandlet oppgavene i del B. Nå er det på tide å flytte til et helt nytt nivå! Denne artikkelen vil bli viet til en metode for å løse de C2-problemene der det ville være rimelig å bytte til koordinatmetoden. Denne rimeligheten bestemmes av hva som kreves for å finne i problemstillingen og hvilken figur som er oppgitt. Så jeg ville brukt koordinatmetoden hvis spørsmålene er:

1. Finn vinkelen mellom to plan
2. Finn vinkelen mellom en rett linje og et plan
3. Finn vinkelen mellom to rette linjer
4. Finn avstanden fra et punkt til et fly
5. Finn avstanden fra et punkt til en linje
6. Finn avstanden fra en rett linje til et plan
7. Finn avstanden mellom to linjer

Hvis tallet gitt i problemformuleringen er et rotasjonslegeme (kule, sylinder, kjegle...)

Egnede tall for koordinatmetoden er:

1. Rektangulært parallellepipedum
2. Pyramide (trekantet, firkantet, sekskantet)

Også fra min erfaring det er uaktuelt å bruke koordinatmetoden for:

1. Finne tverrsnittsarealer
2. Beregning av volum av kropper

Det bør imidlertid umiddelbart bemerkes at de tre "ugunstige" situasjonene for koordinatmetoden er ganske sjeldne i praksis. I de fleste oppgaver kan den bli din redningsmann, spesielt hvis du ikke er særlig god på tredimensjonale konstruksjoner (som noen ganger kan være ganske intrikate).

Hva er alle tallene jeg listet opp ovenfor? De er ikke lenger flate, som for eksempel en firkant, en trekant, en sirkel, men voluminøse! Følgelig må vi ikke vurdere et todimensjonalt, men et tredimensjonalt koordinatsystem. Det er ganske enkelt å konstruere: bare i tillegg til abscissen og ordinataksen, vil vi introdusere en annen akse, applikataksen. Figuren viser skjematisk deres relative posisjon:

Alle av dem er gjensidig vinkelrett og skjærer hverandre på ett punkt, som vi vil kalle opprinnelsen til koordinatene. Som før vil vi betegne abscisseaksen, ordinataksen - og den introduserte applikataksen - .

Hvis hvert punkt på planet tidligere var preget av to tall - abscissen og ordinaten, er hvert punkt i rommet allerede beskrevet av tre tall - abscissen, ordinaten og applikasjonen. For eksempel:

Følgelig er abscissen til et punkt lik, ordinaten er , og applikatet er .

Noen ganger kalles abscissen til et punkt også projeksjonen av et punkt på abscisseaksen, ordinaten - projeksjonen av et punkt på ordinataksen, og applikatet - projeksjonen av et punkt på applikataksen. Følgelig, hvis et punkt er gitt, så et punkt med koordinater:

kalt projeksjon av et punkt på et plan

kalt projeksjon av et punkt på et plan

Et naturlig spørsmål dukker opp: er alle formlene som er utledet for det todimensjonale tilfellet gyldige i rommet? Svaret er ja, de er rettferdige og har samme utseende. For en liten detalj. Jeg tror du allerede har gjettet hvilken det er. I alle formler må vi legge til ett begrep til som er ansvarlig for applikataksen. Nemlig.

1. Hvis to poeng er gitt: , så:

• Vektorkoordinater:
• Avstand mellom to punkter (eller vektorlengde)
• Midtpunktet i segmentet har koordinater

2. Hvis to vektorer er gitt: og, da:

• Deres skalarprodukt er lik:
• Cosinus til vinkelen mellom vektorene er lik:

Plassen er imidlertid ikke så enkel. Som du forstår, introduserer det å legge til en koordinat til betydelig mangfold i spekteret av figurer som "lever" i dette rommet. Og for videre fortelling må jeg introdusere noen, grovt sett, "generalisering" av den rette linjen. Denne "generaliseringen" vil være et fly. Hva vet du om fly? Prøv å svare på spørsmålet, hva er et fly? Det er veldig vanskelig å si. Imidlertid forestiller vi oss alle intuitivt hvordan det ser ut:

Grovt sett er dette et slags endeløst "ark" som sitter fast i verdensrommet. "Uendelig" skal forstås at planet strekker seg i alle retninger, det vil si at arealet er lik uendelig. Denne "hands-on" forklaringen gir imidlertid ikke den minste idé om strukturen til flyet. Og det er hun som vil være interessert i oss.

La oss huske en av geometriens grunnleggende aksiomer:

• en rett linje går gjennom to forskjellige punkter på et plan, og bare ett:

Eller dens analoge i verdensrommet:

Selvfølgelig husker du hvordan du utleder ligningen til en linje fra to gitte punkter, det er ikke i det hele tatt vanskelig: hvis det første punktet har koordinater: og det andre, vil linjens ligning være som følger:

Du tok dette i 7. klasse. I rommet ser likningen til en linje slik ut: la oss få to punkter med koordinater: , så har likningen til linjen som går gjennom dem formen:

For eksempel går en linje gjennom punkter:

Hvordan skal dette forstås? Dette skal forstås som følger: et punkt ligger på en linje hvis koordinatene tilfredsstiller følgende system:

Vi vil ikke være veldig interessert i ligningen til en linje, men vi må ta hensyn til det veldig viktige konseptet med retningsvektoren til en linje. - enhver vektor som ikke er null som ligger på en gitt linje eller parallelt med den.

For eksempel er begge vektorene retningsvektorer av en rett linje. La være et punkt som ligger på en linje og la være retningsvektoren. Deretter kan likningen av linjen skrives i følgende form:

Nok en gang vil jeg ikke være veldig interessert i ligningen for en rett linje, men jeg trenger virkelig at du husker hva en retningsvektor er! En gang til: dette er en hvilken som helst vektor som ikke er null som ligger på en linje eller parallelt med den.

Ta ut ligning av et plan basert på tre gitte punkter er ikke lenger så triviell, og problemet tas vanligvis ikke opp i videregående skolekurs. Men til ingen nytte! Denne teknikken er avgjørende når vi tyr til koordinatmetoden for å løse komplekse problemer. Men jeg antar at du er ivrig etter å lære noe nytt? Dessuten vil du kunne imponere læreren din ved universitetet når det viser seg at du allerede vet hvordan du bruker en teknikk som vanligvis studeres i et analytisk geometrikurs. Så la oss komme i gang.

