Da biste se osjećali samopouzdano na časovima geometrije i uspješno rješavali probleme, nije dovoljno naučiti formule. Prije svega, morate ih razumjeti. Neproduktivno je bojati se, a kamoli mrziti formule. U ovom članku, na pristupačnom jeziku, analizirat će se različiti načini pronalaženja površine trapeza. Radi boljeg razumijevanja odgovarajućih pravila i teorema, obratićemo pažnju na njegova svojstva. To će vam pomoći da shvatite kako pravila funkcioniraju i kada trebate primijeniti određene formule.

Definisanje trapeza

Koja je to cifra općenito? Trapez je mnogougao od četiri ugla s dvije paralelne stranice. Druge dvije strane trapeza mogu se nagnuti pod različitim uglovima. Njegove paralelne strane nazivaju se bazama, a za neparalelne strane koristi se naziv "strane" ili "butine". Takve figure su prilično česte u svakodnevnom životu. Konture trapeza mogu se vidjeti u siluetama odjeće, predmeta interijera, namještaja, posuđa i mnogih drugih. Trapez je različitih tipova: svestrani, jednakokraki i pravougaoni. Njihove vrste i svojstva ćemo detaljnije analizirati kasnije u članku.

Trapezoidna svojstva

Zadržimo se ukratko na svojstvima ove figure. Zbir uglova susednih obe strane je uvek 180°. Treba napomenuti da svi uglovi trapeza iznose 360°. Trapez ima koncept srednje linije. Ako spojite sredine strana sa segmentom, to će biti srednja linija. Označava ga m. Srednja linija ima važna svojstva: uvijek je paralelna s bazama (sjetimo se da su baze također paralelne jedna s drugom) i jednaka je njihovom poluzbiru:

Ova definicija se mora naučiti i razumjeti, jer je ona ključ za rješavanje mnogih problema!

Na trapezu uvijek možete spustiti visinu do baze. Visina je okomita, često označena simbolom h, koja se povlači iz bilo koje tačke na jednoj bazi do druge baze ili njenog produžetka. Srednja linija i visina pomoći će vam da pronađete područje trapeza. Ovakvi problemi su najčešći u školskom predmetu geometrije i redovno se pojavljuju među kontrolnim i ispitnim radovima.

Najjednostavnije formule za područje trapeza

Analizirajmo dvije najpopularnije i najjednostavnije formule koje se koriste za pronalaženje površine trapeza. Dovoljno je pomnožiti visinu sa polovinom zbira baza da lako pronađete ono što tražite:

S = h * (a + b) / 2.

U ovoj formuli, a, b označavaju bazu trapeza, h - visinu. Radi lakše percepcije, u ovom članku, znaci množenja su označeni simbolom (*) u formulama, iako se u službenim referentnim knjigama znak množenja obično izostavlja.

Pogledajmo primjer.

Dato je: trapez sa dvije osnove jednake 10 i 14 cm, visina je 7 cm. Kolika je površina trapeza?

Hajde da analiziramo rešenje ovog problema. Koristeći ovu formulu, prvo morate pronaći polovinu baza: (10 + 14) / 2 = 12. Dakle, poluzbir je jednak 12 cm. Sada pomnožimo poluzbir sa visinom: 12 * 7 = 84. Željena stavka je pronađena. Odgovor: površina trapeza je 84 kvadratnih metara. cm.

Druga poznata formula kaže: površina trapeza jednaka je proizvodu srednje linije i visine trapeza. To, u stvari, slijedi iz prethodnog koncepta srednje linije: S = m * h.

Korištenje dijagonala za proračune

Drugi način da pronađete površinu trapeza zapravo nije tako težak. Povezan je sa svojim dijagonalama. Prema ovoj formuli, da biste pronašli površinu, morate pomnožiti poluproizvod njegovih dijagonala (d 1 d 2) sa sinusom ugla između njih:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Razmotrimo problem koji pokazuje primjenu ove metode. Dato je: trapez dužine dijagonale 8 odnosno 13 cm.Ugao a između dijagonala je 30°. Pronađite površinu trapeza.

