En av matematikkens grener som elevene takler de største vanskelighetene med, er trigonometri. Det er ikke overraskende: for å mestre dette kunnskapsområdet fritt, trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangenter med formler, forenkle uttrykk og kunne bruke pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.

Opprinnelsen til trigonometri

Bekjentskap med denne vitenskapen bør begynne med å bestemme sinus, cosinus og tangens til en vinkel, men først må du finne ut hva trigonometri gjør generelt.

Historisk sett var rettvinklede trekanter hovedobjektet for forskning i denne grenen av matematisk vitenskap. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre forskjellige operasjoner som lar en bestemme verdiene til alle parametere til den aktuelle figuren på to sider og ett hjørne, eller på to vinkler og en side. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, i astronomi og til og med i kunst.

Første etappe

Opprinnelig snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende på eksemplet med rettvinklede trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide grensene for bruken av denne grenen av matematikk i hverdagen.

Studiet av trigonometri på skolen i dag begynner med rettvinklede trekanter, hvoretter kunnskapen som er oppnådd blir brukt av elever i fysikk og løsningen av abstrakte trigonometriske ligninger, arbeid med som begynner på videregående.

Sfærisk trigonometri

Senere, da vitenskapen nådde neste utviklingsnivå, begynte formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, der forskjellige regler gjelder, og summen av vinkler i en trekant alltid er mer enn 180 grader. Denne delen er ikke studert på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens i det minste fordi jordoverflaten, og overflaten til enhver annen planet, er konveks, noe som betyr at enhver overflatemarkering vil bli "buet" i tredimensjonal rom.

Ta globusen og strengen. Fest strengen til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom - den tok form av en bue. Sfærisk geometri, som brukes innen geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt, omhandler slike former.

Høyre trekant

Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes i dette tilfellet.

Det første trinnet er å forstå begrepene knyttet til en rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt en 90 graders vinkel. Det er den lengste. Vi husker at ifølge Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.

For eksempel, hvis de to sidene er henholdsvis 3 og 4 centimeter, er lengden på hypotenusen 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om det for rundt fire og et halvt tusen år siden.

De to gjenværende sidene, som danner en rett vinkel, kalles ben. I tillegg må det huskes at summen av vinklene i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er 180 grader.

Definisjon

Til slutt, med en solid forståelse av den geometriske basen, kan man vende seg til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.

Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte benet (det vil si siden motsatt ønsket vinkel) og hypotenusen. Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den lengste. Uansett hvor lang benet er, vil den være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet deres alltid vil være mindre enn én. Derfor, hvis du har en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1 i svaret på en oppgave, se etter en feil i beregninger eller resonnement. Dette svaret er definitivt feil.

Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Å dele sinus på cosinus vil gi samme resultat. Se: i samsvar med formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, deler vi deretter med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme sammenheng som i definisjonen av tangenten.

Cotangensen er henholdsvis forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele en på tangenten.

Så vi så på definisjonene av hva som er sinus, cosinus, tangens og cotangens, og vi kan gjøre formlene.

De enkleste formlene

I trigonometri kan du ikke klare deg uten formler - hvordan finner du sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Men det er nettopp dette som kreves når man skal løse problemer.

Den første formelen du trenger å vite når du begynner å lære trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus til en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men den sparer tid hvis du vil vite vinkelen, ikke siden.

Mange elever kan ikke huske den andre formelen, som også er veldig populær når det gjelder å løse skoleoppgaver: summen av en og kvadratet av tangenten til en vinkel er lik en delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er tross alt det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør den trigonometriske formelen helt ugjenkjennelig. Husk: Når du vet hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, transformasjonsreglene og noen få grunnleggende formler, kan du når som helst selv utlede de nødvendige mer komplekse formlene på et ark.

Formler for dobbel vinkel og argumentaddisjon

Ytterligere to formler du trenger å lære er relatert til verdiene av sinus og cosinus for summen og differansen av vinkler. De er vist i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.

Det er også formler knyttet til dobbeltvinkelargumenter. De er fullstendig avledet fra de forrige - som en treningsøkt, prøv å få dem selv, ta alfavinkelen lik betavinkelen.

Merk til slutt at dobbeltvinkelformlene kan transformeres for å senke graden av sinus, cosinus og tangent alfa.

Teoremer

De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangens, og derfor arealet av figuren, og størrelsen på hver side, etc.

Sinussetningen sier at ved å dele lengden på hver side av en trekant med verdien av den motsatte vinkelen, får vi samme tall. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, det vil si sirkelen som inneholder alle punktene i den gitte trekanten.

Cosinus-setningen generaliserer Pythagoras setning ved å projisere den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekk produktet deres, multiplisert med den doble cosinus til vinkelen ved siden av dem - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser Pythagorean-setningen seg å være et spesialtilfelle av cosinus-teoremet.

Uoppmerksomme feil

Selv når man vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre en feil på grunn av distraksjon eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss ta en titt på de mest populære.

For det første bør du ikke konvertere vanlige brøker til desimaler før det endelige resultatet er oppnådd – du kan la svaret være i form av en vanlig brøk, med mindre annet er angitt i betingelsen. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert trinn av oppgaven kan det dukke opp nye røtter, som ifølge forfatterens idé bør forkortes. I dette tilfellet vil du kaste bort tid på unødvendige matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten til tre eller to, fordi de finnes i problemer på hvert trinn. Det samme gjelder avrunding av «stygge» tall.

Merk videre at cosinussetningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras teoremet! Hvis du ved en feiltakelse glemmer å trekke fra det doble produktet av sidene, multiplisert med cosinus til vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men også demonstrere en fullstendig mangel på forståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.

