Բուրգ. Կտրված բուրգ

Բուրգկոչվում է բազմանիստ, որի դեմքերից մեկը բազմանկյուն է ( բազան ), իսկ մյուս բոլոր դեմքերը եռանկյուններ են՝ ընդհանուր գագաթով ( կողմնակի դեմքեր ) (նկ. 15)։ Բուրգը կոչվում է ճիշտ , եթե նրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնին (նկ. 16): Եռանկյուն բուրգը, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է քառաեդրոն .

Կողքի կողբուրգը կողային երեսի այն կողմն է, որը չի պատկանում հիմքին Բարձրություն բուրգը կոչվում է հեռավորությունը գագաթից մինչև հիմքի հարթությունը: Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, բոլոր կողային եզրերը հավասար հավասարաչափ եռանկյուններ են: Վերևից գծված կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ . Շեղանկյուն հատված Բուրգի հատվածը կոչվում է հարթություն, որն անցնում է երկու կողային եզրերով, որոնք չեն պատկանում մեկ դեմքին:

Կողմնակի մակերեսըբուրգը կոչվում է բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարը: Ամբողջ մակերեսը կոչվում է բոլոր կողային երեսների և հիմքի մակերեսների գումարը:

Թեորեմներ

1. Եթե բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա բուրգի գագաթը ցցվում է հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում:

2. Եթե բուրգում բոլոր կողային եզրերն ունեն հավասար երկարություններ, ապա բուրգի գագաթը ցցված է հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի կենտրոնում:

3. Եթե բուրգում բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա բուրգի գագաթը ցցված է հիմքում գծագրված շրջանագծի կենտրոնում։

Կամայական բուրգի ծավալը հաշվարկելու համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը.

որտեղ Վ- ծավալը;

Ս գլխավոր- բազայի տարածք;

Հ- բուրգի բարձրությունը.

Ճիշտ բուրգի համար բանաձեւերը ճիշտ են.

որտեղ էջ- բազայի պարագիծը;

հ ա- ապոտեմ;

Հ- բարձրություն;

Ս լիքը

S կողմը

Ս գլխավոր- բազայի տարածք;

Վ- ճիշտ բուրգի ծավալը:

Կտրված բուրգկոչվում է բուրգի այն մասը, որը պարփակված է հիմքի և բուրգի հիմքին զուգահեռ հատվածի հարթության միջև (նկ. 17): Կանոնավոր կտրված բուրգ կոչվում է կանոնավոր բուրգի մաս, որը պարփակված է հիմքի և բուրգի հիմքին զուգահեռ հատվածի հարթության միջև։

Հիմնադրամներկտրված բուրգեր - նմանատիպ բազմանկյուններ: Կողային դեմքեր - trapezoid. Բարձրություն կտրված բուրգը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է: Շեղանկյուն Կտրված բուրգը կոչվում է հատված, որը կապում է նրա գագաթները, որոնք չեն գտնվում նույն դեմքի վրա: Շեղանկյուն հատված Կտրված բուրգի հատվածը կոչվում է հարթություն, որն անցնում է երկու կողային եզրերով, որոնք չեն պատկանում մեկ դեմքին:

Կտրված բուրգի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

(4)

որտեղ Ս 1 , Ս 2 - վերին և ստորին հիմքերի տարածքներ;

Ս լիքը- ընդհանուր մակերեսը;

S կողմը- կողային մակերեսը;

Հ- բարձրություն;

Վ- կտրված բուրգի ծավալը.

Ճիշտ կտրված բուրգի համար բանաձեւը ճիշտ է.

որտեղ էջ 1 , էջ 2 - հիմքերի պարագծերը;

հ ա- կանոնավոր կտրված բուրգի ապոտեմը:

Օրինակ 1.Կանոնավոր եռանկյուն բուրգում հիմքի երկնիշ անկյունը 60º է: Գտե՛ք կողային եզրի թեքության անկյան շոշափողը հիմքի հարթությանը:

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 18):

