Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå eksamen i matematikk på 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Egner seg også for å bestå Grunneksamen i matematikk. Skal du bestå eksamen for 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedende kurs til eksamen for 10.-11. trinn, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av eksamen i matematikk (første 12 oppgaver) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på eksamen, og verken en hundrepoengsstudent eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All teorien du trenger. Raske løsninger, feller og hemmeligheter til eksamen. Alle relevante oppgaver i del 1 fra Bank of tasks til FIPI har blitt demontert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til eksamen-2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og greit.

Hundrevis av USE-oppdrag. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer BRUK-oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, romlig fantasiutvikling. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Visuell forklaring av komplekse begreper. Algebra. Røtter, grader og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlaget for å løse komplekse oppgaver i 2. del av eksamen.

I dag vil vi vurdere en geometrisk figur - en firkant. Fra navnet på denne figuren blir det allerede klart at denne figuren har fire hjørner. Men vi vil vurdere resten av egenskapene og egenskapene til denne figuren nedenfor.

Hva er en firkant

Firkant - en polygon som består av fire punkter (vertekser) og fire linjestykker (sider) som forbinder disse punktene i par. Arealet til en firkant er lik halvproduktet av diagonalene og vinkelen mellom dem.

En firkant er en polygon med fire hjørner, hvorav tre ikke er kollineære.

Typer firkanter

• En firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle kalles et parallellogram.
• En firkant der to motsatte sider er parallelle og de to andre ikke er det kalles en trapes.
• En firkant med alle hjørner rette er et rektangel.
• Et rektangel med alle sider like er en rombe.
• En firkant der alle sider er like og alle vinkler er rette kalles en firkant.

En firkant kan være:

Selvskjærende

Ikke-konveks

Konveks

Selvskjærende firkant- dette er en firkant, der noen av sidene har et skjæringspunkt (i figuren i blått).

Ikke-konveks firkant- dette er en firkant, der en av de indre vinklene er mer enn 180 grader (i figuren er den markert med oransje).

Summen av vinkler enhver firkant som ikke er selvskjærende er alltid 360 grader.

Spesielle typer firkanter

Firkanter kan ha ytterligere egenskaper, og danner spesielle typer geometriske former:

• Parallelogram
• Rektangel
• Torget
• Trapes
• Deltoid
• Kontraparallelogram

Firkant og sirkel

En firkant omskrevet rundt en sirkel (en sirkel innskrevet i en firkant).

Hovedegenskapen til den beskrevne firkanten:

En firkant kan beskrives rundt en sirkel hvis og bare hvis summen av lengdene til de motsatte sidene er like.

En firkant innskrevet i en sirkel (en sirkel omskrevet rundt en firkant)

Hovedegenskapen til den innskrevne firkanten:

En firkant kan skrives inn i en sirkel hvis og bare hvis summen av motsatte vinkler er 180 grader.

Egenskaper for firkantet sidelengde

Modulus av forskjellen mellom to sider av en firkant ikke overstiger summen av de to andre partene.

| a - b | ≤ c + d

| a - c | ≤ b + d

| a - d | ≤ b + c

| b - c | ≤ a + d

| b - d | ≤ a + b

| c - d | ≤ a + b

Viktig... Ulikheten gjelder for enhver kombinasjon av sider av en firkant. Figuren er kun for enkel referanse.

I hvilken som helst firkant summen av lengdene på dens tre sider er ikke mindre enn lengden på den fjerde siden.

Viktig... Når du skal løse problemer innenfor skoleplanen, kan du bruke den strenge ulikheten (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å gjøre beregninger, må du aktivere ActiveX-kontroller!

Firkant ABCD kalt en figur som består av fire punkter A, B, C, D, tre hver, som ikke ligger på en rett linje, og fire segmenter AB, BC, CD og AD som forbinder disse punktene.

Figurene viser firkanter.

Punktene A, B, C og D kalles hjørnene til firkanten, og segmentene AB, BC, CD og AD - fester... Toppunktene A og C, B og D kalles motsatte topper... Sidene AB og CD, BC og AD kalles motstående sider.

