introduzione

1. Teoria della percolazione

2.1 Processi di gelificazione

Conclusione

La teoria della percolazione ha più di cinquant'anni. Ogni anno vengono pubblicati in Occidente centinaia di articoli, dedicati sia a questioni teoriche sulla percolazione che alle sue applicazioni.

La teoria della percolazione si occupa della formazione di oggetti legati in mezzi disordinati. Dal punto di vista matematico, la teoria della percolazione dovrebbe essere classificata come una teoria della probabilità nei grafici. Dal punto di vista fisico, la percolazione è una transizione di fase geometrica. Dal punto di vista del programmatore, esiste un ampio campo per lo sviluppo di nuovi algoritmi. Dal punto di vista pratico è uno strumento semplice ma potente che permette di risolvere un’ampia varietà di problemi della vita in un unico approccio.

Questo lavoro sarà dedicato alle principali disposizioni della teoria della percolazione. Considererò i fondamenti teorici della percolazione e fornirò esempi per spiegare il fenomeno della percolazione. Verranno inoltre discusse le principali applicazioni della teoria della percolazione.

La teoria della percolazione (percolazione) è una teoria che descrive l'emergere di infinite strutture connesse (cluster) costituite da singoli elementi. Rappresentando l'ambiente sotto forma di un reticolo discreto, formuliamo due tipi più semplici di problemi. Si possono dipingere in modo selettivo e casuale i nodi del reticolo (aperti), considerando la proporzione dei nodi colorati come il principale parametro indipendente e considerando che due nodi colorati appartengono allo stesso cluster se possono essere collegati da una catena continua di nodi colorati vicini.

Domande come il numero medio di nodi in un cluster, la distribuzione dimensionale dei cluster, l'aspetto di un cluster infinito e la proporzione di nodi colorati inclusi in esso costituiscono il contenuto del problema dei nodi. È inoltre possibile colorare selettivamente le connessioni (aperte) tra nodi vicini e presupporre che i nodi collegati da catene di connessioni aperte appartengano a un cluster. Quindi le stesse domande sul numero medio di nodi in un cluster, ecc. costituiscono il contenuto del problema comunicativo. Quando tutti i nodi (o tutte le connessioni) sono chiusi, il reticolo è un modello di isolante. Quando sono tutti aperti e la corrente può fluire attraverso le connessioni conduttive attraverso i nodi aperti, il reticolo modella il metallo. Ad un certo valore critico, si verificherà una transizione di percolazione, che è un analogo geometrico della transizione metallo-isolante.

La teoria della percolazione è importante proprio in prossimità della transizione. Lontano dalla transizione è sufficiente approssimare il mezzo efficace, la transizione di percolazione è simile ad una transizione di fase del secondo ordine.

Il fenomeno della percolazione (o flusso del mezzo) è determinato da:

L'ambiente in cui si osserva questo fenomeno;

Una fonte esterna che fornisce flusso in questo ambiente;

Il modo in cui scorre il mezzo, che dipende da una fonte esterna.

Come semplice esempio, possiamo considerare un modello del flusso (ad esempio, guasto elettrico) in un reticolo quadrato bidimensionale costituito da nodi che possono essere conduttori o non conduttori. Nel momento iniziale, tutti i nodi della griglia non sono conduttori. Nel tempo, la sorgente sostituisce i nodi non conduttori con quelli conduttori e il numero di nodi conduttori aumenta gradualmente. In questo caso i nodi vengono sostituiti in modo casuale, ovvero la scelta di uno qualsiasi dei nodi da sostituire è ugualmente probabile per l'intera superficie del reticolo.

La percolazione è il momento in cui appare uno stato reticolare in cui esiste almeno un percorso continuo attraverso nodi conduttori adiacenti da uno al bordo opposto. È ovvio che con l'aumento del numero dei nodi conduttori, questo momento arriverà prima che l'intera superficie del reticolo sia costituita esclusivamente da nodi conduttori.

Indichiamo gli stati non conduttivi e conduttivi dei nodi rispettivamente con zero e uno. Nel caso bidimensionale l'ambiente corrisponderà ad una matrice binaria. La sequenza di sostituzione degli zeri della matrice con uno corrisponderà alla fonte della perdita.

Nel momento iniziale, la matrice è costituita interamente da elementi non conduttori:

Cluster sensibile ai gas di gelificazione per percolazione

All'aumentare del numero di nodi conduttori, arriva un punto critico in cui avviene la percolazione, come mostrato di seguito:

Si può vedere che dal bordo sinistro a quello destro dell'ultima matrice c'è una catena di elementi che garantisce il flusso di corrente attraverso nodi conduttori (unità) che si susseguono continuamente.

La percolazione può essere osservata sia nei reticoli che in altre strutture geometriche, comprese quelle continue, costituite rispettivamente da un gran numero di elementi simili o regioni continue, che possono trovarsi in uno dei due stati. I modelli matematici corrispondenti sono chiamati reticolo o continuo.

Un esempio di percolazione in un mezzo continuo è il passaggio di un liquido attraverso un campione voluminoso e poroso (ad esempio acqua attraverso una spugna di materiale schiumoso), in cui le bolle vengono gradualmente gonfiate fino a quando la loro dimensione diventa sufficiente affinché il liquido possa percolare da un bordo all'altro del campione.

Induttivamente, il concetto di percolazione viene trasferito a qualsiasi struttura o materiale che viene chiamato mezzo di percolazione, per il quale deve essere determinata una fonte esterna di flusso, un metodo di flusso e i cui elementi (frammenti) possono trovarsi in stati diversi, uno dei quale (primario) non soddisfa questo metodo di flusso, e l'altro lo soddisfa. Il metodo del flusso implica anche una certa sequenza di occorrenza di elementi o un cambiamento di frammenti del mezzo nello stato necessario per il flusso, fornito dalla fonte. La sorgente trasferisce gradualmente elementi o frammenti del campione da uno stato all'altro fino al momento della percolazione.