Բուրգը կանոնավոր է, ուստի հիմքում կա հավասարակողմ եռանկյուն, և բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են: Հիմքի երկանկյուն անկյունը բուրգի կողային երեսի թեքության անկյունն է դեպի հիմքի հարթությունը։ Գծային անկյունը անկյունն է աերկու ուղղահայացների միջև և այսինքն. Բուրգի գագաթը նախագծված է եռանկյունու կենտրոնում (շրջագծի կենտրոնը և եռանկյան մեջ ներգծված շրջանը ABC): Կողային կողի թեքության անկյունը (օրինակ ՍԲ) Անկյունն է հենց եզրի և դրա ելքի հիմքի հարթության վրա: Կողի համար ՍԲայս անկյունը կլինի անկյունը SBD... Շոշափողը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ոտքերը ԱՅՍՊԵՍև ՕԲ... Թող հատվածի երկարությունը ԲԴհավասար է 3-ի ա... Կետ ՕԲաժին ԲԴբաժանված է մասերի և From we find ԱՅՍՊԵՍ: Մենք գտնում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 2.Գտե՛ք կանոնավոր կտրված քառանկյուն բուրգի ծավալը, եթե դրա հիմքերի անկյունագծերը սմ և սմ են, իսկ բարձրությունը՝ 4 սմ։

Լուծում.Կտրված բուրգի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (4): Հիմքերի տարածքը գտնելու համար հարկավոր է գտնել հիմքի քառակուսիների կողմերը՝ իմանալով դրանց անկյունագծերը: Հիմքերի կողմերը համապատասխանաբար 2 սմ և 8 սմ են։ Այսպիսով, հիմքերի մակերեսները և բանաձևի բոլոր տվյալները փոխարինելով՝ մենք հաշվարկում ենք կտրված բուրգի ծավալը.

Պատասխան. 112 սմ 3.

Օրինակ 3.Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյունաձև կտրված բուրգի կողային երեսի մակերեսը, որի հիմքերի կողմերը 10 սմ և 4 սմ են, իսկ բուրգի բարձրությունը՝ 2 սմ։

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 19):

Այս բուրգի կողային երեսը հավասարաչափ trapezoid է: Trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքը և բարձրությունը: Հիմքերը տրված են պայմանով, անհայտ է մնում միայն բարձրությունը։ որտեղից կգտնենք Ա 1 Եկետից ուղղահայաց Ա 1 ստորին բազայի հարթության վրա, Ա 1 Դ-ից ուղղահայաց Ա 1 վրա ԱՍ. Ա 1 Ե= 2 սմ, քանի որ սա բուրգի բարձրությունն է: Գտնել ԴԵեկեք կատարենք լրացուցիչ նկար, որը կպատկերի վերևի տեսքը (նկ. 20): Կետ Օ- վերին և ստորին հիմքերի կենտրոնների նախագծում. քանի որ (տե՛ս նկ. 20) և Մյուս կողմից լավԱրդյո՞ք ներգծված շրջանագծի շառավիղը և Օ.Մ- ներգծված շրջանագծի շառավիղը.

MK = DE.

Պյութագորասի թեորեմով

Կողքի դեմքի տարածքը.

Պատասխան.

Օրինակ 4.Բուրգի հիմքում ընկած է հավասարաչափ trapezoid, որի հիմքերը աև բ (ա> բ): Յուրաքանչյուր կողմի երեսը կազմում է բուրգի բազային հարթության հավասար անկյուն ժ... Գտեք բուրգի ընդհանուր մակերեսը:

Լուծում.Կատարենք գծանկար (նկ. 21): Բուրգի ընդհանուր մակերեսը SABCDհավասար է տրապիզոնի տարածքների և տարածքների գումարին Ա Բ Գ Դ.

Եկեք օգտագործենք այն պնդումը, որ եթե բուրգի բոլոր երեսները հավասարապես թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը, ապա գագաթը նախագծված է դեպի հիմքում ներգծված շրջանագծի կենտրոնը։ Կետ Օ- գագաթային պրոյեկցիա Սբուրգի հիմքում։ Եռանկյուն SODեռանկյան ուղղանկյուն ելուստն է CSDբազայի հարթության վրա. Հարթ պատկերի ուղղանկյուն պրոյեկցիայի տարածքի թեորեմով մենք ստանում ենք.

Նմանապես, դա նշանակում է Այսպիսով, խնդիրը կրճատվել է տրապիզոիդի տարածքը գտնելու համար Ա Բ Գ Դ... Նկարեք trapezoid Ա Բ Գ Դառանձին (նկ. 22): Կետ Օ- շրջանագծի կենտրոնը, որը գրված է trapezoid- ում:

Քանի որ շրջանագիծը կարող է մակագրվել trapezoid-ում, կամ From, Պյութագորասի թեորեմով, մենք ունենք.