Firkanter er konveks(til venstre i bildet) og ikke-konveks(på bildet - til høyre).

Hver diagonal konveks firkant deler den i to trekanter(AC-diagonalen deler ABCD i to trekanter ABC og ACD; BD-diagonalen deler seg i BCD og BAD). Ha ikke-konveks firkant bare en av diagonalene deler den i to trekanter(diagonalen AC deler ABCD i to trekanter ABC og ACD; diagonalen BD gjør det ikke).

Ta i betraktning hovedtyper av firkanter, deres egenskaper, områdeformler:

Parallelogram

Parallelogram kalles en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle.

Egenskaper:

Tegn på et parallellogram:

1. Hvis to sider i en firkant er like og parallelle, så er denne firkanten et parallellogram.
2. Hvis motsatte sider i en firkant er parvis like, så er denne firkanten et parallellogram.
3. Hvis diagonalene i en firkant skjærer hverandre og skjæringspunktet er delt i to, så er denne firkanten et parallellogram.

Parallelogramområde:

Trapes

Trapes kalles en firkant, der to sider er parallelle, og de to andre sidene ikke er parallelle.

Begrunnelsen parallelle sider kalles, og de to andre sidene kalles laterale sider.

Midtlinje en trapes kalles et segment som forbinder midtpunktene på sidesidene.

TEOREM.

Midtlinjen til trapesen er parallell med basene og lik deres halvsum.

Trapesområde:

Rombe

Rombe kalles et parallellogram, der alle sider er like.

Egenskaper:

Rombus område:

Rektangel

Rektangel kalles et parallellogram, der alle vinkler er like.

Egenskaper:

Rektangelattributt:

Hvis diagonalene i et parallellogram er like, så er dette parallellogrammet et rektangel.

Rektangelområde:

Torget

Torget kalles et rektangel der alle sider er like.

Egenskaper:

Et kvadrat har alle egenskapene til et rektangel og en rombe (et rektangel er et parallellogram, derfor er et kvadrat et parallellogram, der alle sider er like, dvs. en rombe).

Kvadratisk område:

Et av de mest interessante temaene innen geometri fra skolekurset er «Quadrangles» (8. klasse). Hvilke typer slike figurer finnes, hvilke spesielle egenskaper har de? Hva er unikt med nitti graders firkanter? La oss ta en titt på alt dette.

Hvilken geometrisk form kalles en firkant

Polygoner, som består av fire sider og følgelig av fire hjørner (hjørner), kalles firkanter i euklidisk geometri.

Historien til navnet på denne typen figurer er interessant. På russisk er substantivet "firkant" dannet fra uttrykket "fire hjørner" (akkurat som "trekant" - tre vinkler, "femkant" - fem vinkler, etc.).

Men på latin (som mange geometriske termer kom til de fleste av verdens språk) kalles det firkant. Dette ordet er dannet av tallet quadri (fire) og substantivet latus (side). Så vi kan konkludere med at de gamle kalte denne polygonen bare "firesidig".

Forresten, dette navnet (med vekt på tilstedeværelsen av fire sider i figurer av denne typen, og ikke hjørner) er bevart på noen moderne språk. For eksempel, på engelsk er det quadrilateral og på fransk er det quadrilatère.

Dessuten, i de fleste slaviske språk, identifiseres den aktuelle typen figurer fortsatt av antall vinkler, ikke sider. For eksempel på slovakisk (štvoruholník), på bulgarsk («chetyr'g'lnik»), på hviterussisk («chatyrohkutnik»), på ukrainsk («chotirikutnik»), på tsjekkisk (čtyřúhelník), men på polsk kalles firkanten etter antall sider - cz.

Hvilke typer firkanter studeres i skolens læreplan

I moderne geometri er det 4 typer polygoner med fire sider.

Men på grunn av de for komplekse egenskapene til noen av dem, i geometritimer, blir skolebarn introdusert for bare to typer.