Ligningen til et plan er ikke så forskjellig fra ligningen til en rett linje på et plan, den har nemlig formen:

noen tall (ikke alle lik null), men variabler, for eksempel: osv. Som du kan se, er ligningen til et plan ikke veldig forskjellig fra ligningen til en rett linje (lineær funksjon). Men husker du hva du og jeg kranglet om? Vi sa at hvis vi har tre punkter som ikke ligger på samme linje, så kan flyets ligning rekonstrueres unikt fra dem. Men hvordan? Jeg skal prøve å forklare deg det.

Siden ligningen til planet er:

Og punktene tilhører dette planet, så når vi erstatter koordinatene til hvert punkt i ligningen til planet, bør vi få den riktige identiteten:

Dermed er det behov for å løse tre likninger med ukjente! Dilemma! Du kan imidlertid alltid anta det (for å gjøre dette må du dele med). Dermed får vi tre ligninger med tre ukjente:

Vi vil imidlertid ikke løse et slikt system, men vil skrive ut det mystiske uttrykket som følger av det:

Ligning av et plan som går gjennom tre gitte punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppe! Hva er dette? En veldig uvanlig modul! Objektet du ser foran deg har imidlertid ingenting med modulen å gjøre. Dette objektet kalles en tredjeordens determinant. Fra nå av, når du arbeider med metoden for koordinater på et fly, vil du veldig ofte møte de samme determinantene. Hva er en tredjeordens determinant? Merkelig nok er det bare et tall. Det gjenstår å forstå hvilket spesifikt tall vi vil sammenligne med determinanten.

La oss først skrive tredjeordens determinanten i en mer generell form:

Hvor er noen tall. Med den første indeksen mener vi dessuten radnummeret, og med indeksen mener vi kolonnenummeret. For eksempel betyr det at dette tallet er i skjæringspunktet mellom den andre raden og den tredje kolonnen. La oss stille følgende spørsmål: nøyaktig hvordan vil vi beregne en slik determinant? Det vil si, hvilket spesifikt tall vil vi sammenligne med det? For tredjeordens determinanten er det en heuristisk (visuell) trekantregel, den ser slik ut:

1. Produktet av elementene i hoveddiagonalen (fra øvre venstre hjørne til nedre høyre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på hoveddiagonalen produktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på hoveddiagonal
2. Produktet av elementene i den sekundære diagonalen (fra øvre høyre hjørne til nedre venstre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på den sekundære diagonalen produktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på sekundær diagonal
3. Da er determinanten lik forskjellen mellom verdiene oppnådd på trinnet og

Hvis vi skriver alt dette ned i tall, får vi følgende uttrykk:

Det er imidlertid ikke nødvendig å huske beregningsmetoden i denne formen, det er nok å bare holde trianglene i hodet og selve ideen om hva som blir trukket fra hva).

La oss illustrere trekantmetoden med et eksempel:

1. Regn ut determinanten:

La oss finne ut hva vi legger til og hva vi trekker fra:

Vilkår som kommer med et pluss:

Dette er hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Den første trekanten, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Andre trekant, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Legg sammen tre tall:

Begreper som kommer med et minus

Dette er en sidediagonal: produktet av elementene er lik

Den første trekanten, "vinkelrett på den sekundære diagonalen: produktet av elementene er lik

Den andre trekanten, "vinkelrett på den sekundære diagonalen: produktet av elementene er lik

Legg sammen tre tall:

Alt som gjenstår å gjøre er å trekke summen av "pluss"-leddene fra summen av "minus"-leddene:

Dermed,

Som du kan se, er det ingenting komplisert eller overnaturlig i å beregne tredjeordens determinanter. Det er bare viktig å huske på trekanter og ikke gjøre regnefeil. Prøv nå å beregne det selv:

Vi sjekker:

1. Den første trekanten vinkelrett på hoveddiagonalen:
2. Andre trekant vinkelrett på hoveddiagonalen:
3. Sum av termer med pluss:
4. Den første trekanten vinkelrett på den sekundære diagonalen:
5. Andre trekant vinkelrett på sidediagonalen:
6. Sum av ledd med minus:
7. Summen av vilkårene med pluss minus summen av vilkårene med minus:

Her er et par flere determinanter, beregn verdiene deres selv og sammenlign dem med svarene:

Svar:

Vel, falt alt sammen? Flott, da kan du gå videre! Hvis det er vanskeligheter, er mitt råd dette: på Internett er det mange programmer for å beregne determinanten på nettet. Alt du trenger er å komme opp med din egen determinant, beregne den selv, og deretter sammenligne den med det programmet beregner. Og så videre til resultatene begynner å falle sammen. Jeg er sikker på at dette øyeblikket ikke vil ta lang tid å komme!

La oss nå gå tilbake til determinanten som jeg skrev ut da jeg snakket om ligningen til et fly som passerer gjennom tre gitte punkter:

Alt du trenger er å beregne verdien direkte (ved hjelp av trekantmetoden) og sette resultatet til null. Siden dette er variabler, vil du naturligvis få et uttrykk som avhenger av dem. Det er dette uttrykket som vil være ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på samme rette linje!

La oss illustrere dette med et enkelt eksempel:

1. Konstruer ligningen til et plan som går gjennom punktene

Vi setter sammen en determinant for disse tre punktene:

La oss forenkle:

Nå regner vi det direkte ved å bruke trekantregelen:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ høyre|. = \venstre((x + 3) \høyre) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dermed er ligningen til planet som går gjennom punktene:

Prøv nå å løse ett problem selv, og så vil vi diskutere det:

2. Finn ligningen til planet som går gjennom punktene

Vel, la oss nå diskutere løsningen:

La oss lage en determinant:

Og beregn verdien:

Da har ligningen til planet formen:

Eller, for å redusere med, får vi:

Nå to oppgaver for selvkontroll:

1. Konstruer ligningen til et plan som går gjennom tre punkter:

Svar:

Var alt sammen? Igjen, hvis det er visse vanskeligheter, så er mitt råd dette: ta tre poeng fra hodet ditt (med stor sannsynlighet vil de ikke ligge på samme rette linje), bygg et fly basert på dem. Og så sjekker du deg selv på nettet. For eksempel på nettstedet:

Men ved hjelp av determinanter vil vi konstruere ikke bare ligningen til planet. Husk at jeg fortalte deg at ikke bare punktprodukt er definert for vektorer. Det finnes også et vektorprodukt, samt et blandet produkt. Og hvis skalarproduktet av to vektorer er et tall, vil vektorproduktet av to vektorer være en vektor, og denne vektoren vil være vinkelrett på de gitte:

Dessuten vil modulen være lik arealet til et parallellogram bygget på vektorene og. Vi trenger denne vektoren for å beregne avstanden fra et punkt til en linje. Hvordan kan vi beregne vektorproduktet til vektorer, og hvis deres koordinater er gitt? Den tredje ordens determinanten kommer oss til unnsetning igjen. Men før jeg går videre til algoritmen for beregning av vektorproduktet, må jeg gjøre en liten digresjon.

