Online kalkulator.
Rješavanje trouglova.

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranu \ (c \), uglove \ (\ alfa \) i \ (\ beta \) duž stranica koje je odredio korisnik \ (a, b \) i ugao između njih \ (\ gama \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj onlajn kalkulator može biti koristan učenicima viših razreda srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete voditi vlastitu nastavu i/ili podučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se nivo obrazovanja u oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila unosa brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijele, već i razlomke.
Cijeli i razlomci u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke poput 2,5 ili otprilike 2,5

Unesite stranice \ (a, b \) i ugao između njih \ (\ gama \)

\ (a = \)
\ (b = \)
\ (\ gama = \)	(u stepenima)

Riješi trougao

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odlučuješ i šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

Kosinus teorema

Teorema
Neka je u trouglu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Onda
Kvadrat stranice trokuta je zbir kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki proizvod tih stranica puta kosinus ugla između njih.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

Rješavanje trouglova

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješavanje trougla s dvije strane i ugla između njih

Dato je: \ (a, b, \ ugao C \). Pronađite \ (c, \ ugao A, \ ugao B \)

Rješenje
1. Po kosinusnoj teoremi nalazimo \ (c \):

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C) $$ 2. Koristeći kosinus teorem, imamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

3. \ (\ ugao B = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao C \)

Rješavanje trougla po strani i susjednim uglovima

Zadano: \ (a, \ ugao B, \ ugao C \). Pronađite \ (\ ugao A, b, c \)

Rješenje
1. \ (\ ugao A = 180 ^ \ kružnica - \ ugao B - \ ugao C \)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunaj b i c:
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Rješavanje trougla sa tri strane

Zadato: \ (a, b, c \). Pronađite \ (\ ugao A, \ ugao B, \ ugao C \)

Rješenje
1. Po teoremi kosinusa dobijamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

Iz \ (\ cos A \) nalazimo \ (\ ugao A \) pomoću kalkulatora ili iz tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. \ (\ ugao C = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao B \)

Rješavanje trougla s dvije strane i ugla nasuprot poznatoj strani

Dato: \ (a, b, \ ugao A \). Pronađite \ (c, \ ugao B, \ ugao C \)

Rješenje
1. Po teoremi sinusa nalazimo \ (\ sin B \) dobijamo:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

Uvedemo oznaku: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Ovisno o broju D, mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D> 1, takav trokut ne postoji, jer \ (\ sin B \) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji samo jedan \ (\ ugao B: \ četverostruk \ sin B = 1 \ strelica desno \ ugao B = 90 ^ \ kružnica \)
Ako je D Ako je D 2. \ (\ ugao C = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao B \)

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunaj stranu c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci USE i OGE testovi online Igre, zagonetke Funkcije crtanja Grafički rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog ruskih srednjih škola Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

U životu se često suočavamo s problemima iz matematike: u školi, na fakultetu, a onda pomažemo djetetu oko domaće zadaće. Ljudi određenih profesija svakodnevno će biti izloženi matematici. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku ćemo analizirati jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Šta je pravougli trougao

Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se kracima, a strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Pronađite katet pravokutnog trougla

Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorina teorema za pronalaženje kraka pravouglog trougla

Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka koristeći Pitagorinu teoremu. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c² = a² + b², gdje je c - hipotenuza, a i b - kraci. Transformišemo formulu i dobijamo: a² = c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm. Transformišemo formulu: c² = a² + b² → a² = c²-b². Tada odlučujemo: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).

Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također možete pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga strana i bilo koji oštar ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje noge pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangent, kotangens. Za rješavanje problema pomoći će nam donja tabela. Hajde da razmotrimo ove opcije.

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus

Sinus ugla (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin = a / c, gdje je a krak suprotan datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a = sin * c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, ugao A je 30 stepeni. Prema tabeli, izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a = sin∠A * c; a = 1/2 * 10; a = 5 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus

Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos = b / c, gdje je b krak koji graniči sa datim uglom, a c je hipotenuza. Transformirajmo formulu i dobijemo: b = cos * c.

Primjer. Ugao A je 60 stepeni, hipotenuza je 10 cm. Prema tabeli izračunavamo kosinus ugla A, on je 1/2. Tada odlučujemo: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Pomoću tangente pronađite katet pravokutnog trokuta

Tangent ugla (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka. Formula: tg = a / b, gdje je a krak nasuprot uglu, a b susjedni. Transformiramo formulu i dobijemo: a = tg * b.

