Da bi se razgradili faktori, potrebno je pojednostaviti izraze. To je neophodno kako bi se nastavilo smanjivati. Razgradnja polinoma ima smisla kada njegova diploma nije niža od druge. Polinom s prvim stepenom naziva se linearnim.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Članak će otkriti sve pojmove razgradnje, teorijskih zaklada i metoda širenja polinoma na množitelje.

Teorija

Theorem 1.

Kad bilo koji polinom s diplomom N, ima oblik p n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0, predstavljaju proizvod sa stalnim faktorom sa starijem stepenom i N linearnog multiplikatora (X - XI), I \u003d 1, 2, ..., N, zatim PN (X) \u003d (X - XN) (X - XN - 1) ·. . . · (X - X 1), gdje je x I, I \u003d 1, 2, ..., n su korijeni polinoma.

Teorema je namijenjena korijenima složenog tipa x i, i \u003d 1, 2, ..., n i za složene koeficijente A K, k \u003d 0, 1, 2, ..., n. Ovo je osnova bilo koje raspadanje.

Kada su koeficijenti obrasca A K, k \u003d 0, 1, 2, ..., n važni su brojevi, a zatim složeni korijeni koji će se susresti sa parovima. Na primjer, korijeni x 1 i x 2 koji pripadaju polinom oblika p n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + 1 X + A 0 smatra se sveobuhvatno konjugirani, a drugi su validni korijeni, dobivamo odavde da polinom uzima oblik p (x) \u003d a n (X - x N - 1) ·. . . · (X - X 3) x 2 + P X + Q, gdje je x 2 + p x + q \u003d (x - x 1) (x - x 2).

Komentar

Korijeni polinoma mogu se ponoviti. Razmotrite dokaz teoreme algebre, efekat iz teoreme MANT-a.

Glavna teorema algebre

Theorem 2.

Bilo koji polinom s diplomom n ima barem jedan korijen.

Teorem Bezu

Nakon podjele polinoma oblika p n x \u003d a n x n + a n bio je 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0 na (X - s), tada dobijamo ostatak koji je jednak polinom na poantu, a zatim dobivamo

P n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0 \u003d (X - S) · Q N - 1 (x) + P N (i), gdje je Q N - 1 (x) polinom s diplomom N - 1.

Posljedica teoreme

Kada se korijen polinoma p n (x) smatra s, a zatim p n x \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X + A 0 \u003d (X - S) · Q N - 1 (x). Ova istraga je dovoljna kada se koristi za opisivanje rješenja.

Dekompozicija za kvadratni trostruki multiplikatori

Trg trostruka obrasca A x 2 + B X + C može se razgraditi na linearnim množiteljima. Tada dobijamo taj x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), gdje su x 1 i x 2 korijeni (složeni ili validni).

Može se vidjeti da se samo raspadanje smanjuje za rešavanje kvadratnih jednadžbi nakon toga.

Primjer 1.

Određivanje kvadratnih trostrukih snimaka na multiplikatoru.

Odluka

Potrebno je pronaći korijenje jednadžbe 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 0. Da biste to učinili, potrebno je pronaći vrijednost diskriminantnog prema formuli, a zatim dobivamo d \u003d (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 \u003d 9. Odavde imamo to

x 1 \u003d 5 - 9 2 · 4 \u003d 1 4 x 2 \u003d 5 + 9 2 · 4 \u003d 1

Odavde dobijamo da 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 4 x - 1 4 x - 1.

Da biste izvršili provjere, morate otkriti zagrade. Tada dobivamo izraz obrasca:

4 x - 1 4 x - 1 \u003d 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 \u003d 4 x 2 - 5 x + 1

Nakon provjere stižemo do početnog izražavanja. To jest, može se zaključiti da je raspadanje tačno.

Primer 2.

Proširite na množitelje uređaja u tri odabrane vrste 3 x 2 - 7 x - 11.

Odluka

Dobijamo da je potrebno izračunati rezultirajuće kvadratne jednadžbe obrasca 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0.

Da biste pronašli korijene, potrebno je odrediti vrijednost diskriminantnog. To shvatamo

3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 d \u003d (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) \u003d 181 x 1 \u003d 7 + d 2 · 3 \u003d 7 + 181 6 x 2 \u003d 7 - d 2 · 3 \u003d 7 - 181 6

Odavde dobijamo da 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Primjer 3.

Određivanje polinoma 2 x 2 + 1 na multiplikatoru.

Odluka

Sada morate riješiti kvadratnu jednadžbu 2 x 2 + 1 \u003d 0 i pronaći svoje korijene. To shvatamo

2 x 2 + 1 \u003d 0 x 2 \u003d - 1 2 x 1 \u003d - 1 2 \u003d 1 2 · I x 2 \u003d - 1 2 \u003d - 1 2 · ja

Ovi korijeni se nazivaju sveobuhvatno konjugirano, to znači da se samo raspadanje može prikazati kao 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · ja.