Denne digresjonen gjelder basisvektorer.

De er vist skjematisk i figuren:

Hvorfor tror du de kalles grunnleggende? Faktum er at:

Eller på bildet:

Gyldigheten av denne formelen er åpenbar, fordi:

Vektor kunstverk

Nå kan jeg begynne å introdusere kryssproduktet:

Vektorproduktet av to vektorer er en vektor, som beregnes i henhold til følgende regel:

La oss nå gi noen eksempler på beregning av kryssproduktet:

Eksempel 1: Finn kryssproduktet av vektorer:

Løsning: Jeg lager en determinant:

Og jeg regner det ut:

Nå fra å skrive gjennom basisvektorer, vil jeg gå tilbake til den vanlige vektornotasjonen:

Dermed:

Prøv det nå.

Klar? Vi sjekker:

Og tradisjonelt to oppgaver for kontroll:

1. Finn vektorproduktet til følgende vektorer:
2. Finn vektorproduktet til følgende vektorer:

Svar:

Blandet produkt av tre vektorer

Den siste konstruksjonen jeg trenger er det blandede produktet av tre vektorer. Det, som en skalar, er et tall. Det er to måter å beregne det på. - gjennom en determinant, - gjennom et blandet produkt.

La oss nemlig få tre vektorer:

Deretter kan det blandede produktet av tre vektorer, betegnet med, beregnes som:

1. - det vil si at det blandede produktet er skalarproduktet av en vektor og vektorproduktet av to andre vektorer

For eksempel er det blandede produktet av tre vektorer:

Prøv å beregne det selv ved hjelp av vektorproduktet og sørg for at resultatene stemmer overens!

Og igjen, to eksempler på uavhengige løsninger:

Svar:

Velge et koordinatsystem

Vel, nå har vi alt nødvendig kunnskapsgrunnlag for å løse komplekse stereometriske geometriproblemer. Men før jeg går direkte videre til eksempler og algoritmer for å løse dem, tror jeg at det vil være nyttig å dvele ved følgende spørsmål: hvordan nøyaktig velg et koordinatsystem for en bestemt figur. Det er tross alt valget av den relative posisjonen til koordinatsystemet og figuren i rommet som til syvende og sist vil avgjøre hvor tungvinte beregningene blir.

La meg minne deg på at vi i denne delen tar for oss følgende tall:

1. Rektangulært parallellepipedum
2. Rett prisme (trekantet, sekskantet...)
3. Pyramide (trekantet, firkantet)
4. Tetraeder (samme som trekantet pyramide)

For et rektangulært parallellepiped eller terning anbefaler jeg følgende konstruksjon:

Det vil si at jeg vil plassere figuren "i hjørnet". Terningen og parallellepipeden er veldig gode figurer. For dem kan du alltid enkelt finne koordinatene til hjørnene. For eksempel, hvis (som vist på bildet)

da er koordinatene til toppunktene som følger:

Selvfølgelig trenger du ikke å huske dette, men å huske hvordan du best plasserer en terning eller et rektangulært parallellepiped er tilrådelig.

Rett prisme

Prismet er en mer skadelig figur. Den kan plasseres i rommet på forskjellige måter. Imidlertid virker følgende alternativ for meg det mest akseptable:

Trekantet prisme:

Det vil si at vi plasserer en av sidene av trekanten helt på aksen, og en av toppunktene faller sammen med opprinnelsen til koordinatene.

Sekskantet prisme:

Det vil si at en av toppunktene faller sammen med origo, og en av sidene ligger på aksen.

Firkantet og sekskantet pyramide:

Situasjonen ligner på en terning: vi justerer to sider av basen med koordinataksene, og justerer en av toppunktene med origo for koordinatene. Den eneste lille vanskeligheten vil være å beregne koordinatene til punktet.

For en sekskantet pyramide - det samme som for et sekskantet prisme. Hovedoppgaven blir igjen å finne koordinatene til toppunktet.

Tetraeder (trekantet pyramide)

Situasjonen er veldig lik den jeg ga for et trekantet prisme: ett toppunkt faller sammen med origo, en side ligger på koordinataksen.

Vel, nå er du og jeg endelig nær ved å begynne å løse problemer. Fra det jeg sa helt i begynnelsen av artikkelen, kan du trekke følgende konklusjon: de fleste C2-oppgaver er delt inn i 2 kategorier: vinkelproblemer og avstandsproblemer. Først skal vi se på problemene med å finne en vinkel. De er igjen delt inn i følgende kategorier (ettersom kompleksiteten øker):

Problemer med å finne vinkler

1. Finne vinkelen mellom to rette linjer
2. Finne vinkelen mellom to plan

La oss se på disse problemene sekvensielt: la oss starte med å finne vinkelen mellom to rette linjer. Vel, husk, har ikke du og jeg løst lignende eksempler før? Husker du at vi allerede hadde noe lignende... Vi lette etter vinkelen mellom to vektorer. La meg minne deg om at hvis to vektorer er gitt: og da er vinkelen mellom dem funnet fra relasjonen:

Nå er målet vårt å finne vinkelen mellom to rette linjer. La oss se på det "flate bildet":