For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus på 30 grader er lik cosinus på 60, ​​og omvendt. Det er lett å forvirre dem, som et resultat av at du uunngåelig vil få et feilaktig resultat.

applikasjon

Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å lære trigonometri, fordi de ikke forstår dens anvendte betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som du kan bruke til å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt, sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på overflaten eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form overalt, fra musikk til medisin.

Endelig

Så du er sinus, cosinus, tangens. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.

Hele poenget med trigonometri koker ned til det faktum at de ukjente parameterne til trekanten må beregnes ved å bruke de kjente parameterne. Det er seks av disse parameterne: lengden på de tre sidene og størrelsen på de tre vinklene. Hele forskjellen på oppgaver er at det gis ulike input.

Du vet nå hvordan du finner sinus, cosinus, tangens basert på de kjente lengdene på bena eller hypotenusen. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med et trigonometrisk problem å finne røttene til en vanlig ligning eller et ligningssystem. Og her vil vanlig skolematematikk hjelpe deg.

Bruksanvisning

En trekant sies å være rektangulær hvis en av vinklene er 90 grader. Den består av to ben og en hypotenuse. Hypotenusen er den største siden av denne trekanten. Den ligger mot en rett vinkel. Bena, henholdsvis, kalles dens mindre sider. De kan enten være like med hverandre eller ha forskjellige verdier. Likestilling av bena som du jobber med en rettvinklet trekant. Dens skjønnhet er at den kombinerer to former: en rettvinklet og en likebenet trekant. Hvis bena ikke er like, så er trekanten vilkårlig og til grunnloven: jo større vinkelen er, jo mer ruller den motsatte.

Det er flere måter å finne hypotenusen ved og ved vinkelen. Men før du bruker en av dem, bør du bestemme hva og vinkelen som er kjent. Hvis vinkelen og benet ved siden av den er gitt, er hypotenusen lettere å finne ved vinkelens cosinus. Cosinus til en spiss vinkel (cos a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Det følger at hypotenusen (c) vil være lik forholdet mellom det tilstøtende benet (b) og cosinus til vinkelen a (cos a). Det kan skrives slik: cos a = b / c => c = b / cos a.

Hvis en vinkel og et motsatt ben er gitt, bør arbeidet gjøres. Sinusen til en spiss vinkel (sin a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet (a) og hypotenusen (c). Her er prinsippet det samme som i forrige eksempel, bare i stedet for cosinusfunksjonen tas sinusen. sin a = a / c => c = a / sin a.

Du kan også bruke en trigonometrisk funksjon som f.eks. Men å finne verdien du leter etter vil være litt vanskeligere. Tangensen til en spiss vinkel (tg a) i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet (a) og det tilstøtende (b). Etter å ha funnet begge bena, bruk Pythagoras teorem (kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena) og den største vil bli funnet.

Merk

Når du arbeider med Pythagoras teorem, ikke glem at du har med en grad å gjøre. Etter å ha funnet summen av kvadratene til bena, for å få det endelige svaret, bør du trekke ut kvadratroten.

Kilder:

• hvordan finne benet og hypotenusen

Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt en vinkel på 90 grader. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.

Bruksanvisning

Med en kjent og spiss rektangulær vinkel, er størrelsen på hypotenusen forholdet mellom benet og / av denne vinkelen, hvis denne vinkelen er motsatt / ved siden av den:

h = Cl (eller C2)/sina;

h = C1 (eller C2) / cosα.

Eksempel: La ABC gis med hypotenusen AB og C. La vinkelen B være 60 grader, og vinkelen A 30 grader Lengden på benet BC er 8 cm Du trenger lengden på hypotenusen AB. For å gjøre dette kan du bruke en av metodene ovenfor:

AB = BC / cos60 = 8 cm.

AB = BC / sin30 = 8 cm.

Ordet " bein"Kommer fra de greske ordene" vinkelrett "eller" lodd "- dette forklarer hvorfor begge sider av den rettvinklede trekanten, som utgjør dens nitti-graders vinkel, ble navngitt på den måten. Finn lengden på noen av bein Det er ikke vanskelig hvis verdien av den tilstøtende vinkelen og noen av parametrene er kjent, siden i dette tilfellet vil verdiene til alle tre vinklene faktisk bli kjent.

Bruksanvisning

Hvis, i tillegg til verdien av den tilstøtende vinkelen (β), lengden av den andre bein a (b), deretter lengden bein a (a) kan defineres som kvotienten av delingen av lengden på det kjente bein og ved en kjent vinkel: a = b / tg (β). Dette følger av definisjonen av denne trigonometriske. Du kan klare deg uten tangenten ved å bruke teoremet. Det følger av det at lengden av den ønskede til sinusen til den motsatte vinkelen til forholdet mellom lengden til den kjente bein og til sinusen til en kjent vinkel. Motsatt til det søkte bein En skarp vinkel kan uttrykkes i form av den kjente vinkelen som 180 ° -90 ° -β = 90 ° -β, siden summen av alle vinklene til en trekant må være 180 °, og en av vinklene er 90 °. Derfor den nødvendige lengden bein a kan beregnes med formelen a = sin (90 ° -β) ∗ b / sin (β).

Hvis verdien av den tilstøtende vinkelen (β) og lengden på hypotenusen (c) er kjent, så er lengden bein a (a) kan beregnes som produktet av lengden på hypotenusen og cosinus av en kjent vinkel: a = c ∗ cos (β). Dette følger av definisjonen av cosinus som en trigonometrisk funksjon. Men du kan bruke, som i forrige trinn, teoremet for sinus, og deretter lengden på den ettersøkte bein a vil være lik produktet av sinusen mellom 90° og den kjente vinkelen med forholdet mellom lengden av hypotenusen og sinusen til den rette vinkelen. Og siden sinusen til 90 ° er lik én, kan den skrives som følger: a = sin (90 ° -β) ∗ c.