Primjer 4.

Određivanje kvadrata tri decera x 2 + 1 3 x + 1.

Odluka

Za početak, potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu obrasca x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 i pronaći svoje korijene.

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 d \u003d 1 3 2 - 4 · 1 · 1 \u003d - 35 9 x 1 \u003d - 1 3 + d 2 · 1 \u003d - 1 3 + 35 3 · i 2 \u003d 1 + + 35 · I 6 \u003d - 1 6 + 35 6 · IX 2 \u003d - 1 3 - D 2 · 1 \u003d - 1 3 - 35 3 · i 2 \u003d - 1 - 35 · i 6 \u003d - 1 6 - 35 6 · ja

Primio korijenje, pisati

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i \u003d x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · ja

Komentar

Ako je vrijednost diskriminantnog negativna, onda će polinomi ostati polinomi drugog reda. Slijedi da ih nećemo staviti na linearne množitelje.

Metode raspadaju polinoma stupnjeva više od drugog

U raspadanju se pretpostavlja univerzalna metoda. Većina svih slučajeva temelji se na posljedici teorema MANT-a. Da biste to učinili, potrebno je odabrati vrijednost korijena x 1 i smanjiti njezinu diplomu dijeljenjem na polinom do 1 podjele (X - X 1). Rezultirajuće polinomiju treba pronaći korijen x 2, a postupak pretraživanja ciklično je dok ne primimo potpunu raspadanje.

Ako se korijen ne nađe, primjenjuju se drugi načini raspadanja multiplikatora: grupiranje, dodatni uvjeti. Ova tema vjeruje rješavanje jednadžbi s višim stupnjevima i cjelokupnim koeficijentima.

Multiplikator za zagrade

Razmislite o slučaju kada je besplatni član nula, tada vrsta polinoma postaje poput p n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x.

Može se vidjeti da će korijen takvog polinoma biti x 1 \u003d 0, onda se polinom može dostaviti kao izraz p n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 X \u003d X (A N X N - 1 + A N - 1 X N - 2 + ... + A 1)

Ova metoda se smatra da povlači zajednički faktor za nosače.

Primjer 5.

Izvršite raspadanje polinoma trećeg stepena 4 x 3 + 8 x 2 - x na množitelju.

Odluka

Vidimo da je x 1 \u003d 0 korijen određenog polinoma, tada je moguće napraviti x za zagrade cijelog izraza. Dobijamo:

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x (4 x 2 + 8 x - 1)

Idite na pronalazak korijena kvadrata trodijerano 4 x 2 + 8 x - 1. Nalazimo diskriminatosti i korijenje:

D \u003d 8 2 - 4 · 4 · (- 1) \u003d 80 x 1 \u003d - 8 + d 2 · 4 \u003d - 1 + 5 2 x 2 \u003d - 8 - d 2 · 4 \u003d - 1 - 5 2

Onda to slijedi

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x 4 x 2 + 8 x - 1 \u003d 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 \u003d 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2.

Za početak, uzet ćemo na razmatranje metode raspadanja koja sadrži cijeli koeficijenti obrasca P n (x) \u003d x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + 1 X + A 0, gdje je koeficijent jedan od viših stupnja jednak 1.

Kad polinom ima čitave korijene, tada se smatraju besplatnim djelištima članica.

Primjer 6.

Određivanje izraza f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Odluka

Razmislite da li postoje cijeli korijeni. Potrebno je zapisati razdjelnike broja - 18. Dobivamo to ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Iz toga slijedi da ovaj polinom ima čitave korijene. Možete provjeriti shemu plamenika. Vrlo je zgodno i omogućava vam brzo da dobijete tužitelje na polinoma:

Iz toga slijedi da su x \u003d 2 i x \u003d - 3 korijeni izvornog polinoma, koji se mogu predstavljati kao proizvod obrasca:

f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) \u003d \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Okrećemo se na raspadanje kvadrata tromjesečni obrazac x 2 + 2 x + 3.

Budući da diskriminiramo negativan, to znači da nema valjanih korijena.

Odgovor: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentar

Dozvoljeno je koristiti izbor korijena i podjele polinoma na polinom umjesto sheme Gunner-a. Obraćamo se razmatranju raspadanja polinoma koji sadrži cjelokupni koeficijenti obrasca P N (x) \u003d x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + 1 X + A 0, od kojih je najstariji jednak jednoj.

Ovaj slučaj se odvija za frakcijske racionalne frakcije.

Primjer 7.