Hvor mange vinkler fikk vi når to rette linjer krysset hverandre? Bare noen få ting. Riktignok er bare to av dem ulik, mens de andre er vertikale til dem (og derfor sammenfaller med dem). Så hvilken vinkel skal vi vurdere vinkelen mellom to rette linjer: eller? Her er regelen: vinkelen mellom to rette linjer er alltid ikke mer enn grader. Det vil si at vi fra to vinkler alltid vil velge vinkelen med det minste gradmålet. Det vil si at i dette bildet er vinkelen mellom to rette linjer lik. For ikke å bry seg hver gang med å finne den minste av to vinkler, foreslo snedige matematikere å bruke en modul. Dermed bestemmes vinkelen mellom to rette linjer av formelen:

Du, som en oppmerksom leser, burde ha hatt et spørsmål: hvor, nøyaktig, får vi disse tallene som vi trenger for å beregne cosinus til en vinkel? Svar: vi tar dem fra retningsvektorene til linjene! Dermed er algoritmen for å finne vinkelen mellom to rette linjer som følger:

1. Vi bruker formel 1.

Eller mer detaljert:

1. Vi leter etter koordinatene til retningsvektoren til den første rette linjen
2. Vi leter etter koordinatene til retningsvektoren til den andre rette linjen
3. Vi beregner modulen til deres skalarprodukt
4. Vi ser etter lengden på den første vektoren
5. Vi ser etter lengden på den andre vektoren
6. Multipliser resultatene fra punkt 4 med resultatene fra punkt 5
7. Vi deler resultatet av punkt 3 med resultatet av punkt 6. Vi får cosinus til vinkelen mellom linjene
8. Hvis dette resultatet lar oss beregne vinkelen nøyaktig, ser vi etter den
9. Ellers skriver vi gjennom arc cosinus

Vel, nå er det på tide å gå videre til problemene: Jeg vil demonstrere løsningen på de to første i detalj, jeg vil presentere løsningen for en annen i en kort form, og til de to siste problemene vil jeg bare gi svarene; du må utføre alle beregningene for dem selv.

Oppgaver:

1. I høyre tet-ra-ed-re finner du vinkelen mellom høyden på tet-ra-ed-ra og midtsiden.

2. I høyre seks-hjørne pi-ra-mi-de, de hundre os-no-va-niyaene er like, og sidekantene er like, finn vinkelen mellom linjene og.

3. Lengdene på alle kantene til høyre firekull pi-ra-mi-dy er lik hverandre. Finn vinkelen mellom de rette linjene og hvis fra snittet - du er med den gitte pi-ra-mi-dy, er punktet se-re-di-på sine bo-co-andre ribber

4. På kanten av kuben er det et punkt slik at Finn vinkelen mellom de rette linjene og

5. Pek - på kantene av kuben Finn vinkelen mellom de rette linjene og.

Det er ikke tilfeldig at jeg ordnet oppgavene i denne rekkefølgen. Mens du ennå ikke har begynt å navigere i koordinatmetoden, vil jeg analysere de mest "problematiske" figurene selv, og jeg vil la deg håndtere den enkleste kuben! Etter hvert må du lære deg å jobbe med alle figurene. Jeg vil øke kompleksiteten i oppgavene fra emne til emne.

La oss begynne å løse problemer:

1. Tegn et tetraeder, plasser det i koordinatsystemet som jeg foreslo tidligere. Siden tetraederet er regelmessig, er alle flatene (inkludert basen) vanlige trekanter. Siden vi ikke får oppgitt lengden på siden, kan jeg ta det for å være likt. Jeg tror du forstår at vinkelen faktisk ikke vil avhenge av hvor mye tetraederet vårt er "strukket"?. Jeg vil også tegne høyden og medianen i tetraederet. Underveis vil jeg tegne basen (den vil også være nyttig for oss).

Jeg må finne vinkelen mellom og. Hva vet vi? Vi kjenner bare koordinaten til punktet. Dette betyr at vi må finne koordinatene til punktene. Nå tenker vi: et punkt er skjæringspunktet mellom høydene (eller halveringslinjen eller medianene) til trekanten. Og en prikk er et hevet punkt. Poenget er midten av segmentet. Så må vi til slutt finne: koordinatene til punktene: .

La oss starte med det enkleste: koordinatene til et punkt. Se på figuren: Det er tydelig at applikasjonen til et punkt er lik null (punktet ligger på planet). Ordinaten er lik (siden den er medianen). Det er vanskeligere å finne abscissen. Dette gjøres imidlertid enkelt basert på Pythagoras teorem: Tenk på en trekant. Hypotenusen er lik, og den ene bena er lik. Da:

Endelig har vi:.

La oss nå finne koordinatene til punktet. Det er klart at dens applikasjon igjen er lik null, og ordinaten er den samme som den til et punkt, det vil si. La oss finne abscissen. Dette gjøres ganske trivielt hvis du husker det høydene til en likesidet trekant ved skjæringspunktet er delt i forhold, teller fra toppen. Siden: , så er den nødvendige abscissen til punktet, lik lengden på segmentet, lik: . Dermed er koordinatene til punktet:

La oss finne koordinatene til punktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. Og søknaden er lik lengden på segmentet. - dette er et av bena i trekanten. Hypotenusen til en trekant er et segment - et ben. Det er søkt av grunner som jeg har fremhevet med fet skrift:

Poenget er midten av segmentet. Da må vi huske formelen for koordinatene til midtpunktet av segmentet:

Det er det, nå kan vi se etter koordinatene til retningsvektorene:

Vel, alt er klart: vi erstatter alle dataene i formelen:

Dermed,

Svar:

Du bør ikke bli redd av slike "skumle" svar: for C2-oppgaver er dette vanlig praksis. Jeg vil heller bli overrasket over det "vakre" svaret i denne delen. Dessuten, som du la merke til, tyr jeg praktisk talt ikke til noe annet enn Pythagoras teoremet og egenskapen til høydene til en likesidet trekant. Det vil si at for å løse det stereometriske problemet brukte jeg det aller minste av stereometri. Gevinsten i dette er delvis «slukket» ved ganske tungvinte beregninger. Men de er ganske algoritmiske!