Soglia di perdita

L'insieme degli elementi attraverso i quali avviene il flusso è detto ammasso di percolazione. Essendo per natura un grafo casuale connesso, può assumere forme diverse a seconda della specifica implementazione. Pertanto, è consuetudine caratterizzarne le dimensioni complessive. La soglia di percolazione è il numero di elementi del cluster di percolazione diviso per il numero totale di elementi del mezzo in esame.

A causa della natura casuale del cambiamento di stato degli elementi dell'ambiente, nel sistema finito non esiste una soglia chiaramente definita (la dimensione del cluster critico), ma esiste un cosiddetto intervallo critico di valori, in cui la percolazione i valori di soglia ottenuti a seguito di varie implementazioni casuali diminuiscono. All’aumentare delle dimensioni del sistema, l’area si restringe fino a diventare un punto.

2. Ambito di applicazione della teoria della percolazione

Le applicazioni della teoria della percolazione sono ampie e varie. È difficile nominare un'area in cui la teoria della percolazione non verrebbe applicata. La formazione di gel, la conduttività saltellante nei semiconduttori, la diffusione di epidemie, le reazioni nucleari, la formazione di strutture galattiche, le proprietà dei materiali porosi: questo non è un elenco completo delle varie applicazioni della teoria della percolazione. Non è possibile fornire una panoramica completa dei lavori sulle applicazioni della teoria della percolazione, quindi ci soffermeremo su alcuni di essi.

2.1 Processi di gelificazione

Sebbene i processi di gelificazione siano stati i primi problemi a cui è stato applicato l’approccio della percolazione, quest’area è lungi dall’essere esaurita. Il processo di gelificazione prevede la fusione di molecole. Quando in un sistema compaiono aggregati, che si estendono attraverso l'intero sistema, si dice che è avvenuta una transizione sol-gel. Di solito si ritiene che un sistema sia descritto da tre parametri: la concentrazione delle molecole, la probabilità di formazione di legami tra le molecole e la temperatura. L'ultimo parametro influenza la probabilità di formare connessioni. Pertanto, il processo di gelificazione può essere considerato un problema misto della teoria della percolazione. È piuttosto notevole che questo approccio venga utilizzato anche per descrivere i sistemi magnetici. C’è una direzione interessante per sviluppare questo approccio. Il problema della gelificazione delle proteine ​​dell'albumina è importante per la diagnostica medica.

C’è una direzione interessante per sviluppare questo approccio. Il problema della gelificazione delle proteine ​​dell'albumina è importante per la diagnostica medica. È noto che le molecole proteiche hanno una forma allungata. Quando una soluzione proteica passa nella fase gel, non solo la temperatura ha un'influenza significativa, ma anche la presenza di impurità nella soluzione o sulla superficie della proteina stessa. Pertanto, nel problema misto della teoria della percolazione è necessario tenere conto anche dell'anisotropia delle molecole. In un certo senso, ciò avvicina il problema in esame al problema degli “aghi” e al problema di Nakamura. La determinazione della soglia di percolazione in un problema misto per oggetti anisotropi è un problema nuovo nella teoria della percolazione. Sebbene ai fini della diagnostica medica sia sufficiente risolvere il problema per oggetti dello stesso tipo, è interessante studiare il problema per casi di oggetti di diversa anisotropia e anche di forme diverse.

2.2 Applicazione della teoria della percolazione per descrivere le transizioni di fase magnetica

Una delle caratteristiche dei composti basati su i è la transizione dallo stato antiferromagnetico a quello paramagnetico anche con una leggera deviazione dalla stechiometria. La scomparsa dell'ordine a lungo raggio si verifica quando c'è un'eccessiva concentrazione di lacune nel piano, mentre allo stesso tempo l'ordine antiferromagnetico a corto raggio viene conservato in un ampio intervallo di concentrazioni x fino alla fase superconduttiva.

A livello qualitativo il fenomeno si spiega come segue. Quando drogati, compaiono buchi sugli atomi di ossigeno, il che porta all'emergere di un'interazione ferromagnetica concorrente tra gli spin e alla soppressione dell'antiferromagnetismo. Il forte calo della temperatura di Néel è facilitato anche dallo spostamento del buco, che porta alla distruzione dell'ordine antiferromagnetico.

D’altro canto, i risultati quantitativi sono in netto disaccordo con i valori della soglia di percolazione per un reticolo quadrato, entro il quale è possibile descrivere la transizione di fase nei materiali isostrutturali. Si pone il compito di modificare la teoria della percolazione in modo tale da descrivere la transizione di fase nello strato all'interno del quadro.

Quando si descrive lo strato, si presuppone che per ogni atomo di rame vi sia un foro localizzato, cioè si presuppone che tutti gli atomi di rame siano magnetici. Tuttavia, i risultati dei calcoli di banda e cluster mostrano che nello stato non drogato i numeri di occupazione del rame sono 0,5 - 0,6 e dell'ossigeno - 0,1-0,2. A livello qualitativo, questo risultato può essere facilmente compreso analizzando il risultato della diagonalizzazione esatta dell'Hamiltoniana per un cluster con condizioni al contorno periodiche. Lo stato fondamentale dell'ammasso è una sovrapposizione dello stato antiferromagnetico e degli stati senza ordinamento antiferromagnetico sugli atomi di rame.

Possiamo supporre che circa la metà degli atomi di rame abbiano un foro e che i restanti atomi ne abbiano nessuno o due fori. Un'interpretazione alternativa è che il buco trascorre solo la metà del suo tempo sugli atomi di rame. L'ordinamento antiferromagnetico si verifica quando gli atomi di rame più vicini hanno ciascuno un foro. Inoltre, è necessario che sull'atomo di ossigeno tra questi atomi di rame non vi sia alcun foro o due fori per escludere il verificarsi di interazione ferromagnetica. In questo caso non importa se consideriamo la configurazione istantanea delle lacune oppure una o più componenti della funzione d'onda dello stato fondamentale.

Usando la terminologia della teoria della percolazione, chiameremo gli atomi di rame con un foro siti non bloccati e gli atomi di ossigeno con un foro rotto legami. La transizione dall'ordine ferromagnetico a lungo raggio all'ordine ferromagnetico a corto raggio in questo caso corrisponderà alla soglia di percolazione, cioè all'apparizione di un ammasso in contrazione: una catena infinita di nodi non bloccati collegati da legami ininterrotti.

Almeno due punti distinguono nettamente il problema dalla teoria standard della percolazione: in primo luogo, la teoria standard presuppone la presenza di atomi di due tipi, magnetici e non magnetici, mentre noi abbiamo solo atomi di un tipo (rame), le proprietà di che cambiano a seconda della posizione del foro; in secondo luogo, la teoria standard considera due nodi collegati se entrambi non sono bloccati (magnetici) - il problema dei nodi, oppure, se la connessione tra loro non è interrotta - il problema delle connessioni; nel nostro caso entrambi i nodi sono bloccati e le connessioni sono interrotte.

Pertanto il problema si riduce a trovare la soglia di percolazione su un reticolo quadrato per coniugare il problema dei nodi e delle connessioni.

2.3 Applicazione della teoria della percolazione allo studio di sensori sensibili ai gas con struttura a percolazione

Negli ultimi anni, i processi sol-gel che non sono termodinamicamente in equilibrio hanno trovato ampia applicazione nella nanotecnologia. In tutte le fasi dei processi sol-gel si verificano varie reazioni che influenzano la composizione finale e la struttura dello xerogel. Nella fase di sintesi e maturazione del sol si formano aggregati frattali, la cui evoluzione dipende dalla composizione dei precursori, dalla loro concentrazione, dall'ordine di miscelazione, dal valore del pH del mezzo, dalla temperatura e dal tempo di reazione, dalla composizione atmosferica, ecc. della tecnologia sol-gel nella microelettronica, di norma, sono strati soggetti ai requisiti di levigatezza, continuità e uniformità di composizione. Per i sensori sensibili ai gas di nuova generazione, sono di maggiore interesse i metodi tecnologici per la produzione di strati nanocompositi porosi con dimensioni dei pori controllate e riproducibili. In questo caso, i nanocompositi devono contenere una fase per migliorare l'adesione e una o più fasi di ossidi metallici semiconduttori con conduttività elettrica di tipo n per garantire la sensibilità ai gas. Il principio di funzionamento dei sensori di gas a semiconduttore basati su strutture di percolazione di strati di ossido di metallo (ad esempio biossido di stagno) è quello di modificare le proprietà elettriche durante l'adsorbimento di forme cariche di ossigeno e il desorbimento dei prodotti delle loro reazioni con molecole di gas riducenti . Dai concetti della fisica dei semiconduttori ne consegue che se le dimensioni trasversali dei rami conduttori dei nanocompositi a percolazione sono commisurate al valore della lunghezza caratteristica dello screening di Debye, la sensibilità ai gas dei sensori elettronici aumenterà di diversi ordini di grandezza. Tuttavia, il materiale sperimentale accumulato dagli autori indica una natura più complessa del verificarsi dell'effetto di un forte aumento della sensibilità al gas. Un forte aumento della sensibilità al gas può verificarsi su strutture di rete con dimensioni geometriche dei rami molte volte maggiori della lunghezza di schermatura e dipende dalle condizioni di formazione del frattale.

I rami delle strutture reticolari sono una matrice di biossido di silicio (o una matrice mista di stagno e biossido di silicio) con cristalliti di biossido di stagno inclusi al suo interno (il che è confermato dai risultati della modellizzazione), formando un cluster di percolazione conduttivo in contrazione con un contenuto di SnO2 superiore al 50%. Pertanto, l'aumento del valore soglia di percolazione può essere spiegato qualitativamente a causa del consumo di parte del contenuto di SnO2 nella fase mista non conduttiva. Tuttavia, la natura della formazione delle strutture di rete sembra essere più complessa. Numerosi esperimenti sull'analisi della struttura degli strati utilizzando metodi AFM vicino al valore atteso della soglia di transizione della percolazione non hanno consentito di ottenere prove documentali affidabili dell'evoluzione del sistema con la formazione di grandi pori secondo le leggi dei modelli di percolazione. In altre parole, i modelli di crescita degli aggregati frattali nel sistema SnO2 - SnO2 descrivono qualitativamente solo le fasi iniziali dell'evoluzione del sol.

Nelle strutture con una gerarchia di pori si verificano processi complessi di adsorbimento-desorbimento, ricarica degli stati superficiali, fenomeni di rilassamento ai confini dei grani e dei pori, catalisi sulla superficie degli strati e nell'area di contatto, ecc. Rappresentazioni di modelli semplici all'interno della struttura dei modelli Langmuir e Brunauer-Emmett-Teller (BET)) sono applicabili solo per comprendere il ruolo medio predominante di un particolare fenomeno. Per approfondire lo studio delle caratteristiche fisiche dei meccanismi di sensibilità ai gas, è stato necessario realizzare un'apposita installazione di laboratorio che fornisse la possibilità di registrare la dipendenza temporale delle variazioni del segnale analitico a diverse temperature in presenza e in assenza di gas riducenti di una data concentrazione. La creazione di un apparato sperimentale ha reso possibile effettuare ed elaborare automaticamente 120 misurazioni al minuto nell'intervallo di temperature operative compreso tra 20 e 400 ºС.

Per le strutture con una struttura a percolazione di rete, sono stati identificati nuovi effetti osservati quando le nanostrutture porose basate su ossidi metallici sono state esposte a un'atmosfera di gas riducenti.

Dal modello proposto di strutture sensibili ai gas con una gerarchia di pori, ne consegue che per aumentare la sensibilità degli strati sensore a semiconduttore di adsorbimento, è fondamentalmente possibile garantire una resistenza relativamente elevata del campione nell'aria e una resistenza relativamente bassa di nanostrutture di film in presenza di un gas reagente. Una soluzione tecnica pratica può essere implementata creando un sistema di pori di dimensioni nanometriche con un'elevata densità di distribuzione nei grani, fornendo un'efficace modulazione dei processi di flusso di corrente nelle strutture della rete di percolazione. Ciò è stato ottenuto attraverso l'introduzione mirata di ossido di indio in un sistema a base di biossido di stagno e silicio.

Conclusione

La teoria della percolazione è un fenomeno abbastanza nuovo e non completamente studiato. Ogni anno vengono fatte scoperte nel campo della teoria della percolazione, vengono scritti algoritmi e pubblicati articoli.

La teoria della percolazione attira l'attenzione di vari specialisti per una serie di motivi:

Formulazioni facili ed eleganti dei problemi della teoria della percolazione si uniscono alla difficoltà di risolverli;

Per risolvere i problemi di percolazione è necessario combinare nuove idee provenienti dalla geometria, dall'analisi e dalla matematica discreta;

L'intuizione fisica può essere molto fruttuosa nel risolvere i problemi di percolazione;

La tecnica sviluppata per la teoria della percolazione ha numerose applicazioni in altri problemi di processi aleatori;

La teoria della percolazione fornisce la chiave per comprendere altri processi fisici.

Bibliografia

1. Tarasevich Yu.Yu. Percolazione: teoria, applicazioni, algoritmi. - M.: URSS, 2002.
2. Shabalin V.N., Shatokhina S.N. Morfologia dei fluidi biologici umani. - M.: Crisostomo, 2001. - 340 pp.: ill.
3. Plakida N. M. Superconduttori ad alta temperatura. - M.: Programma Educativo Internazionale, 1996.
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5. Prosandeev S.A., Tarasevich Yu.Yu. Influenza degli effetti di correlazione sulla struttura delle bande, eccitazioni elettroniche a bassa energia e funzioni di risposta negli ossidi di rame stratificati. // UFZH 36(3), 434-440 (1991).
6. Elsin V.F., Kasurnikov V.A., Openov L.A. Podlivaev A.I. Energia di legame di elettroni o lacune in cluster Cu - O: diagonalizzazione esatta dell'Hamiltoniana di Emery. // JETP 99(1), 237-248 (1991).
7. Moshnikov V.A. Nanocomponenti mesh sensibili ai gas a base di biossido di stagno e silicio. - Ryazan, "Bollettino della RGGTU", - 2007.

introduzione

La teoria della percolazione ha più di cinquant'anni. Ogni anno vengono pubblicati in Occidente centinaia di articoli, dedicati sia a questioni teoriche sulla percolazione che alle sue applicazioni.

La teoria della percolazione si occupa della formazione di oggetti legati in mezzi disordinati. Dal punto di vista matematico, la teoria della percolazione dovrebbe essere classificata come una teoria della probabilità nei grafici. Dal punto di vista fisico, la percolazione è una transizione di fase geometrica. Dal punto di vista del programmatore, esiste un ampio campo per lo sviluppo di nuovi algoritmi. Dal punto di vista pratico è uno strumento semplice ma potente che permette di risolvere un’ampia varietà di problemi della vita in un unico approccio.

Questo lavoro sarà dedicato alle principali disposizioni della teoria della percolazione. Considererò i fondamenti teorici della percolazione e fornirò esempi per spiegare il fenomeno della percolazione. Verranno inoltre discusse le principali applicazioni della teoria della percolazione.

Teoria della percolazione

La teoria della percolazione (percolazione) è una teoria che descrive l'emergere di infinite strutture connesse (cluster) costituite da singoli elementi. Rappresentando l'ambiente sotto forma di un reticolo discreto, formuliamo due tipi più semplici di problemi. Si possono dipingere in modo selettivo e casuale i nodi del reticolo (aperti), considerando la proporzione dei nodi colorati come il principale parametro indipendente e considerando che due nodi colorati appartengono allo stesso cluster se possono essere collegati da una catena continua di nodi colorati vicini.

Domande come il numero medio di nodi in un cluster, la distribuzione dimensionale dei cluster, l'aspetto di un cluster infinito e la proporzione di nodi colorati inclusi in esso costituiscono il contenuto del problema dei nodi. È inoltre possibile colorare selettivamente le connessioni (aperte) tra nodi vicini e presupporre che i nodi collegati da catene di connessioni aperte appartengano a un cluster. Quindi le stesse domande sul numero medio di nodi in un cluster, ecc. costituiscono il contenuto del problema comunicativo. Quando tutti i nodi (o tutte le connessioni) sono chiusi, il reticolo è un modello di isolante. Quando sono tutti aperti e la corrente può fluire attraverso le connessioni conduttive attraverso i nodi aperti, il reticolo modella il metallo. Ad un certo valore critico, si verificherà una transizione di percolazione, che è un analogo geometrico della transizione metallo-isolante.

La teoria della percolazione è importante proprio in prossimità della transizione. Lontano dalla transizione è sufficiente approssimare il mezzo efficace, la transizione di percolazione è simile ad una transizione di fase del secondo ordine.

Il fenomeno della percolazione (o flusso del mezzo) è determinato da:

L'ambiente in cui si osserva questo fenomeno;

Una fonte esterna che fornisce flusso in questo ambiente;

Il modo in cui scorre il mezzo, che dipende da una fonte esterna.

Come semplice esempio, possiamo considerare un modello del flusso (ad esempio, guasto elettrico) in un reticolo quadrato bidimensionale costituito da nodi che possono essere conduttori o non conduttori. Nel momento iniziale, tutti i nodi della griglia non sono conduttori. Nel tempo, la sorgente sostituisce i nodi non conduttori con quelli conduttori e il numero di nodi conduttori aumenta gradualmente. In questo caso i nodi vengono sostituiti in modo casuale, ovvero la scelta di uno qualsiasi dei nodi da sostituire è ugualmente probabile per l'intera superficie del reticolo.

La percolazione è il momento in cui appare uno stato reticolare in cui esiste almeno un percorso continuo attraverso nodi conduttori adiacenti da uno al bordo opposto. È ovvio che con l'aumento del numero dei nodi conduttori, questo momento arriverà prima che l'intera superficie del reticolo sia costituita esclusivamente da nodi conduttori.

Indichiamo gli stati non conduttivi e conduttivi dei nodi rispettivamente con zero e uno. Nel caso bidimensionale l'ambiente corrisponderà ad una matrice binaria. La sequenza di sostituzione degli zeri della matrice con uno corrisponderà alla fonte della perdita.

Nel momento iniziale, la matrice è costituita interamente da elementi non conduttori:

Cluster sensibile ai gas di gelificazione per percolazione

All'aumentare del numero di nodi conduttori, arriva un punto critico in cui avviene la percolazione, come mostrato di seguito:

Si può vedere che dal bordo sinistro a quello destro dell'ultima matrice c'è una catena di elementi che garantisce il flusso di corrente attraverso nodi conduttori (unità) che si susseguono continuamente.

La percolazione può essere osservata sia nei reticoli che in altre strutture geometriche, comprese quelle continue, costituite rispettivamente da un gran numero di elementi simili o regioni continue, che possono trovarsi in uno dei due stati. I modelli matematici corrispondenti sono chiamati reticolo o continuo.

Un esempio di percolazione in un mezzo continuo è il passaggio di un liquido attraverso un campione voluminoso e poroso (ad esempio acqua attraverso una spugna di materiale schiumoso), in cui le bolle vengono gradualmente gonfiate fino a quando la loro dimensione diventa sufficiente affinché il liquido possa percolare da un bordo all'altro del campione.

Induttivamente, il concetto di percolazione viene trasferito a qualsiasi struttura o materiale che viene chiamato mezzo di percolazione, per il quale deve essere determinata una fonte esterna di flusso, un metodo di flusso e i cui elementi (frammenti) possono trovarsi in stati diversi, uno dei quale (primario) non soddisfa questo metodo di flusso, e l'altro lo soddisfa. Il metodo del flusso implica anche una certa sequenza di occorrenza di elementi o un cambiamento di frammenti del mezzo nello stato necessario per il flusso, fornito dalla fonte. La sorgente trasferisce gradualmente elementi o frammenti del campione da uno stato all'altro fino al momento della percolazione.

Soglia di perdita

L'insieme degli elementi attraverso i quali avviene il flusso è detto ammasso di percolazione. Essendo per natura un grafo casuale connesso, può assumere forme diverse a seconda della specifica implementazione. Pertanto, è consuetudine caratterizzarne le dimensioni complessive. La soglia di percolazione è il numero di elementi del cluster di percolazione diviso per il numero totale di elementi del mezzo in esame.

A causa della natura casuale del cambiamento di stato degli elementi dell'ambiente, nel sistema finito non esiste una soglia chiaramente definita (la dimensione del cluster critico), ma esiste un cosiddetto intervallo critico di valori, in cui la percolazione i valori di soglia ottenuti a seguito di varie implementazioni casuali diminuiscono. All’aumentare delle dimensioni del sistema, l’area si restringe fino a diventare un punto.

La teoria della percolazione (percolazione) è l'approccio più generale per descrivere i processi di trasporto in sistemi disordinati. Con il suo aiuto vengono considerate le probabilità di formazione di cluster da particelle che si toccano tra loro e sia i valori delle soglie di percolazione che le proprietà di compositi (elettrici, meccanici, termici, ecc.).

Il flusso di corrente elettrica nei materiali compositi è il più adeguato al problema della percolazione formulato per un mezzo continuo. Secondo questo problema, ogni punto nello spazio con probabilità P=X risposte di conduttivitàG = G N e con probabilità (1- P) – conduttivitàG = G D, dove G N – conduttività elettrica del riempitivo,G D – conduttività elettrica del dielettrico. La soglia di perdita in questo caso è pari alla frazione minima di spazio xC occupate da regioni conduttrici, nelle quali il sistema è ancora conduttore. Quindi, ad un valore di probabilità critico P=X C, nel sistema si osserva una transizione metallo-isolante. In piccolo P tutti gli elementi conduttori sono contenuti in cluster di dimensione finita, isolati gli uni dagli altri. Man mano che aumenti P aumenta anche la dimensione media del cluster P=X C appare per la prima volta nel sistemagrappolo infinito . E infine, in alto P Le aree non conduttrici saranno isolate le une dalle altre.

Il risultato principale della teoria della percolazione è la natura della legge di potenza del comportamento di concentrazione della conduttività nella regione critica:

Dove X– concentrazione volumetrica della fase conduttiva con conduttivitàG N ; xC– concentrazione critica (soglia di percolazione);G D – conduttività della fase dielettrica. La dipendenza (1)-(3) è mostrata in Fig. 1.

Riso. 1. Dipendenza della conduttività del materiale composito dalla concentrazione del riempitivo

Rapporto tra esponenti (indici critici):

Q=t(1/S-1)

Probabilmente l'unico risultato accurato ottenuto nella teoria dei sistemi eterogenei è il risultato per un sistema metallo-isolante bidimensionale bifase con una struttura tale che quando xD = xN= 0,5 la sostituzione del metallo con il dielettrico non modifica statisticamente la struttura. Questo ci permette di determinare l'indice critico S per sistemi bidimensionali: S 2 =0,5. Allora dalla (1.17) q 2 = t 2 = 1.3. Per sistemi tridimensionali: S 3 =0,62, q 3 =1, t 3 =1,6.

Uno dei parametri più importanti della teoria della percolazione è la soglia di percolazione xS. Questo parametro è più sensibile ai cambiamenti nella struttura rispetto agli indici critici. Per i sistemi bidimensionali varia entro 0,30-0,50 con la media teorica xC=0,45 e per tridimensionale – entro 0,05-0,60 s xC=0,15. Queste variazioni sono associate alla varietà di tipi di strutture dei materiali compositi, poiché nei sistemi reali la concentrazione critica è in gran parte determinata dal regime tecnologico per ottenere la miscela: la natura della dispersione della polvere, il metodo di spruzzatura, le modalità di pressatura, il trattamento termico , eccetera. Pertanto, è consigliabile determinare sperimentalmente la soglia di percolazione utilizzando le dipendenze dalla concentrazioneG (X), e non considerato un parametro teorico.

La soglia di percolazione è determinata dalla natura della distribuzione del riempitivo nella matrice, dalla forma delle particelle del riempitivo e dal tipo di matrice.

Per strutturatomateriali compositi natura della conduttività elettrica e tipo di dipendenzaG (X) non sono qualitativamente diversi da dipendenze simili per i sistemi statistici, tuttavia, la soglia di percolazione si sposta verso concentrazioni più basse. La strutturazione può essere causata dall'interazione tra matrice e riempitivo oppure può essere effettuata in modo forzato, ad esempio sotto l'influenza di campi elettrici o magnetici.

Anche soglia di perdita dipende dalla forma delle particelle di riempitivo. Per le particelle allungate e a forma di scaglie, la soglia di percolazione è inferiore rispetto a quella delle particelle sferiche. Ciò è dovuto al fatto che l'estensione significativa delle sezioni elettricamente conduttive, determinata dalla geometria delle particelle, aumenta la probabilità di creare un contatto affidabile e contribuisce alla formazione di un ammasso infinito a gradi di riempimento del composito relativamente bassi.

Per fibre aventi lo stesso rapporto lunghezza/diametro, ma introdotte in polimeri diversi, sono stati ottenuti valori diversi xC.

Nonostante i progressi significativi, la teoria della percolazione non è stata ampiamente utilizzata per i tre componenti e quelli più complessimateriali compositi .

È anche possibile combinare la teoria della percolazione e altri metodi di calcolo

L'ordine eromagnetico è preservato in un ampio intervallo di concentrazioni x fino alla fase superconduttiva.

A livello qualitativo il fenomeno si spiega come segue. Quando drogati, compaiono buchi sugli atomi di ossigeno, il che porta all'emergere di un'interazione ferromagnetica concorrente tra gli spin e alla soppressione dell'antiferromagnetismo. Il forte calo della temperatura di Néel è facilitato anche dallo spostamento del buco, che porta alla distruzione dell'ordine antiferromagnetico.

D’altro canto, i risultati quantitativi sono in netto disaccordo con i valori della soglia di percolazione per un reticolo quadrato, entro il quale è possibile descrivere la transizione di fase nei materiali isostrutturali. Si pone il compito di modificare la teoria della percolazione in modo tale da descrivere la transizione di fase nello strato all'interno del quadro.

Quando si descrive lo strato, si presuppone che per ogni atomo di rame vi sia un foro localizzato, cioè si presuppone che tutti gli atomi di rame siano magnetici. Tuttavia, i risultati dei calcoli di banda e cluster mostrano che nello stato non drogato i numeri di occupazione del rame sono 0,5 - 0,6 e dell'ossigeno - 0,1-0,2. A livello qualitativo, questo risultato può essere facilmente compreso analizzando il risultato della diagonalizzazione esatta dell'Hamiltoniana per un cluster con condizioni al contorno periodiche. Lo stato fondamentale dell'ammasso è una sovrapposizione dello stato antiferromagnetico e degli stati senza ordinamento antiferromagnetico sugli atomi di rame.

Possiamo supporre che circa la metà degli atomi di rame abbiano un foro e che i restanti atomi ne abbiano nessuno o due fori. Un'interpretazione alternativa è che il buco trascorre solo la metà del suo tempo sugli atomi di rame. L'ordinamento antiferromagnetico si verifica quando gli atomi di rame più vicini hanno ciascuno un foro. Inoltre, è necessario che sull'atomo di ossigeno tra questi atomi di rame non vi sia alcun foro o due fori per escludere il verificarsi di interazione ferromagnetica. In questo caso non importa se consideriamo la configurazione istantanea delle lacune oppure una o più componenti della funzione d'onda dello stato fondamentale.

Usando la terminologia della teoria della percolazione, chiameremo gli atomi di rame con un foro siti non bloccati e gli atomi di ossigeno con un foro rotto legami. La transizione dall'ordine ferromagnetico a lungo raggio all'ordine ferromagnetico a corto raggio in questo caso corrisponderà alla soglia di percolazione, cioè all'apparizione di un ammasso in contrazione: una catena infinita di nodi non bloccati collegati da legami ininterrotti.

Almeno due punti distinguono nettamente il problema dalla teoria standard della percolazione: in primo luogo, la teoria standard presuppone la presenza di atomi di due tipi, magnetici e non magnetici, mentre noi abbiamo solo atomi di un tipo (rame), le proprietà di che cambiano a seconda della posizione del foro; in secondo luogo, la teoria standard considera due nodi collegati se entrambi non sono bloccati (magnetici) - il problema dei nodi, oppure, se la connessione tra loro non è interrotta - il problema delle connessioni; nel nostro caso entrambi i nodi sono bloccati e le connessioni sono interrotte.

Pertanto il problema si riduce a trovare la soglia di percolazione su un reticolo quadrato per coniugare il problema dei nodi e delle connessioni.

3 Applicazione della teoria della percolazione allo studio di sensori sensibili ai gas con struttura a percolazione

Negli ultimi anni, i processi sol-gel che non sono termodinamicamente in equilibrio hanno trovato ampia applicazione nella nanotecnologia. In tutte le fasi dei processi sol-gel si verificano varie reazioni che influenzano la composizione finale e la struttura dello xerogel. Nella fase di sintesi e maturazione del sol si formano aggregati frattali, la cui evoluzione dipende dalla composizione dei precursori, dalla loro concentrazione, dall'ordine di miscelazione, dal valore del pH del mezzo, dalla temperatura e dal tempo di reazione, dalla composizione atmosferica, ecc. della tecnologia sol-gel nella microelettronica, di norma, sono strati soggetti ai requisiti di levigatezza, continuità e uniformità di composizione. Per i sensori sensibili ai gas di nuova generazione, sono di maggiore interesse i metodi tecnologici per la produzione di strati nanocompositi porosi con dimensioni dei pori controllate e riproducibili. In questo caso, i nanocompositi devono contenere una fase per migliorare l'adesione e una o più fasi di ossidi metallici semiconduttori con conduttività elettrica di tipo n per garantire la sensibilità ai gas. Il principio di funzionamento dei sensori di gas a semiconduttore basati su strutture di percolazione di strati di ossido di metallo (ad esempio biossido di stagno) è quello di modificare le proprietà elettriche durante l'adsorbimento di forme cariche di ossigeno e il desorbimento dei prodotti delle loro reazioni con molecole di gas riducenti . Dai concetti della fisica dei semiconduttori ne consegue che se le dimensioni trasversali dei rami conduttori dei nanocompositi a percolazione sono commisurate al valore della lunghezza caratteristica dello screening di Debye, la sensibilità ai gas dei sensori elettronici aumenterà di diversi ordini di grandezza. Tuttavia, il materiale sperimentale accumulato dagli autori indica una natura più complessa del verificarsi dell'effetto di un forte aumento della sensibilità al gas. Un forte aumento della sensibilità al gas può verificarsi su strutture di rete con dimensioni geometriche dei rami molte volte maggiori della lunghezza di schermatura e dipende dalle condizioni di formazione del frattale.

I rami delle strutture reticolari sono una matrice di biossido di silicio (o una matrice mista di stagno e biossido di silicio) con cristalliti di biossido di stagno inclusi al suo interno (il che è confermato dai risultati della modellizzazione), formando un cluster di percolazione conduttivo in contrazione con un contenuto di SnO2 superiore al 50%. Pertanto, l'aumento del valore soglia di percolazione può essere spiegato qualitativamente a causa del consumo di parte del contenuto di SnO2 nella fase mista non conduttiva. Tuttavia, la natura della formazione delle strutture di rete sembra essere più complessa. Numerosi esperimenti sull'analisi della struttura degli strati utilizzando metodi AFM vicino al valore atteso della soglia di transizione della percolazione non hanno consentito di ottenere prove documentali affidabili dell'evoluzione del sistema con la formazione di grandi pori secondo le leggi dei modelli di percolazione. In altre parole, i modelli di crescita degli aggregati frattali nel sistema SnO2 - SnO2 descrivono qualitativamente solo le fasi iniziali dell'evoluzione del sol.

Nelle strutture con una gerarchia di pori si verificano processi complessi di adsorbimento-desorbimento, ricarica degli stati superficiali, fenomeni di rilassamento ai confini dei grani e dei pori, catalisi sulla superficie degli strati e nell'area di contatto, ecc. Rappresentazioni di modelli semplici all'interno della struttura dei modelli Langmuir e Brunauer-Emmett-Teller (BET)) sono applicabili solo per comprendere il ruolo medio predominante di un particolare fenomeno. Per approfondire lo studio delle caratteristiche fisiche dei meccanismi di sensibilità ai gas, è stato necessario realizzare un'apposita installazione di laboratorio che fornisse la possibilità di registrare la dipendenza temporale delle variazioni del segnale analitico a diverse temperature in presenza e in assenza di gas riducenti di una data concentrazione. La creazione di un apparato sperimentale ha reso possibile effettuare ed elaborare automaticamente 120 misurazioni al minuto nell'intervallo di temperature operative compreso tra 20 e 400 ºС.

Per le strutture con una struttura a percolazione di rete, sono stati identificati nuovi effetti osservati quando le nanostrutture porose basate su ossidi metallici sono state esposte a un'atmosfera di gas riducenti.

Dal modello proposto di strutture sensibili ai gas con una gerarchia di pori, ne consegue che per aumentare la sensibilità degli strati sensore a semiconduttore di adsorbimento, è fondamentalmente possibile garantire una resistenza relativamente elevata del campione nell'aria e una resistenza relativamente bassa di nanostrutture di film in presenza di un gas reagente. Una soluzione tecnica pratica può essere implementata creando un sistema di pori di dimensioni nanometriche con un'elevata densità di distribuzione nei grani, fornendo un'efficace modulazione dei processi di flusso di corrente nelle strutture della rete di percolazione. Ciò è stato ottenuto attraverso l'introduzione mirata di ossido di indio in un sistema a base di biossido di stagno e silicio.

Conclusione

La teoria della percolazione è un fenomeno abbastanza nuovo e non completamente studiato. Ogni anno vengono fatte scoperte nel campo della teoria della percolazione, vengono scritti algoritmi e pubblicati articoli.

La teoria della percolazione attira l'attenzione di vari specialisti per una serie di motivi:

Formulazioni facili ed eleganti dei problemi della teoria della percolazione si uniscono alla difficoltà di risolverli;

Per risolvere i problemi di percolazione è necessario combinare nuove idee provenienti dalla geometria, dall'analisi e dalla matematica discreta;

L'intuizione fisica può essere molto fruttuosa nel risolvere i problemi di percolazione;

La tecnica sviluppata per la teoria della percolazione ha numerose applicazioni in altri problemi di processi aleatori;

La teoria della percolazione fornisce la chiave per comprendere altri processi fisici.

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TEORIA DELLA PERCEZIONE(teoria della percolazione, dal latino percolatio - filtrazione; teoria delle infiltrazioni) - matematica. una teoria utilizzata per studiare i processi che si verificano in mezzi disomogenei con proprietà casuali, ma fissati nello spazio e immutabili nel tempo. È nato nel 1957 come risultato del lavoro di J. Hammersley. In P. t. si distingue tra problemi reticolari di P. t., problemi continui e i cosiddetti. attività su nodi casuali. I problemi reticolari, a loro volta, sono suddivisi nei cosiddetti. compiti dei nodi e problemi di connessione tra loro.