Առաջին մակարդակ

Բուրգ. Տեսողական ուղեցույց (2019)

Ի՞նչ է բուրգը:

Ինչպե՞ս է նա նման:

Դուք տեսնում եք. ներքևի բուրգի մոտ (նրանք ասում են. ներքեւում«) Որոշ բազմանկյուն, և այս բազմանկյան բոլոր գագաթները կապված են տարածության ինչ-որ կետի հետ (այս կետը կոչվում է» գագաթ»).

Այս ամբողջ կառույցը դեռ ունի կողմնակի դեմքեր, կողային կողիկներև հիմքի եզրեր... Եկեք նորից գծենք բուրգը այս բոլոր անունների հետ միասին.

Որոշ բուրգեր կարող են շատ տարօրինակ թվալ, բայց նրանք դեռևս բուրգեր են:

Օրինակ, ամբողջովին «թեք» բուրգ.

Եվ մի փոքր ավելին անունների մասին. եթե բուրգի հիմքում կա եռանկյուն, ապա բուրգը կոչվում է եռանկյուն, եթե քառանկյուն է, ապա քառանկյուն է, իսկ եթե ստագոն է, ապա ... գուշակեք։ ինքներդ:

Այս դեպքում այն ​​կետը, որտեղ այն իջել է բարձրությունըկոչվում է բազայի բարձրությունը... Ուշադրություն դարձրեք, որ «ծուռ» բուրգերում բարձրությունըկարող է նույնիսկ բուրգից դուրս լինել: Սրա նման:

Եվ դրանում ոչ մի վատ բան չկա։ Այն կարծես բութ եռանկյունի լինի:

Ճիշտ բուրգ.

Շատ դժվար բառեր? Եկեք վերծանենք՝ «Հիմքում՝ ճիշտ» - սա հասկանալի է։ Հիմա հիշենք, որ կանոնավոր բազմանկյունն ունի կենտրոն՝ կետ, որը և-ի կենտրոնն է, և-ի:

Դե, «վերևը նախագծված է դեպի հիմքի կենտրոն» բառերը նշանակում է, որ բարձրության հիմքը ընկնում է հենց հիմքի կենտրոնում: Տեսեք, թե որքան հարթ և գեղեցիկ տեսք ունի ճիշտ բուրգ.

ՎեցանկյունՀիմքում՝ կանոնավոր վեցանկյուն, գագաթը նախագծված է դեպի հիմքի կենտրոն։

Քառանկյունհիմքում` քառակուսի, գագաթը նախագծված է այս քառակուսու անկյունագծերի խաչմերուկում:

ԵռանկյունՀիմքում՝ կանոնավոր եռանկյունի, գագաթը նախագծված է այս եռանկյան բարձրությունների հատման կետին (դրանք նաև միջնորներն ու կիսադիրներն են)։

Բարձր Կանոնավոր բուրգի կարևոր հատկությունները.

Ճիշտ բուրգում

• բոլոր կողային եզրերը հավասար են:
• բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, և այս բոլոր եռանկյունները հավասար են:

Բուրգի ծավալը

Բուրգի ծավալի հիմնական բանաձևը հետևյալն է.

Որտեղի՞ց է այն եկել կոնկրետ: Սա այնքան էլ պարզ չէ, և սկզբում պարզապես պետք է հիշել, որ բանաձևում բուրգը և կոնը ծավալ ունեն, իսկ գլանը՝ ոչ:

Հիմա եկեք հաշվարկենք ամենահայտնի բուրգերի ծավալը։

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի: Պետք է գտնել և.

Սա կանոնավոր եռանկյունու մակերեսն է։

Եկեք հիշենք, թե ինչպես գտնել այս տարածքը: Մենք օգտագործում ենք տարածքի բանաձևը.

Մենք ունենք "" - սա, և "" - սա նույնպես, և.

Հիմա մենք կգտնենք.