Proširite faktore f (x) \u003d 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

Odluka

Neophodno je zamijeniti varijabl y \u003d 2 x, trebali biste se preseliti na polinom sa koeficijentima koji su ravnopravni sa visokim stepenom. Potrebno je započeti s množenjem izražavanja na 4. To shvatamo

4 f (x) \u003d 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 \u003d \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 \u003d g (y)

Kada rezultirajuća funkcija obrasca G (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ima čitave korijene, a zatim njihov nalaz među slobodnim djelištima članova. Zapis će uzeti obrazac:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

Dopustite da se obratimo izračunu funkcije G (Y) u ovim tačkama da biste dobili kao rezultat nule. To shvatamo

g (1) \u003d 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 \u003d 162 g (- 1) \u003d (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 \u003d - 4 g (2) \u003d 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 \u003d 308 g (- 2) \u003d (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 \u003d - 36 g (3) \u003d 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 \u003d 504 g (- 3) \u003d (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 \u003d - 42 g (4) \u003d 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 \u003d 756 g (- 4) \u003d (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 \u003d - 28 g (5) \u003d 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 \u003d 1070 g (- 5) \u003d (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60.

Dobivamo da je y \u003d - 5 korijen jednadžbe oblika y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, znači da je x \u003d y 2 \u003d - 5 2 korijen izvorne funkcije.

Primjer 8.

Potrebno je podijeliti stupac 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 do x + 5 2.

Odluka

Pišemo i dobivamo:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) \u003d \u003d 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verifikacija djelistira potrajat će puno vremena, tako da je profitabilnije preuzeti raspadanje na faktore rezultirajućeg kvadrata s tri zvjedice x 2 + 7 x + 3. Izjednačava s nulom i pronađite diskriminatoru.

x 2 + 7 x + 3 \u003d 0 d \u003d 7 2 - 4 · 1 · 3 \u003d 37 x 1 \u003d - 7 + 37 2 x 2 \u003d - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 \u003d x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Stoga to slijedi

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 \u003d 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umjetne tehnike za raspadanje polinoma

Racionalni korijeni nisu svojstveni svim polinomima. Da biste to učinili, koristite posebne načine za pronalaženje multiplikatora. Ali nisu svi polinomi mogu biti razgrađeni ili prisutni u obliku djela.

Način grupiranja

Postoje slučajevi kada je moguće grupirati komponente polinoma da biste pronašli zajednički faktor i stavite ga za zagrade.

Primjer 9.

Određivanje polinoma x 4 + 4 x 3 - X 2 - 8 X - 2 na množitelju.

Odluka

Budući da su koeficijenti cijeli brojevi, tada se korijenje vjerojatno mogu i cijeli broj. Da biste provjerili, uzimajte vrijednost 1, 1, 2 i - 2 kako biste izračunali vrijednost polinoma na tim bodovima. To shvatamo

1 4 + 4 · 1 - 1 2 - 8 · 1 - 2 \u003d - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 \u003d 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 - 2 2 - 8 · 2 - 2 \u003d 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 \u003d - 6 ≠ 0

Odavde se vidi da nema korijena, potrebno je koristiti drugi način razgradnje i rješenja.

Potrebno je izvesti grupiranje:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 \u003d \u003d (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 \u003d \u003d x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 \u003d \u003d (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Nakon grupisanja originalnog polinoma, potrebno je dostaviti kao proizvod od dva kvadratna tri šalje. Da biste to učinili, moramo se razgraditi faktorima. To shvatamo

x 2 - 2 \u003d 0 x 2 \u003d 2 x 1 \u003d 2 x 2 \u003d - 2 ⇒ x 2 - 2 \u003d x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 12 x 1 \u003d - 4 - d 2 · 1 \u003d - 2 - 3 x 2 \u003d - 4 - d 2 · 1 \u003d - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 \u003d x + 2 - 3 x + 2 + 3.

x 4 + 4 x 3 - X 2 - 8 x - 2 \u003d x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentar

Jednostavnost grupe ne znači da je lako odabrati svijetliju. Određeni način rješenja ne postoji, pa je potrebno koristiti posebne teoreme i pravila.

Primer 10.

Određivanje multiplikatora polinoma x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Odluka

Navedeni polinom nema čitav korijen. Treba napraviti grupiranje komponenti. To shvatamo

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 \u003d x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d \u003d (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Nakon raspadanja na množili, to shvatamo

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 \u003d x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 \u003d x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Koristeći formule skraćenog umnožavanja i binu Newtona za razgradnju polinoma za množine

Izgled često ne čini uvijek jasno kako je potrebno iskoristiti raspadanje. Nakon izvršenih transformacija, možete izgraditi liniju koja se sastoji od trokuta Pascala, u suprotnom se nazivaju Newtonovom binom.

Primjer 11.

Dekompozicija polinoma x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 na množitelju.

Odluka

Potrebno je izvesti konverziju izraza u obrazac

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Slijed koeficijenata iznosa u zagradama ukazuje na izraz X + 1 4.

Dakle, imamo x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3.

Nakon nanošenja razlike u trgovima, dobivamo

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Razmislite o izrazu koji je u drugom nosaču. Jasno je da tamo nema konja, pa je potrebno ponovo primijeniti formulu za razliku kvadrata. Dobijamo izraz stajališta

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 \u003d x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Primer 12.

Određivanje multiplikatora x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

Odluka

Bavićemo se transformacijom izraza. To shvatamo

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 \u003d (x + 2) 3 - 2

Potrebno je primijeniti formulu za smanjeno umnožavanje razlike kockica. Dobijamo:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d \u003d (x + 2) 3 - 2 \u003d x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 \u003d x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metoda zamjene varijable prilikom raspadaju polinom na množitelje

Prilikom zamjene varijable, smanjenje stupnja i raspadanje polinoma na množitelje.

Primjer 13.

Određivanje polinimnih multiplikatora oblika x 6 + 5 x 3 + 6.

Odluka

Pod uvjetom se vidi da je potrebno zamijeniti y \u003d x 3. Dobijamo:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6

Korijeni dobivene kvadratne jednadžbe jednake su y \u003d - 2 i y \u003d - 3, onda

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3

Potrebno je primijeniti formulu za skraćeno umnožavanje količine kockica. Dobijamo izraz obrasca:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3 \u003d x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To jest, dobili su željenu raspadanje.

Gore navedeni slučajevi pomoći će u razmatranju i raspadanju polinoma u množitelje na različite načine.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Za nas je u skladu sa vašom privatnošću. Iz tog razloga razvili smo politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i obavijestite nas ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i upotreba ličnih podataka

Pod osobnim podacima podložan je podacima koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili komunikacije s njim.

Možete se zatražiti da date svoje lične podatke u bilo kojem trenutku kada se povežete s nama.

Ispod su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupiti i kako možemo koristiti takve informacije.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada napustite aplikaciju na web mjestu, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Dok koristimo vaše lične podatke:

• Prikupili smo lične podatke omogućava nam da se kontaktiramo i izvještavamo o jedinstvenim prijedlozima, promocijama i drugim događajima i najbližim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i poruka.
• Možemo koristiti i personalizirane informacije za interne svrhe, poput revizije, analize podataka i različitih studija kako bismo poboljšali usluge naših usluga i pružamo vam preporuke za naše usluge.
• Ako sudjelujete u nagradama, takmičenju ili sličnim stimulativnim događajima, možemo koristiti informacije koje dajete za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Ne otkrivamo informacije koje su primljene od vas trećim stranama.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskom postupkom, na suđenju i / ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva državnih tijela na teritoriji Ruske Federacije - da otkrije vaše lične podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako definiramo da je takvo objavljivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, održavanje zakona i reda ili drugih društvenih važnih slučajeva.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupljamo u toku treću stranu - nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Pravimo mjere predostrožnosti - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - za zaštitu vaših ličnih podataka od gubitka, krađe i beskrupulozne upotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, promjena i razaranja.

Usklađenost sa vašom privatnošću na nivou kompanije

Da biste bili sigurni da su vaši lični podaci sigurni, donosimo normu povjerljivosti i sigurnosti našim zaposlenima, a strogo slijedimo izvršavanje mjera povjerljivosti.

Dekompozicija polinoma za dobivanje proizvoda ponekad izgleda zbunjujuće. Ali ovo nije tako teško ako to shvatite u procesu koraka po korak. Članak je detaljno opisan kako se razgraditi kvadratni trostruki na množiteljima.

Mnogi su nerazumljivi kako se razgraditi kvadratni trostruki na množiteljima i za koji se radi. U početku se može činiti da je to beskorisna okupacija. Ali u matematici se ništa ne radi baš tako. Transformacija je potrebna za pojednostavljenje izražavanja i praktičnosti izračuna.

Polinom s pogledom - Ax² + BX + C, naziva se kvadratni kraj. Izraz "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratnom jednadžbom. Stoga ponekad govore drugačije: kako se raspasti kvadratna jednadžba.

Zanimljivo!Pozvan je kvadratni polinom zbog najvećeg stepena - kvadrata. I tri zaglavljena - zbog 3 konstitutivna uslova.

Neke druge vrste polinoma:

• linearni izbacivač (6x + 8);
• kubični četvero-stan (X³ + 4x²-2x + 9).

Raspadanje kvadratnog tromjesečnog melana

Prvo, izraz je jednak nuli, a zatim trebate pronaći vrijednosti korijena x1 i x2. Korijeni možda nisu, možda jedan ili dva korijena. Prisutnost korijena određuje se diskriminatorom. Njegova formula mora biti poznata po srcu: d \u003d b²-4ac.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan dva korijena. Ako je rezultat bio nula - jedan korijen. Korijenje se izračunava i formulom.

Ako, pri izračunavanju diskriminacije, on se isključuje nula, bilo koja od formula se može primijeniti. U praksi je formula jednostavno smanjena: -b / 2a.

Formule za različite diskriminantne vrijednosti razlikuju se.

Ako je D pozitivan:

Ako je d nula:

Online kalkulatori

Na Internetu se nalazi online kalkulator. S njom možete razgraditi faktore. Neki su resursi daju priliku da donese odluku korak po korak. Takve usluge pomažu bolje razumjeti temu, ali trebate pokušati dobro probiti.

Korisni video: Dekompozicija kvadratnog trostrukog za množine

Primjeri

Predlažemo gledati jednostavne primjere, kako se razgraditi kvadratna jednadžba za množitelje.

Primjer 1.

Jasno pokazuje da je rezultat dva x, jer je D pozitivan. Moraju biti zamijenjeni u formulu. Ako se korijeni pokazali negativnim, znak u formuli se mijenja na suprotno.

Znamo formulu za raspadanje kvadrata tromjeseno za množine: A (X - X1) (X-X2). Stavljamo vrijednosti u zagrade: (x + 3) (x + 2/3). Ne postoji broj za pojam. To znači da postoji jedinica, padne.

Primer 2.

Ovaj primer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamjenjujemo rezultirajuću vrijednost:

Primjer 3.

Danar: 5x² + 3x + 7

Prvo izračunati diskriminatoru, kao u prethodnim slučajevima.

D \u003d 9-4 * 5 * 7 \u003d 9-140 \u003d -131.

Diskriminantno je negativno, znači da nema korijena.

Nakon prijema rezultata, vrijedi otvarati zagrade i provjeriti rezultat. Trebalo bi biti inicijalno prašlo.

Rešenje alternativnog rješenja

Neki se ljudi nisu mogli sprijateljiti sa diskriminatom. Još uvijek možete razgraditi kvadrat tri raspadanja na množiteljima. Radi praktičnosti, metoda se prikazuje u primjeru.

Danar: x² + 3x-10

Znamo da 2 nosača treba dobiti: (_) (_). Kad izraz ima ovakvu vrstu: x² + bx + c, na početku svakog nosača, stavljamo X: (x _) (x_). Preostala dva broja su djelo koji "C" daje, tj. U ovom slučaju -10. Saznajte koji su brojevi mogući samo metodom odabira. Zamijenjeni brojevi moraju biti u skladu s preostalim navodom.

Na primjer, množenje sljedećih brojeva daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x - 1) (x + 10) \u003d x2 + 10x-x-10 \u003d x2 + 9x-10. Ne.
2. (x-10) (x + 1) \u003d x2 + x - 10x-10 \u003d x2-9x-10. Ne.
3. (X-5) (x + 2) \u003d x2 + 2x-5x-10 \u003d x2-3x-10. Ne.
4. (x - 2) (x + 5) \u003d x2 + 5x-2x-10 \u003d x2 + 3x-10. Pogodno.

Dakle, transformacija izražavanja X2 + 3x-10 izgleda ovako: (x-2) (x + 5).

Bitan! Vrijedno je pažljivo nadgledati da ne zbunjuju znakove.

Dekompozicija složenih tri snimka

Ako je "a" više jedinica, poče li poteškoće. Ali sve nije tako teško kao što se čini.

Da biste raspali množitelje, prvo morate vidjeti da li nešto za napraviti iza nosača.

Na primjer, izraz je dan: 3x² + 9x-30. Evo broja 3 za nosač:

3 (x² + 3x-10). Kao rezultat toga, dobije se već poznata trostalna trostalna. Odgovor izgleda ovako: 3 (x-2) (x + 5)

Kako se izlaže ako je izraz koji je na negativnom trgu? U ovom slučaju, broj -1 se podnosi za nosač. Na primjer: -x²-10x-8. Nakon izraza izgledat će ovako:

Shema se razlikuje malo od prethodnog. Postoji samo nekoliko novih trenutaka. Pretpostavimo izraz: 2x² + 7x + 3. Odgovor se također bilježi u 2 nosača koje je potrebno napuniti (_) (_). U 2. nosaču, X, i u prvom mjestu ostaje. Izgleda ovako: (2x _) (x_). Ostalo ponavlja prethodnu shemu.

Broj 3 daje brojeve:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Riješimo jednadžbu, zamjenjujući podatke broja. Posljednja opcija je pogodna. Dakle, transformacija izražavanja 2x² + 7x + 3 izgleda ovako: (2x + 1) (x + 3).

Ostali slučajevi

Transformirati izraz ne uvijek nije uvijek. Uz drugu metodu, rješenje jednadžbe neće biti potrebna. Ali sposobnost transformacije komponenti u radu provjerava se samo diskriminacijom.

Potrebno je protezati se za rješavanje kvadratnih jednadžbi tako da kada koristite formule nema poteškoća.

Korisni video: Dekompozicija tri uloga

Izlaz

Možete koristiti na bilo koji način. Ali bolje je raditi prije automatskog automatizma. Također naučite dobro riješiti kvadratne jednadžbe i položiti polinoma na množitelje, potrebni su vam onima koji će povezati svoj život sa matematikom. Sve sljedeće matematičke teme izgrađene su na ovome.

Koncepti "polinoma" i "širenja polinoma za množine" na algebru nalaze se vrlo često, jer se trebaju znati da lako izračunavaju s velikim višestrukim brojevima. Ovaj članak će opisati nekoliko metoda raspadanja. Svi su sasvim jednostavni u upotrebi, vrijedno je odabrati pravu stvar u svakom određenom slučaju.

Koncept polinoma

Polinom je zbroj jednokrilnog, odnosno izraza koji sadrže samo operaciju množenja.

Na primjer, 2 * x * y je jednokratno, ali 2 * x * y + 25 je polinom, koji se sastoji od 2 jednokrilnog: 2 * x * y i 25. takvih polinimnih poziva iskrivljenih.

Ponekad za jednostavnost rješavanja primjera s više cijenjenim vrijednostima, izraz se mora pretvoriti, na primjer, razgraditi na određeni broj multiplikatora, odnosno brojevima ili izraza između kojih se razmnožava. Postoji niz metoda za raspadanje polinoma za množine. Vrijedi ih s obzirom na njih od najprimitivnijih, koji se koristi u primarnim razredima.

Grupisanje (ulaz općenito)

Formula razgradnje polinomnog za množitelje uređaja grupiranja u općenito gleda na ovaj način:

aC + BD + BC + AD \u003d (AC + BC) + (AD + BD)

Potrebno je grupirati dijeljenje tako da se u svakoj grupi pojavi zajednički faktor. U prvom nosaču ovo je multiplikator sa, a u drugom - d. Mora se učiniti kako bi ga izvukli iz nosača, na taj način pojednostavljujući izračun.

Algoritam raspadanja na određeni primjer

Najjednostavniji primjer razgradnje polinoma na množitelje načina grupiranja daje se u nastavku:

10AS + 14BC - 25A - 35b \u003d (10as - 25A) + (14BC - 35b)

U prvom zagradu morate uzeti uvjeti sa multiplikatorom A, koji će biti općenito, a u drugom - sa multiplikatorom b. Obratite pažnju na znakove + i - u gotovom izrazu. Predstavljamo pred istim znakom koji je bio u primarnim uvjetima. To jest, morate raditi ne s izrazom 25a, već sa izrazom -25. MINUS znak je da se "zalijepi" izraz koji stoji iza njega i uvijek uzima u obzir pri izračunavanju.

U sljedećem koraku morate podnijeti multiplikator, koji je uobičajen, za nosač. To je za to da se grupa završi. Izvadite držač - znači pisati prije nosača (spuštanje znaka množenja) svih tih multiplikatora koji se tačno ponavljaju u svim uvjetima koji su u zagradi. Ako ne 2 u nosaču, a 3 pojmova i više, opći faktor mora biti sadržan u svakom od njih, u protivnom se ne može izvući iz nosača.

U našem slučaju, samo 2 izraze u zagradama. Opći faktor je odmah vidljiv. U prvom nosaču je, u drugom - b. Ovdje morate obratiti pažnju na digitalne koeficijente. U prvom nosaču oba koeficijente (10 i 25) su višestruka 5. To znači da je moguće napraviti nosač ne samo A, već i 5A. Ispred nosača za pisanje 5a, a zatim svaku od komponenti u zagradama u zagradama, a koji su izvedeni, a takođe napiše privatno u zagradama, a ne zaboravljajući na znakove + i - s drugim nosačem za obavljanje Napolje 7b, jer i 14 i 35 stitovih 7.

10AS + 14BC - 25A - 35b \u003d (10as - 25A) + (14BC - 35b) \u003d 5A (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Pokazalo se 2 pojma: 5a (2c - 5) i 7b (2c - 5). Svaki od njih sadrži opći multiplikator (svi izrazi u zagradama koji se ovdje poklapaju, to znači da je uobičajen faktor): 2c - 5. Takođe treba izvaditi za nosač, odnosno u pojmu 3A i 7B i 7B i 7B ostaju u Drugi nosač:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5A + 7b).

Dakle, puni izraz:

10AS + 14BC - 25A - 35b \u003d (10as - 25A) + (14BC - 35b) \u003d 5A (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5A + 7b).

Dakle, polinom 10as + 14BC - 25A - 35b je presavijen u 2 množitelja: (2c - 5) i (5A + 7b). Znak množenja između njih prilikom snimanja može se izostaviti

Ponekad postoje izrazi ove vrste: 5a 2 + 50a 3, ovdje možete izvaditi nosač ne samo A ili 5A, već čak 5a 2. Uvijek biste trebali pokušati izdržati maksimalni veliki opći faktor iza nosača. U našem slučaju, ako ste podijelili svaki rok za opći faktor, ispostavilo se:

