Дефиниција

Скаларна количина- количина што може да се карактеризира со број. На пример, должина, површина, маса, температура итн.

Векторнаречен насочен сегмент $\overline(A B)$; точката $A$ е почеток, точката $B$ е крајот на векторот (сл. 1).

Векторот се означува или со две големи букви - неговиот почеток и крај: $\overline(A B)$ или со една мала буква: $\overline(a)$.

Дефиниција

Ако почетокот и крајот на векторот се совпаѓаат, тогаш се нарекува таков вектор нула. Најчесто, векторот нула е означен како $\overline(0)$.

Векторите се нарекуваат колинеарна, ако лежат или на иста или на паралелни прави (сл. 2).

Дефиниција

Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ корежиран, ако нивните насоки се совпаѓаат: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (сл. 3, а). Се повикуваат два колинеарни вектори $\overline(a)$ и $\overline(b)$ спротивно насочени, ако нивните насоки се спротивни: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (сл. 3, b).

Дефиниција

Векторите се нарекуваат компланарни, ако се паралелни на иста рамнина или лежат во иста рамнина (сл. 4).

Два вектори се секогаш компланарни.

Дефиниција

Должина (модул)вектор $\overline(A B)$ е растојанието помеѓу неговиот почеток и крај: $|\overline(A B)|$

Детална теорија за должината на векторот на линкот.

Должината на векторот нула е нула.

Дефиниција

Се нарекува вектор чија должина е еднаква на еден единица векторили ортом.

Векторите се нарекуваат еднакви, ако лежат на една или паралелна права; нивните насоки се совпаѓаат и нивните должини се еднакви.

Со други зборови, два вектори еднакви, ако се колинеарни, конасочни и имаат еднакви должини:

долари

Во произволна точка $M$ од просторот, може да се конструира еден вектор $\overline(M N)$ еднаков на дадениот вектор $\overline(A B)$.

2018 Олшевски Андреј Георгиевич

Веб-страница исполнети со книги, можете да преземате книги

Вектори на рамнина и во простор, методи за решавање проблеми, примери, формули

1 Вектори во просторот

Векторите во вселената вклучуваат геометрија од 10 одделение, геометрија од 11 одделение и аналитичка геометрија. Векторите ви овозможуваат ефикасно да ги решавате геометриските проблеми од вториот дел од Единствениот државен испит и аналитичката геометрија во вселената. Векторите во просторот се дадени на ист начин како и векторите во рамнината, но се зема предвид третата координата z. Исклучувањето од вектори во третодимензионалниот простор дава вектори на рамнината, кои се објаснети со геометријата 8-мо, 9-то одделение.

1.1 Вектор на рамнината и во вселената

Вектор е насочен сегмент со почеток и крај, прикажан на сликата со стрелка. Произволна точка во просторот може да се смета за нула вектор. Нултиот вектор нема специфична насока, бидејќи почетокот и крајот се исти, така што може да му се даде каква било насока.

Вектор во превод од англиски значи вектор, насока, курс, насоки, поставување насока, курс на авион.

Должината (модулот) на вектор кој не е нула е должината на отсечката AB, која е означена
. Векторска должина означено со . Нултиот вектор има должина еднаква на нула = 0.

Векторите кои не се нула што лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни.

Нултиот вектор е колинеарен со кој било вектор.

Колинеарни ненулти вектори кои имаат иста насока се нарекуваат конасочни. Конасочните вектори се означени со . На пример, ако векторот е конасочен со векторот , тогаш се користи ознаката.

Нултиот вектор е конасочен со кој било вектор.

Спротивно насочени се два колинеарни ненулта вектори кои имаат спротивни насоки. Спротивно насочените вектори се означени со знакот ↓. На пример, ако векторот е обратно насочен кон векторот, тогаш се користи ознаката ↓.

Ко-насочените вектори со еднаква должина се нарекуваат еднакви.

Многу физички величини се векторски величини: сила, брзина, електрично поле.

Ако точката на примена (почеток) на векторот не е одредена, тогаш таа се избира произволно.

Ако почетокот на векторот е поставен во точката О, тогаш се смета дека векторот е одложен од точката О. Од која било точка можете да нацртате еден вектор еднаков на даден вектор.

1.2 Векторска сума

Кога се собираат вектори според правилото за триаголник, се црта векторот 1, од чиј крај е нацртан векторот 2, а збирот на овие два вектори е вектор 3, нацртан од почетокот на векторот 1 до крајот на векторот 2:

За произволни точки A, B и C, можете да го напишете збирот на вектори:

+
=

Ако два вектори потекнуваат од иста точка

тогаш подобро е да се соберат според правилото за паралелограм.

Кога се собираат два вектори според правилото за паралелограм, додадените вектори се поставени од една точка, од краевите на овие вектори се комплетира паралелограм со примена на почетокот на друг до крајот на еден вектор. Векторот формиран од дијагоналата на паралелограмот, кој потекнува од точката на потекло на векторите што се додаваат, ќе биде збир на вектори

Правилото за паралелограм содржи различен редослед на собирање вектори според правилото за триаголник.

Закони за векторско собирање:

1. Закон за поместување + = +.

2. Комбиниран закон ( + ) + = + ( + ).

Ако е потребно да се додадат неколку вектори, тогаш векторите се собираат во парови или според правилото многуаголник: векторот 2 е нацртан од крајот на векторот 1, векторот 3 е нацртан од крајот на векторот 2, векторот 4 е извлечен од крајот на векторот 3, векторот 5 е нацртан од крајот на векторот 4 итн. Вектор кој е збир на неколку вектори е нацртан од почетокот на векторот 1 до крајот на последниот вектор.

Според законите за векторско собирање, редоследот на собирање на вектори не влијае на добиениот вектор, кој е збир од неколку вектори.

Два не-нула спротивно насочени вектори со еднаква должина се нарекуваат спротивни. Вектор - е спротивно на векторот

Овие вектори се спротивно насочени и еднакви по големина.

1.3 Векторска разлика

Векторската разлика може да се запише како збир од вектори

- = + (-),

каде што „-“ е векторот спротивен на векторот .

Векторите и - може да се додадат според правилото на триаголник или паралелограм.

Нека векторите и

За да ја пронајдеме разликата помеѓу вектори, конструираме вектор -

Ги собираме векторите и - според правилото за триаголник, применувајќи го почетокот на векторот - до крајот на векторот, го добиваме векторот + (-) = -

Ги собираме векторите и - според правилото за паралелограм, тргајќи ги настрана почетоците на векторите и - од една точка

Ако векторите и потекнуваат од иста точка

,

тогаш разликата на вектори дава вектор што ги поврзува нивните краеви и стрелката на крајот од добиениот вектор е поставена во насока на векторот од кој се одзема вториот вектор

Сликата подолу ја покажува разликата со собирање и вектор

Сликата подолу покажува векторско собирање и разлика на различни начини

Задача.Векторите и се дадени.

Нацртај збир и разлика на вектори на сите можни начини во сите можни комбинации на вектори.

1.4 Лема на колинеарни вектори

= к

1.5 Производ на вектор и број

Производот на вектор кој не е нула со бројот k го дава векторот = k, колинеарен на векторот. Векторска должина:

| | = |k |·| |

Ако k > 0, тогаш векторите и се конасочни.

Ако k = 0, тогаш векторот е нула.

Ако к< 0, то векторы и противоположно направленные.

Ако | k | = 1, потоа вектори и се со еднаква должина.

Ако k = 1, тогаш векторите се еднакви.

Ако k = -1, потоа спротивни вектори.

Ако | k | > 1, тогаш должината на векторот е поголема од должината на векторот.

Ако k > 1, тогаш векторите се и конасочни и должината е поголема од должината на векторот.

Ако к< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Ако | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Ако 0< к< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Ако -1< к< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Производот на нула вектор и број дава нула вектор.

Задача.Даден е вектор.

Конструирај вектори 2, -3, 0,5, -1,5.

Задача.Векторите и се дадени.

Конструирај вектори 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Закони кои опишуваат множење на вектор со број

1. Закон за комбинирање (kn) = k (n)

2. Првиот закон за распределба k ( + ) = k + k .

3. Втор закон за распределба (k + n) = k + n.

За колинеарни вектори и , ако ≠ 0, постои единечен број k кој ви овозможува да го изразите векторот во однос на:

= к

1.6 Копланарни вектори

Векторите кои лежат во иста рамнина или во паралелни рамнини се нарекуваат компланарни. Ако нацртаме вектори еднакви на овие компланарни вектори од една точка, тогаш тие ќе лежат во иста рамнина. Според тоа, можеме да кажеме дека векторите се нарекуваат компланарни ако има еднакви вектори кои лежат во иста рамнина.

Два произволни вектори се секогаш компланарни. Трите вектори може да бидат компланарни или некомпланарни. Три вектори, од кои најмалку два се колинеарни, се компланарни. Колинеарните вектори се секогаш компланарни.

1.7 Разложување на вектор на два неколинеарни вектори

Било кој вектор уникатно се разложува на рамнината во два неколинеарни не-нула вектори И со единечни коефициенти на проширување x и y:

= x+y

Секој вектор е компланарен со не-нула вектори и може уникатно да се прошири во два неколинеарни вектори и со единствени коефициенти на проширување x и y:

= x+y

Да го прошириме дадениот вектор на рамнината според дадените неколинеарни вектори и:

Да ги нацртаме дадените компланарни вектори од една точка

Од крајот на векторот цртаме прави паралелни со векторите и додека не се вкрстат со правите нацртани низ векторите и . Добиваме паралелограм

Должините на страните на паралелограмот се добиваат со множење на должините на векторите и со броевите x и y, кои се одредуваат со делење на должините на страните на паралелограмот со должините на нивните соодветни вектори и. Разложувањето на векторот го добиваме според дадените неколинеарни вектори и:

= x+y

Во проблемот што се решава, x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, затоа проширувањето на векторот во дадени неколинеарни вектори може да се запише во форма

1,3 + 1,9 .

Во проблемот што се решава, x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, затоа проширувањето на векторот во дадени неколинеарни вектори може да се запише во форма

1,3 - 1,9 .

1.8 Правило на паралелепипед

Паралелепипед е тродимензионална фигура чии спротивни лица се состојат од два еднакви паралелограми кои лежат во паралелни рамнини.

Правилото за паралелепипед ви овозможува да додадете три некомпланарни вектори, кои се нацртани од една точка, а паралелепипед се конструира така што сумираните вектори ги формираат неговите рабови, а останатите рабови на паралелепипедот се соодветно паралелни и еднакви на должините на рабовите формирани од сумираните вектори. Дијагоналата на паралелепипедот формира вектор, кој е збир на дадените три вектори, кој започнува од точката на потекло на векторите што се додаваат.

1.9 Разложување на вектор на три некомпланарни вектори

Било кој вектор се проширува на три дадени некомпланарни вектори , и со единечни коефициенти на проширување x, y, z:

= x + y + z.

1.10 Правоаголен координатен систем во вселената

Во тродимензионалниот простор, правоаголниот координатен систем Oxyz е дефиниран со потеклото O и взаемно нормалните координатни оски Ox, Oy и Oz со избрани позитивни насоки означени со стрелки и единицата за мерење на отсечките. Ако скалата на отсечките е иста на сите три оски, тогаш таквиот систем се нарекува Декартов координатен систем.

Координирај x се нарекува апсциса, y е ординатата, z е апликативна. Координатите на точката М се запишуваат во загради M (x; y; z).

1.11 Векторски координати во просторот

Во просторот ќе дефинираме правоаголен координатен систем Oxyz. Од потеклото на координатите во позитивните насоки на оските Ox, Oy, Oz, ги цртаме соодветните единечни вектори , , , кои се нарекуваат координатни вектори и се некомпланарни. Затоа, секој вектор се разложува на три дадени некомпланарни координатни вектори и со единствени коефициенти на проширување x, y, z:

= x + y + z.

Коефициентите на проширување x, y, z се координати на векторот во даден правоаголен координатен систем, кои се запишани во загради (x; y; z). Нултиот вектор има координати еднакви на нула (0; 0; 0). Еднакви вектори имаат еднакви соодветни координати.

Правила за наоѓање на координатите на добиениот вектор:

1. При сумирање на два или повеќе вектори, секоја координата на добиениот вектор е еднаква на збирот на соодветните координати на дадените вектори. Ако се дадени два вектори (x 1 ; y 1 ; z 1) и (x 1 ; y 1 ; z 1), тогаш збирот на векторите + дава вектор со координати (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1; y1 + y1; z 1 + z 1)

2. Разликата е тип на збир, така што разликата на соодветните координати ја дава секоја координата на векторот добиена со одземање на два дадени вектори. Ако се дадени два вектори (x a; y a; z a) и (x b; y b; z b), тогаш разликата на векторите дава вектор со координати (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. При множење на вектор со број, секоја координата на добиениот вектор е еднаква на производот на овој број и соодветната координата на дадениот вектор. Ако се дадени број k и вектор (x; y; z), тогаш со множење на векторот со бројот k се добива векторот k со координати

k = (kx; ky; kz).

Задача.Најдете ги координатите на векторот = 2 - 3 + 4 ако координатите на векторите се (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Решение

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Координати на вектор, вектор на радиус и точка

Координатите на векторот се координати на крајот на векторот ако почетокот на векторот е поставен на почетокот.

Вектор на радиус е вектор извлечен од потеклото до дадена точка, координатите на векторот на радиусот и точката се еднакви.

