De constructie van onderling loodrechte lijnen en vlakken is een belangrijke grafische bewerking bij het oplossen van metrische problemen.

De constructie van een loodlijn op een rechte lijn of vlak is gebaseerd op de eigenschap van een rechte hoek, die als volgt wordt geformuleerd: als een van de zijden van een rechte hoek evenwijdig is aan het projectievlak, en de andere niet loodrecht op het, dan wordt de hoek op volledige grootte op dit vlak geprojecteerd.

Afbeelding 28

Zijde BC van rechte hoek ABC, weergegeven in figuur 28, is evenwijdig aan vlak P 1. Daarom zal de projectie van de hoek ABC op dit vlak de rechte hoek A 1 B 1 C 1 = 90 vertegenwoordigen.

Een rechte staat loodrecht op een vlak als hij loodrecht staat op twee elkaar snijdende rechte lijnen die in dit vlak liggen. Bij het construeren van een loodlijn uit de reeks rechte lijnen die tot het vlak behoren, worden de rechte lijnen van het niveau geselecteerd - de horizontale en de frontale. In dit geval wordt de horizontale projectie van de loodlijn loodrecht op de horizontaal uitgevoerd en de frontale projectie loodrecht op de voorkant. Het voorbeeld in figuur 29 toont de constructie van een loodlijn op het vlak gedefinieerd door de driehoek ABC vanaf punt K. Teken hiervoor eerst een horizontaal en een frontaal in het vlak. Vervolgens tekenen we vanuit de frontale projectie van punt K een loodlijn op de frontale projectie van de frontale, en van de horizontale projectie van het punt - een loodlijn op de horizontale projectie van de horizontaal. Vervolgens construeren we het snijpunt van deze loodlijn met het vlak met behulp van het hulpsnijvlak Σ. Het gezochte punt is F. Het resulterende segment KF staat dus loodrecht op het vlak ABC.

Afbeelding 29

Figuur 29 toont de constructie van de loodrechte KF op het vlak ABC.

Twee vlakken staan ​​loodrecht op elkaar als een rechte die in het ene vlak ligt, loodrecht staat op twee elkaar snijdende rechte lijnen van het andere vlak. De constructie van een vlak loodrecht op dit vlak ABC is weergegeven in figuur 30. Door punt M wordt een rechte lijn MN getrokken, loodrecht op het vlak ABC. De horizontale projectie van deze rechte lijn staat loodrecht op de AC, aangezien de AC horizontaal is, en de frontale projectie staat loodrecht op AB, aangezien AB de frontale is. Dan wordt een willekeurige rechte lijn EF door het punt M getrokken. Het vlak staat dus loodrecht op ABC en wordt gegeven door twee snijdende rechte lijnen EF en MN.

Afbeelding 30

Deze methode wordt gebruikt om de natuurlijke waarden van segmenten in algemene positie te bepalen, evenals hun hellingshoeken ten opzichte van de projectievlakken. Om op deze manier de werkelijke grootte van het segment te bepalen, is het noodzakelijk om een ​​rechthoekige driehoek te voltooien op een van de projecties van het segment. Het andere been zal het verschil in hoogte of diepte van de eindpunten van het segment zijn, en de hypotenusa zal een natuurlijke waarde zijn.

Beschouw een voorbeeld: Afbeelding 31 toont een segment AB in algemene positie. Het is nodig om de volledige grootte en de hellingshoeken van de frontale en horizontale projectievlakken te bepalen.

Teken een loodlijn op een van de uiteinden van het lijnsegment op het horizontale vlak. We plaatsen er het hoogteverschil (ZA-ZB) van de uiteinden van het segment op en bouwen een rechthoekige driehoek af. De hypotenusa is de natuurlijke waarde van het segment en de hoek tussen de natuurlijke waarde en de projectie van het segment is de natuurlijke waarde van de hellingshoek van het segment met het vlak P 1. De volgorde van constructie op het frontale vlak is hetzelfde. Teken langs de loodlijn het verschil in de diepten van de uiteinden van het segment (YA-YB). De resulterende hoek tussen de natuurlijke waarde van het segment en zijn frontale projectie is de hellingshoek van het segment met het vlak P2.

Afbeelding 31

1. Formuleer een stelling over de eigenschap rechte hoek.

2. In welk geval staat de lijn loodrecht op het vlak?

3. Hoeveel rechte lijnen en hoeveel vlakken loodrecht op een bepaald vlak kunnen door een punt in de ruimte worden getrokken?

4. Waarvoor wordt de rechthoekige driehoeksmethode gebruikt?

5. Hoe deze methode te gebruiken om de hellingshoek van het segment in algemene positie ten opzichte van het horizontale vlak van projecties te bepalen?

In het kader van dit onderwerp moet je in staat zijn om:

• 1. Zet een vlak loodrecht op een rechte lijn.
• 2. Zet een rechte lijn loodrecht op het vlak.

Bij het oplossen van deze onderling samenhangende problemen is het belangrijk om te begrijpen hoe de projecties van de loodlijn gericht moeten worden ten opzichte van de projecties van het vlak. Om dit te begrijpen, zullen we de problemen A en B oplossen.

Probleem A

Voorwaarde. Trek door punt A, genomen op de rechte rn, een vlak loodrecht op deze rechte.

Oplossing. Het is bekend dat vlak loodrecht op een rechte lijn, ging zitten twee rechte lijnen in dit vlak, loodrecht op een gegeven rechte lijn.

Daarom is het in ons geval, door punt A, voldoende om twee rechte lijnen te tekenen, die elk loodrecht staan ​​op m. Dan zullen deze rechte lijnen in een paar het gewenste vlak bepalen.

Laat een van de rechte lijnen die dit vlak definiëren de horizontaal zijn. Zijn frontale projectie 1b zal passeren horizontaal (Fig. 4.7), en de horizontale projectie h | - onder direct hoek tot m 1 (gebaseerd op de stelling van de rechte hoekprojectie).

De tweede rechte lijn die het gewenste vlak definieert, is de frontale. EU horizontale projectie f | horizontaal zal passeren.

een frontale projectie f2 - jodium loodrecht op mi (gebaseerd op dezelfde stelling).

Rijst. 4.7

Zo is het probleem opgelost. Als we het analyseren, kunnen we opmerken dat met betrekking tot het geconstrueerde vlak (f x h), de gegeven lijn m is loodrecht. Hieruit volgt een belangrijke praktische conclusie:

de horizontale projectie van de loodlijn op het vlak moet loodrecht op de horizontale projectie van de horizontaal staan, en de frontale projectie - loodrecht op de frontale projectie van het front.

Probleem B

Conditie. Verlaag de loodlijn van punt B naar het DEF-vlak (met de definitie van zijn zichtbaarheid maar ten opzichte van het vlak).

Rijst. 4.8a - grafische voorwaarden van het probleem

Rijst. 4.86

Rijst. 4.8c - bepaling van de basis en natuurlijke grootte van de loodlijn

Oplossing. Eerst tekenen we de projecties DEF en B (Fig.4.8a).

Om het probleem op te lossen, selecteren we er drie:

karakteristieke stadia:

• 1. Plotrichtingen voor loodrechte projecties.
• 2. Constructie van de basis van de loodlijn (het snijpunt met het vlak).
• 3. Bepaling van de natuurlijke grootte van de loodlijn.

Laten we deze constructies uitvoeren. Schets eerst de richting

loodrechte projecties. Om dit te doen, moet je eerst in het DEF-vlak een horizontale h en een frontale f tekenen, die oriëntatiepunten zijn voor zijn projecties.

Nu zullen we de basis van de loodlijn vinden als het snijpunt van de resulterende lijn met het DEF-vlak. Dit probleem kennen we al (zie paragraaf 3.3.4). In het beschouwde voorbeeld ligt het gewenste punt K buiten de driehoek die het vlak begrenst (Fig. 4.8c). Het bevindt zich op lijn 2-3, die door constructie tot het DEF-vliegtuig behoort. Dit betekent dat punt K er ook bij hoort.Als de projecties van de loodlijn gedeeltelijk of volledig worden verduisterd door de projecties van de driehoek DEF, dan is het bovendien noodzakelijk om de zichtbaarheid loodrecht op het vlak te bepalen.

De natuurlijke waarde van de VC-loodlijn kan worden gevonden met een van de eerder besproken methoden in en. 2.2. In figuur 4.8c is hiervoor de rechthoekige-driehoekmethode gebruikt.

Merk op dat dit probleem vaak wordt geformuleerd als het bepalen van de afstand van punt B tot het vlak van driehoek DEF.

Het criterium voor de loodrechtheid van een rechte lijn en een vlak maakt het mogelijk om een ​​onderling loodrechte lijn en een vlak te construeren, dat wil zeggen, het bestaan ​​van zulke rechte lijnen en vlakken te bewijzen. Laten we beginnen met het bouwen van een vlak dat loodrecht staat op een gegeven lijn en door een bepaald punt gaat. Laten we twee constructieproblemen oplossen die overeenkomen met twee mogelijkheden op de locatie van een gegeven punt en een gegeven rechte lijn.

Opgave 1. Trek door een gegeven punt A op een gegeven rechte een vlak loodrecht op deze rechte.

We tekenen twee willekeurige vlakken door de rechte lijn a en in elk van deze vlakken door het punt A tekenen we langs een rechte lijn loodrecht op de rechte lijn a, we duiden ze b en c aan (Fig. 2.17). Het vlak a, dat door de rechte lijnen bis gaat, bevat punt A en staat loodrecht op de rechte a (door het teken van de loodrechtheid van de lijn en het vlak). Daarom is het vlak a de gewenste. Het probleem is opgelost.

Het probleem heeft maar één (d.w.z. unieke) oplossing. Laten we inderdaad het tegenovergestelde aannemen. Dan gaat, naast het vlak a, een ander vlak P door het punt A, loodrecht op de rechte lijn a (Fig. 2.18). Neem in het vlak P elke rechte lijn die door punt A gaat en niet in het vlak a ligt. Laten we het vlak y tekenen door de snijdende rechte lijnen a en. Het vlak y snijdt vlak a langs de rechte lijn q. De rechte q valt niet samen met de rechte, aangezien q in a ligt, niet in a. Deze beide rechte lijnen liggen in het y-vlak, gaan door punt A en staan ​​loodrecht op de rechte a as en gelijkaardig als en. Maar dit is in tegenspraak met de bekende stelling van de planimetrie, volgens welke slechts één rechte lijn loodrecht op deze rechte lijn door elk punt in het vlak gaat.

Dus, aangenomen dat twee vlakken loodrecht op de rechte lijn a door punt A gaan, zijn we tot een contradictie gekomen. Daarom heeft het probleem een ​​unieke oplossing.

Opgave 2. Teken door een gegeven punt A, niet liggend op een gegeven rechte a, een vlak loodrecht op deze rechte.

Trek rechte lijn b door punt A, loodrecht op lijn a. Laat B het snijpunt zijn van a en b. Door punt B trekken we ook een rechte lijn c, loodrecht op de rechte lijn a (Fig. 2.19). Het vlak dat door beide getekende lijnen gaat, staat loodrecht op a volgens het loodrechtheidscriterium (stelling 2).

Net als bij probleem 1 is het geconstrueerde vlak het enige. Neem inderdaad elk vlak dat door punt A gaat, loodrecht op lijn a. Zo'n vlak bevat een rechte die loodrecht staat op de rechte a en door punt A gaat. Maar er is maar één zo'n rechte. Dit is lijn b, die door punt B gaat. Het vlak dat door A gaat en loodrecht op lijn a staat, moet dus punt B bevatten, en slechts één vlak loodrecht op lijn a gaat door punt B (probleem 1). Dus, nadat we deze constructieproblemen hebben opgelost en het unieke van hun oplossingen hebben bewezen, hebben we de volgende belangrijke stelling bewezen.

Stelling 3 (op een vlak loodrecht op een rechte lijn). Een vlak loodrecht op een gegeven rechte lijn gaat door elk punt, en bovendien door slechts één.

Gevolg (op het vlak van loodlijnen). Lijnen loodrecht op een bepaalde lijn op een bepaald punt liggen in één vlak en bedekken het.

Laat a - een gegeven lijn en A - een van zijn punten. Er gaat een vliegtuig doorheen. Door de definitie van de loodrechtheid van een rechte lijn en een vlak, wordt deze gedekt

gedekt door rechte lijnen loodrecht op lijn a in punt A, d.w.z. door elk punt van het vlak a gaat daarin een rechte lijn loodrecht op de rechte lijn a.

Stel dat een rechte lijn door punt A gaat dat niet in het vlak a ligt. Laten we er een rechte lijn doorheen trekken een vlak P. Het vlak P snijdt a langs een rechte lijn c (Fig. 2.20). En sindsdien blijkt dat twee rechte lijnen b en c, loodrecht op de rechte a, door punt A in het vlak P gaan. Het is onmogelijk. Er zijn dus geen rechte lijnen loodrecht op de rechte lijn a in het punt A en niet in het vlak a. Ze liggen allemaal in dit vliegtuig.

Een voorbeeld van het uitvloeisel van Stelling 3 wordt gegeven door de spaken in het wiel loodrecht op zijn as: wanneer ze roteren, volgen ze een vlak (meer precies, een cirkel), waarbij ze alle posities loodrecht op de rotatie-as innemen.

Stellingen 2 en 3 helpen om een ​​eenvoudige oplossing te geven voor het volgende probleem.

Opgave 3. Trek een rechte lijn door een punt van een bepaald vlak, loodrecht op dit vlak.

Laat een vlak a en een punt A in het vlak a gegeven zijn. Laten we in het vlak a door het punt A een willekeurige rechte lijn a tekenen. Door punt A trekken we een vlak loodrecht op de rechte a (probleem 1). Het vlak zal vlak a snijden langs een rechte lijn b (Fig. 2.21). Laten we in het vlak P door het punt A een rechte lijn c tekenen, loodrecht op de rechte b. Aangezien (aangezien c in het vlak ligt)

I), vervolgens door Stelling 2. Het unieke van de oplossing wordt vastgesteld in paragraaf 2.1.

Commentaar. Over constructies in de ruimte. Bedenk dat we in hoofdstuk 1 "constructiegeometrie" bestuderen. En op dit punt hebben we drie problemen van het bouwen in de ruimte opgelost. Wat wordt in stereometrie verstaan ​​onder de termen "construeren", "tekenen", "inschrijven", enz. Onthoud eerst constructies op een vlak, waarbij u bijvoorbeeld aangeeft hoe u een cirkel moet construeren die om een ​​driehoek is omgeschreven, waardoor het bestaan ​​ervan wordt bewezen In het algemeen, door het probleem van constructie op te lossen, bewijzen we de bestaansstelling voor een figuur met gegeven eigenschappen. naar het gewenste resultaat cirkels en het vinden van hun snijpunten.Vervolgens, met behulp van tekengereedschappen, kunt u direct een figuur op papier of op een bord tekenen.

In de planimetrie heeft de oplossing van het constructieprobleem dus als het ware twee kanten: theoretisch - het constructiealgoritme - en praktisch - de uitvoering van dit algoritme, bijvoorbeeld met een kompas en een liniaal.

Het stereometrische constructieprobleem heeft maar één kant - de theoretische, omdat er geen hulpmiddelen zijn voor constructie in de ruimte, vergelijkbaar met een kompas en een liniaal.

Voor de basisconstructies in de ruimte worden de constructies genomen die worden verschaft door de axioma's en stellingen over het bestaan ​​van lijnen en vlakken. Dit is het tekenen van een rechte lijn door twee punten, het tekenen van een vlak (stellingen in paragraaf 1.1 en axioma 1 in paragraaf 1.4), en het construeren van een snijlijn van twee willekeurige geconstrueerde vlakken (axioma 2 in paragraaf 1.4). Daarnaast gaan we er natuurlijk vanuit dat het mogelijk is om planimetrische constructies uit te voeren in reeds geconstrueerde vlakken.

Een constructieprobleem in de ruimte oplossen betekent het aangeven van de volgorde van basisconstructies, waardoor het gewenste cijfer wordt verkregen. Meestal worden niet alle basisconstructies expliciet aangegeven, maar wordt verwezen naar reeds opgeloste constructieproblemen, d.w.z. tot reeds bewezen proposities en stellingen over de mogelijkheid van dergelijke constructies.

Naast constructies - bestaansstellingen in stereometrie, zijn er nog twee soorten problemen met betrekking tot constructies mogelijk.

Eerst staan ​​de opdrachten op de foto of in de tekening. Dit zijn de problemen op secties van veelvlakken of andere lichamen. We bouwen de sectie zelf niet echt, maar geven deze alleen weer op

tekening of tekening die we al hebben. Dergelijke constructies worden planimetrisch uitgevoerd, rekening houdend met de axioma's en stellingen van stereometrie en de regels van afbeeldingen. Dit soort problemen worden voortdurend opgelost in de teken- en ontwerppraktijk.

Ten tweede taken voor het bouwen van lichamen op oppervlakken. De taak: "Construeer punten op het oppervlak van de kubus, ver van een bepaald hoekpunt op een bepaalde afstand" - wordt opgelost met behulp van een kompas (hoe?). De taak: "Construeer punten op het oppervlak van de bal, ver van een bepaald punt op een bepaalde afstand" - wordt ook opgelost met behulp van een kompas (hoe?). Dergelijke problemen worden niet opgelost in meetkundelessen - ze worden natuurlijk constant door de marketeer opgelost met de nauwkeurigheid die zijn tools kunnen bereiken. Maar om dergelijke problemen op te lossen, vertrouwt hij op geometrie.

Het zal niet overdreven zijn om te zeggen dat de constructie van onderling loodrechte lijnen en vlakken, samen met de bepaling van de afstand tussen twee punten, de belangrijkste grafische bewerkingen zijn bij het oplossen van metrische problemen.

De theoretische voorwaarde voor het construeren van projecties van lijnen en vlakken loodrecht op elkaar in de ruimte op het Monge-diagram is de eerder genoemde eigenschap (zie § 6)

projectie van een rechte hoek, waarvan een van de zijden evenwijdig is aan een willekeurig projectievlak:

1. Onderling loodrechte rechte lijnen.

Om de genoemde eigenschap te kunnen gebruiken om twee rechte lijnen te construeren die elkaar kruisen onder een hoek van 90 ° op het Monge-diagram, moet een ervan evenwijdig zijn aan een projectievlak. Laten we uitleggen wat er is gezegd met voorbeelden.

VOORBEELD 1. Trek door punt A een rechte lijn l die de horizontale h in een rechte hoek snijdt (Fig. 249).

Aangezien een van de zijden h van de rechte hoek evenwijdig is aan het vlak π 1, wordt de rechte hoek zonder vervorming op dit vlak geprojecteerd. Daarom tekenen we door A "een horizontale projectie l" ⊥ h ". Markeer het punt M" = l "∩ h". Vind M "(M" ∈ h "). Punten A" en M "definiëren l" (zie Fig. 249, a).

Als, in plaats van de horizontale, een frontale f wordt gegeven, dan zijn de geometrische constructies voor het tekenen van een rechte lijn l ⊥ f vergelijkbaar met die zojuist overwogen met het enige verschil dat de constructie van een onvervormde projectie van een rechte hoek moet beginnen met een frontale projectie (zie Fig. 249, b).

VOORBEELD 2. Trek door punt A een rechte lijn l, die de rechte lijn a, aangegeven door het segment [BC], onder een hoek van 90° snijdt (Fig. 250).

Aangezien dit segment een willekeurige positie inneemt ten opzichte van de projectievlakken, kunnen we, zoals in het vorige voorbeeld, de eigenschap van het speciale geval van projectie van een rechte hoek niet gebruiken, daarom is het eerst nodig om [BC] te vertalen naar een positie evenwijdig aan een projectievlak.

In afb. 250 [BC] verplaatst naar een positie evenwijdig aan het vlak π 3. Dit wordt gedaan met behulp van de methode om projectievlakken te vervangen door het vlak te vervangen π 1 → π 3 || [Zon].

Als gevolg van een dergelijke vervanging in het nieuwe systeem x 1 π 2 / π 3 [ВС] definieert een horizontale lijn, daarom worden alle verdere constructies op dezelfde manier uitgevoerd als in het vorige voorbeeld: nadat het punt M "1 werd gevonden , het werd op de oorspronkelijke projectievlakken vertaald naar de positie M "en M", deze punten bepalen samen met A "en A" de projectie van de rechte lijn l.

VOORBEELD 3. Voer een horizontale projectie uit van de zijde [BC] van de rechte hoek ABC, als de frontale projectie ∠A "B" C "en de horizontale projectie van de zijde [A" B "] bekend zijn (Fig. 251) .

1. We vertalen de zijde van de hoek [VA] naar positie || π 3 door over te gaan van het systeem van projectievlakken xπ 2 / π 1 naar de nieuwe x 1 π 3 / π 2

2. Definieer een nieuwe frontale projectie.

Van В "1 herstellen we de loodlijn naar [В" 1 A "1]. Op deze loodlijn definiëren we het punt С" 1 (С "1 is verwijderd van de x-as 1 op een afstand | С x 1 С" 1 | = | С x С "| ).

4. De horizontale projectie C "wordt gedefinieerd als het snijpunt van lijnen (C" 1 C x 1) ∩ (C "C x) = C".

2. Onderling loodrechte lijn en vlak.

Uit het stereometrieverloop is bekend dat een rechte lijn loodrecht staat op een vlak als deze loodrecht staat op ten minste twee elkaar snijdende rechte lijnen die tot dat vlak behoren.

Als we in het vlak geen willekeurige snijdende rechte lijnen nemen, maar de horizontale en frontale lijnen, dan wordt het mogelijk om de eigenschap van de projectie van de rechte hoek te gebruiken, zoals werd gedaan in voorbeeld 1, Fig. 249.

Beschouw het volgende voorbeeld; laat vanaf het punt A ∈ α de loodlijn op het vlak α herstellen (Fig. 252).

Door punt A trekken we een horizontale h en een frontale f van het vlak α. Dan moet, per definitie (AB), loodrecht op het vlak α loodrecht staan ​​op de lijnen h en f, d.w.z. Maar de kant van AM ∠ YOU || π 1, daarom wordt ∠BAM geprojecteerd op het vlak π 1, zonder vervorming, d.w.z. ... AK kant ∠ VAK || π 2 en dus op het vlak π 2, wordt deze hoek ook zonder vervorming geprojecteerd, dat wil zeggen, en ... De bovenstaande redenering kan worden geformuleerd als de volgende stelling: opdat een rechte lijn in de ruimte loodrecht op het vlak staat, is het noodzakelijk en voldoende dat de horizontale projectie van de rechte lijn op het diagram loodrecht staat op de horizontale projectie van het horizontale vlak van het vlak, en de frontale projectie op de frontale projectie van de voorkant van dit vlak.

Als het vlak wordt gegeven door sporen, dan kan de stelling anders worden geformuleerd: opdat een rechte lijn in de ruimte loodrecht op het vlak staat, is het noodzakelijk en voldoende dat de projecties van deze rechte lijn loodrecht staan ​​op de sporen met dezelfde naam op het vlak.

De relaties die zijn vastgesteld door de stelling tussen een rechte lijn in de ruimte loodrecht op het vlak en de projecties van deze rechte lijn op de projecties van de niveaulijnen (sporen) van het vlak liggen ten grondslag aan het grafische algoritme voor het oplossen van het probleem van het tekenen van een rechte lijn loodrecht naar het vlak, evenals het construeren van een vlak loodrecht op een bepaalde rechte lijn.

VOORBEELD 1. Reconstrueer bij het hoekpunt A de loodlijn AD op het vlak ΔABC (Fig. 253).

Om de richting van de projecties van de loodlijn te bepalen, voeren we de projecties van de horizontale h en de voorkant f van het vlak ΔABS uit. Daarna, vanaf punt A "herstellen we de loodlijn naar h", en van punt A "- naar f".

VOORBEELD 2. Herstel vanuit punt A, behorend tot het vlak α (m || n), de loodlijn op dit vlak (Fig. 254).

OPLOSSING. Om de richting van de projecties van de loodlijn l "en l" te bepalen, zoals in het vorige voorbeeld, trekt u door het punt A (A ", A") een horizontale h (h ", h") die bij het vlak hoort. Als we de richting h " kennen, construeren we een horizontale projectie van de loodlijn l" (l "⊥ h"). Om de richting van de frontale projectie van de loodlijn door het punt A (A ", A") te bepalen, tekent u de frontale f (f ", f") van het vlak α. Vanwege het parallellisme f van het frontale projectievlak wordt de rechte hoek tussen l en f zonder vervorming op π 2 geprojecteerd, dus tekenen we l "⊥ f".

In afb. 255 wordt hetzelfde probleem opgelost voor het geval waarin het vlak α wordt gegeven door sporen. Om de richtingen van de projecties van de loodlijn te bepalen, is het niet nodig om een ​​horizontale lijn en een front te tekenen

gehesen, aangezien hun functies worden uitgevoerd door de sporen van het vlak h 0α en f 0α. Zoals uit de tekening blijkt, is de oplossing gereduceerd tot het tekenen door de punten A "en A" de projecties l "⊥ h 0α en l" ⊥ f 0α.

VOORBEELD 3. Construeer een vlak γ, loodrecht op een gegeven rechte l en door een bepaald punt A (Fig. 256).

OPLOSSING. Trek een horizontale h en een frontale f door punt A. Deze twee snijdende lijnen definiëren een vlak; zodat deze loodrecht op de lijn l staat, is het noodzakelijk dat de lijnen h en f een hoek van 90° maken met de lijn l. Teken hiervoor h "⊥ l" en f "⊥ l". Frontale projectie h "en horizontale projectie f" zijn evenwijdig aan de x-as getekend.

Het beschouwde geval maakt het mogelijk om het in voorbeeld 3 gegeven probleem op een andere manier op te lossen (p. 175 afb. 251). De zijde [BC] ∠ABS moet tot het vlak γ ⊥ [AB] behoren en door punt B gaan (Fig. 257).

Deze voorwaarde bepaalt het verloop van het oplossen van het probleem, dat uit het volgende bestaat: we omsluiten punt B in het vlak γ ⊥ [AB], hiervoor tekenen we door punt B de horizontaal en frontaal van het vlak γ zodat h "⊥ A" B "en f" ⊥ A "B".

Punt С ∈ (ВС) behorend tot het vlak γ, daarom, om zijn horizontale projectie te vinden, trek door С "een willekeurige rechte lijn 1" 2 "behorend tot het vlak γ; definieer de horizontale projectie van deze rechte lijn 1" 2 " en markeer punt С" (С "wordt bepaald door het snijpunt van de communicatielijn - de loodlijn die van C is gevallen", met de horizontale projectie van de rechte lijn 1 "2"). C "samen met B" definieert een horizontale projectie (BC) ⊥ (AB).

3. Onderling loodrechte vlakken.

Twee vlakken staan ​​loodrecht als een van hen een rechte lijn bevat die loodrecht staat op het andere vlak.

Gebaseerd op de definitie van de loodrechtheid van de vlakken, het probleem van het construeren van het vlak β, loodrecht op het vlak α, lossen we op de volgende manier op: teken een rechte lijn l, loodrecht op het vlak α; we omsluiten de rechte l in het vlak β. Het vliegtuig β ⊥ α, sinds β ⊃ l ⊥ α.

Door de lijn l kunnen veel vlakken worden getrokken, dus het probleem heeft veel oplossingen. Om het antwoord specifieker te maken, moeten aanvullende voorwaarden worden gespecificeerd.

VOORBEELD 1. Trek door deze rechte lijn het vlak β, loodrecht op het vlak α (Fig. 258).

OPLOSSING. We bepalen de richting van de projecties van de loodlijn op het vlak α, hiervoor vinden we de horizontale projectie van de horizontale (h ") en de frontale projectie van de voorkant (f"); uit de projecties van een willekeurig punt A ∈ α tekenen we de projecties van de loodlijn l "⊥ h" en l "⊥ f". Het vliegtuig β ⊥ α, sinds β ⊃ l ⊥ α.

VOORBEELD 2. Trek door dit punt A een horizontaal projecterend vlak γ, loodrecht op het vlak α, gegeven door de sporen (Fig. 259, a).

Het gezochte vlak γ moet een rechte lijn bevatten die loodrecht staat op het α-vlak, of loodrecht staan ​​op een rechte lijn die hoort bij het α-vlak. Aangezien het γ-vlak horizontaal moet uitsteken, moet de rechte lijn die er loodrecht op staat evenwijdig aan het π 1-vlak zijn, dwz de horizontaal zijn van het α-vlak of (wat hetzelfde is) het horizontale spoor van dit vlak - h 0α Daarom , door het horizontale projectiepunt A "tekenen we een horizontaal spoor h 0γ ⊥ h 0α een frontaal spoor f 0γ ⊥ van de x-as.

In afb. 259, b toont een frontaal projectievlak γ dat door punt B gaat en loodrecht op het vlak 2.

Uit de tekening blijkt dat een onderscheidend kenmerk van het diagram, waarop twee onderling loodrechte vlakken zijn opgesteld, waarvan er één frontaal uitsteekt, de loodrechtheid is van hun frontale banen f 0γ ⊥ f 0α, het horizontale spoor van de frontaal projectievlak staat loodrecht op de x-as.

Van alle mogelijke posities van een rechte lijn die een vlak snijdt, noteren we het geval waarin de rechte lijn loodrecht op het vlak staat, en beschouwen de eigenschappen van de projecties van zo'n rechte lijn.

In afb. 185 krijgt een vlak dat wordt gedefinieerd door twee snijdende lijnen AN en AM, waarbij AN het horizontale vlak is en AM frontaal op dit vlak staat. Lijn AB, weergegeven in dezelfde tekening, staat loodrecht op AN en AM en dus loodrecht op het vlak dat ze definiëren.

Een loodlijn op een vlak staat loodrecht op een rechte lijn die in dat vlak wordt getrokken. Maar om ervoor te zorgen dat de projectie van de loodlijn op het vlak van algemene positie loodrecht staat op de projectie van dezelfde naam van een rechte lijn van dit vlak, moet de rechte lijn een horizontale of een frontale of een profiellijn zijn van het vliegtuig. Daarom, willen ze een loodlijn op het vlak construeren, nemen ze in het algemeen twee van dergelijke rechte lijnen (bijvoorbeeld een horizontale en een frontale, zoals weergegeven in Fig. 185).

Dus, loodrecht op het vlak, de horizontale projectie ervan staat loodrecht op de horizontale projectie van de horizontale, de frontale projectie staat loodrecht op de frontale projectie van de frontale, de profielprojectie staat loodrecht op de profielprojectie van de profiellijn van dit vlak.

Het is duidelijk dat in het geval dat het vlak wordt uitgedrukt door sporen (Fig. 186), we de volgende conclusie krijgen: als de rechte lijn loodrecht op het vlak staat, dan staat de horizontale projectie van deze rechte lijn loodrecht op het horizontale spoor van het vlak en staat de frontale projectie loodrecht op het frontale spoor van het vlak.

Dus als in het systeem π ​​1, π 2 de horizontale projectie van de rechte lijn loodrecht staat op het horizontale spoor en de frontale projectie van de rechte lijn loodrecht staat op het frontale spoor van het vlak, dan in het geval van vlakken in algemene positie (Fig. 186), evenals horizontaal en frontaal uitsteken, staat de rechte lijn loodrecht op het vlak... Maar voor een profielprojectievlak kan blijken dat de rechte lijn naar dit vlak niet loodrecht staat, hoewel

de projecties van de rechte lijn staan ​​respectievelijk loodrecht op de horizontale en frontale sporen van het vlak. Daarom is het in het geval van een profielprojectievlak ook noodzakelijk om de relatieve positie van de profielprojectie van de rechte lijn en het profielspoor van het gegeven vlak in overweging te nemen en pas dan vast te stellen of de gegeven lijn en het vlak loodrecht op elkaar,

Het is duidelijk dat (Fig. 187) de horizontale projectie van de loodlijn op het vlak overgaat in de horizontale projectie van de hellingslijn die in het vlak door de basis van de loodlijn wordt getrokken.

In afb. 186 vanaf punt A wordt een loodlijn op pl getrokken. α (A "C" ⊥ f "0α, A" C "⊥h" 0α) en toont de constructie van het punt E, waarop de loodlijn AC het vierkant snijdt. . De constructie wordt uitgevoerd met behulp van een horizontaal uitstekend vierkant. β getrokken door de loodlijn AE.

In afb. 188 toont de constructie van de loodlijn op het vlak gedefinieerd door de driehoek ABC. De loodlijn wordt getrokken door punt A.

Aangezien de frontale projectie van de loodlijn op het vlak loodrecht op de frontale projectie van de voorkant van het vlak moet staan, en de horizontale projectie loodrecht op de horizontale projectie van de horizontaal staat, is de frontale projectie met uitsteeksels A "D" en A "D " en de horizontale A "E" zijn getekend in het vlak door punt A ", A" E ", Deze lijnen hoeven natuurlijk niet precies door punt A te worden getrokken.

Vervolgens worden de projecties van de loodlijn getekend: M "N" ⊥A "D", M "N" ⊥A "E". Waarom projecties in Fig. 188 in secties A "N" en A "M" worden weergegeven met stippellijnen? Want hier beschouwen we het vlak gedefinieerd door de driehoek ABC, en niet alleen deze driehoek: de loodlijn ligt deels voor het vlak, deels erachter.

In afb. 189 en 190 tonen de constructie van een vlak dat door punt A loodrecht op lijn BC gaat. In afb. 189 vlak wordt uitgedrukt door sporen. De constructie begint met het tekenen van de horizontale lijn van het gewenste vlak door punt A: aangezien het horizontale spoor van het vlak loodrecht op B "C" moet staan, moet de horizontale projectie van het horizontaal ook loodrecht op B "C" staan. Daarom is A "N" ⊥B "C". Projectie A "N" || van de x-as, zoals het hoort voor de horizontale. Dan wordt het spoor f "0α ⊥В" С "door punt N getrokken" (N "is de frontale projectie van het frontale spoor van de horizontale AN), punt X α wordt verkregen en het spoor h" 0α || A "N " (h "0α ⊥В" MET").

In afb. Het 190-vlak wordt gedefinieerd door zijn frontale AM ​​en horizontale AN. Deze rechte lijnen staan ​​loodrecht op BC (A "M" ⊥B "C", A "N" ⊥B "C"); het vlak dat ze definiëren staat loodrecht op de BC.

Aangezien de loodlijn op het vlak loodrecht staat op elke rechte lijn die in dit vlak wordt getrokken, kun je, nadat je hebt geleerd het vlak loodrecht op de rechte lijn te tekenen, dit gebruiken om een ​​loodlijn te tekenen van een punt A naar de lijn in algemene positie BC . Vanzelfsprekend kunt u het volgende plan schetsen voor het construeren van projecties van de gewenste rechte lijn:

1) teken een vlak door punt A (laten we het γ noemen), loodrecht op BC;

2) bepaal het punt K van het snijpunt van de rechte BC met pl. ;

3) verbind de punten A en K met een recht lijnstuk.

Rechte lijnen AK en BC staan ​​onderling loodrecht op elkaar.

Een voorbeeld van een constructie wordt gegeven in Fig. 191. Door punt A wordt een vlak (γ) getrokken, loodrecht op BC. Dit wordt gedaan met behulp van een frontale projectie A "F", die loodrecht op de frontale projectie B "C" staat, en een horizontale lijn, waarvan een horizontale projectie loodrecht op B "C" staat.

Toen werd het punt K gevonden, waar de lijn BC het vierkant snijdt. . Hiervoor wordt een horizontaal projectievlak β getrokken door de rechte lijn BC (in de tekening wordt het alleen gegeven door het horizontale spoor (β "). Pl. Β snijdt het gebied γ in een rechte lijn met projecties 1" 2 "en 1" 2". Op het snijpunt van deze rechte met rechte BC komt punt K uit. Lijn AK is de vereiste loodlijn op BC Rechte lijn AC snijdt rechte lijn BC en bevindt zich in vierkant γ, loodrecht op rechte lijn BC ; daarom AK⊥BC.

In § 15 werd getoond (afb. 92) hoe men een loodlijn van een punt op een rechte lijn kan trekken. Maar daar werd het gedaan door een extra vlak in het systeem π ​​1, π 2 te introduceren en zo het systeem π 3, π 1 te vormen, waarin het vierkant. π 3 wordt evenwijdig aan een gegeven rechte lijn getrokken. We raden aan om de constructies in Fig. 92 en 191.

In afb. 192 toont een vlak in algemene positie - , dat door punt A gaat, en de loodlijn AM op deze vlakheid, voortgezet tot het snijpunt met pl. π 1 bij punt B ".

Hoek φ 1 tussen pl. α, en vierkant π 1 en de hoek φ tussen de rechte AM en vierkant. π 1 zijn de scherpe hoeken van de rechthoekige driehoek B "AM", en daarom φ 1 + φ = 90 °. Evenzo, als vierkant α gelijk is aan vierkant. π 2 de hoek σ 2, en de rechte AM, loodrecht op α, is met pl. π 2 hoek σ, dan σ 2 + σ = 90 °. Hieruit volgt allereerst dat het vlak in algemene positie, dat een hoek φ 1 moet maken met vierkant π 1, en met vierkant. π 2 hoek σ 2 kan alleen worden geconstrueerd als 180 °> φ 1 + σ 2> 90 °.

Inderdaad, als we term voor term φ 1 + φ = 90 ° en σ 2 + σ = 90 ° toevoegen, krijgen we φ 1 + σ 2 + φ + σ = 180 °, dat wil zeggen φ 1 + σ 2 90 °. Als we φ 1 + σ 2 = 90 ° nemen, krijgen we een profiel-projectievlak, en als we φ 1 + σ 2 = 180 ° nemen, dan krijgen we een profielvlak, d.w.z. in beide gevallen bevindt het vlak zich niet in een algemene positie, maar in het bijzonder.