Պյութագորասի թեորեմով

Ի՞նչն է հավասար. Սա շրջանագծի շառավիղն է, քանի որ բուրգճիշտև, հետևաբար, - կենտրոն:

Քանի որ - հատման կետը և մեդիանները նույնպես:

(Պյութագորասի թեորեմ)

Բանաձևում փոխարինենք.

Եվ ամեն ինչ փոխարինեք ծավալի բանաձևով.

Ուշադրություն.եթե դուք ունեք կանոնավոր քառանիստ (այսինքն.), ապա բանաձևը հետևյալն է.

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը հավասար լինի:

Այստեղ փնտրելու կարիք չկա. չէ՞ որ հիմքում կա քառակուսի, և հետևաբար.

Մենք կգտնենք այն։ Պյութագորասի թեորեմով

Մենք գիտե՞նք։ Գրեթե. Նայել:

(Մենք սա տեսանք, երբ նայեցինք):

Բանաձևում փոխարինել՝

Եվ հիմա մենք այն փոխարինում ենք նաև ծավալային բանաձևով։

Թող հիմքի կողմը հավասար լինի, իսկ կողային եզրը:

Ինչպե՞ս գտնել: Տեսեք, վեցանկյունը բաղկացած է ուղիղ վեց միանման կանոնավոր եռանկյուններից: Կանոնավոր եռանկյունի բուրգի ծավալը հաշվարկելիս մենք արդեն փնտրել ենք կանոնավոր եռանկյունու մակերեսը, այստեղ օգտագործում ենք գտնված բանաձևը։

Այժմ մենք կգտնենք (սա):

Պյութագորասի թեորեմով

Բայց դա ի՞նչ նշանակություն ունի։ Դա հեշտ է, քանի որ (և բոլորը նույնպես) ճիշտ են:

Մենք փոխարինում ենք.

\ ցուցադրման ոճ V = \ frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

ԲՈՒՐԳ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Բուրգը բազմանկյուն է, որը բաղկացած է ցանկացած հարթ բազմանկյունից (), հիմքի հարթությունում չգտնվող կետից (բուրգի գագաթը) և բուրգի գագաթը հիմքի կետերի հետ կապող բոլոր հատվածներից (կողային եզրեր) .

Ուղղահայաց, իջեցված բուրգի գագաթից մինչև հիմքի հարթությունը:

Ճիշտ բուրգ- բուրգ, որի հիմքում ընկած է կանոնավոր բազմանկյուն, իսկ բուրգի գագաթը նախագծված է հիմքի կենտրոնին:

Բուրգի ճիշտ հատկությունը.

• Կանոնավոր բուրգում բոլոր կողային եզրերը հավասար են:
• Բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են և այս բոլոր եռանկյունները հավասար են:

Սահմանում

ԲուրգԱրդյո՞ք բազմանկյունը կազմված է \ (A_1A_2 ... A_n \) և \ (n \) եռանկյուններից ընդհանուր \ (P \) գագաթով (չ ընկած բազմանկյունի հարթությունում) և հակառակ կողմերից, որոնք համընկնում են կողմերի հետ: բազմանկյունը.
Նշանակում՝ \ (PA_1A_2 ... A_n \):
Օրինակ՝ հնգանկյուն բուրգ \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \):

Եռանկյուններ \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) և այլն: կոչվում են կողմնակի դեմքերբուրգեր, հատվածներ \ (PA_1, PA_2 \) և այլն: - կողային կողիկներ, բազմանկյուն \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - հիմք, կետ \ (P \) - գագաթնակետ.

Բարձրությունբուրգերը բուրգի գագաթից դեպի հիմքի հարթությունն ընկած ուղղահայաց են:

Բուրգը, որի հիմքում եռանկյուն է, կոչվում է քառաեդրոն.

Բուրգը կոչվում է ճիշտեթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, և կատարվում է հետևյալ պայմաններից մեկը.

\ ((ա) \) բուրգի կողային եզրերը հավասար են.

\ (բ) \) բուրգի բարձրությունն անցնում է հիմքի մոտ նկարագրված շրջանագծի կենտրոնով.

\ ((գ) \) կողային կողերը նույն անկյան տակ թեքված են հիմքի հարթության վրա։

\ (դ) \) կողային երեսները թեքված են դեպի հիմքի հարթությունը նույն անկյան տակ։

Կանոնավոր քառաեդրոն- սա եռանկյուն բուրգ է, որի բոլոր երեսները հավասարազոր եռանկյուններ են:

Թեորեմ

\ ((ա), (բ), (գ), (դ) \) պայմանները համարժեք են:

Ապացույց

Եկեք գծենք \ (PH \) բուրգի բարձրությունը: Թող \ (\ ալֆա \) լինի բուրգի հիմքի հարթությունը:

1) Եկեք ապացուցենք, որ \ ((a) \) ենթադրում է \ ((b) \): Թող \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \):

Որովհետեւ \ (PH \ perp \ ալֆա \), ապա \ (PH \) ուղղահայաց է այս հարթության վրա գտնվող ցանկացած ուղիղ գծի, ուստի եռանկյունները ուղղանկյուն են: Այսպիսով, այս եռանկյունները հավասար են ընդհանուր ոտքով \ (PH \) և հիպոթենուսներում \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \): Հետևաբար, \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \): Սա նշանակում է, որ \ (A_1, A_2, ..., A_n \) կետերը գտնվում են \ (H \) կետից նույն հեռավորության վրա, հետևաբար, նրանք գտնվում են \ (A_1H \) շառավղով նույն շրջանագծի վրա: Ըստ սահմանման՝ այս շրջանագիծը սահմանափակված է \ (A_1A_2 ... A_n \) բազմանկյունով:

2) Եկեք ապացուցենք, որ \ ((b) \) ենթադրում է \ ((c) \):

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)ուղղանկյուն և հավասար երկու ոտքերով: Այսպիսով, նրանց անկյունները նույնպես հավասար են, հետևաբար. \ (\ անկյուն PA_1H = \ անկյուն PA_2H = ... = \ անկյուն PA_nH \).

3) Եկեք ապացուցենք, որ \ ((c) \) ենթադրում է \ ((a) \):

Առաջին կետի նման՝ եռանկյուններ \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \)ուղղանկյուն և ոտքի երկայնքով և սուր անկյունով: Սա նշանակում է, որ նրանց հիպոթենուսները նույնպես հավասար են, այսինքն՝ \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \):

4) Եկեք ապացուցենք, որ \ ((բ) \) ենթադրում է \ ((դ) \):

Որովհետեւ Կանոնավոր բազմանկյունում շրջանագծի և շրջանագծի կենտրոնները համընկնում են (ընդհանուր առմամբ, այս կետը կոչվում է կանոնավոր բազմանկյունի կենտրոն), ապա \ (H \) շրջանագծի կենտրոնն է: \ (H \) կետից դեպի հիմքի կողմերը գծենք ուղղահայացներ՝ \ (HK_1, HK_2 \) և այլն։ Սրանք ներգծված շրջանագծի շառավիղներն են (ըստ սահմանման): Այնուհետև, ըստ TTP-ի (\ (PH \) - հարթությանը ուղղահայաց, \ (HK_1, HK_2 \) և այլն - կողմերին ուղղահայաց պրոեկցիաներ) թեք \ (PK_1, PK_2 \) և այլն: կողմերին ուղղահայաց \ (A_1A_2, A_2A_3 \) և այլն: համապատասխանաբար. Այսպիսով, ըստ սահմանման \ (\ անկյուն PK_1H, \ անկյուն PK_2H \)հավասար է կողային երեսների և հիմքի միջև եղած անկյուններին: Որովհետեւ եռանկյունները \ (PK_1H, PK_2H, ... \) հավասար են (որպես ուղղանկյուն երկու ոտքերում), ապա անկյունները \ (\ անկյուն PK_1H, \ անկյուն PK_2H, ... \)հավասար են.

5) Եկեք ապացուցենք, որ \ ((դ) \) ենթադրում է \ ((բ) \):

Չորրորդ կետի նման, \ (PK_1H, PK_2H, ... \) եռանկյունները հավասար են (որպես ուղղանկյուն ոտքով և սուր անկյունով), ուստի \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) հատվածները հավասար են: Հետևաբար, ըստ սահմանման, \ (H \)-ը հիմքում գրված շրջանագծի կենտրոնն է: Բայց քանի որ Կանոնավոր բազմանկյունների համար շրջանագծի և շրջանագծի կենտրոնները համընկնում են, ապա \ (H \) շրջանագծի կենտրոնն է: Թդդ.

Հետևանք

Կանոնավոր բուրգի կողային երեսները հավասարաչափ հավասարաչափ եռանկյուններ են։

Սահմանում

Վերևից գծված կանոնավոր բուրգի կողային երեսի բարձրությունը կոչվում է ապոտեմ.
Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային երեսների ապոթեմները հավասար են միմյանց, ինչպես նաև միջնագծեր և կիսադիրներ:

Կարևոր նշումներ

1. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի բարձրությունների (կամ կիսատների կամ միջնամասերի) հատման կետում (հիմքը կանոնավոր եռանկյունի է):

2. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետում (հիմքը քառակուսի է):

3. Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի բարձրությունը ընկնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետում (հիմքը կանոնավոր վեցանկյուն է):

4. Բուրգի բարձրությունը ուղղահայաց է հիմքում ընկած ցանկացած ուղիղ գծին:

Սահմանում

Բուրգը կոչվում է ուղղանկյունեթե նրա կողային եզրերից մեկն ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը.

Կարևոր նշումներ

1. Ուղղանկյուն բուրգում հիմքին ուղղահայաց եզրը բուրգի բարձրությունն է: Այսինքն, \ (SR \) բարձրությունն է:

2. Որովհետև \ (SR \) ուղղահայաց է հիմքից ցանկացած ուղիղ գծի, ապա \ (\ SRM եռանկյունի, \ SRP եռանկյունի \)- ուղղանկյուն եռանկյուններ.

3. Եռանկյուններ \ (\ SRN եռանկյունի, \ SRK եռանկյունի \)- նաև ուղղանկյուն:
Այսինքն՝ ցանկացած եռանկյունի, որը ձևավորվում է այս եզրով և հիմքում ընկած այս եզրի գագաթից ձգվող անկյունագծով, ուղղանկյուն կլինի։

\ [(\ Մեծ (\ տեքստ (բուրգի ծավալը և մակերեսը))) \]

Թեորեմ

Բուրգի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի արտադրյալի մեկ երրորդին բուրգի բարձրությամբ. \

Հետեւանքները

Թող \ (a \) լինի հիմքի կողմը, \ (h \) բուրգի բարձրությունը:

1. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ծավալն է \ (V _ (\ text (աջ եռանկյուն պիր.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալն է \ (V _ (\ text (աջ չորս պիր.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալն է \ (V _ (\ տեքստ (աջ վեցանկյուն)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. Կանոնավոր քառանիստի ծավալն է \ (V _ (\ տեքստ (աջ տող.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Թեորեմ

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը հավասար է ապոտեմի հիմքի պարագծի կիսարտադրյալին:

\ [(\ Մեծ (\ տեքստ (Կտրված բուրգ))) \]

Սահմանում

Դիտարկենք կամայական բուրգ \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \): Եկեք բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթություն գծենք բուրգի կողային եզրին ընկած կետի միջով: Այս հարթությունը կբաժանի բուրգը երկու պոլիէդրոնների, որոնցից մեկը բուրգ է (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), իսկ մյուսը կոչվում է. կտրված բուրգ(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)):

Կտրված բուրգն ունի երկու հիմք՝ բազմանկյուններ \ (A_1A_2 ... A_n \) և \ (B_1B_2 ... B_n \), որոնք նման են միմյանց:

Կտրված բուրգի բարձրությունը վերին հիմքի ինչ-որ կետից դեպի ստորին հիմքի հարթության ուղղահայաց է:

Կարևոր նշումներ

1. Կտրված բուրգի բոլոր կողային երեսները տրապեզիաներ են:

2. Կանոնավոր կտրված բուրգի (այսինքն՝ կանոնավոր բուրգը կտրելով ստացված բուրգի) հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածը բարձրությունն է։

Որում կողային եզրերից մեկն ուղղահայաց է հիմքին:

Այս դեպքում այս եզրը կլինի բուրգի բարձրությունը:

Բուրգի հատկությունները.

1. Երբ բոլոր կողային կողերը նույն չափի են, ապա.

