গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য ভেক্টর। ভেক্টর উপর কর্ম

সংজ্ঞা

স্কেলার পরিমাণ- একটি পরিমাণ যা একটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। যেমন, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ভর, তাপমাত্রা ইত্যাদি।

ভেক্টরনির্দেশিত সেগমেন্ট বলা হয় $\overline(A B)$;

বিন্দু $A$ হল শুরু, বিন্দু $B$ হল ভেক্টরের শেষ (চিত্র 1)।

সংজ্ঞা

একটি ভেক্টরকে দুটি বড় অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - এর শুরু এবং শেষ: $\overline(A B)$ অথবা একটি ছোট অক্ষর দ্বারা: $\overline(a)$। যদি একটি ভেক্টরের শুরু এবং শেষ মিলে যায়, তাহলে এই ধরনের ভেক্টর বলা হয়শূন্য

. প্রায়শই, শূন্য ভেক্টরকে $\overline(0)$ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।ভেক্টর বলা হয়

সংজ্ঞা

সমরেখার , যদি তারা একই লাইনে বা সমান্তরাল রেখায় থাকে (চিত্র 2)।দুটি সমরেখা ভেক্টর $\overline(a)$ এবং $\overline(b)$ বলা হয় সহ-নির্দেশিত, যদি তাদের দিকগুলি মিলে যায়: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (চিত্র 3, a)। দুটি সমরেখা ভেক্টর $\overline(a)$ এবং $\overline(b)$ বলা হয়

সংজ্ঞা

. বিপরীতভাবে নির্দেশিত, যদি তাদের দিকগুলি বিপরীত হয়: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (চিত্র 3, b)।

কপ্ল্যানার

সংজ্ঞা

, যদি তারা একই সমতলের সমান্তরাল হয় বা একই সমতলে শুয়ে থাকে (চিত্র 4)।দুটি ভেক্টর সবসময় কপ্ল্যানার হয়।

দৈর্ঘ্য (মডিউল)

ভেক্টর $\overline(A B)$ হল এর শুরু এবং শেষের মধ্যে দূরত্ব: $|\overline(A B)|$

সংজ্ঞা

লিঙ্কে ভেক্টর দৈর্ঘ্য সম্পর্কে বিস্তারিত তত্ত্ব। শূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য শূন্য।যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একের সমান তাকে বলা হয় ইউনিট ভেক্টর.

. বা ortom

সমান , যদি তারা এক বা সমান্তরাল রেখায় শুয়ে থাকে; তাদের দিকগুলি মিলে যায় এবং তাদের দৈর্ঘ্য সমান।অন্য কথায়, দুটি ভেক্টর

সমান

, যদি তারা সমরেখার হয়, সহ-নির্দেশিক হয় এবং সমান দৈর্ঘ্য থাকে:

$\overline(a)=\overline(b)$ যদি $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b), |\overline(a)|=|\overline(b)|$

একটি নির্বিচারে $M$ স্থানের বিন্দুতে, কেউ একটি একক ভেক্টর $\overline(M N)$ তৈরি করতে পারে প্রদত্ত ভেক্টর $\overline(A B)$ এর সমান। 2018 ওলশেভস্কি আন্দ্রে জর্জিভিচ

ওয়েবসাইট

বই ভর্তি, আপনি বই ডাউনলোড করতে পারেন

মহাকাশের ভেক্টরগুলির মধ্যে রয়েছে 10 তম গ্রেড, 11 তম গ্রেডের জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। ভেক্টর আপনাকে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার দ্বিতীয় অংশের জ্যামিতিক সমস্যা এবং মহাকাশে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি কার্যকরভাবে সমাধান করতে দেয়। মহাকাশে ভেক্টরগুলি সমতলের ভেক্টরের মতোই দেওয়া হয়, তবে তৃতীয় স্থানাঙ্ক z বিবেচনায় নেওয়া হয়। তৃতীয়-মাত্রিক স্থানের ভেক্টরগুলি থেকে বাদ দিলে সমতলে ভেক্টর পাওয়া যায়, যা জ্যামিতি 8ম, 9ম গ্রেড দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

1.1 সমতলে এবং মহাকাশে ভেক্টর

একটি ভেক্টর হল একটি শুরু এবং শেষ সহ একটি নির্দেশিত অংশ, যা একটি তীর দ্বারা চিত্রে দেখানো হয়েছে। স্থানের একটি নির্বিচারে বিন্দুকে শূন্য ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। শূন্য ভেক্টরের একটি নির্দিষ্ট দিক নেই, যেহেতু শুরু এবং শেষ একই, তাই এটিকে যে কোনও দিক দেওয়া যেতে পারে।

ইংরেজি থেকে অনুবাদ করা ভেক্টর মানে ভেক্টর, দিকনির্দেশ, কোর্স, নির্দেশিকা, দিকনির্দেশ সেটিং, বিমানের কোর্স।

একটি নন-জিরো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (মডুলাস) হল AB সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, যা বোঝানো হয়
. ভেক্টর দৈর্ঘ্য দ্বারা চিহ্নিত . নাল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য শূন্যের সমান = 0.

একই রেখায় বা সমান্তরাল রেখায় থাকা নন-জিরো ভেক্টরকে সমরেখা বলে।

নাল ভেক্টর যেকোন ভেক্টরের সমরেখার।

সমতলীয় ননশূন্য ভেক্টর যেগুলির অভিমুখ একই থাকে তাদের বলা হয় সহনির্দেশক। নির্দেশক ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ভেক্টরটি ভেক্টরের সাথে সহ-নির্দেশিক হয় , তারপর স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়।

শূন্য ভেক্টর যেকোন ভেক্টরের সাথে সহনির্দেশক।

বিপরীত দিক নির্দেশিত দুটি সমরেখার অশূন্য ভেক্টর যার বিপরীত দিক রয়েছে। বিপরীত দিক নির্দেশিত ভেক্টর ↓ চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি ভেক্টরটি ভেক্টরের বিপরীতভাবে নির্দেশিত হয়, তাহলে স্বরলিপি ↓ ব্যবহার করা হয়।

সমান দৈর্ঘ্যের সহ-নির্দেশিত ভেক্টরকে সমান বলে।

অনেক শারীরিক পরিমাণ ভেক্টর পরিমাণ: বল, গতি, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র।

যদি ভেক্টরের প্রয়োগের বিন্দু (শুরুতে) নির্দিষ্ট করা না থাকে, তবে এটি নির্বিচারে নির্বাচন করা হয়।

যদি ভেক্টরের শুরুটি O বিন্দুতে স্থাপন করা হয়, তাহলে ভেক্টরটিকে O বিন্দু থেকে বিলম্বিত বলে মনে করা হয়। যেকোন বিন্দু থেকে আপনি প্রদত্ত ভেক্টরের সমান একটি একক ভেক্টর প্লট করতে পারেন।

1.2 ভেক্টর যোগফল

ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে ভেক্টর যোগ করার সময়, ভেক্টর 1 আঁকা হয়, যার শেষ থেকে ভেক্টর 2 আঁকা হয় এবং এই দুটি ভেক্টরের যোগফল ভেক্টর 3, ভেক্টর 1 এর শুরু থেকে ভেক্টর 2 এর শেষ পর্যন্ত আঁকা হয়:

নির্বিচারে বিন্দু A, B এবং C এর জন্য, আপনি ভেক্টরের যোগফল লিখতে পারেন:

+
=

যদি দুটি ভেক্টর একই বিন্দু থেকে উৎপন্ন হয়

তাহলে সমান্তরালগ্রাম নিয়ম অনুযায়ী তাদের যোগ করা ভাল।

সমান্তরালগ্রামের নিয়ম অনুসারে দুটি ভেক্টর যোগ করার সময়, যোগ করা ভেক্টরগুলিকে একটি বিন্দু থেকে বিন্যস্ত করা হয়, এই ভেক্টরগুলির প্রান্ত থেকে একটি ভেক্টরের শেষে আরেকটির শুরুতে প্রয়োগ করে একটি সমান্তরালগ্রাম সম্পন্ন হয়। সমান্তরালগ্রামের তির্যক দ্বারা গঠিত ভেক্টর, যোগ করা ভেক্টরের উৎপত্তি বিন্দু থেকে উদ্ভূত, ভেক্টরের সমষ্টি হবে

সমান্তরালগ্রাম নিয়মে ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে ভেক্টর যোগ করার একটি ভিন্ন ক্রম রয়েছে।

ভেক্টর সংযোজনের আইন:

1. স্থানচ্যুতি আইন + = +।

2. সমন্বয় আইন ( + ) + = + ( + ).

যদি বেশ কয়েকটি ভেক্টর যোগ করার প্রয়োজন হয়, তবে ভেক্টরগুলি জোড়ায় জোড়ায় বা বহুভুজ নিয়ম অনুসারে যোগ করা হয়: ভেক্টর 2 ভেক্টর 1 এর শেষ থেকে আঁকা হয়, ভেক্টর 3 ভেক্টর 2 এর শেষ থেকে আঁকা হয়, ভেক্টর 4 থেকে আঁকা হয় ভেক্টর 3 এর শেষ, ভেক্টর 5 ভেক্টর 4 এর শেষ থেকে আঁকা হয়, ইত্যাদি। একটি ভেক্টর যা বেশ কয়েকটি ভেক্টরের যোগফল, ভেক্টর 1 এর শুরু থেকে শেষ ভেক্টরের শেষ পর্যন্ত আঁকা হয়।

ভেক্টর সংযোজনের আইন অনুসারে, ভেক্টর সংযোজনের ক্রম ফলস্বরূপ ভেক্টরকে প্রভাবিত করে না, যা বেশ কয়েকটি ভেক্টরের সমষ্টি।

সমান দৈর্ঘ্যের দুটি অ-শূন্য বিপরীত দিক নির্দেশিত ভেক্টরকে বিপরীত বলা হয়। ভেক্টর - ভেক্টরের বিপরীত

এই ভেক্টরগুলি বিপরীতভাবে নির্দেশিত এবং মাত্রায় সমান।

1.3 ভেক্টর পার্থক্য

ভেক্টর পার্থক্য ভেক্টরের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে

- = + (-),

যেখানে "-" ভেক্টরের বিপরীতে ভেক্টর।

ভেক্টর এবং - ত্রিভুজ বা সমান্তরালগ্রামের নিয়ম অনুযায়ী যোগ করা যেতে পারে।

ভেক্টর যাক এবং

ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করার জন্য, আমরা একটি ভেক্টর তৈরি করি -

আমরা ভেক্টর যোগ করি এবং - ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে, ভেক্টরের শুরুতে প্রয়োগ করে - ভেক্টরের শেষ পর্যন্ত, আমরা ভেক্টর + (-) = - পাই।

আমরা ভেক্টর যোগ করি এবং - সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম অনুসারে, ভেক্টরগুলির শুরুকে একপাশে রেখে এবং - এক বিন্দু থেকে

যদি ভেক্টর এবং একই বিন্দু থেকে উৎপন্ন হয়

তারপর ভেক্টরগুলির পার্থক্য একটি ভেক্টরকে তাদের প্রান্তগুলিকে সংযুক্ত করে এবং ফলস্বরূপ ভেক্টরের শেষে তীরটি ভেক্টরের দিকে স্থাপন করা হয় যেখান থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরটি বিয়োগ করা হয়

নীচের চিত্রটি যোগ এবং ভেক্টর পার্থক্য প্রদর্শন করে

নীচের চিত্রটি বিভিন্ন উপায়ে ভেক্টর যোগ এবং পার্থক্য প্রদর্শন করে

টাস্ক।ভেক্টর এবং দেওয়া হয়.

ভেক্টরের সম্ভাব্য সকল সংমিশ্রণে সম্ভাব্য সব উপায়ে ভেক্টরের যোগফল এবং পার্থক্য আঁকুন।

1.4 কোলিনিয়ার ভেক্টরে লেমা

= k

1.5 একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল

k সংখ্যা দ্বারা একটি নন-জিরো ভেক্টরের গুণফল ভেক্টর = k, ভেক্টরকে সমরেখা দেয়। ভেক্টর দৈর্ঘ্য:

| | = |k ||·| |

যদি k > 0, তারপর ভেক্টর এবং সহ নির্দেশিক।

যদি k = 0, তাহলে ভেক্টরটি শূন্য।

যদি k< 0, то векторы и противоположно направленные.

যদি | k | = 1, তারপর ভেক্টর এবং সমান দৈর্ঘ্যের।

যদি k = 1, তাহলে ভেক্টর সমান।

যদি k = -1, তারপর বিপরীত ভেক্টর।

যদি | k | > 1, তাহলে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি।

যদি k > 1, তাহলে ভেক্টর উভয়ই সহনির্দেশিক এবং দৈর্ঘ্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি।

যদি k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

যদি | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

যদি 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

যদি -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

একটি শূন্য ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফল একটি শূন্য ভেক্টর দেয়।

টাস্ক।একটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে।

ভেক্টর 2, -3, 0.5, -1.5 নির্মাণ করুন।

টাস্ক।ভেক্টর এবং দেওয়া হয়.

ভেক্টর 3 + 2, 2 - 2, -2 - গঠন করুন।

একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভেক্টরের গুণ বর্ণনাকারী আইন

1. সমন্বয় আইন (kn) = k (n)

2. প্রথম বন্টন আইন k ( + ) = k + k।

3. দ্বিতীয় বন্টন আইন (k + n) = k + n।

সমরেখা ভেক্টরের জন্য এবং ≠ 0 হলে, একটি একক সংখ্যা k আছে যা আপনাকে ভেক্টরকে এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে দেয়:

= k

1.6 কপ্ল্যানার ভেক্টর

যে ভেক্টরগুলি একই সমতলে বা সমান্তরাল সমতলে থাকে তাকে কপ্ল্যানার বলে। যদি আমরা এক বিন্দু থেকে এই কপ্ল্যানার ভেক্টরের সমান ভেক্টর আঁকি, তাহলে তারা একই সমতলে থাকবে। অতএব, আমরা বলতে পারি যে ভেক্টরগুলিকে কপ্ল্যানার বলা হয় যদি একই সমতলে সমান ভেক্টর থাকে।

দুটি স্বেচ্ছাচারী ভেক্টর সবসময় কপ্ল্যানার হয়। তিনটি ভেক্টর কপ্ল্যানার বা নন-কপ্লানার হতে পারে। তিনটি ভেক্টর, যার মধ্যে অন্তত দুটি সমতলীয়, কপ্ল্যানার। কলিনিয়ার ভেক্টর সবসময় কপ্ল্যানার হয়।

1.7 একটি ভেক্টরের দুটি নন-কোলিনিয়ার ভেক্টরে পচন

যেকোনো ভেক্টর দুটি নন-কোলিনিয়ার নন-জিরো ভেক্টরে সমতলে অনন্যভাবে পচে যায় এবং একক সম্প্রসারণ সহগ x এবং y সহ:

= x+y

যেকোন ভেক্টর কপ্ল্যানার থেকে অ-শূন্য ভেক্টর এবং দুটি নন-কোলিনিয়ার ভেক্টরে এবং অনন্য সম্প্রসারণ সহগ x এবং y সহ অনন্যভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে:

= x+y

প্রদত্ত নন-কোলিনিয়ার ভেক্টর অনুযায়ী সমতলে প্রদত্ত ভেক্টরকে প্রসারিত করা যাক:

আসুন আমরা একটি বিন্দু থেকে প্রদত্ত কপ্ল্যানার ভেক্টর আঁকি

ভেক্টরের শেষ থেকে আমরা ভেক্টরের সমান্তরাল রেখা আঁকি এবং যতক্ষণ না তারা ভেক্টরের মধ্য দিয়ে আঁকা রেখার সাথে ছেদ করে। আমরা একটি সমান্তরালগ্রাম পেতে

একটি সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য এবং x এবং y সংখ্যা দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত করা হয়, যা সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলিকে তাদের সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করে নির্ধারিত হয়। আমরা প্রদত্ত নন-কোলিনিয়ার ভেক্টর অনুসারে ভেক্টরের পচন পাই এবং:

= x+y

যে সমস্যার সমাধান হচ্ছে, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, তাই প্রদত্ত নন-কোলিনিয়ার ভেক্টরগুলিতে ভেক্টরের প্রসারণ ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে

1,3 + 1,9 .

যে সমস্যাটি সমাধান করা হচ্ছে তাতে, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, তাই প্রদত্ত নন-কোলিনিয়ার ভেক্টরগুলিতে ভেক্টরের প্রসারণ ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে

1,3 - 1,9 .

1.8 সমান্তরাল পাইপড নিয়ম

একটি সমান্তরাল পাইপ হল একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র যার বিপরীত মুখগুলি সমান্তরাল সমতলে থাকা দুটি সমান সমান্তরালগ্রাম নিয়ে গঠিত।

সমান্তরাল পাইপড নিয়ম আপনাকে তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর যুক্ত করতে দেয়, যেগুলি একটি বিন্দু থেকে প্লট করা হয় এবং একটি সমান্তরালপাইপড তৈরি করা হয় যাতে সমষ্টি ভেক্টরগুলি এর প্রান্তগুলি তৈরি করে এবং সমান্তরাল পাইপের অবশিষ্ট প্রান্তগুলি যথাক্রমে সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যের সমান হয়। সমষ্টি ভেক্টর দ্বারা গঠিত প্রান্ত. সমান্তরাল পাইপডের কর্ণ একটি ভেক্টর গঠন করে, যা প্রদত্ত তিনটি ভেক্টরের সমষ্টি, যা যোগ করা ভেক্টরের উৎপত্তি বিন্দু থেকে শুরু হয়।

1.9 তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টরে একটি ভেক্টরের পচন

যেকোনো ভেক্টর প্রদত্ত তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টরে বিস্তৃত হয় , এবং একক প্রসারণ সহগ x, y, z সহ:

= x + y + z।

1.10 মহাকাশে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

ত্রিমাত্রিক স্থানে, আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম Oxyz মূল O এবং ছেদকারী পারস্পরিক লম্ব স্থানাঙ্ক অক্ষ Ox, Oy এবং Oz দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তীর দ্বারা নির্দেশিত নির্বাচিত ইতিবাচক দিক এবং অংশগুলির পরিমাপের একক দ্বারা। যদি তিনটি অক্ষে রেখাংশের স্কেল একই হয়, তবে এই ধরনের সিস্টেমকে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম বলা হয়।

সমন্বয় x কে অ্যাবসিসা বলা হয়, y কে অর্ডিনেট, z কে প্রয়োগ করা হয়। M বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি M (x; y; z) বন্ধনীতে লেখা হয়।

1.11 মহাকাশে ভেক্টর স্থানাঙ্ক

মহাকাশে আমরা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিজ সংজ্ঞায়িত করব। Ox, Oy, Oz অক্ষের ধনাত্মক দিকের স্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে, আমরা সংশ্লিষ্ট একক ভেক্টর আঁকি , , , যেগুলিকে স্থানাঙ্ক ভেক্টর বলা হয় এবং নন-কপ্লানার। অতএব, যেকোন ভেক্টর তিনটি প্রদত্ত নন-কপ্লানার স্থানাঙ্ক ভেক্টরে পচনশীল, এবং অনন্য সম্প্রসারণ সহগ x, y, z সহ:

= x + y + z।

প্রসারণ সহগ x, y, z হল একটি প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, যা বন্ধনীতে লেখা হয় (x; y; z)। শূন্য ভেক্টরের শূন্যের সমান স্থানাঙ্ক রয়েছে (0; 0; 0)। সমান ভেক্টরের সমান অনুরূপ স্থানাঙ্ক রয়েছে।

ফলাফল ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার নিয়ম:

1. দুই বা ততোধিক ভেক্টর যোগ করার সময়, ফলাফল ভেক্টরের প্রতিটি স্থানাঙ্ক প্রদত্ত ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির যোগফলের সমান। যদি দুটি ভেক্টর (x 1; y 1; z 1) এবং (x 1; y 1; z 1) দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টর + এর যোগফল স্থানাঙ্ক সহ একটি ভেক্টর দেয় (x 1 + x 1; y 1 + y) 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. পার্থক্য হল এক প্রকার যোগফল, তাই সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের পার্থক্য দুটি প্রদত্ত ভেক্টর বিয়োগ করে প্রাপ্ত ভেক্টরের প্রতিটি স্থানাঙ্ক দেয়। যদি দুটি ভেক্টর দেওয়া হয় (x a; y a; z a) এবং (x b; y b; z b), তাহলে ভেক্টরের পার্থক্য স্থানাঙ্ক সহ একটি ভেক্টর দেয় (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার সময়, ফলাফল ভেক্টরের প্রতিটি স্থানাঙ্ক এই সংখ্যার গুণফল এবং প্রদত্ত ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের সমান হয়। যদি একটি সংখ্যা k এবং একটি ভেক্টর (x; y; z) দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরটিকে k সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে স্থানাঙ্কের সাথে k ভেক্টর পাওয়া যায়।

k = (kx; ky; kz)।

টাস্ক।ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন = 2 - 3 + 4, যদি ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) হয়।

সমাধান

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8)।

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 একটি ভেক্টর, ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং বিন্দুর স্থানাঙ্ক

একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হল ভেক্টরের শেষের স্থানাঙ্ক যদি ভেক্টরের শুরুটি উৎপত্তিস্থলে স্থাপন করা হয়।

একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টর হল একটি ভেক্টর যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অঙ্কিত হয় এবং ব্যাসার্ধ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সমান হয়।

ভেক্টর হলে
বিন্দু M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) এবং M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) দ্বারা দেওয়া হয়, তারপর এর প্রতিটি স্থানাঙ্ক প্রান্তের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির পার্থক্যের সমান এবং ভেক্টরের শুরু

সমরেখা ভেক্টরের জন্য = (x 1 ; y 1 ; z 1) এবং = (x 2 ; y 2; z 2), যদি ≠ 0 হয়, তাহলে একটি একক সংখ্যা k আছে যা আপনাকে ভেক্টরকে এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে দেয়:

= k

তারপর ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে ভেক্টরের স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়

= (kx 1; ky 1; kz 1)

সমরেখা ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের অনুপাত একবচন সংখ্যা k এর সমান

1.13 ভেক্টর দৈর্ঘ্য এবং দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (x; y; z) এর স্থানাঙ্কগুলির বর্গের যোগফলের বর্গমূলের সমান

প্রারম্ভিক বিন্দু M 1 (x 1; y 1; z 1) এবং শেষ M 2 (x 2; y 2; z 2) দ্বারা নির্দিষ্ট ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সমষ্টির বর্গমূলের সমান। ভেক্টরের শেষ এবং শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্যের বর্গ

দূরত্ব M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) এবং M 2 (x 2; y 2; z 2) দুটি বিন্দুর মধ্যে d ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সমান

প্লেনে কোন z স্থানাঙ্ক নেই

বিন্দু M 1 (x 1 ; y 1) এবং M 2 (x 2 ; y 2) এর মধ্যে দূরত্ব

1.14 সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক

যদি বিন্দু C হল AB সেগমেন্টের মাঝখানে, তারপর O বিন্দুতে উৎপত্তির সাথে একটি নির্বিচারে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় C বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর A এবং B বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অর্ধেক সমষ্টির সমান

যদি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), তারপর প্রতিটি ভেক্টর স্থানাঙ্ক সংশ্লিষ্ট ভেক্টর স্থানাঙ্কের অর্ধেক সমষ্টির সমান এবং

,
,

= (x, y, z) =

সেগমেন্টের মাঝখানের প্রতিটি স্থানাঙ্ক সেগমেন্টের প্রান্তের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের অর্ধেক সমষ্টির সমান।

1.15 ভেক্টরের মধ্যে কোণ

ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি একটি বিন্দু থেকে আঁকা এবং এই ভেক্টরগুলির সাথে নির্দেশিত রশ্মির মধ্যে কোণের সমান। ভেক্টরের মধ্যে কোণ 0 0 থেকে 180 0 পর্যন্ত হতে পারে। কোডাইরেক্টাল ভেক্টরের মধ্যে কোণ হল 0 0। যদি একটি ভেক্টর বা উভয়ই শূন্য হয়, তবে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ, যার মধ্যে অন্তত একটি শূন্য, 0 0 এর সমান। লম্ব ভেক্টরের মধ্যে কোণ হল 90 0। বিপরীত দিক নির্দেশিত ভেক্টরের মধ্যে কোণ হল 180 0।

1.16 ভেক্টর অভিক্ষেপ

1.17 ভেক্টরের ডট পণ্য

দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল হল একটি সংখ্যা (স্কেলার) ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের গুণফল এবং ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন।

যদি = 0 0 , তাহলে ভেক্টরগুলি সহনির্দেশিক
এবং
= cos 0 0 = 1, অতএব, সহনির্দেশক ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তাদের দৈর্ঘ্যের (মডিউল) গুণফলের সমান

যদি ভেক্টরের মধ্যে কোণ 0 হয়< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
তাই স্কেলার গুণফল শূন্যের চেয়ে বড়
.