5a 2 / 5a 2 \u003d 1; 50a 3 / 5A 2 \u003d 10a (Prilikom izračunavanja privatnih nekoliko stupnjeva s jednakim bazama, osnova je sačuvana, a pokazatelj diplome je oduzet). Dakle, jedinica ostaje u nosaču (ni u kojem slučaju ne zaboravite napisati jedinicu ako uzmemo jedan od uvjeta i privatnog iz odjeljenja: 10a za nosač. Ispada da:

5a 2 + 50a 3 \u003d 5a 2 (1 + 10A)

Formulas kvadrata

Za praktičnost računanja izvedena je nekoliko formula. Nazivaju se skraćenim formulama množenja i koriste se prilično često. Ove formule pomažu u deklariranju polinoma koji sadrže diplome. Ovo je još jedan efikasan način razgradnje multiplikatora. Dakle, evo ih:

• a 2 + 2AB + B 2 \u003d (A + B) 2 - Formula se nazivala "kvadratnom sumom" formulom, jer je kao rezultat raspadanja na kvadratu, iznos brojeva zatvorenih u zagradama, odnosno vrijednost ovog iznosa množi se sama 2 puta, a samim tim je multiplikator.
• a 2 + 2AB - B 2 \u003d (A - B) 2 - Formula kvadrata razlike, slična je prethodnog. Kao rezultat toga, razlika zatvorena u zagradama sadržana u kvadratnom stepenu.
• a 2 - B 2 \u003d (A + B) (A - B) - Ovo je formula za razliku u kvadratima, jer se polinom u početku sastoji od 2 kvadrata brojeva ili izraza, između kojih oduzmu. Možda se trojice imenovaju najčešće koristi.

Primjeri za proračune pomoću kvadratnih formula

Kalkulacije na njima su prilično jednostavne. Na primjer:

1. 25x 2 + 20XY + 4Y 2 - Koristimo formulu "kvadratni iznos".
2. 25x 2 je kvadrat izraza 5x. 20HU - Dvostruki rad 2 * (5x * 2Y), a 4Y 2 je kvadrat 2ow.
3. Dakle, 25x 2 + 20xY + 4Y 2 \u003d (5x + 2Y) 2 \u003d (5x + 2Y) (5x + 2Y). Ovaj polinom je odbijen na 2 množitelja (faktori su isti, pa je napisana u obliku izraza sa kvadratnim stupnjem).

Radnje na formuli kvadrata razlike se vrše slično na ovo. Formula ostaje razlika kvadrata. Primjeri ove formule vrlo su jednostavni za određivanje i pronalazak između ostalih izraza. Na primjer:

• 25a 2 - 400 \u003d (5A - 20) (5A + 20). Od 25a 2 \u003d (5A) 2, A 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25U 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 i 25U 2 \u003d (5U 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (C - 13b) (C + 13b). Od 169b 2 \u003d (13b) 2

Važno je da je svaka od komponenti kvadrat bilo kojeg izraza. Tada je ovaj polinom podložan raspadanju multiplikatora formulom kvadratne razlike. Za to nije potrebno da drugi stepen stajao preko broja. Postoje polinomi koji imaju veliku mjeru, ali ipak pogodni za ove formule.

a 8 + 10A 4 +25 \u003d (A 4) 2 + 2 * A 4 * 5 + 5 2 \u003d (A 4 +5) 2

U ovom primjeru, a 8 se može predstavljati kao (A 4) 2, odnosno kvadrat nekih izražavanja. 25 je 5 2, a 10a 4 - ovo se udvostručuje proizvedeno predmeti2 * a 4 * 5. To jest, uprkos prisustvu stepena sa velikim pokazateljima, može se razgraditi na 2 množitelja kako bi nastavili sa njima.

Kocke Formulas

Iste formule postoje za raspadanje polinoma koji sadrže Kubu. Oni su malo složeniji onih sa kvadratima:

• a 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2) - Ova se formula naziva količinom kockica, jer je u početnom obliku polinoma zbroj dvaju izraza ili broja zatvorenih u kocki.
• a 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2) - Formula identična prethodnom je naznačena kao razlika kockica.
• a 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 \u003d (A + B) 3 - Iznosi kocke, kao rezultat proračuna, ispada količinu brojeva ili izraza zatvorenih u zagradama i množili su sama 3 puta, odnosno na Kubi
• a 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 \u003d (A - B) 3 -formula sastavljena analogijom prethodne s promjenom u samo nekim znakovima matematičkog operacija (plus i minus) naziva se "kockom razlikom".

Posljednje dvije formule se praktički ne koriste za razgradnju polinoma multiplikatora, jer su složene, a prilično su rijetko pronađene polinoma, u potpunosti odgovaraju takvoj zgradi tako da se mogu razgraditi na ovim formulama. Ali oni i dalje trebaju znati, jer će im biti potrebna pod radnjama u suprotnom smjeru - prilikom otkrivanja nosača.

Primjeri kocke formula

Razmotrite primjer: 64a 3 - 8B 3 \u003d (4A) 3 - (2b) 3 \u003d (4a - 2b) ((4a) 2 + 4A * 2b + (2b) 2) \u003d (4a-2b) (16A 2 + 8AB + 4B 2 ).