• Parallelogram De motsatte sidene av en slik firkant er parvis parallelle med hverandre og er følgelig like parvis.
• Trapes (trapes eller trapes). Denne firkanten består av to motsatte sider, parallelle med hverandre. Det andre sideparet har imidlertid ikke denne funksjonen.

Typer firkanter som ikke er studert i skolegeometrikurset

I tillegg til det ovennevnte er det ytterligere to typer firkanter som skolebarn ikke blir introdusert for i geometritimer, på grunn av deres spesielle kompleksitet.

• Deltoid (drage)- en figur der hvert av to par av tilstøtende sider er like lange med hverandre. En slik firkant fikk navnet sitt på grunn av at den i utseende ligner ganske sterkt på bokstaven i det greske alfabetet - "delta".
• Antiparallelogram- denne figuren er like kompleks som navnet. I den er to motsatte sider like, men samtidig er de ikke parallelle med hverandre. I tillegg skjærer de lange motsatte sidene av denne firkanten seg, det samme gjør forlengelsene til de to andre, kortere sidene.

Typer parallellogram

Etter å ha behandlet hovedtypene av firkanter, bør du ta hensyn til underartene. Så alle parallellogrammer er på sin side også delt inn i fire grupper.

• Klassisk parallellogram.
• Rombe (rombe)- en firkantet figur med like sider. Diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler, og deler romben i fire like rettvinklede trekanter.
• Rektangel Navnet taler for seg selv. Siden det er et rektangel med rette vinkler (hver av dem er lik nitti grader). Dens motsatte sider er ikke bare parallelle med hverandre, men også like.
• Torget Som et rektangel er det et rektangel med rette vinkler, men alle sider av det er like. Dette gjør denne figuren nær en rombe. Så det kan hevdes at en firkant er en krysning mellom en rombe og et rektangel.

Spesielle egenskaper til et rektangel

Med tanke på figurene der hver av vinklene mellom sidene er lik nitti grader, er det verdt å være mer oppmerksom på rektangelet. Så, hva er de spesielle egenskapene som skiller den fra andre parallellogrammer?

For å argumentere for at det aktuelle parallellogrammet er et rektangel, må diagonalene være like med hverandre, og hvert av hjørnene må være rette. I tillegg må kvadratet av diagonalene tilsvare summen av kvadratene til de to tilstøtende sidene av denne figuren. Med andre ord, et klassisk rektangel består av to rettvinklede trekanter, og i dem fungerer som du vet diagonalen til firkanten som vurderes som hypotenusen.

Den siste av de listede trekkene til denne figuren er også dens spesielle egenskap. Utenom dette er det andre. For eksempel det faktum at alle sider av den studerte firkanten med rette vinkler er samtidig dens høyder.

I tillegg, hvis du tegner en sirkel rundt et hvilket som helst rektangel, vil diameteren være lik diagonalen til den innskrevne figuren.

Blant andre egenskaper til denne firkanten er den flat og eksisterer ikke i ikke-euklidisk geometri. Dette skyldes det faktum at i et slikt system er det ingen firkantede figurer, summen av vinklene som er lik tre hundre og seksti grader.

Square og dens funksjoner

Etter å ha behandlet tegnene og egenskapene til et rektangel, er det verdt å ta hensyn til den andre firkanten med rette vinkler kjent for vitenskapen (dette er en firkant).

Siden den faktisk er det samme rektangelet, men med like sider, har denne figuren alle sine egenskaper. Men i motsetning til ham er kvadratet tilstede i ikke-euklidisk geometri.

I tillegg har denne figuren andre særtrekk. For eksempel det faktum at diagonalene til et kvadrat ikke bare er like med hverandre, men også krysser hverandre i rette vinkler. Således, som en rombe, består et kvadrat av fire rettvinklede trekanter, som det er delt inn i av diagonalene.

I tillegg er denne figuren den mest symmetriske av alle firkanter.

Hva er summen av vinklene til en firkant

Med tanke på egenskapene til firkantene til euklidisk geometri, er det verdt å ta hensyn til vinklene deres.

