Քառակուսի արմատ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրում քառակուսի արմատների թեման պարտադիր է։ Քառակուսի հավասարումներ լուծելիս առանց դրանց չես կարող։ Իսկ ավելի ուշ անհրաժեշտ է դառնում ոչ միայն արմատները հանել, այլեւ դրանցով այլ գործողություններ կատարել։ Դրանցից են բավականին բարդերը՝ աստիճանականացում, բազմապատկում և բաժանում։ Բայց կան նաև բավականին պարզեր՝ արմատների հանում և գումարում։ Ի դեպ, դրանք միայն առաջին հայացքից են թվում։ Դրանք առանց սխալների կատարելը միշտ չէ, որ հեշտ է նրանց համար, ով նոր է սկսում ճանաչել նրանց:

Ի՞նչ է մաթեմատիկական արմատը:

Այս գործողությունն առաջացել է ի տարբերություն էքսպոենտացիայի։ Մաթեմատիկան ենթադրում է երկու հակադիր գործողություն. Գումարի համար կա հանում։ Բազմապատկումը հակադրվում է բաժանմանը: Աստիճանի հակադարձ ազդեցությունը համապատասխան արմատի արդյունահանումն է։

Եթե հզորությունը երկու է, ապա արմատը կլինի քառակուսի։ Այն ամենատարածվածն է դպրոցական մաթեմատիկայի մեջ։ Այն նույնիսկ չունի ցուցում, որ այն քառակուսի է, այսինքն՝ 2 համարը նրան վերագրված չէ։Այս օպերատորի մաթեմատիկական նշումը (ռադիկալը) ներկայացված է նկարում։

Նկարագրված գործողությունից սահուն հետևում է դրա սահմանումը: Թվի քառակուսի արմատը հանելու համար պետք է պարզել, թե ինչ կտա արմատական արտահայտությունն ինքն իրենով բազմապատկելիս։ Այս թիվը կլինի քառակուսի արմատը: Եթե այն գրեք մաթեմատիկորեն, կստանաք հետևյալը` x * x = x 2 = y, ուրեմն √y = x:

Ի՞նչ գործողություններ կարող եք կատարել նրանց հետ:

Իր հիմքում արմատը կոտորակային հզորություն է, որի համարիչը մեկ է: Իսկ հայտարարը կարող է լինել ցանկացած բան: Օրինակ՝ քառակուսի արմատն ունի երկու։ Հետևաբար, բոլոր գործողությունները, որոնք կարելի է կատարել աստիճաններով, ճիշտ կլինեն նաև արմատների համար:

Իսկ այդ գործողություններին ներկայացվող պահանջները նույնն են. Եթե բազմապատկումը, բաժանումը և հզորության բարձրացումը դժվարություններ չեն ունենում աշակերտների համար, ապա արմատներ ավելացնելը, ինչպես և դրանց հանումը, երբեմն հանգեցնում է շփոթության: Եվ ամեն ինչ այն պատճառով, որ դուք ցանկանում եք կատարել այս գործողությունները առանց արմատային նշանին նայելու: Եվ այստեղից են սկսվում սխալները։

Որո՞նք են դրանք գումարելու և հանելու կանոնները:

Նախ, դուք պետք է հիշեք երկու կատեգորիկ «ոչ».

անհնար է կատարել արմատների գումարում և հանում, ինչպես պարզ բառերում, այսինքն՝ հնարավոր չէ գումարի արմատական արտահայտություններ գրել մեկ նշանի տակ և դրանցով կատարել մաթեմատիկական գործողություններ.
դուք չեք կարող արմատներ ավելացնել և հանել տարբեր ցուցանիշներով, օրինակ՝ քառակուսի և խորանարդ:

Առաջին արգելքի պատկերավոր օրինակ. √6 + √10 ≠ √16, բայց √ (6 + 10) = √16.

Երկրորդ դեպքում ավելի լավ է սահմանափակվել ինքներս արմատների պարզեցմամբ: Եվ ի պատասխան թողեք դրանց գումարը։

Հիմա կանոններին

Գտեք և խմբավորեք նմանատիպ արմատներ: Այսինքն՝ նրանք, ովքեր ոչ միայն նույն թվերն ունեն ռադիկալի տակ, այլեւ իրենք՝ մեկ ցուցանիշ.
Կատարեք արմատների ավելացում՝ առաջին գործողությամբ միավորված մեկ խմբի մեջ: Դա հեշտ է իրականացնել, քանի որ անհրաժեշտ է միայն գումարել այն արժեքները, որոնք կանգնած են արմատականների առջև:
Արմատները հանիր այն տերմիններով, որոնցում արմատական արտահայտությունը կազմում է մի ամբողջ քառակուսի: Այսինքն՝ ոչինչ մի թողեք ռադիկալի նշանի տակ։
Պարզեցնել արմատական արտահայտությունները: Դա անելու համար հարկավոր է դրանք չափել պարզ գործակիցների մեջ և տեսնել, թե արդյոք նրանք տալիս են որևէ թվի քառակուսի: Պարզ է, որ դա ճիշտ է, երբ խոսքը վերաբերում է քառակուսի արմատին: Երբ ցուցիչը երեք կամ չորս է, ապա պարզ գործակիցները նույնպես պետք է տան թվի խորանարդը կամ չորրորդ աստիճանը:
Ռադիկալի նշանից հանել այն գործոնը, որը տալիս է ամբողջ աստիճանը։
Տեսեք, արդյոք նմանատիպ տերմիններ կրկին հայտնվել են: Եթե այո, ապա նորից կատարեք երկրորդ քայլը:

Այն իրավիճակում, երբ առաջադրանքը չի պահանջում ճշգրիտ արմատային արժեք, այն կարելի է հաշվարկել հաշվիչի վրա: Կլորացրեք անսահման տասնորդական կոտորակը, որը կցուցադրվի դրա պատուհանում: Ամենից հաճախ դա արվում է մինչև հարյուրերորդականը: Եվ հետո կատարեք տասնորդական կոտորակների բոլոր գործողությունները:

Սա ամբողջ տեղեկությունն է այն մասին, թե ինչպես է կատարվում արմատային հավելումը: Ստորև բերված օրինակները ցույց կտան վերը նշվածը:

Առաջին առաջադրանքը

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքը.

ա) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

բ) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

գ) √275 - 10√11 + 2√99 + √396:

ա) Եթե հետևեք վերը նշված ալգորիթմին, կարող եք տեսնել, որ այս օրինակում առաջին երկու գործողությունների համար ոչինչ չկա: Բայց որոշ արմատական արտահայտություններ կարելի է պարզեցնել։

Օրինակ՝ 32-րդ գործոնը երկու գործոնի՝ 2-ի և 16-ի; 18-ը հավասար կլինի 9-ի և 2-ի արտադրյալին. 128-ը 2-ն է 64-ով: Հաշվի առնելով դա, արտահայտությունը կգրվի այսպես.

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9):

Այժմ դուք պետք է արմատական նշանից հանեք այն գործոնները, որոնք տալիս են թվի քառակուսին։ Սա 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2 է: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2:

Պետք է մի փոքր պարզեցնել ձայնագրությունը։ Դա անելու համար բազմապատկեք գործակիցները արմատի նշանների դիմաց.

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Այս արտահայտության մեջ բոլոր տերմինները նման էին. Հետեւաբար, դրանք պարզապես պետք է ծալել: Պատասխանը կլինի՝ 5√2։

բ) Նախորդ օրինակի նման, արմատներ ավելացնելը սկսվում է դրանց պարզեցմամբ: 75, 147, 48 և 300 արմատական արտահայտությունները կներկայացվեն հետևյալ զույգերով. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Պարզեցումից հետո պատասխանն է՝ 5√5 - 5√3: Այն կարելի է թողնել այնպես, ինչպես կա, բայց ավելի լավ է փակագծից դուրս դնել ընդհանուր գործակիցը 5՝ 5 (√5 - √3):

գ) Եվ կրկին ֆակտորիզացիան՝ 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Գործակիցները արմատական նշանից հանելուց հետո ունենում ենք.

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11: Նման տերմինները բերելուց հետո ստանում ենք արդյունքը՝ 7√11։

Օրինակ կոտորակային արտահայտություններով

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Անհրաժեշտ կլինի հաշվի առնել հետևյալ թվերը՝ 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49: Ինչպես արդեն դիտարկվածներին, դուք պետք է հանեք գործոնները արմատային նշան և պարզեցնել արտահայտությունը.