2. La oss skildre en vanlig sekskantet pyramide sammen med koordinatsystemet, så vel som dets base:

Vi må finne vinkelen mellom linjene og. Dermed går oppgaven vår ned på å finne koordinatene til punktene: . Vi finner koordinatene til de tre siste ved hjelp av en liten tegning, og vi finner koordinaten til toppunktet gjennom koordinaten til punktet. Det er mye arbeid å gjøre, men vi må komme i gang!

a) Koordinat: det er klart at applikatet og ordinaten er lik null. La oss finne abscissen. For å gjøre dette, vurder en rettvinklet trekant. Akk, i den kjenner vi bare hypotenusen, som er lik. Vi vil prøve å finne benet (for det er klart at dobbel lengde på benet vil gi oss abscissen til punktet). Hvordan kan vi se etter det? La oss huske hva slags figur vi har ved bunnen av pyramiden? Dette er en vanlig sekskant. Hva betyr det? Dette betyr at alle sider og alle vinkler er like. Vi må finne en slik vinkel. Noen ideer? Det er mange ideer, men det er en formel:

Summen av vinklene til en regulær n-gon er .

Dermed er summen av vinklene til en vanlig sekskant lik grader. Da er hver av vinklene lik:

La oss se på bildet igjen. Det er tydelig at segmentet er halveringslinjen til vinkelen. Da er vinkelen lik grader. Deretter:

Så hvor fra.

Har dermed koordinater

b) Nå kan vi enkelt finne koordinaten til punktet: .

c) Finn koordinatene til punktet. Siden abscissen faller sammen med lengden på segmentet, er den lik. Å finne ordinaten er heller ikke veldig vanskelig: hvis vi kobler sammen prikkene og angir skjæringspunktet for den rette linjen, la oss si ved. (gjør det selv enkel konstruksjon). Da er ordinaten til punkt B lik summen av lengdene til segmentene. La oss se på trekanten igjen. Deretter

Da siden Da har punktet koordinater

d) La oss nå finne koordinatene til punktet. Tenk på rektangelet og bevis at dermed er koordinatene til punktet:

e) Det gjenstår å finne koordinatene til toppunktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. La oss finne applikasjonen. Siden da. Tenk på en rettvinklet trekant. I henhold til forholdene til problemet, en sidekant. Dette er hypotenusen til trekanten min. Da er høyden på pyramiden et ben.

Da har punktet koordinater:

Vel, det er det, jeg har koordinatene til alle punktene som interesserer meg. Jeg ser etter koordinatene til retningsvektorene til rette linjer:

Vi ser etter vinkelen mellom disse vektorene:

Svar:

Igjen, for å løse dette problemet brukte jeg ingen sofistikerte teknikker annet enn formelen for summen av vinklene til en regulær n-gon, samt definisjonen av cosinus og sinus til en rettvinklet trekant.

3. Siden vi igjen ikke er gitt lengdene på kantene i pyramiden, vil jeg vurdere dem som lik én. Dermed, siden ALLE kanter, og ikke bare sidene, er like med hverandre, så er det ved bunnen av pyramiden og meg en firkant, og sideflatene er vanlige trekanter. La oss tegne en slik pyramide, så vel som dens base på et plan, og notere alle dataene gitt i teksten til problemet:

Vi ser etter vinkelen mellom og. Jeg skal gjøre veldig korte beregninger når jeg søker etter koordinatene til punktene. Du må "dechiffrere" dem:

b) - midten av segmentet. Dens koordinater:

c) Jeg vil finne lengden på segmentet ved hjelp av Pythagoras teorem i en trekant. Jeg kan finne det ved å bruke Pythagoras teorem i en trekant.

Koordinater:

d) - midten av segmentet. Dens koordinater er

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Ser etter vinkelen:

En kube er den enkleste figuren. Jeg er sikker på at du vil finne ut av det på egen hånd. Svarene på oppgave 4 og 5 er som følger:

Finne vinkelen mellom en rett linje og et plan

Vel, tiden for enkle gåter er over! Nå blir eksemplene enda mer kompliserte. For å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan, går vi frem som følger:

1. Ved å bruke tre punkter konstruerer vi en likning av planet
   ,
   ved å bruke en tredjeordens determinant.
2. Ved å bruke to punkter ser vi etter koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen:
3. Vi bruker formelen for å beregne vinkelen mellom en rett linje og et plan:

Som du kan se, er denne formelen veldig lik den vi brukte for å finne vinkler mellom to rette linjer. Strukturen på høyre side er rett og slett den samme, og til venstre ser vi nå etter sinus, ikke cosinus som før. Vel, en ekkel handling ble lagt til - søking etter flyets ligning.

La oss ikke utsette eksempler på løsninger:

1. Hoved-men-va-ni-em direkte prisme-vi er en lik-til-fattig trekant. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet

2. I en rektangulær par-ral-le-le-pi-pe-de fra vest Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet

3. I et rett sekskantet prisme er alle kanter like. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet.

4. I den høyre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em av de kjente ribbene Finn et hjørne, ob-ra-zo-van -flat i bunnen og rett, som går gjennom den grå ribbeina og

5. Lengdene på alle kantene til en rett firkantet pi-ra-mi-dy med et toppunkt er lik hverandre. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet hvis punktet er på siden av pi-ra-mi-dys kant.

Igjen vil jeg løse de to første problemene i detalj, den tredje kort, og la de to siste stå til deg selv. Dessuten har du allerede måttet forholde deg til trekantede og firkantede pyramider, men ennå ikke med prismer.

Løsninger:

1. La oss skildre et prisme, så vel som dets base. La oss kombinere det med koordinatsystemet og notere alle dataene som er gitt i problemstillingen:

Jeg beklager noe manglende overholdelse av proporsjonene, men for å løse problemet er dette faktisk ikke så viktig. Flyet er rett og slett "bakveggen" til prismet mitt. Det er nok å bare gjette at ligningen til et slikt plan har formen:

Dette kan imidlertid vises direkte:

La oss velge vilkårlige tre punkter på dette planet: for eksempel .

La oss lage ligningen til planet:

Øvelse for deg: beregn denne determinanten selv. Har du lyktes? Da ser flyets ligning slik ut:

Eller rett og slett

Dermed,

For å løse eksemplet må jeg finne koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen. Siden punktet faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, vil koordinatene til vektoren ganske enkelt falle sammen med koordinatene til punktet. For å gjøre dette, finner vi først koordinatene til punktet.

For å gjøre dette, vurder en trekant. La oss tegne høyden (også kjent som medianen og halveringslinjen) fra toppunktet. Siden er ordinaten til punktet lik. For å finne abscissen til dette punktet, må vi beregne lengden på segmentet. I følge Pythagoras teorem har vi:

Da har punktet koordinater:

En prikk er en "hevet" prikk:

Da er vektorkoordinatene:

Svar:

Som du kan se, er det ingenting grunnleggende vanskelig når du løser slike problemer. Faktisk forenkles prosessen litt mer av "rettheten" til en figur som et prisme. La oss nå gå videre til neste eksempel:

2. Tegn et parallellepiped, tegn et plan og en rett linje i det, og tegn også separat den nedre basen:

Først finner vi ligningen til planet: Koordinatene til de tre punktene som ligger i det:

(de to første koordinatene fås på en åpenbar måte, og du finner enkelt den siste koordinaten fra bildet fra punktet). Så komponerer vi ligningen til planet:

Vi beregner:

Vi leter etter koordinatene til den veiledende vektoren: Det er tydelig at dens koordinater sammenfaller med koordinatene til punktet, er det ikke? Hvordan finne koordinater? Dette er koordinatene til punktet, hevet langs applikataksen med én! . Deretter ser vi etter ønsket vinkel:

Svar:

3. Tegn en vanlig sekskantet pyramide, og tegn deretter et plan og en rett linje i den.

Her er det til og med problematisk å tegne et fly, for ikke å snakke om å løse dette problemet, men koordinatmetoden bryr seg ikke! Dens allsidighet er dens største fordel!

Flyet går gjennom tre punkter: . Vi ser etter deres koordinater:

1) . Finn ut koordinatene for de to siste punktene selv. Du må løse det sekskantede pyramideproblemet for dette!

2) Vi konstruerer likningen til planet:

Vi leter etter koordinatene til vektoren: . (Se det trekantede pyramideproblemet igjen!)

3) Leter du etter en vinkel:

Svar:

Som du kan se, er det ikke noe overnaturlig vanskelig i disse oppgavene. Du må bare være veldig forsiktig med røttene. Jeg vil bare gi svar på de to siste problemene:

Som du kan se, er teknikken for å løse problemer den samme overalt: hovedoppgaven er å finne koordinatene til toppunktene og erstatte dem med visse formler. Vi må fortsatt vurdere en annen klasse problemer for å beregne vinkler, nemlig:

Beregne vinkler mellom to plan

Løsningsalgoritmen vil være som følger:

1. Ved å bruke tre punkter ser vi etter ligningen til det første planet:
2. Ved å bruke de tre andre punktene ser vi etter ligningen til det andre planet:
3. Vi bruker formelen:

Som du kan se, er formelen veldig lik de to foregående, ved hjelp av hvilken vi så etter vinkler mellom rette linjer og mellom en rett linje og et plan. Så det vil ikke være vanskelig for deg å huske denne. La oss gå videre til analysen av oppgavene:

1. Siden av bunnen av det høyre trekantede prismet er lik, og diagonalen til sideflaten er lik. Finn vinkelen mellom planet og planet for prismets akse.

2. I høyre fire-hjørne pi-ra-mi-de, som alle kantene er like, finn sinusen til vinkelen mellom planet og planbenet, som går gjennom punktet per-pen-di-ku- lyar-men rett.

3. I et vanlig fire-hjørnet prisme er sidene av basen like, og sidekantene er like. Det er et punkt på kanten fra-meg-che-on slik at. Finn vinkelen mellom planene og

4. I et rett firkantet prisme er sidene av basen like, og sidekantene er like. Det er et punkt på kanten fra punktet slik at Finn vinkelen mellom planene og.

5. I en terning finner du co-si-nus til vinkelen mellom planene og

Problemløsninger:

1. Jeg tegner et vanlig (en likesidet trekant ved bunnen) trekantet prisme og merker på det planene som vises i problemformuleringen:

Vi må finne likningene til to plan: Ligningen til basen er triviell: du kan komponere den tilsvarende determinanten ved å bruke tre punkter, men jeg vil komponere ligningen med en gang:

La oss nå finne ligningen Punkt har koordinater Punkt - Siden er medianen og høyden til trekanten, er den lett å finne ved å bruke Pythagoras teorem i trekanten. Da har punktet koordinater: La oss finne applikasjonen til punktet For å gjøre dette, vurdere en rettvinklet trekant

Da får vi følgende koordinater: Vi komponerer likningen til planet.

Vi beregner vinkelen mellom planene:

Svar:

2. Lage en tegning:

Det vanskeligste er å forstå hva slags mystisk fly dette er, som passerer vinkelrett gjennom punktet. Vel, hovedsaken er, hva er det? Det viktigste er oppmerksomhet! Faktisk er linjen vinkelrett. Den rette linjen er også vinkelrett. Da vil flyet som går gjennom disse to linjene være vinkelrett på linjen, og forresten passere gjennom punktet. Dette flyet går også gjennom toppen av pyramiden. Så ønsket fly - Og flyet er allerede gitt til oss. Vi leter etter koordinatene til punktene.

Vi finner koordinaten til punktet gjennom punktet. Fra det lille bildet er det lett å utlede at koordinatene til punktet vil være som følger: Hva gjenstår nå å finne for å finne koordinatene til toppen av pyramiden? Du må også beregne høyden. Dette gjøres ved å bruke det samme Pythagoras teorem: først bevis det (trivielt fra små trekanter som danner en firkant ved bunnen). Siden etter betingelse har vi:

Nå er alt klart: toppunktkoordinater:

Vi komponerer likningen til planet:

Du er allerede en ekspert på å beregne determinanter. Uten vanskeligheter vil du motta:

Eller på annen måte (hvis vi multipliserer begge sider med roten av to)

La oss nå finne ligningen til flyet:

(Du har ikke glemt hvordan vi får ligningen til et fly, ikke sant? Hvis du ikke forstår hvor denne minusen kom fra, så gå tilbake til definisjonen av ligningen til et fly! Det viste seg bare alltid før det flyet mitt tilhørte opprinnelsen til koordinatene!)

Vi beregner determinanten:

(Du vil kanskje legge merke til at ligningen til flyet faller sammen med ligningen til linjen som går gjennom punktene og! Tenk på hvorfor!)

