Вовед

1. Теорија на перколација

2.1 Процеси на гелирање

Заклучок

Теориите за перколација постојат повеќе од педесет години. Стотици статии се објавуваат годишно на Запад, посветени и на теоретските прашања на перколацијата и на неговите примени.

Теоријата на перколација се занимава со формирање на поврзани објекти во нарушени средини. Од гледна точка на математичарот, теоријата на перколација треба да се припише на теоријата на веројатност во графикони. Од гледна точка на физиката, перколацијата е геометриска фазна транзиција. Од гледна точка на програмерот, ова е најшироко поле за развој на нови алгоритми. Од гледна точка на практиката, тоа е едноставна, но моќна алатка која ви овозможува да решите широк спектар на животни задачи во еден пристап.

Ова дело ќе биде посветено на главните одредби на теоријата на перколација. Ќе ги разгледам теоретските основи на перколацијата, ќе дадам примери кои го објаснуваат феноменот на перколација. Ќе се разгледаат и главните примени на теоријата на перколација.

Теоријата на перколација (проток) е теорија која го опишува појавувањето на бесконечно поврзани структури (кластери) кои се состојат од поединечни елементи. Претставувајќи ја околината како дискретна решетка, формулираме два едноставни типа на проблеми. Можно е селективно да се обојат (отворат) јазлите на решетката на случаен начин, земајќи го предвид соодносот на обоените јазли како главен независен параметар и претпоставувајќи дека два обоени јазли припаѓаат на истиот кластер, доколку можат да се поврзат со континуиран синџир на соседните обоени јазли.

Прашањата како што се просечниот број на јазли во кластерот, дистрибуцијата на големината на кластерите, појавата на бесконечен кластер и пропорцијата на обоени јазли во него ја сочинуваат содржината на проблемот со јазлите. Исто така, можно е селективно да се обојат (отворат) врските помеѓу соседните јазли и да се земе предвид дека јазлите поврзани со синџири на отворени врски припаѓаат на истиот кластер. Потоа истите прашања за просечниот број на јазли во кластерот итн. ја сочинуваат содржината на проблемот со поврзувањето. Кога сите јазли (или сите врски) се затворени, решетката е модел на изолатор. Кога сите се отворени и струјата може да тече низ проводните врски низ отворените јазли, тогаш решетката го моделира металот. При некоја критична вредност, ќе се појави транзиција на перколација, што е геометриски аналог на транзицијата метал-изолатор.

Теоријата на перколација е важна токму во близина на транзицијата. Далеку од транзицијата, доволно е да се приближи ефективниот медиум.Транзицијата на перколација е аналогна на фазна транзиција од втор ред.

Феноменот на перколација (или проток на медиум) се одредува со:

Околината во која се забележува овој феномен;

Надворешен извор кој обезбедува проток во оваа средина;

Начинот на кој тече медиум, што зависи од надворешен извор.

Како наједноставен пример, можеме да разгледаме модел на проток (на пример, електричен дефект) во дводимензионална квадратна решетка која се состои од јазли кои можат да бидат спроводливи или непроводни. Во почетниот момент, сите мрежни јазли се непроводливи. Со текот на времето, изворот ги заменува непроводните јазли со проводни јазли, а бројот на спроводливи јазли постепено се зголемува. Во овој случај, јазлите се заменуваат случајно, односно изборот на кој било од јазлите за замена е подеднакво веројатен за целата површина на решетката.

Перколација е моментот кога се појавува таква состојба на решетката, во која има барем една континуирана патека низ соседните спроводливи јазли од еден до спротивниот раб. Очигледно, со зголемување на бројот на проводни јазли, овој момент ќе дојде пред целата површина на решетката да се состои исклучиво од проводни јазли.

Да ги означиме непроводните и проводните состојби на јазлите со нули и единици, соодветно. Во дводимензионалниот случај, медиумот ќе одговара на бинарна матрица. Редоследот на замена на матричните нули со нули ќе одговара на изворот на истекување.

Во почетниот момент, матрицата се состои целосно од непроводливи елементи:

кластер чувствителен на гас на перколација гелација

Како што се зголемува бројот на спроводливи јазли, доаѓа критичен момент кога се јавува перколација, како што е прикажано подолу:

Се гледа дека од левата кон десната граница на последната матрица има синџир на елементи што обезбедува проток на струја низ проводните јазли (единици) кои континуирано се следат еден по друг.

Перколацијата може да се забележи и во решетки и во други геометриски структури, вклучително и континуирани, кои се состојат од голем број слични елементи или континуирани региони, соодветно, кои можат да бидат во една од двете состојби. Соодветните математички модели се нарекуваат решетка или континуум.

Пример за перколација во континуиран медиум е минување на течност низ гломазен порозен примерок (на пример, вода низ сунѓер направен од материјал за пенење), во кој меурите постепено се надувуваат додека нивната големина не биде доволна за течноста да истече од еден раб од примерокот до друг.

Индуктивно, концептот на перколација се пренесува на какви било структури или материјали, кои се нарекуваат медиум за перколација, за што мора да се одреди надворешен извор на истекување, методот на проток и чии елементи (фрагменти) можат да бидат во различни состојби, една од кои (примарниот) не го задоволува овој начин на премин.а другиот задоволува. Методот на проток подразбира и одредена секвенца на појава на елементи или промена на фрагментите од медиумот до состојбата неопходна за проток, која ја обезбедува изворот. Изворот, пак, постепено пренесува елементи или фрагменти од примерокот од една во друга состојба, сè додека не дојде моментот на пробивање.

Праг на истекување

Множеството елементи низ кои се одвива протокот се нарекува кластер за перколација. Како поврзан случаен график по својата природа, во зависност од конкретната имплементација, тој може да има различна форма. Затоа, вообичаено е да се карактеризира нејзината вкупна големина. Прагот на перколација е бројот на елементи на кластерот за перколација поврзан со вкупниот број на елементи на медиумот што се разгледува.