যদি অ-শূন্য ভেক্টর লম্ব হয়, তাহলে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান
, যেহেতু cos 90 0 = 0। লম্ব ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান।

যদি
, তাহলে এই ধরনের ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন শূন্যের কম
, তাই স্কেলার গুণফল শূন্যের চেয়ে কম
.

ভেক্টরের মধ্যে কোণ বাড়ার সাথে সাথে তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন
হ্রাস পায় এবং ন্যূনতম মান এ পৌঁছায় = 180 0 যখন ভেক্টর বিপরীত দিকে নির্দেশিত হয়
. যেহেতু cos 180 0 = -1, তারপর
. বিপরীতভাবে নির্দেশিত ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তাদের দৈর্ঘ্যের (মডিউল) ঋণাত্মক গুণফলের সমান।

একটি ভেক্টরের স্কেলার বর্গ ভেক্টর বর্গক্ষেত্রের মডুলাসের সমান

ভেক্টরের বিন্দু গুণফল যার মধ্যে অন্তত একটি শূন্য শূন্যের সমান।

1.18 ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের ভৌত অর্থ

পদার্থবিদ্যার একটি কোর্স থেকে জানা যায় A ফোর্স দ্বারা কাজ করা হয় শরীর সরানোর সময় বল এবং স্থানচ্যুতি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান, অর্থাৎ বল এবং স্থানচ্যুতি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সমান

বল ভেক্টর যদি শরীরের গতিবিধির সাথে সহ-নির্দেশিক হয়, তাহলে ভেক্টরের মধ্যে কোণ
= 0 0, তাই স্থানচ্যুতির উপর বল দ্বারা করা কাজটি সর্বাধিক এবং A = এর সমান
.

যদি 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

যদি = 90 0, তাহলে স্থানচ্যুতির উপর বল দ্বারা করা কাজটি শূন্য A = 0।

যদি 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

যদি বল ভেক্টরটি শরীরের গতিবিধির বিপরীতে নির্দেশিত হয়, তাহলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ = 180 0, তাই আন্দোলনের উপর বলের কাজ ঋণাত্মক এবং A = - এর সমান।

টাস্ক।দিগন্তের দিকে 30 0 এর বাঁক কোণ সহ 1 কিলোমিটার দীর্ঘ রাস্তা ধরে 1 টন ওজনের একটি যাত্রীবাহী গাড়ি তোলার সময় মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা করা কাজটি নির্ধারণ করুন। এই শক্তি ব্যবহার করে 20 0 তাপমাত্রায় কত লিটার পানি ফুটানো যায়?

সমাধান

চাকরি একটি মহাকর্ষ একটি দেহকে সরানোর সময়, এটি ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনগুলির গুণফলের সমান, অর্থাৎ, মাধ্যাকর্ষণ এবং স্থানচ্যুতি ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফলের সমান

মহাকর্ষ

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10,000 N

= 1000 মি.

ভেক্টরের মধ্যে কোণ = 120 0। তারপর

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0.5।

এর বিকল্প করা যাক

A = 10,000 N · 1000 m · (-0.5) = - 5,000,000 J = - 5 MJ।

1.19 স্থানাঙ্কে ভেক্টরের ডট গুণফল

দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল = (x 1; y 1; z 1) এবং = (x 2; y 2; z 2) একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একই নামের স্থানাঙ্কের গুণফলের সমষ্টির সমান

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2।

1.20 ভেক্টরের লম্বতার অবস্থা

যদি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1; y 1; z 1) এবং = (x 2; y 2; z 2) লম্ব হয়, তাহলে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্য হয়

যদি একটি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1 ; y 1 ; z 1) দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি লম্ব (স্বাভাবিক) এটিতে = (x 2; y 2; z 2) সমতা পূরণ করতে হবে

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0।

এই ধরনের ভেক্টর অসীম সংখ্যক আছে.

যদি সমতলে একটি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1 ; y 1) দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি লম্ব (স্বাভাবিক) এটিতে = (x 2 ; y 2) সমতা পূরণ করতে হবে

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0।

যদি সমতলে একটি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1 ; y 1) দেওয়া হয়, তাহলে এটি যথেচ্ছভাবে ভেক্টর লম্ব (স্বাভাবিক) এর স্থানাঙ্কগুলির একটি সেট করা যথেষ্ট = (x 2 ; y 2) এবং থেকে ভেক্টরের লম্বতার অবস্থা

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

ভেক্টরের দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক প্রকাশ কর।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি একটি নির্বিচারে স্থানাঙ্ক x 2 প্রতিস্থাপন করেন, তাহলে

y 1 y 2 = - x 1 x 2।

দ্বিতীয় ভেক্টর স্থানাঙ্ক

যদি আমরা x 2 = y 1 দেই, তাহলে ভেক্টরের দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক

যদি সমতলে একটি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1 ; y 1) দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টর লম্ব (স্বাভাবিক) = (y 1 ; -x 1)।

যদি একটি অ-শূন্য ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলির একটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে ভেক্টরের একই স্থানাঙ্কটি শূন্যের সমান নয় এবং দ্বিতীয় স্থানাঙ্কটি শূন্যের সমান। এই ধরনের ভেক্টর স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর থাকে এবং তাই লম্ব।

ভেক্টর = (x 1 ; y 1), কিন্তু ভেক্টরের বিপরীতে লম্ব একটি দ্বিতীয় ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করা যাক , অর্থাৎ ভেক্টর -। তারপর ভেক্টর স্থানাঙ্কের চিহ্নগুলি পরিবর্তন করার জন্য এটি যথেষ্ট

- = (-y 1; x 1)

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1)।

টাস্ক।

সমাধান

সমতলে ভেক্টর = (x 1 ; y 1) লম্ব দুটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1)।

বিকল্প ভেক্টর স্থানাঙ্ক = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

ঠিক

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

ঠিক

উত্তর: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3)।

যদি আমরা x 2 = 1 বরাদ্দ করি, তাহলে বিকল্প

x 1 + y 1 y 2 = 0।

y 1 y 2 = -x 1

আমরা ভেক্টরের লম্ব ভেক্টরের স্থানাঙ্ক y 2 পাই = (x 1 ; y 1)

ভেক্টর = (x 1 ; y 1), কিন্তু ভেক্টরের বিপরীতে লম্ব একটি দ্বিতীয় ভেক্টর পেতে . যাক

তারপর ভেক্টর স্থানাঙ্কের চিহ্নগুলি পরিবর্তন করা যথেষ্ট।

সমতলে ভেক্টর = (x 1 ; y 1) লম্ব দুটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

টাস্ক।প্রদত্ত ভেক্টর = (3; -5)। ভিন্ন অভিযোজন সহ দুটি সাধারণ ভেক্টর খুঁজুন।

সমাধান

সমতলে ভেক্টর = (x 1 ; y 1) লম্ব দুটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

দ্বিতীয় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

ভেক্টরগুলির লম্বতা পরীক্ষা করার জন্য, আমরা তাদের স্থানাঙ্কগুলিকে ভেক্টরগুলির লম্বতার অবস্থায় প্রতিস্থাপন করি

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0.6 = 3 - 3 = 0

ঠিক

3·(-1) + (-5)·(-0.6) = -3 + 3 = 0

ঠিক

উত্তর: এবং।

আপনি যদি x 2 = - x 1 বরাদ্দ করেন, তাহলে বিকল্প

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0।

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0।

y 1 y 2 = x 1 2

আমরা ভেক্টরের সাথে লম্ব ভেক্টরের স্থানাঙ্ক পাই

আপনি যদি x 2 = x 1 বরাদ্দ করেন, তাহলে বিকল্প

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0।

x 1 2 + y 1 y 2 = 0।

y 1 y 2 = -x 1 2

আমরা ভেক্টরের সাথে লম্ব দ্বিতীয় ভেক্টরের y স্থানাঙ্ক পাই

সমতলে ভেক্টরের লম্ব একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক = (x 1 ; y 1)

সমতলে ভেক্টরের লম্ব দ্বিতীয় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক = (x 1 ; y 1)

সমতলে ভেক্টর = (x 1 ; y 1) লম্ব দুটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

1.21 ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন

দুটি অ-শূন্য ভেক্টর = (x 1 ; y 1 ; z 1) এবং = (x 2 ; y 2; z 2) মধ্যে কোণের কোসাইনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের গুণফলের সমান। এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য

যদি
= 1, তাহলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ 0 0, ভেক্টরগুলি সহ-নির্দেশিক।

যদি 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

যদি = 0, তাহলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ 90 0 হয়, ভেক্টরগুলি লম্ব।

যদি -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

যদি = -1 হয়, তাহলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণটি 180 0 হয়, ভেক্টরগুলি বিপরীত দিকে পরিচালিত হয়।

যদি একটি ভেক্টর শুরু এবং শেষের স্থানাঙ্ক দ্বারা দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরের শেষের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি থেকে শুরুর স্থানাঙ্কগুলিকে বিয়োগ করলে আমরা এই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি পাই।

টাস্ক।ভেক্টর (0; -2; 0), (-2; 0; -4) মধ্যে কোণ খুঁজুন।

সমাধান

ভেক্টরের ডট পণ্য

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

তাই ভেক্টরের মধ্যে কোণ সমান = 90 0 .

1.22 ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের বৈশিষ্ট্য

স্কেলার পণ্যের বৈশিষ্ট্য যে কোনোটির জন্য বৈধ , , , কে:

1.
, যদি
, যে
, যদি =, যে
= 0.

2. ভ্রমণ আইন

3. বন্টনমূলক আইন

4. সমন্বয় আইন
.

1.23 সরাসরি ভেক্টর

একটি রেখার দিক ভেক্টর হল একটি অ-শূন্য ভেক্টর যা একটি রেখার উপর বা একটি নির্দিষ্ট রেখার সমান্তরাল রেখার উপর থাকে।

যদি একটি সরল রেখা দুটি বিন্দু M 1 (x 1; y 1; z 1) এবং M 2 (x 2; y 2; z 2) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে নির্দেশিকা হল ভেক্টর
বা এর বিপরীত ভেক্টর
= - , যার স্থানাঙ্ক

স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি সেট করার পরামর্শ দেওয়া হয় যাতে রেখাটি স্থানাঙ্কের উত্সের মধ্য দিয়ে যায়, তারপর লাইনের একমাত্র বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি দিকনির্দেশ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হবে।

টাস্ক।বিন্দু M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করুন।

সমাধান

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার দিক ভেক্টরকে নির্দেশ করা হয়
. এর প্রতিটি স্থানাঙ্ক ভেক্টরের শেষ এবং শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্যের সমান

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

আসুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরকে M 1 বিন্দুতে শুরু, M 2 বিন্দুতে শেষ এবং একটি সমান ভেক্টর চিত্রিত করি
বিন্দু M (-1; 1; 0) এ শেষ সহ উৎপত্তি থেকে

1.24 দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ

একটি সমতলে 2টি সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থান এবং এই ধরনের সরল রেখার মধ্যে কোণের সম্ভাব্য বিকল্পগুলি:

1. সরল রেখাগুলি একটি একক বিন্দুতে ছেদ করে, 4টি কোণ তৈরি করে, 2 জোড়া উল্লম্ব কোণগুলি জোড়ায় সমান। দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে কোণ φ হল সেই কোণ যা এই রেখাগুলির মধ্যে অন্য তিনটি কোণকে অতিক্রম করে না। অতএব, রেখাগুলির মধ্যে কোণ হল φ ≤ 90 0।

ছেদকারী রেখাগুলি, বিশেষত, φ = 90 0 এর লম্ব হতে পারে।

মহাকাশে 2টি সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থান এবং এই ধরনের সরল রেখার মধ্যে কোণের সম্ভাব্য বিকল্পগুলি:

2. রেখাগুলি সমান্তরাল, অর্থাৎ, তারা মিলিত হয় না এবং ছেদ করে না, φ=0 0 ।

3. রেখাগুলো মিলে যায়, φ = 0 0।

4. রেখাগুলিকে ছেদ করে, অর্থাৎ, তারা মহাশূন্যে ছেদ করে না এবং সমান্তরাল নয়। ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণ φ হল এই রেখাগুলির সমান্তরালে আঁকা রেখাগুলির মধ্যে কোণ যাতে তারা ছেদ করে। অতএব, রেখাগুলির মধ্যে কোণ হল φ ≤ 90 0।

2 লাইনের মধ্যবর্তী কোণ একই সমতলে এই রেখার সমান্তরালে আঁকা রেখার মধ্যবর্তী কোণের সমান। অতএব, রেখাগুলির মধ্যে কোণ হল 0 0 ≤ φ ≤ 90 0।

ভেক্টরের মধ্যে কোণ θ (থিটা) এবং 0 0 ≤ θ ≤ 180 0।

যদি α এবং β রেখাগুলির মধ্যে কোণ φ এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির মধ্যে θ কোণের সমান হয় φ = θ, তাহলে

cos φ = cos θ।

যদি সরলরেখার মধ্যে কোণ φ = 180 0 - θ হয়, তাহলে

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ।

cos φ = - cos θ।

অতএব, সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের মডুলাসের সমান

cos φ = |cos θ|।

যদি অ-শূন্য ভেক্টরের স্থানাঙ্ক = (x 1; y 1; z 1) এবং = (x 2; y 2; z 2) দেওয়া হয়, তাহলে তাদের মধ্যে কোণ θ এর কোসাইন

রেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের কোসাইনের মডুলাসের সমান

cos φ = |cos θ| =

রেখাগুলি একই জ্যামিতিক বস্তু, তাই একই ত্রিকোণমিতিক cos ফাংশন সূত্রে উপস্থিত রয়েছে।

যদি দুটি লাইনের প্রতিটিকে দুটি বিন্দু দিয়ে দেওয়া হয়, তাহলে এই রেখাগুলির দিকনির্দেশ ভেক্টর এবং রেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন নির্ধারণ করা সম্ভব।

যদি cos φ = 1, তারপর রেখাগুলির মধ্যে কোণ φ 0 0 এর সমান, আমরা এই রেখাগুলির জন্য এই রেখাগুলির একটি দিক ভেক্টর নিতে পারি, রেখাগুলি সমান্তরাল বা মিলিত। যদি রেখাগুলি একত্রিত না হয় তবে সেগুলি সমান্তরাল। যদি লাইনগুলো মিলে যায়, তাহলে এক লাইনের যেকোনো বিন্দু অন্য লাইনের অন্তর্গত।

যদি 0< cos φ ≤ 1, তারপর রেখাগুলির মধ্যে কোণ 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

যদি cos φ = 0, তারপর রেখাগুলির মধ্যে কোণ φ হল 90 0 (রেখাগুলি লম্ব), রেখাগুলি ছেদ বা ক্রস করে।

টাস্ক।বিন্দু M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) এবং M 3 (0; 0; 1) এর স্থানাঙ্ক সহ সরলরেখা M 1 M 3 এবং M 2 M 3 এর মধ্যে কোণ নির্ধারণ করুন।

সমাধান

আসুন অক্সিজ স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রদত্ত বিন্দু এবং লাইনগুলি তৈরি করি।

আমরা রেখাগুলির দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলিকে নির্দেশ করি যাতে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ θ প্রদত্ত রেখাগুলির মধ্যে φ কোণের সাথে মিলে যায়। আসুন আমরা ভেক্টরগুলিকে উপস্থাপন করি
এবং =
, সেইসাথে কোণ θ এবং φ:

আসুন আমরা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করি এবং

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 এবং ax + by + cz = 0;

সমতলটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল, যার উপাধিটি সমতলের সমীকরণে অনুপস্থিত এবং তাই, সংশ্লিষ্ট সহগ শূন্যের সমান, উদাহরণস্বরূপ, c = 0 এ, সমতলটি Oz অক্ষের সমান্তরাল এবং সমীকরণ ax + by + d = 0-এ z নেই;

সমতলটিতে সেই স্থানাঙ্ক অক্ষ রয়েছে, যার নামটি অনুপস্থিত, তাই, সংশ্লিষ্ট সহগ শূন্য এবং d = 0, উদাহরণস্বরূপ, c = d = 0 সহ, সমতলটি Oz অক্ষের সমান্তরাল এবং এতে z নেই সমীকরণ ax + by = 0;

সমতলটি স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল, যার প্রতীকগুলি সমতলের সমীকরণে অনুপস্থিত এবং তাই, সংশ্লিষ্ট সহগগুলি শূন্য, উদাহরণস্বরূপ, b = c = 0 এর জন্য, সমতলটি স্থানাঙ্ক সমতল Oyz-এর সমান্তরাল এবং ax + d = 0 সমীকরণে y, z নেই।

যদি সমতলটি স্থানাঙ্ক সমতলের সাথে মিলে যায়, তাহলে এই জাতীয় সমতলের সমীকরণ হল প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সমতলের লম্ব স্থানাঙ্ক অক্ষের উপাধির শূন্যের সমতা, উদাহরণস্বরূপ, যখন x = 0, প্রদত্ত সমতলটি স্থানাঙ্ক সমতল অয়েজ।

টাস্ক।সাধারণ ভেক্টর সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

সমতলের সমীকরণটি স্বাভাবিক আকারে উপস্থাপন কর।

সমাধান

সাধারণ ভেক্টর স্থানাঙ্ক

ক; খ; c), তাহলে আপনি বিন্দু M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) এর স্থানাঙ্ক এবং সাধারণ ভেক্টরের a, b, c স্থানাঙ্কগুলিকে সমতলের সাধারণ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে পারেন

ax + by + cz + d = 0 (1)

আমরা একটি অজানা d এর সাথে একটি সমীকরণ পাই

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

এখান থেকে

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

সমতল সমীকরণ (1) প্রতিস্থাপনের পরে d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

আমরা বিন্দু M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) অ-শূন্য ভেক্টরের লম্বের মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলটির সমীকরণ পাই (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

এর বন্ধনী খুলুন

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

এর উল্লেখ করা যাক

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

আমরা সমতলের সাধারণ সমীকরণ পাই

ax + by + cz + d = 0।

1.29 দুটি বিন্দু এবং উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ

ax + by + cz + d = 0।

এটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম সেট করার পরামর্শ দেওয়া হয় যাতে প্লেনটি এই স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায়। এই সমতলে থাকা বিন্দু M 1 (x 1; y 1; z 1) এবং M 2 (x 2; y 2; z 2) অবশ্যই নির্দিষ্ট করতে হবে যাতে এই বিন্দুগুলিকে সংযুক্তকারী সরলরেখা উৎপত্তির মধ্য দিয়ে না যায়।

