Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog ispita iz matematike. Ako želite da položite ispit za 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na ispitu, a bez njih ne može ni student ni student humanističkih nauka.

Sva teorija koja ti treba. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Rastavljeni svi relevantni zadaci 1. dijela iz Banke zadataka FIPI-ja. Kurs u potpunosti ispunjava uslove ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavna i jasna.

Stotine ispitnih zadataka. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvijanje prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, stepeni i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Danas ćemo razmotriti geometrijsku figuru - četverokut. Već iz naziva ove figure postaje jasno da ova figura ima četiri ugla. Ali u nastavku ćemo razmotriti ostale karakteristike i svojstva ove slike.

Šta je četvorougao

Četvorokut - mnogokut koji se sastoji od četiri tačke (vrhova) i četiri segmenta (stranice) koji povezuju ove tačke u parovima. Površina četverokuta jednaka je poluproizvodu njegovih dijagonala i kuta između njih.

Četvorougao je mnogokut sa četiri vrha, od kojih tri nisu kolinearna.

Vrste četvorouglova

• Četvorougao u kojem su suprotne strane parno paralelne naziva se paralelogram.
• Četvorougao kod kojeg su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu, naziva se trapez.
• Četvorougao sa svim ravnim uglovima je pravougaonik.
• Pravougaonik čije su sve strane jednake je romb.
• Četvorougao u kojem su sve strane jednake i svi uglovi ravni naziva se kvadrat.

Četvorougao može biti:

Samopresecanje

Nekonveksan

Konveksna

Samopresecajući četvorougao- ovo je četverougao, u kojem bilo koja od njegovih strana ima presječnu točku (na slici u plavoj boji).

Nekonveksni četvorougao- ovo je četverougao, u kojem je jedan od unutrašnjih uglova veći od 180 stepeni (na slici je označen narandžastom bojom).

Zbir uglova bilo koji četvorougao koji nije samopresecan je uvek 360 stepeni.

Posebne vrste četvorouglova

Četvorouglovi mogu imati dodatna svojstva, formirajući posebne vrste geometrijskih oblika:

• Paralelogram
• Pravougaonik
• Square
• Trapez
• Deltoid
• Kontraparalelogram

Četvorokut i krug

Četvorougao opisan oko kružnice (krug upisan u četvorougao).

Glavno svojstvo opisanog četverougla:

Četvorokut se može opisati oko kruga ako i samo ako su zbroji dužina suprotnih strana jednaki.

Četvorokut upisan u krug (krug opisan oko četverokuta)

Glavno svojstvo upisanog četvorougla:

Četvorougao se može upisati u krug ako i samo ako su zbroji suprotnih uglova 180 stepeni.

Svojstva dužine stranice četverougla

Modul razlike bilo koje dvije stranice četverougla ne prelazi zbir svoje dvije druge strane.

|a - b | ≤ c + d

a - c | ≤ b + d

a - d | ≤ b + c

|b - c | ≤ a + d

|b - d | ≤ a + b

c - d | ≤ a + b

Bitan... Nejednakost vrijedi za bilo koju kombinaciju stranica četverokuta. Slika je samo radi lakšeg snalaženja.

U bilo kojem četvorouglu zbir dužina njegove tri strane nije manji od dužine četvrte stranice.

Bitan... Prilikom rješavanja zadataka u okviru školskog programa možete koristiti strogu nejednakost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Četvorougao ABCD je figura koja se sastoji od četiri tačke A, B, C, D, po tri, koje ne leže na jednoj pravoj liniji, i četiri segmenta AB, BC, CD i AD koji povezuju ove tačke.

Slike pokazuju četverouglove.

Tačke A, B, C i D se nazivaju vrhove četvorougla, i segmenti AB, BC, CD i AD - stranke... Zovu se vrhovi A i C, B i D suprotni vrhovi... Stranice AB i CD, BC i AD se nazivaju suprotstavljene strane.