Rješenje. Koristeći gornju formulu, lako je izračunati šta je potrebno. Kao što znate, sin 30 ° je 0,5. Dakle, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Odgovor: površina je 52 kvadratnih metara. cm.

Tražimo područje jednakokračnog trapeza

Trapez može biti jednakokračan (jednakokračan). Njegove stranice su iste I uglovi kod osnova su jednaki, što je dobro ilustrovano na slici. Jednakokraki trapez ima ista svojstva kao i običan trapez, plus niz posebnih. Krug se može opisati oko jednakokračnog trapeza, a u njega se može upisati kružnica.

Koje su metode za izračunavanje površine takve figure? Metoda u nastavku će zahtijevati mnogo proračuna. Da biste ga koristili, morate znati vrijednosti sinusa (sin) i kosinusa (cos) ugla na bazi trapeza. Za njihovo izračunavanje potrebne su ili Bradisove tablice ili inženjerski kalkulator. Ovo je formula:

S = c* grijeh a*(a - c* cos a),

gdje sa- bočna butina, a- ugao na donjoj bazi.

Jednakokraki trapez ima dijagonale iste dužine. Isto tako vrijedi i obrnuto: ako trapez ima jednake dijagonale, onda je jednakokračan. Stoga je sljedeća formula, koja pomaže u pronalaženju površine trapeza, poluproizvod kvadrata dijagonala sa sinusom ugla između njih: S = ½ d 2 sin a.

Pronađite površinu pravokutnog trapeza

Poznat je poseban slučaj pravokutnog trapeza. Ovo je trapez u kojem jedna bočna strana (njegova butina) graniči sa bazama pod pravim uglom. Ima svojstva običnog trapeza. Osim toga, ima vrlo zanimljivu osobinu. Razlika između kvadrata dijagonala takvog trapeza jednaka je razlici između kvadrata njegovih baza. Za to se koriste sve prethodno navedene metode za izračunavanje površine.

Primjena domišljatosti

Postoji jedan trik koji može pomoći u slučaju zaborava određenih formula. Pogledajmo bliže šta je trapez. Ako ga mentalno podijelimo na dijelove, onda ćemo dobiti poznate i razumljive geometrijske oblike: kvadrat ili pravougaonik i trokut (jedan ili dva). Ako znate visinu i stranice trapeza, možete koristiti formule za površinu trokuta i pravokutnika, a zatim dodati sve rezultirajuće vrijednosti.

Ilustrirajmo to sljedećim primjerom. Dat je pravougaoni trapez. Ugao C = 45°, uglovi A, D su 90°. Gornja osnova trapeza je 20 cm, visina 16 cm. Potrebno je izračunati površinu figure.

Ova se figura očito sastoji od pravokutnika (ako su dva ugla 90°) i trokuta. Kako je trapez pravougaonik, njegova visina je jednaka bočnoj strani, odnosno 16 cm, imamo pravougaonik sa stranicama 20, odnosno 16 cm. Pogledajmo sada trougao čiji je ugao 45°. Znamo da je jedna njegova stranica 16 cm.Pošto je ova stranica ujedno i visina trapeza (a znamo da visina pada na osnovu pod pravim uglom), dakle, drugi ugao trougla je 90 °. Dakle, preostali ugao trougla je 45°. Kao rezultat, dobijamo pravokutni jednakokraki trokut s dvije iste stranice. To znači da je druga strana trokuta jednaka visini, odnosno 16 cm. Ostaje izračunati površinu trokuta i pravougaonika i dodati rezultirajuće vrijednosti.

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih kateta: S = (16 * 16) / 2 = 128. Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove širine i dužine: S = 20 * 16 = 320. Našli smo traženo: površina trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metara. Vidite. Lako se možete još jednom provjeriti koristeći gornje formule, odgovor će biti identičan.

