Započet ćemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštrog ugla. Ovo su osnove trigonometrije.

Da vas podsjetimo na to pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, pola okrenutog ugla.

Oštar ugao- manje od 90 stepeni.

Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravougli trougao. Pravi ugao se obično označava sa . Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, strana suprotna kutu A označena je .

Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza pravouglog trougla je strana naspram pravog ugla.

Noge- strane suprotne oštrim uglovima.

Noga koja leži nasuprot ugla naziva se suprotno(u odnosu na ugao). Drugi krak, koji leži na jednoj od strana ugla, naziva se susjedni.

Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:

Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj strani (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens u nastavku. Oni će nam biti od koristi prilikom rješavanja problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još uvijek trebaju sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak.

Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .

Ispada da znajući dva ugla u trouglu možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trougla, možete pronaći treću. To znači da uglovi imaju svoj odnos, a stranice imaju svoj. Ali šta da radite ako u pravokutnom trokutu znate jedan ugao (osim pravog) i jednu stranu, ali morate pronaći druge strane?

To je ono s čim su se ljudi u prošlosti susreli kada su pravili karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.

Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati odnose između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Pri odgovarajućim vrijednostima ugla, tangenta i kotangens ne postoje.

Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.

1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Zbog , .

2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .

Pronađimo ga pomoću Pitagorine teoreme.

Problem je riješen.

Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.

Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme rješavanja pravokutnih trougla – to jest, pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! Postoji mnogo problema na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike koji uključuju sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.

Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafovi, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.

Geometrijska definicija

|BD| - dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima.

tangenta ( tan α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .

kotangens ( ctg α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB| na dužinu suprotne noge |BC| .

Tangenta

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
;
;
.

Grafikon tangentne funkcije, y = tan x

Kotangens

Gdje n- cela.

U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
;
;
.

Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x

Svojstva tangente i kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x i y = ctg x su periodične sa periodom π.

Paritet

Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.

Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje

Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli ( n- cijeli).

	y = tg x	y = ctg x
Obim i kontinuitet
Raspon vrijednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Povećanje		-
Silazno	-
Ekstremi	-	-
Nule, y = 0
Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0	y = 0	-

Formule

Izrazi koji koriste sinus i kosinus

; ;
; ;
;

Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike

Preostale formule je lako dobiti, na primjer

Proizvod tangenti

Formula za zbir i razliku tangenta

Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

;
;

Derivati

; .

.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
.
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >

Integrali

Proširenja serije

Da biste dobili ekspanziju tangente po stepenu x, potrebno je uzeti nekoliko članova proširenja u nizu stepena za funkcije sin x I cos x i podijeliti ove polinome jedni s drugima, . Ovo proizvodi sljedeće formule.

U .

u .
Gdje Bn- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva:
;
;
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli:

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije tangente i kotangensa su arktangens i arkkotangens, respektivno.

Arktangent, arctg

, Gdje n- cela.

Arkotangenta, arcctg

, Gdje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za naučnike i inženjere, 2012.

Najčešća pitanja

Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili kvalitetnu fotografiju na našu email adresu, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvatate? Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na bolje plaćene poslove. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: narudžbu plaćate u trenutku kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i za različite godine izdavanja. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.

Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu? Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se otkrije greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, ali uočene nedostatke morate navesti lično kuriru ili pisanim putem slanjem e-maila.
Ispravićemo dokument u najkraćem mogućem roku i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, klijentu šaljemo e-mailom maketu budućeg dokumenta radi provjere i odobrenja konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također snimamo dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.

Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije? Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji morate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Aleksej:

Trebalo je da steknem diplomu da bih se zaposlio kao menadžer. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu da se zaposlim bez dokumenta. Kada sam naišao na vaš sajt, konačno sam odlučio da kupim diplomu. Diploma je završena za 2 dana!! Sada imam posao o kojem nisam ni sanjao!! Hvala ti!

