Konseptet med samsvar. Metoder for å spesifisere korrespondanser

Opprinnelig var algebra studiet av å løse ligninger. I løpet av mange århundrer av utviklingen har algebra blitt en vitenskap som studerer operasjoner og sammenhenger på forskjellige sett. Derfor er det ingen tilfeldighet at allerede i grunnskole barn blir kjent med algebraiske begreper som uttrykk (numerisk og variabel), numerisk likhet, numerisk ulikhet, ligningen. De lærer ulike egenskaper aritmetiske operasjoner over tall som lar deg rasjonelt utføre beregninger. Og, selvfølgelig, i det innledende matematikkurset blir de introdusert for ulike avhengigheter, relasjoner, men for å bruke dem med det formål å utvikle den mentale aktiviteten til barn, må læreren beherske noen generelle begreper i moderne algebra - begrepet korrespondanse, relasjon, algebraisk operasjon osv. I tillegg, ved å mestre den matematiske språk som brukes i algebra, vil læreren kunne bedre forstå essensen av matematisk modellering av virkelige fenomener og prosesser.

Når vi studerer verden rundt oss, vurderer matematikk ikke bare objektene, men også hovedsakelig forbindelsene mellom dem. Disse forbindelsene kalles avhengigheter, korrespondanser, relasjoner, funksjoner. For eksempel, når du beregner lengden på objekter, etableres samsvar mellom objekter og tall, som er verdiene av lengdene deres; ved løsning av bevegelsesproblemer etableres en sammenheng mellom tilbakelagt distanse og tid hvis bevegelseshastigheten er konstant.

Spesifikke avhengigheter, samsvar og relasjoner mellom objekter i matematikk har blitt studert siden starten. Men spørsmålet om hva en rekke korrespondanser har til felles, hva som er essensen av enhver korrespondanse, ble stilt på slutten av det 19. - begynnelsen av det 20. århundre, og svaret på det ble funnet innenfor rammen av settteori.

I det innledende matematikkkurset studeres ulike sammenhenger mellom elementer i ett, to eller flere sett. Derfor må læreren forstå essensen deres, noe som vil hjelpe ham med å sikre enhet i metodikken for å studere disse forholdene.

La oss se på tre eksempler på korrespondanser studert i et innledende matematikkkurs.

I det første tilfellet etablerer vi samsvar mellom gitte uttrykk og deres numeriske verdier. I den andre finner vi ut hvilket tall som tilsvarer hver av disse figurene, og karakteriserer området. I den tredje leter vi etter et tall som er en løsning på ligningen.

Hva har disse korrespondansene til felles?

Vi ser at vi i alle tilfeller har to sett: i det første er dette et sett med tre numeriske uttrykk og et sett N naturlige tall(verdiene til disse uttrykkene tilhører ham), i den andre - dette er et sett med tre geometriske former og settet N av naturlige tall; i den tredje er det et sett med tre ligninger og et sett med N naturlige tall.

Ved å fullføre de foreslåtte oppgavene etablerer vi en sammenheng (korrespondanse) mellom elementene i disse settene. Det kan representeres visuelt ved hjelp av grafer (fig. 1).

Du kan spesifisere disse samsvarene ved å liste opp alle parene med elementer som er i et gitt samsvar:

I. ((i 1, 4), (i 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

De resulterende settene viser at enhver samsvar mellom to sett X og Y kan betraktes som sett med bestilte par , dannet fra elementene deres. Og siden bestilte par er elementer i et kartesisk produkt, kommer vi til følgende definisjon generelt konsept samsvar.

Definisjon. En korrespondanse mellom elementene i settet X og Y er en hvilken som helst delmengde av det kartesiske produktet av disse settene.

Korrespondanser er vanligvis betegnet med bokstavene P, S, T, R osv. Hvis S er en samsvar mellom elementer i settene X og Y, så, i henhold til definisjonen, S X x Y.

La oss nå finne ut hvordan vi definerer samsvar mellom to sett. Siden korrespondanse er en delmengde, kan den spesifiseres som et hvilket som helst sett, dvs. enten ved å liste opp alle par av elementer som er i en gitt korrespondanse, eller ved å indikere en karakteristisk egenskap for elementene i denne delmengden. Dermed kan samsvaret mellom settene X = (1, 2, 4, 6) og Y = (3, 5) spesifiseres:

1) bruke en setning med to variabler: a< b при условии, что а X, b Y;

2) liste opp tallpar som tilhører en delmengde av det kartesiske produktet XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Denne tildelingsmetoden inkluderer også tildeling av korrespondanse ved hjelp av en graf (fig. 2) og en graf (fig. 3)

Ris. 2 Fig. 3

Når man studerer samsvar mellom elementer i settene X og Y, må man ofte vurdere korrespondansen som er det motsatte. La f.eks.

S - "mer enn 2" korrespondanse mellom elementer i sett

X = (4,5,8,10) og Y= (2,3,6). Da vil S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) og dens graf være den samme som i figur 4a.

Det motsatte av det gitte treffet er treffet "mindre enn 2". Det vurderes mellom elementene i settene Y og X, og for å presentere det tydelig er det nok å endre retningen til pilene på relasjonsgrafen S til det motsatte (fig. 4b). Hvis korrespondansen "mindre med 2" er merket med S -1, så er S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

La oss bli enige om å skrive setningen "elementet x er i samsvar med elementet y" som følger: xSy. Oppføringen xSy kan betraktes som en generalisering av oppføringene for spesifikke korrespondanser: x = 2y; x > 3y+1 osv.

La oss bruke den introduserte notasjonen for å definere begrepet korrespondanse inverst til den gitte.

Definisjon. La S være en korrespondanse mellom elementene i mengdene X og Y. En korrespondanse S -1 mellom elementene i mengdene Y og X sies å være dens inverse hvis yS -x hvis og bare hvis xSy .

Korrespondansene S og S -1 kalles gjensidig invers. La oss finne ut egenskapene til grafene deres.

La oss konstruere en korrespondansegraf S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Når vi konstruerer en korrespondansegraf S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), må vi velge den første komponenten fra settet Y = (2, 3, 6), og sekund fra settet X = (4, 5, 8, 10). Som et resultat vil korrespondansegrafen S -1 falle sammen med korrespondansegrafen S. For å skille mellom korrespondansegrafene S og S -1,

gikk med på å betrakte den første komponenten av korrespondanseparet S -1 som abscissen, og den andre som ordinaten. For eksempel, hvis (5, 3) S, så (3, 5) S -1. Punkter med koordinater (5, 3) og (3, 5), og i det generelle tilfellet (x, y) og (y, x) er symmetriske med hensyn til halveringslinjen til 1. og 3. koordinatvinkel. Følgelig er grafene for gjensidig inverse korrespondanser S og S -1 symmetriske med hensyn til halveringslinjen til 1. og 3. koordinatvinkel.

For å bygge en korrespondansegraf S -1 er det nok å skildre koordinatplan punkter symmetriske til punktene i grafen S i forhold til halveringslinjen til 1. og 3. koordinatvinkel.

Å bygge matematisk teori Vi trenger ikke bare selve elementene, men også relasjonene mellom dem. For tall gir begrepet likhet mening: a = b. Hvis tallene a og b er forskjellige, ikke sant? b, da er det mulig enten a > b, eller a

To rette plan kan være vinkelrette, parallelle eller krysse i en viss vinkel.

Alle disse relasjonene angår to objekter. Det er derfor de kalles binære relasjoner.

For å studere relasjonene mellom objekter i matematikk ble teorien om binære relasjoner laget.

Når vi vurderer visse relasjoner, har vi alltid å gjøre med ordnede par dannet fra elementene i et gitt sett. For eksempel, for relasjonen "større med 4", som vurderes på settet X = (2, 6, 10, 14), vil disse bli bestilte par (2, 6), (6, 10), (10, 14), og for relasjoner "delt" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Det kan bemerkes at settet med par som definerer relasjonene "større enn med 4", "delelig", er delmengder av det kartesiske produktet

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Definisjon 1. En binær relasjon mellom elementer i en mengde X eller en relasjon på en mengde X er en hvilken som helst delmengde av det kartesiske produktet X ´ X.

Binære relasjoner er vanligvis angitt med store bokstaver i det latinske alfabetet: P, T, S, R, Q, osv. Så hvis P er en relasjon på mengden X, så P Ì X ´ X. Ofte annerledes Spesielle symboler, for eksempel =, >, ~, ½½, ^ osv. Settet med alle første elementer av par fra P kalles definisjonsdomenet til relasjonen P. Settet med verdier av relasjonen P er settet av alle andre elementer av par fra P.

For klarhetens skyld er binære relasjoner avbildet grafisk ved hjelp av en spesiell graftegning. Elementer i settet X er representert med prikker. Hvis (x, y) Î Р(хРу) holder, tegnes en pil fra punkt x til punkt y. En slik tegning kalles en relasjonsgraf P, og punktene som representerer elementene i settet X er toppunktene til grafen. piler som kanter på grafen.

Eksempel. La relasjonen P: "tallet x er en divisor av tallet y" gitt på settet

X = (5, 10, 20, 30, 40), vist i figur 25.

Piler i en graf hvis begynnelse og slutt er det samme punktet kalles løkker. Hvis du endrer retningen til alle pilene på relasjonsgrafen P til det motsatte, får du en ny relasjon, som kalles inversen for P. Den er betegnet P–1. Merk at xРу Û уР–1х.

Metoder for å spesifisere binære relasjoner.

Siden forholdet R mellom elementene i settet X er et sett hvis elementer er ordnede par, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett.

1. Oftest spesifiseres relasjonen R på mengden X ved å bruke den karakteristiske egenskapen til elementpar som er i relasjonen R. Denne egenskapen er formulert i form av en setning med to variabler.

For eksempel, blant relasjonene på settet X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), kan vi vurdere følgende: "tallet x er 2 ganger mindre enn tallet y", "tallet x er en divisor tall y", "tallet x er større enn tallet y" og andre.

2. Relasjonen R på settet X kan også defineres ved å liste opp alle par av elementer i mengden X relatert til relasjonen R.

For eksempel, hvis vi skriver ned et sett med par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), så på sett X = (1, 2, 3, 4) vil vi definere en relasjon R. Den samme relasjonen R kan også gis

3. ved hjelp av en graf (fig. 26).

Egenskaper til binære relasjoner.

Definisjon 2. En relasjon R på en mengde X kalles refleksiv hvis hvert element fra mengden X er i denne relasjonen med seg selv.

Kort sagt: R er refleksiv på X Û xRx for enhver x О X.

eller, hva er det samme: ved hvert toppunkt av relasjonsgrafen er det en løkke. Det motsatte er også sant: hvis ikke hvert toppunkt i en relasjonsgraf har en løkke, så er det en refleksiv relasjon.

Eksempel. Refleksive relasjoner: "å være lik på settet av alle trekanter på planet", "? og £ på settet med alle reelle tall."

Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen refleksivitet (gi et eksempel "x er større enn y")

Definisjon 3. En binær relasjon R på en mengde X kalles antirefleksiv på X hvis for hver x fra X (x, x) Ï R, dvs. for hver x av X er betingelsen xRx ikke oppfylt.

Hvis en relasjon R er anti-refleksiv, har ingen toppunkt på grafen en løkke. Omvendt: hvis ingen toppunkt i grafen har en løkke, representerer grafen en anti-refleksiv relasjon.

Eksempler på antirefleksive forhold: «å være eldre», «å være mindre», «å være datter» osv.

Definisjon 4. En relasjon R på en mengde X kalles symmetrisk hvis, for noen elementer x, Î X betingelsen er oppfylt: hvis x og y er i en relasjon R, er y og x også i denne relasjonen.

Kort sagt: R er symmetrisk på X Û xRу Û yRx.

En symmetrisk relasjonsgraf har egenskapen: hvis det er en pil som forbinder et par elementer, så er det nødvendigvis en andre som forbinder de samme elementene, men går i motsatt retning. Det motsatte er også sant.

Eksempler på symmetriske relasjoner er relasjonene: "å være gjensidig vinkelrett på settet av alle rette linjer i planet", "å være likt på settet av alle rektangler i planet".

Definisjon 5. Hvis det for ingen elementer x og y fra mengden X kan skje at både xRy og yRx forekommer samtidig, så kalles relasjonen R på mengden X asymmetrisk.

Et eksempel på en asymmetrisk relasjon: "å være far" (hvis x er far til y, så kan ikke y være far til x).

Definisjon 6. En relasjon R på en mengde X kalles antisymmetrisk hvis for ulike elementer x, y О X Fra det faktum at element x er i relasjon R med element y, følger det at element y ikke er i relasjon R med element x.

Kort sagt: R er antisymmetrisk på X Û xRу og x? y? .

For eksempel er forholdet "mindre enn" på settet med heltall antisymmetrisk.

En antisymmetrisk relasjonsgraf har en spesiell funksjon: hvis to toppunkter på grafen er forbundet med en pil, er det bare én pil. Det motsatte utsagnet er også sant.

Merk at det er relasjoner som verken har egenskapen til symmetri eller egenskapen til antisymmetri.

Definisjon 7. En relasjon R på en mengde X kalles transitiv hvis for noen elementer x, y, z О X følgende betingelse er oppfylt: hvis x er i relasjonen R med y og y er i relasjonen R med z, så er elementet x er i relasjonen R med elementet z.

Kort sagt: R er transitiv på X Û xRу og уRz? xRz.

For eksempel er relasjonen "linje x er parallell med linje y," definert på settet med linjer i et plan, transitiv.

Den transitive relasjonsgrafen har den særegenheten at for hvert par med piler som går fra x til y og fra y til z, inneholder den også en pil som går fra x til z. Det motsatte er også sant.

Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen transitivitet. For eksempel er forholdet "å stå ved siden av hverandre på en hylle" ikke transitivt.

Alle generelle egenskaper relasjoner kan deles inn i tre grupper:

refleksivitet (hvert forhold er refleksivt eller antirefleksivt),

symmetri (forholdet er alltid enten symmetrisk, asymmetrisk eller antisymmetrisk),

transitivitet (hver relasjon er transitiv eller ikke-transitiv). Relasjoner som har et visst sett med egenskaper får spesielle navn.

Den nære forbindelsen mellom elementer i et system bestemmes av de fysiske, eller rettere sagt, naturlige relasjonene mellom dem, eller andre grunnleggende egenskaper ved systemet, for eksempel økonomiske, sosiale, som karakteriserer utviklingen av det menneskelige samfunn.

Dybden av slike forbindelser avhenger av nivået på systemet i hierarkiet av systemer knyttet til eksistensområdet til det komplekse objektet som studeres. Forbindelser inkluderer både generelle relasjoner mellom elementene i naturen og samfunnet som utgjør systemet, og private knyttet til et visst begrenset spekter av dets elementer. I forbindelse med ovenstående kalles disse forbindelsene enten generelle lover natur (fundamental) eller privat, knyttet til et begrenset sett med fenomener (empiriske lover) eller til trender som manifesterer seg i form av noen repetisjoner i massefenomener og kalles regelmessigheter.

Grunnleggende sammenhenger kalles lover. Lov er en filosofisk kategori som har egenskapene til universalitet i forhold til alle naturlige objekter, fenomener og hendelser. I denne forbindelse er definisjonen av loven som følger: en lov er et viktig, stabilt, repeterende forhold mellom ethvert fenomen.

Loven uttrykker en viss sammenheng mellom systemene i seg selv, de konstituerende elementene i assosiasjoner av objekter og fenomener, samt innenfor objektene og fenomenene i seg selv.

Ikke enhver forbindelse er lov. Det kan være nødvendig og tilfeldig, Loven er en nødvendig forbindelse. Det uttrykker den essensielle forbindelsen mellom ting som sameksisterer i rommet (materielle formasjoner, i generell forstand).

Alt nevnt ovenfor gjelder lover om funksjon(eksistens naturlige omgivelser eller kunstig skapt av mennesker). Det er også utviklingslover, som uttrykker trenden, retningen eller rekkefølgen av hendelser i tid. Alle naturlover er ikke laget av mennesker, de eksisterer i verden objektivt og uttrykker tingenes forhold, og reflekteres også i menneskets bevissthet.

Som allerede nevnt er lover delt inn etter graden av generalitet. Universelle lover er filosofiske lover. De grunnleggende naturlovene, i sin alminnelighet, er også delt inn i to store klasser. Til mer generelle, studert av en rekke, eller til og med et absolutt utvalg av vitenskaper (disse inkluderer for eksempel lovene om bevaring av energi og informasjon, etc.). Og mindre generelle lover, som strekker seg til begrensede områder studert av spesifikke vitenskaper (fysikk, kjemi, biologi).

Empiriske lover studeres av spesielle vitenskaper, som inkluderer alle tekniske vitenskaper. Som et eksempel kan vi ta disiplinen til materialers styrke. Den studerer objekter og systemer der alle de grunnleggende lovene og empiriske lover fungerer, basert på eksperimentelle data, som kun relaterer til fagene i disiplinen de mekaniske legemer som adlyder Hookes lov: deformasjonen av en kropp er direkte proporsjonal med kraften som virker på kroppen (og omvendt).

I de tekniske vitenskapene er det seksjoner som er basert på mer spesifikke empiriske sammenhenger akseptert som aksiomer.

Noen lover uttrykker en streng kvantitativ avhengighet og er fikset av matematiske formler, mens andre ennå ikke kan formaliseres, noe som indikerer den obligatoriske karakteren til en type hendelse på grunn av forekomsten av en annen, for eksempel.

Noen lover - fast bestemt, det vil si at de etablerer presise kvantitative sammenhenger basert på årsak-virkningsforhold, andre - statistisk, som fastslår sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe under visse forhold.

I naturen fungerer lover som en spontan kraft. Men med kjennskap til lovene kan de brukes målrettet i praktiske aktiviteter (som kraften til damptrykket i dampmotorer, som kraften til komprimert gass i forbrenningsmotorer).

Sosialhistoriske lover er ikke mye forskjellig fra naturlovene, men de opererer mellom tenkende mennesker. Kunnskap om disse lovene hjelper bedre organiseringøkonomi og samfunn.

Dermed er studiet av naturens og samfunnets lover menneskehetens primære oppgave. Kun kunnskap om lovene og utvikling av tiltak for riktig bruk kan gi den utviklende og voksende menneskeheten mat og miljøet av kunstig skapte forhold der den kan eksistere.

Hastigheten på å løse nye problemer som oppstår avhenger av hvor mye reserve vitenskapelig kunnskap folk spart opp til dette øyeblikket og hvordan den ble behandlet og forstått. Forståelse av vitenskapelig kunnskap fører til formuleringen vitenskapelig problem, hvis løsning kan føre til fullføring av teorien om dette spekteret av spørsmål og bruk av strengere konklusjoner i praktiske spørsmål. Vitenskapelig problem- ikke bare en filosofisk kategori i den beskrevne forstand, men også en praktisk, som både teoretisk vitenskap og dens praktiske implementering i folks liv er avhengig av.

Fra denne forklarende delen av betydningen av et vitenskapelig problem for fullstendigheten av en teori, følger også dens definisjon: et vitenskapelig problem er en motstridende situasjon som opptrer i form av motsatte posisjoner i forklaringen av ethvert fenomen, objekt, prosess og krav. en tilstrekkelig enkelt teori for å løse det.

En viktig forutsetning for en vellykket løsning er korrekt formulering. Å se motsetninger i den empiriske kunnskapen som er oppnådd, å ta hensyn til dem og å reise spørsmålet om å eliminere denne motsetningen betyr å begynne å løse et vitenskapelig problem og fremme vitenskapen mot fremskritt. Det er ikke uten grunn at i vitenskapen blir mennesker som er i stand til å formulere problemer aktet enda mer enn forskere som spesifikt har løst det formulerte problemet. Formulering av feil problemer fører til stor stagnasjon i vitenskapen.

Kategorien «vitenskapelig problem» er direkte relatert til kategorien "hypotese". Hypoteser brukes først og fremst til å teoretisk eliminere motsetningene i et vitenskapelig problem. Slike hypoteser (antakelser), hvis de lykkes, blir til og med grunnleggende teorier (Newtons antagelse om tiltrekningskraften mellom to fysiske kropper).

Hypoteser brukes også i tekniske vitenskaper, hvor de er av en spesiell karakter og representerer en beskrivelse av metoden for samhandling av faktorer som bestemmer oppførselen til objektet som studeres og dets elementer. I dette tilfellet kalles hypotesen en arbeidshypotese, som, som i et vitenskapelig problem, kan bevises eller forkastes på grunnlag av eksperimentelle data.

Derfor er en hypotese en antagelse om et sannsynlig (mulig) endringsmønster i et fenomen, objekt, hendelse som ikke er bevist, men virker sannsynlig.

Nytten av hypotesen er at den mobiliserer forskere til å formulere problemer eksperimentelt arbeid for å bevise riktigheten av den oppgitte hypotesen. Og hvis et annet resultat oppnås, vil det akkumulerte materialet tillate oss å korrigere hypotesen og planlegge videre vitenskapelig forskningsarbeid.

I en mer generell formulering består modellering som metode for vitenskapelig metodikk i overgangen fra uformelt meningsfulle ideer om objektet som studeres til bruk av matematiske modeller.

Teoretisk nivå modeller innhentet på grunnlag av aksiomer, regler for å utlede teoremer, regler for korrespondanse er ytterligere forbedret på grunnlag av hypotisk-deduktive bestemmelser med formulering av konsekvenser oppnådd ved å analysere hypotesene som er fremsatt. Det matematiske apparatet som brukes i dette tilfellet er bare et middel for å skaffe ny kunnskap og på ingen måte endelig mål metodisk analyse.

Sammenstillingen av en matematisk modell følges av bruken, hvis formål er å skaffe informasjon som manglet før den ble opprettet, dvs. den resulterende modellen må være heuristisk. Det er denne handlingen som gjør metodikken til en eksperimentell vitenskap som tillater verifisering av konklusjonene i praksis.

Modellen og dens egenskaper.

Formalisering av eksisterende kunnskap om systemet som studeres (av modellkompilatoren) skaper en modell for å oppnå de nødvendige egenskapene til systemet: konsistens; fullstendighet; uavhengighet av aksiomsystemet; innhold. Et godt eksempel oppfyllelsen av disse egenskapene er teoriene om ikke-euklidiske geometrier til Lobachevsky, Gauss, Bolyai på 1800-tallet. Italieneren Beltrami viste at det er virkelige kropper på overflaten som lovene til Lobachevsky-geometrien er oppfylt.

Ved begynnelsen av den teoretiske forståelsen av menneskelig kunnskap gikk utviklingen av teorier alltid fra spesielle tilfeller til det generelle. For tiden har metoder for modellering av objekter dukket opp basert på strukturering av en matematisk modell. Kjeden for utvikling av slik kunnskap går i omvendt rekkefølge. Først dukker det opp en aksiomatisk matematisk beskrivelse av hendelsen (objektet) som studeres, og på grunnlag av den formuleres en konseptuell modell – et paradigme. Sammen med dette endres også prinsippene for etterlevelse. naturlige prosesser og teoretiske opplegg (modeller). I stedet for et enkelt sammentreff av beregningsresultatene i henhold til modellen med eksperimentelle data fra eksperimenter, vurderer vi komparative egenskaper deres matematiske algoritmer for å oppnå resultater basert på andre (indirekte) parametere. Disse prinsippene inkluderer for eksempel prinsippene enkelhet og skjønnhet vitenskapelige teorier . Dessuten introduseres modellen i dette tilfellet med et nytt matematisk apparat sammen med tolkning, dvs. Utgangspunktet i den er en matematisk formalisme som er i stand til å forklare på matematikkspråket en viss essens som viser seg i erfaring. Det er dette trinnet som gjør empirisk verifisering vanskelig, siden ikke bare beskrivelsesligningen, men også dens tolkning må verifiseres av erfaring.

Det introduserte matematiske apparatet i dette tilfellet inneholder ikke-konstruktive elementer som i ettertid kan føre til misforhold mellom teori og erfaring. Det skal bemerkes at dette nettopp er spesifisiteten til moderne Vitenskapelig forskning. På den annen side truer denne egenskapen ved moderne vitenskapelig forskning muligheten for å forkaste det foreslåtte lovende apparatet. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig å ta opp denne siden av saken separat - eliminere avvik på grunnlag av eksperimentet (kvantefysikk og elektrodynamikk kan tjene som eksempel).

Gammelt system klassisk fysikktolkning vitenskapelige fakta Samtidig ble det til en trinnvis "skaping" av en omtrentlig matematisk formet teori om den virkelige prosessen til den opprinnelige modellen. Spørsmålet oppstår, hva som presser forskere til en slik handlingsalgoritme, dvs. Hva er trangene til denne måten å danne seg et teoretisk bilde på? Til dette gir vitenskapens metodikk et meget bestemt svar: sannhetens egenverdi; nyhetsverdi.

Alt det ovennevnte oppnås ved å bruke følgende forskningsprinsipper: a) forbud mot plagiering; b) tillateligheten av en kritisk revisjon av grunnlaget for vitenskapelig forskning; c) likhet for alle (inkludert genier) i møte med sannhet; d) forbud mot forfalskning og bedrageri

Et eksempel på dette er Einstein-Lorentz-forbindelsen. Den første, ifølge den da uoffisielle vurderingen, var mindre autoritativ på den tiden, men dens elementer i relativitetsteorien ble til en grunnleggende teori. .

Til tross for de mange arbeidene med matematisk modellering, har det dukket opp noen vanskeligheter i formuleringen eksakt konsept matematisk modellering. De (modeller) og innholdet deres er for mangfoldig. Generelt er det klart at det kreves noe mer av modellen enn en sammenligning med virkeligheten: Modellen må nødvendigvis gi informasjon om egenskapene til de simulerte objektene og fenomenene. Derfor bør en akseptabel definisjon av en modell være en som ikke inkluderer spesielle usikkerheter. For eksempel: modell av dette objektet et annet objekt kalles, som sammenlignes med originalen, modellert og visse egenskaper som reflekterer (lagrer) de valgte egenskapene til objektet på en gitt måte.

Modellen må vise alt kjent (noen ganger noen kjente egenskaper) om objektet og forutsi eller generere ny informasjon om det under eventuelle nye eksistensforhold. Hensikten med modellering er derfor funksjonen til representasjon (beskrivelse) når det gjelder en forklaring av fenomenene som modellen vurderer. Det er i dette tilfellet at modellen fungerer som en teori. Og til tross for dette er den skarpe motsetningen mellom de matematiske (formelle) og materielle sidene av modellen som helhet uholdbar. Tar vi i betraktning den spesifikke siden av dannelsen av modellen, kan vi oppsummere at matematikk fungerer som det viktigste middelet utvikle meningsfulle ideer om fenomenet som studeres gjennom hele studiet.

Tema 8. Relasjoner og korrespondanser

Konseptet med et binært forhold mellom elementer i et sett

I vanlig liv vi snakker hele tiden om forholdet mellom to objekter. For eksempel jobber x for ledelse, x er en far, x og y er venner - dette er relasjoner mellom mennesker. Tall flere tall m, et tall er delelig med y, tall og y når de er delt på 3 gir den samme resten - dette er relasjonene mellom tall.

Enhver matematisk teori omhandler et sett med noen objekter eller elementer. For å bygge en matematisk teori trenger du ikke bare selve elementene, men også relasjonene mellom dem. For tall gir begrepet sammenheng mening: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Alle disse relasjonene angår to objekter. Det er derfor de kalles binære relasjoner.

Når vi vurderer visse relasjoner, har vi alltid å gjøre med ordnede par dannet fra elementene i et gitt sett. For eksempel, for relasjonen "tallet x er 4 større enn tallet y", som anses på settet X = (2, 6, 10, 14), vil disse bli ordnet par (6,2), (10) , 6), (14, 10). De er en undergruppe av det kartesiske produktet X X .

Definisjon. En binær relasjon mellom elementer i et sett X eller en relasjon på et sett X er en hvilken som helst delmengde av det kartesiske produktet X X.

Binære relasjoner er vanligvis betegnet med store bokstaver i det latinske alfabetet: P, T, S, R, Q, etc. Så hvis P er en relasjon på en mengde X, så P X X. Settet med alle første elementer av par fra P kalles definisjonsdomenet til relasjonen P. Settet med verdier av relasjonen P er settet av alle andre elementer av par fra P.

I mange tilfeller er det praktisk å bruke grafisk bilde binær relasjon.

Elementer i settet X er representert med punkter, og piler forbinder de tilsvarende elementene slik at hvis (x,y)P(xPy) oppstår, så tegnes pilen fra punkter til punkter. Den resulterende tegningen kalles en relasjonsgraf P, og punktene som representerer elementene i settet X

toppunktene i grafen.

For eksempel er grafen for relasjonen P: "tall - deler av tall", definert på settet X = (5, 10, 20, 30,40), vist i fig. 54.

Piler i en graf hvis begynnelse og slutt er det samme punktet kalles løkker. Hvis på relasjonsgrafen P endre retningene til alle pilene til

motsatt, da vil en ny relasjon fås, som kalles invers for P. Den er betegnet P -1. Merk at xPy yP -1 x.

Metoder for å spesifisere binære relasjoner, deres egenskaper

Siden forholdet R mellom elementene i settet X er et sett hvis elementer er ordnede par, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett.

Oftest er relasjonen R på settet X spesifisert ved å bruke den karakteristiske egenskapen til par av elementer som er i relasjonen R. Denne egenskapen er formulert som en setning med to variabler. For eksempel, blant relasjonene på settet X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kan vi vurdere følgende: "tall er 2 ganger mindre enn tallet y", " tall er en divisor av tall", osv. .

En relasjon R på et sett X kan også defineres ved å liste alle par av elementer tatt fra settet X og relatert til relasjonen R.

For eksempel, hvis vi skriver ned et sett med par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

4), deretter på settet	X = (1, 2, 3, 4) vi vil sette noen
holdning
R = ((x, y)| x X, y	X, x< y} .

Den samme relasjonen R kan spesifiseres ved hjelp av en graf (fig.). La oss fremheve de viktigste egenskapene binære relasjoner.

Definisjon 1. En relasjon R på en mengde X kalles refleksiv hvis hvert element fra mengden X er i denne relasjonen med seg selv.

Kort fortalt kan denne definisjonen skrives som følger: R er refleksiv på X xRx for enhver x X.

Selvfølgelig, hvis en relasjon R på et sett X er refleksiv, så er det en løkke ved hvert toppunkt av relasjonsgrafen. Det motsatte utsagnet er også sant.

Eksempler på refleksive relasjoner er relasjonene: "å være lik på settet av alle trekanter i planet", "x ≤ y".

Legg merke til at det er relasjoner som ikke har egenskapen refleksivitet, for eksempel forholdet til perpendikularitet av linjer.

Definisjon 2. En relasjon R på en mengde X kalles symmetrisk hvis for noen elementer i X følgende betingelse er oppfylt: hvis x og y er i relasjon R, så er y også i denne relasjonen.

Kort sagt: R er symmetrisk på X xRy yRx.

En symmetrisk relasjonsgraf har egenskapen: hvis det er en pil som forbinder et par elementer, så er det nødvendigvis en andre som forbinder de samme elementene, men går i motsatt retning. Det motsatte er også sant.

Eksempler på symmetriske relasjoner er relasjonene: "å være gjensidig vinkelrett på settet av alle rette linjer i planet", "å være likt på settet av alle rektangler i planet".

Definisjon 3. Hvis det for ingen elementer og y fra mengden X kan skje at både xRy og yRx er tilstede samtidig, så kalles relasjonen R på mengden X asymmetrisk. Et eksempel på et asymmetrisk forhold: "å være far" (hvis ih - til en far, så kan du ikke være far).

Definisjon 4. Relasjonen R på mengden X kalles antisym-

For eksempel er forholdet "mindre enn" på settet med heltall antisymmetrisk.

En antisymmetrisk relasjonsgraf har en spesiell funksjon: hvis to toppunkter på grafen er forbundet med en pil, er det bare én pil. Det motsatte utsagnet er også sant. Egenskapen til asymmetri er en kombinasjon av egenskapen til antisymmetri og mangel på refleksivitet.

Definisjon 5. En relasjon R på en mengde X kalles transitiv hvis for noen elementer x, y, z X er følgende betingelse oppfylt: hvis x er i relasjonen R og y er i relasjonen R cz, så er elementet x i relasjonen R med elementet z.

Kort sagt: R er transitiv på X xRy og yRz xRz.

For eksempel er forholdet "en linje x er parallell med en linje," definert på settet med linjer i et plan, transitiv.

Den transitive relasjonsgrafen har en spesiell funksjon: med hvert par av piler som går fra x til ky og oty til z, inneholder den også en pil som går fra x til z. Det motsatte er også sant.

Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen transitivitet. For eksempel er forholdet "å stå ved siden av hverandre på en hylle" ikke transitivt.

Ekvivalensforhold

La X være et sett med mennesker. På dette settet definerer vi en binær relasjon R ved å bruke loven: aRb, hvis a og b ble født i samme år.

Det er lett å verifisere at relasjonen R har egenskapene refleksivitet, symmetri og transitivitet. Relasjonen R sies å være en ekvivalensrelasjon.

Definisjon 1. En binær relasjon R på en mengde X kalles en ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

La oss gå tilbake til relasjonen R, definert på et sett av mennesker ved loven: aRb, hvis a og b ble født i samme år.

Sammen med hver person a, vurder settet med personer K a som ble født i samme år sa. To sett K a og K b har heller ikke felles elementer, eller helt sammenfallende.

Settet med sett Ka representerer en oppdeling av settet av alle mennesker i klasser, siden det av konstruksjonen følger at to betingelser er oppfylt: hver person er inkludert i en klasse og hver person er inkludert i bare en klasse. Merk at hver klasse består av personer født samme år.

Dermed genererer ekvivalensrelasjonen R en partisjon av settet X i klasser (ekvivalensklasser). Det motsatte er også sant.

Teorem. Hver ekvivalensrelasjon på settet X tilsvarer en partisjon av settet X i klasser (ekvivalensklasser). Hver partisjon av sett tilsvarer en ekvivalensrelasjon på settet X.

Vi aksepterer dette teoremet uten bevis.

Det følger av teoremet at hver klasse oppnådd som et resultat av å dele et sett i klasser bestemmes av en hvilken som helst (en) av dens representanter, noe som gjør det mulig, i stedet for å studere alle elementene i et gitt sett, å studere bare helheten av individuelle representanter for hver klasse.

Ordreforhold

Vi bruker hele tiden ordrerelasjoner i Hverdagen. Definisjon 1. Hver antisymmetrisk og transitiv relasjon R på

noen mengder X kalles en ordensrelasjon.

Et sett X som en ordrerelasjon er spesifisert på, kalles bestilt.

La oss ta settet X = (2, 4, 10, 24). Den er ordnet etter relasjonen "x er større" (fig. 63).

La oss nå vurdere en annen relasjon av rekkefølgen "x deler

y" (fig. 64).

Resultatet av denne anmeldelsen kan virke merkelig. Relasjonene "x er større" og "x deler" ordner mengden X på forskjellige måter. X-større relasjonen lar deg sammenligne hvilke som helst to tall fra

sett X. Når det gjelder relasjonen «x deler», har den ikke en slik egenskap. Så paret med tall 10 og 24 er ikke knyttet til dette forholdet.

Definisjon 2. En ordensrelasjon R på et sett X kalles en lineær ordensrelasjon hvis den har følgende egenskap: for alle elementer u

settet X er enten xRy eller yRx.

Et sett X som er gitt en lineær ordensrelasjon kalles lineært ordnet.

Lineært ordnede sett har en rekke egenskaper. La a, b, c være elementer i mengden X som den lineære ordensrelasjonen R er spesifisert på. Hvis aRb og bRc, så sier vi at element b ligger mellom elementene a og .

Et lineært ordnet sett X kalles diskret hvis det mellom to av elementene bare ligger et begrenset sett med elementer.

Hvis for noen to ulike elementer lineært ordnet sett X er det et element av mengden som ligger mellom dem, da kalles mengden X tett.

Konseptet med korrespondanse mellom sett. Metoder for å spesifisere korrespondanser

La to sett X og Y gis. Hvis for hvert element x X er spesifisert til elementet Y som det matches med, så sies det å etableres en korrespondanse mellom settene X og Y.

Med andre ord, samsvaret mellom elementene i settene X og Y er en hvilken som helst delmengde G av det kartesiske produktet X og Y av disse settene: G X Y .

Siden et samsvar er et sett, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett: ved å liste opp alle parene (x, y), der

Når mengdene X og Y er endelige, kan samsvaret mellom elementene spesifiseres i en tabell der elementene i mengden X er skrevet i venstre kolonne, og elementene i mengden Y er skrevet i den øverste raden. Par av elementer som samsvarer med G vil være i skjæringspunktet mellom de tilsvarende kolonnene og radene.

Korrespondansen mellom to endelige sett kan også vises ved hjelp av en graf. Settene X og Y vises som ovaler, elementene i settene X og Y er angitt med prikker, og de tilsvarende elementene er forbundet med piler slik at hvis (x,y) G oppstår, så tegnes pilen fra punkter til poeng.

For eksempel, grafen vist i fig. 16, setter korrespondansen "Skriver x skrev verket."

Når mengdene og Y er numeriske, er det mulig å konstruere en korrespondansegraf av G på koordinatplanet.

Korrespondanse er det motsatte av den gitte. En-til-en korrespondanser

La R være korrespondansen "Tallet er fem ganger mindre enn tallet" mellom elementene i settene X = (1, 2, 4, 5, 6) og

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

Grafen for denne korrespondansen vil være som i fig. 23. Hvis du endrer retningen på pilene i denne grafen til

det motsatte, så får vi en graf (fig. 22) av den nye korrespondansen "Tallet y er fem ganger større enn tallet x", betraktet

mellom sett Y og X.

Denne korrespondansen kalles invers korrespondanse

korrespondanse til R, og er betegnet med R -1.
Definisjon. La	R - samsvar
elementer i settene X og Y. Samsvar R-1
elementer i settene Y og X kalles inversen av den gitte,
når (y, x) R -1 hvis og bare hvis (x,		y) R.
Korrespondansene R og R -1 kalles gjensidig invers.
Hvis settene X og Y er numeriske, så er grafen
korrespondanse R -1, inversen av korrespondanse R, består av
poeng, symmetriske punkter R-matchende grafikk
i forhold til halveringslinjen til den første og	tredje

koordinatvinkler.

La oss forestille oss en situasjon: i auditoriet er det en tilskuer på hvert sete og det er et sted for hver tilskuer. I dette tilfellet sier de at mellom settet

seter i auditoriet og mengden av tilskuere har etablert en en-til-en korrespondanse.

Definisjon. La to sett X og Y gis. Korrespondansen mellom elementene i sett X og Y, der hvert element i sett X tilsvarer et enkelt element i sett Y, og hvert element i sett Y tilsvarer bare ett element fra sett X, kalles en-til-en.

La oss se på eksempler på en-til-en-korrespondanser. Eksempel 1. På hver skole, hver klasse

tilsvarer et kult magasin. Denne korrespondansen er en-til-en.

Eksempel 2. Gitt trekant ABC (Fig. 25).A 1 C 1 midtlinje i trekanten. La X være settet med punkter på segmentet A 1 C 1, Y settet med punkter på AC.

Vi kobler et vilkårlig punkt x av segmentet A 1 C 1 til toppunktet B i trekanten med et rett linjestykke og

La oss fortsette den til den skjærer med AC på spiss. La oss matche punktene med punktet konstruert på denne måten. I dette tilfellet vil det etableres en en-til-en-korrespondanse mellom settene X og Y.

Definisjon. Settene X og Y kalles ekvivalente, eller like kraftige, hvis en en-til-en korrespondanse kan etableres mellom dem på en eller annen måte. Ekvivalensen av to sett er angitt som følger: X ~ Y.

Maktbegrepet er en generalisering av kvantitetsbegrepet. Dette er en utvidelse av begrepet kvantitet til uendelige mengder.

1. Matriserangering

3
5
2
4

2. Algebraisk komplement av et element

A 23 = 12
A 23 = -34
A 23 = 34
A 23 = -12

3. Produkt av matriser

- Ikke sant

4. Hvis alle elementene i en rad i en rektangulær matrise A med dimensjon n x m multipliseres med to, vil rangeringen av matrise A ...
vil øke med 2
Vil ikke endre seg
vil doble i størrelse

5. Riktig forhold

- Ikke sant

6. Determinantverdi

2
4
5
3

7. Gjensidig ordning rette linjer 4x - 2y - 6 = 0 og 8x - 4y - 2 = 0 på planet - rette linjer ...
parallell
krysse
vinkelrett
kamp

8. La x og y være løsninger til systemet

4
7
5
6

9. Blant likningene nedenfor, angi ellipsens likning

10. La den rette linjen være gitt ved normalligningen x sinα + y sinα – p = 0. Sann setning
Hvis OA er en perpendikulær, gjenopprettet fra origo til den rette linjen, så er α vinkelen som dannes av den perpendikulære OA med okseaksen
Hvis OA er en perpendikulær, gjenopprettet fra origo til linjen, så er α lengden av denne perpendikulæren
p - størrelsen på segmentet avskåret av en rett linje på Ox-aksen
α er helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til Ox-aksen

11. Gitt et lineært system

systemet har utallige løsninger
systemet har ingen løsninger
systemet har en unik løsning
ingenting kan sies om tilstedeværelsen av løsninger (systemet kan ha en løsning eller ikke)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Finn skalarproduktet av vektorer