Praktiske beregninger kan for eksempel gjøres ved å bruke Windows-programvarekalkulatoren. For å starte den, kan du velge Kjør-elementet i hovedmenyen på Start-knappen, skrive inn calc-kommandoen og trykke på OK-knappen. Den enkleste versjonen av grensesnittet til dette programmet som åpnes som standard gir ikke trigonometriske funksjoner, så etter å ha startet det, klikk på "Vis"-delen i menyen og velg "Vitenskapelig" eller "Engineering" -linjen (avhengig av versjonen av operativsystemet som brukes).

Relaterte videoer

Ordet "katet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse betyr det en loddlinje, det vil si en vinkelrett på jordens overflate. I matematikk kalles ben sider som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt av dette hjørnet kalles hypotenusen. Begrepet "ben" brukes også innen arkitektur og sveiseteknologi.

Tegn en rettvinklet trekant ACB. Merk bena som a og b, og hypotenusen som c. Alle sider og vinkler i en rettvinklet trekant er definert mellom hverandre. Forholdet mellom benet, motsatt en av de spisse vinklene, og hypotenusen kalles sinusen til den gitte vinkelen. I denne trekanten sinCAB = a / c. Cosinus er forholdet til hypotenusen til det tilstøtende benet, dvs. cosCAB = b / c. Omvendte relasjoner kalles sekant og cosekant.

Sekanten til en gitt vinkel oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c / b. Det viser seg det inverse av cosinus, det vil si at det kan uttrykkes med formelen secCAB = 1 / cosSAB.
Kosekanten er lik kvotienten for å dele hypotenusen med motsatt ben, og dette er den resiproke av sinusen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB = 1 / sinCAB

Begge bena er forbundet med hverandre og cotangenten. I dette tilfellet vil tangenten være forholdet mellom side a og side b, det vil si det motsatte benet til det tilstøtende benet. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB = a / b. Følgelig vil den inverse relasjonen være cotangensen: ctgCAB = b / a.

Forholdet mellom dimensjonene til hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske Pythagoras. Folk bruker fortsatt teoremet, navnet hans. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratroten av forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b = √ (c2-a2).

Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom relasjonene du kjenner til. I følge teoremene for sinus og cosinus er benet lik produktet av hypotenusen og en av disse funksjonene. Du kan uttrykke det og eller cotangens. Leg a kan for eksempel bli funnet ved formelen a = b * tan CAB. På samme måte, avhengig av den angitte tangenten eller, bestemmes også det andre benet.

Begrepet "ben" brukes også i arkitektur. Den påføres den joniske hovedstaden og stuper gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet er dette begrepet en vinkelrett på en gitt linje.

I sveiseteknologien er det et "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her snakker vi om gapet mellom en av delene som skal sveises til kanten av sømmen som ligger på overflaten av den andre delen.

Relaterte videoer

Kilder:

• hva er ben og hypotenus i 2019

Hva som er sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel vil bidra til å forstå en rettvinklet trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette \ (AC \) siden); bena er de to gjenværende sidene \ (AB \) og \ (BC \) (de som er ved siden av den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen \ (BC \), så er bena \ ( AB \) er det tilstøtende benet, og benet \ (BC \) - motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel?

Sinus vinkel Er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet til hypotenusen.

I vår trekant:

\ [\ sin \ beta = \ dfrac (BC) (AC) \]

Cosinus av en vinkel Er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\ [\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) \]

Vinkeltangens Er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og det tilstøtende (nære) benet.

I vår trekant:

\ [tg \ beta = \ dfrac (BC) (AB) \]

Vinkel cotangens Er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (fjerne) benet.

I vår trekant:

\ [ctg \ beta = \ dfrac (AB) (BC) \]

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele i hva, må du tydelig innse det i tangent og cotangense bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus og kosinus... Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus → berøring → berøring → tilstøtende;

Kotangens → berør → berør → tilstøtende.

Først av alt er det nødvendig å huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forhold mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i en vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \ (\ beta \). Per definisjon, fra trekanten \ (ABC \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \ (\ beta \) og fra trekanten \ (AHI \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \)... Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du fant ut definisjonene, så fortsett og fiks dem!

For trekanten \ (ABC \) vist i figuren nedenfor finner vi \ (\ sin \ \ alfa, \ \ cos \ \ alfa, \ tg \ \ alfa, \ ctg \ \ alfa \).

\ (\ begynne (array) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0,8 \\\ cos \ \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0,6 \\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (array) \)

Vel, skjønte det? Prøv det selv: beregn det samme for vinkelen \ (\ beta \).

Svar: \ (\ sin \ \ beta = 0,6; \ \ cos \ \ beta = 0,8; \ tg \ \ beta = 0,75; \ ctg \ \ beta = \ dfrac (4) (3) \).

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik \ (1 \). En slik sirkel kalles enkelt... Det er veldig nyttig når du skal lære trigonometri. La oss derfor dvele ved det litt mer detaljert.

Som du kan se er denne sirkelen bygget i et kartesisk koordinatsystem. Radiusen til sirkelen er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \ (x \)-aksen (i vårt eksempel er dette radius \ (AB \)).

Hvert punkt i sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs \ (x \)-aksen og koordinaten langs \ (y \)-aksen. Og hva er disse tall-koordinatene? Og generelt, hva har de å gjøre med emnet som vurderes? For å gjøre dette, må du huske på den betraktede rettvinklede trekanten. På bildet over kan du se to hele rettvinklede trekanter. Tenk på trekanten \ (ACG \). Den er rektangulær siden \ (CG \) er vinkelrett på \ (x \)-aksen.