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) = - 5/3 √5 + 16/3 √ (½):

Այս արտահայտությունը պահանջում է ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկրորդ անդամը բազմապատկել √2 / √2-ով:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2:

Գործողությունների ամբողջականության համար դուք պետք է ընտրեք գործոնների ամբողջ մասը արմատների դիմաց: Առաջինը հավասար է 1-ի, երկրորդը՝ 2-ի։

Ժամանակակից էլեկտրոնային համակարգիչների մեր ժամանակներում թվի արմատը հաշվարկելը դժվար գործ չի թվում։ Օրինակ, √2704 = 52, ցանկացած հաշվիչ դա կհաշվի ձեզ համար: Բարեբախտաբար, հաշվիչը հասանելի է ոչ միայն Windows-ում, այլև սովորական, նույնիսկ ամենապարզ հեռախոսում։ Ճիշտ է, եթե հանկարծ (հավանականության փոքր աստիճանով, որի հաշվարկը, ի դեպ, ներառում է արմատների ավելացում) դուք հայտնվեք առանց հասանելի միջոցների, ապա, ավաղ, ստիպված կլինեք ապավինել միայն ձեր ուղեղին։

Մտքի մարզումը երբեք չի ձախողվում: Հատկապես նրանց համար, ովքեր հաճախ չեն աշխատում թվերով, իսկ առավել եւս՝ արմատներով։ Արմատներ ավելացնելն ու հանելը լավ տաքացում է ձանձրալի մտքի համար: Ես ձեզ ցույց կտամ նաև արմատների ավելացումը փուլերով: Արտահայտությունների օրինակները կարող են լինել հետևյալը.

Պարզեցման ենթակա հավասարումը.

√2 + 3√48-4 × √27 + √128

Սա իռացիոնալ արտահայտություն է։ Այն պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է բոլոր արմատական արտահայտությունները բերել ընդհանուր ձևի: Մենք դա անում ենք փուլերով.

Առաջին համարն այլևս չի կարելի պարզեցնել։ Անցնում ենք երկրորդ շրջանի։

Գործոն 3√48 48: 48 = 2 × 24 կամ 48 = 3 × 16: 24-ը ամբողջ թիվ չէ, այսինքն. ունի կոտորակային մնացորդ։ Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է ճշգրիտ արժեք, մոտավոր արմատները մեզ հարմար չեն: 16-ի քառակուսի արմատը 4 է, հանում ենք տակից Ստանում ենք՝ 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Հետևյալ արտահայտությունը մեզ համար բացասական է, այսինքն. գրված է մինուս նշանով -4 × √ (27.) Գործոն 27. Մենք ստանում ենք 27 = 3 × 9: Մենք չենք օգտագործում կոտորակային գործակիցներ, քանի որ քառակուսի արմատը կոտորակներից ավելի դժվար է հաշվարկել: Նշանի տակից հանում ենք 9-ը, այսինքն. հաշվարկել քառակուսի արմատը. Ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը՝ -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Հաջորդ √128 տերմինը հաշվարկեք այն մասը, որը կարելի է հանել արմատի տակից։ 128 = 64 × 2, որտեղ √64 = 8: Եթե ձեզ համար ավելի հեշտ է, կարող եք այս արտահայտությունը ներկայացնել այսպես՝ √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Մենք վերագրում ենք արտահայտությունը պարզեցված տերմիններով.

√2 + 12 × √3-12 × √3 + 8 × √2

Այժմ գումարում ենք նույն արմատական արտահայտությամբ թվերը։ Դուք չեք կարող ավելացնել կամ հանել արտահայտություններ տարբեր արմատական արտահայտություններով: Արմատներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է պահպանել այս կանոնը:

Ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2 = 1 × √2 - Հուսով եմ, որ հանրահաշվում ընդունված է բաց թողնել նման տարրերը ձեզ համար նորություն չի լինի:

Արտահայտությունները կարող են ներկայացվել ոչ միայն քառակուսի արմատով, այլև խորանարդ կամ n-րդ արմատով։

Տարբեր ցուցիչներով, բայց համարժեք արմատական արտահայտությամբ արմատների գումարումն ու հանումը տեղի է ունենում հետևյալ կերպ.

Եթե ունենք √a + ∛b + ∜b ձևի արտահայտություն, ապա կարող ենք պարզեցնել այս արտահայտությունը հետևյալ կերպ.

∛b + ∜b = 12 × √b4 + 12 × √b3

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Մենք երկու նմանատիպ տերմին ենք բերել ընդհանուր արմատային արտահայտիչին: Այստեղ օգտագործեցինք արմատների հատկությունը, որն ասում է՝ եթե արմատական արտահայտության աստիճանի և արմատի արտահայտիչի թիվը բազմապատկվեն նույն թվով, ապա դրա հաշվարկը կմնա անփոփոխ։

Նշում. ցուցիչները ավելացվում են միայն բազմապատկելիս:

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ կոտորակները առկա են արտահայտության մեջ:

5√8-4 × √ (1/4) + √72-4 × √2

Մենք որոշելու ենք փուլերով.

5√8 = 5 * 2√2 - արմատի տակից հանվող մասը հանում ենք։

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Եթե արմատի մարմինը ներկայացված է կոտորակով, ապա հաճախ այդ կոտորակը չի փոխվում, եթե քառակուսի արմատը հանում ենք դիվիդենտից և բաժանարարից: Արդյունքում ստացանք վերը նկարագրված հավասարությունը։

√72-4√2 = √ (36 × 2) - 4√2 = 2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Ահա պատասխանը.

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ զույգ ցուցիչ ունեցող արմատը չի հանվում բացասական թվերից: Եթե արմատական արտահայտության զույգ աստիճանը բացասական է, ապա արտահայտությունն անլուծելի է։

Արմատների ավելացումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատական արտահայտությունները համընկնում են, քանի որ դրանք նման տերմիններ են։ Նույնը վերաբերում է տարբերությանը.

Տարբեր թվային ցուցիչներով արմատների ավելացումն իրականացվում է երկու տերմիններն էլ ընդհանուր արմատային աստիճանի իջեցնելով։ Այս օրենքը գործում է այնպես, ինչպես ընդհանուր հայտարարը կոտորակներ գումարելիս կամ հանելիս:

Եթե արմատական արտահայտության մեջ կա մի թիվ, որը հասցված է աստիճանի, ապա այս արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել, պայմանով, որ արմատի արտահայտիչի և հզորության միջև կա ընդհանուր հայտարար։

Մաթեմատիկայի մեջ արմատները կարող են լինել քառակուսի, խորանարդ կամ ցանկացած այլ ցուցիչ (աստիճան), որը գրված է ձախ կողմում՝ արմատի նշանի վերևում: Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է արմատական արտահայտություն: Արմատներ ավելացնելը նման է հանրահաշվական արտահայտության անդամներ ավելացնելուն, այսինքն՝ պահանջում է նմանատիպ արմատների սահմանում։

Քայլեր

2-րդ մաս 1. Արմատների որոշում

Արմատային նշանակում.Արմատային նշանի տակ () արտահայտությունը նշանակում է, որ այս արտահայտությունից պետք է որոշակի աստիճանի արմատ հանել:

Արմատը նշվում է նշանով.
Արմատի նշանի վերևում ձախ կողմում գրված է արմատի ցուցիչը (աստիճանը): Օրինակ՝ 27-ի խորանարդի արմատը գրված է այսպես՝ (27)
Եթե արմատի աստիճանը (աստիճանը) բացակայում է, ապա աստիճանը հավասար է 2-ի, այսինքն՝ քառակուսի արմատն է (կամ երկրորդ աստիճանի արմատը)։
Արմատային նշանից առաջ գրված թիվը կոչվում է բազմապատկիչ (այսինքն՝ այս թիվը բազմապատկվում է արմատով), օրինակ՝ 5 (2)
Եթե արմատի դիմաց գործակից չկա, ապա այն հավասար է 1-ի (հիշենք, որ 1-ով բազմապատկած ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն):
Եթե առաջին անգամ եք աշխատում արմատների հետ, ապա համապատասխան նշումներ կատարեք բազմապատկիչի և արմատային ցուցիչի վերևում, որպեսզի չշփոթվեք և ավելի լավ հասկանաք դրանց նպատակը:

Հիշեք, թե որ արմատները կարելի է ծալել, իսկ որոնք՝ ոչ:Ինչպես դուք չեք կարող ավելացնել արտահայտության տարբեր տերմիններ, օրինակ՝ 2a + 2b 4ab, դուք չեք կարող ավելացնել տարբեր արմատներ:

Դուք չեք կարող արմատներ ավելացնել տարբեր արմատական արտահայտություններով, օրինակ՝ (2) + (3) (5): Բայց դուք կարող եք թվեր ավելացնել մեկ արմատի տակ, օրինակ՝ (2 + 3) = (5) (2-ի քառակուսի արմատը մոտավորապես 1,414 է, 3-ի քառակուսի արմատը մոտավորապես 1,732 է, իսկ 5-ի քառակուսի արմատը մոտավորապես 2,236 է։ ):

Դուք չեք կարող արմատներ ավելացնել միևնույն արմատական արտահայտություններով, այլ տարբեր ցուցիչներով, օրինակ՝ (64) + (64) (այս գումարը հավասար չէ (64-ի), քանի որ 64-ի քառակուսի արմատը 8 է, 64-ի խորանարդը՝ 4, 8 + 4 = 12, ինչը շատ ավելին է, քան 64-ի հինգերորդ արմատը, որը մոտավորապես 2,297 է):

2-րդ մաս 2. Արմատների պարզեցում և ավելացում

Բացահայտեք և խմբավորեք նմանատիպ արմատները:Նմանատիպ արմատներ - արմատներ, որոնք ունեն նույն ցուցանիշները և նույն արմատական արտահայտությունները: Օրինակ, հաշվի առեք արտահայտությունը.
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

Նախ, վերագրեք արտահայտությունը այնպես, որ նույն ցուցիչով արմատները հաջորդաբար տեղակայվեն:
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
Այնուհետև գրիր արտահայտությունը այնպես, որ նույն ցուցիչով և նույն արմատական արտահայտությամբ արմատները լինեն հաջորդական:
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Պարզեցրեք արմատները:Դա անելու համար արմատական արտահայտությունները տարրալուծեք (որտեղ հնարավոր է) երկու գործոնի, որոնցից մեկը հանվում է արմատի տակից։ Այս դեպքում դուրս բերված թիվը և արմատային գործակիցը բազմապատկվում են:

Վերևի օրինակում ընդլայնեք 50-ը 2 * 25-ով և 32-ը 2 * 16-ով: 25-ից և 16-ից կարող եք հանել քառակուսի արմատները (համապատասխանաբար 5 և 4) և արմատի տակից հանել 5-ը և 4-ը՝ դրանք համապատասխանաբար բազմապատկելով 2-ով և 1-ով: Այսպիսով, դուք ստանում եք պարզեցված արտահայտություն՝ 10 (2): ) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

81 թիվը կարող է գործակցվել 3*27-ի, իսկ 27 թվից կարելի է հանել 3-ի խորանարդի արմատը։ Այս թիվը 3-ը կարելի է հանել ռադիկալի տակից։ Այսպիսով, դուք ստանում եք ավելի պարզեցված արտահայտություն՝ 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Ավելացնել նմանատիպ արմատների գործոնները:Մեր օրինակում կան 2-ի նման քառակուսի արմատներ (դրանք կարող են ավելացվել) և 3-ի նույն քառակուսի արմատներ (նրանք կարող են նաև ավելացվել): 3-ի խորանարդ արմատը նման արմատներ չունի։

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Վերջնական պարզեցված արտահայտություն՝ 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

Արտահայտության մեջ արմատների դասավորության ընդհանուր ընդունված կանոններ չկան։ Հետևաբար, կարելի է արմատներ գրել իրենց ցուցանիշների աճման և արմատական արտահայտությունների աճման կարգով:

Ուշադրություն, միայն ԱՅՍՕՐ.

Բոլորը հետաքրքիր են

Արմատային նշանի տակ գտնվող թիվը հաճախ խանգարում է հավասարման լուծմանը, անհարմար է դրա հետ աշխատելը։ Նույնիսկ եթե այն բարձրացվում է աստիճանի, կոտորակային կամ որոշ չափով չի կարող ներկայացվել որպես ամբողջ թիվ, կարող եք փորձել այն բխեցնել…

X թվի արմատը այն թիվն է, որը, երբ հասցվի արմատի հզորությանը, հավասար կլինի x-ի: Բազմապատկիչը այն թիվն է, որը պետք է բազմապատկվի: Այսինքն, x * & ordf- & radic-y նման արտահայտության մեջ դուք պետք է արմատին տեղադրեք x: Հրահանգ 1 Որոշել աստիճանը ...

Եթե արմատական արտահայտությունը պարունակում է փոփոխականներով մաթեմատիկական գործողություններ, ապա երբեմն դրա պարզեցման արդյունքում կարելի է համեմատաբար պարզ արժեք ստանալ, որի մի մասը կարելի է արմատի տակից հանել։ Այս պարզեցումը երբեմն օգտակար է ...

Տարբեր աստիճանի արմատներով թվաբանական գործողությունները կարող են զգալիորեն պարզեցնել ֆիզիկայի և տեխնիկայի հաշվարկները և դրանք ավելի ճշգրիտ դարձնել: Բազմապատկելիս և բաժանելիս ավելի հարմար է ոչ թե արմատը հանել յուրաքանչյուր գործոնից կամ դիվիդենտից ու բաժանարարից, այլ նախ ...

X թվի քառակուսի արմատը a թիվն է, որը բազմապատկելով ինքն իրեն տալիս է x թիվը՝ a * a = a ^ 2 = x, x = a: Ինչպես ցանկացած թվի դեպքում, դուք կարող եք կատարել գումարման և հանման թվաբանական գործողություններ քառակուսի արմատներով: Հրահանգներ...

Արմատը մաթեմատիկայի մեջ կարող է ունենալ երկու իմաստ՝ դա թվաբանական գործողություն է և հավասարման, հանրահաշվական, պարամետրային, դիֆերենցիալ կամ որևէ այլ լուծում։ Հրահանգ 1 Ա թվի n-րդ արմատն այնպիսի թիվ է, որ ...

Արմատներով տարբեր թվաբանական գործողություններ կատարելիս հաճախ անհրաժեշտ է լինում ռադիկալ արտահայտությունները փոխակերպել։ Հաշվարկները պարզեցնելու համար կարող է անհրաժեշտ լինել արմատականի նշանից այն կողմ հանել գործոնը կամ ավելացնել դրա տակ։ Այս գործողությունը կարող է...

Արմատը պատկերակ է, որը ցույց է տալիս այդպիսի թվի հայտնաբերման մաթեմատիկական գործողությունը, որի բարձրացումը արմատային նշանի դիմաց նշված հզորությանը պետք է տա նույն նշանի տակ նշված թիվը: Հաճախ այն խնդիրների լուծման համար, որոնցում կան ...

Արմատային նշանը մաթեմատիկական գիտություններում արմատների խորհրդանիշն է: Արմատային նշանի տակ գտնվող թիվը կոչվում է արմատական արտահայտություն: Ցուցանիշի բացակայության դեպքում արմատը քառակուսի է, հակառակ դեպքում թիվը ցույց է տալիս ...

Իրական a թվի n-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական x թիվ է, որի n-րդ հզորությունը հավասար է a թվին։ Նրանք. (n) a = x, x ^ n = a. Թվաբանական արմատ և ռացիոնալ թիվ ավելացնելու տարբեր եղանակներ կան:

Իրական a թվի n-րդ արմատը b թիվ է, որի համար b ^ n = a հավասարությունը ճիշտ է։ Կենտ արմատներ կան բացասական և դրական թվերի համար, իսկ զույգ արմատներ՝ միայն դրականների համար:...

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

Երբ դուք հարցում եք թողնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլփոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և հաղորդել եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ իրադարձություններ և գալիք իրադարձություններ:
Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ գովազդային միջոցառման, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը այդ ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

Եթե անհրաժեշտ է` օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական վարույթներում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա` բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ սոցիալական այլ կարևոր պատճառներով:
Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմին՝ իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Որպեսզի համոզվենք, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք ներկայացնում ենք գաղտնիության և անվտանգության կանոնները մեր աշխատակիցներին և խստորեն վերահսկում ենք գաղտնիության միջոցների իրականացումը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր այնքան էլ ուժեղ չեն: «
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ հավասար են. »)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք, թե ինչ է քառակուսի արմատը: Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են արմատային բանաձևերինչ են արմատային հատկությունները, և ինչ կարող ես անել այս ամենի հետ։

Արմատային բանաձևեր, արմատային հատկություններ և արմատների հետ գործողությունների կանոններԸստ էության նույն բանն են. Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչը, իհարկե, հաճելի է: Ավելի շուտ, դուք կարող եք գրել շատ տարբեր բանաձևեր, բայց արմատների հետ գործնական և վստահ աշխատանքի համար բավարար է միայն երեքը: Մնացած բոլոր այս երեք հոսքերը: Չնայած շատ մարդիկ կորչում են երեք արմատային բանաձեւերի մեջ, այո:

Սկսենք ամենապարզից: Ահա նա.

Հիշեցնեմ (նախորդ դասից). a և b-ն ոչ բացասական թվեր են! Հակառակ դեպքում բանաձեւն իմաստ չունի։

Արմատների այս հատկությունը, ինչպես տեսնում եք՝ պարզ, կարճ ու անվնաս։ Բայց կան տոննա օգտակար բաներ, որոնք դուք կարող եք անել այս արմատային բանաձևով: Եկեք վերլուծենք օրինակներայս բոլոր օգտակար բաները:

Օգտակար բան առաջին հերթին. Այս բանաձեւը մեզ թույլ է տալիս բազմապատկել արմատները.

Ինչպե՞ս բազմապատկել արմատները:

Դա շատ պարզ է. Ուղիղ բանաձևով. Օրինակ:

Թվում է, թե դրանք շատացել են, իսկ ի՞նչ։ Որքա՞ն ուրախություն ?! Համաձայն եմ, մի քիչ։ Բայց ինչպես է ձեզ դուր գալիս սա օրինակ?