Compiti di comunicazione. Supponiamo che le connessioni siano bordi che collegano nodi vicini di un periodico infinito. grate (Fig., o). Si presuppone che le connessioni tra i nodi possano essere di due tipi: intatte o interrotte (bloccate). La distribuzione dei legami intatti e bloccati nel reticolo è casuale; la probabilità che una determinata connessione sia intatta è pari a X. Si presume che non dipenda dallo stato dei legami vicini. Due nodi del reticolo sono considerati collegati tra loro se sono collegati da una catena di interi legami. Viene chiamato un insieme di nodi collegati tra loro. grappolo. A valori piccoli X intere connessioni, di regola, sono lontane l'una dall'altra e dominano gruppi di un piccolo numero di nodi, ma con un aumento X le dimensioni dei cluster aumentano notevolmente. Soglia ( x c) chiamato questo significato X, in cui per la prima volta appare un cluster di un numero infinito di nodi. P.t. permette di calcolare i valori di soglia x s, ed esplorare anche la topologia dei cluster su larga scala vicino alla soglia (vedi. Frattali C Con l'aiuto di P. t è possibile descrivere la conduttività elettrica di un sistema costituito da elementi conduttori e non conduttori. Ad esempio, se assumiamo che interi collegamenti conducano elettricità. corrente, ma quelli bloccati non conducono, si scopre che quando X< х с colpo la conduttività elettrica del reticolo è O, e at x > x c

è diverso da 0. Flusso attraverso la griglia: UN

- problema di connessione (non esiste un percorso di flusso attraverso il blocco specificato); b - compito dei nodi (percorso del flusso mostrato). differiscono dai problemi di connessione in quanto le connessioni bloccate non sono distribuite individualmente sul reticolo: tutte le connessioni che escono da un blocco sono bloccate. nodo (fig. B). I nodi così bloccati sono distribuiti casualmente sul reticolo, con probabilità 1 - X. È stato dimostrato che la soglia x s per il problema delle connessioni su qualsiasi reticolo non si supera la soglia x s per il problema dei nodi sullo stesso reticolo. Per alcuni reticoli piatti sono stati trovati valori esatti x s. Ad esempio per problemi di connessioni su reticoli triangolari ed esagonali x s= 2peccato(p/18) e x c = 1 - 2 peccato(p/18). Per il problema dei nodi su un reticolo quadrato x c = 0,5. Per i reticoli tridimensionali i valori x s trovato approssimativamente utilizzando la simulazione al computer (tabella).

Soglie di flusso per varie griglie

Tipo di griglia	x s per il problema di connessione	x s Per l'attività del nodo
Griglie piane
esagonale
piazza
triangolare
Reticoli tridimensionali
tipo diamante
cubico semplice
cubica a corpo centrato
cubico a facce centrate

Compiti continui. In questo caso, invece di fluire attraverso legami e nodi, sono considerati in un mezzo continuo disordinato. Una funzione casuale continua di coordinate è specificata in tutto lo spazio. Fissiamo un certo valore della funzione e chiamiamo nere le regioni dello spazio in cui sono nere. A valori sufficientemente piccoli, queste aree sono rare e, di regola, isolate l'una dall'altra, e a valori sufficientemente grandi occupano quasi l'intero spazio. Devi trovare il cosiddetto. livello di flusso - min. ovvero quando le aree nere formano un labirinto di percorsi collegati che si estendono a una distanza infinita. Nel caso tridimensionale non è stata ancora trovata una soluzione esatta al problema del continuo. Tuttavia, la simulazione al computer mostra che per le funzioni casuali gaussiane nello spazio tridimensionale, la frazione del volume occupato dalle aree nere è all'incirca pari a 0,16. Nel caso bidimensionale, la frazione dell'area occupata dalle regioni nere è esattamente 0,5.

Attività su nodi casuali. Lascia che i nodi non formino un reticolo regolare, ma distribuiti casualmente nello spazio. Due nodi sono considerati connessi se la distanza tra loro non supera un valore fisso Piccolo rispetto alla media. distanza tra i nodi, quindi i cluster contenenti 2 o più nodi collegati tra loro sono rari, ma il numero di tali cluster aumenta notevolmente con l'aumentare G e con qualche criticità. Senso nasce un ammasso infinito. La simulazione al computer mostra che nel caso tridimensionale 0,86, dove N- concentrazione di nodi. Problemi sui nodi casuali e loro varie tipologie. Le generalizzazioni svolgono un ruolo importante nella teoria conduzione saltellante.

Gli effetti descritti da P. t eventi critici, caratterizzato da criticità punto, in prossimità del taglio il sistema si scompone in blocchi e la dimensione delle parti. i blocchi aumentano indefinitamente quando si avvicina al critico. punto. L’emergere di un cluster infinito nei problemi P.T. è per molti versi simile transizione di fase secondo tipo. Per la matematica. vengono introdotte le descrizioni di questi fenomeni parametro dell'ordine,La Crimea in caso di problemi al reticolo è la quota P(x) nodi del reticolo appartenenti ad un cluster infinito. Vicino alla soglia della funzione P(x) ha la forma

dove - coefficiente numerico, b - critico. indice dei parametri dell'ordine. Una formula simile descrive il comportamento del battito. conduttività elettrica s(x)vicino alla soglia di flusso:

Dove ALLE 2- coefficiente numerico, s(1) - spec. conduttività elettrica a C= 1, f - critico. indice di conducibilità elettrica. Le dimensioni spaziali dei cluster sono caratterizzate dal raggio di correlazione R(x), applicando a

Qui B 3 - coefficiente numerico, Flusso attraverso la griglia:- costante reticolare, v - critico. indice del raggio di correlazione.

Le soglie di insorgenza dipendono in modo significativo dal tipo di problemi di P. t., ma sono critiche. gli indici sono gli stessi per i diversi problemi e sono determinati solo dalla dimensione dello spazio D(versatilità). Concetti presi in prestito dalla teoria delle transizioni di fase del secondo ordine consentono di ottenere relazioni che collegano diversi fattori critici. indici. Approssimazione campo autoconsistente applicabile a P. t d> 6. In questa approssimazione, critico. gli indici non dipendono da D; b = 1, = 1/2.

I risultati di P.T. vengono utilizzati nello studio delle proprietà elettroniche sistemi disordinati, fase transizioni metalliche - dielettrico, ferromagnetismo soluzioni solide, cinetiche. Fenomeni in mezzi altamente eterogenei, fisico-chimici. processi nei solidi, ecc.

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