Hva er \ (\ cos \ \ alfa \) fra trekant \ (ACG \)? Greit \ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) \)... I tillegg vet vi at \ (AC \) er radiusen til enhetssirkelen, og derfor \ (AC = 1 \). Bytt denne verdien inn i cosinusformelen vår. Her er hva som skjer:

\ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

Hva er \ (\ sin \ \ alfa \) fra trekant \ (ACG \)? Selvfølgelig, \ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) \)! Bytt inn verdien av radiusen \ (AC \) i denne formelen og få:

\ (\ sin \ alfa = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

Så, kan du fortelle oss hva er koordinatene til punktet \ (C \) som tilhører sirkelen? Vel, ingen måte? Og hvis du finner ut at \ (\ cos \ \ alpha \) og \ (\ sin \ alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \ (\ cos \ alpha \)? Vel, selvfølgelig, \ (x \) koordinaten! Og hvilken koordinat tilsvarer \ (\ sin \ alfa \)? Det stemmer, koordinat \ (y \)! Så poenget \ (C (x; y) = C (\ cos \ alfa; \ sin \ alfa) \).

Og hva er da \ (tg \ alpha \) og \ (ctg \ alpha \)? Det stemmer, vi bruker de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og får det \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \), a \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

Hva om vinkelen er større? Her, for eksempel, som i denne figuren:

Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vend igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): vinkel (som ved siden av vinkel \ (\ beta \)). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ circ - \ beta \ \)? Det stemmer, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

\ (\ begynnelse (array) (l) \ sin \ vinkel ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y; \\\ cos \ vinkel ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x; \\ tg \ vinkel ((C) ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x); \\ ctg \ vinkel ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1) )) G) = \ dfrac (x) (y) \ end (matrise) \)

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \ (y \); verdien av cosinus til vinkelen - koordinat \ (x \); og verdiene til tangenten og cotangensen til de tilsvarende forholdstallene. Dermed gjelder disse relasjonene for alle rotasjoner av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \ (x \)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva om vi roterte den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, en vinkel av en viss størrelse vil også vise seg, men bare den vil være negativ. Dermed, når du roterer radiusvektoren mot klokken, får du positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at hele revolusjonen til radiusvektoren i en sirkel er \ (360 () ^ \ circ \) eller \ (2 \ pi \). Er det mulig å rotere radiusvektoren med \ (390 () ^ \ circ \) eller \ (- 1140 () ^ \ circ \)? Selvfølgelig kan du! I det første tilfellet, \ (390 () ^ \ circ = 360 () ^ \ circ +30 () ^ \ circ \) dermed vil radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjonen \ (30 () ^ \ circ \) eller \ (\ dfrac (\ pi) (6) \).

I det andre tilfellet, \ (- 1140 () ^ \ circ = -360 () ^ \ circ \ cdot 3-60 () ^ \ circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele svinger og stoppe ved posisjonen \ (- 60 () ^ \ circ \) eller \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \).

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med \ (360 () ^ \ circ \ cdot m \) eller \ (2 \ pi \ cdot m \) (hvor \ (m \) er et heltall ) tilsvarer til samme posisjon til radiusvektoren.

Figuren nedenfor viser vinkelen \ (\ beta = -60 () ^ \ circ \). Det samme bildet tilsvarer hjørnet \ (- 420 () ^ \ circ, -780 () ^ \ circ, \ 300 () ^ \ circ, 660 () ^ \ circ \) etc. Listen fortsetter og fortsetter. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \ (\ beta +360 () ^ \ circ \ cdot m \) eller \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (der \ (m \) er et heltall)

\ (\ begynnelse (matrise) (l) -420 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-1); \\ - 780 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-2); \\ 300 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 1; \\ 660 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 2. \ end (array) \)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er lik:

\ (\ begynne (array) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 90 () ^ \ circ =? \\\ tekst (tg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ tekst (ctg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi =? \\\ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi =? \\\ tekst (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ tekst (tg) \ \ pi =? \\\ tekst (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ tekst (ctg) \ \ pi =? \\\ sin \ 270 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 270 () ^ \ circ =? \\\ tekst (tg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ tekst (ctg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 360 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 360 () ^ \ circ =? \\\ tekst (tg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ tekst (ctg) \ 360 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 450 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 450 () ^ \ circ =? \\\ tekst (tg) \ 450 () ^ \ circ =? \\\ tekst (ctg) \ 450 () ^ \ circ =? \ end (array) \)

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

\ (\ begynne (array) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) ) (y). \ end (matrise) \)

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse mål på vinkelen. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \ (90 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (2) \) samsvarer med punktet med koordinatene \ (\ venstre (0; 1 \ høyre) \), derfor:

\ (\ sin 90 () ^ \ circ = y = 1 \);

\ (\ cos 90 () ^ \ circ = x = 0 \);

\ (\ tekst (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Høyrepil \ tekst (tg) \ 90 () ^ \ circ \)- eksisterer ikke;

\ (\ tekst (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \ (180 () ^ \ circ, \ 270 () ^ \ circ, \ 360 () ^ \ circ, \ 450 () ^ \ circ (= 360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ) \ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \ (\ venstre (-1; 0 \ høyre), \ tekst () \ venstre (0; -1 \ høyre), \ tekst () \ venstre (1; 0 \ høyre), \ tekst () \ venstre (0 ; 1 \ høyre) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til de trigonometriske funksjonene på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

\ (\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\ (\ displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\ (\ tekst (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ tekst (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ tekst (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ tekst (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Høyrepil \ tekst (ctg) \ \ pi \)- eksisterer ikke

\ (\ sin \ 270 () ^ \ circ = -1 \)

\ (\ cos \ 270 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ tekst (tg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (-1) (0) \ Høyrepil \ tekst (tg) \ 270 () ^ \ circ \)- eksisterer ikke

\ (\ tekst (ctg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ sin \ 360 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ tekst (tg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ tekst (ctg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Høyrepil \ tekst (ctg) \ 2 \ pi \)- eksisterer ikke

\ (\ sin \ 450 () ^ \ circ = \ sin \ \ venstre (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ høyre) = \ sin \ 90 () ^ \ circ = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circ = \ cos \ \ venstre (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ høyre) = \ cos \ 90 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ tekst (tg) \ 450 () ^ \ circ = \ tekst (tg) \ \ venstre (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ høyre) = \ tekst (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Høyrepil \ tekst (tg) \ 450 () ^ \ circ \)- eksisterer ikke

\ (\ tekst (ctg) \ 450 () ^ \ circ = \ tekst (ctg) \ venstre (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ høyre) = \ tekst (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse betydningene. Det er nok å huske korrespondansen til koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

\ (\ venstre. \ begynne (array) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y). \ end (array) \ right \) \ \ tekst (Må huske eller kunne sende ut !! \) !}

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinklene ved og \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4) \) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:

Ikke vær redd, nå vil vi vise et av eksemplene på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre målene for vinkelen ( \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4), \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi ) (3) \)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \ (30 () ^ \ circ \). Når du kjenner disse \ (4 \) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen som helhet - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

\ (\ begynne (array) (l) \ sin 30 () ^ \ circ = \ cos \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (2) \ \ \\\ sin 45 () ^ \ circ = \ cos \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \\\ sin 60 () ^ \ circ = \ cos \ 30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (3) )) (2) \ \ end (matrise) \)

\ (\ tekst (tg) \ 30 () ^ \ circ \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \) Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for \ (\ tekst (tg) \ 45 () ^ \ circ, \ text (tg) \ 60 () ^ \ circ \)... Telleren "\ (1 \)" vil samsvare med \ (\ tekst (tg) \ 45 () ^ \ circ \ \), og nevneren "\ (\ sqrt (\ tekst (3)) \)" vil samsvare med \ (\ tekst (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \). Kotangensverdiene overføres i henhold til pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med piler, vil det være nok å huske bare \ (4 \) verdier fra tabellen.

Punktkoordinater på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne til koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. For eksempel har vi en slik sirkel foran oss:

Vi får det poenget \ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) = K (3; 2) \) er sentrum av sirkelen. Radiusen til sirkelen er \ (1,5 \). Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \ (P \) oppnådd ved å vri punktet \ (O \) med \ (\ delta \) grader.

Som du kan se av figuren, tilsvarer koordinaten \ (x \) til punktet \ (P \) lengden på segmentet \ (TP = UQ = UK + KQ \). Lengden på segmentet \ (UK \) tilsvarer koordinaten \ (x \) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \ (3 \). Lengden på segmentet \ (KQ \) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

\ (\ cos \ \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ Høyrepil KQ = r \ cdot \ cos \ \ delta \).

Så har vi det for punktet \ (P \) koordinaten \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 3 + 1,5 \ cdot \ cos \ \ delta \).

Ved å bruke samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \ (P \). Og dermed,

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1,5 \ cdot \ sin \ delta \).

Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:

\ (\ begynne (matrise) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta \ end (matrise) \), hvor

\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \) - koordinater for sentrum av sirkelen,

\ (r \) - radius av sirkelen,

\ (\ delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null, og radius er lik en:

\ (\ begynne (array) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ \ delta = \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ \ delta = \ sin \ \ delta \ end (array) \)

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å gjøre beregninger, må du aktivere ActiveX-kontroller!

I denne artikkelen vil vi vise deg hvordan definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av vinkel og tall i trigonometri... Her skal vi snakke om betegnelser, gi eksempler på oppføringer og gi grafiske illustrasjoner. Avslutningsvis, la oss trekke en parallell mellom definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens i trigonometri og geometri.

Sidenavigering.

Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens

La oss følge hvordan ideen om sinus, cosinus, tangens og cotangens dannes i skolematematikkkurset. I geometritimer er definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gitt. Og senere studeres trigonometri, som snakker om sinus, cosinus, tangent og cotangens til rotasjonsvinkelen og tallet. Vi vil gi alle disse definisjonene, gi eksempler og gi de nødvendige kommentarene.

Spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er kjent fra geometrikurset. De er gitt som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gi deres formuleringer.

Definisjon.

Sinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant Er forholdet mellom motsatt ben og hypotenusen.

Definisjon.

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant Er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Definisjon.

Akutt tangent i en rettvinklet trekant– Dette er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende.

Definisjon.

Akutt cotangens i en rettvinklet trekant Er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte.

Betegnelsene for sinus, cosinus, tangens og cotangens er også introdusert der - henholdsvis sin, cos, tg og ctg.

For eksempel, hvis ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C, så er sinusen til en spiss vinkel A lik forholdet mellom det motsatte benet BC og hypotenusen AB, det vil si sin∠A = BC / AB .

Disse definisjonene lar deg beregne verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel fra de kjente lengdene på sidene til en rettvinklet trekant, så vel som fra de kjente verdiene til sinusen, cosinus, tangent, cotangens og lengde på en av sidene for å finne lengdene på de andre sidene. For eksempel, hvis vi visste at i en rettvinklet trekant er benet AC 3, og hypotenusen AB er 7, så kunne vi beregne verdien av cosinus til en spiss vinkel A per definisjon: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Svingvinkel

I trigonometri begynner de å se på vinkelen bredere - de introduserer konseptet med rotasjonsvinkelen. Verdien av rotasjonsvinkelen, i motsetning til den spisse vinkelen, er ikke begrenset av rammene fra 0 til 90 grader, rotasjonsvinkelen i grader (og i radianer) kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra −∞ til + ∞.

I dette lyset er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens ikke lenger en spiss vinkel, men en vinkel av vilkårlig størrelse - rotasjonsvinkelen. De er gitt gjennom x- og y-koordinatene til punktet A 1, som det såkalte startpunktet A (1, 0) går inn i etter at det er rotert med en vinkel α rundt punktet O - opprinnelsen til den rektangulære kartesiske koordinaten systemet og midten av enhetssirkelen.

Definisjon.

Sinus av rotasjonsvinkelα er ordinaten til punkt A 1, det vil si sinα = y.

Definisjon.

Kosinus til rotasjonsvinkelenα kalles abscissen til punkt A 1, det vil si cos α = x.

Definisjon.

Rotasjonstangensα er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 og abscissen, det vil si tgα = y / x.

Definisjon.

Rotasjonsvinkel kotangensα er forholdet mellom abscissen til punkt A 1 og ordinaten, det vil si ctgα = x / y.

Sinus og cosinus er definert for enhver vinkel α, siden vi alltid kan bestemme abscissen og ordinaten til et punkt, som oppnås ved å rotere startpunktet med en vinkel α. Og tangent og cotangens er ikke definert for hver vinkel. Tangenten er ikke definert for slike vinkler α, hvor startpunktet går til et punkt med null abscisse (0, 1) eller (0, −1), og dette skjer ved vinklene 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). Faktisk, ved slike rotasjonsvinkler, gir uttrykket tanα = y / x ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Når det gjelder cotangens, er den ikke definert for slike vinkler α der startpunktet går til et punkt med nullordinat (1, 0) eller (−1, 0), og dette er tilfellet for vinkler 180 ° k, k ∈Z (π k er rad).

Så, sinus og cosinus er definert for alle rotasjonsvinkler, tangenten er definert for alle vinkler unntatt 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), og cotangensen er for alle vinkler unntatt 180 ° K, k∈Z (π k rad).

Notasjonene sin, cos, tg og ctg som allerede er kjent for oss, vises i definisjonene, de brukes også for å betegne sinus, cosinus, tangens og cotangens til rotasjonsvinkelen (noen ganger kan du finne betegnelsene tan og cot, tilsvarende tangens og cotangens). Så sinusen til rotasjonsvinkelen på 30 grader kan skrives som sin30 °, oppføringene tg (−24 ° 17 ′) og ctgα tilsvarer tangenten til rotasjonsvinkelen −24 grader 17 minutter og cotangensen til rotasjonsvinkelen α . Husk at når du registrerer radianmålet for en vinkel, blir betegnelsen "rad" ofte utelatt. For eksempel er cosinus til en rotasjonsvinkel på tre pi rad vanligvis betegnet cos3 · π.

Som avslutning på dette punktet er det verdt å merke seg at i en samtale om sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen, er uttrykket "rotasjonsvinkel" eller ordet "rotasjon" ofte utelatt. Det vil si at i stedet for uttrykket "sinus til rotasjonsvinkelen alfa", brukes vanligvis uttrykket "sinus til alfavinkelen" eller, enda kortere, "sinus til alfa". Det samme gjelder cosinus, tangens og cotangens.

La oss også si at definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant stemmer overens med definisjonene som nettopp er gitt av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en rotasjonsvinkel mellom 0 og 90 grader. Vi vil begrunne dette.

Tallene

Definisjon.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall lik sinus, cosinus, tangens og cotangens til henholdsvis rotasjonsvinkelen i t radianer.

For eksempel er cosinus til 8 · π per definisjon et tall som er lik cosinus til en vinkel på 8 · π rad. Og cosinus til vinkelen i 8 π er rad er lik én, derfor er cosinus til tallet 8 π 1.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. Den består i det faktum at hvert reelt tall t er assosiert med et punkt i enhetssirkelen sentrert ved opprinnelsen til et rektangulært koordinatsystem, og sinus, cosinus, tangent og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet. La oss dvele ved dette mer detaljert.

La oss vise hvordan samsvaret etableres mellom reelle tall og punkter i en sirkel:

• tallet 0 er assosiert med startpunktet A (1, 0);
• et positivt tall t er knyttet til punktet til enhetssirkelen, som vi vil komme inn i, hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning mot klokken og reiser en bane med lengde t;
• et negativt tall t er assosiert med punktet til enhetssirkelen, som vi vil komme inn i, hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning med klokken og reiser en lengdebane | t | ...

Nå går vi til definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av tallet t. Anta at tallet t tilsvarer punktet i sirkelen A 1 (x, y) (for eksempel tallet π / 2; tilsvarer punktet A 1 (0, 1)).

Definisjon.

Sinusen til et tall t kalles ordinaten til punktet til enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si sint = y.

Definisjon.

Cosinusnummer t kalles abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si kostnad = x.

Definisjon.

Tangensen til tallet t er forholdet mellom ordinaten og abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si tgt = y / x. I en annen ekvivalent formulering er tangenten til tallet t forholdet mellom sinusen til dette tallet og cosinus, det vil si tgt = sint / kostnad.

Definisjon.

Kotangensnummer t er forholdet mellom abscissen og ordinaten til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si ctgt = x / y. En annen formulering er som følger: tangenten til tallet t er forholdet mellom cosinus til tallet t og sinus til tallet t: ctgt = kostnad / sint.

Merk her at definisjonene som nettopp er gitt, stemmer overens med definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Faktisk faller punktet til enhetssirkelen som tilsvarer tallet t sammen med punktet oppnådd ved å rotere startpunktet med en vinkel på t radianer.

Det er også verdt å presisere dette punktet. La oss si at vi har synd3. Hvordan forstå om det er sinus til tallet 3 eller sinus til rotasjonsvinkelen til 3 radianer vi snakker om? Dette er vanligvis klart av konteksten, ellers er det mest sannsynlig irrelevant.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

I henhold til definisjonene gitt i forrige avsnitt, tilsvarer hver rotasjonsvinkel α en veldefinert verdi av sinα, så vel som verdien av cosα. I tillegg tilsvarer alle andre rotasjonsvinkler enn 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) verdiene til tanα, og andre verdier enn 180 ° k, k∈Z (π k rad ) Er verdiene til ctgα. Derfor er sinα, cosα, tgα og ctgα funksjoner av vinkelen α. Med andre ord er de funksjoner av vinkelargumentet.

På samme måte kan vi snakke om funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens til et numerisk argument. Faktisk har hvert reelle tall t en veldefinert verdi sint, som kostnad. I tillegg tilsvarer tgt-verdier alle andre tall enn π / 2 + π k, k∈Z, og ctgt-verdier tilsvarer tallene π k, k∈Z.

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Det er vanligvis klart av konteksten om vi har å gjøre med trigonometriske funksjoner til et vinkelargument eller et numerisk argument. Ellers kan vi betrakte den uavhengige variabelen som både et mål på en vinkel (vinkelargument) og et numerisk argument.

Skolen studerer imidlertid hovedsakelig numeriske funksjoner, det vil si funksjoner hvis argumenter, som de tilsvarende funksjonsverdiene, er tall. Derfor, hvis vi snakker spesifikt om funksjoner, er det tilrådelig å vurdere trigonometriske funksjoner som funksjoner av numeriske argumenter.

Koble definisjoner fra geometri og trigonometri

Hvis vi vurderer rotasjonsvinkelen α i området fra 0 til 90 grader, er dataene i sammenheng med trigonometri for å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til rotasjonsvinkelen helt enig med definisjonene av sinus, cosinus, tangent og cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, som er gitt i geometrikurset. La oss begrunne dette.

La oss representere enhetssirkelen i det rektangulære kartesiske koordinatsystemet Oxy. La oss markere startpunktet A (1, 0). La oss rotere den gjennom en vinkel α som strekker seg fra 0 til 90 grader, vi får punktet A 1 (x, y). La oss slippe perpendikulæren A 1 H fra punkt A 1 på okseaksen.

Det er lett å se at i en rettvinklet trekant er vinkelen A 1 OH lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet OH ved siden av denne vinkelen er lik abscissen til punktet A 1, det vil si | OH | = x, lengden på benet motsatt av vinkelen til benet A 1 H er lik ordinaten til punktet A 1, det vil si | A 1 H | = y, og lengden på hypotenusen OA 1 er lik én, siden det er radiusen til enhetssirkelen. Da, per definisjon fra geometri, er sinusen til en spiss vinkel α i en rettvinklet trekant A 1 OH lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, det vil si sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Og per definisjon fra trigonometri er sinusen til rotasjonsvinkelen α lik ordinaten til punktet A 1, det vil si sin α = y. Av dette kan man se at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α ved α fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan det vises at definisjonene av cosinus, tangent og cotangens til den spisse vinkelen α stemmer overens med definisjonene av cosinus, tangent og cotangens av rotasjonsvinkelen α.

Bibliografi.

1. Geometri. 7-9 klassetrinn: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev og andre]. - 20. utg. M .: Utdanning, 2010 .-- 384 s .: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. A.V. Pogorelov Geometri: Lærebok. for 7-9 cl. allmennutdanning. institusjoner / A. V. Pogorelov. - 2. utg. - M .: Utdanning, 2001 .-- 224 s .: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra og elementære funksjoner: Lærebok for elever i 9. klasse på ungdomsskolen / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redigert av Doctor of Physical and Mathematical Sciences ON Golovin - 4. utg. Moskva: Utdanning, 1969.
4. Algebra: Lærebok. for 9 cl. onsdag skole / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Education, 1990.- 272 s .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra og begynnelsen av analysen: Lærebok. for 10-11 cl. allmennutdanning. institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M .: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. A. G. Mordkovich Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. Kl. 14.00 Del 1: lærebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. utgave, Add. - M .: Mnemozina, 2007 .-- 424 s .: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - I .: Education, 2010.- 368 s .: ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: Lærebok. for 10-11 cl. onsdag shk. - 3. utg. - M .: Utdanning, 1993 .-- 351 s .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (manual for søkere til tekniske skoler): Lærebok. manual - M .; Høyere. shk., 1984.-351 s., ill.

Trigonometri er en gren av matematikken som studerer trigonometriske funksjoner og deres bruk i geometri. Utviklingen av trigonometri begynte i antikkens Hellas. I løpet av middelalderen ga forskere fra Midtøsten og India et viktig bidrag til utviklingen av denne vitenskapen.

Denne artikkelen er viet de grunnleggende konseptene og definisjonene av trigonometri. Den diskuterer definisjonene av de viktigste trigonometriske funksjonene: sinus, cosinus, tangens og cotangens. Betydningen deres er forklart og illustrert i sammenheng med geometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opprinnelig ble definisjonene av trigonometriske funksjoner, hvis argument er en vinkel, uttrykt i forhold til sidene i en rettvinklet trekant.

Definisjoner av trigonometriske funksjoner

Vinkelens sinus (sin α) er forholdet mellom benet som er motsatt av denne vinkelen og hypotenusen.

Vinkelens cosinus (cos α) er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangensen til vinkelen (t g α) er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende.

Vinkel cotangens (c t g α) - forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte.

Disse definisjonene er gitt for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant!

Her er en illustrasjon.

I trekant ABC med rett vinkel C er sinus til vinkel A lik forholdet mellom ben BC og hypotenus AB.

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens lar deg beregne verdiene til disse funksjonene fra de kjente lengdene på sidene i trekanten.

Viktig å huske!

Verdiområdet for sinus og cosinus: fra -1 til 1. Med andre ord tar sinus og cosinus verdier fra -1 til 1. Verdiområdet for tangenten og cotangensen er hele numeriske linje, det vil si at disse funksjonene kan ha alle verdier.

Definisjonene gitt ovenfor er for skarpe hjørner. I trigonometri introduseres konseptet med en rotasjonsvinkel, hvis verdi, i motsetning til en spiss vinkel, ikke er begrenset til en ramme fra 0 til 90 grader. Rotasjonsvinkelen i grader eller radianer uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra - ∞ til + ∞.

I denne sammenhengen er det mulig å gi en definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel av vilkårlig størrelse. Se for deg enhetssirkelen sentrert ved opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet.

Startpunktet A med koordinatene (1, 0) roterer rundt sentrum av enhetssirkelen med en vinkel α og går til punktet A 1. Definisjonen er gitt gjennom koordinatene til punktet A 1 (x, y).

Sinus (sin) av rotasjonsvinkelen

Sinusen til rotasjonsvinkelen α er ordinaten til punktet A 1 (x, y). sin α = y

Cosinus (cos) for rotasjonsvinkelen

Cosinus til rotasjonsvinkelen α er abscissen til punktet A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) av rotasjonsvinkelen

Tangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 (x, y) og abscissen. t g α = y x

Kotangens (ctg) av rotasjonsvinkelen

Kotangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom abscissen til punktet A 1 (x, y) og ordinaten. c t g α = x y

Sinus og cosinus er definert for enhver rotasjonsvinkel. Dette er logisk, fordi abscissen og ordinaten til et punkt etter vending kan bestemmes i enhver vinkel. Situasjonen er annerledes med tangent og cotangens. Tangenten er ikke definert når punktet etter vending går til punktet med null abscisse (0, 1) og (0, - 1). I slike tilfeller gir uttrykket for tangenten t g α = y x rett og slett ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Situasjonen er lik med cotangenten. Forskjellen er at cotangensen ikke er definert når ordinaten til et punkt forsvinner.

Viktig å huske!

Sinus og cosinus er definert for enhver vinkel α.

Tangenten er definert for alle vinkler unntatt α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangensen er definert for alle vinkler bortsett fra α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Når du løser praktiske eksempler, ikke si "sinus til rotasjonsvinkelen α". Ordene "dreievinkel" er ganske enkelt utelatt, noe som betyr at det er tydelig fra konteksten hva det handler om.

Tallene

Hva med definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall, og ikke rotasjonsvinkelen?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens av et tall

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t kalles et tall som er henholdsvis lik sinus, cosinus, tangens og cotangens i t radian.

For eksempel er sinusen til 10 π lik sinusen til rotasjonsvinkelen på 10 π rad.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. La oss vurdere det mer detaljert.

Ethvert reelt tall t et punkt på enhetssirkelen med et senter ved opprinnelsen til et rektangulært kartesisk koordinatsystem er tilordnet. Sinus, cosinus, tangens og cotangens er definert gjennom koordinatene til dette punktet.

Utgangspunktet på sirkelen er punkt A med koordinater (1, 0).

Positivt tall t

Negativt tall t tilsvarer punktet som startpunktet vil gå til hvis det beveger seg mot klokken langs sirkelen og krysser banen t.

Nå som forbindelsen mellom tallet og punktet på sirkelen er etablert, går vi videre til definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinusen (sin) til t

Sinus av tall t er ordinaten til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. sin t = y

Cosinus (cos) av tallet t

Cosinusnummer t er abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. cos t = x

Tangenten (tg) til tallet t

Tangent av nummer t- forholdet mellom ordinaten og abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. t g t = y x = sin t cos t

De sistnevnte definisjonene er i samsvar med og motsier ikke definisjonen gitt i begynnelsen av denne klausulen. Et punkt på en sirkel som tilsvarer et tall t, faller sammen med punktet som startpunktet går til etter rotasjon med en vinkel t radian.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

Hver verdi av vinkelen α tilsvarer en viss verdi av sinus og cosinus til denne vinkelen. I tillegg til alle vinkler α bortsett fra α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) tilsvarer en viss verdi av tangenten. Kotangensen, som nevnt ovenfor, er definert for alle α, bortsett fra α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Vi kan si at sin α, cos α, t g α, c t g α er funksjoner av vinkelen alfa, eller funksjoner av vinkelargumentet.

På samme måte kan du snakke om sinus, cosinus, tangens og cotangens som funksjoner av et numerisk argument. Til hvert reelt tall t tilsvarer en bestemt verdi av sinus eller cosinus til et tall t... Alle andre tall enn π 2 + π · k, k ∈ Z, tilsvarer verdien av tangenten. Kotangensen er på samme måte definert for alle tall bortsett fra π k, k ∈ Z.

Grunnleggende funksjoner for trigonometri

Sinus, cosinus, tangens og cotangens er grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Det er vanligvis klart fra konteksten hvilket argument for den trigonometriske funksjonen (vinkelargument eller numerisk argument) vi har å gjøre med.

La oss gå tilbake til dataene helt i begynnelsen av definisjonene og vinkelen alfa, som ligger i området fra 0 til 90 grader. De trigonometriske definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er helt konsistente med de geometriske definisjonene gitt ved bruk av sideforhold til en rettvinklet trekant. La oss vise det.

Ta enhetssirkelen sentrert i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. La oss rotere startpunktet A (1, 0) med en vinkel på opptil 90 grader og tegne en vinkelrett på abscisseaksen fra det resulterende punktet A 1 (x, y). I den resulterende rettvinklede trekanten er vinkelen A 1 O H lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet O H er lik abscissen til punktet A 1 (x, y). Lengden på benet motsatt hjørnet er lik ordinaten til punktet A 1 (x, y), og lengden på hypotenusen er lik én, siden det er radiusen til enhetssirkelen.

I følge definisjonen fra geometri er sinusen til vinkelen α lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Dette betyr at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gjennom sideforholdet tilsvarer å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α, med alfa liggende i området fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan samsvaret mellom definisjoner vises for cosinus, tangens og cotangens.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter