U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije vektorske operacije: vektorski proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link, kome treba)... U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska zavisnost. Mogao bi se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike uopće nema dovoljno drva za ogrjev, osim što ima dovoljno za Buratino. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog skalarni proizvod, čak će i tipični zadaci biti manji. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je DA NE POGREŠITE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke da povrati ili povrati osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnim radovima

Kako vam odmah ugoditi? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve ili čak tri lopte. Ispalo je spretno. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, na isti način kao u tačkastom proizvodu, uključuje dva vektora... Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Ima i drugih opcija, ali ja sam vektorski proizvod vektora označavao upravo tako, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a i ovdje se dva vektora množe, dakle koja je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat tačkastog proizvoda vektora je BROJ:

Vektorski proizvod vektora rezultira VEKTOROM:, odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Po vektorskom proizvodu nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužina koji brojčano jednaka površini paralelograma izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima mnogo zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće bitne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno... Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "A" se množi sa "bh", a ne "bae" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica na sinus ugla između njih... Stoga, na osnovu navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Koja je praktična poenta? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj ... Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka ... Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnuti na dlan. Kao rezultat thumb- unakrsni proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici je to). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na mjestima, kao rezultat toga, palac će se otvoriti, a križni proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: šta je osnova lijeve orijentacije? "Dodeli" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora)... Slikovito rečeno, ove podloge "uvijaju" ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda će općenito nije moguće kombinovati sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije strašne =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno analizirana, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu locirati na jednoj pravoj liniji i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula.

Dakle, ako, onda ... Strogo govoreći, sam unakrsni proizvod je jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod samog vektora:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera, možda će vam trebati trigonometrijska tabela da iz njega nađete vrijednosti sinusa.

Pa, hajde da zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Pronađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Po uslovu, potrebno je pronaći Dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru označavamo dimenziju - jedinice.

b) Po uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da odgovor o vektorskom proizvodu uopće ne dolazi u obzir, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima će se vratiti na reviziju. Iako ovo nije posebno teško prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se čini da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili ne razumije suštinu zadatka. Ovaj momenat se mora uvek držati pod kontrolom, rešavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se to moglo dodatno ugurati u rješenje, ali da bih skratio snimak nisam to uradio. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz unakrsni proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trouglovi vas generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Vektorska svojstva proizvoda

Već smo razmotrili neka svojstva unakrsnog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost... Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni vektorskog proizvoda. Konstante se neprimjetno uklanjaju iz vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) - distribucija ili distributivni zakoni vektorskog proizvoda. Nema problema ni sa proširenjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Prema uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. Hajde da napišemo našu sličicu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, pomjeramo konstante izvan podjele vektorskog proizvoda.

(2) Izmjestite konstantu iz modula, dok modul "jede" znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da stavite drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Površina trokuta se nalazi po formuli ... Kvaka je u tome što su vektori "tse" i "de" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora... Radi jasnoće, podijelimo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod u smislu vektorskog proizvoda, u stvari, izraziti vektor u terminima vektora... Još ni riječi o dužinama!

(1) Zamjenski vektorski izrazi.

(2) Koristeći distributivne zakone, širimo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, vektor je izražen kao vektor, što je bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja liči na primjer 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 odluke mogu se završiti u jednom redu.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testnim radovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju tutorijala. Da vidimo koliko ste bili oprezni kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Vektorski proizvod vektora u koordinatama

dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo po strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite unakrsni proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite unakrsni proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ova sekcija neće biti velika, jer nema mnogo zadataka u kojima se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su stajali u redu sa malim vozom i čekaju, jedva čekaju da se otkriju.

Prvo, opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom se zove zapremine paralelepipeda, izgrađen na datim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “-” ako je baza lijeva.

Hajde da završimo crtež. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ:. U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam naviknut označavati mješoviti rad kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

A-prioritet mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini ovog paralelepipeda.

Bilješka : crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet znojiti sa konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti rad može biti negativan:.

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka je proizvodu dužina ovih vektora na ugao ugla koji leži između njih.

Dobro je kada su, prema uslovima, date dužine ovih istih vektora. Međutim, dešava se i da se formula za površinu paralelograma izgrađenog na vektorima može primijeniti samo nakon izračuna po koordinatama.
Ako imate sreće i prema uvjetima su date dužine vektora, onda samo trebate primijeniti formulu koju smo već detaljno analizirali u članku. Površina će biti jednaka umnošku modula sa sinusom ugla između njih:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine paralelograma izgrađenog na vektorima.

zadatak: paralelogram se gradi na vektorima i. Pronađite površinu if, a ugao između njih je 30°.
Izrazimo vektore u smislu njihovih vrijednosti:

Možda imate pitanje - odakle su došle nule? Vrijedi zapamtiti da radimo sa vektorima i za njih ... također imajte na umu da ako je rezultat izraz, on će biti pretvoren u. Sada vršimo konačne proračune:

Vratimo se na problem kada dužine vektora nisu specificirane u uslovima. Ako vaš paralelogram leži u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda morate da uradite sledeće.

Izračunavanje dužina stranica figure datih koordinatama

Prvo pronalazimo koordinate vektora i oduzimamo odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja. Pretpostavimo koordinate vektora a (x1; y1; z1) i vektora b (x3; y3; z3).
Sada ćemo pronaći dužinu svakog vektora. Da biste to učinili, svaka koordinata mora biti kvadrirana, zatim zbrojiti rezultate i izdvojiti korijen iz konačnog broja. Prema našim vektorima, izvršit će se sljedeći proračuni:


Sada moramo pronaći tačkasti proizvod naših vektora. Da biste to učinili, njihove odgovarajuće koordinate se množe i sabiraju.

Imajući dužine vektora i njihov tačkasti proizvod, možemo pronaći kosinus ugla koji leži između njih.
Sada možemo pronaći sinus istog ugla:
Sada imamo sve potrebne količine i lako možemo pronaći površinu paralelograma izgrađenog na vektorima koristeći već poznatu formulu.