Արմատները ճշգրիտ չեն արդյունահանվում գործոններից: Եվ արդյունքը գերազանց է: Ավելի լավ է, չէ՞: Համենայն դեպս, տեղեկացնեմ, որ մուլտիպլիկատոր կարող է լինել այնքան, որքան ուզեք։ Արմատների բազմապատկման բանաձեւը դեռ գործում է։ Օրինակ:

Այսպիսով, բազմապատկմամբ ամեն ինչ պարզ է, թե ինչու է դա անհրաժեշտ արմատային հատկություն- նույնպես հասկանալի.

Երկրորդը օգտակար է. Մուտքագրելով համարը արմատային նշանի տակ:

Ինչպե՞ս արմատավորել թիվը:

Ենթադրենք, որ ունենք այսպիսի արտահայտություն.

Հնարավո՞ր է արմատի ներսում թակարդը թաքցնել: Հեշտությամբ! Եթե երկուսի արմատ կազմեք, արմատների բազմապատկման բանաձեւը կաշխատի։ Իսկ ինչպե՞ս անել երկուից արմատ։ Այո, նույնպես հարց չէ: Դյուսն է քառակուսի արմատ չորս!

Արմատը, ի դեպ, կարելի է պատրաստել ցանկացած ոչ բացասական թվից։ Սա կլինի այս թվի քառակուսու արմատը: 3 - 9-ի արմատը. 8 - 64-ի արմատը. 11 - 121-ի արմատը: Դե և այլն:

Իհարկե, այդքան մանրամասն նկարագրելու կարիք չկա։ Եթե սկզբի համար. Բավական է հասկանալ, որ արմատով կարելի է բազմապատկել ցանկացած ոչ բացասական թիվ։ Բայց մի մոռացեք. - արմատի տակ այս թիվը կդառնա քառակուսիինքներդ: Այս գործողությունը՝ թիվը արմատի տակ դնելը, կարելի է անվանել նաև թիվը արմատով բազմապատկել։ Ընդհանուր առմամբ, կարող եք գրել.

Գործընթացը պարզ է, ինչպես տեսնում եք: Ինչու է դա անհրաժեշտ:

Ինչպես ցանկացած փոխակերպման դեպքում, այս ընթացակարգը ընդլայնում է մեր հնարավորությունները: Բռնի և անհարմար արտահայտությունը փափուկ և փափուկ արտահայտության վերածելու հնարավորություններ:) Ահա ձեզ համար պարզ մեկը օրինակ:

Ինչպես տեսնում ես արմատների հատկությունը,Արմատային նշանի տակ գործակից մուտքագրելու թույլտվությունը պարզեցման համար լավ է:

Բացի այդ, արմատի տակ բազմապատկիչ ներմուծելը հեշտ և պարզ է դարձնում տարբեր արմատների արժեքների համեմատությունը: Առանց որևէ հաշվարկի կամ հաշվիչի: Երրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս եք համեմատում արմատները:

Այս հմտությունը շատ կարևոր է ամուր առաքելություններում, մոդուլներ և այլ հետաքրքիր բաներ բացելիս:

Համեմատեք այս արտահայտությունները. Ո՞րն է ավելի մեծ: Հաշվիչ չկա: Բոլորը հաշվիչով: հ-ուհ մի խոսքով, բոլորը կարող են գլուխ հանել:)

Այսպիսով, դուք չեք կարող անմիջապես ասել: Իսկ եթե արմատային նշանի տակ թվեր դնես.

Հիշենք (հանկարծ, չգիտեի՞ք): Եթե արմատի նշանի տակ թիվն ավելի մեծ է, ուրեմն արմատն ինքն ավելի շատ է: Այստեղից էլ ճիշտ պատասխանը՝ առանց որևէ բարդ հաշվարկների և հաշվարկների.

Հիանալի, հա՞: Բայց սա դեռ ամենը չէ: Հիշեցնենք, որ բոլոր բանաձևերն աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Մենք մինչ այժմ օգտագործել ենք արմատները ձախից աջ բազմապատկելու բանաձևը։ Եկեք գործարկենք արմատների այս հատկությունը հակառակ ուղղությամբ՝ աջից ձախ: Սրա նման:

Որն է տարբերությունը? Սա ինչ-որ բան տալիս է!? Իհարկե! Այժմ դուք ինքներդ կտեսնեք:

Ենթադրենք, որ մենք պետք է հանենք (առանց հաշվիչի) 6561 թվի քառակուսի արմատը: Ինչ-որ մեկը այս փուլում կնվազի խնդրի հետ անհավասար պայքարում: Բայց մենք համառ ենք, չենք հանձնվում։ Չորրորդ օգտակար բանը.

Ինչպե՞ս եք արմատախիլ անում մեծ թվերը:

Մենք հիշում ենք ստեղծագործությունից արմատներ հանելու բանաձևը. Այն, որը ես գրել եմ հենց վերևում: Բայց որտե՞ղ ունենք մի կտոր: 6561-ի հսկայական թիվ ունենք ու վերջ։ Այո, աշխատանքն այստեղ չէ։ Բայց եթե մեզ պետք է, մենք ունենք եկեք անենք! Հաշվի առնենք այս թիվը: Մենք իրավունք ունենք.

Նախ, եկեք պարզենք, թե կոնկրետ ինչի վրա է բաժանվում այս թիվը: Ինչ, դուք չգիտեք! Մոռացե՞լ եք բաժանելիության նշանները։ Իզուր. Գնացեք Հատուկ բաժին 555, թեմա «Կոտորակներ», ահա դրանք: Այս թիվը բաժանվում է 3-ի և 9-ի։ Քանի որ թվանշանների գումարը (6 + 5 + 6 + 1 = 18) բաժանվում է այս թվերի վրա։ Սա բաժանելիության նշաններից մեկն է։ Մեզ պետք չէ երեքի բաժանել (հիմա կհասկանաք, թե ինչու), բայց մենք կբաժանենք 9-ի։ Գոնե մի անկյուն։ Մենք ստանում ենք 729: Այսպիսով, մենք գտանք երկու գործոն: Առաջինը ինը է (մենք ինքներս ենք ընտրել սա), իսկ երկրորդը՝ 729 (այդպես ստացվեց)։ Արդեն կարող եք գրել.

Գաղափար ունեք: Նույնը կանենք 729 թվի հետ։ Այն նաև բաժանվում է 3-ի և 9-ի: Կրկին մենք չենք բաժանում 3-ի, մենք բաժանում ենք 9-ի: Ստանում ենք 81: Եվ մենք գիտենք այս թիվը: Մենք գրում ենք.

Ամեն ինչ պարզվեց հեշտ և էլեգանտ: Արմատը պետք էր մաս առ մաս հեռացնել, լավ, լավ։ Դուք կարող եք դա անել ցանկացած մեծ թվով: Գործոնավորեք դրանք և գնացեք:

Ի դեպ, ինչո՞ւ պետք չէր բաժանել 3-ի, գուշակեցի՞ք։ Որովհետև երեքի արմատը չի կարելի ճշգրիտ հանել: Իմաստ ունի քայքայվել այնպիսի գործոնների, որ գոնե մեկ արմատ կարելի է հեշտությամբ հանել: Սրանք 4, 9, 16 ջրհոր և այլն: Ձեր ահռելի թիվը հերթով բաժանեք այս թվերի վրա, տեսնում եք, և դուք հաջողակ եք:

Բայց ոչ պարտադիր: Միգուցե բախտավոր չէ: Ենթադրենք 432 թիվը, երբ ֆակտորինգի ենթարկվի և օգտագործվի արտադրանքի արմատային բանաձևը, կտա հետևյալ արդյունքը.

Դե, լավ: Մենք ամեն դեպքում պարզեցրել ենք արտահայտությունը: Մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է արմատի տակ թողնել հնարավորինս փոքր թիվը։ Լուծման գործընթացում ամեն ինչ կախված է օրինակից (գուցե ամեն ինչ կկրճատվի առանց պարզեցման), բայց պատասխանում պետք է տալ այնպիսի արդյունք, որը հնարավոր չէ ավելի պարզեցնել։

Ի դեպ, գիտե՞ք, թե մենք հիմա ինչ ենք արել 432-ի արմատով։

Մենք հեռացնել գործոնները արմատային նշանից ! Սա այս գործողության անվանումն է: Եվ հետո խնդիրը կհանդիպի. հեռացնել գործոնը արմատային նշանից«Բայց տղամարդիկ նույնիսկ չգիտեն:) Ահա ևս մեկ դիմում ձեզ համար. արմատների հատկությունները.Հինգերորդ օգտակար բան.

Ինչպե՞ս հեռացնել գործոնը արմատի տակից:

Հեշտությամբ. Գործոնավորեք արմատական արտահայտությունը և հանեք արդյունահանվող արմատները: Մենք նայում ենք.

