Երբ հասարակությունը զարգացավ և արտադրությունը դարձավ ավելի բարդ, զարգացավ նաև մաթեմատիկան: Պարզից բարդի անցում: Գումարման և հանման եղանակով սովորական հաշվառումից, դրանց կրկնվող կրկնությամբ, մենք եկանք բազմապատկման և բաժանման հասկացությանը: Բազմապատկման կրկնվող գործողության կրճատումը դարձել է արագացման հասկացություն: Թվերի հիմքի և ուժի բարձրացման թվերի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռ 8 ​​-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենի կողմից: Նրանցից կարող եք հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը:

Պատմական ուրվագիծ

16 -րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը: Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմաբնույթ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ: Հին սեղանները մեծ ծառայություն մատուցեցին: Նրանք հնարավորություն տվեցին փոխարինել բարդ գործողությունները ավելի պարզ գործողություններով ՝ գումարում և հանում: Մեծ քայլ առաջ էր մաթեմատիկոս Մայքլ Շտիֆելի աշխատանքը, որը հրապարակվեց 1544 թվականին, որում նա իրականացրեց բազմաթիվ մաթեմատիկոսների գաղափարը: Սա հնարավորություն տվեց աղյուսակներ օգտագործել ոչ միայն աստիճանների համար ՝ պարզ նշանների տեսքով, այլև կամայական ռացիոնալ:

1614 թվականին շոտլանդացի Johnոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը: Նոր բարդ աղյուսակներ են կազմվել ՝ սինուսների և կոսինուսների, ինչպես նաև շոշափումների լոգարիթմները հաշվարկելու համար: Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:

Սկսեցին հայտնվել նոր սեղաններ, որոնք երեք դար շարունակ հաջողությամբ օգտագործվում էին գիտնականների կողմից: Երկար ժամանակ պահանջվեց, մինչև հանրահաշվի նոր գործողությունը ձեռք բերեր իր ավարտված տեսքը: Տրվեց լոգարիթմի սահմանումը և ուսումնասիրվեցին դրա հատկությունները:

Միայն 20 -րդ դարում, հաշվիչի և համակարգչի գալուստով, մարդկությունը լքեց հնագույն սեղանները, որոնք հաջողությամբ աշխատում էին 13 -րդ դարում:

Այսօր b բազայի լոգարիթմը a ենք անվանում x թիվ, որը a- ի ուժ է, որպեսզի b թիվը ստացվի: Սա գրված է բանաձևի տեսքով ՝ x = log a (b):

Օրինակ, տեղեկամատյանը 3 (9) կլինի 2. Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե ​​3 -ը բարձրացվի 2 -ի, ապա կստանանք 9:

Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը սահմանում է միայն մեկ սահմանափակում, a և b թվերը պետք է իրական լինեն:

Լոգարիթմների տեսակները

Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում լուծում է a x = b հավասարման: A = 1 տարբերակը սահմանային է և հետաքրքրություն չի ներկայացնում: Նշում. 1 -ը ցանկացած աստիճանի հավասար է 1 -ի:

Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, երբ արմատը և արգումենտը 0 -ից մեծ են, և արմատը չպետք է հավասար լինի 1 -ին:

Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կկոչվեն ՝ կախված դրանց հիմքի մեծությունից.

Կանոններ և սահմանափակումներ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է. Արտադրանքի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին: log abp = log a (b) + log a (p):

Որպես այս հայտարարության տարբերակ `log c (b / p) = log c (b) - log c (p), գործակիցի գործառույթը հավասար է գործառույթների տարբերությանը:

Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ. Log a (b p) = p * log a (b):

Այլ հատկությունները ներառում են.

Մեկնաբանություն Սովորական սխալ թույլ մի տվեք. Գումարի լոգարիթմը հավասար չէ լոգարիթմների գումարին:

Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմը գտնելու գործողությունը բավականին աշխատատար խնդիր է եղել: Մաթեմատիկոսներն օգտագործեցին լոգարիթմական բազմանդամ քայքայման տեսության հայտնի բանաձևը.

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), որտեղ n- ը 1 -ից մեծ բնական թիվ է, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը:

Լոգարիթմներն այլ հիմքերով հաշվարկվել են ՝ օգտագործելով թեորեմը ՝ մեկ հիմքից մյուսը անցնելու և արտադրանքի լոգարիթմի հատկության վրա:

Քանի որ այս մեթոդը շատ ժամանակատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, ապա մենք օգտագործեցինք լոգարիթմների նախապես կազմված աղյուսակներ, ինչը մեծապես արագացրեց ամբողջ աշխատանքը:

Որոշ դեպքերում օգտագործվել են լոգարիթմների հատուկ կազմված գրաֆիկները, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են ցանկալի արժեքի որոնումը: Y = log a (x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս կանոնավոր կանոնի միջոցով գտնել ֆունկցիայի արժեքները ցանկացած այլ կետում: Երկար ժամանակ այդ նպատակների համար ինժեներներն օգտագործում էին այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթը:

17 -րդ դարում հայտնվեցին առաջին օժանդակ անալոգային հաշվարկային պայմանները, որոնք XIX դարում ձեռք բերեցին ամբողջական ձև: Ամենահաջող սարքը կոչվում է սահիկի կանոն: Սարքի ամբողջ պարզությամբ, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրել է բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են արդեն ծանոթ այս սարքին:

Հաշվիչների և համակարգիչների գալուստը անիմաստ դարձրեց որևէ այլ սարքի օգտագործումը:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

• Անցում մի հիմքից մյուսին. Մուտքագրեք a (b) = log c (b) / log c (a);
• Նախորդ տարբերակի հետևանքով. Log a (b) = 1 / log b (a):

Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.

• Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե հիմքն ու փաստարկը երկուսն էլ մեկից ավելի կամ փոքր են. եթե խախտվի առնվազն մեկ պայման, լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
• Եթե ​​լոգարիթմ ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերում, և լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում այն ​​փոխվում է:

Առաջադրանքների օրինակներ

Եկեք քննարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.

Մտածեք լոգարիթմը ուժի մեջ դնելու տարբերակը.

• Խնդիր 3. Հաշվիր 25 ^ log 5 (3): Լուծում. Խնդրի պայմաններում գրառումը նման է հետևյալին (5 ^ 2) ^ log5 (3) կամ 5 ^ (2 * log 5 (3)): Մենք կարող ենք այն գրել այլ կերպ. 5 ^ log 5 (3 * 2), կամ թվի քառակուսին, որպես ֆունկցիայի արգումենտ, կարող է գրվել որպես ֆունկցիայի քառակուսի (5 ^ log 5 (3)) ^ 2: Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները ՝ այս արտահայտությունը 3 ^ 2 է: Պատասխան. Հաշվարկի արդյունքում մենք ստանում ենք 9:

Գործնական օգտագործումը

Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք ՝ իրական կյանքից հեռու է թվում, որ լոգարիթմը հանկարծ մեծ նշանակություն ձեռք բերեց իրական աշխարհում առարկաների նկարագրման համար: Դժվար է գտնել այնպիսի գիտություն, որտեղ այն չկիրառվի: Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն գիտության բնական, այլև մարդասիրական ոլորտներին:

Լոգարիթմական կախվածություններ

Ահա թվային կախվածության մի քանի օրինակ.

Մեխանիկա և ֆիզիկա

Պատմականորեն, մեխանիկան և ֆիզիկան միշտ զարգացել են մաթեմատիկական հետազոտությունների մեթոդների կիրառմամբ և միևնույն ժամանակ ծառայել են որպես խթան մաթեմատիկայի, ներառյալ լոգարիթմների զարգացման համար: Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով: Մենք կտանք ֆիզիկական օրենքների նկարագրության ընդամենը երկու օրինակ `օգտագործելով լոգարիթմը:

Հնարավոր է լուծել այնպիսի բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը, ինչպիսին է հրթիռի արագությունը ՝ օգտագործելով iիոլկովսկու բանաձևը, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտությունների տեսության համար.

V = I * ln (M1 / M2), որտեղ

• V- ը ինքնաթիռի վերջնական արագությունն է:
• Ես շարժիչի հատուկ ազդակն եմ:
• M 1 հրթիռի սկզբնական զանգվածն է:
• M 2 վերջնական զանգվածն է:

Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա մեկ այլ մեծ գիտնական Մաքս Պլանկի բանաձևի օգտագործումն է, որը ծառայում է թերմոդինամիկայում հավասարակշռության վիճակի գնահատմանը:

S = k * ln (Ω), որտեղ

• S - թերմոդինամիկ հատկություն:
• k- ը Բոլցմանի հաստատունն է:
• Ω- ը տարբեր վիճակների վիճակագրական քաշն է:

Քիմիա

Ավելի քիչ ակնհայտ կլինի քիմիայի մեջ լոգարիթմների հարաբերակցությունը պարունակող բանաձևերի օգտագործումը: Մենք նաև կտանք միայն երկու օրինակ.

• Nernst հավասարումը, միջավայրի օքսիդավերականգնման ներուժի վիճակը ՝ կապված նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի հետ:
• Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսիք են ավտոպոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես ամբողջական չեն առանց մեր գործառույթի:

Հոգեբանություն և կենսաբանություն

Եվ բոլորովին անհասկանալի է, թե ինչ կապ ունի հոգեբանությունը դրա հետ: Ստացվում է, որ սենսացիայի ուժը լավ է նկարագրված այս ֆունկցիայով `որպես խթանի ուժգնության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ինտենսիվության ցածր արժեքին:

Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլևս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է կենսաբանության մեջ: Logավալները կարող են գրվել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխանող կենսաբանական ձևերի մասին:

Այլ ոլորտներ

Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այս գործառույթի հետ կապի, և այն իշխում է բոլոր օրենքներին: Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական առաջընթացի հետ: Արժե անդրադառնալ MatProfi կայքին, և նման օրինակները շատ են գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

Theանկը կարող է անվերջ լինել: Տիրապետելով այս գործառույթի հիմնական օրենքներին ՝ կարող եք ընկղմվել անսահման իմաստության աշխարհում:

Այսպիսով, մենք մեր առջև ունենք երկուսի ուժեր: Եթե ​​համարը վերցնում եք ներքևի տողից, ապա հեշտությամբ կարող եք գտնել այն աստիճանը, որով պետք է երկուսը բարձրացնեք այս թիվը ստանալու համար: Օրինակ, 16 ստանալու համար հարկավոր է երկուսը բարձրացնել չորրորդ հզորության: Իսկ 64 -ը ստանալու համար հարկավոր է երկուսը բարձրացնել վեցերորդ հզորության: Սա կարելի է տեսնել սեղանից:

Եվ հիմա, փաստորեն, լոգարիթմի սահմանումը.