Primjer. Ugao A je jednak 45 stepeni, hipotenuza je jednaka 10 cm Prema tabeli izračunavamo tangentu ugla A, ona je jednaka Reši: a = tg∠A * b; a = 1 * 10; a = 10 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens

Kotangens ugla (ctg) je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka. Formula: ctg = b / a, gdje je b krak pored ugla, a je suprotni krak. Drugim riječima, kotangens je “obrnuta tangenta”. Dobijamo: b = ctg * a.

Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak 5 cm Prema tabeli tangenta ugla A je √3. Izračunajte: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, ovo nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.

Online kalkulator.
Rješavanje trouglova.

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranice \ (b, c \) i ugao \ (\ alpha \) duž stranice koju definira korisnik \ (a \) i dva susjedna ugla \ (\ beta \) i \ (\ gama \ )

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj onlajn kalkulator može biti koristan učenicima viših razreda srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete voditi vlastitu nastavu i/ili podučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se nivo obrazovanja u oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila unosa brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijele, već i razlomke.
Cijeli i razlomci u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke poput 2,5 ili otprilike 2,5

Unesite stranu \ (a \) i dva susjedna ugla \ (\ beta \) i \ (\ gama \)

\ (a = \)
\ (\ beta = \)	(u stepenima)
\ (\ gama = \)	(u stepenima)

Riješi trougao

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odlučuješ i šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

Kosinus teorema

Teorema
Neka je u trouglu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Onda
Kvadrat stranice trokuta je zbir kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki proizvod tih stranica puta kosinus ugla između njih.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

Rješavanje trouglova

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješavanje trougla s dvije strane i ugla između njih

Dato je: \ (a, b, \ ugao C \). Pronađite \ (c, \ ugao A, \ ugao B \)

Rješenje
1. Po kosinusnoj teoremi nalazimo \ (c \):

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C) $$ 2. Koristeći kosinus teorem, imamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

3. \ (\ ugao B = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao C \)

Rješavanje trougla po strani i susjednim uglovima

Zadano: \ (a, \ ugao B, \ ugao C \). Pronađite \ (\ ugao A, b, c \)

Rješenje
1. \ (\ ugao A = 180 ^ \ kružnica - \ ugao B - \ ugao C \)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunaj b i c:
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Rješavanje trougla sa tri strane

Zadato: \ (a, b, c \). Pronađite \ (\ ugao A, \ ugao B, \ ugao C \)

Rješenje
1. Po teoremi kosinusa dobijamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

Iz \ (\ cos A \) nalazimo \ (\ ugao A \) pomoću kalkulatora ili iz tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. \ (\ ugao C = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao B \)

Rješavanje trougla s dvije strane i ugla nasuprot poznatoj strani

Dato: \ (a, b, \ ugao A \). Pronađite \ (c, \ ugao B, \ ugao C \)

Rješenje
1. Po teoremi sinusa nalazimo \ (\ sin B \) dobijamo:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

Uvedemo oznaku: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Ovisno o broju D, mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D> 1, takav trokut ne postoji, jer \ (\ sin B \) ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji samo jedan \ (\ ugao B: \ četverostruk \ sin B = 1 \ strelica desno \ ugao B = 90 ^ \ kružnica \)
Ako je D Ako je D 2. \ (\ ugao C = 180 ^ \ kružnica - \ ugao A - \ ugao B \)

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunaj stranu c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci USE i OGE testovi online Igre, zagonetke Funkcije crtanja Grafički rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog ruskih srednjih škola Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

U geometriji, ugao je lik formiran od dve zrake koje izlaze iz jedne tačke (vrh jednog ugla). Uglovi se najčešće mjere u stepenima, pri čemu je ukupni ugao, odnosno obrt, jednak 360 stepeni. Možete izračunati ugao poligona ako znate vrstu poligona i veličinu njegovih ostalih uglova, ili, u slučaju pravouglog trougla, dužinu dvije njegove stranice.

Steps

Izračunavanje uglova poligona

Izbrojite broj uglova u poligonu.

Pronađite zbir svih uglova poligona. Formula za pronalaženje zbira svih unutrašnjih uglova poligona izgleda kao (n - 2) x 180, gdje je n broj stranica i uglova poligona. Evo zbira uglova nekih uobičajenih poligona:

• Zbir uglova trougla (trostranog poligona) iznosi 180 stepeni.
• Uglovi četvorougla (četvorostranog poligona) iznose 360 ​​stepeni.
• Uglovi petougla (petostranog poligona) iznose 540 stepeni.
• Uglovi šestougla (šestostranog poligona) iznose 720 stepeni.
• Zbir uglova osmougla (osmostranog poligona) iznosi 1080 stepeni.