Koristeći Pickovu formulu

Na kraju, predstavljamo još jednu originalnu formulu koja pomaže u pronalaženju površine trapeza. Zove se Pikova formula. Zgodno ga je koristiti kada je trapez nacrtan na kariranom papiru. Slični zadaci se često nalaze u materijalima GIA. izgleda ovako:

S = M / 2 + N - 1,

u ovoj formuli M je broj čvorova, tj. preseci linija slike sa linijama ćelija na granicama trapeza (narandžaste tačke na slici), N je broj čvorova unutar figure (plave tačke). Najprikladnije ga je koristiti pri pronalaženju površine nepravilnog poligona. Međutim, što je veći arsenal korištenih tehnika, to je manje grešaka i bolji rezultati.

Naravno, date informacije ne iscrpljuju vrste i svojstva trapeza, kao ni metode za pronalaženje njegove površine. Ovaj članak daje pregled njegovih najvažnijih karakteristika. U rješavanju geometrijskih problema važno je djelovati postepeno, početi s lakim formulama i problemima, dosljedno konsolidirati razumijevanje, preći na drugi nivo složenosti.

Sastavljanje najčešćih formula pomoći će učenicima da se snalaze na različite načine kako bi izračunali površinu trapeza i bolje se pripremili za testove i testove na ovu temu.

Višestrani trapez ... Može biti proizvoljan, jednakokraki ili pravougaoni. I u svakom slučaju, morate znati kako pronaći površinu trapeza. Naravno, najlakše je zapamtiti osnovne formule. Ali ponekad je lakše koristiti onaj koji je izveden uzimajući u obzir sve karakteristike određene geometrijske figure.

Nekoliko riječi o trapezu i njegovim elementima

Svaki četvorougao sa dve strane paralelne može se nazvati trapezom. Općenito, one nisu jednake i nazivaju se bazama. Veći je donji, a drugi gornji.

Druge dvije strane su bočne. Za proizvoljni trapez, imaju različite dužine. Ako su jednaki, tada figura postaje jednakokračna.

Ako se iznenada ugao između bilo koje strane i baze pokaže jednakim 90 stepeni, tada je trapez pravougaonik.

Sve ove karakteristike mogu pomoći u rješavanju problema kako pronaći površinu trapeza.

Među elementima figure koji se mogu pokazati neophodnim u rješavanju problema mogu se izdvojiti sljedeće:

• visina, odnosno segment okomit na obje baze;
• srednja linija, koja na svojim krajevima ima sredine bočnih strana.

Koja je formula za izračunavanje površine ako su poznate osnove i visina?

Ovaj izraz je dat kao glavni, jer najčešće možete saznati ove vrijednosti, čak i kada nisu eksplicitno date. Dakle, da biste razumjeli kako pronaći površinu trapeza, morate dodati obje baze i podijeliti ih na dva. Zatim pomnožite rezultirajuću vrijednost sa vrijednošću visine.

Ako baze označimo slovima a 1 i a 2, visinom - n, tada će formula za područje izgledati ovako:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula po kojoj se izračunava površina, s obzirom na njenu visinu i srednju liniju

Ako pažljivo pogledate prethodnu formulu, lako ćete primijetiti da u njoj jasno postoji srednja vrijednost. Naime, zbir osnovica podijeljen sa dva. Neka je srednja linija označena slovom l, tada formula za površinu postaje:

S = l * n.

Sposobnost pronalaženja područja po dijagonalama

Ova metoda će vam pomoći ako znate ugao koji su oni formirali. Pretpostavimo da su dijagonale označene slovima d 1 i d 2, a uglovi između njih su α i β. Tada će formula kako pronaći površinu trapeza biti napisana na sljedeći način:

S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.

U ovom izrazu možete lako zamijeniti α sa β. Rezultat se neće promijeniti.

Kako saznati površinu ako su poznate sve strane figure?