X փաստարկի լոգարիթմային բազան այն ուժն է, որին պետք է բարձրացվի a թիվը ՝ x թիվը ստանալու համար:

Նշում. Log a x = b, որտեղ a- ն հիմք է, x- ը փաստարկ է, b- ն իրականում այն ​​է, ինչ լոգարիթմն է:

Օրինակ, 2 3 = 8 ⇒ տեղեկամատյան 2 8 = 3 (8 -ից տեղեկամատյան հիմքը երեքն է, քանի որ 2 3 = 8): Նույն հաջողության մատյանով 2 64 = 6, քանի որ 2 6 = 64:

Տվյալ հիմքում թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է լոգարիթմ: Այսպիսով, եկեք մի նոր տող ավելացնենք մեր սեղանին.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
տեղեկամատյան 2 2 = 1	տեղեկամատյան 2 4 = 2	տեղեկամատյան 2 8 = 3	տեղեկամատյան 2 16 = 4	տեղեկամատյան 2 32 = 5	տեղեկամատյան 2 64 = 6

Unfortunatelyավոք, ոչ բոլոր լոգարիթմներն են այդքան հեշտ հաշվարկվում: Օրինակ, փորձեք գտնել տեղեկամատյան 2 5: Թիվ 5 -ը աղյուսակում չկա, բայց տրամաբանությունը թելադրում է, որ լոգարիթմը ինչ -որ տեղ ընկած լինի հատվածի վրա: Քանի որ 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ. Տասնորդական կետից հետո թվերը կարող են գրվել անվերջ, և դրանք երբեք չեն կրկնվում: Եթե ​​լոգարիթմը իռացիոնալ է ստացվում, ապա ավելի լավ է այդպես թողնել. Տեղեկամատյան 2 5, տեղեկամատյան 3 8, տեղեկամատյան 5 100:

Կարևոր է հասկանալ, որ լոգարիթմը արտահայտություն է երկու փոփոխականով (հիմք և փաստարկ): Սկզբում շատերը շփոթված են, թե որտեղ է հիմքը և որտեղ է փաստարկը: Անհանգստացնող թյուրիմացություններից խուսափելու համար պարզապես նայեք նկարին.

Մեր առջև ոչ այլ ինչ է, քան լոգարիթմի սահմանումը: Հիշեք. լոգարիթմը աստիճանն էորին պետք է բարձրացնել հիմքը ՝ փաստարկը ստանալու համար: Այն հիմքն է, որը բարձրացվում է դեպի հզորություն. Նկարում այն ​​ընդգծված է կարմիրով: Ստացվում է, որ հիմքը միշտ ներքևում է: Ես այս հրաշալի կանոնը պատմում եմ իմ աշակերտներին հենց առաջին դասին - և շփոթություն չի առաջանում:

Մենք պարզեցինք սահմանումը. Մնում է սովորել, թե ինչպես հաշվել լոգարիթմները, այսինքն. ազատվել գերանի նշանից: Սկզբից նշենք, որ սահմանումից հետևում է երկու կարևոր փաստ.

1. Փաստարկը և արմատը պետք է միշտ զրոյից մեծ լինեն: Սա հետևում է աստիճանի սահմանմանը ռացիոնալ ցուցիչով, որի դեպքում նվազեցվում է լոգարիթմի սահմանումը:
2. Հիմքը պետք է տարբերվի մեկից, քանի որ մեկը դեռևս մեկն է ՝ ցանկացած աստիճանի: Դրա պատճառով «ինչքանով պետք է մեկը բարձրացնել, որ երկուսը ստանա» հարցը անիմաստ է: Չկա այդպիսի աստիճան!

Նման սահմանափակումները կոչվում են վավեր արժեքների տիրույթ(ODZ): Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ- ն այսպիսին է ՝ log a x = b ⇒ x> 0, a> 0, a ≠ 1:

Նկատի ունեցեք, որ բ թվի (լոգարիթմի արժեքը) սահմանափակում չկա: Օրինակ, լոգարիթմը կարող է բացասական լինել. Log 2 0.5 = −1, քանի որ 0.5 = 2 −1:

Այնուամենայնիվ, այժմ մենք դիտարկում ենք միայն թվային արտահայտություններ, որտեղ լոգարիթմի ODV- ի իմացությունը պարտադիր չէ: Բոլոր սահմանափակումներն արդեն հաշվի են առնվել առաջադրանք կազմողների կողմից: Բայց երբ լոգարիթմական հավասարումները և անհավասարությունները հայտնվեն, DHS- ի պահանջները կդառնան պարտադիր: Իրոք, հիմքում և փաստարկում կարող են լինել շատ ամուր շինություններ, որոնք անպայման չեն համապատասխանում վերը նշված սահմանափակումներին:

Այժմ եկեք նայենք լոգարիթմների հաշվարկման ընդհանուր սխեմային: Այն բաղկացած է երեք քայլից.