Ако векторот
е дадена со точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш секоја нејзина координата е еднаква на разликата на соодветните координати на крајот и почеток на векторот

За колинеарни вектори = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), ако ≠ 0, постои единечен број k кој дозволува векторот да се изрази преку:

= к

Тогаш координатите на векторот се изразуваат преку координатите на векторот

= (kx 1 ; ки 1; kz 1)

Односот на соодветните координати на колинеарни вектори е еднаков на еднина број k

1.13 Векторска должина и растојание помеѓу две точки

Должината на векторот (x; y; z) е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на неговите координати

Должината на векторот специфицирана со почетните точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и крајот M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на разликата помеѓу соодветните координати на крајот на векторот и почетокот

Растојание d помеѓу две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаква на должината на векторот

Во авионот нема z координата

Растојание помеѓу точките M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Координати на средината на сегментот

Доколку поентата C е средината на отсечката AB, тогаш векторот на радиусот на точката C во произволен координатен систем со почеток во точката O е еднаков на половина од збирот на векторите на радиусот на точките A и B

Ако координатите на векторите
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш секоја векторска координата е еднаква на половина од збирот на соодветните векторски координати и

,
,

= (x, y, z) =

Секоја од координатите на средината на отсечката е еднаква на половина од збирот на соодветните координати на краевите на отсечката.

1.15 Агол помеѓу вектори

Аголот помеѓу векторите е еднаков на аголот помеѓу зраците повлечени од една точка и конасочени со овие вектори. Аголот помеѓу векторите може да биде од 0 0 до 180 0 вклучително. Аголот помеѓу истонасочните вектори е 0 0 . Ако еден вектор или двата се нула, тогаш аголот помеѓу векторите, од кои барем еден е нула, е еднаков на 0 0 . Аголот помеѓу нормалните вектори е 90 0. Аголот помеѓу спротивно насочени вектори е 180 0.

1.16 Векторска проекција

1.17 Точка производ на вектори

Скаларниот производ на два вектори е број (скаларен) еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот помеѓу векторите

Ако = 0 0 , тогаш векторите се конасочни
И
= cos 0 0 = 1, затоа, скаларниот производ на истонасочните вектори е еднаков на производот од нивните должини (модули)

.

Ако аголот помеѓу векторите е 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, затоа скаларниот производ е поголем од нула
.

Ако векторите кои не се нула се нормални, тогаш нивниот скаларен производ е нула
, бидејќи cos 90 0 = 0. Скаларниот производ на нормалните вектори е еднаков на нула.

Ако
, тогаш косинусот на аголот помеѓу таквите вектори е помал од нула
, затоа скаларниот производ е помал од нула
.

Како што се зголемува аголот помеѓу векторите, косинусот на аголот меѓу нив
се намалува и достигнува минимална вредност на = 180 0 кога векторите се обратно насочени
. Бидејќи cos 180 0 = -1, тогаш
. Скаларниот производ на спротивно насочени вектори е еднаков на негативниот производ на нивните должини (модули).

Скаларниот квадрат на векторот е еднаков на модулот на векторот на квадрат

Точливиот производ на вектори од кои барем еден е нула е еднаков на нула.

1.18 Физичко значење на скаларниот производ на вектори

Од курс по физика се знае дека работата што ја врши А сила при движење на телото еднаков на производот на должините на векторите на сила и поместување и косинус на аголот меѓу нив, односно еднаков на скаларниот производ на векторите на сила и поместување

Ако векторот на силата е конасочен со движењето на телото, тогаш аголот помеѓу векторите
= 0 0, затоа работата што ја врши силата на поместување е максимална и еднаква на A =
.

Ако 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Ако = 90 0, тогаш работата што ја врши силата на поместување е нула A = 0.

Ако 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Ако векторот на силата е насочен спротивно на движењето на телото, тогаш аголот помеѓу векторите = 180 0, затоа работата на силата на движењето е негативна и еднаква на A = -.

Задача.Определете ја работата направена од гравитацијата при подигнување на патнички автомобил тежок 1 тон по пат долг 1 km со агол на наклон од 30 0 во однос на хоризонтот. Колку литри вода на температура од 20 0 може да се свари користејќи ја оваа енергија?

Решение

Работа Гравитација при движење на тело, тоа е еднакво на производот на должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив, односно еднаков на скаларниот производ на векторите на гравитација и поместување

Гравитација

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10.000 N.

= 1000 m.

Агол помеѓу вектори = 120 0 . Потоа

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - грев 30 0 = - 0,5.

Ајде да замениме

A = 10.000 N · 1000 m · (-0,5) = - 5.000.000 J = - 5 MJ.

1.19 Точка производ на вектори во координати

Точка производ на два вектори = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) во правоаголен координатен систем е еднаков на збирот на производите на истоимените координати

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Услов на перпендикуларност на вектори

Ако вектори кои не се нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) се нормални, тогаш нивниот скаларен производ е нула

Ако е даден еден ненула вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1), тогаш координатите на векторот нормален (нормален) на него = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) мора да ја задоволат еднаквоста

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Има бесконечен број на такви вектори.

Ако на рамнината е даден еден ненула вектор = (x 1 ; y 1), тогаш координатите на векторот нормален (нормален) на него = (x 2 ; y 2) мора да ја задоволуваат еднаквоста

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Ако на рамнината е даден вектор без нула = (x 1 ; y 1), тогаш доволно е произволно да се постави една од координатите на векторот нормална (нормална) на него = (x 2 ; y 2) и од условот на перпендикуларност на векторите

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

изрази ја втората координата на векторот.

На пример, ако замените произволна координата x 2, тогаш

y 1 y 2 = - x 1 x 2.

Втора векторска координата

Ако дадеме x 2 = y 1, тогаш втората координата на векторот

Ако на рамнината е даден вектор кој не е нула = (x 1 ; y 1), тогаш векторот нормален (нормален) на него = (y 1 ; -x 1).

Ако една од координатите на вектор без нула е еднаква на нула, тогаш векторот ја има истата координата која не е еднаква на нула, а втората координата е еднаква на нула. Таквите вектори лежат на координатните оски и затоа се нормални.

Ајде да дефинираме втор вектор нормално на векторот = (x 1 ; y 1), но спротивен на векторот , односно векторот - . Тогаш доволно е да се сменат знаците на векторските координати

- = (-y 1; x 1)

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Задача.

Решение

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

1 = (y 1; -x 1),

2 = (-y 1; x 1).

Заменете ги векторските координати = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

во право!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

во право!

Одговор: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Ако доделиме x 2 = 1, замени

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Ја добиваме координатата y 2 на векторот нормално на векторот = (x 1 ; y 1)

За да се добие втор вектор нормален на векторот = (x 1 ; y 1), но спротивен на векторот . Нека

Тогаш доволно е да се сменат знаците на векторските координати.

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

Задача.Даден вектор = (3; -5). Најдете два нормални вектори со различни ориентации.

Решение

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

Координати на еден вектор

Координати на вториот вектор

За да ја провериме перпендикуларноста на векторите, ги заменуваме нивните координати во условот на нормалноста на векторите

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

во право!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

во право!

Одговор: и.

Ако доделите x 2 = - x 1 , заменете

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Ја добиваме координатата на векторот нормална на векторот

Ако доделите x 2 = x 1 , заменете

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Ја добиваме y координатата на вториот вектор нормално на векторот

Координати на еден вектор нормален на векторот на рамнината = (x 1 ; y 1)

Координати на вториот вектор нормални на векторот на рамнината = (x 1 ; y 1)

Координати на два вектори нормални на векторот = (x 1 ; y 1) на рамнината

1.21 Косинус на аголот помеѓу вектори

Косинусот на аголот помеѓу два вектори без нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) е еднаков на скаларниот производ на векторите поделен со производот на должините на овие вектори

Ако
= 1, тогаш аголот помеѓу векторите е 0 0, векторите се конасочни.

Ако 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Ако = 0, тогаш аголот помеѓу векторите е 90 0, векторите се нормални.

Ако -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Ако = -1, тогаш аголот помеѓу векторите е 180 0, векторите се обратно насочени.

Ако вектор е даден со координатите на почетокот и крајот, тогаш одземајќи ги координатите на почетокот од соодветните координати на крајот на векторот, ги добиваме координатите на овој вектор.

Задача.Најдете го аголот помеѓу векторите (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Решение

Точка производ на вектори

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

затоа аголот меѓу векторите е еднаков на = 90 0 .

1.22 Својства на скаларниот производ на вектори

Својствата на скаларниот производ важат за било кој , , ,к:

1.
, Ако
, Тоа
, Ако =, Тоа
= 0.

2. Закон за патување

3. Дистрибутивно право

4. Комбинирано право
.

1.23 Директен вектор

Векторот на насоката на правата е вектор кој не е нула што лежи на права или на права паралелна на дадена права.

Ако права линија е дефинирана со две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш водичот е векторот
или неговиот спротивен вектор
= - , чии координати

Препорачливо е да се постави координатниот систем така што линијата поминува низ потеклото на координатите, тогаш координатите на единствената точка на линијата ќе бидат координатите на векторот на насоката.

Задача.Определете ги координатите на векторот на насоката на правата линија што минува низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Решение

Векторот на насоката на права линија што минува низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) е означен
. Секоја од неговите координати е еднаква на разликата помеѓу соодветните координати на крајот и почетокот на векторот

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Дозволете ни да го прикажеме насочувачкиот вектор на права линија во координатниот систем со почеток во точката M 1, со крајот во точката M 2 и еднаков вектор
од потеклото со крајот во точката М (-1; 1; 0)

1.24 Агол помеѓу две прави линии

Можни опции за релативната положба на 2 прави линии на рамнина и аголот помеѓу таквите прави линии:

1. Правите линии се сечат во една точка, формирајќи 4 агли, 2 пара вертикални агли се еднакви во парови. Аголот φ помеѓу две линии што се пресекуваат е аголот што не ги надминува другите три агли помеѓу овие линии. Според тоа, аголот помеѓу правите е φ ≤ 90 0.

Пресечните линии можат да бидат, особено, нормални на φ = 90 0.

Можни опции за релативната положба на 2 прави линии во просторот и аголот помеѓу таквите прави линии:

1. Правите линии се сечат во една точка, формирајќи 4 агли, 2 пара вертикални агли се еднакви во парови. Аголот φ помеѓу две линии што се пресекуваат е аголот што не ги надминува другите три агли помеѓу овие линии.

2. Правите се паралелни, односно не се совпаѓаат и не се сечат, φ=0 0 .

3. Линиите се совпаѓаат, φ = 0 0 .

4. Правите се сечат, односно не се сечат во просторот и не се паралелни. Аголот φ помеѓу линиите што се пресекуваат е аголот помеѓу линиите нацртани паралелно со овие прави така што тие се сечат. Според тоа, аголот помеѓу правите е φ ≤ 90 0.

Аголот помеѓу 2 прави линии е еднаков на аголот помеѓу прави линии нацртани паралелно со овие прави линии во истата рамнина. Според тоа, аголот помеѓу правите е 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Агол θ (тета) помеѓу вектори и 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Ако аголот φ помеѓу правите α и β е еднаков на аголот θ помеѓу векторите на насоката на овие прави φ = θ, тогаш

cos φ = cos θ.

Ако аголот помеѓу прави линии е φ = 180 0 - θ, тогаш

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Според тоа, косинус на аголот помеѓу прави линии е еднаков на модулот на косинус на аголот помеѓу вектори

cos φ = |cos θ|.

Ако се дадени координатите на вектори кои не се нула = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), тогаш косинусот на аголот θ помеѓу нив

Косинусот на аголот помеѓу правите е еднаков на модулот на косинусот на аголот помеѓу векторите на насоката на овие права

cos φ = |cos θ| =

Линиите се исти геометриски објекти, затоа истите тригонометриски cos функции се присутни во формулата.

Ако секоја од двете прави е дадена со две точки, тогаш е можно да се одредат векторите на насоката на овие прави и косинус на аголот помеѓу правите.

Ако cos φ = 1, тогаш аголот φ помеѓу линиите е еднаков на 0 0, можеме да земеме за овие линии еден од векторите на насоката на овие линии, линиите се паралелни или се совпаѓаат. Ако линиите не се совпаѓаат, тогаш тие се паралелни. Ако линиите се совпаѓаат, тогаш која било точка на едната права припаѓа на другата линија.

Ако 0< cos φ ≤ 1, тогаш аголот помеѓу правите е 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Ако cos φ = 0, тогаш аголот φ помеѓу правите е 90 0 (правиите се нормални), линиите се сечат или се вкрстуваат.

Задача.Определи го аголот помеѓу правите линии M 1 M 3 и M 2 M 3 со координатите на точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).

Решение

Ајде да конструираме дадени точки и прави во координатниот систем Oxyz.

Векторите на насоката на правите ги насочуваме така што аголот θ помеѓу векторите се совпаѓа со аголот φ помеѓу дадените линии. Да ги претставиме векторите =
и =
, како и аглите θ и φ:

Да ги одредиме координатите на векторите и

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 и секира + со + cz = 0;

Рамнината е паралелна со координатната оска, чија ознака е отсутна во равенката на рамнината и, според тоа, соодветниот коефициент е нула, на пример, при c = 0, рамнината е паралелна со оската Оз и не содржи z во равенката ax + by + d = 0;

Рамнината ја содржи таа координатна оска, чија ознака недостасува, затоа, соодветниот коефициент е нула и d = 0, на пример, со c = d = 0, рамнината е паралелна со оската Oz и не содржи z во равенката секира + со = 0;

Рамнината е паралелна со координатната рамнина, чии симболи се отсутни во равенката на рамнината и, според тоа, соодветните коефициенти се нула, на пример, за b = c = 0, рамнината е паралелна со координатната рамнина Oyz и не содржи y, z во равенката ax + d = 0.

Ако рамнината се совпаѓа со координатната рамнина, тогаш равенката на таквата рамнина е еднаквост на нула на ознаката на координатната оска нормална на дадената координатна рамнина, на пример, кога x = 0, дадената рамнина е координатната рамнина Oyz.

Задача.Нормалниот вектор е даден со равенката

Претстави ја равенката на рамнината во нормална форма.

Решение

Нормални векторски координати

А ; б ; в), тогаш можете да ги замените координатите на точката M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) и координатите a, b, c на нормалниот вектор во општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0 (1)

Добиваме равенка со една непозната г

секира 0 + со 0 + cz 0 + d = 0

Од тука

d = -( секира 0 + со 0 + cz 0 )

Равенка на рамнина (1) по замена на d

секира + од + cz - (секира 0 + со 0 + cz 0) = 0

Ја добиваме равенката на рамнината што минува низ точката M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) нормална на векторот кој не е нула (а; б; в)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Ајде да ги отвориме заградите

секира - секира 0 + со - за 0 + cz - cz 0 = 0

секира + од + cz - секира 0 - од 0 - cz 0 = 0

Да означиме

d = - секира 0 - од 0 - cz 0

Ја добиваме општата равенка на рамнината

секира + со + cz + d = 0.

1.29 Равенка на рамнина што минува низ две точки и почеток

секира + со + cz + d = 0.

Препорачливо е да се постави координатниот систем така што рамнината да минува низ потеклото на овој координатен систем. Точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) што лежат во оваа рамнина мора да бидат наведени така што правата линија што ги поврзува овие точки да не поминува низ потеклото.

Рамнината ќе помине низ потеклото, така што d = 0. Тогаш општата равенка на рамнината добива форма

секира + со + cz = 0.

Има 3 непознати коефициенти a, b, c. Со замена на координатите на две точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 2 равенки. Ако земеме некој коефициент во општата равенка на рамнината еднаков на еден, тогаш систем од 2 равенки ќе ни овозможи да одредиме 2 непознати коефициенти.

Ако една од координатите на точка е нула, тогаш коефициентот што одговара на оваа координата се зема како еден.

Ако некоја точка има две нула координати, тогаш коефициентот што одговара на една од овие нулти координати се зема како еден.

Ако се прифати a = 1, тогаш систем од 2 равенки ќе ни овозможи да одредиме 2 непознати коефициенти b и c:

Полесно е да се реши систем од овие равенки со множење на некоја равенка со таков број што коефициентите за некоја непозната стануваат еднакви. Тогаш разликата на равенките ќе ни овозможи да ја елиминираме оваа непозната и да одредиме друга непозната. Замената на пронајдената непозната во која било равенка ќе ви овозможи да ја одредите втората непозната.

1.30 Равенка на рамнина што минува низ три точки

Да ги одредиме коефициентите на општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​, z 2) и M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Точките не треба да имаат две идентични координати.

Има 4 непознати коефициенти a, b, c и d. Со замена на координатите на три точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 3 равенки. Земете одреден коефициент во општата равенка на рамнината еднаква на единство, тогаш системот од 3 равенки ќе ви овозможи да одредите 3 непознати коефициенти. Обично се прифаќа a = 1, тогаш систем од 3 равенки ќе ни овозможи да одредиме 3 непознати коефициенти b, c и d:

Подобро е да се реши систем на равенки со елиминирање на непознатите (Метод Гаус). Можете да ги преуредите равенките во системот. Секоја равенка може да се помножи или подели со кој било коефициент што не е еднаков на нула. Може да се додадат кои било две равенки, а добиената равенка може да се запише на местото на која било од двете додадени равенки. Непознатите се исклучуваат од равенките со добивање на нулта коефициент пред нив. Во една равенка, обично најниската, останува една променлива што се одредува. Пронајдената променлива се заменува во втората равенка одоздола, која обично остава 2 непознати. Равенките се решаваат од дното кон врвот и се одредуваат сите непознати коефициенти.

Коефициентите се ставаат пред непознатите, а термините без непознати се пренесуваат на десната страна од равенките

Горната линија обично содржи равенка која има коефициент 1 пред првата или која било непозната, или целата прва равенка се дели со коефициентот пред првата непозната. Во овој систем на равенки, поделете ја првата равенка со y 1

Пред првата непозната добивме коефициент 1:

За да го ресетирате коефициентот пред првата променлива од втората равенка, помножете ја првата равенка со -y 2, додадете ја во втората равенка и напишете ја добиената равенка наместо втората равенка. Првата непозната во втората равенка ќе биде елиминирана бидејќи

y 2 b - y 2 b = 0.

Слично на тоа, ја елиминираме првата непозната во третата равенка со множење на првата равенка со -y 3, додавајќи ја на третата равенка и запишувајќи ја добиената равенка наместо третата равенка. Првата непозната во третата равенка исто така ќе биде елиминирана бидејќи

y 3 b - y 3 b = 0.

Слично на тоа, ја елиминираме втората непозната во третата равенка. Системот го решаваме од дното нагоре.

Задача.

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Наведената рамнина е координатната рамнина Oyz.

Задача.Одреди ја општата равенка на рамнината

секира + од + cz + d = 0,

поминувајќи низ точките M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Најдете го растојанието од оваа рамнина до точката M 0 (10; -3; -7).

Решение

Да ги конструираме дадените точки во координатен систем Oxyz.

Да прифатиме а= 1. Со замена на координатите на три точки во општата равенка на рамнината се добива систем од 3 равенки

ℓ =

Веб-страници: 1 2 Вектори на рамнина и во вселената (продолжение)

Консултации со Андреј Георгиевич Олшевски на Skype да.ирк.ru

Подготовка на студенти и ученици по математика, физика, компјутерски науки, ученици кои сакаат да добијат многу поени (В дел) и слаби студенти за Државниот испит (ГИА) и Единствениот државен испит. Симултано подобрување на тековните академски перформанси преку развивање меморија, размислување и јасно објаснување на сложената, визуелна презентација на предметите. Посебен пристап кон секој ученик. Подготовка за олимпијади кои обезбедуваат бенефиции за прием. 15 годишно искуство за подобрување на постигањата на учениците.

Виша математика, алгебра, геометрија, теорија на веројатност, математичка статистика, линеарно програмирање.

Јасно објаснување на теоријата, затворање на празнините во разбирањето, наставни методи за решавање проблеми, консултации при пишување предмети и дипломи.

Авијација, ракетни и автомобилски мотори. Хиперсонични, рам-џет, ракета, пулсна детонација, пулсирачки, гасна турбина, клипни мотори со внатрешно согорување - теорија, дизајн, пресметка, сила, дизајн, технологија на производство. Термодинамика, топлинско инженерство, динамика на гас, хидраулика.

Авијација, аеромеханика, аеродинамика, динамика на летот, теорија, дизајн, аерохидромеханика. Ултралесни авиони, екраноплани, авиони, хеликоптери, ракети, крстосувачки ракети, ховеркрафт, воздушни бродови, пропелери - теорија, дизајн, пресметка, сила, дизајн, технологија на производство.

Генерирање и имплементација на идеи. Основи на научно истражување, методи на генерирање, имплементација на научни, инвентивни, бизнис идеи. Наставни техники за решавање на научни проблеми и инвентивни проблеми. Научна, инвентивна, пишувачка, инженерска креативност. Изјава, избор, решавање на највредните научни, инвентивни проблеми и идеи.

Објавување на креативни резултати. Како да напишете и објавите научна статија, да аплицирате за пронајдок, да напишете, да објавите книга. Теорија на пишување, одбрана на дисертации. Заработка од идеи и пронајдоци. Консултации во креирање на пронајдоци, пишување апликации за пронајдоци, научни статии, апликации за пронајдоци, книги, монографии, дисертации. Коавторство на пронајдоци, научни статии, монографии.

Теоретска механика (теормех), јачина на материјали (јачина на материјали), машински делови, теорија на механизми и машини (ТММ), машинска технологија, технички дисциплини.

Теоретски основи на електротехниката (TOE), електроника, основи на дигитална и аналогна електроника.

Аналитичка геометрија, описна геометрија, инженерска графика, цртање. Компјутерска графика, графичко програмирање, цртежи во AutoCAD, NanoCAD, фотомонтажа.

Логика, графикони, дрвја, дискретна математика.

OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET,макроа, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Креирање на програми, игри за компјутери, лаптопи, мобилни уреди. Користење на бесплатни готови програми, мотори со отворен код.

Креирање, пласирање, промоција, програмирање на веб-страници, онлајн продавници, заработка на веб-страници, веб дизајн.

Компјутерски науки, корисник на компјутер: текстови, табели, презентации, обука за брзо пишување за 2 часа, бази на податоци, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Интернет, мрежи, е-пошта.

Инсталација и поправка на десктоп компјутери и лаптопи.

Видео блогер, креирање, уредување, објавување видеа, уредување видео, правење пари од видео блогови.

Избор, постигнување цели, планирање.

Обука за правење пари на Интернет: блогер, видео блогер, програми, веб-страници, онлајн продавница, статии, книги итн.

Можете да го поддржите развојот на страницата, да платите за консултантски услуги на Андреј Георгиевич Олшевски

10.15.17 Олшевски Андреј Георгиевиче-пошта:[заштитена е-пошта]

Во оваа статија, ќе започнеме да разговараме за едно „магично стапче“ кое ќе ви овозможи да намалите многу геометриски проблеми на едноставна аритметика. Овој „стап“ може многу да ви го олесни животот, особено кога не сте сигурни да конструирате просторни фигури, делови и слично. Сето ова бара одредена имагинација и практични вештини. Методот што ќе започнеме да го разгледуваме овде ќе ви овозможи речиси целосно апстрахирање од сите видови геометриски конструкции и расудување. Методот се нарекува „Координатен метод“. Во оваа статија ќе ги разгледаме следниве прашања:

1. Координатен авион
2. Точки и вектори на рамнината
3. Конструирање вектор од две точки
4. Векторска должина (растојание помеѓу две точки).
5. Координати на средината на сегментот
6. Точка производ на вектори
7. Агол помеѓу два вектори

Мислам дека веќе погодивте зошто методот на координати се нарекува така? Така е, го доби ова име затоа што работи не со геометриски објекти, туку со нивните нумерички карактеристики (координати). И самата трансформација, која ни овозможува да преминеме од геометријата во алгебра, се состои во воведување на координатен систем. Ако првобитната фигура била рамна, тогаш координатите се дводимензионални, а ако фигурата е тродимензионална, тогаш координатите се тридимензионални. Во оваа статија ќе го разгледаме само дводимензионалниот случај. И главната цел на статијата е да ве научи како да користите некои основни техники на методот на координати (тие понекогаш излегуваат како корисни при решавање на проблеми на планиметријата во Дел Б од Единствениот државен испит). Следните два дела на оваа тема се посветени на дискусија за методите за решавање проблеми C2 (проблемот на стереометријата).

Каде би било логично да се започне со дискусија за методот на координати? Веројатно од концептот на координатен систем. Запомнете кога првпат се сретнавте со неа. Ми се чини дека во 7 одделение, кога научи за постоење на линеарна функција, на пример. Дозволете ми да ве потсетам дека го изградивте точка по точка. Дали се сеќаваш? Избравте произволен број, го заменивте во формулата и го пресметавте на тој начин. На пример, ако, тогаш, ако, тогаш итн. Што добивте на крајот? И добивте поени со координати: и. Следно, нацртавте „крст“ (координатен систем), избравте скала на неа (колку ќелии ќе имате како единечен сегмент) и ги означивте точките што сте ги добиле на неа, кои потоа сте ги поврзале со права линија линијата е графикот на функцијата.

Овде има неколку точки што треба да ви се објаснат малку подетално:

1. Избирате еден сегмент од погодност, за се убаво и компактно да се вклопи во цртежот.

2. Прифатено е дека оската оди од лево кон десно, а оската оди од дното кон врвот

3. Тие се сечат под прав агол, а точката на нивното вкрстување се нарекува почеток. Тоа е означено со буква.

4. При пишувањето на координатите на точката, на пример, лево во загради стои координатата на точката по оската, а десно по оската. Конкретно, тоа едноставно значи дека во точката

5. За да наведете која било точка на координатната оска, треба да ги наведете нејзините координати (2 броја)

6. За која било точка што лежи на оската,

7. За која било точка што лежи на оската,

8. Оската се нарекува х-оска

9. Оската се нарекува y-оска

Сега да го направиме следниот чекор: обележете две точки. Ајде да ги поврземе овие две точки со отсечка. И ќе ја ставиме стрелката како да цртаме сегмент од точка до точка: односно, ќе го направиме нашиот сегмент насочен!

Запомнете како се нарекува друг насочен сегмент? Така е, се вика вектор!

Значи, ако поврземе точка со точка, и почетокот ќе биде точка А, а крајот ќе биде точка Б,тогаш добиваме вектор. Оваа конструкција ја правевте и во 8 одделение, се сеќавате?

Излегува дека векторите, како и точките, може да се означат со два броја: овие броеви се нарекуваат векторски координати. Прашање: Дали мислите дека е доволно да ги знаеме координатите на почетокот и крајот на векторот за да ги најдеме неговите координати? Излегува дека да! И ова е направено многу едноставно:

Така, бидејќи во векторот точката е почеток, а крајот е крај, векторот ги има следните координати:

На пример, ако, тогаш координатите на векторот

Сега да го направиме спротивното, да ги пронајдеме координатите на векторот. Што треба да промениме за ова? Да, треба да го замените почетокот и крајот: сега почетокот на векторот ќе биде во точката, а крајот ќе биде во точката. Потоа:

Погледнете внимателно, која е разликата помеѓу вектори и? Нивната единствена разлика се знаците во координатите. Тие се спротивни. Овој факт обично се пишува вака:

Понекогаш, ако конкретно не е наведено која точка е почеток на векторот, а која е крај, тогаш векторите се означуваат не со две големи букви, туку со една мала буква, на пример: , итн.

Сега малку вежбањесами и пронајдете ги координатите на следните вектори:

Испитување:

Сега реши малку потежок проблем:

Вектор со почеток во точка има co-or-di-na-you. Најдете ги точките abs-cis-su.

Сеедно е сосема прозаично: Нека се координатите на точката. Потоа

Системот го составив врз основа на дефиницијата што се векторски координати. Тогаш точката има координати. Ние сме заинтересирани за апсцисата. Потоа

Одговор:

Што друго можете да направите со вектори? Да, скоро сè е исто како кај обичните броеви (освен што не можете да делите, но можете да множите на два начина, од кои за едниот ќе разговараме овде малку подоцна)

1. Векторите може да се додадат еден на друг
2. Векторите може да се одземат еден од друг
3. Векторите може да се помножат (или поделат) со произволен број што не е нула
4. Векторите може да се множат еден со друг

Сите овие операции имаат многу јасна геометриска претстава. На пример, правилото за триаголник (или паралелограм) за собирање и одземање:

Вектор се протега или се собира или ја менува насоката кога се множи или дели со број:

Меѓутоа, овде ќе не интересира прашањето што се случува со координатите.