• հեշտ է նկարագրել բուրգի հիմքի մոտ գտնվող շրջանը, մինչդեռ բուրգի գագաթը նախագծված կլինի այս շրջանի կենտրոնում.
• կողային կողերը հավասար անկյուններ են կազմում բազային հարթության հետ.
• ընդ որում, ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն. երբ կողային ծայրերը հավասար անկյուններ են կազմում բազային հարթության հետ, կամ երբ բուրգի հիմքի մոտ կարելի է նկարագրել շրջան, և բուրգի գագաթը նախագծված է դեպի այս շրջանագծի կենտրոնը, ապա բուրգի բոլոր կողային եզրերն ունեն նույն չափը.

2. Երբ կողային երեսներն ունեն թեքության անկյուն նույն մեծության հիմքի հարթության նկատմամբ, ապա.

• հեշտ է նկարագրել բուրգի հիմքի մոտ գտնվող շրջանը, մինչդեռ բուրգի գագաթը նախագծված կլինի այս շրջանի կենտրոնում.
• կողային երեսների բարձրությունները հավասար երկարություն ունեն.
• կողային մակերեսի մակերեսը բազային պարագծի արտադրյալի ½-ն է՝ կողային երեսի բարձրությամբ:

3. Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի մոտ, եթե բուրգի հիմքում ընկած է բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է նկարագրել շրջան (անհրաժեշտ և բավարար պայման): Ոլորտի կենտրոնը կլինի հարթությունների հատման կետը, որոնք անցնում են բուրգի եզրերի նրանց ուղղահայաց միջնակետերով։ Այս թեորեմից մենք եզրակացնում ենք, որ գունդը կարող է նկարագրվել ինչպես ցանկացած եռանկյունի, այնպես էլ ցանկացած կանոնավոր բուրգի շուրջ;

4. Բուրգի մեջ գունդ կարելի է ներգծել, եթե բուրգի ներքին երկանկյուն անկյունների կիսադիր հարթությունները հատվում են 1-ին կետում (անհրաժեշտ և բավարար պայման): Այս կետը կդառնա ոլորտի կենտրոնը։

5. Կոնը կգրվի բուրգի մեջ, երբ դրանց գագաթները համընկնեն, իսկ կոնի հիմքը գրված կլինի բուրգի հիմքում: Այս դեպքում բուրգի մեջ կոն մակագրելը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե բուրգի ապոտեմները հավասար մեծության են (անհրաժեշտ և բավարար պայման);

6. Բուրգի մոտ կնկարագրվի կոն, եթե դրանց գագաթները համընկնեն, իսկ կոնի հիմքը կնկարագրվի բուրգի հիմքի մոտ: Այս դեպքում կարելի է նկարագրել բուրգի մոտ գտնվող կոնը միայն այն դեպքում, եթե բուրգի բոլոր կողային եզրերն ունեն նույն արժեքները (անհրաժեշտ և բավարար պայման): Այս կոնների և բուրգերի բարձրությունները նույնն են:

7. Բուրգում մակագրվելու է գլան, եթե 1-ը, բայց դրա հիմքը համընկնում է շրջանագծի հետ, որը բուրգի հատվածում մակագրված է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ, իսկ երկրորդ հիմքը կպատկանի բուրգի հիմքին:

8. Բուրգի մոտ կնկարագրվի գլան, երբ բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մեկ հիմքին, իսկ մխոցի երկրորդ հիմքը կնկարագրվի բուրգի հիմքի մոտ: Այս դեպքում բուրգի մոտ գտնվող գլան կարելի է նկարագրել միայն այն դեպքում, եթե բուրգի հիմքը ծառայում է ներգծված բազմանկյունը (անհրաժեշտ և բավարար պայման):

Ուղղանկյուն բուրգի ծավալը և մակերեսը որոշելու բանաձևեր.

Վ- բուրգի ծավալը,

Ս- բուրգի հիմքի տարածքը,

հ- բուրգի բարձրությունը,

Սբ- բուրգի կողային մակերեսի տարածքը,

ա- ապոտեմ (չշփոթել հետ α ) բուրգեր,

Պ- բուրգի հիմքի պարագիծը,

n- բուրգի հիմքի կողմերի թիվը,

բ- բուրգի կողային եզրի երկարությունը,

α - հարթ անկյուն բուրգի վերևում:

Բուրգի հայեցակարգ

Սահմանում 1

Երկրաչափական պատկերը, որը ձևավորվում է բազմանկյունով և այս բազմանկյուն պարունակող հարթությունում չգտնվող կետով, որը կապված է բազմանկյունի բոլոր գագաթներին, կոչվում է բուրգ (նկ. 1):