সমতল উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যাবে, তাই d = 0। তারপর সমতলের সাধারণ সমীকরণ রূপ নেয়

ax + by + cz = 0।

3টি অজানা সহগ a, b, c আছে। সমতলের সাধারণ সমীকরণে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করলে 2টি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়। যদি আমরা সাধারণ সমতল সমীকরণে কিছু সহগ একের সমান গ্রহণ করি, তাহলে 2টি সমীকরণের একটি সিস্টেম আমাদের 2টি অজানা সহগ নির্ধারণ করতে দেবে।

যদি একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলির একটি শূন্য হয়, তবে এই স্থানাঙ্কের সাথে সংশ্লিষ্ট সহগটিকে এক হিসাবে নেওয়া হয়।

যদি কিছু বিন্দুতে দুটি শূন্য স্থানাঙ্ক থাকে, তবে এই শূন্য স্থানাঙ্কগুলির একটির সাথে সংশ্লিষ্ট সহগটিকে এক হিসাবে নেওয়া হয়।

যদি a = 1 গ্রহণ করা হয়, তাহলে 2টি সমীকরণের একটি সিস্টেম আমাদের 2টি অজানা সহগ b এবং c নির্ধারণ করতে দেবে:

কিছু সমীকরণকে এমন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে এই সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম সমাধান করা সহজ যে কিছু অজানা জন্য সহগ সমান হয়ে যায়। তারপর সমীকরণের পার্থক্য আমাদের এই অজানাকে দূর করতে এবং অন্য অজানা নির্ধারণ করতে দেয়। যে কোনো সমীকরণে পাওয়া অজানাকে প্রতিস্থাপন করলে আপনি দ্বিতীয় অজানা নির্ধারণ করতে পারবেন।

1.30 তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ

সমতলের সাধারণ সমীকরণের সহগ নির্ণয় করা যাক

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2; z 2) এবং M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া। পয়েন্টের দুটি অভিন্ন স্থানাঙ্ক থাকা উচিত নয়।

4টি অজানা সহগ আছে a, b, c এবং d। সমতলের সাধারণ সমীকরণে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করলে 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়। সমতলের সাধারণ সমীকরণে একতার সমান কিছু সহগ নিন, তারপর 3টি সমীকরণের সিস্টেম আপনাকে 3টি অজানা সহগ নির্ধারণ করতে দেবে। সাধারণত a = 1 গ্রহণ করা হয়, তারপর 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম আমাদের 3টি অজানা সহগ b, c এবং d নির্ধারণ করতে দেয়:

অজানা (গাউস পদ্ধতি) বাদ দিয়ে সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা ভাল। আপনি সিস্টেমে সমীকরণগুলি পুনরায় সাজাতে পারেন। যে কোনো সমীকরণ শূন্যের সমান নয় এমন কোনো সহগ দ্বারা গুণ বা ভাগ করা যায়। যে কোনো দুটি সমীকরণ যোগ করা যেতে পারে এবং ফলস্বরূপ সমীকরণ দুটি যোগ করা সমীকরণের যেকোনো একটির জায়গায় লেখা যেতে পারে। অজানাকে তাদের সামনে একটি শূন্য সহগ প্রাপ্ত করে সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়। একটি সমীকরণে, সাধারণত নীচের অংশে, একটি পরিবর্তনশীল থাকে যা নির্ধারিত হয়। পাওয়া ভেরিয়েবলটি নীচে থেকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়, যা সাধারণত 2টি অজানা থেকে যায়। সমীকরণগুলি নীচে থেকে উপরে সমাধান করা হয় এবং সমস্ত অজানা সহগ নির্ধারণ করা হয়।

সহগগুলি অজানাদের সামনে স্থাপন করা হয় এবং অজানা মুক্ত পদগুলি সমীকরণের ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়

উপরের লাইনে সাধারণত একটি সমীকরণ থাকে যার একটি গুণাঙ্ক থাকে 1 এর আগে প্রথম বা কোনো অজানা, অথবা সম্পূর্ণ প্রথম সমীকরণটি প্রথম অজানার আগে সহগ দ্বারা ভাগ করা হয়। এই সমীকরণ পদ্ধতিতে, প্রথম সমীকরণটিকে y 1 দিয়ে ভাগ করুন

প্রথম অজানা আগে আমরা 1 এর একটি সহগ পেয়েছি:

দ্বিতীয় সমীকরণের প্রথম চলকের সামনে সহগ পুনরায় সেট করতে, প্রথম সমীকরণটিকে -y 2 দ্বারা গুণ করুন, এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে যোগ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের পরিবর্তে ফলস্বরূপ সমীকরণটি লিখুন। দ্বিতীয় সমীকরণে প্রথম অজানা দূর হবে কারণ

y 2 b - y 2 b = 0।

একইভাবে, আমরা প্রথম সমীকরণটিকে -y 3 দ্বারা গুণ করে তৃতীয় সমীকরণের প্রথম অজানাটিকে নির্মূল করি, এটি তৃতীয় সমীকরণে যোগ করি এবং তৃতীয় সমীকরণের পরিবর্তে ফলাফল সমীকরণটি লিখি। তৃতীয় সমীকরণে প্রথম অজানাও বাদ দেওয়া হবে কারণ

y 3 b - y 3 b = 0।

একইভাবে, আমরা তৃতীয় সমীকরণে দ্বিতীয় অজানাটিকে মুছে ফেলি। আমরা নীচে থেকে সিস্টেমটি সমাধান করি।

টাস্ক।

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) এবং y পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া+ 0 z + 0 = 0

x = 0।

নির্দিষ্ট সমতল হল স্থানাঙ্ক সমতল Oyz.

টাস্ক।সমতলের সাধারণ সমীকরণ নির্ণয় কর

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) এবং M 3 (0; 0; 1) পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। এই সমতল থেকে বিন্দু M 0 (10; -3; -7) এর দূরত্ব খুঁজুন।

সমাধান

আসুন অক্সিজ স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রদত্ত পয়েন্টগুলি তৈরি করি।

আসুন মেনে নিই ক= 1. সমতলের সাধারণ সমীকরণে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করলে 3টি সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়

ℓ =

ওয়েব পেজ: 1 2 প্লেনে এবং মহাকাশে ভেক্টর (চলবে)

আন্দ্রে জর্জিভিচ ওলশেভস্কির সাথে পরামর্শ চলছে স্কাইপ da.বিরক্ত.ru

গণিত, পদার্থবিদ্যা, কম্পিউটার বিজ্ঞানে ছাত্র এবং স্কুলছাত্রদের প্রস্তুতি, স্কুলছাত্র যারা প্রচুর পয়েন্ট পেতে চায় (পার্ট সি) এবং রাজ্য পরীক্ষা (GIA) এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য দুর্বল ছাত্র। মেমরি, চিন্তাভাবনা, এবং বস্তুর জটিল, চাক্ষুষ উপস্থাপনার স্পষ্ট ব্যাখ্যা বিকাশের মাধ্যমে বর্তমান একাডেমিক কর্মক্ষমতার যুগপত উন্নতি। প্রতিটি ছাত্রের জন্য একটি বিশেষ পদ্ধতি। অলিম্পিয়াডের জন্য প্রস্তুতি যা ভর্তির জন্য সুবিধা প্রদান করে। 15 বছরের অভিজ্ঞতা ছাত্র কৃতিত্ব উন্নত.

উচ্চতর গণিত, বীজগণিত, জ্যামিতি, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, গাণিতিক পরিসংখ্যান, লিনিয়ার প্রোগ্রামিং।

তত্ত্বের একটি স্পষ্ট ব্যাখ্যা, বোঝার ফাঁক বন্ধ করা, সমস্যা সমাধানের জন্য শিক্ষার পদ্ধতি, কোর্সওয়ার্ক এবং ডিপ্লোমা লেখার সময় পরামর্শ।

এভিয়েশন, রকেট এবং অটোমোবাইল ইঞ্জিন। হাইপারসনিক, রামজেট, রকেট, পালস বিস্ফোরণ, স্পন্দন, গ্যাস টারবাইন, পিস্টন অভ্যন্তরীণ জ্বলন ইঞ্জিন - তত্ত্ব, নকশা, গণনা, শক্তি, নকশা, উত্পাদন প্রযুক্তি।

তাপগতিবিদ্যা, তাপ প্রকৌশল, গ্যাস গতিবিদ্যা, জলবাহীবিদ্যা।

এভিয়েশন, অ্যারোমেকানিক্স, অ্যারোডাইনামিকস, ফ্লাইট ডাইনামিকস, থিওরি, ডিজাইন, অ্যারোহাইড্রোমেকানিক্স। আল্ট্রালাইট এয়ারক্রাফট, ইক্রানোপ্লেন, এরোপ্লেন, হেলিকপ্টার, রকেট, ক্রুজ মিসাইল, হোভারক্রাফট, এয়ারশিপ, প্রোপেলার - তত্ত্ব, ডিজাইন, ক্যালকুলেশন, শক্তি, ডিজাইন, ম্যানুফ্যাকচারিং টেকনোলজি।

সৃজনশীল ফলাফল প্রকাশ। কিভাবে একটি বৈজ্ঞানিক নিবন্ধ লিখতে এবং প্রকাশ করতে হয়, একটি উদ্ভাবনের জন্য আবেদন করতে হয়, একটি বই লিখতে, প্রকাশ করতে হয়। লেখার তত্ত্ব, গবেষণামূলক ডিফেন্ডিং। ধারণা এবং উদ্ভাবন থেকে অর্থ উপার্জন. উদ্ভাবন তৈরিতে পরামর্শ করা, উদ্ভাবনের জন্য অ্যাপ্লিকেশন লেখা, বৈজ্ঞানিক নিবন্ধ, উদ্ভাবনের জন্য অ্যাপ্লিকেশন, বই, মনোগ্রাফ, গবেষণামূলক। উদ্ভাবন, বৈজ্ঞানিক নিবন্ধ, মনোগ্রাফের সহ-লেখক।

তাত্ত্বিক মেকানিক্স (তেওরমেখ), উপকরণের শক্তি (উপাদানের শক্তি), মেশিনের যন্ত্রাংশ, মেকানিজম এবং মেশিনের তত্ত্ব (টিএমএম), যান্ত্রিক প্রকৌশল প্রযুক্তি, প্রযুক্তিগত শাখা।

বৈদ্যুতিক প্রকৌশলের তাত্ত্বিক ভিত্তি (TOE), ইলেকট্রনিক্স, ডিজিটাল এবং এনালগ ইলেকট্রনিক্সের মৌলিক বিষয়।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি, বর্ণনামূলক জ্যামিতি, প্রকৌশল গ্রাফিক্স, অঙ্কন।

কম্পিউটার গ্রাফিক্স, গ্রাফিক্স প্রোগ্রামিং, অটোক্যাড, ন্যানোক্যাড, ফটোমন্টেজের অঙ্কন।

যুক্তিবিদ্যা, গ্রাফ, গাছ, পৃথক গণিত। OpenOffice এবং LibreOffice বেসিক, ভিজ্যুয়াল বেসিক, VBA, NET, ASP.NET,

macros, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. প্রোগ্রাম তৈরি, পিসি, ল্যাপটপ, মোবাইল ডিভাইসের জন্য গেম। ফ্রি রেডিমেড প্রোগ্রাম, ওপেন সোর্স ইঞ্জিনের ব্যবহার।

তৈরি, স্থাপন, প্রচার, ওয়েবসাইট প্রোগ্রামিং, অনলাইন স্টোর, ওয়েবসাইটে অর্থ উপার্জন, ওয়েব ডিজাইন।

কম্পিউটার বিজ্ঞান, পিসি ব্যবহারকারী: পাঠ্য, টেবিল, উপস্থাপনা, 2 ঘন্টা গতিতে টাইপিং প্রশিক্ষণ, ডাটাবেস, 1C, উইন্ডোজ, ওয়ার্ড, এক্সেল, অ্যাক্সেস, জিম্প, ওপেনঅফিস, অটোক্যাড, ন্যানোক্যাড, ইন্টারনেট, নেটওয়ার্ক, ইমেল।

স্থির কম্পিউটার এবং ল্যাপটপ ইনস্টল ও মেরামত।

ভিডিও ব্লগার, ভিডিও তৈরি করা, সম্পাদনা করা, ভিডিও পোস্ট করা, ভিডিও সম্পাদনা করা, ভিডিও ব্লগ থেকে অর্থ উপার্জন করা।

পছন্দ, লক্ষ্য অর্জন, পরিকল্পনা।

ইন্টারনেটে অর্থ উপার্জনের প্রশিক্ষণ: ব্লগার, ভিডিও ব্লগার, প্রোগ্রাম, ওয়েবসাইট, অনলাইন স্টোর, নিবন্ধ, বই ইত্যাদি।

আপনি সাইটের বিকাশকে সমর্থন করতে পারেন, আন্দ্রে জর্জিভিচ ওলশেভস্কির পরামর্শ পরিষেবার জন্য অর্থ প্রদান করতে পারেন10.15.17 ওলশেভস্কি আন্দ্রে জর্জিভিচই-মেইল:

এই নিবন্ধে, আমরা একটি "জাদুর কাঠি" নিয়ে আলোচনা করতে শুরু করব যা আপনাকে অনেক জ্যামিতি সমস্যাকে সরল পাটিগণিত থেকে কমাতে সাহায্য করবে। এই "লাঠি" আপনার জীবনকে অনেক সহজ করে দিতে পারে, বিশেষ করে যখন আপনি স্থানিক চিত্র, বিভাগ ইত্যাদি নির্মাণের ব্যাপারে অনিশ্চিত বোধ করেন। এই সমস্ত কিছুর জন্য একটি নির্দিষ্ট কল্পনা এবং ব্যবহারিক দক্ষতা প্রয়োজন। আমরা এখানে যে পদ্ধতিটি বিবেচনা করতে শুরু করব তা আপনাকে সমস্ত ধরণের জ্যামিতিক নির্মাণ এবং যুক্তি থেকে প্রায় সম্পূর্ণ বিমূর্ত করার অনুমতি দেবে। পদ্ধতি বলা হয় "সমন্বয় পদ্ধতি". এই নিবন্ধে আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি বিবেচনা করব:

সমতল সমন্বয়
সমতলে পয়েন্ট এবং ভেক্টর
দুটি বিন্দু থেকে একটি ভেক্টর নির্মাণ
ভেক্টর দৈর্ঘ্য (দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব)
সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক
ভেক্টরের ডট পণ্য
দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ

আমি মনে করি আপনি ইতিমধ্যে অনুমান করেছেন কেন সমন্বয় পদ্ধতি বলা হয়? এটা ঠিক, এটি এই নামটি পেয়েছে কারণ এটি জ্যামিতিক বস্তুর সাথে কাজ করে না, তবে তাদের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য (স্থানাঙ্ক) দিয়ে। এবং রূপান্তর নিজেই, যা আমাদের জ্যামিতি থেকে বীজগণিতে যেতে দেয়, একটি সমন্বয় ব্যবস্থা প্রবর্তন করে। যদি আসল চিত্রটি সমতল হয়, তাহলে স্থানাঙ্কগুলি দ্বি-মাত্রিক এবং চিত্রটি ত্রিমাত্রিক হলে স্থানাঙ্কগুলি ত্রিমাত্রিক। এই নিবন্ধে আমরা শুধুমাত্র দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে বিবেচনা করব। এবং নিবন্ধটির মূল লক্ষ্য হল আপনাকে কীভাবে সমন্বয় পদ্ধতির কিছু প্রাথমিক কৌশল ব্যবহার করতে হয় তা শেখানো (ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পার্ট বি-তে প্ল্যানমিট্রিতে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় তারা কখনও কখনও কার্যকর হতে পারে)। এই বিষয়ে পরবর্তী দুটি বিভাগ C2 (স্টেরিওমেট্রির সমস্যা) সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলির আলোচনার জন্য উত্সর্গীকৃত।

স্থানাঙ্ক পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা শুরু করা কোথায় যৌক্তিক হবে? সম্ভবত একটি সমন্বয় সিস্টেমের ধারণা থেকে। মনে রাখবেন যখন আপনি তার সাথে প্রথম দেখা করেছিলেন। এটা আমার মনে হয় যে 7 ম গ্রেডে, যখন আপনি একটি লিনিয়ার ফাংশনের অস্তিত্ব সম্পর্কে শিখেছেন, উদাহরণস্বরূপ। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আপনি এটি বিন্দু বিন্দু তৈরি করেছেন। মনে আছে? আপনি একটি নির্বিচারে সংখ্যা চয়ন করেছেন, এটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপিত করেছেন এবং সেইভাবে এটি গণনা করেছেন। যেমন, যদি, তাহলে, যদি, তাহলে ইত্যাদি শেষে আপনি কী পেলেন? এবং আপনি স্থানাঙ্ক সহ পয়েন্ট পেয়েছেন: এবং। এর পরে, আপনি একটি "ক্রস" (সমন্বয় সিস্টেম) আঁকেন, এটিতে একটি স্কেল বেছে নেন (একটি অংশ হিসাবে আপনার কতগুলি কোষ থাকবে) এবং আপনি এতে প্রাপ্ত পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করেছেন, যা আপনি একটি সরল রেখার সাথে সংযুক্ত করেছেন; লাইন হল ফাংশনের গ্রাফ।

এখানে কয়েকটি পয়েন্ট রয়েছে যা আপনাকে আরও বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত:

1. আপনি সুবিধার কারণে একটি একক সেগমেন্ট চয়ন করেন, যাতে সবকিছু সুন্দরভাবে এবং কম্প্যাক্টভাবে অঙ্কনে ফিট হয়।

2. এটি গৃহীত হয় যে অক্ষটি বাম থেকে ডানে যায় এবং অক্ষটি নিচ থেকে উপরে যায়

3. তারা সমকোণে ছেদ করে এবং তাদের ছেদকের বিন্দুটিকে উৎপত্তি বলা হয়। এটি একটি চিঠি দ্বারা নির্দেশিত হয়।

4. একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখতে, উদাহরণস্বরূপ, বন্ধনীতে বামদিকে অক্ষ বরাবর বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং ডানদিকে, অক্ষ বরাবর রয়েছে। বিশেষ করে, এটা সহজভাবে বিন্দু যে মানে

5. স্থানাঙ্ক অক্ষের কোন বিন্দু নির্দিষ্ট করার জন্য, আপনাকে এর স্থানাঙ্ক (2 সংখ্যা) নির্দেশ করতে হবে

6. অক্ষের উপর থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য,

7. অক্ষের উপর থাকা যেকোনো বিন্দুর জন্য,

8. অক্ষকে x-অক্ষ বলা হয়

9. অক্ষকে y-অক্ষ বলা হয়

এখন পরবর্তী পদক্ষেপ নেওয়া যাক: দুটি পয়েন্ট চিহ্নিত করুন। এই দুটি বিন্দুকে একটি সেগমেন্টের সাথে সংযুক্ত করা যাক। এবং আমরা তীরটি এমনভাবে রাখব যেন আমরা বিন্দু থেকে বিন্দুতে একটি অংশ আঁকছি: অর্থাৎ, আমরা আমাদের সেগমেন্টকে নির্দেশিত করব!

অন্য দিকনির্দেশক সেগমেন্টকে কী বলা হয় মনে রাখবেন? এটা ঠিক, এটাকে ভেক্টর বলে!

তাই যদি আমরা বিন্দু থেকে বিন্দু সংযোগ করি, এবং শুরু হবে বিন্দু A, এবং শেষ হবে বি বিন্দু,তারপর আমরা একটি ভেক্টর পেতে. আপনিও অষ্টম শ্রেণিতে এই নির্মাণ করেছিলেন, মনে আছে?