Så, i hver av figurene ovenfor, uavhengig av om den har rette vinkler eller ikke, er deres totale sum alltid den samme - tre hundre og seksti grader. Dette er en unik egenskap ved denne typen figur.

Omkrets av firkanter

Etter å ha funnet ut hva summen av vinklene til en firkant og andre spesielle egenskaper til figurer av denne typen er lik, er det verdt å finne ut hvilke formler som er best å bruke for å beregne deres omkrets og areal.

For å bestemme omkretsen til en firkant, trenger du bare å legge til lengden på alle sidene sammen.

For eksempel, i en KLMN-form, kan dens omkrets beregnes ved å bruke formelen: P = KL + LM + MN + KN. Hvis du erstatter tall her, får du: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

I tilfellet når den aktuelle figuren er en rombe eller en firkant, for å finne omkretsen, kan du forenkle formelen ved ganske enkelt å multiplisere lengden på en av sidene med fire: P = KL x 4. For eksempel: 6 x 4 = 24 (cm).

Arealfirkantformler

Etter å ha funnet ut hvordan du finner omkretsen til en hvilken som helst form med fire hjørner og sider, er det verdt å vurdere de mest populære og enkle måtene å finne området.

Andre egenskaper ved firkanter: innskrevne og omskrevne sirkler

Etter å ha vurdert funksjonene og egenskapene til en firkant som en figur av euklidisk geometri, er det verdt å ta hensyn til evnen til å beskrive rundt eller skrive inn sirkler inne i den:

• Hvis summene av de motsatte vinklene til figuren er hundre og åtti grader hver og er like i par, kan en sirkel fritt beskrives rundt en slik firkant.
• I følge Ptolemaios teorem, hvis en sirkel er beskrevet utenfor en polygon med fire sider, er produktet av diagonalene lik summen av produktene til de motsatte sidene av denne figuren. Dermed vil formelen se slik ut: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Hvis du bygger en firkant, der summene av motsatte sider er lik hverandre, kan en sirkel skrives inn i den.

Etter å ha funnet ut hva en firkant er, hva slags den finnes, hvilke av dem som bare har rette vinkler mellom sidene og hvilke egenskaper de har, er det verdt å huske alt dette materialet. Spesielt formelen for å finne omkretsen og arealet til de betraktede polygonene. Tross alt er figurer av denne formen en av de vanligste, og denne kunnskapen kan være nyttig for beregninger i det virkelige liv.

En konveks firkant er en figur som består av fire sider koblet sammen i hjørnene, og danner fire hjørner sammen med sidene, mens selve firkanten alltid er i samme plan i forhold til den rette linjen som en av sidene ligger på. Med andre ord, hele formen er på den ene siden av hver side.

Som du kan se, er definisjonen ganske lett å huske.

Grunnleggende egenskaper og typer

Konvekse firkanter inkluderer nesten alle figurer kjent for oss, bestående av fire hjørner og sider. Følgende kan skilles:

1. parallellogram;
2. torget;
3. rektangel;
4. trapes;
5. rombe.

Alle disse figurene forenes ikke bare av det faktum at de er firkantede, men også av det faktum at de også er konvekse. Det er nok bare å vurdere diagrammet:

Figuren viser en konveks trapes... Her kan du se at trapesen er på samme plan eller på den ene siden av segmentet. Hvis du utfører lignende handlinger, kan du finne ut at for alle andre sider er trapesen konveks.

Er et parallellogram en konveks firkant?

Ovenfor er et bilde av et parallellogram. Som du kan se av bildet, parallellogrammet er også konveks... Ser man på figuren med hensyn til linjene som segmentene AB, BC, CD og AD ligger på, blir det tydelig at den alltid er på samme plan fra disse linjene. Hovedtrekkene til et parallellogram er at sidene er parvis parallelle og like, akkurat som de motsatte vinklene er like med hverandre.

Se for deg et kvadrat eller rektangel. I henhold til hovedegenskapene deres er de også parallellogrammer, det vil si at alle sidene deres er plassert i par parallelt. Bare når det gjelder et rektangel, kan lengden på sidene være forskjellig, og hjørnene er rette (lik 90 grader), en firkant er et rektangel der alle sidene er like og vinklene også er rette, og for en parallellogram, kan lengdene på sidene og vinklene være forskjellige.

Som et resultat, summen av alle fire hjørner av firkanten skal være lik 360 grader... Den enkleste måten å bestemme dette på er ved rektangelet: alle fire hjørner av rektangelet er rette, det vil si lik 90 grader. Summen av disse 90 graders vinklene gir 360 grader, med andre ord, legger man til 90 grader 4 ganger får man ønsket resultat.

Egenskapen til diagonalene til en konveks firkant

Diagonaler til en konveks firkant skjærer hverandre... Faktisk kan dette fenomenet observeres visuelt, bare se på bildet:

Figuren til venstre viser en ikke-konveks firkant eller firkant. Som du ønsker. Som du kan se, krysser ikke diagonalene, i hvert fall ikke alle. Til høyre er en konveks firkant. Egenskapen til diagonalene til å krysse er allerede observert her. Den samme egenskapen kan betraktes som et tegn på konveksiteten til en firkant.

Andre egenskaper og kriterier for konveksiteten til en firkant

Spesielt for dette begrepet er det veldig vanskelig å nevne noen spesifikke egenskaper og tegn. Det er lettere å isolere med forskjellige typer firkanter av denne typen. Du kan starte med et parallellogram. Vi vet allerede at dette er en firkantet figur, hvis sider er parvis parallelle og like. Samtidig inkluderer dette også egenskapen til diagonalene til parallellogrammet til å krysse hverandre, samt tegnet på konveksiteten til selve figuren: parallellogrammet er alltid i samme plan og på den ene siden i forhold til evt. av sidene.

Så, de viktigste tegnene og egenskapene er kjent:

1. summen av vinklene til firkanten er 360 grader;
2. diagonalene til figurene skjærer hverandre på ett punkt.

Rektangel... Denne figuren har alle de samme egenskapene og funksjonene som parallellogrammet, men samtidig er alle vinklene lik 90 grader. Derav navnet - rektangel.

Firkantet, samme parallellogram, men hjørnene er rette som i et rektangel. På grunn av dette kalles en firkant sjelden et rektangel. Men det viktigste kjennetegnet ved en firkant, i tillegg til de som allerede er oppført ovenfor, er at alle fire sidene er like.

Trapeset er en veldig interessant figur.... Dette er også en firkant og også konveks. I denne artikkelen har trapesen allerede blitt vurdert ved å bruke eksempelet på et bilde. Det er tydelig at den også er konveks. Hovedforskjellen, og følgelig et tegn på en trapes, er at sidene kan være absolutt ikke like hverandre i lengde, så vel som vinklene i verdi. I dette tilfellet forblir figuren alltid på samme plan med hensyn til noen av de rette linjene, som forbinder to av dens toppunkter langs segmentene som danner figuren.

Romben er en like interessant figur... Delvis kan en firkant betraktes som en rombe. Et tegn på en rombe er det faktum at diagonalene ikke bare krysser hverandre, men deler også hjørnene på romben i to, og diagonalene selv krysser i rette vinkler, det vil si at de er vinkelrette. Hvis lengdene på sidene på romben er like, halveres også diagonalene når de krysser hverandre.

Deltoider eller konvekse romboider (rhombuses) kan ha forskjellig lengde på sidene. Men samtidig er både de grunnleggende egenskapene og egenskapene til selve romben, og konveksitetens trekk og egenskaper fortsatt bevart. Det vil si at vi kan observere at diagonalene deler hjørnene i to og skjærer hverandre i rette vinkler.

Dagens oppgave var å vurdere og forstå hva konvekse firkanter er, hva de er og deres hovedtrekk og egenskaper. Merk følgende! Det er verdt å huske igjen at summen av vinklene til en konveks firkant er 360 grader. Omkretsen til figurene er for eksempel lik summen av lengdene til alle linjestykkene som utgjør figuren. Formler for å beregne omkretsen og arealet av firkanter vil bli diskutert i de følgende artiklene.