La oss nå beregne vinkelen:

Vi må finne sinusen:

Svar:

3. Vanskelig spørsmål: hva tror du et rektangulært prisme er? Dette er bare et parallellepiped som du kjenner godt! La oss lage en tegning med en gang! Du trenger ikke engang å skildre basen separat, det er til liten nytte her:

Flyet, som vi bemerket tidligere, er skrevet i form av en ligning:

La oss nå lage et fly

Vi lager umiddelbart ligningen til planet:

Ser etter en vinkel:

Nå er svarene på de to siste problemene:

Vel, nå er det på tide å ta en liten pause, for du og jeg er flotte og har gjort en kjempejobb!

Koordinater og vektorer. Avansert nivå

I denne artikkelen vil vi diskutere med deg en annen klasse problemer som kan løses ved hjelp av koordinatmetoden: problemer med avstandsberegning. Vi vil nemlig vurdere følgende tilfeller:

1. Beregning av avstanden mellom kryssende linjer.

Jeg har bestilt disse oppgavene i rekkefølge etter økende vanskelighetsgrad. Det viser seg å være lettest å finne avstand fra punkt til plan, og det vanskeligste er å finne avstand mellom kryssende linjer. Selv om selvfølgelig ingenting er umulig! La oss ikke utsette og umiddelbart fortsette å vurdere den første klassen av problemer:

Beregne avstanden fra et punkt til et plan

Hva trenger vi for å løse dette problemet?

1. Punktkoordinater

Så snart vi mottar alle nødvendige data, bruker vi formelen:

Du bør allerede vite hvordan vi konstruerer ligningen til et plan fra de tidligere problemene som jeg diskuterte i den siste delen. La oss gå rett til oppgavene. Opplegget er som følger: 1, 2 - Jeg hjelper deg med å bestemme, og i noen detalj, 3, 4 - bare svaret, du utfører løsningen selv og sammenligner. La oss begynne!

Oppgaver:

1. Gitt en kube. Lengden på kanten av kuben er lik. Finn avstanden fra se-re-di-na fra kuttet til flyet

2. Gitt riktig firekull pi-ra-mi-ja, siden av siden er lik basen. Finn avstanden fra punktet til planet hvor - se-re-di-på kantene.

3. I den høyre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em er sidekanten lik, og hundre-ro-en på os-no-vania er lik. Finn avstanden fra toppen til flyet.

4. I et rett sekskantet prisme er alle kanter like. Finn avstanden fra et punkt til et fly.

Løsninger:

1. Tegn en kube med enkeltkanter, konstruer et segment og et plan, angir midten av segmentet med en bokstav

.

Først, la oss starte med den enkle: Finn koordinatene til punktet. Siden da (husk koordinatene til midten av segmentet!)

Nå komponerer vi ligningen til planet ved å bruke tre punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nå kan jeg begynne å finne avstanden:

2. Vi starter på nytt med en tegning der vi markerer alle dataene!

For en pyramide ville det være nyttig å tegne basen separat.

Selv det faktum at jeg tegner som en kylling med labben vil ikke hindre oss i å løse dette problemet med letthet!

Nå er det enkelt å finne koordinatene til et punkt

Siden koordinatene til punktet, altså

2. Siden koordinatene til punkt a er midten av segmentet, da

Uten problemer kan vi finne koordinatene til ytterligere to punkter på planet. Vi lager en ligning for planet og forenkler den:

\[\venstre| (\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Siden punktet har koordinater: , beregner vi avstanden:

Svar (veldig sjelden!):

Vel, fant du ut av det? Det virker for meg som om alt her er like teknisk som i eksemplene vi så på i forrige del. Så jeg er sikker på at hvis du mestrer det materialet, vil det ikke være vanskelig for deg å løse de resterende to problemene. Jeg skal bare gi deg svarene:

Beregne avstanden fra en rett linje til et plan

Det er faktisk ikke noe nytt her. Hvordan kan en rett linje og et plan plasseres i forhold til hverandre? De har bare én mulighet: å krysse hverandre, eller en rett linje er parallell med planet. Hva tror du er avstanden fra en rett linje til planet som denne rette linjen skjærer? Det virker for meg som det er klart her at en slik avstand er lik null. Uinteressant sak.

Det andre tilfellet er vanskeligere: her er avstanden allerede null. Men siden linjen er parallell med planet, er hvert punkt på linjen like langt fra dette planet:

Dermed:

Dette betyr at oppgaven min er redusert til den forrige: vi leter etter koordinatene til et hvilket som helst punkt på en rett linje, ser etter flyets ligning og beregner avstanden fra punktet til planet. Faktisk er slike oppgaver ekstremt sjeldne i Unified State Examination. Jeg klarte å finne bare ett problem, og dataene i det var slik at koordinatmetoden ikke var særlig anvendelig på det!

La oss nå gå videre til en annen, mye viktigere problemklasse:

Beregne avstanden fra et punkt til en linje

Hva trenger vi?

1. Koordinater til punktet vi ser etter avstanden fra:

2. Koordinater til ethvert punkt som ligger på en linje

3. Koordinater til retningsvektoren til den rette linjen

Hvilken formel bruker vi?

Hva nevneren til denne brøken betyr bør være klart for deg: dette er lengden på retningsvektoren til den rette linjen. Dette er en veldig vanskelig teller! Uttrykket betyr modulen (lengden) til vektorproduktet til vektorer og Hvordan beregne vektorproduktet, studerte vi i forrige del av arbeidet. Oppdater kunnskapen din, vi vil trenge det veldig nå!

Dermed vil algoritmen for å løse problemer være som følger:

1. Vi leter etter koordinatene til punktet vi leter etter avstanden fra:

2. Vi ser etter koordinatene til ethvert punkt på linjen som vi ser etter avstanden til:

3. Konstruer en vektor

4. Konstruer en retningsvektor av en rett linje

5. Beregn vektorproduktet

6. Vi ser etter lengden på den resulterende vektoren:

7. Beregn avstanden:

Vi har mye arbeid å gjøre, og eksemplene vil være ganske komplekse! Så fokuser nå all oppmerksomheten din!

1. Gitt en rett trekantet pi-ra-mi-da med en topp. Hundre-ro-en på grunnlag av pi-ra-mi-dy er lik, du er lik. Finn avstanden fra den grå kanten til den rette linjen, der peker og er de grå kantene og fra veterinær.

2. Lengdene på ribbene og rettvinklet-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da er like tilsvarende og Finn avstanden fra toppen til den rette linjen

3. I et rett sekskantet prisme er alle kanter like, finn avstanden fra et punkt til en rett linje

Løsninger:

1. Vi lager en pen tegning der vi merker alle dataene:

Vi har mye arbeid å gjøre! Først vil jeg beskrive med ord hva vi vil se etter og i hvilken rekkefølge:

1. Koordinater av punkter og

2. Punktkoordinater

3. Koordinater av punkter og

4. Koordinater til vektorer og

5. Kryssproduktet deres

6. Vektorlengde

7. Lengde på vektorproduktet

8. Avstand fra til

Vel, vi har mye arbeid foran oss! La oss komme til det med oppbrettede ermer!

1. For å finne koordinatene til høyden til pyramiden, må vi vite koordinatene til punktet en likesidet trekant, den er delt i forholdet, regnet fra toppunktet, herfra. Til slutt fikk vi koordinatene:

Punktkoordinater

2. - midten av segmentet

3. - midten av segmentet

Midtpunktet i segmentet

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Regn ut vektorproduktet:

6. Vektorlengde: den enkleste måten å erstatte er at segmentet er midtlinjen til trekanten, som betyr at det er lik halve grunnflaten. Så.

7. Regn ut lengden på vektorproduktet:

8. Til slutt finner vi avstanden:

Uff, det er det! Jeg skal fortelle deg ærlig: å løse dette problemet ved hjelp av tradisjonelle metoder (gjennom konstruksjon) ville være mye raskere. Men her reduserte jeg alt til en ferdig algoritme! Jeg tror løsningsalgoritmen er klar for deg? Derfor vil jeg be deg løse de resterende to problemene selv. La oss sammenligne svarene?

Igjen, jeg gjentar: det er lettere (raskere) å løse disse problemene gjennom konstruksjoner, i stedet for å ty til koordinatmetoden. Jeg demonstrerte denne løsningsmetoden bare for å vise deg en universell metode som lar deg "ikke fullføre å bygge noe."

Til slutt, vurder den siste klassen med problemer:

Beregne avstanden mellom kryssende linjer

Her vil algoritmen for å løse problemer være lik den forrige. Hva vi har:

3. Enhver vektor som forbinder punktene på den første og andre linjen:

Hvordan finner vi avstanden mellom linjene?

Formelen er som følger:

Telleren er modulen til det blandede produktet (vi introduserte det i forrige del), og nevneren er, som i forrige formel (modulen til vektorproduktet til retningsvektorene til de rette linjene, avstanden mellom vi ser etter).

Jeg skal minne deg på det

Deretter formelen for avstanden kan skrives om som:

Dette er en determinant delt på en determinant! Selv om jeg, for å være ærlig, ikke har tid til vitser her! Denne formelen er faktisk veldig tungvint og fører til ganske komplekse beregninger. Hvis jeg var deg, ville jeg ty til det bare som en siste utvei!

La oss prøve å løse noen problemer ved å bruke metoden ovenfor:

1. I et rettvinklet trekantet prisme, der alle kantene er like, finn avstanden mellom de rette linjene og.

2. Gitt et rettvinklet trekantet prisme, er alle kantene på basen lik snittet som går gjennom kroppsribben og se-re-di-brønns ribber er en firkant. Finn avstanden mellom de rette linjene og

Jeg bestemmer det første, og basert på det bestemmer du det andre!

1. Jeg tegner et prisme og markerer rette linjer og

Koordinater til punkt C: da

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Vektorkoordinater

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \venstre| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array)\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vi beregner vektorproduktet mellom vektorer og

\[\overhøyrepil (A(A_1)) \cdot \overhøyrepil (B(C_1)) = \venstre| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overhøyrepil k + \frac(1)(2)\overhøyrepil i \]

Nå beregner vi lengden:

Svar:

Prøv nå å fullføre den andre oppgaven nøye. Svaret på det vil være: .

Koordinater og vektorer. Kort beskrivelse og grunnleggende formler

En vektor er et rettet segment. - begynnelsen av vektoren, - slutten av vektoren.
En vektor er betegnet med eller.

Absolutt verdi vektor - lengden på segmentet som representerer vektoren. Betegnes som.

Vektorkoordinater:

,
hvor er endene av vektoren \displaystyle a .

Sum av vektorer:.

Produkt av vektorer:

Punktprodukt av vektorer:

Det skalare produktet av vektorer er lik produktet av deres absolutte verdier og cosinus til vinkelen mellom dem:

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 899 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Så tjenester:

Tjenesten for arbeid med vektorer lar deg utføre handlinger på vektorer.
Hvis du har en oppgave for å utføre en mer kompleks transformasjon, bør denne tjenesten brukes som en konstruktør.
Eksempel. Vektordata en Og b, må vi finne vektoren Med = en + 3*b,

Vektormultiplikasjon (Punktprodukt)

Dette er en nettjeneste i tre trinn:

• en
• b

Vektor sum

Dette er en nettjeneste i tre trinn:

• Skriv inn den første termvektoren en
• Skriv inn det andre leddvektoren b
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Vektorlengde

Dette er en nettjeneste i to trinn:

• Skriv inn vektor en, som vi må finne vektorlengden for
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Multiplisere en vektor med et tall

Dette er en nettjeneste i tre trinn:

• Skriv inn den første faktorvektoren en
• Skriv inn det andre faktornummeret q
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Vektor subtraksjon

Dette er en nettjeneste i tre trinn:

• Skriv inn første vektor en, som trekkes fra
• Skriv inn andre vektor b, som de trekker fra
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Vinkelrett vektor

Dette er en nettjeneste i to trinn:

• Skriv inn vektor en, som du må finne en enhetsvektor vinkelrett på denne
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Vektorprodukt av vektorer

Dette er en nettjeneste i tre trinn:

• Skriv inn den første faktorvektoren en
• Skriv inn den andre faktorvektoren b
• Angi e-posten løsningen skal sendes til

Blandet produkt av vektorer

Dette er en nettjeneste i fire trinn:

• Skriv inn den første faktorvektoren en
• Skriv inn den andre faktorvektoren b
• Skriv inn den tredje faktorvektoren Med
• Angi e-posten løsningen skal sendes til