দেখা যাচ্ছে যে ভেক্টর, বিন্দুর মতো, দুটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে: এই সংখ্যাগুলিকে ভেক্টর স্থানাঙ্ক বলা হয়। প্রশ্ন: আপনি কি মনে করেন যে একটি ভেক্টরের শুরু এবং শেষের স্থানাঙ্কগুলি জানার জন্য এটির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট? দেখা যাচ্ছে যে হ্যাঁ! এবং এটি খুব সহজভাবে করা হয়:

সুতরাং, যেহেতু একটি ভেক্টরে বিন্দুটি শুরু এবং বিন্দুটি শেষ, ভেক্টরের নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে:

উদাহরণস্বরূপ, যদি, তাহলে ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

এবার উল্টোটা করি, ভেক্টরের স্থানাঙ্ক বের করি। এর জন্য আমাদের কী পরিবর্তন করতে হবে? হ্যাঁ, আপনাকে শুরু এবং শেষ অদলবদল করতে হবে: এখন ভেক্টরের শুরু বিন্দুতে হবে এবং শেষ বিন্দুতে হবে। তারপর:

সাবধানে দেখুন, ভেক্টর এবং মধ্যে পার্থক্য কি? তাদের একমাত্র পার্থক্য হল স্থানাঙ্কের চিহ্ন। তারা বিপরীতমুখী। এই সত্যটি সাধারণত এভাবে লেখা হয়:

কখনও কখনও, যদি নির্দিষ্টভাবে বলা না থাকে যে কোন বিন্দুটি ভেক্টরের শুরু এবং কোনটি শেষ, তাহলে ভেক্টর দুটি বড় অক্ষর দ্বারা নয়, একটি ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: , ইত্যাদি।

এখন একটু অনুশীলননিজেই এবং নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন:

পরীক্ষা:

এখন একটু কঠিন সমস্যা সমাধান করুন:

একটি বিন্দুতে একটি প্রারম্ভিক বিন্দু সহ একটি ভেক্টর একটি কো-বা-ডি-না-ইউ থাকে। abs-cis-su পয়েন্ট খুঁজুন।

সব একই বেশ প্রসায়িক: বিন্দুর স্থানাঙ্ক হতে দিন। তারপর

আমি ভেক্টর স্থানাঙ্কের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে সিস্টেমটি সংকলন করেছি। তারপর বিন্দু স্থানাঙ্ক আছে. আমরা abscissa আগ্রহী. তারপর

উত্তরঃ

আপনি ভেক্টর সঙ্গে আর কি করতে পারেন? হ্যাঁ, প্রায় সবকিছুই সাধারণ সংখ্যার মতোই (এটি ছাড়া আপনি ভাগ করতে পারবেন না, তবে আপনি দুটি উপায়ে গুণ করতে পারেন, যার একটি আমরা এখানে একটু পরে আলোচনা করব)

ভেক্টর একে অপরের সাথে যোগ করা যেতে পারে
ভেক্টর একে অপরের থেকে বিয়োগ করা যেতে পারে
ভেক্টরগুলিকে একটি নির্বিচারে অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণিত (বা ভাগ) করা যেতে পারে
ভেক্টর একে অপরের দ্বারা গুণ করা যেতে পারে

এই সমস্ত ক্রিয়াকলাপগুলির একটি খুব স্পষ্ট জ্যামিতিক উপস্থাপনা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যোগ এবং বিয়োগের জন্য ত্রিভুজ (বা সমান্তরালগ্রাম) নিয়ম:

একটি ভেক্টর প্রসারিত বা সংকোচন বা দিক পরিবর্তন করে যখন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়:

যাইহোক, এখানে আমরা স্থানাঙ্কের কি হবে সেই প্রশ্নে আগ্রহী হব।

1. দুটি ভেক্টর যোগ (বিয়োগ) করার সময়, আমরা উপাদান দ্বারা তাদের স্থানাঙ্ক উপাদান যোগ (বিয়োগ) করি। অর্থাৎ:

2. একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ (ভাগ করা) করার সময়, এর সমস্ত স্থানাঙ্ক এই সংখ্যা দ্বারা গুণিত (ভাগ করা) হয়:

যেমন:

কো-বা-দি-নাট সেঞ্চুরি-টু-রা-এর পরিমাণ খুঁজুন।

আসুন প্রথমে প্রতিটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করি। তাদের উভয়েরই একই উৎপত্তি - উৎপত্তি বিন্দু। তাদের শেষ ভিন্ন। তারপর, . এখন ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা যাক তাহলে ফলাফলের ভেক্টরের স্থানাঙ্কের যোগফল সমান।

উত্তরঃ

এখন নিম্নলিখিত সমস্যাটি নিজেই সমাধান করুন:

ভেক্টর স্থানাঙ্কের সমষ্টি খুঁজুন

আমরা পরীক্ষা করি:

আসুন এখন নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করা যাক: স্থানাঙ্ক সমতলে আমাদের দুটি পয়েন্ট রয়েছে। কিভাবে তাদের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করতে? প্রথম বিন্দু হতে দিন, এবং দ্বিতীয়. তাদের মধ্যে দূরত্ব দ্বারা বোঝানো যাক। আসুন স্বচ্ছতার জন্য নিম্নলিখিত অঙ্কন তৈরি করি:

আমি কি করেছি? প্রথমত, আমি বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করেছি এবং এছাড়াও, বিন্দু থেকে আমি অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা আঁকলাম, এবং বিন্দু থেকে আমি অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা আঁকলাম। তারা কি একটি বিন্দুতে ছেদ করেছে, একটি অসাধারণ চিত্র তৈরি করেছে? তার সম্পর্কে এত বিশেষ কি? হ্যাঁ, আপনি এবং আমি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রায় সবকিছুই জানি। ঠিক আছে, নিশ্চিতভাবে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য। প্রয়োজনীয় সেগমেন্ট হল এই ত্রিভুজের কর্ণ এবং সেগমেন্ট হল পা। বিন্দুর স্থানাঙ্ক কি? হ্যাঁ, ছবি থেকে সেগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ: যেহেতু সেগমেন্টগুলি অক্ষের সমান্তরাল এবং যথাক্রমে, তাদের দৈর্ঘ্যগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ: যদি আমরা সেগমেন্টগুলির দৈর্ঘ্যকে যথাক্রমে নির্দেশ করি, তাহলে

এখন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করা যাক। আমরা পায়ের দৈর্ঘ্য জানি, আমরা কর্ণটি খুঁজে পাব:

এইভাবে, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল স্থানাঙ্ক থেকে বর্গীয় পার্থক্যের যোগফলের মূল। অথবা - দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল তাদের সংযোগকারী অংশের দৈর্ঘ্য।

এটি দেখতে সহজ যে পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব দিকনির্দেশের উপর নির্ভর করে না। তারপর:

আসুন দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব গণনা সম্পর্কে একটু অনুশীলন করি:

উদাহরণস্বরূপ, যদি, তারপর এবং এর মধ্যে দূরত্ব সমান

অথবা আসুন অন্য উপায়ে যাই: ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন

এবং ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজুন:

আপনি দেখতে পারেন, এটা একই জিনিস!

এখন একটু অনুশীলন করুন:

টাস্ক: নির্দেশিত পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন:

আমরা পরীক্ষা করি:

এখানে একই সূত্র ব্যবহার করে আরও কয়েকটি সমস্যা রয়েছে, যদিও সেগুলি একটু ভিন্ন শোনাচ্ছে:

1. চোখের পাতার দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করুন।

2. চোখের পাতার দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করুন

আমি মনে করি আপনি অসুবিধা ছাড়া তাদের মোকাবেলা? আমরা পরীক্ষা করি:

1. এবং এটি মনোযোগের জন্য) আমরা ইতিমধ্যেই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক খুঁজে পেয়েছি: . তারপর ভেক্টর স্থানাঙ্ক আছে. এর দৈর্ঘ্যের বর্গ সমান হবে:

2. ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন

তাহলে এর দৈর্ঘ্যের বর্গ হল

কিছুই জটিল, তাই না? সহজ পাটিগণিত, আর কিছুই না।

নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি দ্ব্যর্থহীনভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা যায় না; সেগুলি সাধারণ পাণ্ডিত্য এবং সাধারণ ছবি আঁকার ক্ষমতা সম্পর্কে।

1. অবসিসা অক্ষের সাথে বিন্দুটিকে সংযোগ করে কাটা থেকে কোণের সাইন খুঁজুন।

এবং

কিভাবে আমরা এখানে এগিয়ে যেতে যাচ্ছি? আমাদের এবং অক্ষের মধ্যে কোণের সাইন খুঁজে বের করতে হবে। আমরা সাইন কোথায় দেখতে পারি? এটা ঠিক, একটি সমকোণী ত্রিভুজে। তাই আমাদের কি করতে হবে? এই ত্রিভুজ নির্মাণ!

যেহেতু বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং, তাহলে রেখাংশটি সমান, এবং রেখাংশ। আমাদের কোণের সাইন বের করতে হবে। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে সাইন হল কর্ণের বিপরীত বাহুর অনুপাত, তাহলে

আমাদের কি করার বাকি আছে? কর্ণ নির্ণয় কর। আপনি এটি দুটি উপায়ে করতে পারেন: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে (পাগুলি পরিচিত!) বা দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে (আসলে, প্রথম পদ্ধতির মতো একই জিনিস!) আমি দ্বিতীয় পথে যাব:

উত্তরঃ

পরবর্তী কাজটি আপনার কাছে আরও সহজ মনে হবে। তিনি পয়েন্টের স্থানাঙ্কে রয়েছেন।

টাস্ক 2।বিন্দু থেকে per-pen-di-ku-lyar ab-ciss অক্ষের উপর নামানো হয়। নাই-দি-তে আব-সিস-সু ওস-নো-ভা-নিয়া পার-পেন-দি-কু-লা-রা।

চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:

একটি লম্বের ভিত্তি হল সেই বিন্দু যেখানে এটি x-অক্ষকে (অক্ষ) ছেদ করে, আমার জন্য এটি একটি বিন্দু। চিত্রটি দেখায় যে এটির স্থানাঙ্ক রয়েছে: . আমরা অ্যাবসিসাতে আগ্রহী - অর্থাৎ, "x" উপাদান। সে সমান।

উত্তরঃ .

টাস্ক 3।পূর্ববর্তী সমস্যার শর্তে, বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক অক্ষের দূরত্বের যোগফল নির্ণয় করুন।

কাজটি সাধারণত প্রাথমিক হয় যদি আপনি জানেন যে একটি বিন্দু থেকে অক্ষের দূরত্ব কত। আপনি জানেন? আমি আশা করি, কিন্তু তবুও আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেব:

সুতরাং, ঠিক উপরের আমার অঙ্কনে, আমি কি ইতিমধ্যেই এমন একটি লম্ব আঁকা করেছি? এটা কোন অক্ষের উপর? অক্ষের কাছে। এবং তারপর এর দৈর্ঘ্য কত? সে সমান। এখন নিজেই অক্ষের একটি লম্ব আঁকুন এবং এর দৈর্ঘ্য খুঁজুন। এটা সমান হবে, তাই না? তাহলে তাদের যোগফল সমান।

উত্তরঃ .

টাস্ক 4।টাস্ক 2 এর শর্তে, অ্যাবসিসা অক্ষের সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর অর্ডিনেট খুঁজুন।

আমি মনে করি এটা আপনার কাছে স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার যে প্রতিসাম্য কি? অনেক বস্তুতে এটি রয়েছে: অনেক ভবন, টেবিল, বিমান, অনেক জ্যামিতিক আকার: বল, সিলিন্ডার, বর্গক্ষেত্র, রম্বস, ইত্যাদি। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, প্রতিসাম্যটি নিম্নরূপ বোঝা যায়: একটি চিত্র দুটি (বা তার বেশি) অভিন্ন অংশ নিয়ে গঠিত। এই প্রতিসাম্যকে অক্ষীয় প্রতিসাম্য বলা হয়। তাহলে একটি অক্ষ কি? এটি ঠিক সেই রেখা যা বরাবর চিত্রটিকে, তুলনামূলকভাবে বলতে গেলে, সমান অংশে "কাটা" যেতে পারে (এই ছবিতে প্রতিসাম্যের অক্ষটি সোজা):

এখন আমাদের টাস্ক ফিরে আসা যাক. আমরা জানি যে আমরা একটি বিন্দু খুঁজছি যা অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। তাহলে এই অক্ষটি প্রতিসাম্যের অক্ষ। এর মানে হল আমাদের এমন একটি বিন্দু চিহ্নিত করতে হবে যাতে অক্ষটি সেগমেন্টটিকে দুটি সমান অংশে কাটে। এই ধরনের একটি বিন্দু নিজেকে চিহ্নিত করার চেষ্টা করুন. এখন আমার সমাধানের সাথে তুলনা করুন:

এটা কি আপনার জন্য একই ভাবে কাজ করেছে? ফাইন! আমরা প্রাপ্ত পয়েন্টের অর্ডিনেটে আগ্রহী। এটি সমান

উত্তরঃ

এখন বলুন, কয়েক সেকেন্ড চিন্তা করার পর, অর্ডিনেটের সাপেক্ষে A বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর অবসিসা কী হবে? আপনার উত্তর কি? সঠিক উত্তর:।

সাধারণভাবে, নিয়মটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

অ্যাবসিসা অক্ষের সাপেক্ষে একটি বিন্দুর সাথে প্রতিসম একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে:

অর্ডিনেট অক্ষের সাপেক্ষে একটি বিন্দুর সাথে প্রতিসম একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে:

আচ্ছা, এখন এটা সম্পূর্ণ ভীতিকর টাস্ক: উৎপত্তির সাপেক্ষে বিন্দুর প্রতিসম বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন। আপনি আগে নিজের জন্য চিন্তা করুন, এবং তারপর আমার অঙ্কন তাকান!

উত্তরঃ

এখন সমান্তরালগ্রাম সমস্যা:

টাস্ক 5: পয়েন্টগুলি দেখা যাচ্ছে ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. সেই বিন্দুতে বা-ডি-অন- খুঁজুন।

আপনি এই সমস্যাটি দুটি উপায়ে সমাধান করতে পারেন: যুক্তি এবং সমন্বয় পদ্ধতি। আমি প্রথমে সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করব, এবং তারপর আমি আপনাকে বলব কিভাবে আপনি এটি ভিন্নভাবে সমাধান করতে পারেন।

এটা বেশ স্পষ্ট যে বিন্দুর অবসিসা সমান। (এটি বিন্দু থেকে অ্যাবসিসা অক্ষের দিকে আঁকা লম্বের উপর অবস্থিত)। আমাদের অর্ডিনেট খুঁজে বের করতে হবে। আসুন এই সত্যটির সুবিধা নেওয়া যাক যে আমাদের চিত্রটি একটি সমান্তরালগ্রাম, এর অর্থ এটি। দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা যাক:

আমরা বিন্দুটিকে অক্ষের সাথে সংযোগকারী লম্বকে কম করি। আমি একটি অক্ষর দিয়ে ছেদ বিন্দু নির্দেশ করব।

সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য সমান। (যেখানে আমরা এই বিন্দু নিয়ে আলোচনা করেছি সেই সমস্যাটি নিজেই খুঁজুন), তারপর আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাব:

একটি অংশের দৈর্ঘ্য তার অর্ডিনেটের সাথে হুবহু মিলে যায়।

উত্তরঃ .

আরেকটি সমাধান (আমি শুধু একটি ছবি দেব যা এটি চিত্রিত করে)

সমাধান অগ্রগতি:

1. আচার

2. বিন্দু এবং দৈর্ঘ্যের স্থানাঙ্ক খুঁজুন

3. প্রমাণ কর।

আরও একজন সেগমেন্ট দৈর্ঘ্য সমস্যা:

বিন্দু ত্রিভুজ উপরে প্রদর্শিত. এর মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য খুঁজুন, সমান্তরাল।

আপনার কি মনে আছে ত্রিভুজের মাঝের রেখাটি কী? তাহলে এই কাজটি আপনার জন্য প্রাথমিক। যদি আপনার মনে না থাকে, আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেব: একটি ত্রিভুজের মধ্যরেখা হল সেই রেখা যা বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযুক্ত করে। এটি ভিত্তির সমান্তরাল এবং এটির অর্ধেকের সমান।

ভিত্তি হল একটি সেগমেন্ট। আমাদের আগে এর দৈর্ঘ্য খুঁজতে হয়েছিল, এটি সমান। তারপর মাঝের লাইনের দৈর্ঘ্য অর্ধেক বড় এবং সমান।

উত্তরঃ .

মন্তব্য: এই সমস্যাটি অন্য উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে, যা আমরা একটু পরে চালু করব।

ইতিমধ্যে, এখানে আপনার জন্য কয়েকটি সমস্যা রয়েছে, সেগুলির সাথে অনুশীলন করুন, সেগুলি খুব সহজ, কিন্তু তারা আপনাকে সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করে আরও ভাল হতে সাহায্য করে!

1. পয়েন্টগুলি ট্রা-পে-টেশনের শীর্ষে। এর মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

2. পয়েন্ট এবং চেহারা ভের-শি-না-মি পা-রাল-লে-লো-গ্রাম-মা। সেই বিন্দুতে বা-ডি-অন- খুঁজুন।

3. কাটা থেকে দৈর্ঘ্য খুঁজুন, বিন্দু সংযোগ এবং

4. কো-অর্ডি-নাট প্লেনে রঙিন চিত্রের পিছনের ক্ষেত্রটি খুঁজুন।

5. না-চা-লে কো-অর-দি-নাতে কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। তার রা-দি-আমাদের খুঁজুন।

6. বৃত্তের খুঁজে-দি-তে রা-দি-উস, ডান-কোণ-নো-কা সম্পর্কে-সান-নয় বর্ণনা করুন, কোনো কিছুর শীর্ষে একটি কো-বা-দি-না-আপনি এত দায়িত্বশীল

সমাধান:

1. এটি জানা যায় যে একটি ট্র্যাপিজয়েডের মধ্যরেখা তার ভিত্তিগুলির অর্ধেক সমষ্টির সমান। বেস সমান, এবং বেস। তারপর

উত্তরঃ

2. এই সমস্যাটি সমাধান করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল যে (সমান্তরালগ্রাম নিয়ম) নোট করুন। ভেক্টরের স্থানাঙ্ক গণনা করা কঠিন নয়: . ভেক্টর যোগ করার সময়, স্থানাঙ্ক যোগ করা হয়। তারপর এটি স্থানাঙ্ক আছে. বিন্দুতেও এই স্থানাঙ্কগুলি রয়েছে, যেহেতু ভেক্টরের উৎপত্তি স্থানাঙ্কগুলির সাথে বিন্দু। আমরা অর্ডিনেটে আগ্রহী। সে সমান।

উত্তরঃ

3. আমরা অবিলম্বে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্র অনুযায়ী কাজ করি:

উত্তরঃ

4. ছবিটি দেখুন এবং আমাকে বলুন কোন দুটি চিত্রের মধ্যে ছায়াযুক্ত এলাকা "স্যান্ডউইচড"? এটি দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে স্যান্ডউইচ করা হয়। তারপর পছন্দসই চিত্রটির ক্ষেত্রফল বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিয়োগ করে ছোটটির ক্ষেত্রফলের সমান। একটি ছোট বর্গক্ষেত্রের দিকটি বিন্দুগুলির সাথে সংযোগকারী একটি অংশ এবং এর দৈর্ঘ্য

তারপর ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয়

আমরা একটি বৃহৎ বর্গক্ষেত্রের সাথে একই কাজ করি: এর পাশে একটি অংশ যা পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করে এবং এর দৈর্ঘ্য

তাহলে বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল

আমরা সূত্র ব্যবহার করে পছন্দসই চিত্রের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই:

উত্তরঃ

5. যদি একটি বৃত্তের উৎপত্তি কেন্দ্র হিসাবে থাকে এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে এর ব্যাসার্ধটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান হবে (একটি অঙ্কন করুন এবং আপনি বুঝতে পারবেন কেন এটি স্পষ্ট)। আসুন এই অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা যাক:

উত্তরঃ

6. এটা জানা যায় যে একটি আয়তক্ষেত্রকে ঘিরে বৃত্তের ব্যাসার্ধ তার তির্যকের অর্ধেক সমান। আসুন দুটি কর্ণের যে কোনোটির দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করি (সর্বশেষে, একটি আয়তক্ষেত্রে তারা সমান!)

উত্তরঃ

আচ্ছা, তুমি কি সব কিছু মানিয়ে নিয়েছ? এটা বের করা খুব কঠিন ছিল না, তাই না? এখানে শুধুমাত্র একটি নিয়ম রয়েছে - একটি ভিজ্যুয়াল ছবি তৈরি করতে সক্ষম হন এবং এটি থেকে সমস্ত ডেটা কেবল "পড়ুন"।

আমাদের খুব কম বাকি আছে। আক্ষরিক অর্থে আরও দুটি পয়েন্ট রয়েছে যা আমি আলোচনা করতে চাই।

আসুন এই সহজ সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করি। দুই পয়েন্ট এবং দেওয়া যাক. সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন। এই সমস্যার সমাধানটি নিম্নরূপ: বিন্দুটিকে পছন্দসই মধ্যম হতে দিন, তারপরে এর স্থানাঙ্ক রয়েছে:

অর্থাৎ: সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক = সেগমেন্টের প্রান্তের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির গাণিতিক গড়।

এই নিয়মটি খুবই সহজ এবং সাধারণত শিক্ষার্থীদের জন্য অসুবিধা সৃষ্টি করে না। আসুন দেখি কি কি সমস্যায় এবং কিভাবে এটি ব্যবহার করা হয়:

1. ফাইন্ড-ডি-তে বা-ডি-না-তু সে-রি-ডি-নি থেকে-কাট, সংযোগ-দ্যা-পয়েন্ট এবং

2. পয়েন্ট বিশ্বের শীর্ষ হতে প্রদর্শিত হবে. তার দিয়া-গো-না-লে-এর-দি-তে বা-দি-না-তু পয়েন্ট পার-রি-সে-চে-নিয়া খুঁজুন।

3. বৃত্তের কেন্দ্র খুঁজে-দি-তে abs-cis-সু, আয়তক্ষেত্রাকার-নো-কা সম্পর্কে-সান-নয় বর্ণনা করুন, কিছুর শীর্ষে কো-বা-দি-না-আপনি তাই-দায়িত্বপূর্ণ-কিন্তু।

সমাধান:

1. প্রথম সমস্যাটি কেবল একটি ক্লাসিক। আমরা সেগমেন্টের মাঝখানে নির্ধারণ করতে অবিলম্বে এগিয়ে যাই। এতে স্থানাঙ্ক রয়েছে। অর্ডিনেট সমান।

উত্তরঃ

2. এটা দেখতে সহজ যে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরাল (এমনকি একটি রম্বস!) আপনি পক্ষের দৈর্ঘ্য গণনা করে এবং একে অপরের সাথে তুলনা করে এটি নিজেই প্রমাণ করতে পারেন। আমি সমান্তরালগ্রাম সম্পর্কে কি জানি? এর কর্ণগুলিকে ছেদ বিন্দু দিয়ে অর্ধেক ভাগ করা হয়েছে! হ্যাঁ! তাহলে কর্ণের ছেদ বিন্দু কি? এই যে কোন কর্ণের মাঝখানে! আমি নির্বাচন করব, বিশেষ করে, তির্যক। তারপর বিন্দুর স্থানাঙ্ক আছে বিন্দুর অর্ডিনেট সমান।

উত্তরঃ

3. আয়তক্ষেত্রকে ঘিরে বৃত্তের কেন্দ্রটি কিসের সাথে মিলে যায়? এটি তার তির্যকগুলির ছেদ বিন্দুর সাথে মিলে যায়। আপনি একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সম্পর্কে কি জানেন? তারা সমান এবং ছেদ বিন্দু তাদের অর্ধেক ভাগ করে। কাজটি আগেরটি কমিয়ে দেওয়া হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, তির্যক ধরা যাক। তারপর যদি বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তাহলে মধ্যবিন্দু। আমি স্থানাঙ্ক খুঁজছি: অ্যাবসিসা সমান।

উত্তরঃ

এখন নিজে থেকে একটু অনুশীলন করুন, আমি প্রতিটি সমস্যার উত্তর দেব যাতে আপনি নিজেকে পরীক্ষা করতে পারেন।

1. বৃত্তের খুঁজে-দি-তে রা-দি-উস, ত্রি-কোণ-নো-কা সম্পর্কে-সান-নয় বর্ণনা করুন, কোনো কিছুর শীর্ষে একটি কো-অর-ডি-অন-ইউ আছে

2. বৃত্তের কেন্দ্রে-দি-তে বা-ডি-অন- খুঁজুন, ত্রিভুজ-নো-কা সম্পর্কে-সান-নয় বর্ণনা করুন, যার শীর্ষে স্থানাঙ্ক রয়েছে

3. কোন ধরনের রা-দি-উ-সা একটি বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত থাকা উচিত যাতে এটি ab-ciss অক্ষকে স্পর্শ করে?

4. অক্ষের রি-সে-চে-টেশনের সেই বিন্দুতে বা-ডি-অন-ডিআই-অন-কাট, সংযোগ-দ্যা-বিন্দু এবং

উত্তর:

সবকিছু কি সফল ছিল? আমি সত্যিই তাই আশা করি! এখন - শেষ ধাক্কা। এখন বিশেষভাবে সতর্ক থাকুন। আমি এখন যে উপাদানটি ব্যাখ্যা করব তা পার্ট B থেকে স্থানাঙ্ক পদ্ধতির সাধারণ সমস্যার সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়, সমস্যা C2-এর সর্বত্র পাওয়া যায়।

আমার কোন প্রতিশ্রুতি আমি এখনও রক্ষা করিনি? মনে রাখবেন আমি ভেক্টরে কোন অপারেশনগুলি চালু করার প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলাম এবং কোনটি শেষ পর্যন্ত প্রবর্তন করেছি? আপনি কি নিশ্চিত যে আমি কিছু ভুলিনি? ভুলে গেছি! আমি ভেক্টর গুণ মানে কি ব্যাখ্যা করতে ভুলে গেছি।

একটি ভেক্টরকে একটি ভেক্টর দ্বারা গুণ করার দুটি উপায় রয়েছে। নির্বাচিত পদ্ধতির উপর নির্ভর করে, আমরা বিভিন্ন প্রকৃতির বস্তু পাব:

ক্রস পণ্য বেশ চতুরভাবে করা হয়. এটি কীভাবে করা যায় এবং কেন এটি প্রয়োজন তা আমরা পরবর্তী নিবন্ধে আলোচনা করব। এবং এই একটিতে আমরা স্কেলার পণ্যের উপর ফোকাস করব।

দুটি উপায় রয়েছে যা আমাদের এটি গণনা করার অনুমতি দেয়:

আপনি অনুমান হিসাবে, ফলাফল একই হতে হবে! তাহলে আসুন প্রথমে প্রথম পদ্ধতিটি দেখি:

স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ডট পণ্য

খুঁজুন: - স্কেলার পণ্যের জন্য সাধারণত গৃহীত স্বরলিপি

গণনার সূত্রটি নিম্নরূপ:

অর্থাৎ, স্কেলার গুণফল = ভেক্টর স্থানাঙ্কের গুণফলের যোগফল!

উদাহরণ:

খোঁজ-দি-তে

সমাধান:

আসুন প্রতিটি ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করি:

আমরা সূত্র ব্যবহার করে স্কেলার পণ্য গণনা করি:

উত্তরঃ

দেখুন, জটিল কিছু নেই!

আচ্ছা, এখন নিজেই চেষ্টা করে দেখুন:

· শতাব্দীর একটি স্কেলার প্রো-iz-ve-de-nie খুঁজুন এবং

আপনি কি পরিচালনা করেছেন? হয়তো আপনি একটি ছোট ক্যাচ লক্ষ্য করেছেন? আসুন পরীক্ষা করা যাক:

ভেক্টর স্থানাঙ্ক, আগের সমস্যা হিসাবে! উত্তরঃ।

স্থানাঙ্কের পাশাপাশি, স্কেলার গুণফল গণনা করার আরেকটি উপায় রয়েছে, যথা, ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দিয়ে:

ভেক্টর এবং মধ্যে কোণ নির্দেশ করে।

অর্থাৎ, স্কেলার গুণফল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন গুণফলের সমান।

কেন আমাদের এই দ্বিতীয় সূত্রটি দরকার, যদি আমাদের কাছে প্রথমটি থাকে, যা অনেক সহজ, অন্তত এতে কোন কোসাইন নেই। এবং এটি প্রয়োজন যাতে প্রথম এবং দ্বিতীয় সূত্র থেকে আপনি এবং আমি ভেক্টরের মধ্যে কোণটি কীভাবে খুঁজে বের করতে পারি তা অনুমান করতে পারি!

আসুন তাহলে ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সূত্রটি মনে রাখবেন!

তারপর যদি আমি এই ডেটাটিকে স্কেলার পণ্য সূত্রে প্রতিস্থাপন করি, আমি পাই:

কিন্তু অন্যদিকে:

তাহলে তুমি আর আমি কি পেলাম? আমাদের এখন দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ গণনা করার জন্য একটি সূত্র আছে! কখনও কখনও এটি সংক্ষিপ্ততার জন্য এভাবেও লেখা হয়:

অর্থাৎ, ভেক্টরের মধ্যে কোণ গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

স্থানাঙ্কের মাধ্যমে স্কেলার পণ্য গণনা করুন
ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজুন এবং তাদের গুণ করুন
পয়েন্ট 1 এর ফলাফলকে বিন্দু 2 এর ফলাফল দিয়ে ভাগ করুন

আসুন উদাহরণ সহ অনুশীলন করি:

1. চোখের পাতা এবং মধ্যে কোণ খুঁজুন. গ্র্যাড-ডু-সাহে উত্তর দিন।

2. পূর্ববর্তী সমস্যার অবস্থার মধ্যে, ভেক্টরের মধ্যে কোসাইন খুঁজুন

আসুন এটি করি: আমি আপনাকে প্রথম সমস্যাটি সমাধান করতে সহায়তা করব এবং দ্বিতীয়টি নিজে করার চেষ্টা করব! রাজি? তাহলে শুরু করা যাক!

1. এই ভেক্টর আমাদের পুরানো বন্ধু. আমরা ইতিমধ্যে তাদের স্কেলার পণ্য গণনা করেছি এবং এটি সমান ছিল। তাদের স্থানাঙ্ক হল: , . তারপরে আমরা তাদের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই:

তারপরে আমরা ভেক্টরগুলির মধ্যে কোসাইন সন্ধান করি:

কোণের কোসাইন কত? এই কোণ।

উত্তরঃ

আচ্ছা, এখন দ্বিতীয় সমস্যাটি নিজেই সমাধান করুন, এবং তারপর তুলনা করুন! আমি শুধু একটি খুব সংক্ষিপ্ত সমাধান দেব:

2. স্থানাঙ্ক আছে, স্থানাঙ্ক আছে।

ভেক্টর এবং তারপরের মধ্যে কোণ হতে দিন

উত্তরঃ

এটি লক্ষ করা উচিত যে পরীক্ষার প্রশ্নপত্রের খ অংশে সরাসরি ভেক্টর এবং সমন্বয় পদ্ধতিতে সমস্যাগুলি খুবই বিরল। যাইহোক, C2 সমস্যাগুলির বেশিরভাগই একটি সমন্বয় ব্যবস্থা চালু করে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। সুতরাং আপনি এই নিবন্ধটিকে ভিত্তি হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন যার ভিত্তিতে আমরা বেশ চতুর নির্মাণগুলি তৈরি করব যা আমাদের জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করতে হবে।

সমন্বয় এবং ভেক্টর. গড় স্তর

আপনি এবং আমি সমন্বয় পদ্ধতি অধ্যয়ন অবিরত. শেষ অংশে, আমরা বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র তৈরি করেছি যা আপনাকে অনুমতি দেয়:

ভেক্টর স্থানাঙ্ক খুঁজুন
একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজুন (বিকল্পভাবে: দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব)
ভেক্টর যোগ এবং বিয়োগ. তাদের একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন
একটি অংশের মধ্যবিন্দু খুঁজুন
ভেক্টরের ডট পণ্য গণনা করুন
ভেক্টরের মধ্যে কোণ খুঁজুন

অবশ্যই, সমগ্র সমন্বয় পদ্ধতি এই 6 পয়েন্টের সাথে খাপ খায় না। এটি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির মতো একটি বিজ্ঞানকে অন্তর্নিহিত করে, যা আপনি বিশ্ববিদ্যালয়ে পরিচিত হয়ে উঠবেন। আমি শুধু একটি ভিত্তি তৈরি করতে চাই যা আপনাকে একটি একক রাজ্যে সমস্যাগুলি সমাধান করতে দেবে। পরীক্ষা আমরা পার্ট B-এর কাজগুলি নিয়ে কাজ করেছি। এখন সম্পূর্ণ নতুন স্তরে যাওয়ার সময়! এই নিবন্ধটি সেই C2 সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য একটি পদ্ধতিতে উত্সর্গীকৃত হবে যেখানে স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে স্যুইচ করা যুক্তিসঙ্গত হবে। এই যুক্তিসঙ্গততা নির্ধারণ করা হয় সমস্যাটিতে কী পাওয়া দরকার এবং কোন চিত্র দেওয়া হয়েছে তার দ্বারা। সুতরাং, আমি সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করব যদি প্রশ্নগুলি হয়:

দুটি সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজুন
একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজুন
দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন
একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব খুঁজুন
একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজুন
সরলরেখা থেকে সমতলের দূরত্ব নির্ণয় করুন
দুটি লাইনের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর

যদি সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া চিত্রটি বিপ্লবের একটি অংশ হয় (বল, সিলিন্ডার, শঙ্কু...)

সমন্বয় পদ্ধতির জন্য উপযুক্ত পরিসংখ্যান হল:

আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত
পিরামিড (ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার, ষড়ভুজাকার)

এছাড়াও আমার অভিজ্ঞতা থেকে এর জন্য সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করা অনুপযুক্ত:

ক্রস-বিভাগীয় এলাকা খোঁজা
দেহের আয়তনের গণনা

যাইহোক, এটি অবিলম্বে উল্লেখ করা উচিত যে সমন্বয় পদ্ধতির জন্য তিনটি "প্রতিকূল" পরিস্থিতি অনুশীলনে বেশ বিরল। বেশিরভাগ কাজে, এটি আপনার ত্রাণকর্তা হয়ে উঠতে পারে, বিশেষ করে যদি আপনি ত্রিমাত্রিক নির্মাণে খুব শক্তিশালী না হন (যা কখনও কখনও বেশ জটিল হতে পারে)।

আমি উপরে তালিকাভুক্ত সব পরিসংখ্যান কি? তারা আর সমতল নয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্র, একটি ত্রিভুজ, একটি বৃত্ত, কিন্তু বিশাল! তদনুসারে, আমাদের একটি দ্বিমাত্রিক নয়, একটি ত্রিমাত্রিক সমন্বয় ব্যবস্থা বিবেচনা করতে হবে। এটি নির্মাণ করা বেশ সহজ: শুধু অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট অক্ষ ছাড়াও, আমরা আরেকটি অক্ষ প্রবর্তন করব, প্রযোজ্য অক্ষ। চিত্রটি পরিকল্পিতভাবে তাদের আপেক্ষিক অবস্থান দেখায়:

এগুলি সবগুলিই পারস্পরিকভাবে লম্ব এবং এক বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে আমরা স্থানাঙ্কের উত্স বলব। আগের মতো, আমরা অ্যাবসিসা অক্ষ, অর্ডিনেট অক্ষ - , এবং প্রবর্তিত প্রয়োগ অক্ষ - বোঝাব।

আগে যদি সমতলের প্রতিটি বিন্দু দুটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট, তাহলে স্থানের প্রতিটি বিন্দু ইতিমধ্যে তিনটি সংখ্যা দ্বারা বর্ণিত হয়েছে - অ্যাবসিসা, অর্ডিনেট এবং অ্যাপ্লিকেট৷ যেমন:

তদনুসারে, একটি বিন্দুর অবসিসা সমান, অর্ডিনেট হল , এবং প্রয়োগকারী হল।

কখনও কখনও একটি বিন্দুর অ্যাবসিসাকে অ্যাবসিসা অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপও বলা হয়, অর্ডিনেট - অর্ডিনেট অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ, এবং অ্যাপ্লিকেশন - অ্যাপ্লিকেশন অক্ষের উপর একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ। তদনুসারে, যদি একটি বিন্দু দেওয়া হয়, তাহলে স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দু:

সমতলে একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ বলা হয়

একটি স্বাভাবিক প্রশ্ন জাগে: দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রের জন্য প্রাপ্ত সমস্ত সূত্র কি মহাকাশে বৈধ? উত্তর হল হ্যাঁ, তারা ফর্সা এবং একই চেহারা আছে। একটি ছোট বিস্তারিত জন্য. আমি মনে করি আপনি ইতিমধ্যে অনুমান করেছেন যে এটি কোনটি। সমস্ত সূত্রে আমাদের প্রয়োগ অক্ষের জন্য দায়ী আরও একটি শব্দ যোগ করতে হবে। যথা.

1. যদি দুটি পয়েন্ট দেওয়া হয়: , তাহলে:

ভেক্টর স্থানাঙ্ক:
দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব (বা ভেক্টর দৈর্ঘ্য)
সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে

2. যদি দুটি ভেক্টর দেওয়া হয়: এবং, তারপর:

তাদের স্কেলার পণ্য সমান:
ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন সমান:

যাইহোক, স্থান এত সহজ নয়. আপনি যেমন বুঝতে পেরেছেন, আরও একটি স্থানাঙ্ক যোগ করা এই স্থানটিতে "জীবিত" পরিসংখ্যানের বর্ণালীতে উল্লেখযোগ্য বৈচিত্র্যের পরিচয় দেয়। এবং আরও বর্ণনার জন্য আমাকে কিছু, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, সরলরেখার "সাধারণকরণ" প্রবর্তন করতে হবে। এই "সাধারণকরণ" একটি সমতল হবে. আপনি প্লেন সম্পর্কে কি জানেন? প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন, প্লেন কী? এটা বলা খুব কঠিন। যাইহোক, আমরা সবাই স্বজ্ঞাতভাবে এটি দেখতে কেমন তা কল্পনা করি:

মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এটি মহাকাশে আটকে থাকা এক ধরনের অন্তহীন "শীট"। "ইনফিনিটি" বোঝা উচিত যে প্লেনটি সমস্ত দিকে প্রসারিত, অর্থাৎ, এর ক্ষেত্রফল অসীমের সমান। যাইহোক, এই "হ্যান্ড-অন" ব্যাখ্যাটি প্লেনের গঠন সম্পর্কে সামান্যতম ধারণা দেয় না। এবং তিনিই আমাদের প্রতি আগ্রহী হবেন।

জ্যামিতির মৌলিক স্বতঃসিদ্ধগুলির মধ্যে একটি মনে রাখা যাক:

একটি সরলরেখা একটি সমতলে দুটি ভিন্ন পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় এবং শুধুমাত্র একটি:

অথবা মহাকাশে এর অ্যানালগ:

অবশ্যই, আপনি মনে রাখবেন কিভাবে দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি লাইনের সমীকরণ বের করা যায় তা মোটেও কঠিন নয়: যদি প্রথম বিন্দুতে স্থানাঙ্ক থাকে: এবং দ্বিতীয়টি, তাহলে লাইনের সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে:

আপনি এটি 7 ম শ্রেণীতে নিয়েছিলেন। মহাকাশে, একটি সরলরেখার সমীকরণটি এইরকম দেখায়: স্থানাঙ্ক সহ দুটি বিন্দু দেওয়া যাক: , তাহলে তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণটি হল:

উদাহরণস্বরূপ, একটি লাইন পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়:

এটা কিভাবে বোঝা উচিত? এটি নিম্নরূপ বোঝা উচিত: একটি বিন্দু একটি লাইনের উপর অবস্থিত যদি এর স্থানাঙ্কগুলি নিম্নলিখিত সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে:

আমরা একটি রেখার সমীকরণে খুব বেশি আগ্রহী হব না, তবে আমাদের একটি লাইনের দিক ভেক্টরের খুব গুরুত্বপূর্ণ ধারণার দিকে মনোযোগ দিতে হবে। - যে কোনো অ-শূন্য ভেক্টর একটি প্রদত্ত রেখায় বা এর সমান্তরালে অবস্থিত।

উদাহরণস্বরূপ, উভয় ভেক্টর একটি সরল রেখার দিক ভেক্টর। একটি রেখার উপর শুয়ে থাকা একটি বিন্দু হোক এবং এর দিক ভেক্টর হোক। তারপর লাইনের সমীকরণ নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে:

আবারও, আমি একটি সরল রেখার সমীকরণে খুব বেশি আগ্রহী হব না, তবে একটি দিক ভেক্টর কী তা আমার মনে রাখা দরকার! আবার: এটি একটি রেখা বা সমান্তরালে থাকা যেকোনো নন-জিরো ভেক্টর।

প্রত্যাহার করুন তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর উপর ভিত্তি করে একটি সমতলের সমীকরণএখন আর এত তুচ্ছ নয়, এবং হাই স্কুল কোর্সে এই সমস্যাটি সাধারণত সমাধান করা হয় না। কিন্তু বৃথা! এই কৌশলটি অত্যাবশ্যক যখন আমরা জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য সমন্বয় পদ্ধতি অবলম্বন করি। তবে ধরে নিলাম আপনি নতুন কিছু শিখতে আগ্রহী? অধিকন্তু, আপনি বিশ্ববিদ্যালয়ে আপনার শিক্ষককে প্রভাবিত করতে সক্ষম হবেন যখন এটি দেখা যাচ্ছে যে আপনি ইতিমধ্যেই এমন একটি কৌশল ব্যবহার করতে জানেন যা সাধারণত একটি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি কোর্সে অধ্যয়ন করা হয়। তো চলুন শুরু করা যাক।

একটি সমতলের সমীকরণ একটি সমতলের একটি সরল রেখার সমীকরণ থেকে খুব বেশি আলাদা নয়, যথা, এটির ফর্ম রয়েছে:

কিছু সংখ্যা (সবগুলো শূন্যের সমান নয়), কিন্তু ভেরিয়েবল, উদাহরণস্বরূপ: ইত্যাদি। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি সমতলের সমীকরণ একটি সরল রেখার সমীকরণ (লিনিয়ার ফাংশন) থেকে খুব বেশি আলাদা নয়। যাইহোক, আপনি এবং আমি তর্ক কি মনে আছে? আমরা বলেছিলাম যে আমাদের যদি তিনটি বিন্দু থাকে যা একই লাইনে থাকে না, তাহলে সমতলের সমীকরণটি তাদের থেকে অনন্যভাবে পুনর্গঠন করা যেতে পারে। কিন্তু কিভাবে? আমি আপনাকে এটা ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব.

যেহেতু সমতলের সমীকরণ হল:

এবং পয়েন্টগুলি এই সমতলের অন্তর্গত, তারপর সমতলের সমীকরণে প্রতিটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করার সময় আমাদের সঠিক পরিচয় পাওয়া উচিত:

এভাবে অজানা নিয়ে তিনটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে! দ্বিধা! যাইহোক, আপনি সর্বদা অনুমান করতে পারেন (এটি করার জন্য আপনাকে দ্বারা ভাগ করতে হবে)। এইভাবে, আমরা তিনটি অজানা সহ তিনটি সমীকরণ পাই:

যাইহোক, আমরা এই জাতীয় ব্যবস্থার সমাধান করব না, তবে এটি থেকে অনুসরণ করা রহস্যময় অভিব্যক্তিটি লিখব:

তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ

\[\বাম| (\ শুরু(অ্যারে)(*(20)(c))(x - (x_0))&(x_1) - (x_0))&(x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&(y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&(z_1) - (z_0))&(z_2) - (z_0)) \end(অ্যারে)) \right| = 0\]

থামো! এটা কি? কিছু খুব অস্বাভাবিক মডিউল! যাইহোক, আপনি আপনার সামনে যে বস্তুটি দেখছেন তার সাথে মডিউলের কোন সম্পর্ক নেই। এই বস্তুটিকে তৃতীয় ক্রম নির্ধারক বলা হয়। এখন থেকে, আপনি যখন সমতলে স্থানাঙ্কের পদ্ধতি নিয়ে কাজ করবেন, আপনি প্রায়শই এই একই নির্ধারকগুলির মুখোমুখি হবেন। একটি তৃতীয় আদেশ নির্ধারক কি? অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, এটি একটি সংখ্যা মাত্র। আমরা নির্ধারকের সাথে কোন নির্দিষ্ট সংখ্যার তুলনা করব তা বোঝার বাকি আছে।

আসুন প্রথমে আরও সাধারণ আকারে তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক লিখি:

কই কিছু সংখ্যা। তাছাড়া, প্রথম সূচক দ্বারা আমরা সারি সংখ্যা বোঝায় এবং সূচী দ্বারা আমরা কলাম সংখ্যা বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, এর অর্থ হল এই সংখ্যাটি দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় কলামের সংযোগস্থলে। আসুন নিম্নলিখিত প্রশ্নটি উত্থাপন করা যাক: আমরা ঠিক কীভাবে এই জাতীয় নির্ধারক গণনা করব? অর্থাৎ কোন নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে আমরা তুলনা করব? তৃতীয়-ক্রম নির্ধারকের জন্য একটি হিউরিস্টিক (ভিজ্যুয়াল) ত্রিভুজ নিয়ম রয়েছে, এটি দেখতে এইরকম:

প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির গুণফল (উপরের বাম কোণ থেকে নীচের ডানদিকে) উপাদানগুলির গুণফল প্রথম ত্রিভুজ "লম্ব" থেকে প্রধান তির্যক থেকে দ্বিতীয় ত্রিভুজ "লম্ব" গঠনকারী উপাদানগুলির গুণফল প্রধান তির্যক
গৌণ তির্যকের উপাদানগুলির গুণফল (উপরের ডান কোণ থেকে নীচের বাম দিকে) উপাদানগুলির গুণফল প্রথম ত্রিভুজ "লম্ব" থেকে গৌণ তির্যক থেকে দ্বিতীয় ত্রিভুজ "লম্ব" গঠনকারী উপাদানগুলির গুণফল গৌণ তির্যক
তারপর নির্ধারক ধাপে প্রাপ্ত মানগুলির মধ্যে পার্থক্যের সমান এবং

যদি আমরা এই সমস্ত সংখ্যায় লিখি, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পাই:

যাইহোক, আপনাকে এই ফর্মে গণনার পদ্ধতিটি মনে রাখতে হবে না; কেবল আপনার মাথায় ত্রিভুজগুলি রাখা এবং কী থেকে কী যোগ হয় এবং কী থেকে বিয়োগ করা হয় সে সম্পর্কে ধারণা রাখাই যথেষ্ট)।

একটি উদাহরণ দিয়ে ত্রিভুজ পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করা যাক:

1. নির্ধারক গণনা করুন:

আসুন আমরা কী যোগ করি এবং কী বিয়োগ করি তা বের করি:

শর্তাবলী যা একটি প্লাসের সাথে আসে:

এটি প্রধান তির্যক: উপাদানগুলির গুণফল সমান

প্রথম ত্রিভুজ, "প্রধান কর্ণের লম্ব: উপাদানগুলির গুণফল সমান

দ্বিতীয় ত্রিভুজ, "প্রধান কর্ণের লম্ব: উপাদানগুলির গুণফল সমান

তিনটি সংখ্যা যোগ করুন:

একটি বিয়োগ সঙ্গে আসা শর্তাবলী

এটি একটি পার্শ্ব তির্যক: উপাদানগুলির গুণফল সমান

প্রথম ত্রিভুজ, "গৌণ তির্যকের লম্ব: উপাদানগুলির গুণফল সমান

দ্বিতীয় ত্রিভুজ, "গৌণ কর্ণের লম্ব: উপাদানগুলির গুণফল সমান

তিনটি সংখ্যা যোগ করুন:

যা করা বাকি আছে তা হল "বিয়োগ" পদের যোগফল থেকে "প্লাস" পদের যোগফল বিয়োগ করা:

এইভাবে,

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক গণনা করার ক্ষেত্রে জটিল বা অতিপ্রাকৃত কিছুই নেই। ত্রিভুজ সম্পর্কে মনে রাখা এবং গাণিতিক ত্রুটিগুলি না করা গুরুত্বপূর্ণ। এখন এটি নিজেই গণনা করার চেষ্টা করুন:

আমরা পরীক্ষা করি:

প্রথম ত্রিভুজটি প্রধান কর্ণের লম্ব:
দ্বিতীয় ত্রিভুজ প্রধান তির্যকের সাথে লম্ব:
যোগ সহ পদের যোগফল:
প্রথম ত্রিভুজটি গৌণ কর্ণের লম্ব:
দ্বিতীয় ত্রিভুজটি পাশের কর্ণের লম্ব:
বিয়োগ সহ পদের যোগফল:
যোগ বিয়োগ সহ পদগুলির যোগফল বিয়োগ সহ পদগুলির যোগফল:

এখানে আরও কয়েকটি নির্ধারক রয়েছে, তাদের মানগুলি নিজেই গণনা করুন এবং উত্তরগুলির সাথে তাদের তুলনা করুন:

উত্তর:

আচ্ছা, সবকিছু কি মিলে গেল? দুর্দান্ত, তাহলে আপনি এগিয়ে যেতে পারেন! যদি অসুবিধা হয়, তবে আমার পরামর্শ হল: ইন্টারনেটে অনলাইনে নির্ধারক গণনা করার জন্য প্রচুর প্রোগ্রাম রয়েছে। আপনার যা দরকার তা হল আপনার নিজের নির্ধারক নিয়ে আসা, এটি নিজেই গণনা করা এবং তারপর প্রোগ্রামটি যা গণনা করে তার সাথে তুলনা করা। এবং তাই যতক্ষণ না ফলাফলগুলি মিলিত হতে শুরু করে। আমি নিশ্চিত এই মুহূর্ত আসতে বেশি সময় লাগবে না!

এখন আসুন নির্ধারকটিতে ফিরে যাই যা আমি লিখেছিলাম যখন আমি তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বিমানের সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলেছিলাম:

আপনার যা দরকার তা হল সরাসরি এর মান গণনা করা (ত্রিভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করে) এবং ফলাফলটি শূন্যে সেট করা। স্বাভাবিকভাবেই, যেহেতু এগুলি ভেরিয়েবল, আপনি কিছু এক্সপ্রেশন পাবেন যা তাদের উপর নির্ভর করে। এই অভিব্যক্তিটিই হবে একটি সমতলের সমীকরণ যা তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় যা একই সরলরেখায় থাকে না!

একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক:

1. বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ তৈরি করুন

আমরা এই তিনটি পয়েন্টের জন্য একটি নির্ধারক সংকলন করি:

আসুন সরল করা যাক:

এখন আমরা ত্রিভুজ নিয়ম ব্যবহার করে সরাসরি এটি গণনা করি:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(অ্যারে)) \ ডান \cdot 5 \cdot 6 - )\]

সুতরাং, বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ হল:

এখন একটি সমস্যা নিজেই সমাধান করার চেষ্টা করুন এবং তারপরে আমরা এটি নিয়ে আলোচনা করব:

2. বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ খুঁজুন

আচ্ছা, এখন সমাধান নিয়ে আলোচনা করা যাক:

আসুন একটি নির্ধারক তৈরি করি:

এবং এর মান গণনা করুন:

তারপর সমতল সমীকরণ ফর্ম আছে:

অথবা, হ্রাস করে, আমরা পাই:

এখন আত্মনিয়ন্ত্রণের জন্য দুটি কাজ:

তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সমীকরণ তৈরি করুন:

উত্তর:

সবকিছু কি মিলে গেল? আবার, যদি কিছু অসুবিধা থাকে তবে আমার পরামর্শ হল: আপনার মাথা থেকে তিনটি পয়েন্ট নিন (উচ্চ ডিগ্রী সম্ভাবনার সাথে তারা একই সরলরেখায় শুয়ে থাকবে না), তাদের উপর ভিত্তি করে একটি সমতল তৈরি করুন। এবং তারপর আপনি নিজেকে অনলাইন চেক. উদাহরণস্বরূপ, সাইটে:

যাইহোক, নির্ধারকগুলির সাহায্যে আমরা কেবল সমতলের সমীকরণ তৈরি করব না। মনে রাখবেন, আমি আপনাকে বলেছিলাম যে ভেক্টরের জন্য শুধুমাত্র ডট পণ্য সংজ্ঞায়িত করা হয় না। একটি ভেক্টর পণ্য, সেইসাথে একটি মিশ্র পণ্য আছে। এবং যদি দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল একটি সংখ্যা হয়, তবে দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল একটি ভেক্টর হবে এবং এই ভেক্টরটি প্রদত্তগুলির সাথে লম্ব হবে:

অধিকন্তু, এর মডিউলটি ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের সমান হবে এবং। একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব গণনা করতে আমাদের এই ভেক্টরের প্রয়োজন হবে। কিভাবে আমরা ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল গণনা করতে পারি এবং, যদি তাদের স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়? তৃতীয়-ক্রম নির্ধারক আবার আমাদের সাহায্যে আসে। যাইহোক, ভেক্টর পণ্য গণনা করার জন্য আমি অ্যালগরিদমে যাওয়ার আগে, আমাকে একটি ছোট ডিগ্রেশন করতে হবে।

এই ডিগ্রেশন বেসিস ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত।

তারা চিত্রে পরিকল্পিতভাবে দেখানো হয়েছে:

তাদের মৌলিক বলা হয় কেন? বিন্দু হল যে:

বা ছবিতে:

এই সূত্রের বৈধতা সুস্পষ্ট, কারণ:

ভেক্টর আর্টওয়ার্ক

এখন আমি ক্রস পণ্য প্রবর্তন শুরু করতে পারি:

দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল একটি ভেক্টর, যা নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে গণনা করা হয়:

এখন ক্রস পণ্য গণনা করার কিছু উদাহরণ দেওয়া যাক:

উদাহরণ 1: ভেক্টরের ক্রস গুণফল খুঁজুন:

সমাধান: আমি একটি নির্ধারক তৈরি করি:

এবং আমি এটি গণনা করি:

এখন ভিত্তি ভেক্টরের মাধ্যমে লেখা থেকে, আমি স্বাভাবিক ভেক্টর স্বরলিপিতে ফিরে যাব:

এইভাবে:

এখন এটি চেষ্টা করুন.

প্রস্তুত? আমরা পরীক্ষা করি:

এবং ঐতিহ্যগতভাবে দুই নিয়ন্ত্রণের জন্য কাজ:

নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির ভেক্টর গুণফল খুঁজুন:
নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলির ভেক্টর গুণফল খুঁজুন:

উত্তর:

তিনটি ভেক্টরের মিশ্র গুণফল

আমার প্রয়োজন হবে শেষ নির্মাণ তিনটি ভেক্টরের মিশ্র পণ্য। এটি, একটি স্কেলার মত, একটি সংখ্যা. এটি গণনা করার দুটি উপায় আছে। - একটি নির্ধারকের মাধ্যমে, - একটি মিশ্র পণ্যের মাধ্যমে।

যথা, আমাদের তিনটি ভেক্টর দেওয়া যাক:

তারপরে তিনটি ভেক্টরের মিশ্র গুণফল, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, গণনা করা যেতে পারে:

1. - অর্থাৎ মিশ্র গুণফল হল একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল এবং অন্য দুটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল।

উদাহরণস্বরূপ, তিনটি ভেক্টরের মিশ্র গুণফল হল:

ভেক্টর পণ্য ব্যবহার করে এটি নিজেই গণনা করার চেষ্টা করুন এবং নিশ্চিত করুন যে ফলাফল মিলছে!

এবং আবার, স্বাধীন সমাধানের জন্য দুটি উদাহরণ:

উত্তর:

একটি সমন্বয় সিস্টেম নির্বাচন করা

ঠিক আছে, এখন জ্যামিতিতে জটিল স্টেরিওমেট্রিক সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের কাছে জ্ঞানের সমস্ত প্রয়োজনীয় ভিত্তি রয়েছে। যাইহোক, সেগুলি সমাধানের জন্য উদাহরণ এবং অ্যালগরিদমগুলিতে সরাসরি এগিয়ে যাওয়ার আগে, আমি বিশ্বাস করি যে নিম্নলিখিত প্রশ্নে চিন্তা করা দরকারী হবে: ঠিক কীভাবে একটি নির্দিষ্ট চিত্রের জন্য একটি সমন্বয় সিস্টেম চয়ন করুন।সর্বোপরি, এটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের আপেক্ষিক অবস্থান এবং স্থানের চিত্রের পছন্দ যা শেষ পর্যন্ত গণনাগুলি কতটা কষ্টকর হবে তা নির্ধারণ করবে।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে এই বিভাগে আমরা নিম্নলিখিত পরিসংখ্যানগুলি বিবেচনা করি:

আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত
সোজা প্রিজম (ত্রিভুজাকার, ষড়ভুজ...)
পিরামিড (ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার)
টেট্রাহেড্রন (ত্রিভুজাকার পিরামিডের মতো)

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল বা ঘনক্ষেত্রের জন্য, আমি আপনাকে নিম্নলিখিত নির্মাণের সুপারিশ করছি:

অর্থাৎ, আমি চিত্রটিকে "কোণায়" রাখব। কিউব এবং প্যারালেলেপিপড খুব ভালো ফিগার। তাদের জন্য, আপনি সর্বদা সহজেই এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি (চিত্রে দেখানো হয়েছে)

তারপর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি নিম্নরূপ:

অবশ্যই, আপনাকে এটি মনে রাখার দরকার নেই, তবে একটি ঘনক্ষেত্র বা আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপকে কীভাবে অবস্থান করা যায় তা মনে রাখা বাঞ্ছনীয়।

সোজা প্রিজম

প্রিজম আরও ক্ষতিকারক চিত্র। এটি বিভিন্ন উপায়ে মহাকাশে অবস্থান করা যেতে পারে। যাইহোক, নিম্নলিখিত বিকল্পটি আমার কাছে সবচেয়ে গ্রহণযোগ্য বলে মনে হচ্ছে:

ত্রিভুজাকার প্রিজম:

অর্থাৎ, আমরা ত্রিভুজের একটি বাহুকে সম্পূর্ণরূপে অক্ষের উপর রাখি এবং শীর্ষবিন্দুগুলির একটি স্থানাঙ্কের উৎপত্তির সাথে মিলে যায়।

ষড়ভুজ প্রিজম:

অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দুগুলির একটি মূলের সাথে মিলে যায় এবং একটি বাহু অক্ষের উপর থাকে।

চতুর্ভুজ এবং ষড়ভুজ পিরামিড:

পরিস্থিতিটি একটি ঘনক্ষেত্রের মতো: আমরা স্থানাঙ্কের অক্ষগুলির সাথে ভিত্তির দুটি দিক সারিবদ্ধ করি এবং স্থানাঙ্কগুলির উত্সের সাথে একটি শীর্ষবিন্দুকে সারিবদ্ধ করি। শুধুমাত্র সামান্য অসুবিধা বিন্দুর স্থানাঙ্ক গণনা করা হবে.

একটি ষড়ভুজ পিরামিডের জন্য - একটি ষড়ভুজ প্রিজমের মতোই। মূল কাজটি আবার শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা হবে।

টেট্রাহেড্রন (ত্রিভুজাকার পিরামিড)

আমি একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের জন্য যেটি দিয়েছিলাম তার সাথে পরিস্থিতিটি খুব মিল: একটি শীর্ষবিন্দু উৎপত্তির সাথে মিলে যায়, একটি দিক স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর থাকে।

ঠিক আছে, এখন আপনি এবং আমি অবশেষে সমস্যার সমাধান শুরু করার কাছাকাছি। আমি নিবন্ধের একেবারে শুরুতে যা বলেছিলাম তা থেকে, আপনি নিম্নলিখিত উপসংহার টানতে পারেন: বেশিরভাগ C2 সমস্যাগুলি 2টি বিভাগে বিভক্ত: কোণ সমস্যা এবং দূরত্ব সমস্যা। প্রথমত, আমরা একটি কোণ খুঁজে বের করার সমস্যাগুলি দেখব। তারা ঘুরে ঘুরে নিম্নলিখিত বিভাগে বিভক্ত (জটিলতা বৃদ্ধির সাথে সাথে):

কোণ খুঁজে পেতে সমস্যা

দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করা
দুটি প্লেনের মধ্যে কোণ খোঁজা

আসুন এই সমস্যাগুলিকে ক্রমানুসারে দেখি: দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করে শুরু করা যাক। ঠিক আছে, মনে রাখবেন, আপনি এবং আমি এর আগে একই উদাহরণগুলি সমাধান করিনি? আপনার কি মনে আছে, আমাদের আগেও একই রকম কিছু ছিল... আমরা দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ খুঁজছিলাম। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই, যদি দুটি ভেক্টর দেওয়া হয়: এবং, তাহলে সম্পর্ক থেকে তাদের মধ্যে কোণ পাওয়া যায়:

এখন আমাদের লক্ষ্য দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করা। আসুন "ফ্ল্যাট ছবি" দেখুন:

দুটি সরলরেখা ছেদ করলে আমরা কয়টি কোণ পেতাম? মাত্র কয়েকটি জিনিস। সত্য, তাদের মধ্যে শুধুমাত্র দুটি অসম, অন্যগুলি তাদের সাথে উল্লম্ব (এবং তাই তাদের সাথে মিলে যায়)। তাহলে দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি কোন কোণ বিবেচনা করা উচিত: বা? এখানে নিয়ম হল: দুটি সরলরেখার মধ্যে কোণ সর্বদা ডিগ্রীর বেশি নয়. অর্থাৎ, দুটি কোণ থেকে আমরা সর্বদা ক্ষুদ্রতম ডিগ্রি পরিমাপ সহ কোণটি বেছে নেব। অর্থাৎ এই ছবিতে দুটি সরলরেখার মধ্যে কোণ সমান। দুটি কোণের ক্ষুদ্রতম খুঁজে বের করতে প্রতিবার বিরক্ত না হওয়ার জন্য, ধূর্ত গণিতবিদরা একটি মডুলাস ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন। সুতরাং, দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

একজন মনোযোগী পাঠক হিসাবে আপনার একটি প্রশ্ন থাকা উচিত ছিল: কোথায়, ঠিক, আমরা কি এই সংখ্যাগুলি পাই যা আমাদের একটি কোণের কোসাইন গণনা করতে হবে? উত্তর: আমরা তাদের রেখার দিক ভেক্টর থেকে নেব! সুতরাং, দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

আমরা সূত্র 1 প্রয়োগ করি।

অথবা আরো বিস্তারিতভাবে:

আমরা প্রথম সরলরেখার দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি
আমরা দ্বিতীয় সরলরেখার দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি
আমরা তাদের স্কেলার পণ্যের মডুলাস গণনা করি
আমরা প্রথম ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজছি
আমরা দ্বিতীয় ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজছি
বিন্দু 4 এর ফলাফল 5 এর ফলাফল দিয়ে গুণ করুন
আমরা বিন্দু 3 এর ফলাফলকে বিন্দু 6 এর ফলাফল দিয়ে ভাগ করি। আমরা লাইনের মধ্যে কোণের কোসাইন পাই
যদি এই ফলাফল আমাদের সঠিকভাবে কোণ গণনা করার অনুমতি দেয়, আমরা এটি সন্ধান করি
অন্যথায় আমরা আর্ক কোসাইন দিয়ে লিখি

ঠিক আছে, এখন সমস্যাগুলির দিকে এগিয়ে যাওয়ার সময়: আমি প্রথম দুটির সমাধানটি বিস্তারিতভাবে প্রদর্শন করব, আমি অন্যটির সমাধানটি সংক্ষেপে উপস্থাপন করব, এবং শেষ দুটি সমস্যার উত্তর আমি আপনাকে অবশ্যই বহন করতে হবে; তাদের জন্য সমস্ত হিসেব নিজেই বের করুন।

কাজ:

1. ডান tet-ra-ed-re-এ, tet-ra-ed-ra এর উচ্চতা এবং মাঝের দিকের মধ্যে কোণটি খুঁজুন।

2. ডান-হাতের ছয়-কোণে পাই-রা-মি-দে, একশত ওস-নো-ভা-নিয়াস সমান, এবং পাশের প্রান্তগুলি সমান, রেখাগুলির মধ্যে কোণ খুঁজুন এবং।

3. ডান চার-কয়লা পাই-রা-মি-ডির সমস্ত প্রান্তের দৈর্ঘ্য একে অপরের সমান। সরল রেখার মধ্যে কোণটি খুঁজুন এবং যদি কাটা থেকে - আপনি প্রদত্ত পাই-রা-মি-ডি-র সাথে থাকেন, বিন্দুটি সে-রি-ডি-এর বো-কো-সেকেন্ড পাঁজরের উপর থাকে

4. ঘনক্ষেত্রের প্রান্তে একটি বিন্দু রয়েছে যাতে সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি খুঁজে বের করতে পারে এবং

5. বিন্দু - ঘনক্ষেত্রের প্রান্তে সরল রেখা এবং মধ্যে কোণ খুঁজুন।

এটা কোন কাকতালীয় ঘটনা নয় যে আমি এই ক্রমে কাজগুলো সাজিয়েছি। যখন আপনি এখনও স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে নেভিগেট শুরু করার সময় পাননি, আমি নিজেই সবচেয়ে "সমস্যাযুক্ত" পরিসংখ্যানগুলি বিশ্লেষণ করব এবং আমি আপনাকে সবচেয়ে সহজ ঘনকটি মোকাবেলা করার জন্য ছেড়ে দেব! ধীরে ধীরে আপনাকে শিখতে হবে কিভাবে সমস্ত পরিসংখ্যান নিয়ে কাজ করতে হয় আমি বিষয় থেকে বিষয়ের জটিলতা বাড়াব।

আসুন সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করি:

1. একটি টেট্রাহেড্রন আঁকুন, এটিকে স্থানাঙ্ক সিস্টেমে রাখুন যেমন আমি আগে পরামর্শ দিয়েছি। যেহেতু টেট্রাহেড্রন নিয়মিত, তার সমস্ত মুখ (বেস সহ) নিয়মিত ত্রিভুজ। যেহেতু আমাদের পাশের দৈর্ঘ্য দেওয়া হয়নি, আমি এটিকে সমান হিসাবে নিতে পারি। আমি মনে করি আপনি বুঝতে পেরেছেন যে কোণটি আসলে আমাদের টেট্রাহেড্রন কতটা "প্রসারিত" তার উপর নির্ভর করবে না? আমি টেট্রাহেড্রনে উচ্চতা এবং মধ্যমাও আঁকব। পথ ধরে, আমি এর ভিত্তি আঁকব (এটি আমাদের জন্যও কার্যকর হবে)।

আমাকে এবং এর মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে হবে। আমরা কি জানি? আমরা শুধুমাত্র বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানি। এর মানে হল যে আমাদের পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে হবে। এখন আমরা মনে করি: একটি বিন্দু হল ত্রিভুজের উচ্চতা (বা দ্বিখণ্ডক বা মধ্যক) ছেদ করার বিন্দু। এবং একটি বিন্দু একটি উত্থাপিত বিন্দু. বিন্দুটি সেগমেন্টের মাঝখানে। তারপর অবশেষে আমাদের খুঁজে বের করতে হবে: পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক: .

চলুন সহজ জিনিস দিয়ে শুরু করা যাক: একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক। চিত্রটি দেখুন: এটি স্পষ্ট যে একটি বিন্দুর প্রয়োগ শূন্যের সমান (বিন্দুটি সমতলে অবস্থিত)। এর অর্ডিনেট সমান (যেহেতু এটি মধ্যমা)। এর অ্যাবসিসা খুঁজে পাওয়া আরও কঠিন। যাইহোক, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে এটি সহজেই করা যায়: একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। এর কর্ণ সমান, এবং এর একটি পা সমান তারপর:

অবশেষে আমাদের আছে: .

এখন বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা যাক। এটা স্পষ্ট যে এর প্রয়োগ আবার শূন্যের সমান, এবং এর অর্ডিনেট বিন্দুর সমান, অর্থাৎ। এর অ্যাবসিসা খুঁজে বের করা যাক। আপনি যদি মনে রাখবেন যে এটি বেশ তুচ্ছভাবে করা হয় ছেদ বিন্দু দ্বারা একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা অনুপাতে বিভক্ত, উপরে থেকে গণনা. যেহেতু: , তাহলে বিন্দুটির প্রয়োজনীয় অবসিসা, সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান, সমান: . সুতরাং, বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল:

আসুন বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করি। এটা স্পষ্ট যে এর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের সাথে মিলে যায়। এবং আবেদনকারীটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান। - এটি ত্রিভুজের একটি পা। একটি ত্রিভুজের কর্ণ একটি অংশ - একটি পা। আমি বোল্ডে হাইলাইট করেছি এমন কারণগুলির জন্য এটি চাওয়া হয়েছে:

বিন্দুটি সেগমেন্টের মাঝখানে। তারপরে আমাদের সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কের সূত্রটি মনে রাখতে হবে:

এটাই, এখন আমরা দিক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে পারি:

ঠিক আছে, সবকিছু প্রস্তুত: আমরা সূত্রে সমস্ত ডেটা প্রতিস্থাপন করি:

এইভাবে,

উত্তরঃ

আপনার এই ধরনের "ভীতিকর" উত্তর দ্বারা ভয় পাওয়া উচিত নয়: C2 সমস্যার জন্য এটি সাধারণ অভ্যাস। আমি বরং এই অংশে "সুন্দর" উত্তর দিয়ে অবাক হব। এছাড়াও, আপনি যেমন লক্ষ্য করেছেন, আমি কার্যত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য এবং একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সম্পত্তি ছাড়া অন্য কিছু অবলম্বন করিনি। অর্থাৎ, স্টেরিওমেট্রিক সমস্যা সমাধানের জন্য, আমি ন্যূনতম স্টেরিওমেট্রি ব্যবহার করেছি। এতে লাভ আংশিকভাবে "নিভিয়ে গেছে" বরং কষ্টকর গণনার মাধ্যমে। কিন্তু তারা বেশ অ্যালগরিদমিক!

2. আসুন আমরা একটি নিয়মিত ষড়ভুজাকার পিরামিডের সাথে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পাশাপাশি এর ভিত্তি চিত্রিত করি:

আমরা লাইন এবং মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে হবে. সুতরাং, আমাদের কাজটি পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য নেমে আসে: . আমরা একটি ছোট অঙ্কন ব্যবহার করে শেষ তিনটির স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করব এবং বিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাব। অনেক কাজ আছে, কিন্তু আমাদের শুরু করতে হবে!

ক) স্থানাঙ্ক: এটা স্পষ্ট যে এর প্রয়োগ এবং অর্ডিনেট শূন্যের সমান। এর অ্যাবসিসা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। হায়রে, এতে আমরা কেবল কর্ণকে জানি, যা সমান। আমরা পা খুঁজে বের করার চেষ্টা করব (কারণ এটা স্পষ্ট যে পায়ের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য আমাদের বিন্দুর অবসিসা দেবে)। কিভাবে আমরা এটা খুঁজতে পারেন? আসুন আমরা পিরামিডের গোড়ায় কী ধরণের চিত্র রাখি? এটি একটি নিয়মিত ষড়ভুজ। এর মানে কি? এর মানে হল সব বাহু এবং সব কোণ সমান। আমাদের এমন একটি কোণ খুঁজে বের করতে হবে। কোন ধারণা? অনেক ধারণা আছে, কিন্তু একটি সূত্র আছে:

একটি নিয়মিত n-gon এর কোণের সমষ্টি .

এইভাবে, একটি নিয়মিত ষড়ভুজের কোণের সমষ্টি ডিগ্রীর সমান। তারপর প্রতিটি কোণ সমান:

ছবিটা আবার দেখি। এটা স্পষ্ট যে রেখাংশটি কোণের দ্বিখণ্ডক। তারপর কোণটি ডিগ্রির সমান। তারপর:

তাহলে কোথা থেকে।

এইভাবে, স্থানাঙ্ক আছে

খ) এখন আমরা সহজেই বিন্দুটির স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে পারি: .

গ) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। যেহেতু এর অ্যাবসিসা সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যায়, তাই এটি সমান। অর্ডিনেট খুঁজে পাওয়াও খুব কঠিন নয়: যদি আমরা বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করি এবং সরলরেখার ছেদ বিন্দুটিকে এইভাবে চিহ্নিত করি, বলুন, . (এটি নিজেই সহজ নির্মাণ করুন)। তারপর এইভাবে, বি বিন্দুর অর্ডিনেটটি অংশগুলির দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান। ত্রিভুজ আবার দেখি। তারপর

তারপর থেকে বিন্দু স্থানাঙ্ক আছে

d) এখন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করা যাক। আয়তক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন এবং প্রমাণ করুন যে এইভাবে, বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল:

e) এটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে অবশেষ। এটা স্পষ্ট যে এর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেট বিন্দুর অ্যাবসিসা এবং অর্ডিনেটের সাথে মিলে যায়। এর আবেদন খুঁজে বের করা যাক. তারপর থেকে। একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। সমস্যা শর্ত অনুযায়ী, একটি পার্শ্ব প্রান্ত. এটি আমার ত্রিভুজের কর্ণ। তাহলে পিরামিডের উচ্চতা একটি পা।

তারপর পয়েন্টে স্থানাঙ্ক রয়েছে:

ঠিক আছে, এটাই, আমার কাছে আগ্রহের সব পয়েন্টের স্থানাঙ্ক রয়েছে। আমি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি:

আমরা এই ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ খুঁজছি:

উত্তরঃ

আবার, এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমি একটি নিয়মিত এন-গনের কোণের যোগফল, সেইসাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজের কোসাইন এবং সাইনের সংজ্ঞার সূত্র ছাড়া অন্য কোন পরিশীলিত কৌশল ব্যবহার করিনি।

3. যেহেতু আমাদের আবার পিরামিডের প্রান্তের দৈর্ঘ্য দেওয়া হয়নি, তাই আমি সেগুলিকে একের সমান বিবেচনা করব। সুতরাং, যেহেতু সমস্ত প্রান্তগুলি, এবং কেবল পার্শ্বগুলি নয়, একে অপরের সমান, তাই পিরামিড এবং আমার গোড়ায় একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে এবং পাশের মুখগুলি নিয়মিত ত্রিভুজ। আসুন সমস্যাটির পাঠ্যে প্রদত্ত সমস্ত ডেটা লক্ষ্য করে এই জাতীয় একটি পিরামিড, সেইসাথে একটি সমতলে এর ভিত্তি আঁকি:

আমরা এবং এর মধ্যে কোণ খুঁজছি। যখন আমি পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্ক অনুসন্ধান করব তখন আমি খুব সংক্ষিপ্ত গণনা করব। আপনাকে সেগুলি "ডিসিফার" করতে হবে:

খ) - সেগমেন্টের মাঝখানে। এর স্থানাঙ্ক:

গ) আমি একটি ত্রিভুজে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে রেখাংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাব। আমি একটি ত্রিভুজ মধ্যে Pythagorean উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি খুঁজে পেতে পারেন.

স্থানাঙ্ক:

d) - সেগমেন্টের মাঝখানে। এর স্থানাঙ্কগুলি হল

e) ভেক্টর স্থানাঙ্ক

চ) ভেক্টর স্থানাঙ্ক

g) কোণ খুঁজছি:

একটি ঘনক হল সবচেয়ে সহজ চিত্র। আমি নিশ্চিত আপনি নিজেই এটি বের করতে পারবেন। 4 এবং 5 নম্বর সমস্যার উত্তরগুলি নিম্নরূপ:

একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ খোঁজা

ওয়েল, সহজ পাজল জন্য সময় শেষ! এখন উদাহরণগুলি আরও জটিল হবে। একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজে পেতে, আমরা নিম্নরূপ এগিয়ে যাব:

তিনটি বিন্দু ব্যবহার করে আমরা সমতলের একটি সমীকরণ তৈরি করি
,
একটি তৃতীয় আদেশ নির্ধারক ব্যবহার করে।
দুটি বিন্দু ব্যবহার করে, আমরা সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি:
সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ গণনা করতে আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করি:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই সূত্রটি আমরা দুটি সরল রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য যে সূত্রটি ব্যবহার করি তার অনুরূপ। ডান দিকের কাঠামোটি কেবল একই, এবং বাম দিকে আমরা এখন সাইন খুঁজছি, আগের মতো কোসাইন নয়। ঠিক আছে, একটি বাজে কাজ যোগ করা হয়েছিল - সমতলের সমীকরণ অনুসন্ধান করা।

আসুন দেরি না করি সমাধান উদাহরণ:

1. প্রধান-কিন্তু-ভা-নি-এম সরাসরি প্রিজম-আমরা সমান-দরিদ্র-রেন-ত্রিভুজ-ডাক-নাম-আপনার-এবং-প্রিজম-আমরা সমান। সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজুন

2. পশ্চিম থেকে একটি আয়তাকার par-ral-le-le-pi-pe-de-এ সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণটি খুঁজুন

3. একটি ডান ষড়ভুজ প্রিজমে, সমস্ত প্রান্ত সমান। সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজুন।

4. পরিচিত পাঁজরের os-no-va-ni-em সহ ডানদিকে ত্রিভুজাকার pi-ra-mi-de একটি কোণার সন্ধান করুন, ob-ra-zo-van -Flat বেস এবং সোজা, ধূসর রঙের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে পাঁজর এবং

5. একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি ডান চতুর্ভুজাকার pi-ra-mi-dy এর সমস্ত প্রান্তের দৈর্ঘ্য একে অপরের সমান। বিন্দুটি pi-ra-mi-dy's প্রান্তের মাঝখানে থাকলে সরলরেখা এবং সমতলের মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন।

আবার, আমি প্রথম দুটি সমস্যা বিস্তারিতভাবে সমাধান করব, তৃতীয়টি সংক্ষিপ্তভাবে, এবং শেষ দুটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য ছেড়ে দেব। এছাড়াও, আপনাকে ইতিমধ্যে ত্রিভুজাকার এবং চতুর্ভুজাকার পিরামিডগুলির সাথে মোকাবিলা করতে হয়েছে, তবে এখনও প্রিজমের সাথে নয়।

সমাধান:

1. আসুন একটি প্রিজম, সেইসাথে এর ভিত্তি চিত্রিত করি। আসুন এটিকে সমন্বয় সিস্টেমের সাথে একত্রিত করি এবং সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া সমস্ত ডেটা নোট করি:

অনুপাতের সাথে কিছু অ-সম্মতির জন্য আমি ক্ষমাপ্রার্থী, কিন্তু সমস্যা সমাধানের জন্য এটি আসলে এত গুরুত্বপূর্ণ নয়। প্লেনটি কেবল আমার প্রিজমের "পিছনের প্রাচীর"। এটি কেবল অনুমান করাই যথেষ্ট যে এই জাতীয় সমতলের সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে:

যাইহোক, এটি সরাসরি দেখানো যেতে পারে:

আসুন এই সমতলে নির্বিচারে তিনটি পয়েন্ট বেছে নেওয়া যাক: উদাহরণস্বরূপ, .

সমতলের সমীকরণ তৈরি করা যাক:

আপনার জন্য ব্যায়াম: এই নির্ধারকটি নিজেই গণনা করুন। আপনি কি সফল? তাহলে সমতলের সমীকরণটি এরকম দেখায়:

অথবা শুধু

এইভাবে,

উদাহরণটি সমাধান করার জন্য, আমাকে সরলরেখার দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে হবে। যেহেতু বিন্দুটি স্থানাঙ্কের উত্সের সাথে মিলে যায়, তাই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কেবল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায় এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করি।

এটি করার জন্য, একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। শীর্ষবিন্দু থেকে উচ্চতা (মধ্য ও দ্বিখণ্ডক নামেও পরিচিত) আঁকুন। যেহেতু, বিন্দুর অর্ডিনেট সমান। এই বিন্দুর অ্যাবসিসা খুঁজে পেতে, আমাদের সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করতে হবে। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে আমাদের আছে:

তারপর পয়েন্টে স্থানাঙ্ক রয়েছে:

একটি বিন্দু একটি "উত্থাপিত" বিন্দু:

তারপর ভেক্টর স্থানাঙ্ক হল:

উত্তরঃ

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় মৌলিকভাবে কঠিন কিছু নেই। প্রকৃতপক্ষে, প্রিজমের মতো একটি চিত্রের "সরলতা" দ্বারা প্রক্রিয়াটি আরও কিছুটা সরলীকৃত হয়। এখন পরবর্তী উদাহরণে যাওয়া যাক:

2. একটি সমান্তরাল পাইপ আঁকুন, এটিতে একটি সমতল এবং একটি সরল রেখা আঁকুন এবং আলাদাভাবে এর নীচের ভিত্তিটিও আঁকুন:

প্রথমত, আমরা সমতলের সমীকরণটি খুঁজে পাই: এতে থাকা তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক:

(প্রথম দুটি স্থানাঙ্ক একটি সুস্পষ্ট উপায়ে প্রাপ্ত হয়, এবং আপনি সহজেই বিন্দু থেকে ছবি থেকে শেষ স্থানাঙ্কটি খুঁজে পেতে পারেন)। তারপরে আমরা সমতলের সমীকরণটি রচনা করি:

আমরা গণনা করি:

আমরা গাইডিং ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি: এটা স্পষ্ট যে এর স্থানাঙ্কগুলি বিন্দুর স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়, তাই না? কিভাবে স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে? এগুলি হল বিন্দুর স্থানাঙ্ক, এক দ্বারা প্রযোজ্য অক্ষ বরাবর উত্থিত! . তারপরে আমরা পছন্দসই কোণটি সন্ধান করি:

উত্তরঃ

3. একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিড আঁকুন এবং তারপরে একটি সমতল এবং একটি সরল রেখা আঁকুন।

এখানে একটি সমতল আঁকতেও সমস্যাযুক্ত, এই সমস্যাটি সমাধান করার কথা উল্লেখ না করা, কিন্তু সমন্বয় পদ্ধতিটি পাত্তা দেয় না! এর বহুমুখিতাই এর প্রধান সুবিধা!

বিমানটি তিনটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়: . আমরা তাদের স্থানাঙ্ক খুঁজছি:

1)। শেষ দুটি পয়েন্টের জন্য স্থানাঙ্কগুলি নিজেই খুঁজে বের করুন। এর জন্য আপনাকে হেক্সাগোনাল পিরামিড সমস্যা সমাধান করতে হবে!

2) আমরা সমতলের সমীকরণ তৈরি করি:

আমরা ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি: (ত্রিভুজাকার পিরামিড সমস্যা আবার দেখুন!)

3) একটি কোণ খুঁজছেন:

উত্তরঃ

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই কাজগুলিতে অতিপ্রাকৃতভাবে কঠিন কিছু নেই। আপনি শুধু শিকড় সঙ্গে খুব সতর্কতা অবলম্বন করা প্রয়োজন। আমি শুধুমাত্র শেষ দুটি সমস্যার উত্তর দেব:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সমস্যা সমাধানের কৌশল সর্বত্র একই: প্রধান কাজ হল শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা এবং তাদের নির্দিষ্ট সূত্রগুলিতে প্রতিস্থাপন করা। কোণ গণনা করার জন্য আমাদের এখনও আরও একটি শ্রেণির সমস্যা বিবেচনা করতে হবে, যথা:

দুটি প্লেনের মধ্যে কোণ গণনা করা হচ্ছে

সমাধান অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হবে:

তিনটি পয়েন্ট ব্যবহার করে আমরা প্রথম সমতলের সমীকরণটি সন্ধান করি:
অন্য তিনটি পয়েন্ট ব্যবহার করে আমরা দ্বিতীয় সমতলের সমীকরণটি সন্ধান করি:
আমরা সূত্র প্রয়োগ করি:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সূত্রটি আগের দুটির সাথে খুব মিল, যার সাহায্যে আমরা সরলরেখা এবং একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণগুলি সন্ধান করেছি। তাই এটি মনে রাখা আপনার পক্ষে কঠিন হবে না। আসুন কাজগুলির বিশ্লেষণে এগিয়ে যাই:

1. ডান ত্রিভুজাকার প্রিজমের গোড়ার দিক সমান, এবং পাশের মুখের ডায়া-গো-নাল সমান। প্রিজমের অক্ষের সমতল এবং সমতলের মধ্যে কোণ খুঁজুন।

2. ডান চার-কোণে পাই-রা-মি-দে, যার সব প্রান্ত সমান, সমতল এবং সমতল হাড়ের মধ্যে কোণের সাইন খুঁজুন, প্রতি-পেন-ডি-কু- বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। lyar-কিন্তু সোজা।

3. একটি নিয়মিত চার-কোণা প্রিজমে, ভিত্তির বাহুগুলি সমান, এবং পাশের প্রান্তগুলি সমান। প্রান্ত থেকে একটি বিন্দু আছে-মি-চে-অন যাতে। সমতল এবং মধ্যে কোণ খুঁজুন

4. একটি ডান চতুর্ভুজাকার প্রিজমে, ভিত্তির বাহুগুলি সমান এবং পাশের প্রান্তগুলি সমান। বিন্দু থেকে প্রান্তে একটি বিন্দু আছে যাতে সমতল এবং মধ্যে কোণ খুঁজুন।

5. একটি ঘনক্ষেত্রে, সমতল এবং মধ্যবর্তী কোণের কো-সি-নাস খুঁজুন

সমস্যার সমাধান:

1. আমি একটি নিয়মিত (বেসে একটি সমবাহু ত্রিভুজ) ত্রিভুজাকার প্রিজম আঁকি এবং সমস্যা বিবৃতিতে প্রদর্শিত সমতলগুলিকে চিহ্নিত করি:

আমাদের দুটি সমতলের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে: বেসের সমীকরণটি তুচ্ছ: আপনি তিনটি বিন্দু ব্যবহার করে সংশ্লিষ্ট নির্ধারক রচনা করতে পারেন, কিন্তু আমি এখনই সমীকরণটি রচনা করব:

এখন আসুন সমীকরণটি খুঁজে বের করা যাক বিন্দুতে স্থানাঙ্ক বিন্দু রয়েছে - যেহেতু ত্রিভুজের মধ্যমা এবং উচ্চতা, তাই এটি ত্রিভুজে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে সহজেই পাওয়া যায়। তারপর বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে: আসুন বিন্দুর প্রয়োগ খুঁজে বের করি এটি করার জন্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন

তারপরে আমরা নিম্নলিখিত স্থানাঙ্কগুলি পাই: আমরা সমতলের সমীকরণ রচনা করি।

আমরা প্লেনগুলির মধ্যে কোণ গণনা করি:

উত্তরঃ

2. একটি অঙ্কন তৈরি করা:

সবচেয়ে কঠিন বিষয় হল এটি কী ধরনের রহস্যময় বিমান, বিন্দুর মধ্য দিয়ে লম্বভাবে চলে যাচ্ছে। আচ্ছা, মূল কথা হলো, এটা কী? প্রধান জিনিস মনোযোগী হয়! আসলে, রেখাটি লম্ব। সরলরেখাটিও লম্ব। তারপরে এই দুটি লাইনের মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলটি লাইনের সাথে লম্ব হবে এবং, যাইহোক, বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে। এই প্লেনটিও পিরামিডের চূড়া দিয়ে যায়। তারপর কাঙ্খিত প্লেন- আর প্লেনটি ইতিমধ্যেই আমাদের দেওয়া হয়েছে। আমরা পয়েন্টের স্থানাঙ্ক খুঁজছি।

আমরা বিন্দুর মাধ্যমে বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই। ছোট ছবি থেকে সহজেই অনুমান করা যায় যে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি নিম্নরূপ হবে: পিরামিডের শীর্ষের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে এখন আর কী পাওয়া যায়? আপনাকে এর উচ্চতাও গণনা করতে হবে। এটি একই পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে করা হয়: প্রথমে এটি প্রমাণ করুন (ছোট ত্রিভুজগুলি থেকে বেসে একটি বর্গ গঠন করে)। শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে:

এখন সবকিছু প্রস্তুত: শীর্ষস্থানীয় স্থানাঙ্ক:

আমরা সমতলের সমীকরণ রচনা করি:

আপনি ইতিমধ্যেই নির্ধারক গণনার বিশেষজ্ঞ। অসুবিধা ছাড়াই আপনি পাবেন:

অথবা অন্যথায় (যদি আমরা উভয় পক্ষকে দুইটির মূল দ্বারা গুণ করি)

এখন সমতলের সমীকরণটি খুঁজে বের করা যাক:

(আপনি ভুলে যাননি যে আমরা কীভাবে সমতলের সমীকরণ পাই, তাই না? আপনি যদি বুঝতে না পারেন যে এই বিয়োগটি কোথা থেকে এসেছে, তাহলে সমতলের সমীকরণের সংজ্ঞায় ফিরে যান! এটি সর্বদা তার আগে পরিণত হয়েছিল আমার বিমানটি মূলের ছিল!)