Поради случајната природа на префрлување на состојбите на елементите на околината, во финалниот систем не постои јасно дефиниран праг (големината на критичниот кластер), туку постои таканаречен критичен опсег на вредности, во кој паѓаат вредностите на прагот на перколација добиени како резултат на различни случајни имплементации. Како што се зголемува големината на системот, регионот се стеснува до одредена точка.

2. Опсег на примена на теоријата на перколација

Примените на теоријата на перколација се обемни и разновидни. Тешко е да се именува област во која не би се применила теоријата на перколација. Формирањето на гелови, скокачката спроводливост во полупроводниците, ширењето на епидемии, нуклеарните реакции, формирањето на галактички структури, својствата на порозните материјали - ова е далеку од комплетната листа на различни примени на теоријата на перколација. Не може да се даде каков било целосен преглед на работата на примената на теоријата на перколација, па да се задржиме на некои од нив.

2.1 Процеси на гелирање

Иако процесите на гелација беа првите проблеми каде што беше применет пристапот на перколација, оваа област е далеку од исцрпена. Процесот на гелација е фузија на молекули. Кога се појавуваат агрегати во системот, кои се протегаат низ целиот систем, се вели дека се случила транзиција на сол-гел. Обично се верува дека системот се опишува со три параметри - концентрацијата на молекулите, веројатноста за формирање на врски помеѓу молекулите и температурата. Последниот параметар влијае на веројатноста за формирање на врска. Така, процесот на гелација може да се смета како мешан проблем на теоријата на перколација. Вреди да се одбележи дека овој пристап се користи и за опишување на магнетни системи. Постои интересна насока за развој на овој пристап. Задачата на гелирање на протеинот на албумин е важна за медицинска дијагноза.

Постои интересна насока за развој на овој пристап. Задачата на гелирање на протеинот на албумин е важна за медицинска дијагноза. Познато е дека протеинските молекули имаат издолжена форма. Кога протеинскиот раствор преминува во фазата на гел, значителен ефект има не само температурата, туку и присуството на нечистотии во растворот или на површината на самиот протеин. Така, во мешаниот проблем на теоријата на перколација, потребно е дополнително да се земе предвид анизотропијата на молекулите. Во одредена смисла, ова го приближува проблемот што се разгледува до проблемот со „иглите“ и проблемот со Накамура. Одредувањето на прагот на перколација во мешан проблем за анизотропни објекти е нов проблем во теоријата на перколација. Иако за целите на медицинската дијагностика е доволно да се реши проблемот за објекти од ист тип, од интерес е да се проучи проблемот за случаи на предмети со различна анизотропија, па дури и со различни форми.

2.2 Примена на теоријата на перколација за опишување на магнетни фазни транзиции

Една од карактеристиките на соединенијата базирана на и е преминот од антиферомагнетна во парамагнетна состојба веќе со мало отстапување од стехиометријата. Исчезнувањето на редот на долг дострел се случува при вишок на концентрација на дупки во рамнината, додека антиферомагнетниот ред со краток дострел е зачуван во широк опсег на концентрации x до фазата на суперспроводливост.

Квалитативно, феноменот се објаснува на следниов начин. Кога се допингува, дупките се појавуваат на атомите на кислород, што доведува до појава на конкурентна феромагнетна интеракција помеѓу вртењата и потиснување на антиферомагнетизмот. Наглото намалување на температурата на Неел е олеснето и со движењето на дупката, што доведува до уништување на антиферомагнетниот ред.

Од друга страна, квантитативните резултати остро се разликуваат од вредностите на прагот на перколација за квадратна решетка, во рамките на која е можно да се опише фазната транзиција кај изоструктурните материјали. Проблемот се јавува да се измени теоријата на перколација на таков начин што ќе ја опише фазната транзиција во слојот во рамката.

Кога се опишува слојот, се претпоставува дека има една локализирана дупка за секој атом на бакар, односно се претпоставува дека сите атоми на бакар се магнетни. Како и да е, резултатите од пресметките на бендот и кластерот покажуваат дека во неподготвена состојба, бројот на зафаќање на бакар е 0,5-0,6, а за кислород, 0,1-0,2. На квалитативно ниво, овој резултат е лесно разбирлив со анализа на резултатот од точната дијагонализација на Хамилтоновата за кластер со периодични гранични услови. Основната состојба на кластерот е суперпозиција на антиферомагнетната состојба и состојби без антиферомагнетно подредување на бакарните атоми.

Може да се претпостави дека околу половина од атомите на бакар имаат по една дупка, а останатите атоми немаат ниту една или две дупки. Алтернативно толкување: дупката троши само половина од своето време на атоми на бакар. Антиферомагнетното уредување настанува кога најблиските атоми на бакар имаат по една дупка. Покрај тоа, неопходно е атомот на кислород помеѓу овие атоми на бакар или да нема дупка или да има две дупки за да се исклучи појавата на феромагнетна интеракција. Во овој случај, не е важно дали ќе ја земеме предвид моменталната конфигурација на дупките или една или компонентите на брановата функција на основната состојба.

Користејќи ја терминологијата на теоријата на перколација, атоми на бакар со една дупка ќе ги наречеме деблокирани места и атоми на кислород со една дупка скршени врски. Транзицијата на феромагнетниот ред со долг дострел - феромагнетен ред со краток дострел во овој случај ќе одговара на прагот на перколација, односно појавата на стегање кластер - бескраен синџир од неблокирани јазли поврзани со непрекинати врски.