1. При собирање (одземање) два вектори ги додаваме (одземаме) нивните координати елемент по елемент. Тоа е:

2. При множење (делење) на вектор со број, сите негови координати се множат (поделат) со овој број:

На пример:

· Најдете ја количината на ко-ор-ди-нат век-до-ра.

Ајде прво да ги најдеме координатите на секој од векторите. И двајцата имаат исто потекло - точка на потекло. Нивните краеви се различни. Потоа,. Сега да ги пресметаме координатите на векторот Тогаш збирот на координатите на добиениот вектор е еднаков.

Одговор:

Сега сами решете го следниот проблем:

· Најдете збир на векторски координати

Проверуваме:

Ајде сега да го разгледаме следниот проблем: имаме две точки на координатната рамнина. Како да се најде растојанието меѓу нив? Нека биде првата точка, а втората. Да го означиме растојанието меѓу нив со. Ајде да го направиме следниот цртеж за јасност:

Што направив? Прво, ги поврзав точките и, исто така, од точката што ја повлеков линијата паралелна на оската и од точката што ја повлеков правата паралелна на оската. Дали тие се пресекле во точка, формирајќи извонредна фигура? Што е толку посебно за неа? Да, јас и ти знаеме речиси сè за правоаголен триаголник. Па, Питагоровата теорема сигурно. Потребниот сегмент е хипотенузата на овој триаголник, а отсечките се катетите. Кои се координатите на точката? Да, тие се лесно да се најдат од сликата: Бидејќи отсечките се паралелни со оските и, соодветно, лесно се наоѓаат нивните должини: ако ги означиме должините на отсечките со, соодветно, тогаш

Сега да ја користиме Питагоровата теорема. Ги знаеме должините на нозете, ќе ја најдеме хипотенузата:

Така, растојанието помеѓу две точки е коренот на збирот на квадратните разлики од координатите. Или - растојанието помеѓу две точки е должината на сегментот што ги поврзува. Лесно е да се види дека растојанието помеѓу точките не зависи од насоката. Потоа:

Од тука извлекуваме три заклучоци:

Ајде да вежбаме малку за пресметување на растојанието помеѓу две точки:

На пример, ако, тогаш растојанието помеѓу и е еднакво на

Или да одиме на друг начин: пронајдете ги координатите на векторот

И пронајдете ја должината на векторот:

Како што можете да видите, тоа е истото!

Сега вежбајте малку сами:

Задача: пронајдете го растојанието помеѓу наведените точки:

Проверуваме:

Еве уште неколку проблеми со користење на истата формула, иако звучат малку поинаку:

1. Најдете го квадратот на должината на очниот капак.

2. Најдете го квадратот на должината на очниот капак

Мислам дека се справивте со нив без тешкотии? Проверуваме:

1. И ова е за внимание) Координатите на векторите веќе ги најдовме порано: . Тогаш векторот има координати. Квадратот на неговата должина ќе биде еднаков на:

2. Најдете ги координатите на векторот

Тогаш квадратот на неговата должина е

Ништо комплицирано, нели? Едноставна аритметика, ништо повеќе.

Следниве проблеми не можат недвосмислено да се класифицираат, тие повеќе се однесуваат на општата ерудиција и способноста за цртање едноставни слики.

1. Најдете го синусот на аголот на аголот од сечењето, поврзувајќи ја точката, со оската на апсцисата.

И

Како ќе продолжиме овде? Треба да го најдеме синусот на аголот помеѓу и оската. Каде можеме да бараме синус? Така е, во правоаголен триаголник. Значи, што треба да правиме? Изградете го овој триаголник!

Бидејќи координатите на точката се и, тогаш отсечката е еднаква на, и отсечката. Треба да го најдеме синусот на аголот. Дозволете ми да ве потсетам дека синус е односот на спротивната страна со хипотенузата

Што ни останува да направиме? Најдете ја хипотенузата. Можете да го направите ова на два начина: користејќи ја Питагоровата теорема (нозете се познати!) или користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки (всушност, истото како и првиот метод!). Ќе одам по вториот пат:

Одговор:

Следната задача ќе ви изгледа уште полесна. Таа е на координатите на точката.

Задача 2.Од точката per-pen-di-ku-lyar се спушта на оската ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ајде да направиме цртеж:

Основата на нормалната е точката во која ја сече оската x (оската), за мене ова е точка. На сликата се гледа дека има координати: . Ние сме заинтересирани за апсцисата - односно компонентата „x“. Таа е еднаква.

Одговор: .

Задача 3.Во услови на претходната задача, најдете го збирот на растојанијата од точката до координатните оски.

Задачата е генерално елементарна ако знаете колкаво е растојанието од точка до оските. Знаеш? Се надевам, но сепак ќе ве потсетам:

Значи, на мојот цртеж веднаш погоре, дали веќе нацртав една таква нормална? На која оска е? До оската. И колкава е неговата должина тогаш? Таа е еднаква. Сега сами нацртајте нормална на оската и пронајдете ја нејзината должина. Ќе биде еднакво, нели? Тогаш нивниот збир е еднаков.

Одговор: .

Задача 4.Во услови на задача 2, најдете ја ординатата на точка симетрична на точката во однос на оската на апсцисата.

Мислам дека интуитивно ти е јасно што е симетрија? Многу предмети го имаат: многу згради, маси, авиони, многу геометриски форми: топка, цилиндар, квадрат, ромб итн. Грубо кажано, симетријата може да се разбере на следниов начин: фигурата се состои од две (или повеќе) идентични половини. Оваа симетрија се нарекува аксијална симетрија. Што е тогаш оска? Ова е токму линијата по која фигурата може, релативно кажано, да се „пресече“ на еднакви половини (на оваа слика оската на симетријата е права):

Сега да се вратиме на нашата задача. Знаеме дека бараме точка која е симетрична во однос на оската. Тогаш оваа оска е оската на симетрија. Тоа значи дека треба да означиме точка така што оската го пресекува сегментот на два еднакви дела. Обидете се сами да означите таква точка. Сега споредете со моето решение:

Дали ти успеа на ист начин? Добро! Ние сме заинтересирани за ординатата на пронајдената точка. Тоа е еднакво

Одговор:

Сега кажи ми, откако ќе размислам неколку секунди, која ќе биде апсцисата на точката симетрична на точката А во однос на ординатата? Кој е вашиот одговор? Точен одговор: .

Во принцип, правилото може да се напише вака:

Точка симетрична на точка во однос на оската на апсцисата ги има координатите:

Точка симетрична на точка во однос на оската на ординатите има координати:

Па, сега е сосема страшно задача: најдете ги координатите на точката симетрична на точката во однос на потеклото. Прво размислете сами, а потоа погледнете го мојот цртеж!

Одговор:

Сега проблем на паралелограм:

Задача 5: Точките се појавуваат вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

Овој проблем можете да го решите на два начина: логика и метод на координати. Прво ќе го користам методот на координати, а потоа ќе ви кажам како можете да го решите поинаку.

Сосема е јасно дека апсцисата на точката е еднаква. (тоа лежи на нормалната нацртана од точката до оската на апсцисата). Треба да ја најдеме ординатата. Ајде да го искористиме фактот дека нашата фигура е паралелограм, тоа значи. Ајде да ја најдеме должината на отсечката користејќи ја формулата за растојанието помеѓу две точки:

Ние го спуштаме нормалното поврзување на точката со оската. Пресечната точка ќе ја означам со буква.

Должината на сегментот е еднаква. (најдете го проблемот сами каде што разговаравме за оваа точка), тогаш ќе ја најдеме должината на сегментот користејќи ја Питагоровата теорема:

Должината на отсечката точно се совпаѓа со нејзината ордината.

Одговор: .

Друго решение (само ќе дадам слика што го илустрира тоа)

Напредокот на решението:

1. Спроведување

2. Најдете ги координатите на точката и должината

3. Докажете го тоа.

Друг проблем со должина на сегментот:

Точките се појавуваат на врвот на триаголниците. Најдете ја должината на нејзината средна линија, паралелна.

Се сеќавате ли која е средната линија на триаголникот? Тогаш оваа задача е елементарна за вас. Ако не се сеќавате, ќе ве потсетам: средната линија на триаголникот е линијата што ги поврзува средните точки на спротивните страни. Таа е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.

Основата е сегмент. Должината требаше да ја бараме порано, еднаква е. Тогаш должината на средната линија е половина поголема и еднаква.

Одговор: .

Коментар: овој проблем може да се реши на друг начин, на кој ќе се осврнеме малку подоцна.

Во меѓувреме, еве неколку проблеми за вас, вежбајте на нив, тие се многу едноставни, но ви помагаат да се подобрите во користењето на методот на координати!

1. Точките се врвот на тра-пе-циите. Најдете ја должината на нејзината средна линија.

2. Поени и појави вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Најдете или-ди-на-таа точка.

3. Најдете ја должината од сечењето, поврзувајќи ја точката и

4. Најдете ја областа зад обоената фигура на координативната рамнина.

5. Низ точката поминува круг со центар во na-cha-le ko-or-di-nat. Најдете ја ра-ди-нас.

6. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за прав-агол-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или -ди-на-толку си одговорен.

Решенија:

1. Познато е дека средната линија на трапезот е еднаква на половина од збирот на неговите основи. Основата е еднаква, а основата. Потоа

Одговор:

2. Најлесен начин да се реши овој проблем е да се забележи тоа (паралелограм правило). Пресметувањето на координатите на векторите не е тешко: . Кога се собираат вектори, се додаваат координатите. Потоа има координати. Точката исто така ги има овие координати, бидејќи потеклото на векторот е точката со координатите. Ние сме заинтересирани за ординатата. Таа е еднаква.

Одговор:

3. Веднаш постапуваме според формулата за растојание помеѓу две точки:

Одговор:

4. Погледни ја сликата и кажи ми меѓу кои две фигури се наоѓа засенчената област? Сендвич е помеѓу два квадрати. Тогаш површината на саканата фигура е еднаква на површината на големиот квадрат минус плоштината на малиот. Страната на мал квадрат е отсечка што ги поврзува точките и Неговата должина е

Тогаш површината на малиот плоштад е

Ние го правиме истото со голем квадрат: неговата страна е сегмент што ги поврзува точките, а неговата должина е

Тогаш површината на големиот плоштад е

Ја наоѓаме областа на саканата фигура користејќи ја формулата:

Одговор:

5. Ако кругот го има потеклото како центар и минува низ точка, тогаш неговиот радиус ќе биде точно еднаков на должината на отсечката (направете цртеж и ќе разберете зошто е тоа очигледно). Ајде да ја најдеме должината на овој сегмент:

Одговор:

6. Познато е дека радиусот на кругот опкружен околу правоаголник е еднаков на половина од неговата дијагонала. Ајде да ја најдеме должината на која било од двете дијагонали (на крајот на краиштата, во правоаголник тие се еднакви!)

Одговор:

Па, дали се справивте со се? Не беше многу тешко да се сфати, нели? Тука има само едно правило - бидете во можност да направите визуелна слика и едноставно да ги „прочитате“ сите податоци од неа.

Ни остана многу малку. Има буквално уште две точки за кои би сакал да разговарам.

Ајде да се обидеме да го решиме овој едноставен проблем. Дозволете два поени и се дадени. Најдете ги координатите на средната точка на отсечката. Решението за овој проблем е следново: нека точката е посакуваната средина, тогаш таа има координати:

Тоа е: координати на средината на отсечката = аритметичка средина на соодветните координати на краевите на отсечката.

Ова правило е многу едноставно и обично не предизвикува потешкотии за учениците. Ајде да видиме во какви проблеми и како се користи:

1. Најди-ди-те или-ди-на-ту се-ре-ди-ни од-сече, поврзи-точка и

2. Се чини дека бодовите се врвот на светот. Најди-ди-те или-ди-на-ту поени пер-ре-се-че-нија на неговата дија-го-на-леј.

3. Најди-ди-те апс-цис-су центарот на кругот, опише-сан-ној за правоаголното-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-или-ди-на-ти така-одговорно-но.

Решенија:

1. Првиот проблем е едноставно класичен. Продолжуваме веднаш да ја одредиме средината на сегментот. Има координати. Ординатата е еднаква.

Одговор:

2. Лесно е да се види дека овој четириаголник е паралелограм (дури и ромб!). Можете да го докажете тоа сами со пресметување на должините на страните и споредувајќи ги едни со други. Што знам за паралелограмите? Неговите дијагонали се поделени на половина со точката на пресек! Да! Значи, која е точката на пресек на дијагоналите? Ова е средината на која било од дијагоналите! Ќе изберам, особено, дијагоналата. Тогаш точката има координати Ординатата на точката е еднаква на.

Одговор:

3. Со што се совпаѓа центарот на кругот опишан околу правоаголникот? Се совпаѓа со пресечната точка на неговите дијагонали. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот? Тие се еднакви и точката на пресек ги дели на половина. Задачата беше сведена на претходната. Да ја земеме дијагоналата, на пример. Тогаш, ако е центарот на кружниот круг, тогаш е средната точка. Барам координати: Апсцисата е еднаква.

Одговор:

Сега вежбајте малку сами, само ќе ги дадам одговорите на секој проблем за да можете да се тестирате.

1. Најди-ди-те ра-ди-ус на кругот, опиши-сан-ној за триаголникот-не-ка, врвовите на нешто имаат ко-ор-ди -нема господари

2. Најдете-ди-те или-ди-на-оној центар на кругот, опишете-сан-ној за триаголникот-но-ка, чии врвови имаат координати

3. Каква ра-ди-у-са треба да има круг со центар во точка така што ќе ја допира оската ab-ciss?

4. Најди-ди-тие или-ди-на-таа точка на повторно пресекување на оската и од-пресечете, поврзете ја-точката и

Одговори:

Дали сè беше успешно? Навистина се надевам на тоа! Сега - последниот притисок. Сега бидете особено внимателни. Материјалот што сега ќе го објаснам е директно поврзан не само со едноставни проблеми на методот на координати од Дел Б, туку се наоѓа и насекаде во задачата C2.

Кое од моите ветувања сè уште не сум го исполнил? Запомнете кои операции на вектори ветив дека ќе ги воведам и кои на крајот ги воведов? Дали си сигурен дека ништо не заборавив? Заборави! Заборавив да објаснам што значи векторско множење.

Постојат два начина да се множи вектор со вектор. Во зависност од избраниот метод, ќе добиеме предмети од различна природа:

Вкрстениот производ е направен доста паметно. Како да го направиме тоа и зошто е потребно, ќе разговараме во следната статија. И во овој ќе се фокусираме на скаларниот производ.

Постојат два начини кои ни овозможуваат да го пресметаме:

Како што претпоставувате, резултатот треба да биде ист! Значи, прво да го погледнеме првиот метод:

Производ со точки преку координати

Најдете: - општо прифатена нотација за скаларен производ

Формулата за пресметка е како што следува:

Односно скаларниот производ = збирот на производите на векторските координати!

Пример:

Најди-ди-те

Решение:

Ајде да ги најдеме координатите на секој од векторите:

Ние го пресметуваме скаларниот производ користејќи ја формулата:

Одговор:

Видете, апсолутно ништо комплицирано!

Па, сега пробајте сами:

· Најдете скаларен про-из-ве-де-ние од векови и

Дали се снајде? Можеби забележавте мал улов? Ајде да провериме:

Векторски координати, како во претходниот проблем! Одговор:.

Покрај координатниот, постои уште еден начин за пресметување на скаларниот производ, имено, преку должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив:

Го означува аголот помеѓу векторите и.

Односно, скаларниот производ е еднаков на производот од должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.

Зошто ни е потребна оваа втора формула, ако ја имаме првата, која е многу поедноставна, барем во неа нема косинуси. И тоа е потребно за од првата и втората формула да можеме јас и ти да заклучиме како да го најдеме аголот помеѓу векторите!

Нека Потоа запомнете ја формулата за должината на векторот!

Потоа, ако ги заменам овие податоци во формулата за скаларен производ, добивам:

Но, на друг начин:

Па, што добивме јас и ти? Сега имаме формула која ни овозможува да го пресметаме аголот помеѓу два вектори! Понекогаш за кратко се пишува и вака:

Односно, алгоритмот за пресметување на аголот помеѓу векторите е како што следува:

1. Пресметајте го скаларниот производ преку координати
2. Најдете ги должините на векторите и помножете ги
3. Поделете го резултатот од точка 1 со резултатот од точка 2

Ајде да вежбаме со примери:

1. Најдете го аголот помеѓу очните капаци и. Дајте го одговорот во град-ду-сах.

2. Во услови на претходната задача, најди го косинусот меѓу векторите

Ајде да го направиме ова: ќе ти помогнам да го решиш првиот проблем, а вториот обиди се да го направиш самиот! Се согласувам? Тогаш да почнеме!

1. Овие вектори се наши стари пријатели. Веќе го пресметавме нивниот скаларен производ и беше еднаков. Нивните координати се: , . Потоа ги наоѓаме нивните должини:

Потоа го бараме косинусот помеѓу векторите:

Колку изнесува косинусот на аголот? Ова е аголот.

Одговор:

Па, сега сами решете го вториот проблем, па споредете! Ќе дадам само многу кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е аголот помеѓу векторите и тогаш

Одговор:

Треба да се напомене дека проблемите директно на векторите и методот на координати во Дел Б од испитниот труд се доста ретки. Сепак, огромното мнозинство на C2 проблеми може лесно да се решат со воведување на координатен систем. Така, можете да го сметате овој напис за основата врз основа на која ќе направиме доста паметни конструкции што ќе ни требаат за решавање на сложени проблеми.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Јас и ти продолжуваме да го проучуваме методот на координати. Во последниот дел, изведовме голем број важни формули кои ви овозможуваат:

1. Најдете векторски координати
2. Најдете ја должината на векторот (алтернативно: растојанието помеѓу две точки)
3. Додавање и одземање вектори. Помножете ги со реален број
4. Најдете ја средната точка на отсечката
5. Пресметај производ на точки на вектори
6. Најдете го аголот помеѓу векторите

Се разбира, целиот метод на координати не се вклопува во овие 6 точки. Тоа лежи во основата на науката како аналитичка геометрија, со која ќе се запознаете на универзитет. Само сакам да изградам основа која ќе ви овозможи да ги решавате проблемите во една држава. испит. Се занимававме со задачите од Дел Б. Сега е време да се префрлиме на сосема ново ниво! Оваа статија ќе биде посветена на метод за решавање на оние C2 проблеми во кои би било разумно да се префрли на методот на координати. Оваа разумност се одредува според тоа што се бара да се најде во проблемот и која бројка е дадена. Значи, би го користел координатниот метод ако прашањата се:

1. Најдете го аголот помеѓу две рамнини
2. Најдете го аголот помеѓу права линија и рамнина
3. Најдете го аголот помеѓу две прави линии
4. Најдете го растојанието од точка до рамнина
5. Најдете го растојанието од точка до права
6. Најдете го растојанието од права линија до рамнина
7. Најдете го растојанието помеѓу две линии

Ако фигурата дадена во изјавата за проблемот е тело на ротација (топче, цилиндар, конус...)

Соодветни бројки за координатен метод се:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Пирамида (триаголна, четириаголна, шестоаголна)

Исто така од моето искуство несоодветно е да се користи методот на координати за:

1. Наоѓање области на попречни пресек
2. Пресметка на волумени на тела

Сепак, веднаш треба да се забележи дека трите „неповолни“ ситуации за координатниот метод се доста ретки во пракса. Во повеќето задачи, може да стане ваш спасител, особено ако не сте многу добри во тродимензионалните конструкции (кои понекогаш знаат да бидат прилично сложени).

Кои се сите бројки што ги наведов погоре? Тие веќе не се рамни, како, на пример, квадрат, триаголник, круг, туку обемни! Соодветно на тоа, треба да разгледаме не дводимензионален, туку тридимензионален координатен систем. Сосема е лесно да се конструира: само покрај оската на апсцисата и ординатите, ќе воведеме уште една оска, апликативната оска. Сликата шематски ја прикажува нивната релативна положба:

Сите тие се меѓусебно нормални и се сечат во една точка, која ќе ја наречеме потекло на координатите. Како и досега, ќе ја означиме оската на апсцисата, оската на ординатите - и воведената апликативна оска - .

Ако претходно секоја точка на рамнината се карактеризирала со два броја - апсциса и ордината, тогаш секоја точка во просторот е веќе опишана со три броја - апсциса, ордината и апликативна. На пример:

Според тоа, апсцисата на точката е еднаква, ординатата е , а апликативната е .

Понекогаш апсцисата на точка се нарекува и проекција на точка на оската на апсцисата, ординатата - проекција на точка на оската на ординатите, а апликативната - проекција на точка на апликативната оска. Според тоа, ако е дадена точка, тогаш точка со координати:

наречена проекција на точка на рамнина

наречена проекција на точка на рамнина

Се поставува природно прашање: дали сите формули изведени за дводимензионалниот случај важат во просторот? Одговорот е да, тие се фер и имаат ист изглед. За мал детал. Мислам дека веќе погодивте која е. Во сите формули ќе треба да додадеме уште еден термин одговорен за апликативната оска. Имено.

1. Ако се дадени две точки: , тогаш:

• Векторски координати:
• Растојание помеѓу две точки (или векторска должина)
• Средината на отсечката има координати

2. Ако се дадени два вектори: и, тогаш:

• Нивниот скаларен производ е еднаков на:
• Косинусот на аголот помеѓу векторите е еднаков на:

Сепак, просторот не е толку едноставен. Како што разбирате, додавањето на уште една координата внесува значителна разновидност во спектарот на фигури кои „живеат“ во овој простор. А за понатамошно раскажување ќе треба да воведам некоја, грубо кажано, „генерализација“ на правата линија. Оваа „генерализација“ ќе биде рамнина. Што знаете за авионот? Обидете се да одговорите на прашањето што е авион? Многу е тешко да се каже. Сепак, сите ние интуитивно замислуваме како тоа изгледа:

Грубо кажано, ова е еден вид бескраен „чаршаф“ заглавен во вселената. „Бесконечност“ треба да се разбере дека рамнината се протега во сите правци, односно неговата површина е еднаква на бесконечноста. Сепак, ова „практично“ објаснување не дава ни најмала идеја за структурата на авионот. И токму таа ќе биде заинтересирана за нас.

Да се ​​потсетиме на една од основните аксиоми на геометријата:

• права линија минува низ две различни точки на рамнината и само една:

Или неговиот аналог во вселената:

Се разбира, се сеќавате како да ја изведете равенката на правата од две дадени точки, воопшто не е тешко: ако првата точка има координати: а втората, тогаш равенката на правата ќе биде како што следува:

Го земавте ова во 7 одделение. Во просторот, равенката на правата изгледа вака: да ни бидат дадени две точки со координати: , тогаш равенката на правата што минува низ нив има форма:

На пример, линија поминува низ точки:

Како треба да се разбере ова? Ова треба да се сфати на следниов начин: точка лежи на права ако нејзините координати го задоволуваат следниов систем:

Нема да бидеме многу заинтересирани за равенката на правата, но треба да обрнеме внимание на многу важниот концепт на векторот на насоката на правата. - кој било вектор без нула што лежи на дадена права или паралелна со неа.

На пример, двата вектори се вектори на насока на права линија. Нека е точка која лежи на права и нека е нејзиниот вектор на насока. Тогаш равенката на права линија може да се напише во следнава форма:

Уште еднаш, нема да ме интересира многу равенката на права линија, но навистина ми треба да запомните што е векторот на насока! Повторно: ова е СЕКОЈ не-нула вектор што лежи на права или паралелна со неа.

Повлечете равенка на рамнина заснована на три дадени точкиповеќе не е толку тривијално, а прашањето вообичаено не се решава на курсевите за средно училиште. Но, залудно! Оваа техника е од витално значење кога прибегнуваме кон координатен метод за решавање на сложени проблеми. Сепак, претпоставувам дека сте желни да научите нешто ново? Покрај тоа, ќе можете да го импресионирате вашиот наставник на универзитетот кога ќе се покаже дека веќе знаете како да користите техника што обично се изучува на курс по аналитичка геометрија. Па ајде да започнеме.

Равенката на рамнината не се разликува премногу од равенката на права линија на рамнина, имено, има форма:

некои броеви (не сите се еднакви на нула), туку променливи, на пример: итн. Како што можете да видите, равенката на рамнината не се разликува многу од равенката на права линија (линеарна функција). Сепак, се сеќаваш што се расправавме јас и ти? Рековме дека ако имаме три точки кои не лежат на иста линија, тогаш равенката на рамнината може уникатно да се реконструира од нив. Но како? Ќе се обидам да ти објаснам.

Бидејќи равенката на рамнината е:

И точките припаѓаат на оваа рамнина, тогаш кога ги заменуваме координатите на секоја точка во равенката на рамнината треба да го добиеме точниот идентитет:

Така, има потреба да се решат три равенки со исто толку непознати! Дилема! Сепак, секогаш можете да претпоставите дека (за да го направите ова треба да се подели со). Така, добиваме три равенки со три непознати:

Сепак, ние нема да решиме таков систем, туку ќе го испишеме мистериозниот израз што следи од него:

Равенка на рамнина што минува низ три дадени точки

\[\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end (низа)) \десно| = 0\]

Стоп! Што е ова? Некој многу необичен модул! Меѓутоа, објектот што го гледате пред вас нема никаква врска со модулот. Овој објект се нарекува детерминанта од трет ред. Отсега натаму, кога се занимавате со методот на координати на рамнина, многу често ќе се сретнете со истите тие детерминанти. Што е детерминанта од трет ред? Доволно чудно, тоа е само бројка. Останува да разбереме која конкретна бројка ќе ја споредиме со детерминантата.

Ајде прво да ја напишеме детерминантата од трет ред во поопшта форма:

Каде се некои бројки. Притоа, под прв индекс го мислиме бројот на редот, а под индекс го мислиме бројот на колоната. На пример, тоа значи дека овој број е на пресекот на вториот ред и третата колона. Да го поставиме следното прашање: како точно ќе пресметаме таква детерминанта? Односно, која конкретна бројка ќе споредиме со неа? За детерминантата од трет ред постои правило за хеуристичко (визуелно) триаголник, тоа изгледа вака:

1. Производот на елементите од главната дијагонала (од горниот лев агол до долниот десен) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на главната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на главна дијагонала
2. Производот на елементите на секундарната дијагонала (од горниот десен агол до долниот лев агол) производот од елементите што го формираат првиот триаголник „нормален“ на секундарната дијагонала, производот од елементите што го формираат вториот триаголник „нормален“ на секундарна дијагонала
3. Тогаш детерминантата е еднаква на разликата помеѓу вредностите добиени на чекорот и

Ако сето ова го запишеме во бројки, го добиваме следниот израз:

Сепак, не треба да се сеќавате на начинот на пресметување во оваа форма, доволно е само да ги задржите триаголниците во вашата глава и самата идеја за тоа што се собира и што потоа се одзема од што.

Ајде да го илустрираме методот на триаголник со пример:

1. Пресметај ја детерминантата:

Ајде да откриеме што додаваме, а што одземаме:

Услови кои доаѓаат со плус:

Ова е главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Втор триаголник, „нормален на главната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Услови кои доаѓаат со минус

Ова е странична дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Првиот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Вториот триаголник, „нормален на секундарната дијагонала: производот на елементите е еднаков на

Соберете три броја:

Сè што останува да се направи е да се одземе збирот на членовите „плус“ од збирот на членовите „минус“:

Така,

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано или натприродно во пресметувањето на детерминантите од трет ред. Важно е само да се запамети за триаголниците и да не се прават аритметички грешки. Сега обидете се сами да го пресметате:

Проверуваме:

1. Првиот триаголник нормално на главната дијагонала:
2. Втор триаголник нормално на главната дијагонала:
3. Збир на термини со плус:
4. Првиот триаголник нормално на секундарната дијагонала:
5. Втор триаголник нормално на страничната дијагонала:
6. Збир на термини со минус:
7. Збирот на членовите со плус минус збирот на членовите со минус:

Еве уште неколку детерминанти, пресметајте ги самите нивните вредности и споредете ги со одговорите:

Одговори:

Па, дали сè се совпадна? Одлично, тогаш можеме да продолжиме понатаму! Ако има потешкотии, тогаш мојот совет е ова: на Интернет има многу програми за пресметување на детерминантата онлајн. Сè што ви треба е да смислите своја детерминанта, да ја пресметате сами, а потоа да ја споредите со она што го пресметува програмата. И така натаму додека резултатите не почнат да се совпаѓаат. Сигурен сум дека овој момент нема да потрае многу за да дојде!

Сега да се вратиме на детерминантата што ја напишав кога зборував за равенката на рамнина што минува низ три дадени точки:

Сè што ви треба е директно да ја пресметате неговата вредност (со методот на триаголник) и да го поставите резултатот на нула. Секако, бидејќи тоа се променливи, ќе добиете израз што зависи од нив. Токму овој израз ќе биде равенката на рамнината што минува низ три дадени точки кои не лежат на иста права линија!

Ајде да го илустрираме ова со едноставен пример:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ точките

Ние составуваме детерминанта за овие три точки:

Ајде да поедноставиме:

Сега го пресметуваме директно користејќи го правилото триаголник:

\[(\лево| (\почеток(низа)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\крај (низа)) \ десно| = \лево((x + 3) \десно) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \десно) + \лево((y - 2) \десно) \cточка 5 \cточка 6 - )\]

Така, равенката на рамнината што минува низ точките е:

Сега обидете се сами да решите еден проблем, а потоа ќе разговараме за тоа:

2. Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точките

Па, ајде сега да разговараме за решението:

Ајде да создадеме детерминанта:

И пресметајте ја неговата вредност:

Тогаш равенката на рамнината има форма:

Или, намалувајќи се за, добиваме:

Сега две задачи за самоконтрола:

1. Конструирај ја равенката на рамнина што минува низ три точки:

Одговори:

Дали сè се совпадна? Повторно, ако има одредени потешкотии, тогаш мојот совет е овој: земете три точки од вашата глава (со висок степен на веројатност нема да лежат на иста права линија), направете авион врз основа на нив. А потоа се проверуваш на интернет. На пример, на страницата:

Меѓутоа, со помош на детерминанти ќе ја конструираме не само равенката на рамнината. Запомнете, ви реков дека не само производ со точки е дефиниран за вектори. Постои и векторски производ, како и мешан производ. И ако скаларниот производ на два вектори е број, тогаш векторскиот производ на два вектори ќе биде вектор, а овој вектор ќе биде нормален на дадените:

Покрај тоа, неговиот модул ќе биде еднаков на плоштината на паралелограм изграден на вектори и. Овој вектор ќе ни треба за да го пресметаме растојанието од точка до права. Како можеме да го пресметаме векторскиот производ на вектори и, ако се дадени нивните координати? Повторно ни доаѓа на помош одредницата од трет ред. Меѓутоа, пред да преминам на алгоритмот за пресметување на векторскиот производ, морам да направам мала дигресија.

Оваа дигресија се однесува на основните вектори.

Тие се прикажани шематски на сликата:

Зошто мислиш дека се нарекуваат основни? Факт е дека:

Или на сликата:

Валидноста на оваа формула е очигледна, бидејќи:

Векторски уметнички дела

Сега можам да започнам со воведување на вкрстен производ:

Векторскиот производ на два вектори е вектор, кој се пресметува според следново правило:

Сега да дадеме неколку примери за пресметување на вкрстен производ:

Пример 1: Најдете го вкрстениот производ на вектори:

Решение: Составувам детерминанта:

И јас го пресметам:

Сега од пишувањето преку основни вектори, ќе се вратам на вообичаената векторска нотација:

Така:

Сега пробајте го.

Подготвени? Проверуваме:

И традиционално два задачи за контрола:

1. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:
2. Најдете го векторскиот производ на следните вектори:

Одговори:

Мешан производ од три вектори

Последната конструкција што ќе ми треба е измешаниот производ од три вектори. Тоа, како скалар, е бројка. Постојат два начина да се пресмета. - преку детерминанта, - преку мешан производ.

Имено, да ни бидат дадени три вектори:

Тогаш измешаниот производ на три вектори, означен со, може да се пресмета како:

1. - односно мешаниот производ е скаларен производ на вектор и векторски производ на два други вектори

На пример, мешаниот производ на три вектори е:

Обидете се сами да го пресметате користејќи го векторскиот производ и уверете се дека резултатите се совпаѓаат!

И повторно, два примери за независни решенија:

Одговори:

Избор на координатен систем

Па, сега ги имаме сите потребни основи на знаење за решавање на сложени стереометриски геометриски проблеми. Сепак, пред да се продолжи директно на примери и алгоритми за нивно решавање, верувам дека ќе биде корисно да се задржиме на следното прашање: како точно изберете координатен систем за одредена фигура.На крајот на краиштата, изборот на релативната положба на координатниот систем и фигурата во просторот е она што на крајот ќе определи колку ќе бидат незгодни пресметките.

Дозволете ми да ве потсетам дека во овој дел ги разгледуваме следните бројки:

1. Правоаголен паралелепипед
2. Права призма (триаголна, шестоаголна...)
3. Пирамида (триаголна, четириаголна)
4. Тетраедар (исто како триаголна пирамида)

За правоаголен паралелепипед или коцка, ви ја препорачувам следната конструкција:

Тоа е, ќе ја поставам фигурата „во аголот“. Коцката и паралелепипедот се многу добри фигури. За нив, секогаш можете лесно да ги најдете координатите на нејзините темиња. На пример, ако (како што е прикажано на сликата)

тогаш координатите на темињата се следни:

Се разбира, не треба да се сеќавате на ова, но се препорачува да запомните како најдобро да поставите коцка или правоаголен паралелепипед.

Права призма

Призмата е поштетна фигура. Може да се позиционира во вселената на различни начини. Сепак, следнава опција ми се чини најприфатлива:

Триаголна призма:

Односно, ставаме една од страните на триаголникот целосно на оската, а едно од темињата се совпаѓа со потеклото на координатите.

Шестоаголна призма:

Тоа е, едно од темињата се совпаѓа со потеклото, а едната од страните лежи на оската.

Четириаголна и шестоаголна пирамида:

Ситуацијата е слична на коцка: порамнуваме две страни од основата со координатните оски, а едно од темињата порамнуваме со потеклото на координатите. Единствената мала тешкотија ќе биде да се пресметаат координатите на точката.

За хексагонална пирамида - исто како и за шестоаголна призма. Главната задача повторно ќе биде да се најдат координатите на темето.

Тетраедар (триаголна пирамида)

Ситуацијата е многу слична на онаа што ја дадов за триаголна призма: едно теме се совпаѓа со потеклото, едната страна лежи на координатната оска.

Па, сега ти и јас сме конечно блиску да почнеме да ги решаваме проблемите. Од она што го кажав на самиот почеток на статијата, можете да го извлечете следниот заклучок: повеќето проблеми C2 се поделени во 2 категории: проблеми со агол и проблеми со растојание. Прво, ќе ги разгледаме проблемите за наоѓање агол. Тие за возврат се поделени во следните категории (како што се зголемува сложеноста):

Проблеми за наоѓање агли

1. Наоѓање на аголот помеѓу две прави линии
2. Наоѓање на аголот помеѓу две рамнини

Да ги погледнеме овие проблеми последователно: да започнеме со наоѓање на аголот помеѓу две прави линии. Па, запомнете, зарем јас и вие претходно не решивме слични примери? Се сеќавате ли, веќе имавме нешто слично... Го баравме аголот помеѓу два вектори. Да ве потсетам, ако се дадени два вектори: и, тогаш аголот меѓу нив се наоѓа од релацијата:

Сега нашата цел е да го најдеме аголот помеѓу две прави линии. Ајде да ја погледнеме „рамната слика“:

Колку агли добивме кога се сечат две прави? Само неколку работи. Точно, само две од нив не се еднакви, додека другите се вертикални на нив (и затоа се совпаѓаат со нив). Значи, кој агол треба да го разгледаме аголот помеѓу две прави: или? Еве го правилото: аголот помеѓу две прави секогаш не е поголем од степени. Односно, од два агли секогаш ќе го избираме аголот со најмал степен мерка. Односно, на оваа слика аголот помеѓу две прави линии е еднаков. За да не се мачат секој пат со наоѓање на најмалиот од двата агли, лукавите математичари предложија користење на модул. Така, аголот помеѓу две прави линии се одредува со формулата:

Вие, како внимателен читател, требаше да имате прашање: каде точно ги добиваме истите бројки што ни се потребни за да го пресметаме косинусот на аголот? Одговор: ќе ги земеме од векторите на насоката на правите! Така, алгоритмот за наоѓање на аголот помеѓу две прави е како што следува:

1. Ја применуваме формулата 1.

Или подетално:

1. Ги бараме координатите на векторот на насоката на првата права линија
2. Ги бараме координатите на векторот на насоката на втората права линија
3. Го пресметуваме модулот на нивниот скаларен производ
4. Ја бараме должината на првиот вектор
5. Ја бараме должината на вториот вектор
6. Помножете ги резултатите од точка 4 со резултатите од точка 5
7. Резултатот од точката 3 го делиме со резултатот од точката 6. Добиваме косинус на аголот помеѓу правите
8. Ако овој резултат ни овозможува прецизно да го пресметаме аголот, го бараме
9. Во спротивно пишуваме преку лак косинус

Па, сега е време да преминеме на проблемите: ќе го покажам решението на првите два детално, на друг ќе го претставам решението во кратка форма, а на последните два проблема ќе ги дадам само одговорите; мора сами да ги извршите сите пресметки за нив.

Задачи:

1. Во десната тет-ра-ед-ре, пронајдете го аголот помеѓу висината на тет-ра-ед-ра и средната страна.

2. Во десниот шестаголник пи-ра-ми-де, стоте ос-но-ва-нија се еднакви, а страничните рабови се еднакви, пронајдете го аголот помеѓу линиите и.

3. Должините на сите рабови на десниот четиријаглен пи-ра-ми-ди се еднакви една со друга. Најди го аголот меѓу правите линии и ако од рез - ти си со дадениот пи-ра-ми-ди, точката е се-ре-ди-на неговите бо-ко- втори ребра.

4. На работ на коцката има точка така што Најди го аголот помеѓу правите и

5. Точка - на рабовите на коцката Најдете го аголот помеѓу правите линии и.

Не случајно ги подредив задачите по овој редослед. Додека сè уште не сте почнале да се движите по методот на координати, јас сам ќе ги анализирам најпроблематичните бројки и ќе ве оставам да се справите со наједноставната коцка! Постепено ќе треба да научите како да работите со сите фигури ќе ја зголемувам сложеноста на задачите од тема до тема.

Да почнеме да ги решаваме проблемите:

1. Нацртајте тетраедар, ставете го во координатен систем како што предложив претходно. Бидејќи тетраедарот е правилен, сите негови лица (вклучувајќи ја и основата) се правилни триаголници. Бидејќи не ни е дадена должината на страната, можам да земам дека е еднаква. Мислам дека разбирате дека аголот всушност нема да зависи од тоа колку нашиот тетраедар е „испружен“?. Ќе ги нацртам и висината и медијаната во тетраедарот. Попатно ќе ја нацртам нејзината основа (исто така ќе ни биде од корист).

Треба да го најдам аголот помеѓу и. Што знаеме? Ја знаеме само координатата на точката. Тоа значи дека треба да ги најдеме координатите на точките. Сега мислиме: точка е точката на пресек на надморските височини (или симетрали или средни) на триаголникот. И точка е подигната точка. Поентата е средината на сегментот. Тогаш конечно треба да ги најдеме: координатите на точките: .

Да почнеме со наједноставната работа: координатите на точка. Погледнете ја сликата: Јасно е дека примената на точката е еднаква на нула (точката лежи на рамнината). Нејзината ордината е еднаква (бидејќи е медијаната). Потешко е да се најде нејзината апсциса. Сепак, ова лесно се прави врз основа на Питагоровата теорема: Размислете за триаголник. Неговата хипотенуза е еднаква, а едната нога е еднаква. Тогаш:

Конечно имаме: .

Сега да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека неговата апликација е повторно еднаква на нула, а нејзината ордината е иста како онаа на точка, т.е. Да ја најдеме нејзината апсциса. Ова е направено сосема тривијално ако се сеќавате на тоа висините на рамностран триаголник со точката на пресек се делат пропорционално, броејќи од врвот. Бидејќи: , тогаш потребната апсциса на точката, еднаква на должината на отсечката, е еднаква на: . Така, координатите на точката се:

Да ги најдеме координатите на точката. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. А апликацијата е еднаква на должината на сегментот. - ова е една од краците на триаголникот. Хипотенузата на триаголник е отсечка - крак. Се бара од причини што ги истакнав со задебелени букви:

Поентата е средината на сегментот. Потоа треба да ја запомниме формулата за координатите на средната точка на сегментот:

Тоа е сè, сега можеме да ги бараме координатите на векторите на насоката:

Па, сè е подготвено: ги заменуваме сите податоци во формулата:

Така,

Одговор:

Не треба да се плашите од такви „страшни“ одговори: за задачите C2 ова е вообичаена практика. Повеќе би сакал да ме изненади „убавиот“ одговор во овој дел. Исто така, како што забележавте, јас практично не прибегнав кон ништо друго освен Питагоровата теорема и својството на височини на рамностран триаголник. Односно, за да го решам стереометрискиот проблем, користев минимална стереометрија. Добивката во ова е делумно „изгаснат“ со прилично незгодни пресметки. Но, тие се доста алгоритамски!

2. Да прикажеме правилна шестоаголна пирамида заедно со координатниот систем, како и неговата основа:

Треба да го најдеме аголот помеѓу линиите и. Така, нашата задача се сведува на наоѓање на координатите на точките: . Координатите на последните три ќе ги најдеме со помош на мал цртеж, а координатата на темето ќе ја најдеме преку координатата на точката. Има многу работа, но треба да започнеме!

а) Координати: јасно е дека нејзината апликација и ордината се еднакви на нула. Ајде да ја најдеме апсцисата. За да го направите ова, разгледајте правоаголен триаголник. За жал, во него ја знаеме само хипотенузата, која е еднаква. Ќе се обидеме да ја најдеме ногата (затоа што е јасно дека двојното должина на ногата ќе ни ја даде апсцисата на точката). Како можеме да го бараме? Да се ​​потсетиме каква фигура имаме во основата на пирамидата? Ова е редовен шестоаголник. Што значи тоа? Ова значи дека сите страни и сите агли се еднакви. Треба да најдеме еден таков агол. Некои идеи? Има многу идеи, но има формула:

Збирот на аглите на правилен n-аголник е .

Така, збирот на аглите на правилен шестоаголник е еднаков на степени. Тогаш секој од аглите е еднаков на:

Ајде да ја погледнеме сликата повторно. Јасно е дека отсечката е симетрала на аголот. Тогаш аголот е еднаков на степени. Потоа:

Тогаш од каде.

Така, има координати

б) Сега лесно можеме да ја најдеме координатата на точката: .

в) Најдете ги координатите на точката. Бидејќи нејзината апсциса се совпаѓа со должината на сегментот, таа е еднаква. Наоѓањето на ординатата исто така не е многу тешко: ако ги поврземе точките и ја означиме точката на пресек на правата како, да речеме, . (направете го тоа сами едноставна конструкција). Тогаш Така, ординатата на точката Б е еднаква на збирот на должините на отсечките. Ајде повторно да го погледнеме триаголникот. Потоа

Потоа од Тогаш точката има координати

г) Сега да ги најдеме координатите на точката. Разгледајте го правоаголникот и докажете дека Така, координатите на точката се:

д) Останува да се најдат координатите на темето. Јасно е дека нејзината апсциса и ордината се поклопуваат со апсцисата и ординатата на точката. Ајде да ја најдеме апликацијата. Од тогаш. Размислете за правоаголен триаголник. Според условите на проблемот, страничен раб. Ова е хипотенузата на мојот триаголник. Тогаш висината на пирамидата е крак.

Тогаш точката има координати:

Па, тоа е тоа, ги имам координатите на сите точки што ме интересираат. Ги барам координатите на насочувачките вектори на прави линии:

Го бараме аголот помеѓу овие вектори:

Одговор:

Повторно, при решавањето на овој проблем не користев никакви софистицирани техники освен формулата за збир на аглите на правилен n-аголник, како и дефиницијата на косинус и синус на правоаголен триаголник.

3. Бидејќи повторно не ни се дадени должините на рабовите во пирамидата, ќе ги сметам за еднакви на еден. Така, бидејќи СИТЕ рабови, а не само страничните, се еднакви еден на друг, тогаш во основата на пирамидата и јас има квадрат, а страничните лица се правилни триаголници. Дозволете ни да нацртаме таква пирамида, како и нејзината основа на рамнина, забележувајќи ги сите податоци дадени во текстот на проблемот:

Го бараме аголот помеѓу и. Ќе направам многу кратки пресметки кога ќе ги барам координатите на точките. Ќе треба да ги „дешифрирате“:

б) - средината на сегментот. Неговите координати:

в) Ќе ја најдам должината на отсечката користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник. Можам да го најдам користејќи ја Питагоровата теорема во триаголник.

Координати:

г) - средината на сегментот. Нејзините координати се

д) Векторски координати

ѓ) Векторски координати

е) Барање агол:

Коцката е наједноставната фигура. Сигурен сум дека ќе го сфатиш сам. Одговорите на проблемите 4 и 5 се како што следува:

Наоѓање на аголот помеѓу права линија и рамнина

Па, времето за едноставни загатки заврши! Сега примерите ќе бидат уште покомплицирани. За да го пронајдеме аголот помеѓу права линија и рамнина, ќе постапиме на следниов начин:

1. Користејќи три точки, конструираме равенка на рамнината
   ,
   користејќи детерминанта од трет ред.
2. Користејќи две точки, ги бараме координатите на векторот за насочување на права линија:
3. Ја применуваме формулата за да го пресметаме аголот помеѓу права линија и рамнина:

Како што можете да видите, оваа формула е многу слична на онаа што ја користевме за наоѓање агли помеѓу две прави. Структурата на десната страна е едноставно иста, а од левата сега го бараме синусот, а не косинусот како порано. Па, додадена е една гадна акција - пребарување на равенката на авионот.

Да не одолговлекуваме примери за решенија:

1. Директната призма главната-но-ва-ни-ем-ние сме триаголник еднаков на сиромашните. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

2. Во правоаголна par-ral-le-le-pi-pe-de од запад Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината

3. Во десна шестаголна призма, сите рабови се еднакви. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината.

4. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем од познатите ребра Најди агол, об-ра-зо-ван -рамен во основа и прави, поминува низ сивилото. ребра и

5. Должините на сите рабови на правоаголен четириаголен пи-ра-ми-ди со теме се еднакви една на друга. Најдете го аголот помеѓу правата линија и рамнината ако точката е на страната на работ на пи-ра-ми-ди.

Повторно ќе ги решам првите два проблема детално, третиот накратко, а последните два оставам да ги решите сами. Освен тоа, веќе сте морале да се справите со триаголни и четириаголни пирамиди, но сè уште не со призми.

Решенија:

1. Да прикажеме призма, како и нејзината основа. Ајде да го комбинираме со координатниот систем и да ги забележиме сите податоци што се дадени во изјавата за проблемот:

Се извинувам за некакво непочитување на пропорциите, но за решавање на проблемот ова, всушност, не е толку важно. Авионот е едноставно „задниот ѕид“ на мојата призма. Доволно е едноставно да се погоди дека равенката на таква рамнина има форма:

Сепак, ова може да се покаже директно:

Ајде да избереме произволни три точки на оваа рамнина: на пример, .

Ајде да ја создадеме равенката на рамнината:

Вежба за вас: пресметајте ја оваа одредница сами. Дали успеавте? Тогаш равенката на рамнината изгледа вака:

Или едноставно

Така,

За да го решам примерот, треба да ги најдам координатите на векторот на насоката на правата линија. Бидејќи точката се совпаѓа со потеклото на координатите, координатите на векторот едноставно ќе се совпаднат со координатите на точката.

За да го направите ова, размислете за триаголник. Да ја нацртаме висината (позната и како медијана и симетрала) од темето. Бидејќи, ординатата на точката е еднаква на. За да ја најдеме апсцисата на оваа точка, треба да ја пресметаме должината на отсечката. Според Питагоровата теорема имаме:

Тогаш точката има координати:

Точката е „подигната“ точка:

Тогаш векторските координати се:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо фундаментално тешко при решавање на вакви проблеми. Всушност, процесот е малку повеќе поедноставен со „правилото“ на фигура како што е призмата. Сега да преминеме на следниот пример:

2. Нацртајте паралелепипед, нацртајте рамнина и права линија во него, а исто така одделно нацртајте ја неговата долна основа:

Прво, ја наоѓаме равенката на рамнината: Координатите на трите точки што лежат во неа:

(првите две координати се добиваат на очигледен начин, а последната координата од сликата можете лесно да ја најдете од точката). Потоа ја составуваме равенката на рамнината:

Ние пресметуваме:

Ги бараме координатите на водечкиот вектор: Јасно е дека неговите координати се совпаѓаат со координатите на точката, нели? Како да најдете координати? Ова се координатите на точката, подигнати по апликативната оска за еден! . Потоа го бараме саканиот агол:

Одговор:

3. Нацртајте правилна шестоаголна пирамида, а потоа нацртајте рамнина и права линија во неа.

Тука е дури и проблематично да се нацрта рамнина, а да не зборуваме за решавање на овој проблем, но на методот на координација не му е грижа! Неговата разновидност е нејзината главна предност!

Авионот минува низ три точки: . Ги бараме нивните координати:

1) . Откријте ги сами координатите за последните две точки. За ова ќе треба да го решите проблемот со хексагоналната пирамида!

2) Ја конструираме равенката на рамнината:

Ги бараме координатите на векторот: . (Повторно погледнете го проблемот со триаголната пирамида!)

3) Барате агол:

Одговор:

Како што можете да видите, нема ништо натприродно тешко во овие задачи. Само треба да бидете многу внимателни со корените. Ќе дадам одговори само на последните два проблеми:

Како што можете да видите, техниката за решавање проблеми е иста насекаде: главната задача е да ги пронајдете координатите на темињата и да ги замените во одредени формули. Сè уште треба да разгледаме уште една класа проблеми за пресметување агли, имено:

Пресметување агли помеѓу две рамнини

Алгоритмот за решение ќе биде како што следува:

1. Користејќи три точки, ја бараме равенката на првата рамнина:
2. Користејќи ги другите три точки, ја бараме равенката на втората рамнина:
3. Ја применуваме формулата:

Како што можете да видите, формулата е многу слична на двете претходни, со чија помош баравме агли помеѓу прави и помеѓу права и рамнина. Така, нема да ви биде тешко да го запомните ова. Да преминеме на анализа на задачите:

1. Страната на основата на десната триаголна призма е еднаква, а дијагоналата на страничното лице е еднаква. Најдете го аголот помеѓу рамнината и рамнината на оската на призмата.

2. Во десниот четириаголник пи-ра-ми-де, чиишто рабови се еднакви, пронајдете го синусот на аголот помеѓу рамнината и рамнината коска, минувајќи низ точката per-pen-di-ku- лажго-но прав.

3. Во правилна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од-ме-че-на така што. Најдете го аголот помеѓу рамнините и

4. Во правоаголна четириаголна призма, страните на основата се еднакви, а страничните рабови се еднакви. Има точка на работ од точката така што Најдете го аголот помеѓу рамнините и.

5. Во коцка најди го co-si-nus на аголот помеѓу рамнините и

Проблемски решенија:

1. Цртам правилна (рамностран триаголник во основата) триаголна призма и на неа ги означувам рамнините што се појавуваат во исказот за проблемот:

Треба да ги најдеме равенките на две рамнини: Равенката на основата е тривијална: можете да ја составите соодветната детерминанта користејќи три точки, но јас веднаш ќе ја составам равенката:

Сега да ја најдеме равенката Точка има координати Точка - Бидејќи е средна и надморска височина на триаголникот, лесно се наоѓа со помош на Питагоровата теорема во триаголникот. Тогаш точката има координати: Ајде да ја најдеме примената на точката

Потоа ги добиваме следните координати: Ја составуваме равенката на рамнината.

Го пресметуваме аголот помеѓу рамнините:

Одговор:

2. Изработка на цртеж:

Најтешко е да се разбере каков вид на мистериозна рамнина е ова, поминувајќи нормално низ точката. Па, главната работа е, што е тоа? Главната работа е внимателност! Всушност, линијата е нормална. Правата линија е исто така нормална. Тогаш рамнината што минува низ овие две линии ќе биде нормална на линијата и, патем, ќе помине низ точката. Овој авион исто така поминува низ врвот на пирамидата. Тогаш посакуваниот авион - И авионот веќе ни е даден. Ги бараме координатите на точките.

Ја наоѓаме координатата на точката низ точката. Од малата слика лесно може да се заклучи дека координатите на точката ќе бидат како што следува: Што останува сега да се најде за да се најдат координатите на врвот на пирамидата? Исто така, треба да ја пресметате неговата висина. Ова е направено со користење на истата Питагорова теорема: прво докажете го тоа (тривијално од мали триаголници кои формираат квадрат во основата). Бидејќи по услов имаме:

Сега сè е подготвено: координати на теме:

Ја составуваме равенката на рамнината:

Веќе сте експерт за пресметување на детерминанти. Без тешкотии ќе добиете:

Или поинаку (ако ги помножиме двете страни со коренот од два)

Сега да ја најдеме равенката на рамнината:

(Не сте заборавиле како ја добиваме равенката на рамнина, нели? Ако не ви е јасно од каде е овој минус еден, тогаш вратете се на дефиницијата за равенката на рамнина! Само секогаш испаѓаше пред тоа мојот авион му припаѓаше на потеклото на координатите!)

Ја пресметуваме детерминантата:

(Можете да забележите дека равенката на рамнината се совпаѓа со равенката на правата што минува низ точките и! Размислете зошто!)

Сега да го пресметаме аголот:

Треба да го најдеме синусот:

Одговор:

3. Слабо прашање: што мислите дека е правоаголна призма? Ова е само паралелепипед кој добро го познавате! Ајде да направиме цртеж веднаш! Вие дури и не мора да ја отсликате основата одделно, таа е од мала корист овде:

Рамнината, како што забележавме претходно, е напишана во форма на равенка:

Сега ајде да создадеме авион

Веднаш ја создаваме равенката на рамнината:

Барате агол:

Сега одговорите на последните два проблеми:

Па, сега е време да направиме мала пауза, бидејќи јас и ти сме одлични и завршивме одлична работа!

Координати и вектори. Напредно ниво

Во оваа статија ќе разговараме со вас за друга класа проблеми што може да се решат со помош на методот на координати: проблеми со пресметување на растојание. Имено, ќе ги разгледаме следните случаи:

1. Пресметка на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат.

Ги нарачав овие задачи со цел поголема тежина. Излегува дека е најлесно да се најде растојание од точка до рамнина, а најтешко е да се најде растојание помеѓу линиите на вкрстување. Иако, се разбира, ништо не е невозможно! Да не одолговлекуваме и веднаш да продолжиме да ја разгледуваме првата класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до рамнина

Што ни треба за да го решиме овој проблем?

1. Точка координати

Значи, штом ги имаме сите потребни податоци, ја применуваме формулата:

Веќе треба да знаете како ја конструираме равенката на рамнина од претходните проблеми за кои зборував во последниот дел. Да преминеме директно на задачите. Шемата е следна: 1, 2 - ви помагам да одлучите, а во некои детали, 3, 4 - само одговорот, сами го спроведувате решението и споредете. Да почнеме!

Задачи:

1. Дадена е коцка. Должината на работ на коцката е еднаква. Најдете го растојанието од се-ре-ди-на од сечењето до рамнината

2. Со оглед на десниот четири-јаглен пи-ра-ми-да, страната на страната е еднаква на основата. Најдете го растојанието од точката до рамнината каде што - се-ре-ди-на рабовите.

3. Во десниот триаголен пи-ра-ми-де со ос-но-ва-ни-ем, страничниот раб е еднаков, а сто-ро-на ос-но-ва-нија е еднаков. Најдете го растојанието од врвот до авионот.

4. Во десна шестоаголна призма сите рабови се еднакви. Најдете го растојанието од точка до рамнина.

Решенија:

1. Нацртајте коцка со единечни рабови, конструирајте отсечка и рамнина, средината на отсечката означете ја со буква

.

Прво, да започнеме со лесното: пронајдете ги координатите на точката. Оттогаш (запомнете ги координатите на средината на сегментот!)

Сега ја составуваме равенката на рамнината користејќи три точки

\[\лево| (\почеток(низа)(*(20)(в))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\крај (низа)) \десно| = 0\]

Сега можам да почнам да ја наоѓам растојанието:

2. Почнуваме повторно со цртеж на кој ги означуваме сите податоци!

За пирамида, би било корисно да се нацрта нејзината основа одделно.

Дури и тоа што цртам како кокошка со шепата нема да не спречи лесно да го решиме овој проблем!

Сега е лесно да се најдат координатите на точка

Од координатите на точката, тогаш

2. Бидејќи координатите на точката a се средината на отсечката, тогаш

Без никакви проблеми, можеме да ги најдеме координатите на уште две точки на рамнината, создаваме равенка за рамнината и ја поедноставуваме

\[\лево| (\лево| (\begin(низа)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end (низа)) \десно|) \десно| = 0\]

Бидејќи точката има координати: , го пресметуваме растојанието:

Одговор (многу ретко!):

Па, дали сфативте? Ми се чини дека овде сè е исто толку техничко како и во примерите што ги разгледавме во претходниот дел. Значи, сигурен сум дека ако сте го совладале тој материјал, тогаш нема да ви биде тешко да ги решите преостанатите два проблема. Само ќе ви ги дадам одговорите:

Пресметување на растојанието од права линија до рамнина

Всушност, тука нема ништо ново. Како може права линија и рамнина да се постават релативно едни на други? Тие имаат само една можност: да се сечат, или права линија е паралелна со рамнината. Што мислите, колку е растојанието од права линија до рамнината со која се вкрстува оваа права? Ми се чини дека овде е јасно дека таквото растојание е еднакво на нула. Неинтересен случај.

Вториот случај е посложен: тука растојанието веќе е не-нула. Меѓутоа, бидејќи правата е паралелна со рамнината, тогаш секоја точка од правата е еднакво оддалечена од оваа рамнина:

Така:

Тоа значи дека мојата задача е сведена на претходната: ги бараме координатите на која било точка на права линија, ја бараме равенката на рамнината и го пресметуваме растојанието од точката до рамнината. Всушност, ваквите задачи се исклучително ретки во обединетиот државен испит. Успеав да најдам само еден проблем, а податоците во него беа такви што методот на координати не беше многу применлив за него!

Сега да преминеме на друга, многу поважна класа на проблеми:

Пресметување на растојанието од точка до права

Што ни треба?

1. Координати на точката од која го бараме растојанието:

2. Координати на која било точка што лежи на права

3. Координати на насочувачкиот вектор на правата линија

Која формула ја користиме?

Што значи именителот на оваа дропка треба да ви биде јасно: ова е должината на насочувачкиот векторот на правата линија. Ова е многу незгоден броител! Изразот значи модул (должина) на векторскиот производ на вектори и Како да се пресмета векторскиот производ, ги проучувавме во претходниот дел од работата. Освежете го вашето знаење, сега ќе ни треба многу!

Така, алгоритмот за решавање проблеми ќе биде како што следува:

1. Ги бараме координатите на точката од која го бараме растојанието:

2. Ги бараме координатите на која било точка на правата до која го бараме растојанието:

3. Конструирај вектор

4. Конструирај насочувачки вектор на права линија

5. Пресметај го векторскиот производ

6. Ја бараме должината на добиениот вектор:

7. Пресметајте го растојанието:

Имаме многу работа, а примерите ќе бидат доста сложени! Па сега фокусирајте го целото ваше внимание!

1. Даден е правоаголен триаголен пи-ра-ми-да со врв. Стотата-ро-на основа на пи-ра-ми-ди е еднаква, вие сте еднакви. Најдете го растојанието од сивиот раб до права линија, каде што точките и се сивите рабови и од ветеринарното.

2. Должините на ребрата и правиот агол-не-го пар-рал-ле-ле-пи-пе-да се соодветно еднакви и Најдете го растојанието од врвот до права линија

3. Во десна шестоаголна призма, сите рабови се еднакви, најдете го растојанието од точка до права линија

Решенија:

1. Правиме уреден цртеж на кој ги означуваме сите податоци:

Имаме многу работа! Прво, би сакал со зборови да опишам што ќе бараме и по кој редослед:

1. Координати на точки и

2. Точки координати

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Нивниот вкрстен производ

6. Векторска должина

7. Должина на векторскиот производ

8. Растојание од до

Па, ни претстои многу работа! Ајде да дојдеме до тоа со засукани ракави!

1. За да ги најдеме координатите на висината на пирамидата, треба да ги знаеме координатите на точката рамностран триаголник, тој се дели во однос, сметајќи од темето, од тука. Конечно, ги добивме координатите:

Точка координати

2. - средината на сегментот

3. - средината на сегментот

Средината на сегментот

4.Координати

Векторски координати

5. Пресметајте го векторскиот производ:

6. Векторска должина: најлесниот начин за замена е дека отсечката е средната линија на триаголникот, што значи дека е еднаква на половина од основата. Значи.

7. Пресметајте ја должината на векторскиот производ:

8. Конечно, го наоѓаме растојанието:

Уф, тоа е тоа! Ќе ви кажам искрено: решавањето на овој проблем со користење на традиционални методи (преку изградба) би било многу побрзо. Но, тука сведев сè на готов алгоритам! Мислам дека алгоритмот за решение ти е јасен? Затоа, ќе ве замолам сами да ги решите преостанатите два проблема. Ајде да ги споредиме одговорите?

Повторно, повторувам: полесно (побрзо) е да се решат овие проблеми преку конструкции, наместо да се прибегне кон координатен метод. Го демонстрирав овој метод на решение само за да ви покажам универзален метод кој ви овозможува „да не завршите ништо со изградбата“.

Конечно, разгледајте ја последната класа на проблеми:

Пресметување на растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат

Овде алгоритмот за решавање проблеми ќе биде сличен на претходниот. Она што го имаме:

3. Секој вектор што ги поврзува точките од првата и втората линија:

Како го наоѓаме растојанието помеѓу линиите?

Формулата е како што следува:

Бројачот е модулот на измешаниот производ (го воведовме во претходниот дел), а именителот е, како и во претходната формула (модулот на векторскиот производ на векторите на насоката на правите линии, растојанието меѓу кое ние бараат).

Ќе те потсетам на тоа

Потоа формулата за растојанието може да се препише како:

Ова е детерминанта поделена со одредница! Иако, да бидам искрен, немам време за шеги овде! Оваа формула е, всушност, многу незгодна и води до прилично сложени пресметки. Да сум на твое место, би прибегнал кон тоа само како последно средство!

Ајде да се обидеме да решиме неколку проблеми користејќи го горенаведениот метод:

1. Во правоаголна триаголна призма, чиишто рабови се еднакви, најдете го растојанието помеѓу правите и.

2. Со правоаголна триаголна призма, сите рабови на основата се еднакви на делот што минува низ реброто на телото, а се-ре-ди-бунарските ребра се квадрат. Најдете го растојанието помеѓу правите линии и

Јас го одлучувам првото, а врз основа на него, вие одлучувате за второто!

1. Цртам призма и означувам прави и

Координати на точка В: тогаш

Точка координати

Векторски координати

Точка координати

Векторски координати

Векторски координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \десно) = \лево| (\почеток(низа)(*(20)(л))(\почеток(низа)(*(20)(в))0&1&0\крај(низа)\\(\почеток(низа)(*(20) (в))0&0&1\крај (низа))\\(\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\крај (низа))\крај (низа)) \десно| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Го пресметуваме векторскиот производ помеѓу вектори и

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \лево| \почетна(низа)(л)\почеток(низа)(*(20)(в))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(низа)\\\почеток(низа )(*(20)(в))0&0&1\крај(низа)\\\почеток(низа)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(низа)\крај(низа) \десно| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Сега ја пресметуваме неговата должина:

Одговор:

Сега обидете се внимателно да ја завршите втората задача. Одговорот на тоа ќе биде: .

Координати и вектори. Краток опис и основни формули

Вектор е насочен сегмент. - почетокот на векторот, - крајот на векторот.
Векторот се означува со или.

Абсолутна вредноствектор - должината на сегментот што го претставува векторот. Означено како.

Векторски координати:

,
каде се краевите на векторот \displaystyle a .

Збир на вектори: .

Производ на вектори:

Точка производ на вектори:

Скаларниот производ на вектори е еднаков на производот на нивните апсолутни вредности и косинус на аголот меѓу нив:

Па, темата заврши. Ако ги читате овие редови, тоа значи дека сте многу кул.

Затоа што само 5% од луѓето се способни да совладаат нешто сами. И ако читате до крај, тогаш сте во овие 5%!

Сега најважното нешто.

Ја разбравте теоријата на оваа тема. И, повторувам, ова... ова е само супер! Веќе сте подобри од огромното мнозинство ваши врсници.

Проблемот е што ова можеби не е доволно...

За што?

За успешно полагање на Единствениот државен испит, за влез на факултет со буџет и НАЈВАЖНО доживотно.

Нема да те убедам во ништо, само едно ќе кажам...

Луѓето кои добиле добро образование заработуваат многу повеќе од оние кои не го добиле. Ова е статистика.

Но, ова не е главната работа.

Главната работа е што тие се ПОСРЕЌНИ (има такви студии). Можеби затоа што пред нив се отвораат уште многу можности и животот станува посветол? Не знам...

Но, размислете сами...

Што е потребно за да бидете сигурни дека ќе бидете подобри од другите на Единствениот државен испит и на крајот да бидете... посреќни?

ДОБИЈТЕ РАКА СО РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ НА ОВАА ТЕМА.

Нема да ве прашаат за теорија за време на испитот.

Ќе ви треба решаваат проблеми во однос на времето.

И, ако не сте ги решиле (МНОГУ!), дефинитивно ќе направите глупава грешка некаде или едноставно нема да имате време.

Тоа е како во спортот - треба да го повторите многу пати за да победите сигурно.

Најдете ја колекцијата каде што сакате, нужно со решенија, детална анализаи одлучува, одлучува, одлучува!

Можете да ги користите нашите задачи (опционално) и ние, се разбира, ги препорачуваме.

Со цел да се подобрите во користењето на нашите задачи, треба да помогнете да го продолжите животниот век на учебникот YouClever што моментално го читате.

Како? Постојат две опции:

1. Отклучете ги сите скриени задачи во оваа статија -
2. Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во сите 99 статии од учебникот - Купете учебник - 899 RUR

Да, имаме 99 вакви статии во нашиот учебник и пристапот до сите задачи и сите скриени текстови во нив може веднаш да се отвори.

Пристап до сите скриени задачи е обезбеден за ЦЕЛИОТ век на траење на страницата.

Во заклучок...

Ако не ви се допаѓаат нашите задачи, најдете други. Само не застанувај на теоријата.

„Разбрано“ и „Можам да решам“ се сосема различни вештини. Ви требаат и двете.

Најдете проблеми и реши ги!

Значи, услуги:

Услугата за работа со вектори ви овозможува да вршите дејства на вектори.
Ако имате задача да извршите посложена трансформација, тогаш оваа услуга треба да се користи како конструктор.
Пример. Векторски податоци аИ б, треба да го најдеме векторот Со = а + 3*б,

Векторско множење (производ со точки)

Ова е онлајн услуга во три чекори:

• а
• б

Векторска сума

Ова е онлајн услуга во три чекори:

• Внесете го векторот на првиот член а
• Внесете го векторот на вториот член б
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Векторска должина

Ова е онлајн услуга во два чекори:

• Внесете вектор а, за што треба да ја најдеме должината на векторот
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Множење вектор со број

Ова е онлајн услуга во три чекори:

• Внесете го првиот фактор-вектор а
• Внесете го вториот број на фактор q
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Векторско одземање

Ова е онлајн услуга во три чекори:

• Внесете го првиот вектор а, што се одзема
• Внесете втор вектор б, од кои одземаат
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Нормален вектор

Ова е онлајн услуга во два чекори:

• Внесете вектор а, за што треба да најдете единичен вектор нормален на ова
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Векторски производ на вектори

Ова е онлајн услуга во три чекори:

• Внесете го првиот фактор-вектор а
• Внесете го вториот фактор-вектор б
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението

Мешан производ на вектори

Ова е онлајн услуга во четири чекори:

• Внесете го првиот фактор-вектор а
• Внесете го вториот фактор-вектор б
• Внесете го третиот фактор-вектор Со
• Наведете ја е-поштата каде да се испрати решението