1. Ներկայացրեք a և x փաստարկները ՝ որպես մեկից մեծ հնարավոր ամենափոքր արմատով հզորություն: Theանապարհին ավելի լավ է ազատվել տասնորդական կոտորակներից.
2. Լուծեք b փոփոխականի հավասարումը ՝ x = a b;
3. Ստացված բ թիվը կլինի պատասխան:

Վերջ! Եթե ​​լոգարիթմը պարզվի, որ իռացիոնալ չէ, դա արդեն կերևա արդեն առաջին քայլին: Հիմքը մեկից մեծ լինելու պահանջը շատ տեղին է. Սա նվազեցնում է սխալի հավանականությունը և մեծապես դյուրացնում հաշվարկները: Նույնն է տասնորդական կոտորակների դեպքում. Եթե դրանք անմիջապես վերածեք սովորականների, ապա սխալները շատ անգամ ավելի քիչ կլինեն:

Եկեք տեսնենք, թե ինչպես է այս սխեման աշխատում կոնկրետ օրինակներով.

Առաջադրանք: Հաշվիր լոգարիթմը `տեղեկամատյան 5 25

1. Եկեք ներկայացնենք հիմքն ու փաստարկը որպես հինգի ուժ. 5 = 5 1; 25 = 5 2;

Եկեք կազմենք և լուծենք հավասարումը.
տեղեկամատյան 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Ստացավ պատասխանը: 2.

Առաջադրանք: Հաշվիր լոգարիթմը.

Առաջադրանք: 64. Հաշվիր գրանցամատյանը ՝ log 4 64

1. Եկեք հիմքն ու փաստարկը ներկայացնենք երկուսի ուժով. 4 = 2 2; 64 = 2 6;
2. Եկեք կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Ստացավ պատասխանը: 3.

Առաջադրանք: Հաշվիր լոգարիթմը `տեղեկամատյան 16 1

1. Եկեք ներկայացնենք հիմքն ու փաստարկը որպես երկուսի ուժ. 16 = 2 4; 1 = 2 0;
2. Եկեք կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   տեղեկամատյան 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Ստացել է պատասխանը ՝ 0:

Առաջադրանք: Հաշվիր գրանցամատյան ՝ log 7 14

1. Եկեք ներկայացնենք հիմքն ու փաստարկը որպես յոթ ուժ: 7 = 7 1; 14 -ը ներկայացված չէ որպես յոթ ուժ, քանի որ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Նախորդ կետից հետևում է, որ լոգարիթմը չի հաշվարկվում.
3. Պատասխանը փոփոխություն չէ. Մուտք 7 14.

Մի փոքրիկ նշում վերջին օրինակի վերաբերյալ: Ինչպե՞ս եք համոզվում, որ թիվը այլ թվի ճշգրիտ հզորություն չէ: Դա շատ պարզ է. Պարզապես գործոնավորեք այն հիմնական գործոնների մեջ: Եթե ​​գործոնավորումը պարունակում է առնվազն երկու տարբեր գործոն, ապա թիվը ճշգրիտ ուժ չէ:

Առաջադրանք: Պարզեք, արդյոք թվի ճշգրիտ ուժերն են `8; 48; 81; 35; տասնչորս.

8 = 2 2 2 = 2 3 - ճշգրիտ աստիճանը, քանի որ կա միայն մեկ գործոն.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ճշգրիտ աստիճան չէ, քանի որ կան երկու գործոն ՝ 3 և 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - ճշգրիտ աստիճան;
35 = 7 · 5 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;
14 = 7 2 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;

Նկատի ունեցեք նաև, որ պրեմիերներն իրենք միշտ իրենց իսկ ճշգրիտ ուժերն են:

Տասնորդական լոգարիթմ

Որոշ լոգարիթմներ այնքան տարածված են, որ նրանք ունեն հատուկ անուն և նշանակում:

X- ի տասնորդական լոգարիթմը հիմքի 10 լոգարիթմն է, այսինքն. այն ուժը, որին պետք է բարձրացվի 10 թիվը x թիվը ստանալու համար: Նշանակում ՝ lg x

Օրինակ ՝ lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - և այլն

Այսուհետ, երբ դասագրքում հայտնվի «Գտիր lg 0.01» արտահայտությունը, պետք է իմանաս. Սա տառասխալ չէ: Սա տասնորդական լոգարիթմն է: Այնուամենայնիվ, եթե դուք սովոր չեք նման նշանակման, միշտ կարող եք այն վերաշարադրել.
տեղեկամատյան x = տեղեկամատյան 10 x

Այն ամենը, ինչ ճշմարիտ է սովորական լոգարիթմների համար, ճիշտ է նաև տասնորդականի դեպքում:

Բնական լոգարիթմ

Կա ևս մեկ լոգարիթմ, որն ունի իր նշումը: Ինչ -որ առումով այն նույնիսկ ավելի կարևոր է, քան տասնորդականը: Սա բնական լոգարիթմն է:

X- ի բնական լոգարիթմը լոգարիթմ հիմքն է, այսինքն. այն ուժը, որին պետք է բարձրացվի e թիվը, որպեսզի ստանա x թիվը: Նշանակում ՝ ln x

Շատերը կհարցնեն ՝ էլ ո՞րն է e թիվը: Սա իռացիոնալ թիվ է, դրա ճշգրիտ իմաստը հնարավոր չէ գտնել և գրել: Ես կտամ միայն առաջին թվերը.
e = 2.718281828459 ...