Најмалку две точки остро го разликуваат проблемот од стандардната теорија на перколација: прво, стандардната теорија претпоставува присуство на атоми од два вида, магнетни и немагнетни, додека имаме само атоми од еден тип (бакар), чии својства варираат во зависност на локализацијата на дупката; второ, стандардната теорија смета дека два јазли се поврзани ако и двата не се блокирани (магнетни) - проблемот на јазлите, или, ако врската меѓу нив не е прекината - проблемот на врските; во нашиот случај, се случува и блокирање на јазли и кршење на врски.

Така, проблемот се сведува на наоѓање на прагот на перколација на квадратна решетка за комбинирање на проблемот со јазолот и врската.

2.3 Примена на теоријата на перколација за проучување на сензори чувствителни на гас со структура на перколација

Во последниве години, процесите на сол-гел кои не се термодинамички рамнотежни се широко користени во нанотехнологијата. Во сите фази на процесите на сол-гел се случуваат различни реакции кои влијаат на крајниот состав и структурата на ксерогелот. Во фазата на синтеза и созревање на сол, се појавуваат фрактални агрегати, чија еволуција зависи од составот на прекурсорите, нивната концентрација, редот на мешање, pH вредноста на медиумот, температурата и времето на реакција, атмосферскиот состав итн. Производите на сол -гел технологијата во микроелектрониката по правило се слоевите на кои им се наметнуваат барањата за мазност, континуитет и униформност во составот. За сензорите чувствителни на гас од новата генерација, поголем интерес се технолошките методи за добивање на порозни нанокомпозитни слоеви со контролирани и репродуктивни големини на порите. Во овој случај, нанокомпозитите треба да содржат фаза за подобрување на адхезијата и една или повеќе фази на полупроводнички метални оксиди со n-тип на електрична спроводливост за да се обезбеди чувствителност на гас. Принципот на работа на сензорите за полупроводнички гасови засновани на структури на перколација на метални оксидни слоеви (на пример, калај диоксид) се состои во менување на електрофизичките својства при адсорпција на наелектризираните видови кислород и десорпција на производите од нивните реакции со молекули на редуцирачки гасови. Од концептите на физиката на полупроводниците произлегува дека ако попречните димензии на проводните гранки на нанокомпозитите со перколација се сразмерни со вредноста на карактеристичната должина на екранот на Debye, чувствителноста на гасот на електронските сензори ќе се зголеми за неколку реда на големина. Сепак, експерименталниот материјал акумулиран од авторите укажува на посложена природа на појавата на ефектот на нагло зголемување на чувствителноста на гасот. Нагло зголемување на чувствителноста на гас може да се случи на мрежни структури со геометриски димензии на гранките кои се неколку пати поголеми од вредностите на должината на скрининг и зависат од условите на формирање на фрактал.

Гранките на мрежните структури претставуваат матрица на силициум диоксид (или мешана матрица од калај и силициум диоксиди) со кристалити од калај диоксид вклучени во неа (што е потврдено со резултатите од симулацијата), кои формираат спроводлив констриктивен кластер на перколација при содржина на SnO2 повеќе од 50%. Така, можно е квалитативно да се објасни зголемувањето на вредноста на прагот на пробивање поради потрошувачката на дел од содржината на SnO2 во мешаната непроводна фаза. Сепак, природата на формирањето на мрежни структури се чини дека е посложена. Бројните експерименти за анализа на структурата на слојот со методи на AFM во близина на претпоставената вредност на прагот на транзиција на перколација не ни дозволија да добиеме сигурни документарни докази за еволуцијата на системот со формирање на големи пори според законите на моделите на пробивање. Со други зборови, моделите на раст на фракталните агрегати во системот SnO2 - SnO2 квалитативно ги опишуваат само почетните фази на еволуцијата на сол.

Сложените процеси на адсорпција-десорпција, надополнување на површинските состојби, феномени на релаксација на границите на зрната и порите, катализа на површината на слоевите и во регионот на контакти итн. се случуваат во структури со хиерархија на пори. ) се применливи само за разбирање преовладувачката просечна улога на една или друга појава. За да се продлабочи проучувањето на физичките карактеристики на механизмите на чувствителност на гас, беше неопходно да се создаде специјална лабораториска поставеност што овозможува да се снимат временските зависности на промената на аналитичкиот сигнал на различни температури во присуство и отсуство на намалување гасови со дадена концентрација. Создавањето на експериментално поставување овозможи автоматско преземање и обработка на 120 мерења во минута во опсег на работна температура од 20 - 400 ºС.

За структурите со структура на мрежна перколација, откриени се нови ефекти, кои се забележани кога порозните наноструктури базирани на метални оксиди се изложени на атмосфера на редуцирачки гасови.

Од предложениот модел на структури чувствителни на гас со хиерархија на пори произлегува дека, со цел да се зголеми чувствителноста на слоевите на сензорот за адсорпција на полупроводници, фундаментално е можно да се обезбеди релативно висок отпор на примерокот во воздухот и релативно низок отпор на филмските наноструктури во присуство на гас реагенс. Практично техничко решение може да се имплементира со создавање систем на пори со нано големина со висока густина во зрната, што обезбедува ефективна модулација на процесите на тековниот тек во структурите на мрежата за перколација. Ова беше реализирано со целното внесување на индиум оксид во систем базиран на калај и силициум диоксид.

Заклучок

Теоријата на перколација е прилично нов и не целосно разбран феномен. Секоја година се прават откритија во областа на теоријата на перколација, се пишуваат алгоритми, се објавуваат трудови.

Теоријата на перколација го привлекува вниманието на различни специјалисти од повеќе причини:

Лесните и елегантни формулации на проблеми во теоријата на перколација се комбинираат со тешкотијата за нивно решавање;

Решавањето на проблемите со перколација бара комбинирање на нови идеи од геометријата, анализата и дискретната математика;

Физичката интуиција може да биде многу плодна во решавањето на проблемите со перколација;

Техниката развиена за теоријата на перколација има бројни примени во други проблеми со случајни процеси;

Теоријата на перколација го дава клучот за разбирање на другите физички процеси.

Библиографија

1. Тарасевич Ју.Ју. Перколација: теорија, апликации, алгоритми. - М.: УРСС, 2002 година.
2. Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфологија на човечки биолошки течности. - М.: Златоуст, 2001. - 340 стр.: ил.
3. Plakida NM Високотемпературни суперпроводници. - М.: Меѓународна програма за образование, 1996 година.
4. Физички својства на високотемпературни суперпроводници / Под. Ед. Д.М. Гинзберг.- М.: Мир, 1990 година.
5. Просандеев С.А., Тарасевич Ју.Ју. Влијание на корелационите ефекти врз структурата на лентата, нискоенергетските електронски возбудувања и функциите на одговор во слоевитите бакарни оксиди. // UFZh 36 (3), 434-440 (1991).
6. Елсин В.Ф., Кашурников В.А., Опенов Л.А. Подливаев А.И. Енергија на врзување на електрони или дупки во кластерите Cu - O: Точна дијагонализација на Емериовиот Хамилтонов. // ZhETF 99 (1), 237-248 (1991).
7. Мошников В.А. Мрежести нанокомпоненти осетливи на гас врз основа на калај и силициум диоксиди. - Рјазан, „Вестник РГГТУ“, - 2007 година.

Вовед

Теориите за перколација постојат повеќе од педесет години. Стотици статии се објавуваат годишно на Запад, посветени и на теоретските прашања на перколацијата и на неговите примени.

Теоријата на перколација се занимава со формирање на поврзани објекти во нарушени средини. Од гледна точка на математичарот, теоријата на перколација треба да се припише на теоријата на веројатност во графикони. Од гледна точка на физиката, перколацијата е геометриска фазна транзиција. Од гледна точка на програмерот, ова е најшироко поле за развој на нови алгоритми. Од гледна точка на практиката, тоа е едноставна, но моќна алатка која ви овозможува да решите широк спектар на животни задачи во еден пристап.

Ова дело ќе биде посветено на главните одредби на теоријата на перколација. Ќе ги разгледам теоретските основи на перколацијата, ќе дадам примери кои го објаснуваат феноменот на перколација. Ќе се разгледаат и главните примени на теоријата на перколација.

Теорија на перколација

Теоријата на перколација (проток) е теорија која го опишува појавувањето на бесконечно поврзани структури (кластери) кои се состојат од поединечни елементи. Претставувајќи ја околината како дискретна решетка, формулираме два едноставни типа на проблеми. Можно е селективно да се обојат (отворат) јазлите на решетката на случаен начин, земајќи го предвид соодносот на обоените јазли како главен независен параметар и претпоставувајќи дека два обоени јазли припаѓаат на истиот кластер, доколку можат да се поврзат со континуиран синџир на соседните обоени јазли.

Прашањата како што се просечниот број на јазли во кластерот, дистрибуцијата на големината на кластерите, појавата на бесконечен кластер и пропорцијата на обоени јазли во него ја сочинуваат содржината на проблемот со јазлите. Исто така, можно е селективно да се обојат (отворат) врските помеѓу соседните јазли и да се земе предвид дека јазлите поврзани со синџири на отворени врски припаѓаат на истиот кластер. Потоа истите прашања за просечниот број на јазли во кластерот итн. ја сочинуваат содржината на проблемот со поврзувањето. Кога сите јазли (или сите врски) се затворени, решетката е модел на изолатор. Кога сите се отворени и струјата може да тече низ проводните врски низ отворените јазли, тогаш решетката го моделира металот. При некоја критична вредност, ќе се појави транзиција на перколација, што е геометриски аналог на транзицијата метал-изолатор.

Теоријата на перколација е важна токму во близина на транзицијата. Далеку од транзицијата, доволно е да се приближи ефективниот медиум.Транзицијата на перколација е аналогна на фазна транзиција од втор ред.

Феноменот на перколација (или проток на медиум) се одредува со:

Околината во која се забележува овој феномен;

Надворешен извор кој обезбедува проток во оваа средина;

Начинот на кој тече медиум, што зависи од надворешен извор.

Како наједноставен пример, можеме да разгледаме модел на проток (на пример, електричен дефект) во дводимензионална квадратна решетка која се состои од јазли кои можат да бидат спроводливи или непроводни. Во почетниот момент, сите мрежни јазли се непроводливи. Со текот на времето, изворот ги заменува непроводните јазли со проводни јазли, а бројот на спроводливи јазли постепено се зголемува. Во овој случај, јазлите се заменуваат случајно, односно изборот на кој било од јазлите за замена е подеднакво веројатен за целата површина на решетката.

Перколација е моментот кога се појавува таква состојба на решетката, во која има барем една континуирана патека низ соседните спроводливи јазли од еден до спротивниот раб. Очигледно, со зголемување на бројот на проводни јазли, овој момент ќе дојде пред целата површина на решетката да се состои исклучиво од проводни јазли.

Да ги означиме непроводните и проводните состојби на јазлите со нули и единици, соодветно. Во дводимензионалниот случај, медиумот ќе одговара на бинарна матрица. Редоследот на замена на матричните нули со нули ќе одговара на изворот на истекување.

Во почетниот момент, матрицата се состои целосно од непроводливи елементи:

кластер чувствителен на гас на перколација гелација

Како што се зголемува бројот на спроводливи јазли, доаѓа критичен момент кога се јавува перколација, како што е прикажано подолу:

Се гледа дека од левата кон десната граница на последната матрица има синџир на елементи што обезбедува проток на струја низ проводните јазли (единици) кои континуирано се следат еден по друг.

Перколацијата може да се забележи и во решетки и во други геометриски структури, вклучително и континуирани, кои се состојат од голем број слични елементи или континуирани региони, соодветно, кои можат да бидат во една од двете состојби. Соодветните математички модели се нарекуваат решетка или континуум.