1. Odredite da li je poligon pravilan. Pravilan mnogokut je mnogokut u kojem su sve strane i svi uglovi međusobno jednaki. Primjeri pravilnih poligona su jednakostranični trokut i kvadrat, dok je Pentagon u Washingtonu izgrađen u obliku pravilnog peterokuta, a stop znak je u obliku pravilnog osmougla.

   Zbrojite poznate uglove poligona, a zatim oduzmite taj zbroj od zbroja svih njegovih uglova. Većina geometrijskih problema ove vrste odnosi se na trouglove ili četverouglove, jer zahtijevaju manje ulaznih podataka, pa ćemo i mi učiniti isto.

   • Ako su dva ugla trougla 60 stepeni, odnosno 80 stepeni, saberite te brojeve. Ispostaviće se da je 140 stepeni. Zatim oduzmite ovaj iznos od ukupnog broja uglova trougla, odnosno od 180 stepeni: 180 - 140 = 40 stepeni. (Trougao, čiji su svi uglovi međusobno nejednaki, naziva se nestraničnim.)
   • Ovo rješenje možete napisati kao a = 180 - (b + c), gdje je a ugao koji želite pronaći, b i c su poznati uglovi. Za poligone sa više od tri strane, zamijenite 180 zbirom uglova ove vrste poligona i dodajte po jedan član zbroju u zagradi za svaki poznati ugao.
   • Neki poligoni imaju svoje "trikove" koji će vam pomoći da izračunate nepoznati ugao. Na primjer, jednakokraki trokut je trokut s dvije jednake stranice i dva jednaka ugla. Paralelogram je četverougao čije su suprotne stranice i suprotni uglovi jednaki.

   Izračunavanje uglova pravokutnog trougla

   1. Odredite koje podatke znate. Pravougli trougao se naziva tako jer mu je jedan od uglova pravi. Veličinu jednog od dva preostala ugla možete pronaći ako znate nešto od sljedećeg:

      Odredite koju trigonometrijsku funkciju koristiti. Trigonometrijske funkcije izražavaju omjere dvije od tri strane trokuta. Postoji šest trigonometrijskih funkcija, ali se najčešće koriste sljedeće:

U geometriji se često javljaju problemi vezani za stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su druge dvije poznate.

Trokuti su jednakokraki, jednakostranični i nestrani. Od svih raznolikosti, za prvi primjer, izabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od uglova je 90 °, stranice koje su susjedne zovu se noge, a treći hipotenuza).

Brza navigacija kroz članak

Dužina stranica pravokutnog trougla

Rješenje problema slijedi iz teoreme velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbir kvadrata kateta pravouglog trougla jednak kvadratu njegove hipotenuze: a² + b² = c²

• Odrediti kvadrat dužine kraka a;
• Naći kvadrat kateta b;
• Sastavili smo ih zajedno;
• Iz dobivenog rezultata izdvajamo korijen drugog stepena.

Primjer: a = 4, b = 3, c =?

• a² = 4² = 16;
• b² = 3² = 9;
• 16+9=25;
• √25 = 5. Odnosno, dužina hipotenuze ovog trougla je 5.

Ako trokut nema pravi ugao, onda dužine dvije stranice nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti ugao, visina površine trokuta, polumjer kružnice upisane u njega itd.

Ako je poznat obim

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbir svih strana trougla: P = a + b + c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobijamo rezultat.

Primjer: P = 18, a = 7, b = 6, c =?

1) Riješite jednačinu prijenosom svih poznatih parametara na jednu stranu iz znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto toga i izračunajte treću stranu:

c = 18-7-6 = 5, ukupno: treća stranica trougla je 5.

Ako je ugao poznat

Za izračunavanje treće strane trokuta po kutu i dvije druge strane, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos između stranica trokuta i sinusa ugla, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, morate kvadrirati obje strane i sabrati njihove rezultate. Zatim oduzmite od rezultirajućeg proizvoda stranica pomnoženih kosinusom ugla: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju, jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunamo sin γ, izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ = 2S / (a ​​* b)

2) Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo kosinus istog ugla:

sin² α + cos² α = 1

cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a ​​* b)) ²)

3) I opet koristimo teoremu o sinusima:

C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)

C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a ​​* b)) ²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednačinu dobijamo odgovor na problem.