Ovdje su prilično jednostavnih brojeva, tako da možete odmah vidjeti da je 64a 3 (4A) 3, a 8B 3 je (2b) 3. Dakle, ovaj polinom opada razliku u razlici kockica na dva množitelja. Akcije formulom kockica proizvode se analogijom.

Važno je shvatiti da nisu svi polinomi podložni raspadaju barem jedan od načina. Ali postoje takvi izrazi koji sadrže visoke stepene od kvadrata ili kocke, ali mogu se razgraditi i prema obliku skraćenih umnožavanja. Na primjer: x 12 + 125Y 3 \u003d (x 4) 3 + (5y) 3 \u003d (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) \u003d (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Ovaj primjer sadrži čak 12 stepeni. Ali čak je i moguće razgraditi na multiplikatoru formulom kockica. Da biste to učinili, potrebno je prezentirati x 12 kao (x 4) 3, odnosno kocke bilo kojeg izraza. Umjesto toga, u formuli, potrebno je zamijeniti. Pa, izraz 125U 3 je kocka 5y. Zatim, rad treba napraviti korištenjem formule i izračunati izračun.

U početku ili u slučaju sumnje, uvijek možete provjeriti u obrnutoj umnosti za množenje. Trebate samo otkriti nosače u rezultirajućim izrazom i obavljanjem akcije sa sličnim uvjetima. Ova metoda odnosi se na sve navedene načine za smanjenje: oba rada sa zajedničkim faktorom i grupiranjem i akcijama na formulama kockica i kvadratnih stupnjeva.

Razgradnja polinoma na multiplikatoru je identična transformacija, kao rezultat toga da se polinom pretvori u proizvod nekoliko faktora - polinoma ili jednokrilni.

Postoji nekoliko načina za razgradnju polinoma na množitelju.

Metoda 1. Zamjenak zajedničkog faktora za nosač.

Ova transformacija temelji se na zakonu o distribuciji množenja: AC + BC \u003d C (A + B). Suština pretvorbe je izdvojiti u dvije komponente koje se razmatraju općim faktorom i "out" za zagrade.

Raširit ćemo polinomima polinoma 28x 3 - 35x 4.

Odluka.

1. Pronađite elemente 28x 3 i 35x 4 uobičajenog Divisora. Za 28 i 35 bit će 7; Za x 3 i x 4 - x 3. Drugim riječima, naš ukupni multiplikator 7x 3.

2. Svaki od elemenata predstavlja rad multiplikatora, od kojih je jedan
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Izvadimo opći multiplikator za nosače
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodifikacija 2. Upotreba formula skraćenim množenjem. "Majstorstvo" po posjedu ove metode je primijetiti jednu od formula skraćenih umnožavanja.

Raširite na množitelje polinoma X 6 - 1.

Odluka.

1. Na ovaj izraz možemo primijeniti formulu za razliku u kvadratima. Da biste to učinili, zamislite x 6 kao (x 3) 2, i 1 kao 1 2, I.E. 1. Izraz će uzeti oblik:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Do posljedica izražavanja možemo primijeniti formulu količine i razlike kockica:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Dakle,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. grupiranje. Metoda grupiranja je kombinirati komponente polinoma na takav način da su lako izvesti akcije (dodavanje, oduzimanje, ukupni multiplikator).

Rašit ćemo se polinomima od x 3 - 3x 2 + 5x - 15 na množiteljima.

Odluka.

1. Fugiranje komponenti na ovaj način: 1. s 2. i 3. i 3. sa četvrtim
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. U rezultirajućim izražavanju, provest ćemo opće multiplikatore za zagrade: x 2 u prvom slučaju i 5 - u drugom.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Izvadimo opći faktor X - 3 za zagrade i dobijamo:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Dakle,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Pričvrstite materijal.

Otprema polinom A 2 - 7AB + 12b 2 na množitelje uređaje.

Odluka.

1. Zamislite 7AB 7AB kao zbroj 3AB + 4AB. Izraz će uzeti oblik:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2.

Otkrićemo zagrade i dobili ćemo:
a 2 - 3AB - 4AB + 12b 2.

2. Fugiranje komponenti polinoma na ovaj način: 1. s 2. i 3. i 3. sa četvrtim. Dobijamo:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12b 2).

3. Donijet ću opće multiplikatore za zagrade:
(A 2 - 3AB) - (4AB - 12b 2) \u003d A (A - 3B) - 4b (A - 3B).

4. Donijet ću opći multiplikator za nosače (A - 3B):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) \u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4B).

Dakle,
a 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (A 2 - 3AB) - (4AB - 12b 2) \u003d
\u003d A (A - 3B) - 4B (A - 3B) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (A - 4B).

potrebno je blog.set, sa punim ili djelomičnim kopiranjem materijalnog reference na originalni izvor.