Ոչ մի գերբնական բան: Կարևոր է ընտրել ճիշտ բազմապատկիչները: Այստեղ մենք ընդլայնել ենք 72-ը որպես 36 * 2: Եվ ամեն ինչ լավ ստացվեց։ Եվ նրանք կարող էին տարբեր կերպ քայքայվել՝ 72 = 6 · 12: Եւ ինչ!? Արմատը չի հանվում ոչ 6-ից, ոչ 12-ից։ Ինչ անել?!

Ամեն ինչ կարգին է. Կամ փնտրեք տարրալուծման այլ տարբերակներ, կամ շարունակեք քայքայել ամեն ինչ մինչև վերջ: Սրա նման:

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ ստացվեց։ Ի դեպ, սա ոչ թե ամենաարագ, այլ ամենահուսալի միջոցն է։ Թիվը տարրալուծեք ամենափոքր գործոնների, այնուհետև նույնները հավաքեք կույտերով: Մեթոդը հաջողությամբ կիրառվում է նաև անհարմար արմատները բազմապատկելիս։ Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք.

Բազմապատկեք ամեն ինչ՝ խելագար թիվ: Եվ հետո ինչպե՞ս արմատը հանել դրանից: Կրկին տարրալուծվել բազմապատկիչների՞: Ոչ, մեզ լրացուցիչ աշխատանք պետք չէ։ Մենք այն անմիջապես դասավորում ենք գործոնների և նույնը հավաքում կույտերով.

Այսքանը: Իհարկե, պետք չէ այն մինչև վերջ բացել։ Ամեն ինչ որոշվում է ձեր անձնական ունակություններով։ Օրինակը բերեցին մի վիճակ, որտեղ ձեզ համար ամեն ինչ պարզ էհետևաբար, մենք արդեն կարող ենք հաշվել: Գլխավորը չսխալվելն է։ Ոչ թե մարդ մաթեմատիկայի համար, այլ մաթեմատիկան մարդու համար:)

Կիրառե՞նք գիտելիքները պրակտիկային։ Սկսենք պարզից.

Քառակուսի արմատների ավելացման կանոն

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա կատարել ենք հինգ թվաբանական գործողություն՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճանավորում, իսկ հաշվարկներում ակտիվորեն օգտագործվել են այդ գործողությունների տարբեր հատկություններ, օրինակ՝ a + b = b + a, և n -b n = (ab) n և այլն։

Այս գլխում ներկայացվում է նոր գործողություն՝ վերցնելով ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը: Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում։

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.
Մենք պետք է ապացուցենք, որ x, y, z ոչ բացասական թվերի համար գործում է x = yz հավասարությունը:

Այսպիսով, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b: Այնուհետև x 2 = y 2 z 2, այսինքն x 2 = (yz) 2:

Եթե քառակուսիներերկու ոչ բացասական թվեր հավասար են, այնուհետև թվերն իրենք են հավասար, ինչը նշանակում է, որ x 2 = (yz) 2 հավասարությունից հետևում է, որ x = yz, և սա այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել:

Ահա թեորեմի ապացույցի կարճ ամփոփումը.

Դիտողություն 1. Թեորեմը մնում է վավեր այն դեպքում, երբ արմատական արտահայտությունը երկուից ավելի ոչ բացասական գործոնների արտադրյալ է։

Դիտողություն 2. Թեորեմ 1-ը կարող է ձևաչափվել՝ օգտագործելով «եթե. , ապա »(ինչպես ընդունված է մաթեմատիկայի թեորեմների համար): Տանք համապատասխան ձևակերպումը. եթե a-ն և b-ն ոչ բացասական թվեր են, ապա հավասարությունը .

Հաջորդ թեորեմը կձևակերպենք հենց այսպես.

(Կարճ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատը հավասար է արմատների կոտորակի կամ գործակցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին):

Այս անգամ մենք միայն հակիրճ կներկայացնենք ապացույցը, իսկ դուք փորձեք կատարել համապատասխան մեկնաբանություններ, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Օրինակ 1. Հաշվել.
Լուծում. Օգտագործելով առաջին գույքը քառակուսի արմատներ(Թեորեմ 1), մենք ստանում ենք

Դիտողություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա հանեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, պետք է խոստովանեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի։

Դիտողություն 4. Առաջին մեթոդով մենք «գլխով» հաշվարկներ ենք կատարել: Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) և օգտագործեց քառակուսի արմատների հատկությունը:

Դիտողություն 5. Որոշ տաքգլուխներ երբեմն առաջարկում են այս լուծումը Օրինակ 3-ի համար.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ մեր օրինակ 3-ում: Բանն այն է, որ սեփականություն չկա: քանի որ հատկություններ չկան Կան միայն հատկություններ՝ կապված քառակուսի արմատների բազմապատկման և բաժանման հետ։ Զգույշ եղեք և զգույշ եղեք, որպեսզի չլինեք ցանկալի մտածողություն:

Օրինակ 4... Հաշվիր՝ ա)
Լուծում. Հանրահաշվում ցանկացած բանաձև օգտագործվում է ոչ միայն «աջից ձախ», այլև «ձախից աջ»: Այսպիսով, քառակուսի արմատների առաջին հատկությունը նշանակում է, որ անհրաժեշտության դեպքում այն կարող է ներկայացվել ձևով և հակառակը, որը կարող է փոխարինվել արտահայտությամբ։Նույնը վերաբերում է քառակուսի արմատների երկրորդ հատկությանը։ Սա հաշվի առնելով՝ լուծենք առաջարկվող օրինակը։

Եզրափակելով բաժինը, մենք նշում ենք ևս մեկ բավականին պարզ և միևնույն ժամանակ կարևոր հատկություն.
եթե a> 0 և n - բնական թիվ, ապա

Օրինակ 5.Հաշվիր առանց թվերի քառակուսիների աղյուսակի և միկրո հաշվիչի օգտագործման:

Լուծում. Արմատական թիվը տարրալուծենք պարզ գործոնների.

Դիտողություն 6. Այս օրինակը կարող է լուծվել այնպես, ինչպես § 15-ի համանման օրինակը: Դժվար չէ կռահել, որ պատասխանը կլինի «80 պոչով», քանի որ 80 2 2: Գտնենք «պոչը», այսինքն՝ պահանջվող թվի վերջին թվանշանը։ Մինչդեռ մենք գիտենք, որ եթե արմատը հանված է, ապա պատասխանը կարող է լինել 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 կամ 89: Մեզ միայն պետք է ստուգել երկու թիվ՝ 84 և 86, քանի որ միայն նրանք կտան: որպես արդյունք քառանիշ 6-ով վերջացող թիվ, այսինքն. նույն թվանշանը, որն ավարտվում է 7056 թվով: Մենք ունենք 84 2 = 7056, սա այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է: Նշանակում է,

Ա.Գ.Մորդկովիչ, Հանրահաշիվ... 8-րդ դասարան՝ Դասագիրք. հանրակրթության համար։ հաստատություններ - 3-րդ հրտ., վերանայված. - M .: Mnemozina, 2001 .-- 223 s: հիվանդ.

Գրքեր, մաթեմատիկայի դասագրքեր ներբեռնում, համառոտագիր ուսուցիչներին և ուսանողներին օգնելու համար, սովորել առցանց

Եթե ունեք ուղղումներ կամ առաջարկություններ այս դասի համար, գրեք մեզ:

Եթե ցանկանում եք տեսնել դասերի այլ ճշգրտումներ և ցանկություններ, տես այստեղ՝ Կրթական ֆորում:

Ինչպես ավելացնել քառակուսի արմատներ

Թվի քառակուսի արմատ Xզանգահարել է համարը Ա, որն ինքն իրենով բազմանալու գործընթացում ( Ա * Ա) կարող է համարը տալ X.
Նրանք. A * A = A 2 = X, և √X = Ա.

Քառակուսի արմատներից ( √x), ինչպես մյուս թվերի դեպքում, դուք կարող եք կատարել թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են հանումը և գումարումը: Արմատները հանելու և ավելացնելու համար դրանք պետք է միացվեն այդ գործողություններին համապատասխանող նշանների միջոցով (օրինակ √x - √ տ ).
Եվ հետո արմատները բերեք իրենց ամենապարզ ձևին. եթե նրանց միջև կան նմանատիպեր, ապա անհրաժեշտ է գիպս պատրաստել: Այն բաղկացած է նրանից, որ համանման տերմինների գործակիցները վերցվում են համապատասխան անդամների նշաններով, այնուհետև դրանք փակցվում են փակագծերում և ընդհանուր արմատը հանվում է գործոնի փակագծերից դուրս։ Մեր ստացած գործակիցը պարզեցված է սովորական կանոններով։

Քայլ 1. Քառակուսի արմատների արդյունահանում

Նախ, քառակուսի արմատներ ավելացնելու համար նախ պետք է հանել այս արմատները: Դա կարելի է անել, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ են: Օրինակ՝ վերցնենք տրված արտահայտությունը √4 + √9 ... Առաջին համարը 4 թվի քառակուսին է 2 ... Երկրորդ համարը 9 թվի քառակուսին է 3 ... Այսպիսով, դուք կարող եք ստանալ հետևյալ հավասարությունը. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Ամեն ինչ, օրինակը լուծված է։ Բայց դա միշտ չէ, որ այդքան պարզ է:

Քայլ 2. Արմատի տակից հեռացնելով թվի գործակիցը

Եթե արմատի նշանի տակ ամբողջական քառակուսիներ չկան, կարող եք փորձել հեռացնել թվի գործակիցը արմատի նշանի տակից: Օրինակ, վերցնենք արտահայտությունը √24 + √54 .