Postoje i situacije kada su strane poznate na ovoj slici. Ova formula je glomazna i teško ju je zapamtiti. Ali vjerovatno. Neka stranice imaju oznaku: u 1 i u 2 osnova od 1 je veća od 2. Tada će formula površine izgledati ovako:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (u 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + u 1 2 - u 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Metode za izračunavanje površine jednakokračnog trapeza

Prvi je povezan sa činjenicom da se u njega može upisati krug. A, znajući njegov radijus (označen je slovom r), kao i ugao na bazi - γ, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Posljednja opća formula, koja se temelji na poznavanju svih strana figure, bit će uvelike pojednostavljena zbog činjenice da stranice imaju isto značenje:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metode za izračunavanje površine pravokutnog trapeza

Jasno je da će bilo šta od gore navedenog biti prikladno za proizvoljnu figuru. Ali ponekad je korisno znati o jednoj osobini takvog trapeza. Sastoji se u tome da je razlika između kvadrata dužina dijagonala jednaka razlici koju čine kvadrati baza.

Često se zaboravljaju formule za trapez, a pamte se izrazi za površine pravougaonika i trougla. Tada se može primijeniti jednostavan način. Podijelite trapez na dva oblika ako je pravougaona, ili na tri. Jedan će sigurno biti pravougaonik, a drugi, ili druga dva, će biti trougao. Nakon izračunavanja površina ovih figura, ostaje samo da ih dodate.

Ovo je prilično jednostavan način za pronalaženje površine pravokutnog trapeza.

Šta ako su koordinate vrhova trapeza poznate?

U ovom slučaju morate koristiti izraz koji vam omogućava da odredite udaljenost između tačaka. Može se primijeniti tri puta: da se saznaju obje baze i jedna visina. A onda samo primijenite prvu formulu, koja je malo gore opisana.

Sljedeći primjer može se koristiti za ilustraciju ove metode. Dati su vrhovi sa koordinatama A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Morate saznati površinu figure.

Prije nego što pronađete površinu trapeza, morate izračunati dužine baza iz koordinata. Trebat će vam sljedeća formula:

dužina segmenta = √ ((razlika prvih koordinata tačaka) 2 + (razlika drugih koordinata tačaka) 2).

Gornja baza je označena AB, što znači da će njena dužina biti jednaka √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Donja - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.

Sada moramo nacrtati visinu od vrha do dna. Neka je njegov početak u tački A. Kraj segmenta će biti na donjoj osnovi u tački sa koordinatama (5; 1), neka je to tačka H. Dužina segmenta AH će biti jednaka √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Ostaje samo zamijeniti rezultirajuće vrijednosti u formulu za površinu trapeza:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem je riješen bez mjernih jedinica, jer nije specificirana skala koordinatne mreže. Može biti milimetar ili metar.

Primjeri zadataka

Br. 1. Stanje. Ugao između dijagonala proizvoljnog trapeza je poznat, jednak je 30 stepeni. Manja dijagonala ima vrijednost 3 dm, a druga je 2 puta veća od nje. Potrebno je izračunati površinu trapeza.

Rješenje. Prvo morate saznati dužinu druge dijagonale, jer bez toga neće biti moguće prebrojati odgovor. Nije teško izračunati, 3 * 2 = 6 (dm).

Sada moramo koristiti odgovarajuću formulu za područje:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem je riješen.

odgovor: površina trapeza je 4,5 dm 2.

br. 2. Stanje. U trapezu AVSD-a baze su segmenti krvnog pritiska i BC. Tačka E je sredina SD strane. Iz nje je povučena okomica na liniju AB, kraj ovog segmenta je označen slovom H. Poznato je da su dužine AB i EH 5, odnosno 4 cm. Potrebno je izračunati površinu od trapeza.

Rješenje. Prvo morate napraviti crtež. Budući da je vrijednost okomice manja od strane na koju je povučena, trapez će biti malo izdužen prema gore. Dakle, EH će biti unutar figure.

Da biste jasno vidjeli napredak rješavanja problema, morat ćete izvršiti dodatnu konstrukciju. Naime, nacrtajte pravu liniju koja će biti paralelna sa stranicom AB. Tačke preseka ove prave linije sa HELL su P, a sa nastavkom BC - X. Dobijena figura VHRA je paralelogram. Štaviše, njegova površina je jednaka potrebnoj. To je zbog činjenice da su trokuti dobijeni dodatnom konstrukcijom jednaki. To proizilazi iz jednakosti stranice i dva ugla koja se nalaze uz nju, jedan je okomit, drugi je ukršten.

Područje paralelograma možete pronaći pomoću formule koja sadrži umnožak stranice i visine spuštene na nju.

Dakle, površina trapeza je 5 * 4 = 20 cm 2.

odgovor: S = 20 cm 2.

br. 3. Stanje. Elementi jednakokračnog trapeza imaju sljedeća značenja: donja baza - 14 cm, gornja - 4 cm, oštar ugao - 45º. Morate izračunati njegovu površinu.

Rješenje. Neka je manja baza označena BC. Visina povučena iz tačke B zvaće se BH. Budući da je ugao 45º, trokut ABN će ispasti pravokutni i jednakokraki. Dakle, AH = BH. A NA je vrlo lako pronaći. Jednaka je polovini razlike u bazama. To je (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).

Osnove su poznate, visina se izračunava. Možete koristiti prvu formulu, koja je ovdje razmatrana za proizvoljni trapez.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

odgovor: Potrebna površina je 45 cm 2.

br. 4. Stanje. Postoji proizvoljan trapez AVSD-a. Na njegovim bočnim stranama uzete su tačke O i E, tako da je OE paralelan sa bazom krvnog pritiska. Površina AOED trapeza je pet puta veća od površine CFE. Izračunajte OE vrijednost ako su poznate dužine baze.

Rješenje. Moraćete da nacrtate dve paralelne AB prave: prvu kroz tačku C, njen presek sa OE - tačkom T; drugi kroz E i tačka preseka sa krvnim pritiskom biće M.

Neka je nepoznati OE = x. Visina manjeg trapeza OVSE - n 1, većeg AOED - n 2.

Pošto su površine ova dva trapeza povezane kao 1 do 5, možemo napisati sljedeću jednakost:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Visine i stranice trokuta su proporcionalne konstrukcije. Stoga se može napisati još jedna jednakost:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

U zadnja dva unosa na lijevoj strani nalaze se jednake vrijednosti, što znači da možemo napisati da je (x + a 1) / (5 (x + a 2)) jednako (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Ovdje su potrebne brojne transformacije. Prvo pomnožite unakrsno. Pojavit će se zagrade koje označavaju razliku kvadrata, nakon primjene ove formule dobijate kratku jednačinu.

U njemu treba da otvorite zagrade i pomerite sve pojmove od nepoznatog "x" ulevo, a zatim izdvojite kvadratni koren.

Odgovori: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Praksa prošlogodišnjih USE i GIA pokazuje da problemi geometrije izazivaju poteškoće mnogim školarcima. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.

U ovom članku ćete vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Isto možete pronaći u KIM-ovima na ispitima za sertifikaciju ili na olimpijadama. Stoga pažljivo postupajte s njima.

Šta trebate znati o trapezu?

Prvo, zapamtimo to trapezoid se nazivaju četverougao, koji ima dvije suprotne stranice, nazivaju se i baze, paralelne su, a druge dvije nisu.

Visina se također može spustiti u trapezu (okomito na bazu). Povučena je srednja linija - ovo je prava linija koja je paralelna bazama i jednaka je polovini njihovog zbira. I dijagonale, koje se mogu ukrštati, tvoreći oštre i tupe uglove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim uglom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati krug. I opišite krug oko njega.

Formule površine za trapez

Za početak, razmotrite standardne formule za pronalaženje površine trapeza. U nastavku ćemo razmotriti načine za izračunavanje površine jednakokračnog i zakrivljenog trapeza.

Dakle, zamislite da imate trapez sa osnovama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno kao i ljuštenje krušaka. Samo trebate podijeliti zbir dužina baza sa dva i ono što dobijete pomnožiti visinom: S = 1/2 (a + b) * h.

Uzmimo još jedan slučaj: pretpostavimo da je u trapezu, pored visine, povučena srednja linija m. Znamo formulu za pronalaženje dužine srednje linije: m = 1/2 (a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za površinu trapeza na sljedeći oblik: S = m * h... Drugim riječima, da biste pronašli površinu trapeza, morate pomnožiti srednju liniju sa visinom.

Razmotrimo drugu opciju: u trapezu su nacrtane dijagonale d 1 i d 2, koje se ne sijeku pod pravim uglom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate podijeliti s dva proizvod dijagonala i rezultat pomnožiti s grijehom kuta između njih: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Sada razmotrite formulu za pronalaženje površine trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim dužina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i složena formula, ali će vam biti korisno da je zapamtite, za svaki slučaj: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za površinu pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija je strana pod pravim uglom uz baze.

Jednakokraki trapez

Trapez, čije su stranice jednake, naziva se jednakokraki. Razmotrit ćemo nekoliko varijanti formule za područje jednakokračnog trapeza.

Prva opcija: za slučaj kada je kružnica poluprečnika r upisana unutar jednakokračnog trapeza, a bočna strana i veća baza čine oštar ugao α. Krug se može upisati u trapez, pod uslovom da je zbir dužina njegovih osnova jednak zbiru dužina stranica.

Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice sa četiri i podijelite sve sa sinα: S = 4r 2 / sinα... Druga formula površine je poseban slučaj za slučaj kada je ugao između velike baze i stranice 30 0: S = 8r 2.

Druga opcija: ovaj put uzimamo jednakokraki trapez, u kojem su, osim toga, nacrtane dijagonale d 1 i d 2, kao i visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovina zbira osnovica: h = 1/2 (a + b). Znajući to, lako je transformirati već poznatu formulu za područje trapeza u sljedeći oblik: S = h 2.

Formula za površinu zakrivljenog trapeza

Počnimo tako što ćemo pogledati šta je zakrivljeni trapez. Zamislite koordinatnu osu i graf neprekidne i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar datog segmenta na x-osi. Krivolinijski trapez formiran je grafikom funkcije y = f (x) - na vrhu, x-osi - na dnu (segment), a sa strane - linijama povučenim između tačaka a i b i grafika funkcije.

Nemoguće je izračunati površinu takvog nestandardnog oblika koristeći gore navedene metode. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton-Leibniz formula - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... U ovoj formuli, F je antiderivat naše funkcije na odabranom segmentu. A površina zakrivljenog trapeza odgovara porastu antiderivata na datom segmentu.

Primjeri zadataka

Kako bi vam se sve ove formule bolje smjestile u glavi, evo nekoliko primjera zadataka za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo pokušate sami riješiti probleme, a tek onda gotovim rješenjem provjerite dobijeni odgovor.

Zadatak broj 1: Dat je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. U trapezu su nacrtane dijagonale, jedna duga 12 cm, druga 9 cm.

Rješenje: Konstruirajte trapez AMPC. Povucite pravu PX kroz vrh P tako da ispadne paralelna sa MC dijagonalom i siječe pravu AC u tački X. Dobićete trougao ARX.

Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: ARX trokut i CMRX paralelogram.

Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Gdje možemo izračunati stranicu AX trougla ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Takođe možemo dokazati da je trougao ARX pravougaonik (za ovo primenite Pitagorinu teoremu - AX 2 = AR 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Zatim morate dokazati da su trouglovi AMP i PCX jednaki. Osnova će biti jednakost strana MP i CX (već dokazano gore). I visine koje spuštate na ovim stranama - jednake su visini AMRS trapeza.

Sve ovo će vam omogućiti da tvrdite da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Zadatak broj 2: Dat je trapez KRMS-a. Tačke O i E nalaze se na bočnim stranama, dok su OE i KC paralelne. Takođe je poznato da su površine trapeza ORME i OCE u omjeru 1:5. PM = a i KC = b. Potrebno je pronaći OE.

Rješenje: Nacrtajte pravu liniju kroz tačku M, paralelnu sa RC, i označite tačku njenog preseka sa OE sa T. A - tačka preseka prave linije povučene kroz tačku E paralelno sa RC, sa osnovom od COP.

Uvedemo još jednu notaciju - OE = x. I visina h 1 za TME trokut i visina h 2 za AEC trokut (možete samostalno dokazati sličnost ovih trouglova).

Pretpostavićemo da je b> a. Površine trapeza ORME i OKSE povezane su kao 1:5, što nam daje pravo da sastavimo sljedeću jednačinu: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Pošto su trouglovi TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombinirajte oba zapisa i dobijete: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Dakle, OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Zaključak

Geometrija nije najlakša nauka, ali sigurno možete da se nosite sa ispitnim zadacima. Dovoljno je pokazati malo upornosti u pripremama. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.

Pokušali smo da na jednom mjestu prikupimo sve formule za izračunavanje površine trapeza tako da ih možete koristiti kada se pripremate za ispite i ponavljate gradivo.

Obavezno podijelite ovaj članak sa svojim kolegama iz razreda i prijateljima na društvenim mrežama. Neka bude više dobrih ocjena za UPOTREBU i GIA!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

I . Sada možete početi razmišljati kako pronaći površinu trapeza. Ovaj zadatak u svakodnevnom životu javlja se vrlo rijetko, ali ponekad se pokaže da je potrebno, na primjer, pronaći površinu sobe u obliku trapeza, koji se sve više koriste u izgradnji modernih stanova ili u dizajn projekata renoviranja.

Trapez je geometrijska figura formirana od četiri segmenta pravih koji se sijeku, od kojih su dva paralelna jedan s drugim i nazivaju se bazama trapeza. Druga dva segmenta nazivaju se stranicama trapeza. Osim toga, još jedna definicija će biti korisna u nastavku. Ovo je srednja linija trapeza, koja je segment koji povezuje sredine stranica i visinu trapeza, koja je jednaka udaljenosti između baza.
Poput trokuta, i trapez ima posebne poglede u obliku jednakokračnog (jednakokračnog) trapeza, u kojem su dužine stranica iste, i pravokutnog trapeza, u kojem jedna od stranica tvori pravi ugao s osnovama.

Trapezi imaju nekoliko zanimljivih svojstava:

1. Srednja linija trapeza jednaka je poluzbiru baza i paralelna je s njima.
   
2. Kod jednakokračnih trapeza, stranice i uglovi koje formiraju sa osnovama su jednaki.
   
3. Sredina dijagonala trapeza i tačka presjeka njegovih dijagonala nalaze se na istoj pravoj liniji.
   
4. Ako je zbir stranica trapeza jednak zbiru osnova, tada se u njega može upisati kružnica
   
5. Ako je zbir uglova koje formiraju stranice trapeza na bilo kojoj od njegovih osnova 90, tada je dužina segmenta koji povezuje sredine baza jednaka njihovoj polurazlici.
   
6. Jednakokraki trapez se može opisati kružnicom. I obrnuto. Ako se trapez uklapa u krug, onda je jednakokračan.
   
7. Segment koji prolazi kroz sredine osnova jednakokračnog trapeza bit će okomit na njegove osnove i predstavlja os simetrije.
   

Kako pronaći površinu trapeza.

Površina trapeza bit će jednaka poluzbiru njegovih osnova pomnoženoj s visinom. U obliku formule, ovo je napisano u obliku izraza:

gdje je S površina trapeza, a, b je dužina svake od osnova trapeza, h je visina trapeza.

Ovu formulu možete razumjeti i zapamtiti na sljedeći način. Kao što slijedi iz donje slike, trapez pomoću srednje linije može se transformirati u pravougaonik, čija će dužina biti jednaka poluzbiru baza.

Također možete rastaviti bilo koji trapez na jednostavnije oblike: pravougaonik i jedan ili dva trokuta, a ako vam je lakše, onda nađite površinu trapeza kao zbroj površina njegovih sastavnih figura.

Postoji još jedna jednostavna formula za izračunavanje njegove površine. Prema njemu, površina trapeza jednaka je umnošku njegove srednje linije na visinu trapeza i zapisuje se kao: S = m * h, gdje je S površina, m dužina srednje linije, h je visina trapeza. Ova formula je pogodnija za zadatke iz matematike nego za svakodnevne probleme, jer u realnim uslovima nećete znati dužinu središnje linije bez preliminarnih proračuna. I znaćete samo dužine baza i stranica.

U ovom slučaju, površina trapeza se može naći po formuli:

S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

gdje je S površina, a, b su osnove, c, d su stranice trapeza.

Postoji još nekoliko načina za pronalaženje površine trapeza. Ali, one su jednako nezgodne kao i posljednja formula, što znači da nema smisla zadržavati se na njima. Stoga preporučujemo da koristite prvu formulu iz članka i želimo uvijek dobiti točne rezultate.

Područje trapeza. Pozdrav! U ovom postu ćemo pogledati navedenu formulu. Zašto je to baš tako i kako to razumeti. Ako postoji razumijevanje, onda ga ne morate učiti. Ako samo želite pogledati ovu formulu i ono što je hitno, možete odmah pomaknuti stranicu))

Sada detaljno i po redu.

Trapez je četvorougao, dve strane ovog četvorougla su paralelne, druge dve nisu. One koje nisu paralelne su osnove trapeza. Druge dvije se zovu strane.

Ako su stranice jednake, tada se trapez naziva jednakokraki. Ako je jedna od bočnih strana okomita na baze, tada se takav trapez naziva pravokutnim.

U klasičnom obliku, trapez je prikazan na sljedeći način - veća baza je na dnu, odnosno manja je na vrhu. Ali niko ne zabranjuje da je prikaže i obrnuto. Evo skica:

Sljedeći važan koncept.

Srednja linija trapeza je segment linije koji spaja sredine stranica. Srednja linija je paralelna osnovama trapeza i jednaka je njihovom poluzbiru.

Hajdemo sada dublje. Zašto je tako?

Zamislite trapez sa bazama a i b i sa srednjom linijom l, i izvedite neke dodatne konstrukcije: povucite ravne linije kroz baze, a okomite kroz krajeve srednje linije dok se ne sijeku s osnovama:

* Slovne oznake vrhova i drugih tačaka se ne uvode namjerno kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.

Vidite, trokuti 1 i 2 su jednaki u drugom znaku jednakosti trokuta, trokuti 3 i 4 su isti. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost elemenata, odnosno nogu (označene su, redom, plavom i crvenom bojom).

Sada pažnja! Ako mentalno "odsječemo" plavi i crveni segment od donje baze, tada ćemo imati segment (ovo je stranica pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Dalje, ako odsječenu plavu i crvenu liniju "zalijepimo" na gornju osnovu trapeza, dobićemo i segment (ovo je i stranica pravougaonika) jednak srednjoj liniji trapeza.

Jasno? Ispada da će zbir baza biti jednak dvije srednje linije trapeza:

Pogledajte drugo objašnjenje

Uradimo sljedeće - izgradimo pravu liniju koja prolazi kroz donju bazu trapeza i pravu koja će prolaziti kroz tačke A i B:

Dobijamo trouglove 1 i 2, oni su jednaki na strani i uglovima uz nju (drugi znak jednakosti trokuta). To znači da je rezultujući segment (na skici je označen plavom bojom) jednak gornjoj bazi trapeza.

Sada razmotrite trougao:

* Srednja linija ovog trapeza i srednja linija trougla se poklapaju.

Poznato je da je trokut jednak polovini njegove paralelne osnove, tj.

Ok, sredio sam to. Sada o površini trapeza.

Formula površine trapeza:

Kažu: površina trapeza jednaka je umnošku poluzbira njegovih baza i visine.

Odnosno, ispada da je jednak umnošku srednje linije i visine:

Verovatno ste već primetili da je ovo očigledno. Geometrijski, to se može izraziti na sljedeći način: ako mentalno odsiječemo trokute 2 i 4 od trapeza i stavimo ih, respektivno, na trokute 1 i 3:

Tada dobijamo pravougaonik površine jednake površini našeg trapeza. Površina ovog pravokutnika bit će jednaka umnošku srednje linije i visine, odnosno možemo napisati:

Ali poenta nije u snimku, naravno, već u razumijevanju.

Preuzmite (pogledajte) materijal članka u * pdf formatu

To je sve. Uspeh Vama!

S poštovanjem, Alexander.