Մենք չենք խորանա, թե որն է այս թիվը և ինչու է այն անհրաժեշտ: Պարզապես հիշեք, որ e- ն բնական լոգարիթմի հիմքն է.
ln x = log e x

Այսպիսով, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - և այլն Մյուս կողմից, ln 2 -ը իռացիոնալ թիվ է: Ընդհանրապես, ցանկացած ռացիոնալ թվի բնական լոգարիթմն իռացիոնալ չէ: Բացառությամբ, իհարկե, միավորների ՝ ln 1 = 0:

Բնական լոգարիթմների դեպքում ճիշտ են բոլոր այն կանոնները, որոնք ճշմարիտ են սովորական լոգարիթմների համար:

Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկությունները, գրաֆը, սահմանման տիրույթը, արժեքների զանգվածը, հիմնական բանաձևերը, ածանցյալը, ինտեգրալը, հզորության շարքերի ընդլայնումը և բարդ թվերի միջոցով ln x գործառույթի ներկայացումը:

Սահմանում

Բնական լոգարիթմ y = ֆունկցիան է x x, ցուցիչի հակադարձը ՝ x = e y, և e- ի հիմնական լոգարիթմն է. ln x = log e x.

Բնական լոգարիթմը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայում, քանի որ դրա ածանցյալն ունի ամենապարզ ձևը. (ln x) ′ = 1 / x.

Հիմնված սահմանումներ, բնական լոգարիթմի հիմքը թիվն է ե:
f ≅ 2.718281828459045 ...;
.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x x.

Բնական լոգարիթմական գրաֆիկ (գործառույթներ y = x x) ստացվում է ցուցիչ գրաֆիկից `հայելապատելով այն y = x ուղիղ գծի համեմատ:

Բնական լոգարիթմը սահմանվում է x փոփոխականի դրական արժեքների համար: Այն միատեսակ աճում է իր սահմանման տիրույթի վրա:

Ինչպես x → 0 բնական լոգարիթմի սահմանը `հանած անսահմանություն (- ∞):

Քանի որ x → +, բնական լոգարիթմի սահմանը գումարած անվերջություն է ( + ∞): Մեծ x- ի համար լոգարիթմը բավականին դանդաղ է աճում: Powerանկացած հզորություն x a դրական ցուցիչով a աճում է ավելի արագ, քան լոգարիթմը:

Բնական լոգարիթմի հատկությունները

Սահմանման տիրույթ, արժեքների շարք, էքստրեմա, աճող, նվազող

Բնական լոգարիթմը միալար աճող գործառույթ է, հետևաբար այն չունի ծայրահեղություններ: Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

Ln x

ln 1 = 0

Բնական լոգարիթմների հիմնական բանաձևերը

Հակադարձ գործառույթի սահմանումից բխող բանաձևեր.

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը և դրա հետևանքները

Հիմքի փոխարինման բանաձև

Logանկացած լոգարիթմ կարող է արտահայտվել բնական լոգարիթմների հիման վրա `օգտագործելով հիմնական փոփոխության բանաձևը.

Այս բանաձեւերի ապացույցները ներկայացված են «Լոգարիթմ» բաժնում:

Հակադարձ գործառույթ

Բնական լոգարիթմի հակադարձը ցուցիչն է:

Եթե, ապա

Եթե, ապա.

Ածանցյալ ln x

Բնական լոգարիթմի ածանցյալ.
.
X մոդուլի բնական լոգարիթմի ածանցյալ.
.
Իններորդ կարգի ածանցյալ.
.
Բանաձեւերի ածանցում >>>

Անբաժանելի

Ինտեգրալը հաշվարկվում է ինտեգրման միջոցով մասերի.
.
Այսպիսով,

Բարդ թվերի արտահայտություններ

Մտածեք բարդ փոփոխականի z գործառույթը.
.
Եկեք արտահայտենք բարդ փոփոխականը զմոդուլի միջոցով ռև փաստարկը φ :
.
Օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները, մենք ունենք.
.
Կամ
.
Φ փաստարկը եզակիորեն սահմանված չէ: Եթե ​​դնենք
որտեղ n- ն ամբողջ թիվ է,
դա նույն թիվը կլինի տարբեր n- ի համար:

Հետևաբար, բնական լոգարիթմը, որպես բարդ փոփոխականի գործառույթ, միանշանակ գործառույթ չէ:

Էլեկտրաէներգիայի շարքի ընդլայնում

Քայքայման ժամանակ տեղի է ունենում.

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Ք.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և տեխնիկական հաստատությունների ուսանողների համար, «Լան», 2009:

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Եկեք պարզաբանենք ավելի պարզ ձևով: Օրինակ, \ (\ log_ (2) (8) \) հավասար է այն հզորությանը, որին \ (2 \) պետք է բարձրացնել ՝ \ (8 \) ստանալու համար: Հետևաբար պարզ է, որ \ (\ log_ (2) (8) = 3 \):

Օրինակներ.		\ (\ log_ (5) (25) = 2 \)		ի վեր \ (5 ^ (2) = 25 \)
		\ (\ log_ (3) (81) = 4 \)		ի վեր \ (3 ^ (4) = 81 \)
		\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \)		ի վեր \ (2 ^ (-- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \)

Լոգարիթմի փաստարկ և հիմք

Logանկացած լոգարիթմ ունի հետևյալ «անատոմիան».

Լոգարիթմի փաստարկը սովորաբար գրված է դրա մակարդակի վրա, իսկ հիմքը ենթագրում ավելի մոտ է լոգարիթմի նշանին: Եվ այս գրառումը կարդում է այսպես. «Քսանհինգի լոգարիթմ ՝ հիմքի հինգի համար»:

Ինչպե՞ս հաշվարկել լոգարիթմը:

Լոգարիթմը հաշվարկելու համար դուք պետք է պատասխանեք այն հարցին, թե ինչ աստիճանի պետք է հիմք բարձրացնել փաստարկը ստանալու համար:

Օրինակ, հաշվարկել լոգարիթմը ՝ ա) \ (\ log_ (4) (16) \) բ) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) գ) \ (\ log _ ( \ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) d) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

ա) Ի՞նչ աստիճանի պետք է բարձրացնել \ (4 \) ՝ \ (16 \) ստանալու համար: Ակնհայտ է, որ երկրորդում: Հետեւաբար.

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

գ) Ի՞նչ աստիճանի պետք է \ (\ sqrt (5) \) բարձրացնել \ (1 \) ստանալու համար: Իսկ ո՞ր աստիճանն է դարձնում ցանկացած թիվ մեկ: Eroրոյական, իհարկե!

\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)

դ) Ի՞նչ աստիճանի պետք է \ (\ sqrt (7) \) բարձրացնել \ (\ sqrt (7) \) ստանալու համար: Առաջին - առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է իրեն:

\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)

ե) Ի՞նչ չափով պետք է \ (3 \) բարձրացնել \ (\ sqrt (3) \) ստանալու համար: Մենք գիտենք, որ դա կոտորակային աստիճան է, և, հետևաբար, քառակուսի արմատը աստիճան է \ (\ frac (1) (2) \):

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

Օրինակ ՝ հաշվարկել լոգարիթմ \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

Լուծում :

\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \)		Մենք պետք է գտնենք լոգարիթմի արժեքը, նշենք այն x- ով: Այժմ օգտագործենք լոգարիթմի սահմանումը. \ (\ log_ (a) (c) = b \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (a ^ (b) = c \)
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \)		Ո՞րն է \ (4 \ sqrt (2) \) և \ (8 \) միջև կապը: Երկու, քանի որ երկու թվերն էլ կարող են ներկայացվել երկուսով. \ (4 = 2 ^ (2) \) \ (\ sqrt (2) = 2 ^ (\ frac (1) (2)) \) \ (8 = 2 ^ (3) \)
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \)		Ձախ կողմում մենք օգտագործում ենք աստիճանի հատկությունները ՝ \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) և \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (m \ cdot n) \)
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \)		Հիմքերը հավասար են, մենք անցնում ենք ցուցանիշների հավասարությանը
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \)		Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը \ (\ frac (2) (5) \)
		Ստացված արմատը լոգարիթմի արժեքն է

Պատասխանեք ՝ \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)

Ինչու՞ եկաք լոգարիթմով:

Սա հասկանալու համար եկեք լուծենք հավասարումը ՝ \ (3 ^ (x) = 9 \): Պարզապես համընկեք \ (x \), որպեսզի հավասարությունը գործի: Իհարկե, \ (x = 2 \):

Այժմ լուծեք հավասարումը ՝ \ (3 ^ (x) = 8 \): Ի՞նչ է x- ը: Դա միայն հարցն է:

Ամենահնարամիտը կասի. «X- ը երկուսից մի փոքր պակաս է»: Ինչպե՞ս եք գրում այս թիվը: Այս հարցին պատասխանելու համար նրանք հանդես եկան լոգարիթմով: Նրա շնորհիվ պատասխանը այստեղ կարելի է գրել \ (x = \ log_ (3) (8) \):

Ուզում եմ ընդգծել, որ \ (\ log_ (3) (8) \), ինչպես ցանկացած լոգարիթմ պարզապես թիվ է... Այո, արտասովոր տեսք ունի, բայց կարճ: Որովհետև եթե մենք ցանկանայինք այն գրել որպես տասնորդական կոտորակ, ապա այն այսպիսի տեսք կունենար ՝ \ (1.892789260714 ..... \)

Օրինակ Լուծել հավասարումը \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

Լուծում :

\ (4 ^ (5x-4) = 10 \)		\ (4 ^ (5x-4) \) և \ (10 ​​\) չեն կարող կրճատվել նույն պատճառով: Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարող անել առանց լոգարիթմի: Եկեք օգտագործենք լոգարիթմի սահմանումը. \ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \)		Հայելիացրեք հավասարումը այնպես, որ x ձախ կողմում լինի
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \)		Մեր առջև: Տեղափոխեք \ (4 \) դեպի աջ: Եվ մի՛ վախեցեք լոգարիթմից, վերաբերվեք դրան սովորական թվերի պես:
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \)		Բաժանեք հավասարումը 5 -ի
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)		Սա է մեր արմատը: Այո, տարօրինակ է թվում, բայց պատասխանը նրանք չեն ընտրում:

Պատասխանեք : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

Տասնորդական և բնական լոգարիթմներ

Ինչպես նշվում է լոգարիթմի սահմանման մեջ, դրա հիմքը կարող է լինել մեկից բացի ցանկացած այլ դրական թիվ ((a> 0, a \ neq1) \): Եվ բոլոր հնարավոր պատճառների շարքում կան երկուսը, որոնք այնքան հաճախ են պատահում, որ դրանց համար լոգարիթմների համար հատուկ կարճ նշում է հորինվել.

Բնական լոգարիթմ. Լոգարիթմ, որի հիմքը Էյլերի թիվն է (e \) (հավասար է մոտավորապես \ (2.7182818 ... \)), և գրված է այնպիսի լոգարիթմ, ինչպիսին է \ (\ ln (a) \):

Այսինքն ՝ \ (\ ln (a) \) նույնն է, ինչ \ (\ log_ (e) (a) \)

Տասնորդական լոգարիթմ. 10 հիմքով լոգարիթմը գրված է \ (\ lg (a) \):

Այսինքն ՝ \ (\ lg (a) \) նույնն է, ինչ \ (\ log_ (10) (a) \), որտեղ \ (a \) որոշ թիվ է:

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Լոգարիթմներն ունեն բազմաթիվ հատկություններ: Նրանցից մեկը կոչվում է «Հիմնական լոգարիթմական ինքնություն» և ունի հետևյալ տեսքը.

\ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \)

Այս հատկությունը ուղղակիորեն բխում է սահմանումից: Տեսնենք, թե ինչպես ստացվեց հենց այս բանաձևը:

Հիշենք լոգարիթմի սահմանման կարճ նշումը.

եթե \ (a ^ (b) = c \) ապա \ (\ log_ (a) (c) = b \)

Այսինքն, \ (b \) նույնն է, ինչ \ (\ log_ (a) (c) \): Այնուհետև \ (a ^ (b) = c \) բանաձևում կարող ենք գրել \ (\ log_ (a) (c) \) փոխարեն \ (b \) փոխարեն: Պարզվեց \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Դուք կարող եք գտնել լոգարիթմների մնացած հատկությունները: Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք պարզեցնել և հաշվարկել լոգարիթմներով արտահայտությունների արժեքները, որոնք դժվար է հաշվարկել «դեմ առ դեմ»:

Օրինակ : Գտեք արտահայտության արժեքը \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

Լուծում :

Պատասխանեք : \(25\)

Ինչպե՞ս կարելի է թիվը գրել որպես լոգարիթմ:

Ինչպես նշվեց վերևում, ցանկացած լոգարիթմ պարզապես թիվ է: Հակառակը նույնպես ճիշտ է. Ցանկացած թիվ կարելի է գրել որպես լոգարիթմ: Օրինակ, մենք գիտենք, որ \ (\ log_ (2) (4) \) հավասար է երկուսի: Այնուհետև երկուսի փոխարեն կարող եք գրել \ (\ log_ (2) (4) \):

Բայց \ (\ log_ (3) (9) \) նույնպես \ (2 \) է, այնպես որ կարող եք նաև գրել \ (2 = \ log_ (3) (9) \): Նմանապես, \ (\ log_ (5) (25) \), և \ (\ log_ (9) (81) \) և այլն: Այսինքն, պարզվում է

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)

Այսպիսով, եթե մենք կարիք ունենանք, մենք կարող ենք երկուսը գրել որպես լոգարիթմ ցանկացած հիմքով ցանկացած վայրում (նույնիսկ հավասարման մեջ, արտահայտության մեջ, նույնիսկ անհավասարության մեջ). Մենք պարզապես հիմք ենք գրում քառակուսի որպես փաստարկ:

Նմանապես եռակի դեպքում `այն կարող է գրվել \ \ \ \ log_ (2) (8) \), կամ \ \ \ \ \ log_ (3) (27) \), կամ \ \ \ \ log_ (4) (64) \) ... Այստեղ մենք հիմքը գրում ենք խորանարդի մեջ ՝ որպես փաստարկ.

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ տեղեկագիր_ (7) (343) ... \)

Եվ չորսով.

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ տեղեկագիր_ (7) (2401) ... \)

Եվ մինուս մեկով.

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1 ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

Եվ մեկ երրորդով.

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

Numberանկացած թիվ \ (a \) կարող է ներկայացվել որպես լոգարիթմ հիմքով \ (b \): \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)

Օրինակ : Գտեք արտահայտության իմաստը \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

Լուծում :

Պատասխանեք : \(1\)

1.1. Ամբողջ թվային ցուցիչի աստիճանի որոշում

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X *… * X - N անգամ

1.2. Zրո աստիճան:

Ըստ սահմանման, ընդհանուր առմամբ ընդունված է, որ ցանկացած թվի զրոյական աստիճանը 1 է.

1.3. Բացասական աստիճան:

X -N = 1 / X N

1.4. Կոտորակային աստիճան, արմատ:

X 1 / N = X- ի N- րդ արմատը:

Օրինակ ՝ X 1/2 = √X:

1.5. Լիազորություններ ավելացնելու բանաձև:

X (N + M) = X N * X Մ

1.6 Ուժեր հանելու բանաձև:

X (N-M) = X N / X Մ

1.7. Աստիճանների բազմապատկման բանաձևը:

X N * M = (X N) M

1.8. Կոտորակը հզորության բարձրացնելու բանաձև:

(X / Y) N = X N / Y N

2. համարը ե.

E թվի արժեքը հավասար է հետևյալ սահմանաչափին.

E = lim (1 + 1 / N), ինչպես N →:

17 թվանշանի ճշգրտությամբ e թիվը 2.71828182845904512 է:

3. Էյլերի հավասարությունը:

Այս հավասարությունը կապում է հինգ թվեր, որոնք հատուկ դեր են խաղում մաթեմատիկայում ՝ 0, 1, թիվ e, թիվ pi, երևակայական միավոր:

E (i * pi) + 1 = 0

4. Exponential գործառույթը exp (x)

exp (x) = e x

5. onուցային ֆունկցիայի ածանցյալ

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ունի ուշագրավ հատկություն. Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է բուն ցուցադրական գործառույթին.

(exp (x)) "= exp (x)

6. Լոգարիթմ:

6.1. Լոգարիթմ ֆունկցիայի սահմանում

Եթե ​​x = b y, ապա լոգարիթմը գործառույթն է

Y = տեղեկամատյան b (x):

Լոգարիթմը ցույց է տալիս, թե ինչ աստիճանի պետք է բարձրացվի թիվը - տրված թիվը (X) ստանալու համար բ) լոգարիթմի հիմքը: Լոգարիթմ ֆունկցիան սահմանվում է զրոից մեծ X- ի համար:

Օրինակ ՝ Մուտք 10 (100) = 2:

6.2. Տասնորդական լոգարիթմ

Սա լոգարիթմ 10 հիմքն է.

Y = Log 10 (x):

Նշված է մատյանով (x). Մատյան (x) = տեղեկամատյան 10 (x):

Տասնորդական լոգարիթմի օգտագործման օրինակ է դեցիբելը:

6.3. Դեցիբել

Նյութը կարևորվում է Decibel- ի առանձին էջում

6.4. Երկուական լոգարիթմ

Սա լոգարիթմի հիմքն է 2:

Y = տեղեկամատյան 2 (x):

Նշված է Lg (x). Lg (x) = Log 2 (X)

6.5. Բնական լոգարիթմ

Սա լոգարիթմական հիմքն է ՝

Y = Log e (x):

Նշվում է Ln (x). Ln (x) = Log e (X)
Բնական լոգարիթմը exp (X) ցուցիչ ֆունկցիայի հակադարձումն է:

6.6. Բնութագրական կետեր

Մուտքագրեք a (1) = 0
Մուտքագրեք a (a) = 1

6.7. Արտադրանքի լոգարիթմի բանաձևը

Մուտքագրեք a (x * y) = Log a (x) + log a (y)

6.8. Գործակիցի լոգարիթմի բանաձևը

Մուտքագրեք a (x / y) = Log a (x) -Log a (y)

6.9. Աստիճանի լոգարիթմի բանաձևը

Մուտքագրեք a (x y) = y * մուտքագրեք a (x)

6.10. Լոգարիթմին այլ հիմքով փոխակերպման բանաձև

Մուտք b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Օրինակ:

Մատյան 2 (8) = Մատյան 10 (8) / Մատյան 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Կյանքում օգտակար բանաձեւեր

Հաճախ առկա են ծավալը տարածքի կամ երկարության փոխակերպելու խնդիրներ, իսկ հակադարձ խնդիրը տարածքը ծավալի վերահաշվարկելն է: Օրինակ, տախտակները վաճառվում են խորանարդով (խորանարդ մետր), բայց մենք պետք է հաշվարկենք, թե որքան պատի մակերեսը կարող է պատված լինել որոշակի ծավալով պարունակվող տախտակներով, տես տախտակների հաշվարկը, քանի տախտակ կա խորանարդի մեջ: Կամ, պատի չափերը հայտնի են, անհրաժեշտ է հաշվարկել աղյուսների քանակը, տես աղյուսի հաշվարկը:

Թույլատրվում է օգտագործել կայքի նյութերը ՝ պայմանով, որ աղբյուրին ակտիվ հղում տեղադրվի: