Vandaag nodigen we uw aandacht uit voor een andere presentatie over een verbazingwekkend en mysterieus onderwerp - geometrie. In deze presentatie laten we u kennismaken met een nieuwe eigenschap van geometrische vormen, in het bijzonder het concept van proportionele lijnsegmenten in rechthoekige driehoeken.

Eerst moet je onthouden wat een driehoek is? Dit is de eenvoudigste veelhoek, bestaande uit drie hoekpunten verbonden door drie lijnsegmenten. Een rechthoekige driehoek wordt een driehoek genoemd waarin een van de hoeken 90 graden is. U heeft zich er al meer mee vertrouwd gemaakt in ons eerdere trainingsmateriaal dat u onder uw aandacht heeft gebracht.

Dus, terugkomend op het onderwerp van vandaag, om aan te geven dat de hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanuit een hoek van 90 graden, deze in twee driehoeken verdeelt, die zowel op elkaar als op het origineel lijken. Alle cijfers en grafieken waarin u geïnteresseerd bent, worden weergegeven in de voorgestelde presentatie en we raden u aan contact met hen op te nemen, vergezeld van de beschreven uitleg.

Een grafisch voorbeeld van de bovenstaande scriptie is te zien op de tweede dia. Gebaseerd op het eerste teken van de overeenkomst van driehoeken, zijn driehoeken gelijkvormig, omdat ze twee identieke hoeken hebben. Als u meer in detail specificeert, vormt de hoogte, verlaagd tot de hypotenusa, er een rechte hoek mee, dat wil zeggen, er zijn al dezelfde hoeken en elk van de gevormde hoeken heeft ook één gemeenschappelijke hoek als de eerste. Het resultaat is twee hoeken die gelijk zijn aan elkaar. Dat wil zeggen, de driehoeken zijn vergelijkbaar.

Laten we ook aangeven wat het concept van "proportionele gemiddelde" of "geometrische gemiddelde" betekent? Dit is een bepaald segment XY voor segmenten AB en CD, wanneer het gelijk is aan de vierkantswortel van het product van hun lengtes.

Hieruit volgt ook dat het been van een rechthoekige driehoek het geometrische gemiddelde is tussen de hypotenusa en de projectie van dit been op de hypotenusa, dat wil zeggen het andere been.

Een andere eigenschap van een rechthoekige driehoek is dat de hoogte, getrokken vanuit een hoek van 90 °, de gemiddelde verhouding is tussen de projecties van de benen op de hypotenusa. Als je verwijst naar de presentatie en ander materiaal dat je wordt aangeboden, zul je zien dat er een bewijs is van dit proefschrift in een zeer eenvoudige en toegankelijke vorm. Eerder hebben we al bewezen dat de resulterende driehoeken vergelijkbaar zijn met elkaar en met de oorspronkelijke driehoek. Vervolgens, door de verhouding van de benen van deze geometrische figuren te gebruiken, komen we tot het feit dat de hoogte van een rechthoekige driehoek recht evenredig is met de vierkantswortel van het product van de segmenten die werden gevormd als gevolg van het verlagen van de hoogte vanuit de rechte hoek van de oorspronkelijke driehoek.

De laatste in de presentatie gaf aan dat het been van een rechthoekige driehoek het geometrische gemiddelde is voor de hypotenusa en het segment dat zich tussen het been en de hoogte bevindt, getekend vanuit een hoek van 90 graden. Dit geval moet worden beschouwd vanaf de kant dat de aangegeven driehoeken op elkaar lijken, en het been van een van hen wordt verkregen door de hypotenusa van de andere. Maar u zult hier nader kennis mee maken door de voorgestelde materialen te bestuderen.

Lesdoelen:

1. het concept van een proportioneel gemiddelde (geometrisch gemiddelde) van twee segmenten introduceren;
2. beschouw het probleem van proportionele segmenten in een rechthoekige driehoek: de eigenschap van de hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van een rechte hoek;
3. om de vaardigheden van studenten te ontwikkelen in het gebruik van het bestudeerde onderwerp bij het oplossen van problemen.

Soort les: een les in het leren van nieuwe stof.

Plan:

1. Organisatorisch moment.
2. Kennis update.
3. Bestudering van de eigenschap van de hoogte van een rechthoekige driehoek, getekend vanaf het hoekpunt van een rechte hoek:
   - voorbereidende fase;
   - introductie;
   - assimilatie.
4. Introductie van het concept van een gemiddelde evenredig met twee segmenten.
5. Het concept van een gemiddelde in verhouding tot twee segmenten beheersen.
6. Bewijs van de gevolgen:
   - de hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf de bovenkant van de rechte hoek, is het proportionele gemiddelde tussen de segmenten waarin de hypotenusa wordt gedeeld door deze hoogte;
   - het been van een rechthoekige driehoek is de gemiddelde verhouding tussen de hypotenusa en het segment van de hypotenusa, ingesloten tussen het been en de hoogte.
7. Problemen oplossen.
8. Samenvatten.
9. Huiswerk instelling.

Tijdens de lessen

I. ORGMOMENT

- Hallo jongens, ga zitten. Is iedereen klaar voor de les?

Beginnen.

II. KENNIS-UPDATE

- Welk belangrijk wiskundig concept ben je in de vorige lessen tegengekomen? ( met het concept van gelijkvormigheid van driehoeken)

- Laten we onthouden welke twee driehoeken gelijkvormig worden genoemd? (twee driehoeken heten gelijkvormig als hun hoeken respectievelijk gelijk zijn en de zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de gelijke zijden van de andere driehoek)

- Wat gebruiken we om de overeenkomst van twee driehoeken te bewijzen? (

- Formuleer deze tekens (formuleer drie criteria voor de gelijkvormigheid van driehoeken)

III. HET BESTUDEREN VAN DE EIGENSCHAPPEN VAN DE HOOGTE VAN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK GETROKKEN VANAF DE BOVENKANT VAN EEN RECHTE HOEK

a) voorbereidende fase

- Jongens, kijk alsjeblieft naar de eerste dia. ( Sollicitatie) Hier zijn twee rechthoekige driehoeken - en. en - hoogtes en, respectievelijk. .

Taak 1.a) Bepaal of en vergelijkbaar zijn.

- Wat gebruiken we om de overeenkomst van driehoeken te bewijzen? ( tekens van gelijkenis van driehoeken)

(het eerste teken, aangezien er niets bekend is over de zijden van de driehoeken in de opgave)

... (Twee paren: 1.∟B = ∟B1 (rechte lijnen), 2.∟A = ∟A 1)

- Trek een conclusie. ( door het eerste teken van overeenkomst van driehoeken ~)

Taak 1.b) Bepaal of en vergelijkbaar zijn.

- Welk teken van gelijkenis zullen we gebruiken en waarom? (het eerste teken, want in de opgave is niets bekend over de zijden van de driehoeken))

- Hoeveel paren gelijke hoeken moeten we vinden? Vind deze paren (aangezien driehoeken rechthoekig zijn, is één paar gelijke hoeken voldoende: ∟A = ∟A 1)

- Maak een conclusie. (door het eerste teken van de gelijkenis van driehoeken concluderen we dat deze driehoeken gelijkvormig zijn).

Als resultaat van het gesprek ziet dia 1 er als volgt uit:

b) ontdekking van de stelling

Taak 2.

- Bepaal of en, en vergelijkbaar zijn. Als resultaat van het gesprek worden de antwoorden opgebouwd, die worden weergegeven op de dia.

- Dat gaf de foto aan. Hebben we deze graadmaat gebruikt bij het beantwoorden van de vragen van de opdrachten? ( Nee, we hebben niet gebruikt)

- Jongens, trek een conclusie: in welke driehoeken verdeelt de rechthoekige driehoek de hoogte getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek? (concluderen)

- De vraag rijst: zullen deze twee rechthoekige driehoeken, waarin de hoogte de rechthoekige driehoek verdeelt, op elkaar lijken? Laten we proberen paren van gelijke hoeken te vinden.

Als resultaat van het gesprek wordt een record opgebouwd:

- En laten we nu een volledige conclusie trekken. ( CONCLUSIE: de hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in twee Leuk vinden

- Dat. we hebben de stelling over de eigenschap van de hoogte van een rechthoekige driehoek geformuleerd en bewezen.

Laten we de structuur van de stelling vaststellen en een tekening maken. Wat staat er in de stelling en wat moet worden bewezen? De leerlingen schrijven in een notitieboekje:

- Laten we het eerste item van de stelling voor de nieuwe tekening bewijzen. Welke overeenkomstfunctie gaan we gebruiken en waarom? (De eerste, want in de stelling is niets bekend over de zijden van driehoeken)

- Hoeveel paren gelijke hoeken moeten we vinden? Vind deze paren. (In dit geval is één paar voldoende: ∟A-common)

- Maak een conclusie. Driehoeken zijn vergelijkbaar. Als resultaat wordt een voorbeeld van de formulering van de stelling getoond

- Schrijf het tweede en derde punt thuis zelf op.

c) assimilatie van de stelling

- Formuleer de stelling dus opnieuw (De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in twee Leuk vinden rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan deze)

- Hoeveel paren gelijkaardige driehoeken in de constructie "in een rechthoekige driehoek wordt de hoogte getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek" laat deze stelling toe om te vinden? ( Drie paar)

Studenten krijgen de volgende taak aangeboden:

NS. INTRODUCTIE VAN HET CONCEPT VAN HET GEMIDDELDE PROPORTIONEEL VAN TWEE BENEN

- En nu gaan we samen met jou een nieuw concept bestuderen.

Aandacht!

Definitie. Sectie XY genaamd gemiddeld proportioneel (geometrisch gemiddelde) tussen segmenten AB en CD, indien

(schrijf op in een notitieboekje).

V. TOEKENNING VAN HET CONCEPT VAN HET GEMIDDELDE EVENREDIGHEID VAN TWEE INTERSECTEN

- Laten we nu naar de volgende dia gaan.

Oefening 1. Bereken de lengte van het gemiddelde van de proportionele segmenten MN en KP, als MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Wat staat er in de opgave? ( Twee segmenten en hun lengtes: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Wat moet je vinden? ( De lengte van het gemiddelde evenredig aan deze segmenten)

- Wat is de formule voor het proportionele gemiddelde en hoe vinden we het?

(We vervangen de gegevens in de formule en vinden de lengte van de gemiddelde steun.)

Opdracht nummer 2. Bereken de lengte van het segment AB als het gemiddelde evenredig aan de segmenten AB en CD 90 cm is en CD = 100 cm

- Wat staat er in de opgave? (de lengte van het segment CD = 100 cm en het gemiddelde evenredig met de segmenten AB en CD is 90 cm)

- Wat moet je vinden in het probleem? ( Segmentlengte AB)

- Hoe gaan we het probleem oplossen? (We schrijven de formule voor het gemiddelde van de proportionele segmenten AB en CD, drukken daaruit de lengte AB uit en vervangen de probleemgegevens.)

Vi. CONCLUSIE VAN DE GEVOLGEN

- Goed gedaan jongens. Laten we nu terugkeren naar de overeenkomst van driehoeken, die we in de stelling hebben bewezen. Formuleer de stelling opnieuw. ( De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in twee Leuk vinden rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan een gegeven)

- Laten we eerst de gelijkenis van driehoeken en gebruiken. Wat volgt hieruit? ( Per definitie van gelijkenis zijn zijden evenredig met overeenkomsten)

- Welke gelijkheid wordt verkregen bij gebruik van de hoofdeigenschap proportie? ()

- Express CD en maak een conclusie (;.

Uitgang:: de hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, is het proportionele gemiddelde tussen de segmenten waarin de hypotenusa wordt gedeeld door deze hoogte)

- En bewijs nu zelf dat het been van een rechthoekige driehoek de gemiddelde verhouding is tussen de hypotenusa en het segment van de hypotenusa dat is ingesloten tussen het been en de hoogte. Laten we zoeken uit - ... de segmenten waarin de hypotenusa is verdeeld op deze hoogte )

Het been van een rechthoekige driehoek is de gemiddelde verhouding tussen ... (- ... de hypotenusa en het segment van de hypotenusa ingesloten tussen dit been en de hoogte )

- Waar passen we de geleerde uitspraken toe? ( Bij het oplossen van problemen)

IX. THUISOPDRACHT

d / s: nr. 571, nr. 572 (a, e), zelfstandig werk in een notitieboekje, theorie.

Teken van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken

Laten we eerst het gelijkheidscriterium voor rechthoekige driehoeken introduceren.

Stelling 1

Teken van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken: twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als ze één gelijke scherpe hoek hebben (fig. 1).

Figuur 1. Gelijkaardige rechthoekige driehoeken

Een bewijs.

Stel dat $ \ hoek B = \ hoek B_1 $. Aangezien driehoeken rechthoekig zijn, geldt $ \ hoek A = \ hoek A_1 = (90) ^ 0 $. Daarom zijn ze vergelijkbaar in het eerste teken van overeenkomst van driehoeken.

De stelling is bewezen.

Hoogtestelling in een rechthoekige driehoek

Stelling 2

De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf de top van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in twee gelijkaardige rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan deze driehoek.

Een bewijs.

Geef ons een rechthoekige driehoek $ ABC $ met een rechte hoek $ C $. Laten we de hoogte $ CD $ tekenen (fig. 2).

Figuur 2. Illustratie van Stelling 2

Laten we bewijzen dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ gelijk zijn aan de driehoek $ ABC $ en dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ gelijkaardig zijn aan elkaar.

Aangezien $ \ hoek ADC = (90) ^ 0 $, is de driehoek $ ACD $ rechthoekig. De driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ hebben een gemeenschappelijke hoek $ A $, daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.

Aangezien $ \ hoek BDC = (90) ^ 0 $, is de driehoek $ BCD $ rechthoekig. De driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ hebben een gemeenschappelijke hoek $ B $, daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.

Beschouw nu de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $

\ [\ hoek A = (90) ^ 0- \ hoek ACD \] \ [\ hoek BCD = (90) ^ 0- \ hoek ACD = \ hoek A \]

Daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar.

De stelling is bewezen.

proportioneel gemiddelde

Stelling 3

De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, is het proportionele gemiddelde van de segmenten waarin de hoogte de schuine zijde van deze driehoek verdeelt.

Een bewijs.

Volgens Stelling 2 hebben we dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar zijn, vandaar

De stelling is bewezen.

Stelling 4

Het been van een rechthoekige driehoek is de gemiddelde evenredigheid tussen de hypotenusa en het segment van de hypotenusa, ingesloten tussen het been en de hoogte vanaf de top van de hoek.

Een bewijs.

In het bewijs van de stelling zullen we de notatie uit figuur 2 gebruiken.

Volgens Stelling 2 hebben we dat de driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar zijn, vandaar

De stelling is bewezen.

Les 40. Proportionele lijnstukken in een rechthoekige driehoek. C.b. A. H. C. v.Chr. H. ac. A. V. De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in 2 gelijkaardige rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan deze driehoek. Een teken van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken. Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als ze een gelijke scherpe hoek hebben. Het XY-segment wordt het proportionele gemiddelde (geometrisch gemiddelde) voor de AB- en CD-segmenten genoemd als eigenschap 1. De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, is het proportionele gemiddelde tussen de projecties van de benen naar de hypotenusa. Eigenschap 2. Het been van een rechthoekige driehoek is de gemiddelde verhouding tussen de hypotenusa en de projectie van dit been op de hypotenusa.

Schuif 28 van presentatie "Geometrie" Gelijkaardige driehoeken ""... De omvang van het archief met de presentatie is 232 KB.

Geometriegraad 8

samenvattingen van andere presentaties

"Problemen oplossen met de stelling van Pythagoras" - gelijkbenige driehoek ABC. Praktische toepassing van de stelling van Pythagoras. AVSD is een vierhoek. Vierkant gebied. Zoek vliegtuigen. Een bewijs. De basis van het gelijkbenige trapezium. Denk aan de stelling van Pythagoras. Het gebied van de vierhoek. Rechthoekige driehoeken. De stelling van Pythagoras. Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen.

"Het gebied van een parallellogram vinden" - Basis. Hoogte. Bepaling van de hoogte van het parallellogram. Tekenen van gelijkheid van rechthoekige driehoeken. Parallellogram gebied. Zoek het gebied van de driehoek. Eigenschappen van gebieden. Mondelinge oefeningen. Zoek het gebied van het parallellogram. Parallellogram hoogten. Zoek de omtrek van het vierkant. Oppervlakte van een driehoek. Zoek de oppervlakte van het plein. Zoek het gebied van de rechthoek. Vierkant gebied.

"Vierkant" Rang 8 "- Zwart vierkant. Taken voor mondeling werk rond de omtrek van het plein. Vierkant gebied. Tekenen van een vierkant. Het plein is bij ons. Een vierkant is een rechthoek waarvan alle zijden gelijk zijn. Vierkant. Tas met vierkante bodem. Mondelinge taken. Hoeveel vierkanten staan ​​er op de afbeelding. Eigenschappen van het plein. Rijke koopman. Taken voor mondeling werk op het gebied van een vierkant. De omtrek van het plein.

"Bepaling van axiale symmetrie" - Punten die op dezelfde loodlijn liggen. Teken twee rechte lijnen. Bouw. Punten plotten. Snel. Vormen die niet axiaal symmetrisch zijn. Sectie. Coördinaten ontbreken. Figuur. Vormen met meer dan twee symmetrieassen. Symmetrie. Symmetrie in poëzie. Bouw driehoeken. Assen van symmetrie. Segment maken. Een punt uitzetten. Vormen met twee symmetrieassen. volkeren. Driehoeken. Evenredigheid.

"Definitie van soortgelijke driehoeken" - Polygonen. Proportionele lijnstukken. De verhouding van de oppervlakten van gelijkaardige driehoeken. Twee driehoeken worden gelijkvormig genoemd. Voorwaarden. Construeer een driehoek uit de gegeven twee hoeken en de bissectrice op het hoekpunt. Stel dat u de afstand tot de paal moet bepalen. Het derde teken van de gelijkenis van driehoeken. Laten we een soort driehoek bouwen. ABC. Driehoeken ABC en ABC zijn aan drie zijden gelijk. Bepaling van de hoogte van het object.

"Oplossing van de stelling van Pythagoras" - Delen van vensters. Eenvoudigste bewijs. Hammurabi. Diagonaal. Volledig bewijs. Aftrekbewijs. Pythagoreeërs. Bewijs door expansiemethode. Geschiedenis van de stelling. Diameter. Bewijs door complement methode. Epsteins bewijs. Cantor. Driehoeken. Volgers. Toepassingen van de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras. Verklaring van de stelling. Perigals bewijs. Toepassing van de stelling.

Teken van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken

Laten we eerst het gelijkheidscriterium voor rechthoekige driehoeken introduceren.

Stelling 1

Teken van de gelijkenis van rechthoekige driehoeken: twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als ze één gelijke scherpe hoek hebben (fig. 1).

Figuur 1. Gelijkaardige rechthoekige driehoeken

Een bewijs.

Stel dat $ \ hoek B = \ hoek B_1 $. Aangezien driehoeken rechthoekig zijn, geldt $ \ hoek A = \ hoek A_1 = (90) ^ 0 $. Daarom zijn ze vergelijkbaar in het eerste teken van overeenkomst van driehoeken.

De stelling is bewezen.

Hoogtestelling in een rechthoekige driehoek

Stelling 2

De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf de top van de rechte hoek, verdeelt de driehoek in twee gelijkaardige rechthoekige driehoeken, die elk gelijk zijn aan deze driehoek.

Een bewijs.

Geef ons een rechthoekige driehoek $ ABC $ met een rechte hoek $ C $. Laten we de hoogte $ CD $ tekenen (fig. 2).

Figuur 2. Illustratie van Stelling 2

Laten we bewijzen dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ gelijk zijn aan de driehoek $ ABC $ en dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ gelijkaardig zijn aan elkaar.

Aangezien $ \ hoek ADC = (90) ^ 0 $, is de driehoek $ ACD $ rechthoekig. De driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ hebben een gemeenschappelijke hoek $ A $, daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.

Aangezien $ \ hoek BDC = (90) ^ 0 $, is de driehoek $ BCD $ rechthoekig. De driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ hebben een gemeenschappelijke hoek $ B $, daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ BCD $ en $ ABC $ vergelijkbaar.

Beschouw nu de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $

\ [\ hoek A = (90) ^ 0- \ hoek ACD \] \ [\ hoek BCD = (90) ^ 0- \ hoek ACD = \ hoek A \]

Daarom zijn volgens Stelling 1 de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar.

De stelling is bewezen.

proportioneel gemiddelde

Stelling 3

De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken vanaf het hoekpunt van de rechte hoek, is het proportionele gemiddelde van de segmenten waarin de hoogte de schuine zijde van deze driehoek verdeelt.

Een bewijs.

Volgens Stelling 2 hebben we dat de driehoeken $ ACD $ en $ BCD $ vergelijkbaar zijn, vandaar

De stelling is bewezen.

Stelling 4

Het been van een rechthoekige driehoek is de gemiddelde evenredigheid tussen de hypotenusa en het segment van de hypotenusa, ingesloten tussen het been en de hoogte vanaf de top van de hoek.

Een bewijs.

In het bewijs van de stelling zullen we de notatie uit figuur 2 gebruiken.

Volgens Stelling 2 hebben we dat de driehoeken $ ACD $ en $ ABC $ vergelijkbaar zijn, vandaar

De stelling is bewezen.