Četvorouglovi su konveksan(lijevo na slici) i nekonveksan(na slici - desno).

Svaka dijagonala konveksni četvorougao deli ga na dva trougla(AC dijagonala dijeli ABCD na dva trougla ABC i ACD; BD dijagonala na BCD i BAD). Have nekonveksni četvorougao samo ga jedna od dijagonala dijeli na dva trougla(dijagonala AC dijeli ABCD na dva trougla ABC i ACD; dijagonala BD ne).

Razmislite glavne vrste četvorouglova, njihova svojstva, formule površine:

Paralelogram

Paralelogram se naziva četverougao čije su suprotne strane parno paralelne.

Svojstva:

Znakovi paralelograma:

1. Ako su u četverokutu dvije stranice jednake i paralelne, onda je ovaj četverougao paralelogram.
2. Ako su u četvorouglu suprotne strane po paru jednake, onda je ovaj četvorougao paralelogram.
3. Ako se u četverouglu dijagonale sijeku, a tačka presjeka je podijeljena na pola, onda je ovaj četverougao paralelogram.

Površina paralelograma:

Trapez

Trapez se naziva četverougao, u kojem su dvije strane paralelne, a druge dvije strane nisu paralelne.

Osnove paralelne stranice se nazivaju, a druge dvije strane se zovu bočne strane.

Srednja linija trapezom se naziva segment koji povezuje sredine njegovih bočnih strana.

TEOREMA.

Srednja linija trapeza paralelna je sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.

Područje trapeza:

Rhombus

Rhombus naziva se paralelogram, u kojem su sve strane jednake.

Svojstva:

Područje romba:

Pravougaonik

Pravougaonik naziva se paralelogram, u kojem su svi uglovi jednaki.

Svojstva:

Atribut pravokutnika:

Ako su dijagonale u paralelogramu jednake, onda je ovaj paralelogram pravougaonik.

Površina pravougaonika:

Square

Square zove se pravougaonik u kojem su sve strane jednake.

Svojstva:

Kvadrat ima sva svojstva pravougaonika i romba (pravougaonik je paralelogram, dakle kvadrat je paralelogram, u kojem su sve strane jednake, tj. romb).

Površina kvadrata:

Jedna od najzanimljivijih tema iz geometrije iz školskog predmeta je "Četvorougao" (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koja posebna svojstva posjeduju? Šta je jedinstveno kod četvorouglova od devedeset stepeni? Hajde da pogledamo sve ovo.

Koji geometrijski oblik se zove četvorougao

Poligoni, koji se sastoje od četiri strane i, shodno tome, od četiri vrha (ugla) nazivaju se četverouglovi u euklidskoj geometriji.

Zanimljiva je istorija imena ove vrste figura. U ruskom jeziku, imenica "četvorougao" formirana je od fraze "četiri ugla" (baš kao "trougao" - tri ugla, "pentagon" - pet uglova, itd.).

Međutim, na latinskom (preko kojeg su mnogi geometrijski pojmovi došli na većinu svjetskih jezika) naziva se četverougao. Ova riječ je nastala od broja quadri (četiri) i imenice latus (strana). Dakle, možemo zaključiti da su stari ljudi ovaj poligon nazivali "četvorostranim".

Inače, ovaj naziv (s naglaskom na prisutnosti četiri strane u figurama ovog tipa, a ne uglova) sačuvan je u nekim modernim jezicima. Na primjer, na engleskom je to quadrilateral, a na francuskom je quadrilatère.

Štaviše, u većini slovenskih jezika, tip figura u pitanju se još uvijek identificira po broju uglova, a ne stranica. Na primjer, na slovačkom (štvoruholník), na bugarskom („chetyr'g'lnik“), na bjeloruskom („chatyrokhkutnik“), na ukrajinskom („chotirikutnik“), na češkom (čtyřúhelník), ali na poljskom se četverokut zove po broju strana - cz.

Koje se vrste četvorouglova izučavaju u školskom programu

U modernoj geometriji postoje 4 vrste poligona sa četiri strane.