Այն բազմանկյունը, որից կազմված է բուրգը, կոչվում է բուրգի հիմք, կետին միանալուց ստացված եռանկյունները բուրգի կողային երեսներն են, եռանկյունների կողմերը՝ բուրգի կողմերը, իսկ բոլորի համար ընդհանուր կետը։ եռանկյունները բուրգի գագաթն են:

Բուրգերի տեսակները

Կախված բուրգի հիմքի անկյունների քանակից՝ այն կարելի է անվանել եռանկյուն, քառանկյուն և այլն (նկ. 2)։

Նկար 2.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ սովորական բուրգն է:

Ներկայացնենք և ապացուցենք կանոնավոր բուրգի հատկությունը։

Թեորեմ 1

Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողային երեսները հավասարաչափ եռանկյուններ են, որոնք հավասար են միմյանց:

Ապացույց.

Դիտարկենք սովորական $ n- $ ածխային բուրգ $ S $ գագաթով և $ h = SO $ բարձրությամբ: Նկարագրենք հիմքի շուրջ շրջան (նկ. 4):

Նկար 4.

Դիտարկենք $ SOA $ եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմով մենք ստանում ենք

Ակնհայտ է, որ սա կսահմանի ցանկացած կողային եզր: Այսպիսով, բոլոր կողային եզրերը հավասար են միմյանց, այսինքն, բոլոր կողային եզրերը հավասարաչափ եռանկյուններ են: Ապացուցենք, որ նրանք հավասար են միմյանց։ Քանի որ հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, բոլոր կողային երեսների հիմքերը հավասար են միմյանց: Հետևաբար, բոլոր կողային երեսները հավասար են եռանկյունների հավասարության III չափանիշի համաձայն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Այժմ ներկայացնում ենք կանոնավոր բուրգ հասկացության հետ կապված հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 3

Կանոնավոր բուրգի ապոտեմը նրա կողային եզրի բարձրությունն է։

Ակնհայտ է, որ առաջին թեորեմով բոլոր ապոթեմները հավասար են միմյանց:

Թեորեմ 2

Կանոնավոր բուրգի կողային մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքի կիսաշրջագծի և ապոտեմի արտադրյալ:

Ապացույց.

$ n- $ ածխային բուրգի հիմքի կողմը նշանակենք $ a $-ով, իսկ ապոտեմը $ d $-ով: Հետևաբար, կողային դեմքի տարածքն է

Քանի որ թեորեմ 1-ով բոլոր կողային կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Բուրգի մեկ այլ տեսակ է կտրված բուրգը:

Սահմանում 4

Եթե ​​սովորական բուրգի միջով գծենք իր հիմքին զուգահեռ հարթություն, ապա այս հարթության և հիմքի հարթության միջև ձևավորված պատկերը կոչվում է կտրված բուրգ (նկ. 5):

Նկար 5. Կտրված բուրգ

Կտրված բուրգի կողային երեսները տրապեզիաներ են։

Թեորեմ 3

Կանոնավոր կտրված բուրգի կողային մակերեսը սահմանվում է որպես հիմքերի կիսաշրջագծերի և ապոտեմի գումարի արտադրյալ:

Ապացույց.

$ n- $ ածխային բուրգի հիմքերի կողմերը նշենք համապատասխանաբար $ a \ և \ b $-ով, իսկ ապոտեմը $ d $-ով: Հետևաբար, կողային դեմքի տարածքն է

Քանի որ բոլոր կողմերը հավասար են, ուրեմն

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ առաջադրանք

Օրինակ 1

Գտեք կտրված եռանկյուն բուրգի կողային մակերեսը, եթե այն ստացվել է 4-րդ հիմքով և ապոտեմ 5-ով կանոնավոր բուրգից՝ կտրելով կողային երեսների միջին գծով անցնող հարթությամբ:

Լուծում.

Միջին գծի թեորեմով մենք ստանում ենք, որ կտրված բուրգի վերին հիմքը $ 4 \ cdot \ frac (1) (2) = 2 $ է, իսկ ապոտեմը $ 5 \ cdot \ frac (1) (2) = 2,5 դոլար:

Այնուհետև թեորեմ 3-ով մենք ստանում ենք