Пример за перколација во континуиран медиум е минување на течност низ гломазен порозен примерок (на пример, вода низ сунѓер направен од материјал за пенење), во кој меурите постепено се надувуваат додека нивната големина не биде доволна за течноста да истече од еден раб од примерокот до друг.

Индуктивно, концептот на перколација се пренесува на какви било структури или материјали, кои се нарекуваат медиум за перколација, за што мора да се одреди надворешен извор на истекување, методот на проток и чии елементи (фрагменти) можат да бидат во различни состојби, една од кои (примарниот) не го задоволува овој начин на премин.а другиот задоволува. Методот на проток подразбира и одредена секвенца на појава на елементи или промена на фрагментите од медиумот до состојбата неопходна за проток, која ја обезбедува изворот. Изворот, пак, постепено пренесува елементи или фрагменти од примерокот од една во друга состојба, сè додека не дојде моментот на пробивање.

Праг на истекување

Множеството елементи низ кои се одвива протокот се нарекува кластер за перколација. Како поврзан случаен график по својата природа, во зависност од конкретната имплементација, тој може да има различна форма. Затоа, вообичаено е да се карактеризира нејзината вкупна големина. Прагот на перколација е бројот на елементи на кластерот за перколација поврзан со вкупниот број на елементи на медиумот што се разгледува.

Поради случајната природа на префрлување на состојбите на елементите на околината, во финалниот систем не постои јасно дефиниран праг (големината на критичниот кластер), туку постои таканаречен критичен опсег на вредности, во кој паѓаат вредностите на прагот на перколација добиени како резултат на различни случајни имплементации. Како што се зголемува големината на системот, регионот се стеснува до одредена точка.

Теоријата на перколација (проток) е најопшт пристап за опишување на транспортните процеси во нарушените системи. Се користи за да се земат предвид веројатностите за формирање на кластери од честички кои се допираат една со друга и да се предвидат и праговите на перколација и својстватакомпозити (електрични, механички, термички, итн.).

Протокот на електрична струја во композитните материјали е најадекватен на проблемот со перколација формулиран за континуиран медиум. Според овој проблем, секоја точка во просторот со веројатност стр=xисполнува спроводливосте = е Х и со веројатност (1- стр) - спроводливосте = е Д, каде е Х е електричната спроводливост на филер,е Д е електричната спроводливост на диелектрикот. Прагот на пробивање во овој случај е еднаков на минималниот дел од просторот x Cокупирани од спроводни региони, на кои системот сè уште спроведува. Така, на критичната вредност на веројатноста стр=xВ, во системот е забележана транзиција на метал-изолатор. Во мали стрсите спроводни елементи се содржани во кластери со конечна големина, изолирани едни од други. Како што се зголемувате стрпросечната големина на кластерот исто така се зголемува при стр=x C прво се појавува во системотбесконечен кластер . И конечно, на високо ниво стрнепроводните региони ќе бидат изолирани едни од други.

Главниот резултат на теоријата на перколација е природата на законот за моќност на однесувањето на концентрацијата на спроводливоста во критичниот регион:

Каде xе волуменска концентрација на спроводната фаза со спроводливосте Х ; x C– критична концентрација (праг на перколација);е Д е спроводливоста на диелектричната фаза. Зависноста (1)-(3) е прикажана на сл.1.

Ориз. 1. Зависност на спроводливоста на композитниот материјал од концентрацијата на филер

Врска помеѓу експоненти (критични индекси):

Q=t (1/S-1)

Веројатно единствениот точен резултат добиен во теоријата на хетерогени системи е резултатот за дводимензионален двофазен метално-изолаторски систем со таква структура што на x D \u003d x H \u003d 0,5 замена на метал со диелектрик статистички не ја менува структурата. Ова овозможува да се одреди критичниот индекс S за дводимензионални системи: S 2 =0,5. Потоа од (1.17) q 2 =t 2 =1.3. За тридимензионални системи: S 3 \u003d 0,62, q 3 \u003d 1, t 3 \u003d 1,6.

Еден од најважните параметри на теоријата на перколација е прагот на перколација x C.Овој параметар е почувствителен на промени во структурата отколку на критичните индекси. За дводимензионални системи, таа варира во рамките на 0,30-0,50 со просечна теоретска x C\u003d 0,45, а за тридимензионални - во рок од 0,05-0,60 секунди x C=0,15. Овие варијации се поврзани со различни типови на структури на композитни материјали, бидејќи во реалните системи критичната концентрација во голема мера е одредена од технолошкиот начин на добивање смеса: природата на дисперзијата на прашокот, начинот на прскање, режимите на пресување, термичка обработка итн. Затоа, најцелисходно е експериментално да се определи прагот на перколација од зависностите од концентрацијатае (x), и да не се смета за теоретски параметар.

Прагот на перколација се одредува според природата на дистрибуцијата на филер во матрицата, од обликот на честичките за полнење, типот на матрицата.

За структурираникомпозитни материјали природата на електричната спроводливост и видот на зависностае (x) квалитативно не се разликуваат од сличните зависности за статистичките системи, меѓутоа, прагот на пробивање е поместен кон пониски концентрации. Структурирањето може да се должи на интеракцијата на матрицата и филер, или да се изврши на принуден начин, на пример, под дејство на електрични или магнетни полиња.

Исто така праг на перколација зависи од обликот на честичките за полнење. За издолжени и лушпести честички, прагот на пробивање е помал отколку кај сферичните честички. Ова се должи на фактот дека значителна должина на електрично спроводливите делови, поради геометријата на честичките, ја зголемува веројатноста за создавање сигурен контакт и придонесува за формирање на бесконечен кластер при релативно ниски степени на полнење на композитот. .

За влакна со ист сооднос должина-дијаметар, но внесени во различни полимери, добиени се различни вредности x C.

И покрај значителниот напредок, теоријата на перколација не доби широка примена за трикомпонентни и посложеникомпозитни материјали .

Исто така, можно е да се комбинира теоријата на перколација и други методи на пресметка за

феромагнетниот ред е зачуван во широк опсег на концентрации x до фазата на суперспроводливост.

Квалитативно, феноменот се објаснува на следниов начин. Кога се допингува, дупките се појавуваат на атомите на кислород, што доведува до појава на конкурентна феромагнетна интеракција помеѓу вртењата и потиснување на антиферомагнетизмот. Наглото намалување на температурата на Неел е олеснето и со движењето на дупката, што доведува до уништување на антиферомагнетниот ред.

Од друга страна, квантитативните резултати остро се разликуваат од вредностите на прагот на перколација за квадратна решетка, во рамките на која е можно да се опише фазната транзиција кај изоструктурните материјали. Проблемот се јавува со модифицирање на теоријата на перколација на таков начин што ќе ја опише фазната транзиција во слојот во рамката.

Кога се опишува слојот, се претпоставува дека има една локализирана дупка за секој атом на бакар, односно се претпоставува дека сите атоми на бакар се магнетни. Како и да е, резултатите од пресметките на бендот и кластерот покажуваат дека во неподготвена состојба, бројот на зафаќање на бакар е 0,5-0,6, а за кислород, 0,1-0,2. На квалитативно ниво, овој резултат е лесно разбирлив со анализа на резултатот од точната дијагонализација на Хамилтоновата за кластер со периодични гранични услови. Основната состојба на кластерот е суперпозиција на антиферомагнетната состојба и состојби без антиферомагнетно подредување на бакарните атоми.

Може да се претпостави дека околу половина од атомите на бакар имаат по една дупка, а останатите атоми немаат ниту една или две дупки. Алтернативно толкување: дупката троши само половина од своето време на атоми на бакар. Антиферомагнетното уредување настанува кога најблиските атоми на бакар имаат по една дупка. Покрај тоа, неопходно е атомот на кислород помеѓу овие атоми на бакар или да нема дупка или да има две дупки за да се исклучи појавата на феромагнетна интеракција. Во овој случај, не е важно дали ќе ја земеме предвид моменталната конфигурација на дупките или една или компонентите на брановата функција на основната состојба.

Користејќи ја терминологијата на теоријата на перколација, атоми на бакар со една дупка ќе ги наречеме деблокирани места и атоми на кислород со една дупка скршени врски. Транзицијата на феромагнетниот ред со долг дострел - феромагнетен ред со краток дострел во овој случај ќе одговара на прагот на перколација, односно појавата на стегање кластер - бескраен синџир од неблокирани јазли поврзани со непрекинати врски.

Најмалку две точки остро го разликуваат проблемот од стандардната теорија на перколација: прво, стандардната теорија претпоставува присуство на атоми од два вида, магнетни и немагнетни, додека имаме само атоми од еден тип (бакар), чии својства варираат во зависност на локализацијата на дупката; второ, стандардната теорија смета дека два јазли се поврзани ако и двата не се блокирани (магнетни) - проблемот на јазлите, или, ако врската меѓу нив не е прекината - проблемот на врските; во нашиот случај, се случува и блокирање на јазли и кршење на врски.

Така, проблемот се сведува на наоѓање на прагот на перколација на квадратна решетка за комбинирање на проблемот со јазолот и врската.

3 Примена на теоријата на перколација за проучување на сензори чувствителни на гас со структура на перколација

Во последниве години, процесите на сол-гел кои не се термодинамички рамнотежни се широко користени во нанотехнологијата. Во сите фази на процесите на сол-гел се случуваат различни реакции кои влијаат на крајниот состав и структурата на ксерогелот. Во фазата на синтеза и созревање на сол, се појавуваат фрактални агрегати, чија еволуција зависи од составот на прекурсорите, нивната концентрација, редот на мешање, pH вредноста на медиумот, температурата и времето на реакција, атмосферскиот состав итн. Производите на сол -гел технологијата во микроелектрониката по правило се слоевите на кои им се наметнуваат барањата за мазност, континуитет и униформност во составот. За сензорите чувствителни на гас од новата генерација, поголем интерес се технолошките методи за добивање на порозни нанокомпозитни слоеви со контролирани и репродуктивни големини на порите. Во овој случај, нанокомпозитите треба да содржат фаза за подобрување на адхезијата и една или повеќе фази на полупроводнички метални оксиди со n-тип на електрична спроводливост за да се обезбеди чувствителност на гас. Принципот на работа на сензорите за полупроводнички гасови засновани на структури на перколација на метални оксидни слоеви (на пример, калај диоксид) се состои во менување на електрофизичките својства при адсорпција на наелектризираните видови кислород и десорпција на производите од нивните реакции со молекули на редуцирачки гасови. Од концептите на физиката на полупроводниците произлегува дека ако попречните димензии на проводните гранки на нанокомпозитите со перколација се сразмерни со вредноста на карактеристичната должина на екранот на Debye, чувствителноста на гасот на електронските сензори ќе се зголеми за неколку реда на големина. Сепак, експерименталниот материјал акумулиран од авторите укажува на посложена природа на појавата на ефектот на нагло зголемување на чувствителноста на гасот. Нагло зголемување на чувствителноста на гас може да се случи на мрежни структури со геометриски димензии на гранките кои се неколку пати поголеми од вредностите на должината на скрининг и зависат од условите на формирање на фрактал.

Гранките на мрежните структури претставуваат матрица на силициум диоксид (или мешана матрица од калај и силициум диоксиди) со кристалити од калај диоксид вклучени во неа (што е потврдено со резултатите од симулацијата), кои формираат спроводлив констриктивен кластер на перколација при содржина на SnO2 повеќе од 50%. Така, можно е квалитативно да се објасни зголемувањето на вредноста на прагот на пробивање поради потрошувачката на дел од содржината на SnO2 во мешаната непроводна фаза. Сепак, природата на формирањето на мрежни структури се чини дека е посложена. Бројните експерименти за анализа на структурата на слојот со методи на AFM во близина на претпоставената вредност на прагот на транзиција на перколација не ни дозволија да добиеме сигурни документарни докази за еволуцијата на системот со формирање на големи пори според законите на моделите на пробивање. Со други зборови, моделите на раст на фракталните агрегати во системот SnO2 - SnO2 квалитативно ги опишуваат само почетните фази на еволуцијата на сол.

Сложените процеси на адсорпција-десорпција, надополнување на површинските состојби, феномени на релаксација на границите на зрната и порите, катализа на површината на слоевите и во регионот на контакти итн. се случуваат во структури со хиерархија на пори. ) се применливи само за разбирање преовладувачката просечна улога на една или друга појава. За да се продлабочи проучувањето на физичките карактеристики на механизмите на чувствителност на гас, беше неопходно да се создаде специјална лабораториска поставеност што овозможува да се снимат временските зависности на промената на аналитичкиот сигнал на различни температури во присуство и отсуство на намалување гасови со дадена концентрација. Создавањето на експериментално поставување овозможи автоматско преземање и обработка на 120 мерења во минута во опсег на работна температура од 20 - 400 ºС.

За структурите со структура на мрежна перколација, откриени се нови ефекти, кои се забележани кога порозните наноструктури базирани на метални оксиди се изложени на атмосфера на редуцирачки гасови.

Од предложениот модел на структури чувствителни на гас со хиерархија на пори произлегува дека, со цел да се зголеми чувствителноста на слоевите на сензорот за адсорпција на полупроводници, фундаментално е можно да се обезбеди релативно висок отпор на примерокот во воздухот и релативно низок отпор на филмските наноструктури во присуство на гас реагенс. Практично техничко решение може да се имплементира со создавање систем на пори со нано големина со висока густина во зрната, што обезбедува ефективна модулација на процесите на тековниот тек во структурите на мрежата за перколација. Ова беше реализирано со целното внесување на индиум оксид во систем базиран на калај и силициум диоксид.

Заклучок

Теоријата на перколација е прилично нов и не целосно разбран феномен. Секоја година се прават откритија во областа на теоријата на перколација, се пишуваат алгоритми, се објавуваат трудови.

Теоријата на перколација го привлекува вниманието на различни специјалисти од повеќе причини:

Лесните и елегантни формулации на проблеми во теоријата на перколација се комбинираат со тешкотијата за нивно решавање;

Решавањето на проблемите со перколација бара комбинирање на нови идеи од геометријата, анализата и дискретната математика;

Физичката интуиција може да биде многу плодна во решавањето на проблемите со перколација;

Техниката развиена за теоријата на перколација има бројни примени во други проблеми со случајни процеси;

Теоријата на перколација го дава клучот за разбирање на другите физички процеси.

Библиографија

Тарасевич Ју.Ју. Перколација: теорија, апликации, алгоритми. - М.: УРСС, 2002 година.

Шабалин В.Н., Шатохина С.Н. Морфологија на човечки биолошки течности. - М.: Златоуст, 2001. - 340 стр.: ил.

Plakida NM Високотемпературни суперпроводници. - М.: Меѓународна програма за образование, 1996 година.

Физички својства на високотемпературни суперпроводници / Под. Ед. Д.М. Гинзберг.- М.: Мир, 1990 година.

Просандеев С.А., Тарасевич Ју.Ју. Влијание на корелационите ефекти врз структурата на лентата, нискоенергетските електронски возбудувања и функциите на одговор во слоевитите бакарни оксиди. // UFZh 36 (3), 434-440 (1991).

Елсин В.Ф., Кашурников В.А., Опенов Л.А. Подливаев А.И. Енергија на врзување на електрони или дупки во кластерите Cu - O: Точна дијагонализација на Емериовиот Хамилтонов. // ZhETF 99 (1), 237-248 (1991).

Мошников В.А. Мрежести нанокомпоненти осетливи на гас врз основа на калај и силициум диоксиди. - Рјазан, „Вестник РГГТУ“, - 2007 година.

ТЕОРИЈА НА ТЕКОТ(теорија на перколација, од лат. percolatio - перколација; теорија на перколација) - мат. теорија, која се користи за проучување на процесите што се случуваат во нехомогени медиуми со случајни својства, но фиксирани во просторот и непроменети во времето. Се појави во 1957 година како резултат на работата на Ј. Хамерсли (Ј. Хамерсли). Во P. T. се прави разлика помеѓу решетки проблеми на P. T., проблеми со континуум и т.н. задачи на случајни јазли. Проблемите со решетки, пак, се поделени на т.н. задачи на јазли и задачи на врски меѓу нив.

Задачи за комуникација. Нека врските се рабови што ги поврзуваат соседните јазли на бесконечна периодична табела. решетки (сл., о). Се претпоставува дека врските помеѓу јазлите можат да бидат од два вида: недопрени или скршени (блокирани). Распределбата на цел број и блокирани врски во решетката е случајна; веројатноста дека оваа врска е цел број е еднаква на X. Се претпоставува дека тоа не зависи од состојбата на соседните обврзници. Два решеткасти јазли се сметаат за поврзани едни со други ако се поврзани со синџир на целобројни врски. Збирка јазли поврзани едни со други. Грозд. За мали вредности xцели врски, по правило, се далеку една од друга и доминираат кластери од мал број јазли, меѓутоа, со зголемување на xголемини на кластерите нагло се зголемуваат. праг на перколација ( x в) повикан таква вредност X, за кој за прв пат се јавува кластер од бесконечен број јазли. P. t. ви овозможува да ги пресметате вредностите на прагот x с, како и да ја проучува топологијата на кластерите од големи размери во близина на прагот (види Фрактали ВСо помош на P. t., можно е да се опише електричната спроводливост на систем кој се состои од спроводливи и непроводни елементи. На пример, ако претпоставиме дека цели врски спроведуваат електрицитет. струја, а блокираните не спроведуваат, излегува дека кога X< х с бие електричната спроводливост на решетката е еднаква на 0, а на x > x cсе разликува од 0.