Međutim, zbog previše složenih svojstava nekih od njih, u nastavi geometrije, školarci se upoznaju sa samo dvije vrste.

• Paralelogram Suprotne strane takvog četverougla su parno paralelne jedna s drugom i, prema tome, također su jednake u parovima.
• Trapez (trapez ili trapez). Ovaj četverougao se sastoji od dvije suprotne stranice, paralelne jedna s drugom. Međutim, drugi par strana nema ovu funkciju.

Vrste četverouglova koje se ne izučavaju u školskom predmetu geometrije

Pored navedenog, postoje još dvije vrste četverouglova s ​​kojima se školarci ne upoznaju na časovima geometrije, zbog njihove posebne složenosti.

• Deltoid (zmaj)- figura u kojoj je svaka od dva para susjednih stranica jednaka jedna drugoj. Takav četverokut dobio je ime zbog činjenice da po izgledu prilično podsjeća na slovo grčke abecede - "delta".
• Antiparalelogram- ova cifra je složena koliko i njeno ime. U njemu su dvije suprotne strane jednake, ali istovremeno nisu paralelne jedna s drugom. Osim toga, sijeku se duge suprotne stranice ovog četverougla, kao i produžeci druge dvije, kraće stranice.

Vrste paralelograma

Nakon što smo se pozabavili glavnim vrstama četverouglova, trebali biste obratiti pažnju na njegove podvrste. Dakle, svi paralelogrami su, zauzvrat, također podijeljeni u četiri grupe.

• Klasični paralelogram.
• romb (romb)- četvorougaona figura sa jednakim stranama. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim uglom, dijeleći romb na četiri jednaka pravokutna trougla.
• Pravougaonik Ime govori za sebe. Pošto je to pravougaonik sa pravim uglovima (svaki od njih je jednak devedeset stepeni). Njegove suprotne strane nisu samo paralelne jedna s drugom, već su i jednake.
• Square Kao pravougaonik, to je pravougaonik sa pravim uglovima, ali su sve njegove strane jednake. Ovo čini ovu figuru blizu romba. Dakle, može se tvrditi da je kvadrat križ između romba i pravokutnika.

Posebna svojstva pravougaonika

S obzirom na figure u kojima je svaki od uglova između strana jednak devedeset stepeni, vrijedi obratiti više pažnje na pravougaonik. Dakle, koje su to posebne karakteristike koje ga razlikuju od drugih paralelograma?

Da bismo tvrdili da je dotični paralelogram pravougaonik, njegove dijagonale moraju biti jednake jedna drugoj, a svaki od uglova mora biti ravan. Osim toga, kvadrat njegovih dijagonala mora odgovarati zbroju kvadrata dvije susjedne strane ove figure. Drugim riječima, klasični pravougaonik se sastoji od dva pravokutna trougla, a u njima, kao što je poznato, dijagonala razmatranog četverokuta djeluje kao hipotenuza.

Posljednja od navedenih karakteristika ove figure je i njeno posebno svojstvo. Osim ovoga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane proučavanog četverougla s pravim uglovima u isto vrijeme njegove visine.

Osim toga, ako nacrtate krug oko bilo kojeg pravokutnika, njegov promjer će biti jednak dijagonali upisane figure.

Između ostalih svojstava ovog četvorougla, on je ravan i ne postoji u neeuklidskoj geometriji. To je zbog činjenice da u takvom sistemu nema četverokutnih figura, čiji je zbir uglova jednak trista šezdeset stepeni.

Kvadrat i njegove karakteristike

Nakon što smo se pozabavili znakovima i svojstvima pravokutnika, vrijedi obratiti pažnju na drugi četverokut s pravim kutovima poznatim nauci (ovo je kvadrat).

Budući da je zapravo isti pravougaonik, ali sa jednakim stranicama, ova figura ima sva svoja svojstva. Ali za razliku od njega, kvadrat je prisutan u neeuklidskoj geometriji.