আমরা নির্ধারক গণনা করি:

(আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে সমতলের সমীকরণটি পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনের সমীকরণের সাথে মিলে যায় এবং! কেন তা নিয়ে চিন্তা করুন!)

এখন কোণ গণনা করা যাক:

আমাদের সাইন খুঁজে বের করতে হবে:

উত্তরঃ

3. কৌতুকপূর্ণ প্রশ্ন: আপনি একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রিজম কি মনে করেন? এটা আপনি ভাল জানেন যে শুধু একটি সমান্তরাল পাইপড! এখনই একটি অঙ্কন করা যাক! এমনকি আপনাকে বেসটি আলাদাভাবে চিত্রিত করতে হবে না, এটি এখানে খুব কমই কাজে লাগে:

সমতল, যেমন আমরা আগে উল্লেখ করেছি, একটি সমীকরণ আকারে লেখা হয়েছে:

এখন একটি প্লেন তৈরি করা যাক

আমরা অবিলম্বে সমতলের সমীকরণ তৈরি করি:

একটি কোণ খুঁজছেন:

এখন শেষ দুটি সমস্যার উত্তর:

ঠিক আছে, এখন একটু বিরতি নেওয়ার সময়, কারণ আপনি এবং আমি দুর্দান্ত এবং একটি দুর্দান্ত কাজ করেছি!

স্থানাঙ্ক এবং ভেক্টর। উন্নত স্তর

এই প্রবন্ধে আমরা আপনার সাথে আরও একটি শ্রেণির সমস্যা নিয়ে আলোচনা করব যা সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে: দূরত্ব গণনা সমস্যা। যথা, আমরা নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে বিবেচনা করব:

ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে দূরত্বের গণনা।

ক্রমবর্ধমান অসুবিধার জন্য আমি এই অ্যাসাইনমেন্টগুলি অর্ডার করেছি। এটি খুঁজে পাওয়া সহজ হতে সক্রিয় আউট বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব, এবং সবচেয়ে কঠিন জিনিস খুঁজে পাওয়া হয় ক্রসিং লাইনের মধ্যে দূরত্ব. যদিও, অবশ্যই, কিছুই অসম্ভব! আসুন দেরি না করি এবং অবিলম্বে প্রথম শ্রেণীর সমস্যাগুলি বিবেচনা করতে এগিয়ে যাই:

একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব গণনা করা

এই সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের কী দরকার?

1. পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

সুতরাং, যত তাড়াতাড়ি আমরা সমস্ত প্রয়োজনীয় ডেটা পাই, আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করি:

আপনার ইতিমধ্যেই জানা উচিত যে আমরা আগের সমস্যাগুলি থেকে কীভাবে সমতলের সমীকরণ তৈরি করি যা আমি শেষ অংশে আলোচনা করেছি। চলুন সরাসরি কাজ পেতে. স্কিমটি নিম্নরূপ: 1, 2 - আমি আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করি এবং কিছু বিস্তারিতভাবে, 3, 4 - শুধুমাত্র উত্তর, আপনি নিজেই সমাধানটি চালিয়ে যান এবং তুলনা করুন। শুরু করা যাক!

কাজ:

1. একটি ঘনক দেওয়া. ঘনক্ষেত্রের প্রান্তের দৈর্ঘ্য সমান। সে-রে-দি-না থেকে কাটা থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজুন

2. ডান চার-কয়লা পাই-রা-মি-হ্যাঁ দিলে, পাশের দিকটি ভিত্তিটির সমান। বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব খুঁজুন যেখানে - প্রান্তে se-re-di-.

3. ওস-নো-ভা-নি-এম সহ ডান ত্রিভুজাকার পাই-রা-মি-ডে, পাশের প্রান্তটি সমান এবং ওস-নো-ভানিয়ার উপর শত-রো- সমান। উপরে থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজুন।

4. একটি ডান ষড়ভুজাকার প্রিজমে, সমস্ত প্রান্ত সমান। একটি বিন্দু থেকে একটি সমতল দূরত্ব খুঁজুন।

সমাধান:

1. একক প্রান্ত দিয়ে একটি ঘনক আঁকুন, একটি অংশ এবং একটি সমতল তৈরি করুন, একটি অক্ষর দিয়ে সেগমেন্টের মাঝখানে নির্দেশ করুন

প্রথমে, আসুন সহজটি দিয়ে শুরু করি: বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন। তারপর থেকে (সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি মনে রাখবেন!)

এখন আমরা তিনটি বিন্দু ব্যবহার করে সমতলের সমীকরণ রচনা করি

\[\বাম| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(অ্যারে)) \right| = 0\]

এখন আমি দূরত্ব খুঁজে পেতে শুরু করতে পারি:

2. আমরা একটি অঙ্কন দিয়ে আবার শুরু করি যার উপর আমরা সমস্ত ডেটা চিহ্নিত করি!

একটি পিরামিডের জন্য, এটির ভিত্তি আলাদাভাবে আঁকা উপযোগী হবে।

এমনকি আমি যে তার থাবা দিয়ে মুরগির মতো আঁকছি তাও আমাদের এই সমস্যাটি সহজে সমাধান করতে বাধা দেবে না!

এখন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পাওয়া সহজ

যেহেতু বিন্দুর স্থানাঙ্ক, তাহলে

2. যেহেতু বিন্দু a-এর স্থানাঙ্কগুলি সেগমেন্টের মাঝখানে

কোনো সমস্যা ছাড়াই, আমরা সমতলের আরও দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে পারি আমরা সমতলের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করি এবং এটিকে সরলীকরণ করি:

\[\বাম| (\বাম| (\begin(অ্যারে)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3))(2))\end(অ্যারে)) \right|) \right| = 0\]

যেহেতু বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে: , আমরা দূরত্ব গণনা করি:

উত্তর (খুব বিরল!):

আচ্ছা, আপনি কি এটা বের করেছেন? আমার কাছে মনে হচ্ছে এখানে সবকিছুই আগের অংশে যে উদাহরণগুলো দেখেছি তার মতোই প্রযুক্তিগত। সুতরাং আমি নিশ্চিত যে আপনি যদি সেই উপাদানটি আয়ত্ত করে থাকেন, তবে বাকি দুটি সমস্যা সমাধান করা আপনার পক্ষে কঠিন হবে না। আমি শুধু আপনাকে উত্তর দেব:

সরলরেখা থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা

আসলে এখানে নতুন কিছু নেই। কিভাবে একটি সরলরেখা এবং একটি সমতল একে অপরের সাপেক্ষে অবস্থান করা যেতে পারে? তাদের শুধুমাত্র একটি সম্ভাবনা রয়েছে: ছেদ করা, অথবা একটি সরল রেখা সমতলের সমান্তরাল। এই সরলরেখাটি যে সমতলে ছেদ করে তার সাথে একটি সরল রেখা থেকে দূরত্ব কত বলে আপনি মনে করেন? এটা আমার মনে হয় যে এখানে স্পষ্ট যে এই ধরনের দূরত্ব শূন্যের সমান। একটি আকর্ষণীয় কেস না.

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে জটিল: এখানে দূরত্ব ইতিমধ্যেই শূন্য নয়। যাইহোক, যেহেতু লাইনটি সমতলের সমান্তরাল, তাই লাইনের প্রতিটি বিন্দু এই সমতল থেকে সমান দূরত্বে রয়েছে:

এইভাবে:

এর মানে হল যে আমার কাজটি আগেরটি কমিয়ে দেওয়া হয়েছে: আমরা একটি সরল রেখায় যেকোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজছি, সমতলের সমীকরণ খুঁজছি এবং বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব গণনা করছি। প্রকৃতপক্ষে, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় এই ধরনের কাজগুলি অত্যন্ত বিরল। আমি শুধুমাত্র একটি সমস্যা খুঁজে বের করতে পেরেছি, এবং এতে ডেটা এমন ছিল যে সমন্বয় পদ্ধতিটি এটির জন্য খুব বেশি প্রযোজ্য ছিল না!

এখন আসুন অন্য সমস্যাগুলির আরও অনেক গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণিতে যাওয়া যাক:

একটি লাইন থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব গণনা করা

আমাদের কি দরকার?

1. আমরা যে বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজছি তার স্থানাঙ্ক:

2. একটি লাইনে থাকা যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক

3. সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক

আমরা কি সূত্র ব্যবহার করি?

এই ভগ্নাংশের হর বলতে আপনার কাছে স্পষ্ট হওয়া উচিত: এটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য। এটি একটি খুব চতুর অংক! অভিব্যক্তিটির অর্থ ভেক্টরের ভেক্টর পণ্যের মডুলাস (দৈর্ঘ্য) এবং ভেক্টর পণ্য কীভাবে গণনা করা যায়, আমরা কাজের পূর্ববর্তী অংশে অধ্যয়ন করেছি। আপনার জ্ঞান রিফ্রেশ করুন, আমাদের এখন এটির খুব প্রয়োজন হবে!

সুতরাং, সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ হবে:

1. আমরা যে বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজছি তার স্থানাঙ্কগুলি খুঁজছি:

2. আমরা লাইনের যেকোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজছি যেখানে আমরা দূরত্ব খুঁজছি:

3. একটি ভেক্টর গঠন করুন

4. একটি সরল রেখার একটি নির্দেশক ভেক্টর তৈরি করুন

5. ভেক্টর পণ্য গণনা করুন

6. আমরা ফলাফল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজছি:

7. দূরত্ব গণনা করুন:

আমাদের অনেক কাজ আছে, এবং উদাহরণগুলি বেশ জটিল হবে! তাই এখন আপনার সমস্ত মনোযোগ ফোকাস করুন!

1. একটি শীর্ষ সহ একটি ডান ত্রিভুজাকার পাই-রা-মি-দা দেওয়া হয়েছে। পাই-রা-মি-ডির ভিত্তিতে শত-রো- সমান, তুমি সমান। ধূসর প্রান্ত থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজুন, যেখানে পয়েন্ট এবং ধূসর প্রান্ত এবং পশুচিকিৎসা থেকে।

2. প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য এবং সরল-কোণ-নো-গো পার-রাল-লে-লে-পি-পে-দা সেই অনুযায়ী সমান এবং উপরের থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজুন

3. একটি ডান ষড়ভুজ প্রিজমে, সমস্ত প্রান্ত সমান, একটি বিন্দু থেকে একটি সরল রেখার দূরত্ব খুঁজুন

সমাধান:

1. আমরা একটি ঝরঝরে অঙ্কন করি যার উপর আমরা সমস্ত ডেটা চিহ্নিত করি:

আমাদের অনেক কাজ আছে! প্রথমে, আমি শব্দে বর্ণনা করতে চাই আমরা কী খুঁজব এবং কী ক্রমে:

1. পয়েন্টের স্থানাঙ্ক এবং

2. পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

3. পয়েন্টের স্থানাঙ্ক এবং

4. ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং

5. তাদের ক্রস পণ্য

6. ভেক্টর দৈর্ঘ্য

7. ভেক্টর পণ্যের দৈর্ঘ্য

8. থেকে দূরত্ব

ওয়েল, আমাদের সামনে আমাদের অনেক কাজ আছে! এর আমাদের হাতা গুটানো সঙ্গে এটি পেতে!

1. পিরামিডের উচ্চতার স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি শূন্যের সমান, এবং এর অর্ডিনেটটি তার দৈর্ঘ্যের দৈর্ঘ্যের সমান একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা, এটি অনুপাতে বিভক্ত, শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে, এখান থেকে। অবশেষে, আমরা স্থানাঙ্ক পেয়েছি:

পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

2. - সেগমেন্টের মাঝখানে

3. - সেগমেন্টের মাঝখানে

সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু

4. স্থানাঙ্ক

ভেক্টর স্থানাঙ্ক

5. ভেক্টর পণ্য গণনা করুন:

6. ভেক্টর দৈর্ঘ্য: প্রতিস্থাপনের সবচেয়ে সহজ উপায় হল সেগমেন্টটি ত্রিভুজের মধ্যরেখা, যার মানে এটি বেসের অর্ধেক সমান। তাই।

7. ভেক্টর পণ্যের দৈর্ঘ্য গণনা করুন:

8. অবশেষে, আমরা দূরত্ব খুঁজে পাই:

ওহ, এটাই! আমি আপনাকে সৎভাবে বলব: ঐতিহ্যগত পদ্ধতি (নির্মাণের মাধ্যমে) ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান করা অনেক দ্রুত হবে। কিন্তু এখানে আমি একটি রেডিমেড অ্যালগরিদমে সবকিছু কমিয়ে দিয়েছি! আমি মনে করি সমাধান অ্যালগরিদম আপনার কাছে পরিষ্কার? অতএব, আমি আপনাকে বাকি দুটি সমস্যার সমাধান করতে বলব। এর উত্তর তুলনা করা যাক?

আবার, আমি পুনরাবৃত্তি করছি: সমন্বয় পদ্ধতি অবলম্বন না করে নির্মাণের মাধ্যমে এই সমস্যাগুলি সমাধান করা সহজ (দ্রুত)। আমি সমাধানের এই পদ্ধতিটি শুধুমাত্র আপনাকে একটি সর্বজনীন পদ্ধতি দেখানোর জন্য প্রদর্শন করেছি যা আপনাকে "কিছুই নির্মাণ শেষ না করতে" অনুমতি দেয়।

অবশেষে, শেষ শ্রেণীর সমস্যা বিবেচনা করুন:

ছেদকারী লাইনের মধ্যে দূরত্ব গণনা করা হচ্ছে

এখানে সমস্যা সমাধানের অ্যালগরিদম আগেরটির মতোই হবে। আমাদের যা আছে:

3. প্রথম এবং দ্বিতীয় লাইনের বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী যেকোনো ভেক্টর:

আমরা কিভাবে লাইনের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে পারি?

সূত্রটি নিম্নরূপ:

লব হল মিশ্র পণ্যের মডুলাস (আমরা এটি পূর্ববর্তী অংশে প্রবর্তন করেছি), এবং হর হল, আগের সূত্রের মতো (সরলরেখার দিক ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের মডুলাস, যার মধ্যে দূরত্ব আমরা খুঁজছেন)।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দেব

তারপর দূরত্বের সূত্রটিকে এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

এটি একটি নির্ধারক দ্বারা বিভক্ত একটি নির্ধারক! যদিও, সত্যি বলতে, আমার এখানে রসিকতা করার সময় নেই! এই সূত্রটি আসলে খুব কষ্টকর এবং বেশ জটিল গণনার দিকে নিয়ে যায়। আমি যদি আপনি হতাম, আমি এটিকে শেষ অবলম্বন হিসাবে অবলম্বন করতাম!

আসুন উপরের পদ্ধতিটি ব্যবহার করে কয়েকটি সমস্যা সমাধান করার চেষ্টা করি:

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজাকার প্রিজমে, যার সমস্ত প্রান্ত সমান, সরলরেখা এবং মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করুন।

2. একটি ডান ত্রিভুজাকার প্রিজম দেওয়া হলে, বেসের সমস্ত প্রান্তগুলি শরীরের পাঁজরের মধ্য দিয়ে যাওয়া অংশের সমান এবং সে-রি-ডি-ওয়েল পাঁজরগুলি একটি বর্গক্ষেত্র। সরলরেখা এবং মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন

আমি প্রথমটি নির্ধারণ করি, এবং এটির ভিত্তিতে আপনি দ্বিতীয়টি নির্ধারণ করেন!

1. আমি একটি প্রিজম আঁকি এবং সরলরেখা চিহ্নিত করি এবং

বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক: তারপর

পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

ভেক্টর স্থানাঙ্ক

পয়েন্ট স্থানাঙ্ক

ভেক্টর স্থানাঙ্ক

\[\left(B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(অ্যারে))\\(\begin(অ্যারে)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(অ্যারে))\end(অ্যারে)) \right| = frac((\sqrt 3))(2)\]

আমরা ভেক্টর এবং ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর পণ্য গণনা করি

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(অ্যারে)\\\begin(অ্যারে)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

এখন আমরা এর দৈর্ঘ্য গণনা করি:

উত্তরঃ

এখন দ্বিতীয় কাজটি সাবধানে সম্পন্ন করার চেষ্টা করুন। এর উত্তর হবে: .

স্থানাঙ্ক এবং ভেক্টর। সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং মৌলিক সূত্র

একটি ভেক্টর একটি নির্দেশিত সেগমেন্ট। - ভেক্টরের শুরু, - ভেক্টরের শেষ।
একটি ভেক্টর বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

পরম মানভেক্টর - ভেক্টর প্রতিনিধিত্বকারী অংশের দৈর্ঘ্য। হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে।

ভেক্টর স্থানাঙ্ক:

,
ভেক্টরের শেষ কোথায় \displaystyle a।

ভেক্টরের সমষ্টি: .

ভেক্টরের পণ্য:

ভেক্টরের ডট পণ্য:

ভেক্টরের স্কেলার গুণফল তাদের পরম মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের সমান:

আচ্ছা, টপিক শেষ। আপনি যদি এই লাইনগুলি পড়ছেন তবে এর অর্থ আপনি খুব শান্ত।

কারণ মাত্র 5% মানুষ নিজেরাই কিছু আয়ত্ত করতে সক্ষম। আর আপনি যদি শেষ পর্যন্ত পড়েন, তাহলে আপনি এই ৫% এর মধ্যে আছেন!

এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।

আপনি এই বিষয়ে তত্ত্ব বুঝতে পেরেছেন. এবং, আমি আবার বলছি, এটা... এটা শুধুই সুপার! আপনি ইতিমধ্যে আপনার সহকর্মীদের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠ থেকে ভাল.

সমস্যা হল এটি যথেষ্ট নাও হতে পারে...

কিসের জন্য?

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা সফলভাবে পাস করার জন্য, বাজেটে কলেজে প্রবেশের জন্য এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, জীবনের জন্য।

আমি তোমাকে কিছুতেই বোঝাবো না, শুধু একটা কথা বলব...

যারা ভাল শিক্ষা পেয়েছে তারা যারা এটি পায়নি তাদের তুলনায় অনেক বেশি উপার্জন করে। এই পরিসংখ্যান.

তবে এটি মূল বিষয় নয়।

প্রধান জিনিস হল যে তারা আরও সুখী (এমন গবেষণা আছে)। সম্ভবত কারণ তাদের সামনে আরও অনেক সুযোগ খুলে যায় এবং জীবন উজ্জ্বল হয়ে ওঠে? জানি না...

কিন্তু নিজের জন্য চিন্তা করুন ...

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় অন্যদের চেয়ে ভালো হতে এবং শেষ পর্যন্ত... সুখী হতে নিশ্চিত হতে কী লাগে?

এই বিষয়ে সমস্যা সমাধান করে আপনার হাত পেতে.

পরীক্ষার সময় আপনাকে তত্ত্বের জন্য জিজ্ঞাসা করা হবে না।

আপনার প্রয়োজন হবে সময়ের বিপরীতে সমস্যার সমাধান করুন.

এবং, আপনি যদি সেগুলি সমাধান না করে থাকেন (অনেক!), আপনি অবশ্যই কোথাও একটি বোকা ভুল করবেন বা আপনার কাছে সময় থাকবে না।

এটি খেলাধুলার মতো - নিশ্চিতভাবে জেতার জন্য আপনাকে এটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করতে হবে।

আপনি যেখানে চান সংগ্রহ খুঁজুন, অগত্যা সমাধান, বিশদ বিশ্লেষণ সহএবং সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন, সিদ্ধান্ত নিন!

আপনি আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করতে পারেন (ঐচ্ছিক) এবং আমরা অবশ্যই তাদের সুপারিশ করি।

আমাদের কাজগুলি ব্যবহার করে আরও ভাল করার জন্য, আপনি বর্তমানে যে YouClever পাঠ্যপুস্তকটি পড়ছেন তার আয়ু বাড়াতে আপনাকে সাহায্য করতে হবে।

কিভাবে? দুটি বিকল্প আছে:

এই নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজগুলি আনলক করুন -
পাঠ্যপুস্তকের সমস্ত 99টি নিবন্ধে সমস্ত লুকানো কাজের অ্যাক্সেস আনলক করুন - একটি পাঠ্যবই কিনুন - 899 RUR

হ্যাঁ, আমাদের পাঠ্যপুস্তকে এই জাতীয় 99টি নিবন্ধ রয়েছে এবং সমস্ত কাজের অ্যাক্সেস এবং সেগুলির মধ্যে লুকানো সমস্ত পাঠ্য অবিলম্বে খোলা যেতে পারে।

সাইটের পুরো জীবনের জন্য সমস্ত লুকানো কাজগুলিতে অ্যাক্সেস দেওয়া হয়।

এবং উপসংহারে...

আপনি আমাদের কাজ পছন্দ না হলে, অন্যদের খুঁজুন. শুধু তত্ত্বে থামবেন না।

"বুঝলাম" এবং "আমি সমাধান করতে পারি" সম্পূর্ণ ভিন্ন দক্ষতা। আপনি উভয় প্রয়োজন.

সমস্যা খুঁজুন এবং তাদের সমাধান!

সুতরাং, পরিষেবা:

ভেক্টরগুলির সাথে কাজ করার জন্য পরিষেবাটি আপনাকে সম্পাদন করতে দেয় ভেক্টরের উপর ক্রিয়াকলাপ.
আপনার যদি আরও জটিল রূপান্তর সঞ্চালনের জন্য একটি কাজ থাকে, তাহলে এই পরিষেবাটি একটি কনস্ট্রাক্টর হিসাবে ব্যবহার করা উচিত।
উদাহরণ. ভেক্টর ডেটা কএবং খ, আমাদের ভেক্টর খুঁজে বের করতে হবে সঙ্গে = ক + 3*খ,