Թվերի ֆակտորինգ.
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Ցուցակում 24 մենք գործոն ունենք 4 , այն կարելի է հանել քառակուսի արմատի նշանի տակից։ Ցուցակում 54 մենք գործոն ունենք 9 .

Մենք ստանում ենք հավասարություն.
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Հաշվի առնելով այս օրինակը՝ մենք ստանում ենք արմատական նշանից հանված գործոնը՝ դրանով իսկ պարզեցնելով տրված արտահայտությունը։

Քայլ 3. Հայտարարի կրճատում

Դիտարկենք հետևյալ իրավիճակը. երկու քառակուսի արմատների գումարը կոտորակի հայտարարն է, օրինակ. A / (√a + √b).
Հիմա մեր առջեւ խնդիր է դրված «ձերբազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից»։
Կիրառենք հետևյալ մեթոդը՝ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք արտահայտությամբ. √a - √b.

Այժմ մենք ստանում ենք հայտարարի մեջ կրճատ բազմապատկման բանաձևը.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Նմանապես, եթե հայտարարը պարունակում է արմատների տարբերություն. √a - √b, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են արտահայտությամբ √a + √b.

Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը.
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Բարդ հայտարարի կրճատման օրինակ

Այժմ մենք կդիտարկենք հայտարարի մեջ իռացիոնալությունից ազատվելու բավականին բարդ օրինակ։

Օրինակ վերցրեք կոտորակը. 12 / (√2 + √3 + √5) .
Դուք պետք է վերցնեք դրա համարիչը և հայտարարը և բազմապատկեք արտահայտությամբ √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Քայլ 4. Հաշվարկեք հաշվիչի մոտավոր արժեքը

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, ապա դա կարելի է անել հաշվիչի վրա՝ հաշվարկելով քառակուսի արմատի արժեքը: Արժեքը յուրաքանչյուր թվի համար հաշվարկվում է առանձին և գրանցվում պահանջվող ճշգրտությամբ, որը որոշվում է տասնորդական տեղերի քանակով: Այնուհետև կատարվում են բոլոր անհրաժեշտ գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում։

Մոտավոր արժեքի հաշվարկման օրինակ

Անհրաժեշտ է հաշվարկել այս արտահայտության մոտավոր արժեքը √7 + √5 .

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ոչ մի դեպքում չպետք է քառակուսի արմատներ ավելացնել որպես պարզ թվեր, սա բացարձակապես անընդունելի է: Այսինքն, եթե գումարենք հինգի և երեքի քառակուսի արմատը, չենք կարող ստանալ ութի քառակուսի արմատը։

Օգտակար խորհուրդ․ եթե որոշել եք թիվ չափել, ապա արմատի նշանից քառակուսին հանելու համար անհրաժեշտ է կատարել հակադարձ ստուգում, այսինքն՝ բազմապատկել բոլոր այն գործոնները, որոնք ստացվել են հաշվարկների արդյունքում, և Այս մաթեմատիկական հաշվարկի վերջնական արդյունքը պետք է լինի այն թիվը, որն ի սկզբանե նշանակվել է մեզ:

Գործողություն արմատներով՝ գումարում և հանում

Թվի քառակուսային արմատը հանելը միակ գործողությունը չէ, որը կարելի է կատարել այս մաթեմատիկական երևույթի հետ։ Ինչպես սովորական թվերը, այնպես էլ քառակուսի արմատները գումարվում և հանվում են:

Քառակուսի արմատների գումարման և հանման կանոնները

Քառակուսի արմատի գումարումը և հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արտահայտությունը նույնն է:

Դուք կարող եք ավելացնել կամ հանել արտահայտությունները 2 3 և 6 3բայց ոչ 56 և 9 4. Եթե կարելի է նույն արմատական թվով արտահայտությունը պարզեցնել և արմատներին հասցնել, ապա պարզեցնել, հետո գումարել կամ հանել։

Արմատավորված գործողություններ. հիմունքներ

6 50 — 2 8 + 5 12

Պարզեցնել արմատական արտահայտությունը... Դրա համար անհրաժեշտ է արմատական արտահայտությունը տարրալուծել 2 գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվ, որից ամբողջ քառակուսի արմատ է հանվում, օրինակ՝ 25 կամ 9)։
Այնուհետև պետք է հանել քառակուսի թվի արմատըև ստացված արժեքը գրի՛ր արմատային նշանից առաջ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ գործոնը մուտքագրվում է արմատային նշանի տակ:
Պարզեցման գործընթացից հետո անհրաժեշտ է արմատները շեշտել նույն արմատական արտահայտություններով՝ միայն դրանք կարելի է ավելացնել և հանել։
Նույն արմատական արտահայտություններով արմատների համար անհրաժեշտ է գումարել կամ հանել գործոններ, որոնք կանգնած են արմատային նշանի դիմաց։ Արմատական արտահայտությունը մնում է անփոփոխ։ Դուք չեք կարող գումարել կամ հանել արմատական թվեր:

Եթե դուք ունեք մեծ թվով միանման արմատական արտահայտություններով օրինակ, ապա ընդգծեք նման արտահայտությունները մեկ, կրկնակի և եռակի տողերով, որպեսզի հեշտացնեք հաշվարկի գործընթացը:

Փորձենք լուծել այս օրինակը.

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2: Նախ պետք է 50-ը քայքայել 25-ի և 2-ի 2 գործոնի, հետո հանել 25-ի արմատը, որը 5-ն է, իսկ 5-ը հանել արմատի տակից։ Դրանից հետո անհրաժեշտ է 5-ը բազմապատկել 6-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 30 2:

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2: Նախ պետք է 8-ը քայքայել 2 գործոնի՝ 4-ի և 2-ի: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը հավասար է 2-ի, իսկ արմատի տակից հանել 2-ը: Դրանից հետո անհրաժեշտ է 2-ը բազմապատկել 2-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 4 2:

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3: Նախ պետք է 12-ը 2 գործոնի վերածել՝ 4 և 3: Այնուհետև 4-ից հանել արմատը, որը 2-ն է, և հանել արմատի տակից: Դրանից հետո անհրաժեշտ է 2-ը բազմապատկել 5-ով (արմատի գործակիցը) և ստանալ 10 3:

Պարզեցման արդյունք. 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Արդյունքում մենք տեսանք, թե որքան նույնական արմատական արտահայտություններ կան այս օրինակում: Հիմա եկեք պարապենք այլ օրինակներով։

Մենք պարզեցնում ենք (45): Գործոն 45: (45) = (9 × 5);
Արմատի տակից հանում ենք 3 հատ (9 = 3) 45 = 3 5;
Արմատներում ավելացրեք գործոնները՝ 3 5 + 4 5 = 7 5:
Պարզեցնել 6 40. Գործոն 40: 6 40 = 6 (4 × 10);
Արմատի տակից հանում ենք 2 հատ (4 = 2) 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
Մենք բազմապատկում ենք արմատի դիմաց կանգնած գործոնները՝ 12 10;
Արտահայտությունը գրում ենք պարզեցված ձևով՝ 12 10 - 3 10 + 5;
Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն արմատական թվերը, մենք կարող ենք հանել դրանք՝ (12 - 3) 10 = 9 10 + 5:

Ինչպես տեսնում ենք, հնարավոր չէ պարզեցնել արմատական թվերը, ուստի օրինակում փնտրում ենք նույն արմատական թվերով անդամներ, կատարում մաթեմատիկական գործողություններ (գումարում, հանում և այլն) և արդյունքը գրում.

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Խորհուրդ.

Նախքան գումարելը կամ հանելը, անհրաժեշտ է պարզեցնել (հնարավորության դեպքում) արմատական արտահայտությունները:
Տարբեր արմատական արտահայտություններով արմատներ ավելացնելն ու հանելը խստիվ արգելվում է։
Ամբողջ թիվ կամ արմատ չի կարելի ավելացնել կամ հանել՝ 3 + (2 x) 1/2:
Կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է գտնել մի թիվ, որն ամբողջությամբ բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա, այնուհետև կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա գումարել համարիչները, իսկ հայտարարները թողնել անփոփոխ։

Քառակուսի արմատների թվաբանական հատկությունները. Թվաբանական քառակուսի արմատի հզորությունը

Փոխարկել թվաբանական քառակուսի արմատները: Թվաբանական քառակուսի արմատների վերադասավորում

Արդյունահանելու համար բազմանդամի քառակուսի արմատ, անհրաժեշտ է հաշվել բազմանդամը և ստացված թվից հանել արմատը։

Ուշադրություն.Դուք չեք կարող արմատը հանել յուրաքանչյուր տերմինից (նվազեցված և հանված) առանձին:

Schob vityagti բազմանդամի քառակուսի արմատ, պահանջվում է հաշվարկել միավորների քանակը նշված քանակի վիտյագտի արմատներից։

Ուվագա!Հնարավոր չէ արմատը վիտյագատել մաշկի հավելումից (փոփոխված և խոշոր) օկրեմոյից:

Արտադրանքի քառակուսի արմատը հանելու համար (քառակուսի), կարող եք հաշվարկել յուրաքանչյուր գործոնի քառակուսի արմատը (շահաբաժին և բաժանարար), և ստացված արժեքները վերցնել արտադրյալով (քանակով):

Schob vityagti քառակուսի արմատ z dobutku (մասեր), կարելի է հաշվարկել կաշվի բազմապատկիչի քառակուսի արմատը (նշվում է і dіlnika), իսկ արժեքը հանել՝ վերցնելով որպես կոտորակ։

Կոտորակի քառակուսի արմատը հանելու համար, անհրաժեշտ է առանձին հանել համարիչի և հայտարարի քառակուսի արմատը, իսկ ստացված արժեքները թողնել որպես կոտորակ կամ հաշվարկել որպես գործակից (եթե հնարավոր է ըստ պայմանի):

Schhob vityagti քառակուսի արմատը կոտորակի հետ, անհրաժեշտ է ստանդարտ նշանի і թվից վերցնել քառակուսի արմատը և իմաստը հանել որպես կոտորակ կամ հաշվել այն մասը (ինչը կարելի է անել մտքի համար):

Արմատային նշանի տակից դուք կարող եք հանել գործակիցը և կարող եք ավելացնել բազմապատկիչ արմատային նշանի տակ: Երբ գործոնը հանվում է, դրանից արմատը հանվում է, իսկ երբ ներմուծվում է՝ բարձրացվում է համապատասխան հզորության։

Արմատային նշանի համար կարող եք ավելացնել բազմապատկիչ, իսկ արմատային նշանի համար կարող եք ավելացնել բազմապատկիչ: Երբ բազմապատկիչը հաղթում է, արմատն աճում է, իսկ երբ ներմուծվում է, դաստիարակվում է առաջին քայլերից։

Օրինակներ. Ներդրեք

Քառակուսի արմատների գումարը (տարբերությունը) փոխակերպելու համար անհրաժեշտ է արմատական արտահայտությունները նվազեցնել աստիճանի մեկ հիմքի վրա, հնարավորության դեպքում արմատները հանել հզորություններից և գրել դրանք արմատների նշաններից առաջ, իսկ մնացած քառակուսի արմատները՝ կարելի է ավելացնել նույն արմատական արտահայտությունները, որոնց համար գործակիցները գումարվում են նշանի արմատից առաջ և գումարվում է նույն քառակուսի արմատը։

Քառակուսի արմատների գումարը (աճը) վերաձևակերպելու համար անհրաժեշտ է աստիճանների արմատները բերել աստիճանի նույն հիմքին, կարելի է նաև հանել աստիճանների արմատը և դրանք գրել դիմացի հատվածում. արմատների նշանները, և քայլերի քառակուսի արմատները լուծելու համար և ավելացնել նույն քառակուսի արմատը:

Եկեք բոլոր արմատական արտահայտությունները բերենք 2-րդ հիմքին:

Զույգ աստիճանից արմատն ամբողջությամբ հանվում է, կենտ աստիճանից՝ 1 աստիճանի հիմքի արմատը մնում է արմատային նշանի տակ։

Տալիս ենք միանման ամբողջ թվեր և գումարում ենք նույն արմատներով գործակիցները։ Երկանդամը գրում ենք որպես թվի և գումարի երկանդամի արտադրյալ։

Ղեկավարեց բոլոր podkoreny virazi-ն դեպի բազա 2:

Զուգակցված քայլից աճում է արմատի արմատը, չզույգված քայլից 1-ին քայլի հիմքի արմատը ստվերվում է արմատի նշանով։

Հավանաբար, թվերի քանակն ու պահեստի կատարողականը պահվում են նույն արմատներում: Գրավոր երկտողային յակ գումարեք երկու անդամական սումի i թվին։

Արմատական արտահայտությունները բերում ենք ամենափոքր հիմքին կամ աստիճանների արտադրյալին ամենափոքր հիմքերով։ Արմատական արտահայտությունների զույգ հզորություններից մենք հանում ենք արմատը, մնացորդները աստիճանի հիմքի տեսքով՝ 1 աստիճանով կամ նման հիմքերի արտադրյալով, մնում են արմատային նշանի տակ։ Մենք տալիս ենք նմանատիպ տերմիններ (ավելացնում ենք նույն արմատների գործակիցները):

Հավանաբար, մենք գնում ենք ամենացածր բազան կամ ավելացնում ենք քայլերը լավագույն բազայից: Արմատավոր վիրազների երեք զույգ աստիճանները կենսական արմատներ են, ավելցուկ 1 ցուցիչով քայլի վիգլյադի հիմքում, կամ եթե այդպիսի հիմքեր ավելացվեն արմատի նշանին։ Հավանաբար որոշ անդամներ (նույն արմատների բաժնետոմսերը):

Կոտորակների բաժանումը փոխարինի՛ր բազմապատկմամբ (երկրորդ կոտորակի փոխարինմամբ հակադարձով): Կոտորակների համարիչներն ու հայտարարներն առանձին-առանձին բազմապատկենք։ Արմատի յուրաքանչյուր նշանի տակ ընտրեք աստիճանները: Կրճատել նույն գործոնները համարիչում և հայտարարում: Արմատներ հանենք հավասար աստիճաններից։

Փոխարինվում է բազմաթիվ կոտորակներով (մեկ այլ կոտորակի փոխարինում զանգողով): Բազմապատկեք օկրեմո թվերը և կոտորակների հայտարարները: Արմատի մաշկային նշանի տակ քայլերը տեսանելի են։ Արագ նույն բազմապատկիչները թվի և հայտարարի մեջ: Vinesemo արմատը սանդուղքի աստիճաններից:

Երկու քառակուսի արմատները համեմատելու համար, դրանց արմատական արտահայտությունները պետք է աստիճանի հասցնել նույն հիմքով, ապա որքան շատ ցույց տրվեն արմատական արտահայտության աստիճանները, այնքան մեծ կլինի քառակուսի արմատի արժեքը։

Այս օրինակում անհնար է արմատական արտահայտությունները նվազեցնել մեկ հիմքի վրա, քանի որ առաջին հիմքում այն 3 է, իսկ երկրորդում՝ 3 և 7։

Համեմատության երկրորդ եղանակը արմատական արտահայտության մեջ արմատի գործակիցը մուտքագրելն է և արմատական արտահայտության թվային արժեքները համեմատելը: Քառակուսի արմատի համար որքան մեծ է արմատական արտահայտությունը, այնքան մեծ է արմատի արժեքը:

Schob-ը վերցնում է երկու քառակուսի արմատ, їх pіdkorenі virazi պետք է աստիճանի հասցնել նույն հիմքով, որն ավելի շատ վկայում է pіdkoreny viraz-ի աստիճանի մասին, որն ավելին է, քան քառակուսի արմատի արժեքը:

Առաջինում վիրազին հնարավոր չէ բերել նույն հիմքին, քանի որ առաջինում հիմքը 3 է, իսկ մյուսում՝ 3 և 7։

Պոլիագուսը կարգավորելու մեկ այլ միջոց է արմատային գործոնը արմատ-արմատային վիրուսին և արմատ-արմատ վիրուսների քանակի համամասնությունը ավելացնելը: Քառակուսի արմատն ունի ավելի մեծ արմատ վիրազ, և ավելի մեծ արմատային արժեք:

Օգտագործելով բազմապատկման բաշխման օրենքը և նույն ցուցիչներով արմատները (մեր դեպքում՝ քառակուսի արմատները) բազմապատկելու կանոնը, ստացանք երկու քառակուսի արմատների գումարը՝ արմատային նշանի տակ գտնվող արտադրյալով։ Մենք 91-ը տարրալուծում ենք պարզ գործոնների և արմատը դնում ենք փակագծերից դուրս՝ ընդհանուր արմատական գործակիցներով (13 * 5):

Ստացել ենք արմատի և երկանդամի արտադրյալը, որի միանդամներից մեկն ամբողջ թիվ է (1):

Բազմապատկման Vikoristovuchi rozpodilny օրենքը և նույն ցուցանիշներով արմատները բազմապատկելու կանոնը (մեր տեսակի մեջ՝ քառակուսի արմատներ), մենք վերցրեցինք երկու քառակուսի արմատներից բաղկացած մի պարկ՝ արմատի լավ նշանով: Այն կարող է տեղադրվել 91 պարզ բազմապատկիչների և գինեգործական արմատների մեջ կամարների միջոցով և արտաարմատային բազմապատկիչներից (13 * 5):

Մենք հանեցինք մեկ արմատը і երկշաբաթյա, որում մեկ միանդամն ամբողջում ունի թիվ (1):

Հետույք 9:

Արմատական արտահայտություններում եկեք բազմապատկենք այն թվերը, որոնցից կարող եք հանել ամբողջ քառակուսի արմատը: Վերցրեք աստիճանների քառակուսի արմատները և թվերը դրեք քառակուսի արմատների գործակիցների մեջ։

Այս բազմանդամի անդամներն ունեն ընդհանուր գործակից √3, որը կարելի է հանել փակագծերից։ Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Պիդկորենևիչ վիրուսներում այն դիտվում է որպես թվի բազմապատկիչներ, որոնց համար հնարավոր է մերժել քառակուսի արմատը։ Արդյունքը քառակուսի արմատներ են քայլերից և սահմանվում է քառակուսի արմատների գործակիցների թիվը:

Այս բազմանդամի є պայմանները ունեն √3 բազմապատկիչ, որը կարելի է մեղադրել կամարների համար: Հավանաբար մի քանի դոդանկա։

Երկու միանման հիմքերի (3 և √5) գումարի և տարբերության արտադրյալը՝ ըստ բազմապատկման կրճատ բանաձևի, կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն։

Քառակուսի արմատը միշտ հավասար է ռադիկալ արտահայտությանը, ուստի մենք կազատվենք արտահայտության մեջ եղած ռադիկալից (արմատի նշան):

Dobutok sumi і երկու նույնական հիմքերի (3 і √5) տարբերությունները արագ բազմապատկման բանաձևից կարելի է գրել որպես հիմքերի քառակուսիների տարբերություն։

Քառակուսի արմատը արմատային վիրազի նախադրյալն է, որը արմատական (արմատային նշան) է վիրուսի մեջ:

Վերադառնալ դպրոց. Արմատների ավելացում

Պարզեցման ենթակա հավասարումը.

Առաջին համարն այլևս չի կարելի պարզեցնել։ Անցնում ենք երկրորդ շրջանի։

Գործոն 3√48 48: 48 = 2 × 24 կամ 48 = 3 × 16: 24-ի քառակուսի արմատը ամբողջ թիվ չէ, այսինքն. ունի կոտորակային մնացորդ։ Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է ճշգրիտ արժեք, մոտավոր արմատները մեզ հարմար չեն: 16-ի քառակուսի արմատը 4 է, այն դուրս հանեք արմատի նշանի տակից։ Մենք ստանում ենք՝ 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Մենք վերագրում ենք արտահայտությունը պարզեցված տերմիններով.

Ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

√2 = 1 × √2 - Հուսով եմ, որ հանրահաշվում ընդունված է բաց թողնել նման տարրերը ձեզ համար նորություն չի լինի:

Արտահայտությունները կարող են ներկայացվել ոչ միայն քառակուսի արմատով, այլև խորանարդ կամ n-րդ արմատով։

Եթե ունենք √a + ∛b + ∜b ձևի արտահայտություն, ապա կարող ենք պարզեցնել այս արտահայտությունը հետևյալ կերպ.

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Նշում. ցուցիչները ավելացվում են միայն բազմապատկելիս:

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ կոտորակները առկա են արտահայտության մեջ:

Մենք որոշելու ենք փուլերով.

5√8 = 5 * 2√2 - արմատի տակից հանվող մասը հանում ենք։

Ահա պատասխանը.

Արտադրանքի և կոտորակի քառակուսի արմատը

Ա թվի քառակուսի արմատը այն թիվն է, որի քառակուսին հավասար է a-ի: Օրինակ, -5 և 5 թվերը 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այսինքն, x ^ 2 = 25 հավասարման արմատները 25 թվի քառակուսի արմատներն են: Այժմ դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել թվի հետ: Քառակուսի արմատի արդյունահանման գործողություն. ուսումնասիրել դրա հիմնական հատկությունները:

Ապրանքի քառակուսի արմատ

√ (a * b) = √a * √b

Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է այս թվերի քառակուսի արմատների արտադրյալին։ Օրինակ, √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Կարևոր է հասկանալ, որ այս հատկությունը վերաբերում է նաև այն դեպքում, երբ արմատական արտահայտությունը երեքի, չորսի և այլնի արտադրյալ է։ ոչ բացասական գործոններ.

Երբեմն այս գույքի մեկ այլ ձևակերպում կա. Եթե a-ն և b-ն ոչ բացասական թվեր են, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը √ (a * b) = √a * √b: Նրանց միջև բացարձակապես ոչ մի տարբերություն չկա, կարող եք օգտագործել կամ մեկը, կամ մյուս ձևակերպումը (ով ավելի հարմար է հիշել, թե որն է):

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եթե a> = 0 և b> 0, ապա ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.

√ (a / b) = √a / √b.

Օրինակ, √ (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

Այս հատկությունն ունի նաև այլ ձևակերպում, իմ կարծիքով՝ անգիր անելու համար ավելի հարմար։
Քառակուսի արմատը հավասար է արմատների գործակցին։

Հարկ է նշել, որ այս բանաձևերը աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ աջից ձախ: Այսինքն, անհրաժեշտության դեպքում մենք կարող ենք արմատների արտադրանքը ներկայացնել որպես արմատ արտադրանքից: Նույնը վերաբերում է երկրորդ գույքին:

Ինչպես նկատեցիք, այս հատկությունները շատ հարմար են, և ես կցանկանայի ունենալ նույն հատկությունները գումարման և հանման համար.

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

Բայց, ցավոք, նման հատկությունները քառակուսի են արմատներ չունենև հետևաբար այդպես չի կարելի անել հաշվարկներում.

13. Ճանապարհային երթեւեկության կանոնների խաչմերուկների անցում 2018 առցանց մեկնաբանություններով 13.1. Աջ կամ ձախ թեքվելիս վարորդը պետք է ճանապարհը զիջի հետիոտներին և հեծանվորդներին, ովքեր անցնում են այն երթևեկելի հատվածը, որտեղ նա թեքվում է: Սույն հրահանգը վերաբերում է բոլոր [...]
Ծնողների հանդիպում «Ծնողների իրավունքները, պարտականությունները և պարտականությունները» Դասի շնորհանդես Ներբեռնեք ներկայացում (536.6 KB) Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել բոլոր [...]
Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաք Օրյոլի մարզում Տարածաշրջանային մայրության մայրաքաղաքը (ՄԿ) Օրյոլի և Օրյոլի մարզում ստեղծվել է 2011 թվականին: Այժմ դա բազմազավակ ընտանիքների սոցիալական աջակցության լրացուցիչ միջոց է՝ միանվագ դրամական [...]
2018 թվականին վաղաժամ գրանցման համար միանվագ նպաստի չափը Ձեր հայցած էջը չի գտնվել: Միգուցե սխալ հասցե եք մուտքագրել, կամ էջը ջնջվել է: Օգտագործեք [...] նավարկելու համար
Տնտեսական իրավաբան Հանցագործությունները տնտեսական ոլորտում բավականին ծավալուն հասկացություն է։ Նման գործողությունները ներառում են խարդախություն, անօրինական բիզնես, փողերի լվացում, անօրինական բանկային [...]
Ռուսաստանի Դաշնության Կենտրոնական բանկի մամուլի ծառայություն (Ռուսաստանի բանկ) Մամուլի ծառայություն 107016, Մոսկվա, փող. 12, Նեգլիննայա փող.
Ջրային ուղիների ընդհանուր բնութագրերը և հակիրճ ակնարկը Ջրային ավազանների դասակարգում Հաճույքների (փոքր) նավերի նավարկության համար ջրային ավազանների դասակարգումը, որը վերահսկվում է Ռուսաստանի GIMS-ի կողմից, իրականացվում է կախված այդ ավազաններում գերակշռող [...]
Կուչերենա = Վիկտոր Ցոյի փաստաբան Եվ սա բացառիկ է. Անատոլի Կուչերենայի այսօրվա նամակը: Շարունակելով թեման. Այս նամակը դեռ ոչ ոք չի հրապարակել։ Բայց կարծում եմ, որ դա անհրաժեշտ է։ Մաս 1-ն առայժմ. Շուտով կհրապարակեմ երկրորդ մասը՝ հայտնի իրավաբանի ստորագրությամբ։ Ինչու է դա կարևոր: […]