Osim toga, ova figura ima i druge posebne karakteristike. Na primjer, činjenica da dijagonale kvadrata nisu samo jednake jedna drugoj, već se i sijeku pod pravim uglom. Dakle, kao i romb, kvadrat se sastoji od četiri pravokutna trougla, na koje je podijeljen dijagonalama.

Osim toga, ova figura je najsimetričnija od svih četverouglova.

Koliki je zbir uglova četvorougla

S obzirom na karakteristike četverouglova euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na njihove uglove.

Dakle, na svakoj od gornjih figura, bez obzira da li ima prave uglove ili ne, njihov ukupan zbir je uvek isti - trista šezdeset stepeni. Ovo je jedinstvena karakteristika ove vrste figure.

Perimetar četvorouglova

Nakon što smo shvatili koliko je jednak zbroj uglova četverokuta i drugih posebnih svojstava figura ove vrste, vrijedi saznati koje je formule najbolje koristiti za izračunavanje njihovog perimetra i površine.

Da biste odredili obim bilo kojeg četverougla, trebate samo sabrati dužinu svih njegovih stranica.

Na primjer, u KLMN obliku, njegov perimetar se može izračunati pomoću formule: P = KL + LM + MN + KN. Ako ovdje zamijenite brojeve, dobijate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

U slučaju kada je figura u pitanju romb ili kvadrat, da biste pronašli obim, možete pojednostaviti formulu jednostavnim množenjem dužine jedne od njenih stranica sa četiri: P = KL x 4. Na primjer: 6 x 4 = 24 (cm).

Formule četvorougla površine

Nakon što smo shvatili kako pronaći perimetar bilo kojeg oblika s četiri ugla i strane, vrijedi razmotriti najpopularnije i najjednostavnije načine za pronalaženje njegovog područja.

Ostala svojstva četverougla: upisane i opisane kružnice

Uzimajući u obzir karakteristike i svojstva četverokuta kao figure euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na sposobnost opisivanja ili upisivanja krugova unutar njega:

• Ako su zbroji suprotnih uglova figure po sto osamdeset stepeni i jednaki su u parovima, tada se oko takvog četvorougla može slobodno opisati krug.
• Prema Ptolomejevoj teoremi, ako je kružnica opisana izvan poligona sa četiri strane, onda je proizvod njegovih dijagonala jednak zbroju proizvoda suprotnih strana ove figure. Dakle, formula će izgledati ovako: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ako izgradite četverokut u kojem su sume suprotnih strana jednake jedna drugoj, tada se u njega može upisati krug.

Nakon što smo shvatili šta je četverokut, koje vrste postoje, koji od njih imaju samo prave uglove između stranica i koja svojstva imaju, vrijedno je zapamtiti sav ovaj materijal. Konkretno, formula za pronalaženje perimetra i površine razmatranih poligona. Uostalom, figure ovog oblika su jedne od najčešćih, a ovo znanje može biti korisno za proračune u stvarnom životu.

Konveksni četvorougao je lik koji se sastoji od četiri strane povezane na vrhovima, koje zajedno sa stranicama tvore četiri ugla, dok je sam četvorougao uvek u istoj ravni u odnosu na pravu liniju na kojoj leži jedna od njegovih strana. Drugim riječima, cijeli oblik je na jednoj strani bilo koje strane.

Kao što vidite, definiciju je prilično lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i vrste

Konveksni četverouglovi uključuju gotovo sve nama poznate figure, koje se sastoje od četiri ugla i stranica. Može se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravougaonik;
4. trapez;
5. rhombus.

Sve ove figure objedinjuje ne samo činjenica da su četvorougaone, već i činjenica da su i konveksne. Dovoljno je samo razmotriti dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez... Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravni ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapez konveksan.

Da li je paralelogram konveksan četvorougao?

Iznad je slika paralelograma. Kao što vidite sa slike, paralelogram je takođe konveksan... Ako pogledate sliku s obzirom na prave na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je od ovih pravih uvijek u istoj ravni. Glavne karakteristike paralelograma su da su njegove stranice paralelne i jednake u parovima, kao što su suprotni uglovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravougaonik. Po svojim glavnim svojstvima, oni su i paralelogrami, odnosno sve njihove stranice su paralelno smještene u parovima. Samo u slučaju pravougaonika, dužine stranica mogu biti različite, a uglovi su ravni (jednaki 90 stepeni), kvadrat je pravougaonik u kojem su sve stranice jednake i uglovi su takođe ravni, a za paralelograma, dužine stranica i uglova mogu biti različite.

Kao rezultat, zbir sva četiri ugla četverokuta treba da bude jednaka 360 stepeni... Najlakši način da to odredite je pravougaonik: sva četiri ugla pravougaonika su ravna, odnosno jednaka 90 stepeni. Zbir ovih uglova od 90 stepeni daje 360 ​​stepeni, drugim rečima, ako dodate 90 stepeni 4 puta, dobijate željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četvorougla

Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku... Zaista, ovaj fenomen se može posmatrati vizuelno, samo pogledajte sliku:

Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverougao ili četverougao. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Na desnoj strani je konveksan pravougaonik. Svojstvo dijagonala da se sijeku je već uočeno ovdje. Isto svojstvo se može smatrati znakom konveksnosti četvorougla.

Ostala svojstva i kriteriji za konveksnost četverougla

Konkretno za ovaj pojam, vrlo je teško imenovati neka specifična svojstva i znakove. Lakše je izolovati različitim vrstama četvorouglova ovog tipa. Možete početi sa paralelogramom. Već znamo da je ovo četverokutna figura čije su stranice u paru paralelne i jednake. Istovremeno, ovo uključuje i svojstvo dijagonala paralelograma da se sijeku jedna s drugom, kao i znak konveksnosti same figure: paralelogram je uvijek u istoj ravni i na jednoj strani u odnosu na bilo koju njegovih strana.

dakle, poznati su glavni znaci i svojstva:

1. zbir uglova četvorougla je 360 ​​stepeni;
2. dijagonale figura se sijeku u jednoj tački.

Pravougaonik... Ova figura ima ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali su u isto vrijeme svi njeni uglovi jednaki 90 stepeni. Otuda i naziv - pravougaonik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali su njegovi uglovi ravni poput pravougaonika. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnikom. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored onih koje su već navedene, jeste da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapez je veoma zanimljiva figura.... Ovo je također četverougao i također konveksan. U ovom članku, trapez je već razmatran na primjeru slike. Jasno je da je i konveksna. Glavna razlika, a samim tim i znak trapeza, je u tome što njegove stranice ne moraju biti apsolutno jednake jedna drugoj po dužini, kao ni po vrijednostima uglova. U ovom slučaju, figura uvijek ostaje u istoj ravni u odnosu na bilo koju od pravih linija, koja spaja bilo koja dva njena vrha duž segmenata koji čine figuru.

Romb je jednako zanimljiva figura... Djelomično, kvadrat se može smatrati rombom. Znak romba je činjenica da se njegove dijagonale ne samo sijeku, već i dijele uglove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su dužine stranica romba jednake, tada se i dijagonale prepolovljuju kada se sijeku.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombovi) mogu imati različite dužine stranica. Ali istovremeno su sačuvana i osnovna svojstva i karakteristike samog romba, kao i karakteristike i svojstva konveksnosti. To jest, možemo primijetiti da dijagonale dijele uglove na pola i sijeku se pod pravim uglom.

Današnji zadatak je bio razmotriti i razumjeti šta su konveksni četverouglovi, šta su i njihova glavna svojstva i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbir uglova konveksnog četvorougla 360 stepeni. Obim figura, na primjer, jednak je zbiru dužina svih odsječaka koji čine lik. Formule za izračunavanje perimetra i površine četverokuta bit će obrađene u sljedećim člancima.