I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, noen ganger skjer det at for fullstendig lykke, i tillegg til skalært produkt av vektorer, mer og mer kreves. Dette er vektoravhengighet. Det kan virke som om vi kommer ut i villmarken analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe mer komplisert enn det samme skalært produkt, blir det enda færre typiske oppgaver. Hovedsaken i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede har blitt overbevist om, er Å IKKE GJØRE FEIL I BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorer glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummieså gjenopprette eller anskaffe grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan bli kjent med informasjonen selektivt; jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk jobb

Hva vil gjøre deg glad med en gang? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to og til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå slipper du å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romlige vektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Det er allerede enklere!

Denne operasjonen, akkurat som skalarproduktet, involverer to vektorer. La disse være uforgjengelige brev.

Selve handlingen betegnet med på følgende måte:. Det finnes andre alternativer, men jeg er vant til å betegne vektorproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og med en gang spørsmål: hvis i skalært produkt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? Den åpenbare forskjellen er først og fremst i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er NUMBER:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Egentlig er det her navnet på operasjonen kommer fra. I ulik undervisningslitteratur kan betegnelser også variere, jeg vil bruke bokstaven.

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med et bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: Vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt inn i denne rekkefølgen , kalt VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

La oss bryte ned definisjonen bit for bit, det er mye interessant her!

Så følgende viktige punkter kan fremheves:

1) De opprinnelige vektorene, angitt med røde piler, per definisjon ikke collineær. Skjer kollineære vektorer Det vil være på sin plass å vurdere litt senere.

2) Vektorer tas i en strengt definert rekkefølge: – "a" multipliseres med "være", ikke "være" med "a". Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR, som er indikert i blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (bringebærfarge). Det vil si at likheten er sann .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene. På figuren er dette parallellogrammet farget svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og naturlig nok er den nominelle lengden på vektorproduktet ikke lik arealet til parallellogrammet.

La oss huske en av de geometriske formlene: Arealet til et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på ovenstående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at formelen handler om LENGDEN av vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

La oss få den andre viktige formelen. Diagonalen til et parallellogram (rød stiplet linje) deler det i to like trekanter. Derfor kan området til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet ved å bruke formelen:

4) Et like viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, altså . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (bringebærpil) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I leksjonen om overgang til et nytt grunnlag Jeg snakket tilstrekkelig detaljert om planorientering, og nå skal vi finne ut hva romorientering er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd . Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk den inn i håndflaten. Som et resultat tommel – vektorproduktet vil slå opp. Dette er et høyreorientert grunnlag (det er denne på figuren). Endre nå vektorene ( pekefinger og langfinger) noen steder, som et resultat vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Du har kanskje et spørsmål: hvilket grunnlag har forlatt orientering? "Tilordne" til de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre orientering av rommet (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene seg eller orienterer rommet inn forskjellige sider. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endres plassorienteringen av det mest vanlige speilet, og hvis du "trekker det reflekterte objektet ut av glasset", så er det i det generelle tilfellet vil ikke være mulig å kombinere den med "originalen". Hold forresten tre fingre opp mot speilet og analyser refleksjonen ;-)

...hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baserer, fordi uttalelsene til noen forelesere om en endring i orientering er skumle =)

Kryssprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen har blitt diskutert i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, degenerert parallellogram er lik null. Det samme følger av formelen - sinusen til null eller 180 grader er lik null, som betyr at området er null

Altså, hvis, da . Strengt tatt er selve vektorproduktet lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og de skrives at det rett og slett er lik null.

Et spesialtilfelle er kryssproduktet av en vektor med seg selv:

Ved hjelp av vektorproduktet kan du sjekke kolineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For løsninger praktiske eksempler kan være nødvendig trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinus fra den.

Vel, la oss tenne bålet:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg har bevisst gjort de første dataene i klausulene like. Fordi utformingen av løsningene vil være annerledes!

a) I henhold til tilstanden må du finne lengde vektor (kryssprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Hvis du ble spurt om lengde, angir vi i svaret dimensjonen - enheter.

b) I henhold til tilstanden, må du finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på vektorproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at svaret ikke snakker om vektorproduktet i det hele tatt; vi ble spurt om området av figuren, følgelig er dimensjonen kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA vi må finne i henhold til tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bokstavelig talt, men det er nok av bokstaveligkere blant lærerne, og oppgaven har gode muligheter for å bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er et spesielt langt utsagt tull – hvis svaret er feil, så får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke har forstått essensen av oppgaven. Dette punktet må alltid holdes under kontroll når man løser ethvert problem i høyere matematikk, og også i andre fag.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kunne det i tillegg vært knyttet til løsningen, men for å forkorte oppføringen gjorde jeg ikke dette. Jeg håper alle forstår det og er en betegnelse på det samme.

Et populært eksempel for uavhengig avgjørelse:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven veldig vanlig; trekanter kan generelt plage deg.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til vektorproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og et vilkårlig tall er følgende egenskaper sanne:

1) I andre informasjonskilder er denne posten vanligvis ikke fremhevet i egenskapene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) – eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) – assosiativ eller assosiativ vektor produktlover. Konstanter kan enkelt flyttes utenfor vektorproduktet. Virkelig, hva skal de gjøre der?