Проток на решетка: А- проблем со поврзување (нема патека на проток низ наведениот блок); б - задача на јазли (прикажана е патеката на проток).

Проблеми со решетки јазлисе разликуваат од проблемите со поврзувањето по тоа што блокираните врски не се дистрибуираат на решетката еден по еден - сите врски што излегуваат од c-l се блокирани. јазол (сл., б). Вака блокираните јазли се распределени случајно на решетката, со веројатност од 1 - X. Се покажа дека прагот x сбидејќи проблемот со ограничување на која било решетка не го надминува прагот x сза проблемот со јазолот на истата решетка. За некои рамни решетки се наоѓаат точни вредности x с. На пример, за проблеми со поврзување на триаголни и шестоаголни решетки x с= 2sin(p/18) и x c = 1 - 2 грев (p/18). За проблемот со јазолот на квадратна решетка x c = 0,5. За тридимензионални решетки, вредностите x спронајден приближно користејќи компјутерска симулација (Табела).

Прагови на перколација за различни решетки

Тип на решетка	x сза проблемот со поврзувањето	x сЗа задачата јазол
рамни решетки
шестоаголна
квадрат
триаголен
3D решетки
тип на дијамант
едноставна кубна
кубни во центарот на телото
лице-центрирано кубни

Континуумски задачи. Во овој случај, наместо да течат низ врски и јазли, тие се разгледуваат во нарушен континуиран медиум. Низ просторот е дадена континуирана случајна функција на координати. Дозволете ни да поправиме одредена вредност на функцијата и да ги повикаме областите на просторот во кои се црни. При доволно мали вредности, овие региони се ретки и по правило изолирани едни од други, додека при доволно големи вредности го зафаќаат речиси целиот простор. Се бара да се најде т.н. брзина на проток - мин. вредност на кром црни области формираат поврзан лавиринт од патеки, оставајќи бесконечно растојание. Во тродимензионалниот случај, сè уште не е пронајдено точното решение на проблемот со континуумот. Сепак, компјутерската симулација покажува дека за Гаусови случајни функции во тродимензионален простор, волуменскиот дел окупиран од црните области е приближно 0,16. Во дводимензионалниот случај, процентот на површина окупирана од црни области е точно 0,5.

Задачи на случајни јазли. Нека јазлите не формираат редовна решетка, туку случајно се распоредени во просторот. Два јазли се сметаат за поврзани ако растојанието меѓу нив не надминува фиксна вредност If е мала во споредба со cf. растојанието помеѓу јазлите, тогаш кластерите кои содржат 2 или повеќе јазли поврзани едни со други се ретки, но бројот на такви кластери нагло се зголемува со зголемувањето Ги со некој рум критички. значење има бесконечен кластер. Компјутерската симулација покажува дека во тродимензионалниот случај 0.86, каде Н- концентрација на јазли. Проблеми на случајни јазли и нивно распаѓање. генерализациите играат важна улога во теоријата скокање спроводливост.

Ефектите опишани од P. t. се однесуваат на критични настани, се карактеризира со критична точка, во близина на која системот се распаѓа на блокови и големината на отд. блокови расте на неодредено време кога се приближува критични. точка. Појавата на бесконечен кластер во проблемите на P. T. во многу аспекти е аналогна на фазна транзицијавтор вид. За математика. се воведуваат описи на овие појави параметар за нарачка, што во случај на проблеми со решетка е дропка P(x) решетки јазли кои припаѓаат на бесконечен кластер. Во близина на прагот на проток P(x) ја има формата

каде - нумерички коефициент, б - критичен. индексот на параметарот на нарачката. Сличен f-la го опишува однесувањето на отчукувањата. електрична спроводливост s(x) во близина на прагот на перколација:

Каде НА 2- нумерички коефициент, s(1) - отчукувања. електричната спроводливост кај в= 1, f - критично. индекс на спроводливост. Просторните димензии на кластерите се карактеризираат со радиус на корелација R(x), аплицирајќи за

Еве Б 3 - нумерички коефициент, А- константа на решетка, v - критична. индекс на радиус на корелација.

Праговите на перколација суштински зависат од типот на проблемите на P. t., но критични. индексите се исти за diff. проблеми и се одредуваат само од димензијата на просторот г(универзалност). Претставите позајмени од теоријата на фазни транзиции од втор вид, овозможуваат да се добијат односи кои се однесуваат на различни критични. индекси. Приближување самоконзистентно полеприменливи за задачите на P. t. г> 6. Во оваа апроксимација критичната индексите не зависат од г; b = 1, = 1 / 2.

Во проучувањето на електронските својства се користат резултатите од P. t нарушени системи, фаза метални транзиции - диелектрик, феромагнетизамцврсти раствори, кинетичка. појави во високо нехомогени медиуми, физичко-хемиски. процеси во цврсти материи и сл.

Осветлено:Мот Н., Дејвис Е., Електронски процеси Внекристални материи, транс. од англиски јазик, второ издание, том 1-2, М., 1982; Шкловски Б. И., Ефрос А. Л., Електронски својства на допирани материјали, Москва, 1979 година; 3 a y-man D. M., Модели на растројство, транс. од англиски, М., 1982; Ефрос А.Л., Физика и геометрија на нередот, Москва, 1982 година; Соколов И. 221. А. Л. Ефрос.