Neću te pokušavati uvjeriti da ne pišeš varalice. Pisati! Uključujući i varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su cheat sheets potrebne i zašto su cheat sheets korisne. A evo i informacija kako ne naučiti, već zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice! Koristimo asocijacije za pamćenje.

1. Formule sabiranja:

Kosinusi uvijek "dolaze u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su “neadekvatni”. “Nije im sve kako treba” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - “miks”: sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbira i razlike:

kosinusi uvijek “dolaze u paru”. Sabiranjem dva kosinusa - "koloboks", dobijamo par kosinusa - "koloboks". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobijamo par sinusa. Takođe sa minusom ispred.

Sinusi - “miks” :

3. Formule za pretvaranje proizvoda u zbir i razliku.

Kada ćemo dobiti kosinusni par? Kada dodamo kosinuse. Zbog toga

Kada ćemo dobiti par sinusa? Prilikom oduzimanja kosinusa. Odavde:

“Mješanje” se dobija i pri sabiranju i oduzimanju sinusa. Šta je zabavnije: dodavanje ili oduzimanje? Tako je, preklopi. A za formulu uzimaju zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preuređivanje mjesta termina ne mijenja zbir. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. Ali, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prvim zagradama uzimamo razliku

i drugo - iznos

Varalice u džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne koristite cheat sheet, lako se možete sjetiti formule.

– sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne sviđa zbog potrebe da se nagura ogroman broj teških formula, koje vrve od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stranica je već jednom davala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, koristeći primjer Eulerove i Peel formule.

I u ovom članku ćemo pokušati pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet jednostavnih trigonometrijskih formula, a ostale imati opće razumijevanje i izvoditi ih dok idete. To je kao sa DNK: molekul ne pohranjuje kompletne nacrte gotovog živog bića. Umjesto toga, sadrži upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavajući neke opšte principe, sve potrebne formule ćemo dobiti iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Oslonićemo se na sledeće formule:

Iz formula za sinusne i kosinusne sume, znajući za parnost kosinusne funkcije i neparnosti sinusne funkcije, zamjenjujući -b umjesto b, dobijamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući a = b u iste formule, dobijamo formule za sinus i kosinus dvostrukih uglova:

1. Sinus dvostrukog ugla: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog ugla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2 a-grijeh2 a

Formule za druge višestruke uglove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog ugla: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2 a-grijeh2 a)grijeha = 2grijehacos2 a+grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2 a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog ugla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2 a-grijeh2 a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3 a- grijeh2 acosa-2grijeh2 acosa = cos 3 a-3 grijeh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prije nego krenemo dalje, pogledajmo jedan problem.
Dato: ugao je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangente ovu funkciju povezuje i sa sinusom i sa kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja povezuje tangentu samo sa kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. Dobijamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je ugao oštar, prilikom vađenja korijena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna formula koju je teško zapamtiti. Hajde da to izbacimo ovako:

Odmah prikazano i

Iz kosinusne formule za dvostruki ugao možete dobiti formule sinusa i kosinusa za pola ugla. Da biste to učinili, na lijevoj strani formule kosinusa dvostrukog kuta:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodajemo jednu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbir kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-grijeh2 a+cos2 a+grijeh2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Izražavanje cosa kroz cos2 a i promjenom varijabli dobijamo:

Znak se uzima u zavisnosti od kvadranta.

Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i zbira kvadrata sinusa i kosinusa s desne, dobivamo:
cos2a-1 = cos2 a-grijeh2 a-cos2 a-grijeh2 a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I konačno, da bismo pretvorili zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod, koristimo sljedeću tehniku. Recimo da trebamo predstaviti zbir sinusa kao proizvod grijeha+grijehb. Hajde da uvedemo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Onda
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.

Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Zbog toga

Možete se odmah povući

1. Formula za particionisanje produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučujemo da sami vježbate i izvodite formule za pretvaranje razlike sinusa i zbira i razlike kosinusa u proizvod, kao i za dijeljenje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir. Nakon što ste završili ove vježbe, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežem testu, olimpijadi ili testiranju.