4) – distribusjon eller distributive vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne brakettene.

For å demonstrere, la oss se på et kort eksempel:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Tilstanden krever igjen å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til assosiative lover tar vi konstantene utenfor rammen av vektorproduktet.

(2) Vi flytter konstanten utenfor modulen, og modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Resten er klart.

Svar:

Det er på tide å legge mer ved til bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av trekanten ved å bruke formelen . Haken er at vektorene "tse" og "de" i seg selv presenteres som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen Punktprodukt av vektorer. For klarhetens skyld vil vi dele løsningen inn i tre stadier:

1) Ved det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, la oss uttrykke en vektor i form av en vektor. Ingen ord ennå om lengder!

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Ved å bruke distributive lover åpner vi parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke assosiative lover flytter vi alle konstanter utover vektorproduktene. Med litt erfaring kan trinn 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den fine egenskapen. I det andre begrepet bruker vi egenskapen til antikommutativitet til et vektorprodukt:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som er det som kreves for å oppnås:

2) I det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen minner om eksempel 3:

3) Finn arealet av den nødvendige trekanten:

Trinn 2-3 av løsningen kunne vært skrevet på én linje.

Svar:

Problemet som vurderes er ganske vanlig i tester, her er et eksempel på en uavhengig løsning:

Eksempel 5

Finn hvis

Rask løsning og svaret på slutten av leksjonen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Formelen er veldig enkel: i den øverste linjen av determinanten skriver vi koordinatvektorene, i den andre og tredje linjen "setter" vi koordinatene til vektorene, og vi setter V i streng rekkefølge – først koordinatene til «ve»-vektoren, deretter koordinatene til «dobbel-ve»-vektoren. Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør radene byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Kontrollen er basert på ett av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, er deres vektorprodukt lik null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Dermed er ikke vektorene kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt avhenge av definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Et blandet produkt av vektorer er produktet av tre vektorer:

Så de stilte seg opp som et tog og kan ikke vente på å bli identifisert.

Først, igjen, en definisjon og et bilde:

Definisjon: Blandet arbeid ikke-coplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt parallellepipedum volum, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "–"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med stiplede linjer:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tas i en bestemt rekkefølge, det vil si at omorganiseringen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke skjer uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til et åpenbart faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være litt annerledes; jeg er vant til å betegne et blandet produkt med , og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til et gitt parallellepiped.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bekymre oss igjen om konseptet med orientering av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord, kan det blandede produktet være negativt: .

Direkte fra definisjonen følger formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer.

Arealet til et parallellogram bygget på vektorer er lik produktet av lengdene til disse vektorene og vinkelen til vinkelen som ligger mellom dem.

Det er bra når forholdene gir lengdene til de samme vektorene. Imidlertid skjer det også at formelen for arealet til et parallellogram bygget på vektorer bare kan brukes etter beregninger ved hjelp av koordinater.
Hvis du er heldig og forholdene gir lengdene på vektorene, trenger du bare å bruke formelen, som vi allerede har diskutert i detalj i artikkelen. Arealet vil være lik produktet av modulene og sinusen til vinkelen mellom dem:

La oss vurdere et eksempel på beregning av arealet til et parallellogram bygget på vektorer.

Oppgave: Parallellogrammet er bygget på vektorene og . Finn arealet hvis , og vinkelen mellom dem er 30°.
La oss uttrykke vektorene gjennom deres verdier:

Kanskje du har et spørsmål - hvor kommer nullene fra? Det er verdt å huske at vi jobber med vektorer, og for dem . Vær også oppmerksom på at hvis resultatet er , vil det bli konvertert til . Nå utfører vi de endelige beregningene:

La oss gå tilbake til problemet når lengdene på vektorene ikke er spesifisert i betingelsene. Hvis parallellogrammet ditt ligger i Kartesisk system koordinater, må du gjøre følgende.

Beregning av lengdene på sidene til en figur gitt ved koordinater

Først finner vi koordinatene til vektorene og trekker de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra sluttkoordinatene. La oss si at koordinatene til vektor a er (x1;y1;z1), og vektor b er (x3;y3;z3).
Nå finner vi lengden på hver vektor. For å gjøre dette må hver koordinat kvadreres, deretter må de oppnådde resultatene legges til og roten trekkes ut fra det endelige tallet. Basert på våre vektorer vil det være følgende beregninger:


Nå må vi finne skalarproduktet til vektorene våre. For å gjøre dette blir deres tilsvarende koordinater multiplisert og lagt til.

Gitt lengdene på vektorene og deres skalarprodukt, kan vi finne cosinus til vinkelen som ligger mellom dem.
Nå kan vi finne sinusen til samme vinkel:
Nå har vi alle nødvendige mengder, og vi kan enkelt finne arealet til et parallellogram bygget på vektorer ved å bruke den allerede kjente formelen.