Ածանցյալ գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։

Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների համար ածանցյալներ գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում ածանցյալը սահմանելով որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման, ածանցյալների աղյուսակ և տարբերակման հստակ սահմանված կանոններ։ հայտնվել է. Ածանցյալների որոնման ոլորտում առաջիններն են եղել Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716):

Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը, այլ պարզապես անհրաժեշտ է օգտագործել ածանցյալների աղյուսակ և տարբերակման կանոններ. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.

Ածանցյալը գտնելու համար, ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ հարվածի նշանի տակ ապամոնտաժել պարզ գործառույթներըև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Այնուհետև, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները գտնվում են ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալ աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.

Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «x»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսին։ Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ածանցյալների գումարով և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.

Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մենք տարբերակում ենք որպես գումարի ածանցյալ, որում հաստատուն գործակցով երկրորդ անդամը կարելի է վերցնել ածանցյալի նշանից դուրս.

Եթե ​​դեռ հարցեր կան, թե որտեղից ինչ է գալիս, դրանք, որպես կանոն, ավելի պարզ են դառնում ածանցյալների աղյուսակին և տարբերակման ամենապարզ կանոններին ծանոթանալուց հետո։ Մենք հենց հիմա գնում ենք նրանց մոտ։

Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալ աղյուսակ

1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200 ...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ: Միշտ զրո: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում:
2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «x»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է երկար հիշել:
3. Ածանցյալ աստիճան. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել աստիճանի:
4. Փոփոխականի ածանցյալը -1-ի
5. Քառակուսի արմատի ածանցյալ
6. Սինուսի ածանցյալ
7. Կոսինուսի ածանցյալ
8. Շոշափողի ածանցյալ
9. Կոտանգենտի ածանցյալ
10. Արկսինի ածանցյալ
11. Արկկոսինի ածանցյալ
12. Արկտանգենսի ածանցյալ
13. Աղեղային կոտանգենսի ածանցյալ
14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ
15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
16. Ցուցանիշի ածանցյալ
17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Տարբերակման կանոններ

1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ
2. Ստեղծագործության ածանցյալը
2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով
3. ածանցյալի
4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ

Կանոն 1.Եթե ​​գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվող, ապա նույն կետում ֆունկցիաները

ընդ որում

դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։

Հետևանք. Եթե ​​երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատուն անդամով, ապա դրանց ածանցյալները հավասար են, այսինքն.

Կանոն 2.Եթե ​​գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվում է, ապա նույն կետում նրանց արտադրանքը նույնպես տարբերվում է

ընդ որում

դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով։

Եզրակացություն 1. Մշտական ​​գործոնը կարող է տեղափոխվել ածանցյալի նշանից դուրս:

Եզրակացություն 2. Մի քանի տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է բոլոր մյուս գործոնների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։

Օրինակ, երեք գործոնների համար.

Կանոն 3.Եթե ​​գործառույթներ

ինչ-որ պահի տարբերվող և , ապա այս պահին այն տարբերելի է և դրանց գործակիցըu / v, և

դրանք. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է այն կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը քառակուսին է. նախորդ համարիչը.

Որտեղ ինչ փնտրել այլ էջերում

Արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը իրական խնդիրներում գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ միանգամից, ուստի հոդվածում այս ածանցյալների ավելի շատ օրինակներ կան.«Աշխատանքի և որոշակի գործառույթի ածանցյալ».

Մեկնաբանություն.Մի շփոթեք հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարելի և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա տիպիկ սխալ է, որը տեղի է ունենում ածանցյալների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, սակայն մի քանի մեկ կամ երկու բաղադրիչ օրինակներ լուծելուց հետո սովորական ուսանողն այլևս չի անում այս սխալը:

Իսկ եթե ստեղծագործությունը կամ կոնկրետը տարբերակելիս տերմին ունես u"v, որի մեջ u- մի թիվ, օրինակ՝ 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ տերմինը հավասար կլինի զրոյի (այս դեպքը վերլուծված է օրինակ 10-ում)։

Մեկ այլ տարածված սխալ է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծումը որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալԱռանձին հոդված է հատկացված։ Բայց նախ, մենք կսովորենք գտնել պարզ ֆունկցիաների ածանցյալները:

Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտչական փոխակերպումների: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել ձեռնարկները նոր պատուհաններում Գործողություններ ուժերով և արմատներովև Գործողություններ կոտորակներով .

Եթե ​​դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով կոտորակների ածանցյալների համար, այսինքն՝ երբ ֆունկցիան նման է. , այնուհետև հետևեք դասին Հզորությունների և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալը:

Եթե ​​ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է , ապա ձեր դասը՝ «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ»։

Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը

Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Որոշում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը՝ ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալը, իսկ նրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը՝ երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով.

Այնուհետև մենք կիրառում ենք գումարը տարբերելու կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամը մինուս նշանով։ Յուրաքանչյուր գումարում մենք տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «x»-ը մեզ համար վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք ածանցյալների հետևյալ արժեքները.

Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը։ Կիրառում ենք գործակիցը տարբերելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է։ հայտարարը, իսկ հայտարարը նախորդ համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք, որ ընթացիկ օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնը հանդիսացող արտադրյալը վերցված է մինուս նշանով.

Եթե ​​դուք լուծումներ եք փնտրում այն ​​խնդիրների համար, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և հզորությունների շարունակական կույտ, ինչպես օրինակ, օրինակ. ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարի ածանցյալ» .

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների մասին, այսինքն՝ երբ ֆունկցիան նման է. , ապա ձեր դասը «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .

Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Ըստ արտադրյալի տարբերակման կանոնի և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքի՝ ստանում ենք.

Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք այն քանորդը, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Համաձայն գործակիցի տարբերակման կանոնի, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակի արժեքի համաձայն, ստանում ենք.

Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք։

Հարցեր «Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր» գիտական ​​առարկայի քննության համար.

230115 «Ծրագրավորում համակարգչային համակարգերում» մասնագիտության համար.

2012 \ 2013 ուսումնական տարի.

Մատրիցներ և գործողություններ դրանց վրա:

(Օ.Զրոյական մատրիցը մատրից է, որի բոլոր տարրերը հավասար են 0-ի:

Օ.Նույն չափման mxn երկու մատրիցա են կոչվում հավասարեթե i-րդ շարքի և j-րդ սյունակի խաչմերուկում մեկ և մյուս մատրիցում նույն թիվն է. i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Թող լինի Ա= (a ij) ինչ-որ մատրիցա է, իսկ g-ը կամայական թիվ է, ապա g Ա= (g a ij), այսինքն՝ A մատրիցը g թվով բազմապատկելիս, A մատրիցը կազմող բոլոր թվերը բազմապատկվում են g թվով։

Թող A և B լինեն A = (a ij), B = (b ij), նույն չափի մատրիցներ, ապա դրանց գումարը A + B նույն չափի C = (c ij) մատրիցն է, որը որոշվում է c ij բանաձևով: = a ij + b ij, այսինքն, երբ գումարվում են երկու մատրիցներ, զույգերով գումարվում են դրանցում նույնականորեն տեղակայված թվերը։

A մատրիցը կարող է բազմապատկվել B մատրիցով, այսինքն՝ գտնել C = AB մատրիցը, եթե A մատրիցի n սյունակների թիվը հավասար է B մատրիցի տողերի թվին, մինչդեռ C մատրիցը կունենա այնքան տող, որքան տող կա: մատրից A և B մատրիցի նույնքան սյունակ, որքան սյունակ: C մատրիցի յուրաքանչյուր տարր սահմանվում է բանաձևով:

C արտադրյալ մատրիցի c ij տարրը հավասար է առաջին մատրիցային գործոնի i շարքի տարրերի արտադրյալների գումարին երկրորդ մատրիցային գործոնի j -րդ սյունակի համապատասխան տարրերով։

Որոշիչի հայեցակարգը և դրա հատկությունները:

Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տես. Որոշիչ (արժեքներ) .

Որոշիչ(կամ որոշիչ) հիմնական հասկացություններից մեկն է գծային հանրահաշիվ... Որոշիչ մատրիցներէ բազմանդամքառակուսի մատրիցայի տարրերից (այսինքն, որտեղ տողերի և սյունակների թիվը հավասար է): Ընդհանրապես մատրիցակարող է սահմանվել ցանկացած փոխակերպման վրա մատանի, այս դեպքում որոշիչը կլինի նույն օղակի տարրը։

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 1. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա բոլոր տողերը փոխարինվեն սյունակներով, և յուրաքանչյուր տող փոխարինվի նույն թվով սյունակով, այսինքն.

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 2. Որոշիչի երկու սյունակների կամ երկու տողերի փոխարկումը համարժեք է այն -1-ով բազմապատկելուն:

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 3. Եթե որոշիչն ունի երկու նույնական սյունակ կամ երկու նույնական տող, ապա այն հավասար է զրոյի։

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 4. Որոշիչի մեկ սյունակի կամ տողի բոլոր տարրերի բազմապատկումը ցանկացած k թվով համարժեք է որոշիչն այս k թվով բազմապատկելուն։

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 5. Եթե որոշ սյունակի կամ տողի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի։ Այս հատկությունը նախորդի հատուկ դեպքն է (k = 0-ի համար):

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 6. Եթե երկու սյունակի կամ որոշիչի երկու տողերի համապատասխան տարրերը համաչափ են, ապա որոշիչը զրո է։

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 7. Եթե որոշիչի n-րդ սյունակի կամ n-րդ տողի յուրաքանչյուր տարր երկու անդամի գումար է, ապա որոշիչը կարող է ներկայացվել որպես երկու որոշիչի գումար, որոնցից մեկը n-րդ սյունակում կամ. , համապատասխանաբար, n-րդ շարքում նշված տերմիններից առաջինն է, իսկ մյուսը՝ երկրորդը. Մնացած վայրերում տարրերը նույնն են երեք որոշիչների նշաձողերի համար:

ՀԱՏՈՒԿՈՒԹՅՈՒՆ 8. Եթե ինչ-որ սյունակի (կամ տողի) տարրերին ավելացնենք մեկ այլ սյունակի (կամ մեկ այլ տողի) համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով որևէ ընդհանուր գործակցով, ապա որոշիչի արժեքը չի փոխվի։ Օրինակ. Որոշիչների հետագա հատկությունները կապված են հանրահաշվական լրացման և մինորի հասկացության հետ: Որոշակի տարրի մինորը որոշիչ է, որը ստացվում է տրվածից՝ ջնջելով տողը և սյունը, որոնց հատման կետում գտնվում է այս տարրը:

Որոշիչի ցանկացած տարրի հանրահաշվական լրացումը հավասար է այս տարրի մինորին՝ վերցված իր նշանով, եթե այն տողի և սյունակի թվերի գումարը, որոնց հատման կետում գտնվում է տարրը, զույգ թիվ է, և հակառակ նշանով, եթե այս թիվը կենտ է:

Տարրի հանրահաշվական լրացումը կնշանակենք համանուն մեծատառով և նույն թվով, ինչ նույն տարրը նշանակող տառը:

ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆ 9. Որոշիչը հավասար է ցանկացած սյունակի (կամ տողի) տարրերի արտադրյալների գումարին իրենց հանրահաշվական լրացումներով։ Այլ կերպ ասած, հետևյալ հավասարությունները պահպանվում են.

Դետերմինանտների հաշվարկ.

Որոշիչների հաշվարկը հիմնված է նրանց հայտնի հատկությունների վրա, որոնք վերաբերում են բոլոր կարգերի որոշիչներին: Այս հատկություններն են.

1. Եթե դուք վերադասավորեք որոշիչի երկու տող (կամ երկու սյունակ), ապա որոշիչը կփոխի նշանը:

2. Եթե որոշիչի երկու սյունակների (կամ երկու տողերի) համապատասխան տարրերը հավասար են կամ համաչափ, ապա որոշիչը զրո է։

3. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե փոխեք տողերն ու սյունակները՝ պահպանելով դրանց հերթականությունը։

4. Եթե որևէ տողի (կամ սյունակի) բոլոր տարրերն ունեն ընդհանուր գործակից, ապա այն կարելի է հանել որոշիչի նշանից։

5. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե մեկ տողի (կամ սյունակի) տարրերին ավելացվեն մյուս տողի (կամ սյունակի) համապատասխան տարրերը, բազմապատկված նույն թվով: Երրորդ կարգի որոշիչների համար այս հատկությունը կարող է գրվել, օրինակ, հետևյալ կերպ.

6. Երկրորդ կարգի որոշիչը հաշվարկվում է բանաձևով

7. Երրորդ կարգի որոշիչը հաշվարկվում է բանաձևով

Գոյություն ունի երրորդ կարգի որոշիչի հաշվարկման հարմար սխեմա (տես նկ. 1 և նկ. 2):

Նկարում ներկայացված սխեմայի համաձայն: 1, միացված տարրերի արտադրանքները վերցված են իրենց նշանով, և ըստ Նկ. 2 - հակառակի հետ: Որոշիչի արժեքը հավասար է ստացված վեց արտադրյալների հանրահաշվական գումարին։

Գծային հավասարումների համակարգեր. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ.

Համակարգպրն գծային հանրահաշվական հավասարումներ հետn անհայտ(կամ, գծային համակարգ, օգտագործվում է նաև հապավումը ԴԱՆԴԱՂ) v գծային հանրահաշիվձևի հավասարումների համակարգ է

Երեք փոփոխականների գծային հավասարումների համակարգը սահմանում է բազմություն ինքնաթիռներ... հատման կետը լուծումն է:

Ահա հավասարումների թիվը և անհայտների թիվը: x 1 , x 2 , …, x n- անհայտները պետք է որոշվեն: ա 11 , ա 12 , …, ա մն- համակարգային գործակիցներ - և բ 1 , բ 2 , … բ մ- ազատ անդամներ - ենթադրվում է, որ հայտնի են ... Հնարավորությունների ինդեքսներ ( ա ij) համակարգի հավասարման թվերը ( ես) և անհայտ ( ժ), որի վրա համապատասխանաբար գտնվում է այս գործակիցը .

Համակարգը (1) կոչվում է միատարր եթե նրա բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի ( բ 1 = բ 2 = … = բ մ= 0), հակառակ դեպքում - տարասեռ.

Համակարգը (1) կոչվում է քառակուսի եթե համարը մհավասարումները հավասար են թվին nանհայտներ.

Լուծումհամակարգ (1) - հավաքածու nթվեր գ 1 , գ 2 , …, գ nայնպես, որ յուրաքանչյուրի փոխարինումը գ եսփոխարեն x եսհամակարգի մեջ (1) փոխակերպում է իր բոլոր հավասարումները ինքնությունները.

Համակարգը (1) կոչվում է համատեղ եթե այն ունի գոնե մեկ լուծում, և անհամապատասխանեթե նա լուծումներ չունի:

(1) ձևի համատեղ համակարգը կարող է ունենալ մեկ կամ մի քանի լուծում:

Լուծումներ գ 1 (1) , գ 2 (1) , …, գ n(1) և գ 1 (2) , գ 2 (2) , …, գ n(2) կոչվում է (1) ձևի հետևողական համակարգ բազմազանեթե հավասարություններից առնվազն մեկը խախտված է.

գ 1 (1) = գ 1 (2) , գ 2 (1) = գ 2 (2) , …, գ n (1) = գ n (2) .

(1) ձևի միացյալ համակարգ կոչվում է որոշակի եթե նա ունի յուրահատուկ լուծում. եթե այն ունի առնվազն երկու տարբեր լուծում, ապա այն կոչվում է չսահմանված... Եթե ​​կան ավելի շատ հավասարումներ, քան անհայտներ, այն կոչվում է վերասահմանված .

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ (Կրամերի և Գաուսի մեթոդ).

Գաուսի մեթոդ - լուծման դասական մեթոդ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր(ԴԱՆԱՂ): Սա հաջորդական բացառության մեթոդ է փոփոխականներ, երբ, օգտագործելով տարրական փոխակերպումները, հավասարումների համակարգը վերածվում է եռանկյունաձև ձևի համարժեք համակարգի, որտեղից հաջորդաբար, սկսած վերջին (թիվով) փոփոխականներից, հայտնաբերվում են մնացած բոլոր փոփոխականները. .

Կրամերի մեթոդ (Կրամերի կանոն)- քառակուսի լուծելու միջոց գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերոչ զրոյականով որոշիչ հիմնական մատրիցա(ավելին, նման հավասարումների համար լուծումը գոյություն ունի և եզակի է): Անունով անվանված Գաբրիել Կրամեր(1704-1752), որը հորինել է մեթոդը։

Վեկտորներ. Գծային գործողություններ դրանց վրա:

Վեկտորը ուղղորդված հատված է: Եթե ​​վեկտորի սկիզբը գտնվում է A կետում, իսկ վերջը` B կետում, ապա վեկտորը նշանակվում է AB: Եթե ​​վեկտորի սկիզբը և վերջը նշված չեն, ապա այն նշվում է լատինական այբուբենի a, b, c,… փոքրատառով: BA միջով նշանակեք AB վեկտորին հակառակ ուղղված վեկտոր: Վեկտորը, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են, կոչվում է զրո և նշանակվում է ō-ով։ Նրա ուղղությունը անորոշ է։

Վեկտորի երկարությունը կամ մոդուլը նրա սկզբի և վերջի միջև եղած հեռավորությունն է։ Գրառումներ | AB | և |ա | նշանակել AB և a վեկտորների մոդուլները.

Վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե դրանք զուգահեռ են մեկ ուղիղ գծին, և համահավասար, եթե դրանք զուգահեռ են նույն հարթությանը:

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք համագիծ են, նույն ուղղությամբ և հավասար են երկարությամբ:

Վեկտորների վրա գծային գործողությունները ներառում են.

1) վեկտորի բազմապատկումը թվով (a վեկտորի և α թվի արտադրյալը վեկտոր է, որը նշվում է α ∙ a-ով: (Կամ հակառակը a ∙ α), որի մոդուլը | α a | = | α. || a |, և ուղղությունը համընկնում է a վեկտորի ուղղության հետ, եթե α> 0, և հակառակը, եթե α.< 0.

2) վեկտորների գումարում (Վեկտորների գումարը վեկտոր է, որը նշվում է սկզբում առաջին վեկտորի սկզբում a 1, իսկ վերջը` վերջին an վեկտորի վերջում, կոտրված գիծ, ​​որը կազմված է. վեկտորային տերմինների հաջորդականություն: Այս գումարման կանոնը կոչվում է կոտրված գիծ փակելու կանոն: Երկու վեկտորների գումարը համարժեք է զուգահեռագծի կանոնին)

E ուղիղ գիծը, որի վրա տրված է դրական ուղղությունը, կոչվում է e-առանցք:

a i վեկտորների գծային համակցությունը a վեկտոր է, որը որոշվում է բանաձևով, որտեղ կան որոշ թվեր:

Եթե ​​n վեկտորների համակարգի համար a i հավասարությունը

ճիշտ է միայն այն դեպքում, եթե այս համակարգը կոչվում է գծային անկախ: Եթե ​​հավասարությունը (1) պահպանվում է, որոնցից առնվազն մեկի համար զրոյական չէ, ապա aі վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային կախված: Օրինակ, ցանկացած համակողմանի վեկտոր, երեք համակողմանի վեկտոր, չորս կամ ավելի վեկտոր եռաչափ տարածության մեջ միշտ գծային կախված են:

Երեք կարգավորված գծային անկախ վեկտորներ ē 1, ē 2, ē 3 տարածության մեջ կոչվում են հիմք: Ոչ համակողմանի վեկտորների պատվիրված եռյակը միշտ հիմք է կազմում: Ցանկացած a վեկտոր տարածության մեջ կարող է ընդլայնվել ē 1, ē 2, ē 3 հիմքում, այսինքն՝ a-ն կարող է ներկայացվել որպես հիմքի վեկտորների գծային համակցություն՝ a = xē 1 + yē 2 + zē 3, որտեղ x, y, z-ն կոորդինատների վեկտորն է ē 1, ē 2, ē 3 հիմքում: Հիմքը կոչվում է օրթոնորմալ, եթե դրա վեկտորները փոխադարձաբար ուղղահայաց են և ունեն միավորի երկարություն: Նման հիմքը նշվում է i, j, k, այսինքն, i = (1,0,0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1):

Օրինակ 5. Վեկտորները նշված են օրթոնորմալ հիմունքներով i, j, k կոորդինատներով՝ a = (2; -1; 8), е 1 = (1,2,3), е 2 = (1, -1, -): 2), e 3 = (1, -6.0): Համոզվեք, որ եռակի e 1, e 2, e 3 հիմք է կազմում և գտեք վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում:

Լուծում. Եթե ​​որոշիչը , որը կազմված է e 1, e 2, e 3 վեկտորների կոորդինատներից, հավասար չէ 0-ի, ապա e 1, e 2, e 3 վեկտորները գծային անկախ են և, հետևաբար, հիմք են կազմում։ Մենք համոզված ենք, որ = -18-4 + 3-12 = -31 Այսպիսով, եռակի e 1, e 2, e 3 հիմք է:

Է 1, е 2, е 3 հիմքում a վեկտորի կոորդինատները նշանակենք x, y, z-ով։ Այնուհետև a = (x, y, z) = хе 1 + yе 2 + zе 3: Քանի որ a = 2i - j + 8k պայմանով, e 1 = i + 2j + 3k, e 2 = i - j -2k, e 3 = i - 6j, ապա հավասարությունից a = xe1 + ye 2 + ze 3. հետևում է այնպես, որ 2i - j + 8k = xi + 2xj + 3xk + yi - yj -2yk + zi -6zj = (x + y + z) i + (2x-y-6z) j + (3x-2y) k .. Ինչպես տեսնում եք, ստացված հավասարության ձախ կողմի վեկտորը հավասար է աջ կողմի վեկտորին, և դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե դրանց համապատասխան կոորդինատները հավասար են: Այսպիսով, մենք ստանում ենք x, y, z անհայտները գտնելու համակարգ.

Դրա լուծումը՝ x = 2, y = -1, z = 1. Այսպիսով, a = 2e 1 - e 2 + e 3 = (2, -1,1):

Վեկտորների տարրալուծում. Վեկտորների կետային արտադրյալ:

Scalar արտադրանքերբեմն ներքին աշխատանք- վիրահատություն երկուսի վրա վեկտորներ, որի արդյունքը թիվն է ( սկալյար), որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է գործակիցների վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը։ Այս գործողությունը համապատասխանում է բազմապատկմանը երկարությունըվեկտոր x միացված է պրոյեկցիավեկտոր y վեկտորով x. Այս գործողությունը սովորաբար դիտվում է որպես կոմուտատիվև գծայինյուրաքանչյուր գործոնի համար:

Հետևյալ կոնվենցիաներից մեկը սովորաբար օգտագործվում է.

կամ ( նշանակումը Դիրակհաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկապետական ​​վեկտորների համար):

Սովորաբար ենթադրվում է, որ կետային արդյունքը դրական որոշակի է, այսինքն

Բոլորի համար .

Եթե ​​դա չի ենթադրվում, ապա աշխատանքը կոչվում է անորոշ.

Կետային արտադրանք v վեկտորային տարածությունվերևում դաշտ համալիր(կամ նյութական) թվերկոչվում է ֆունկցիա տարրերի համար, որոնք ընդունում են արժեքներ (կամ) յուրաքանչյուր զույգ տարրերի համար և բավարարում են հետևյալ պայմանները.

Նշենք, որ սահմանման 2-րդ կետից բխում է, որ. Հետևաբար, 3-րդ կետը իմաստ ունի՝ չնայած բարդ (ընդհանուր դեպքում) արժեքներին կետային արտադրանք.

Վեկտորների վեկտորային արտադրյալ:

Վեկտորային արտադրանք- սա կեղծվեկտոր, ուղղահայացինքնաթիռը կառուցված է երկու գործոնից, որն էլ արդյունքն է երկուական գործողությունԱվարտվեց «Վեկտորի բազմապատկումը»: վեկտորներեռաչափով Էվկլիդյան տարածություն... Աշխատանքը ոչ մեկն է կոմուտատիվոչ էլ ասոցիատիվ(դա է հակակոմուտատիվ) և տարբերվում է վեկտորների կետային արտադրյալ... Ինժեներական և ֆիզիկայի բազմաթիվ խնդիրներում անհրաժեշտ է, որպեսզի կարողանանք կառուցել երկու գոյություն ունեցող վեկտորներին ուղղահայաց. խաչաձև արտադրությունը տալիս է այս հնարավորությունը: Խաչաձև արտադրյալը օգտակար է վեկտորների ուղղահայացությունը «չափելու» համար. երկու վեկտորների խաչաձև արտադրյալի երկարությունը հավասար է դրանց երկարությունների արտադրյալին, եթե դրանք ուղղահայաց են, և նվազում է մինչև զրոյի, եթե վեկտորները զուգահեռ են կամ հակազուգահեռ:

Խաչաձև արտադրանքը կարող է սահմանվել տարբեր ձևերով և տեսականորեն՝ ցանկացած հարթության տարածքում nդուք կարող եք հաշվարկել արտադրանքը n-1վեկտորներ, այդպիսով ստանալով մեկ վեկտոր, որը ուղղահայաց է նրանց բոլորին: Բայց եթե արտադրյալը սահմանափակվում է վեկտորային արդյունքներով ոչ տրիվիալ երկուական արտադրյալներով, ապա ավանդական վեկտորային արտադրյալը սահմանվում է միայն եռաչափ և յոթ ծավալայինտարածություններ. Վեկտորային արտադրանքի արդյունքը, ինչպես սկալյար արտադրյալը, կախված է չափումներԷվկլիդյան տարածություն.

Ի տարբերություն վեկտորների կոորդինատների հաշվարկման բանաձեւի կետային արտադրանքեռաչափով ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, խաչաձեւ արտադրանքի բանաձեւը կախված է կողմնորոշումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կամ, այլ կերպ ասած, դրա « քիրալություն».

Վեկտորների խառը արտադրյալ

Խառը աշխատանք վեկտորներ - սկալյար արտադրանք վեկտորվրա խաչի արտադրանք վեկտորներև :

Այն երբեմն կոչվում է եռակի կետային արտադրանքվեկտորները, ամենայն հավանականությամբ, պայմանավորված է նրանով, որ արդյունքը սկալյար(ավելի ճիշտ - pseudoscalar).

Երկրաչափական նշանակություն.Խառը արտադրանքի մոդուլը թվայինորեն հավասար է ծավալին զուգահեռաբարձձևավորվել է վեկտորներ .

Խառը աշխատանք թեք-սիմետրիկիր բոլոր փաստարկների առնչությամբ.

այսինքն՝ ցանկացած երկու գործոնի փոխարկումը փոխում է ապրանքի նշանը։ Այստեղից հետևում է, որ

Մասնավորապես,

Խառը ստեղծագործությունը հարմար է գրվում՝ օգտագործելով խորհրդանիշ (տենզոր) Լևի-Սիվիտա:

(օրթոնորմալ հիմքի վերջին բանաձևում բոլոր ինդեքսները կարող են գրվել ստորիններով, այս դեպքում այս բանաձևն ամբողջությամբ կրկնում է բանաձևը որոշիչով, սակայն այս դեպքում գործակիցը (-1) ձախ հիմքերի համար. ինքնաբերաբար ստացվում է):

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա:

Հարթության վրա վերցրեք երկու փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ՝ երկու կոորդինատային առանցք Ox և Oy, որոնց վրա նշված են դրական ուղղություններ (նկ. 1): Ox և Oy ուղիղները կոչվում են կոորդինատային առանցքներ, դրանց հատման կետը O - սկզբնաղբյուր:

Ox, Oy կոորդինատային առանցքները՝ ընտրված սանդղակի միավորով, կոչվում են հարթության վրա դեկարտյան ուղղանկյուն (կամ ուղղանկյուն) կոորդինատային համակարգ։

Հարթության կամայական M կետին համապատասխանաբար դնում ենք երկու թիվ՝ աբսցիսա x, որը հավասար է M կետից Oy առանցքի հեռավորությանը, վերցված «+» նշանով, եթե M-ը Oy-ից աջ է, և «-» նշան, եթե M-ը Oy-ի ձախ կողմում է. y օրդինատը, որը հավասար է M կետից Ox առանցքի հեռավորությանը, վերցված «+» նշանով, եթե M գտնվում է Ox-ի վերևում, և «-» նշանով, եթե M-ը Ox-ից ցածր է: Աբսցիսան x և y օրդինատը կոչվում են M կետի դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներ (x; y):

Ծագումն ունի կոորդինատներ (0; 0): Կոորդինատային առանցքները հարթությունը բաժանում են չորս մասի, որոնք կոչվում են քառորդներ կամ քառորդներ (երբեմն կոչվում են նաև կոորդինատային անկյուններ)։ Հարթության այն հատվածը, որը փակված է Oх և Oy դրական կիսաառանցքների միջև, կոչվում է առաջին քառակուսի։ Այնուհետև քառակուսիների համարակալումը կատարվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ (նկ. 2): I քառակուսի բոլոր կետերի համար x> 0, y> 0; x քառակուսի I I կետերի համար<0, у>0, I I I քառորդում x<0, у<0 и в IV квадранте х>0, y<0.

Բևեռային կոորդինատներ.

Բևեռային կոորդինատային համակարգ- երկչափ կոորդինատային համակարգ, որտեղ հարթության յուրաքանչյուր կետ սահմանվում է երկու թվով՝ բևեռային անկյուն և բևեռային շառավիղ։ Բևեռային կոորդինատների համակարգը հատկապես օգտակար է, երբ կետերի միջև հարաբերությունները ավելի հեշտ է ներկայացնել շառավիղներով և անկյուններով. ավելի տարածվածում, դեկարտյանկամ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, նման հարաբերությունները կարող են հաստատվել միայն կիրառելով եռանկյունաչափականհավասարումներ։

Բևեռային կոորդինատային համակարգը սահմանվում է ճառագայթով, որը կոչվում է զրո կամ բևեռային առանցք: Այն կետը, որտեղից դուրս է գալիս այս ճառագայթը, կոչվում է սկզբնակետ կամ բևեռ: Հարթության ցանկացած կետ սահմանվում է երկու բևեռային կոորդինատներով՝ շառավղային և անկյունային: Ճառագայթային կոորդինատը (սովորաբար նշվում է) համապատասխանում է կետից մինչև սկզբնակետ հեռավորությանը: Անկյունային կոորդինատ, որը նաև կոչվում է բևեռային անկյուն կամ ազիմուտև նշանակվում է հավասար այն անկյան հետ, որով բևեռային առանցքը պետք է պտտվի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ այս կետին հասնելու համար:

Այս կերպ որոշված ​​ճառագայթային կոորդինատը կարող է արժեքներ վերցնել քերծվածքնախքան անսահմանություն, իսկ անկյունային կոորդինատը տատանվում է 0 °–ից մինչև 360 °։ Այնուամենայնիվ, հարմարության համար բևեռային կոորդինատի արժեքների շրջանակը կարող է ընդլայնվել սահմանից այն կողմ

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա

Սահմանում.Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

իսկ A, B հաստատունները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի։ Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - գիծն անցնում է սկզբնաղբյուրով

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Ox առանցքին

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Oy առանցքին:

B = C = 0, A ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A = C = 0, B ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված տվյալ սկզբնական պայմաններից:

Ուղիղ գծի հավասարման օգտագործման հիմնական խնդիրները

Չեմ կարող պատասխանել

Երկրորդ կարգի կորեր

Երկրորդ կարգի կորայն կետերի տեղն է, որոնց դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատները բավարարում են ձևի հավասարումը

որի գործակիցներից առնվազն մեկը զրո չէ:

Թվերի հաջորդականության սահմանը և գործառույթները

Թվային հաջորդականության սահմանը. Դիտարկենք թվային հաջորդականություն, որի ընդհանուր անդամը մոտենում է որոշակի թվի ա ավելացնելով սերիական համարը n... Այս դեպքում, ասում են, որ թվային հաջորդականությունը ունի սահման... Այս հայեցակարգն ունի ավելի խիստ սահմանում.

Այս սահմանումը նշանակում է, որ ակա սահմանթվային հաջորդականություն, եթե դրա ընդհանուր տերմինը մոտենում է անորոշ ժամանակով աաճի հետ n... Երկրաչափական առումով սա նշանակում է, որ ցանկացած > 0-ի համար կարելի է գտնել այդպիսի թիվ Նոր սկսած n > N բոլորըհաջորդականության անդամները գտնվում են միջակայքում ( ա ա). Այն հաջորդականությունը, որն ունի սահման, կոչվում է համընկնող; հակառակ դեպքում - շեղվող.

Հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակվածեթե այդպիսի թիվ կա Մինչ | u n | Մ  բոլորի համար n . Աճող կամ նվազող հաջորդականությունը կոչվում է միապաղաղ.

Հիմնական թեորեմներ սահմանների և դրանց կիրառության վերաբերյալ

Թեորեմ 1 . (հավասարության սահմանին անցնելու վերաբերյալ)Եթե ​​ինչ-որ կետի մերձակայքում երկու ֆունկցիա վերցնում են նույն արժեքները, ապա դրանց սահմաններն այս պահին համընկնում են:

Թեորեմ 2. (անհավասարության սահմանին անցնելու մասին)Եթե ​​ֆունկցիայի արժեքները զ(x) ինչ-որ կետի հարևանությամբ չեն գերազանցում ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները է(x) , ապա ֆունկցիայի սահմանը զ(x) այս պահին չի գերազանցում ֆունկցիայի սահմանը է(x) .

Թեորեմ 3 . հաստատունի սահմանը հավասար է ամենակայունին։

Ապացույց. զ(x) = հետ, մենք դա կապացուցենք։

Վերցրեք կամայական > 0: Որպես , դուք կարող եք վերցնել ցանկացած

դրական թիվ. Այնուհետև ժամը

Թեորեմ 4. Գործառույթչի կարող ունենալ երկու տարբեր սահմաններ

մեկ միավոր.

Ապացույց. Ենթադրենք հակառակը. Թող լինի

և .

Ըստ սահմանի և անվերջ փոքր ֆունկցիայի միջև կապի թեորեմը:

զ(x)- Ա= - բ.մ. ժամը,

զ(x)- Բ= - բ.մ. ժամը .

Այս հավասարությունները հանելով՝ ստանում ենք.

Բ-Ա= - .

Անցնելով հավասարության երկու կողմերի սահմաններին՝ ունենում ենք.

Բ-Ա= 0, այսինքն. Բ=Ա... Մենք ստանում ենք հակասություն, որն ապացուցում է թեորեմը:

Թեորեմ 5. Եթե ​​ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի յուրաքանչյուր անդամ ունի սահման՝ at, ապա հանրահաշվական գումարը ունի նաև սահման, իսկ հանրահաշվական գումարի սահմանը հավասար է սահմանների հանրահաշվական գումարին։

.

Ապացույց. Թող լինի , , .

Հետո, ըստ սահմանի և բ-ի միջև կապի թեորեմը.մ... գործառույթները:

որտեղ - բ.մ. ժամը .

Հանրահաշվորեն ավելացնենք այս հավասարությունները.

զ(x)+ է(x)- հ(x) - (A + B-C)= ,

որտեղ բ.մ. ժամը .

Սահմանի և անվերջ փոքրի միջև կապի թեորեմով գործառույթները:

A + B-C= .

Թեորեմ 6. Եթե ​​վերջավոր թվով ֆունկցիաների արտադրյալի գործակիցներից յուրաքանչյուրը սահման ունի ժամը, ապա արտադրյալն ունի նաև սահմանաչափ at, իսկ արտադրյալի սահմանը հավասար է սահմանների արտադրյալին։

.

Հետևանք.Հաստատուն բազմապատկիչը կարելի է վերցնել սահմանային նշանից դուրս:

.

Թեորեմ 7. Եթե ​​գործառույթներ զ(x) և է(x) սահմանափակում ունենալ,

ընդ որում, ապա դրանց քանորդը սահման ունի ժամը, իսկ քանորդի սահմանը հավասար է սահմանների քանորդին։

, .

Գործառույթի շարունակականություն

Նկ. 15, և ցուցադրվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը ... Բնական է այն անվանել շարունակական գրաֆիկ, քանի որ այն կարելի է նկարել մատիտի մեկ հարվածով՝ առանց թղթից պոկվելու։ Սահմանենք կամայական կետ (թիվ): Դրան մոտ մեկ այլ կետ կարելի է գրել այն տեսքով, որտեղ կա դրական կամ բացասական թիվ, որը կոչվում է աճ: Տարբերություն

կոչվում է ֆունկցիայի աճ՝ աճին համապատասխան կետում։ Այստեղ նկատի ունի այն ... Նկ. 15, և հավասար է հատվածի երկարությանը:

Մենք հակված կլինենք զրոյի; այնուհետև դիտարկվող ֆունկցիայի համար ակնհայտ է, որ այն ձգտելու է զրոյի.

. (1)

Այժմ դիտարկենք Նկար 15-ի գրաֆիկը, բ. Այն բաղկացած է երկու շարունակական կտորներից և. Այնուամենայնիվ, այս կտորները անընդհատ միացված չեն, և, հետևաբար, բնական է գրաֆիկն անվանել ընդհատվող: Որպեսզի գրաֆիկը մի կետում պատկերի միարժեք ֆունկցիա, մենք համաձայն ենք, որ այն հավասար է միացնող հատվածի երկարությանը և; Որպես դրա նշան՝ կետը գրաֆիկի վրա ցուցադրվում է շրջանագծով, մինչդեռ կետը գծված է սլաքով, որը ցույց է տալիս, որ այն չի պատկանում գրաֆիկին: Եթե ​​կետը պատկանում էր գրաֆիկին, ապա ֆունկցիան այդ կետում երկնիշ կլիներ։

Հիմա եկեք ավելացնենք և սահմանենք ֆունկցիայի համապատասխան աճը.

Եթե ​​մենք հակված ենք զրոյի, ապա հիմա արդեն չենք կարող ասել, որ այն կհակվի զրոյի։ Բացասականների համար, որոնք հակված են զրոյի, դա այդպես է, բայց դրականների համար դա բոլորովին այդպես չէ. նկարից երևում է, որ եթե դրական մնալով զրոյի է ձգտում, ապա համապատասխան աճը ձգտում է դեպի դրական թիվ, որը հավասար է. հատվածի երկարությանը:

Այս նկատառումներից հետո բնական է սեգմենտի վրա սահմանված ֆունկցիան անվանել շարունակական այս հատվածի մի կետում, եթե դրա աճն այս կետում, որը համապատասխանում է աճին, ձգտում է զրոյի՝ զրոյի ձգման ցանկացած մեթոդի համար: Սա (շարունակականության հատկությունը) գրվում է (1) հարաբերության ձևով կամ այսպես.

Գրառումը (2) կարդում է այսպես. սահմանը զրո է, երբ այն ձգտում է զրոյի՝ համաձայն որևէ օրենքի։ Սակայն «ցանկացած օրենքի համաձայն» արտահայտությունը սովորաբար բաց է թողնվում՝ ակնարկելով դա։

Եթե ​​վրա սահմանված ֆունկցիան մի կետում շարունակական չէ, այսինքն՝ եթե (2) հատկությունը նրա համար չի պահպանվում զրոյի թեքման առնվազն մեկ եղանակի համար, ապա այն կոչվում է անդադար մի կետում։

Ֆունկցիան ցույց է տրված նկ. 15, ա, շարունակական է ցանկացած կետում, մինչդեռ ֆունկցիան ցույց է տրված Նկ. 15b-ն, ակնհայտորեն, շարունակական է ցանկացած կետում, բացառությամբ կետի, քանի որ վերջինիս համար (2) հարաբերակցությունը չի բավարարվում, երբ մնում է դրական:

Այն ֆունկցիան, որը շարունակական է հատվածի (ինտերվալի) ցանկացած կետում, կոչվում է շարունակական այս հատվածում (ինտերվալ):

Շարունակական ֆունկցիան մաթեմատիկորեն արտահայտում է մի հատկություն, որը մենք հաճախ հանդիպում ենք գործնականում, այն է, որ անկախ փոփոխականի փոքր աճը համապատասխանում է կախված փոփոխականի (ֆունկցիայի) փոքր աճին: Մարմինների շարժման տարբեր օրենքներ, որոնք արտահայտում են մարմնի անցած ճանապարհի կախվածությունը ժամանակից, կարող են ծառայել որպես շարունակական ֆունկցիայի հիանալի օրինակ։ Ժամանակն ու տարածությունը շարունակական են։ Շարժման այս կամ այն ​​օրենքը նրանց միջև հաստատում է որոշակի շարունակական կապ, որը բնութագրվում է նրանով, որ ժամանակի փոքր աճը համապատասխանում է ճանապարհի փոքր աճին:

Մարդը հասել է շարունակականության աբստրակցիային՝ դիտարկելով իր շուրջը գտնվող այսպես կոչված շարունակական միջավայրերը՝ պինդ, հեղուկ կամ գազային, օրինակ՝ մետաղներ, ջուր, օդ։ Իրականում ցանկացած ֆիզիկական միջավայր իրենից ներկայացնում է միմյանցից անջատված մեծ թվով շարժվող մասնիկների կլաստեր: Այնուամենայնիվ, այս մասնիկները և նրանց միջև հեռավորությունները այնքան փոքր են՝ համեմատած մակրոսկոպիկ ֆիզիկական երևույթների հետ կապված մեդիայի ծավալների հետ, որ նման շատ երևույթներ կարելի է բավականին լավ ուսումնասիրել, եթե ենթադրենք, որ միջավայրի զանգվածը ուսումնասիրությունը մոտավորապես շարունակաբար բաշխվում է՝ առանց դրա զբաղեցրած տարածքում բացերի։ Շատ ֆիզիկական առարկաներ հիմնված են այս ենթադրության վրա, օրինակ՝ հիդրոդինամիկան, աերոդինամիկան և առաձգականության տեսությունը։ Շարունակականության մաթեմատիկական հայեցակարգը, բնականաբար, կարևոր դեր է խաղում այս առարկաներում, ինչպես շատ ուրիշներում:

Շարունակական ֆունկցիաները կազմում են ֆունկցիաների հիմնական դասը, որոնցով գործում է մաթեմատիկական վերլուծությունը։

Շարունակական ֆունկցիաների օրինակներ են տարրական ֆունկցիաները (տես ստորև՝ § 3.8): Դրանք շարունակական են փոփոխության այն միջակայքում, որտեղ դրանք սահմանված են:

Մաթեմատիկայում անխափան ֆունկցիաները արտացոլում են բնության մեջ տեղի ունեցող ընդհատվող գործընթացները: Հարվածի ժամանակ, օրինակ, մարմնի արագության արժեքը կտրուկ փոխվում է։ Շատ որակական անցումներ ուղեկցվում են թռիչքներով։ Օրինակ, մեկ գրամ ջրի (սառույցի) ջերմաստիճանի և դրա մեջ ջերմության կալորիաների քանակի միջև փոխհարաբերությունը, երբ այն փոխվում է և, եթե պայմանականորեն ընդունված է, որ համար, արժեքը արտահայտվում է հետևյալ բանաձևերով.

Մենք կարծում ենք, որ սառույցի ջերմունակությունը 0,5 է։ Երբ պարզվում է, որ այս ֆունկցիան անորոշ է - բազմարժեք; Հարմարության համար կարելի է համաձայնել, որ այն ստանում է լավ սահմանված արժեք, օրինակ. Ֆունկցիան ակնհայտորեն ընդհատված է ժամը, ցույց է տրված Նկ. 16.

Եկեք մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության սահմանում տանք:

Ֆունկցիան կոչվում է շարունակական մի կետում, եթե այն սահմանվում է այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ, ներառյալ հենց կետում, և եթե դրա աճն այս կետում, որը համապատասխանում է փաստարկի աճին, ձգտում է զրոյի, ինչպես.

Եթե ​​դնենք, ապա կստանանք շարունակականության հետևյալ համարժեք սահմանումը. ֆունկցիան մի կետում շարունակական է, եթե այն սահմանված է այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ, ներառյալ հենց կետում, և եթե.

; (4)

կամ էլ լեզվով. եթե բոլորի համար կա այդպիսին

Հավասարությունը (4) կարելի է գրել նաև հետևյալ կերպ.

. (4’)

Այն ցույց է տալիս, որ շարունակական ֆունկցիայի նշանի տակ կարելի է անցնել սահմանին։

ՕՐԻՆԱԿ 1. Հաստատուն այն ֆունկցիան է, որը շարունակական է ցանկացած կետում: Իրոք, կետը համապատասխանում է ֆունկցիայի արժեքին, կետը համապատասխանում է նույն արժեքին ... Ահա թե ինչու

.

PRI me R 2. Ֆունկցիան շարունակական է ցանկացած արժեքի համար, քանի որ և, հետևաբար, ժամը:

PRI me R 3. Ֆունկցիան շարունակական է ցանկացածի համար: Իսկապես,

Բայց ցանկացածի համար անհավասարությունը

Եթե, ապա սա բխում է Նկ. 17, որը ցույց է տալիս 1 շառավղով շրջան (երկարության աղեղը մեծ է նրա կողմից սեղմված ակորդից՝ ունենալով երկարություն)։ Քանզի, անհավասարությունը (6) վերածվում է հավասարության։ Եթե, ապա ... Ի վերջո, եթե, ապա ... (5)-ից (6)-ի հիման վրա հետևում է

,

Բայց հետո ակնհայտորեն

Կարող եք նաև ասել, որ բոլորի համար կարող եք գտնել հենց այդպիսին

Մենք նշում ենք կարևոր թեորեմ.

ԹԵՈՐԵՄ 1. Եթե ֆունկցիաները և մի կետում շարունակական են, ապա դրանց գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և քանորդը (at) այս կետում նույնպես շարունակական են:

Այս թեորեմն ուղղակիորեն բխում է §3.2-ի 6-րդ թեորեմից, եթե հաշվի առնենք, որ այս դեպքում.

Ճշմարիտ է նաև ֆունկցիայի (բաղադրյալ ֆունկցիա) ֆունկցիայի շարունակականության մասին կարևոր թեորեմը։

ԹԵՈՐԵՄ 2. Թող տրվի մի ֆունկցիա, որը մի կետում շարունակական է, և մեկ այլ ֆունկցիա, որը մի կետում շարունակական է, և թող. Հետո կոմպլեքս ֆունկցիան մի կետում շարունակական է:

Ապացույց. Նկատի ունեցեք, որ մի կետում ֆունկցիայի շարունակականության սահմանումից հետևում է, որ այն սահմանվում է այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ: Ահա թե ինչու

Այստեղ մենք մտցրեցինք փոխարինում և հաշվի առանք կետում շարունակականությունը .

ՕՐԻՆԱԿ 4. Ֆունկցիա

որտեղ հաստատուն գործակիցներ են, կոչվում է աստիճանի բազմանդամ: Դա շարունակական է ցանկացածի համար։ Ի վերջո, ստանալու համար անհրաժեշտ է, հիմնվելով հաստատուն թվերի և ֆունկցիայի վրա, կատարել վերջավոր թվով թվաբանական գործողություններ՝ գումարում, հանում և բազմապատկում։ Բայց հաստատունը շարունակական ֆունկցիա է (տես օրինակ 1), և ֆունկցիան նույնպես շարունակական է (տե՛ս Օրինակ 2), ուստի շարունակականությունը բխում է 1-ին թեորեմից։

ՕՐԻՆԱԿ 5. Ֆունկցիան շարունակական է: Այն իրենից ներկայացնում է երկու շարունակական ֆունկցիաների բաղադրություն՝,.

ՕՐԻՆԱԿ 6. Ֆունկցիա

շարունակական է նշվածների համար, քանի որ (տե՛ս թեորեմ 1) այն հավասար է շարունակական ֆունկցիաների բաժանման քանորդին, իսկ բաժանարարը հավասար չէ զրոյի (նշվածների համար)։

ՕՐԻՆԱԿ 7. Ֆունկցիա

շարունակական է ցանկացածի համար, քանի որ այն շարունակական ֆունկցիաների կազմ է՝,, (տես Թեորեմ 2):

ՕՐԻՆԱԿ 8. Ֆունկցիան շարունակական է, քանի որ

ՕՐԻՆԱԿ 9. Եթե ֆունկցիան մի կետում շարունակական է, ապա ֆունկցիան այս կետում նույնպես շարունակական է:

Սա բխում է թեորեմ 2-ից և օրինակ 8-ից, քանի որ ֆունկցիան երկու շարունակական ֆունկցիաների բաղադրություն է:

Մենք նշում ենք ևս երկու թեորեմ, որոնք ուղղակիորեն բխում են §3.2-ի 1-ին և 2-րդ թեորեմներից՝ ֆունկցիայի սահմանի համար:

ԹԵՈՐԵՄ 3. Եթե ֆունկցիան մի կետում շարունակական է, ապա կա այս կետի հարևանություն, որի վրա այն սահմանափակված է:

ԹԵՈՐԵՄ 4. Եթե ֆունկցիան u կետում շարունակական է, ապա գոյություն ունի այն կետի հարևանությունը, որի վրա

.

Ավելին, եթե, ապա

իսկ եթե, ապա

Ածանցյալ հասկացություն.

Ածանցյալ(գործում է մի կետում) - հիմնական հասկացություն դիֆերենցիալ հաշվարկբնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը (տվյալ կետում): Սահմանվում է որպես սահմանֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը նրա աճին փաստարկերբ ձգտում է մեծացնել փաստարկը դեպի զրոեթե այդպիսի սահման կա. Այն ֆունկցիան, որն ունի վերջավոր ածանցյալ (որոշ կետում) կոչվում է դիֆերենցիալ (տվյալ կետում):

Ածանցյալի հաշվարկման գործընթացը կոչվում է տարբերակում... Հակադարձ գործընթաց՝ գտնել հակաածանցյալ - ինտեգրում.

Ածանցյալի երկրաչափական և մեխանիկական նշանակությունը:

Տարբերակման կանոններ.

Գործառույթների հանրահաշվական գումարի ածանցյալ

Թեորեմ 1. Ածանցյալերկու տարբերակելի ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին (տարբերությանը).

(u ± v) "= u" ± v "

Հետևանք. Տարբերվող ֆունկցիաների վերջավոր հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է տերմինների ածանցյալների նույն հանրահաշվական գումարին։ Օրինակ,

(u - v + w) "= u" - v "+ w"

Գործառույթների արտադրյալի ածանցյալը որոշվում է

Թեորեմ 2. Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է առաջին ֆունկցիայի արտադրյալին երկրորդի ածանցյալով գումարած երկրորդ ֆունկցիայի արտադրյալը առաջինի ածանցյալով, այսինքն.

(UV) "= u" v + uv "

Հետևություն 1. Հաստատուն գործոնը կարելի է վերցնել (cv) «= cv» (c = const) ածանցյալի նշանից դուրս:

Եզրակացություն 2. Մի քանի տարբերակվող ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի ածանցյալի արտադրյալների գումարին բոլոր մյուսների կողմից։

Օրինակ, (uvw) "= u" vw + uv "w + uvw"

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալ

արտահայտվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ 3. Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը որոշվում է բանաձևով.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալն արտահայտում է

Թեորեմ 4. Եթե y = f (u) և u = (φ (x)) իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներ են, ապա. բաղադրյալ ֆունկցիայի ածանցյալ y = f (f (x)) գոյություն ունի և հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ, այսինքն.

Շատ հաճախ ներս ածանցյալների համար մաթեմատիկայի թեստերՏրված են բարդ ֆունկցիաներ, օրինակ՝ y = sin (cos5x): Նման ֆունկցիայի ածանցյալն է -5sin5x * sin (cos5x)

Կոմպլեքս ֆունկցիայի հաշվարկման օրինակ տես հետևյալ տեսանյութում։

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ.

Պարզ արգումենտի տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ	Գործառույթy = զ (kx + b )	Բարդ արգումենտի տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+բ)n	y=nկ(kx+բ)n−1
		y=(kx+բ)

Ուստի հավասարությունը (3.10) կարևոր դեր է խաղում թե տեսական ուսումնասիրություններում, թե մոտավոր հաշվարկներում։

Ֆունկցիայի ածանցյալը և դիֆերենցիալը գտնելու գործողությունները կոչվում են տարբերակումայս ֆունկցիան։ Երկու գործողությունների ընդհանուր անվանումը պայմանավորված է նրանց ակնհայտ կախվածությամբ: Բանաձևի (3.8) ուժով ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ստացվում է նրա արտադրյալի պարզ բազմապատկմամբ

հարաբերական սխալներ, որոնք առաջանում են, երբ ֆունկցիայի աճը փոխարինվում է նրա դիֆերենցիալով:

Գտեք ֆունկցիայի աճը և դիֆերենցիալը

y = 3 (x + x) 2 + (x + x) - 3 x2 - x = 6 x x + 3 (x) 2 + x = (6 x + 1) x + (x) 2.

Այնուհետև dy = (6 x + 1) x: Հաշվեք y և dy x = 1 կետում, եթե x = 0, 1 y = 7 0, 1 + 3 0, 01 = 0, 73; dy = 7 0, 1 = 0, 7:

Բացարձակ սխալը y - dy = 0, 73 - 0, 7 = 0, 03 և հարաբերական սխալը

y = 0 0 .03 73 ≈0.04:

3.5. Գործառույթների գումարի, արտադրյալի և գործակիցի ածանցյալ

Հիշենք միջնակարգ դպրոցի դասընթացից հայտնի տարբերակման կանոնները, որոնք որոշ դեպքերում թույլ են տալիս գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները՝ առանց ուղղակիորեն սահմանմանը դիմելու։

Թեորեմ 3.3. Եթե ​​u = u (x) և v = v (x) ֆունկցիաները

x կետում, ապա այս կետում
				(u + v)
				(ուլտրամանուշակագույն)		U v + v u;
					u v - v u				V = v (x) ≠ 0:

տարբերակելի

Այս հավասարությունների անդամը բազմապատկելով dx-ով, մենք ստանում ենք նույն կանոնները, որոնք գրված են դիֆերենցիալների առումով

d (u + v) = du + dv;
d (uv) = udv + vdu;

					udv - վդու

Ապացույց. Քանի որ ապացույցը լիովին միատեսակ է թեորեմի բոլոր մասերի համար, մենք ապացուցում ենք դրանցից մեկը, օրինակ՝ երկրորդը։

Մենք սահմանում ենք y = uv: X-ին տվեք x-ի ավելացում և թող

u, Δ v, Δ y կլինեն u, v, y ֆունկցիաների ավելացումները կետում									x, համապատասխան
աճող		x, փաստարկ. Հետո
y = (u + u) (v + v) - uv = v u + u v + u v.
Հաշվի առնելով, որ ու	իսկ v-ն կետի ֆունկցիաների արժեքներն են							x-ից կախված չեն
աճում է վեճ		x, ըստ սահմանման (3.1) և սահմանափակիչի հատկությունների
անցում (տես բանաձեւերը (2.14), (2.15), մենք գտնում ենք
y ′ = լիմ		V լիմ		U lim	v + lim
x → 0		x → 0		x → 0		x → 0		x → 0
Ֆունկցիա v = v (x)	խնդրո առարկա կետում					x թեորեմի վարկածով

հղման ենթակա է և, հետևաբար, շարունակական (թեորեմ 3.2), հետևաբար

	v = 0 (շարունակականության սահմանում 2.17) և նախորդ հավասարությունը
x → 0					y ′ = vu ′ + uv ′ + u ′ 0. Փոխարինելով այստեղ
տալիս է ածանցյալի արտահայտություն.
y = uv, մենք հասնում ենք բանաձևին (3.12):							y = C (այստեղ
	Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալ և դիֆերենցիալ
ՀԵՏ -	հաստատուն թիվ բոլոր x X-ի համար)					հավասար են զրոյի։
	x X Գ
					dC = C dx = 0:
Իրոք, X բազմության ցանկացած կետում նման ֆունկցիան ունի մեկ
և նույն իմաստով, որի ուժով նրա համար						y ≡ 0 ցանկացածի համար	x և x այդպիսին
	x, x + x X. Հետևաբար,			ածանցյալի սահմանման ուժով և
renial, բանաձեւերը (3.17) հետեւում.
	Բանաձևը (3.11) ընդհանրացված է թույլերի ցանկացած վերջավոր թվի դեպքում
գործառույթները։
	u = C-ի համար, որտեղ	C - const, բանաձևեր (3.12) և (3.15),					(3.17) ուժով,
				դ (Cv) = Cdv: Այսինքն՝ հաստատուն բազմապատկիչ
տալ հավասարումներ՝ (Cv)

մարմինը կարելի է հանել ածանցյալի և դիֆերենցիալի նշանների համար։

Երեք գործոնի դեպքում՝ հաջորդաբար կիրառելով բանաձևը

(3.12), մենք գտնում ենք

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w + (uv) w ′ + (u ′ v + uv ′) w + uvw ′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′:

Նմանատիպ կանոնը գործում է ցանկացած մի շարք գործոնների արտադրյալը տարբերակելիս:

Հետևյալ պարբերություններում կստացվեն հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները:

3.6. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Եկեք գտնենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալները, մասնավորապես

		Cosx						= - sinx
	(մեղք x)					(cos x)
	(tgx) ′ =					(ctgx) ′
			cos2 x						մեղք2 x

Եկեք ստանանք առաջինը: y = sin x ֆունկցիայի աճը x կետում, համ.

	համապատասխան ավելացում				փաստարկը կլինի
	y = մեղք (x +		x) - sinx = 2sin				x cos (x +		x).
	Հաշվի առնելով այդ մեղքը 2 x		2 x ժամը
						x → 0	և օգտագործելով սահմանումը
	ջուր, մենք գտնում ենք				2sin 2 x cos (x +			2x)
	y ′ = լիմ		y = լիմ
		x → 0		x → 0
		2 2 x cos (x +		2x)		Limcos (x +		x) = cosx.
	x → 0					x → 0

Երկրորդ բանաձևն ապացուցված է նույն կերպ. Երրորդ և չորրորդ բանաձևերը ստացվում են շոշափողն ու կոտանգենսը սինուսով և կոսինուսով արտահայտելով և օգտագործելով (3.13) բանաձևը:

3.7. Լոգարիթմական ֆունկցիաների տարբերակում

	Հետևյալ բանաձևերը վավեր են
					լոգա էլ
		(լոգա x)				2. (lnx)

Եկեք ապացուցենք դրանցից առաջինը. y ֆունկցիայի աճը x կետում log a x, co-

x-ի աճին համապատասխան		փաստարկը կլինի
y = լոգա (x + x) - լոգա x = լոգա		x + x	Լոգա (1+	x) = լոգա է ln (1+	x);

(այստեղ մենք օգտագործել ենք ինքնության log a A = log a e ln A):

Քանի որ ln (1 + x x) x x		x → 0		Այնուհետեւ, ըստ սահմանման, ածանցյալը
մենք ստանում ենք.	y = լոգա և լիմ								x) =
y ′ = լիմ							ln (1+
x → 0			x → 0
Լոգա և լիմ								լոգա էլ.
	x → 0

3.8. Բարդ ֆունկցիայի տարբերակում.

Հզորության ածանցյալներ և էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ

Թող x արգումենտի y բարդ ֆունկցիան տրվի y = f (u) բանաձևերով.

u = ϕ (x) (տես բաժին 1.4.3)

Թեորեմ 3.4 (կոմպոզիտային ֆունկցիայի ածանցյալի մասին): Եթե ​​գործառույթներ

y = f (u), u = ϕ (x) տարբերելի են		համապատասխանում	միմյանց
u և x կետերը, ապա կոմպլեքս ֆունկցիան		f [φ (x)]-ը նույնպես տարբերվում է
	x և	y ′ x = y ′ u u ′ x.
	y ′ = f ′ (u) u ′ կամ
Ապացույց. x անկախ փոփոխականին տրվում է աճ
	x, ապա u = ϕ (x) ֆունկցիան ստանում է u հավելում,		ինչ կառաջացնի

y = f (u) ֆունկցիայի y աճը։ Քանի որ y = f (u) ֆունկցիան, ըստ թեորեմի վարկածի, տարբերելի է u կետում դիտարկվող, դրա աճն այս կետում կարող է ներկայացվել որպես (տես Սահմանում 3.4)

			u, որտեղ α (		u) → o որպես u → 0:
y = f (u) u + α (u)
				զ (u)	x + α (u)
Գործառույթ u = ϕ (x)			տարբերակելի և հետևաբար շարունակական մինչև կետը
ne x վերը նշված u կետին համապատասխան							(Թեորեմ 3.2):
Հետևաբար,				շարունակականություն		lim u = 0,	եւ, հետեւաբար
						x → 0
lim α (u) = 0:
x → 0
Հաշվի առնելով սա,		անցում դեպի			Վերջին	հավասարություն	սահմանել ժամը

x → 0, մենք հասնում ենք (3.18):

Հավասարությունը (3.18) տերմին առ անդամ բազմապատկելով dx-ով, մենք ստանում ենք կոմպոզիտային ֆունկցիայի դիֆերենցիալի արտահայտությունը:

dy = f ′ (u) du.

Մեկնաբանություն. y = f (u) ֆունկցիայի դիֆերենցիալը կունենար ճիշտ նույն ձևը, եթե u արգումենտը ֆունկցիա չլինի, այլ անկախ փոփոխական։ Սա այսպես կոչված անփոփոխելիության հատկությունԴիֆերենցիալի ձևի (անկախություն) փաստարկի նկատմամբ: Պետք է նկատի ունենալ, որ եթե u-ն անկախ փոփոխական է, ապա du = u-ն նրա կամայական աճն է, եթե u-ն միջանկյալ փաստարկ է (այսինքն՝ ֆունկցիա), ապա du-ն այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է, այսինքն՝ a. արժեք, որը չի համընկնում իր ավելացման հետ:

Օգտագործելով վերջին թեորեմը, հեշտ է ստանալ դիֆերենցիալի բանաձևեր

էքսպոնենցիալ և էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի չափաբաժինը.

α− 1

2). (ա

ln a;

3). (է

1). (x

) = α x

Իսկապես,

ենթադրելով

x> 0,

լոգարիթմ երկու մասերը

բանաձեւեր y = x α; ln y = α ln x. Այստեղ y

Սա x-ի ֆունկցիան է, որով

վերջին հավասարության ձախ կողմը x-ի բարդ ֆունկցիա է: Տարբերելով վերջին հավասարության երկու կողմերը x-ի նկատմամբ (ձախ կողմը որպես բարդ ֆունկցիա), մենք ստանում ենք.

1 y y ′ = a 1 x,

y ′ = ay x = կացին x a = կացին ա - 1:

Հեշտ է ցույց տալ, որ այս արդյունքը ճիշտ է նաև x-ի համար< 0 , если только при

սա x α իմաստ ունի: Ավելի վաղ արդյունքը ստացվել էր α = n դեպքի համար։ Նույն ձևով ստացվում է երկրորդ բանաձևը, որից a = e-ի կոնկրետ դեպքում հետևում է վերջին բանաձևը.

Մեկնաբանություն. Նախնական լոգարիթմի մեթոդը, որն օգտագործվել է հզորության ֆունկցիայի տարբերակման բանաձևը ստանալու համար, ունի անկախ նշանակություն և կոչվում է ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցյալի հետագա հայտնաբերման հետ միասին.

lnx) «= cosx lnx + sin x x.

Հետևաբար,

y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x)

Մեկնաբանություն. Բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը կարող է կիրառվել նաև անուղղակիորեն տրված ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար։

Իրոք, եթե x-ի և y-ի միջև հարաբերությունը տրված է F (x, y) = 0 ձևով, և այս հավասարումը լուծելի է y-ի նկատմամբ, ապա y ածանցյալը կարելի է գտնել հավասարումից:

					(F (x, y (x)) = 0:
Օրինակ 3.4.								y = f (x), տրված չէ
		Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
հստակորեն հավասարման միջոցով		արկտան (y) - y + x = 0:				y որպես x-ի ֆունկցիա.
Մենք տարբերակում ենք հավասարությունը x-ի նկատմամբ՝ ենթադրելով
	y						1 + տ
			- y ′ + 1 = 0, որտեղից			y =
	1 + y 2

3.9. Հակադարձ ֆունկցիայի տարբերակում.

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տարբերակում

Թող տրվի երկու փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիա y = f (x) և x = ϕ (y)

(տես կետ 1.4.8):

Թեորեմ 3.5 (հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալի մասին). Եթե ​​գործառույթներ

y = f (x),

x = ϕ (y)

մեծացնել (նվազել) և x կետում f ֆունկցիան (x)

տարբերվող,

f ′ (x) ≠ 0, ապա համապատասխան կետում

ϕ (y) ֆունկցիան նույնպես տարբերելի է (y-ի նկատմամբ), և

Ապացույց.

սահմանել ավելացումը

x = ϕ (y)

ավելանում է

(նվազում է)

x = ϕ (y + y) - ϕ (y) ≠ 0 և

Թեորեմի պայմաններում

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

շարունակական է (Թեորեմ 3.2), ինչի շնորհիվ

Առաջին մակարդակ

Ֆունկցիայի ածանցյալ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Պատկերացրեք ուղիղ ճանապարհ լեռնոտ տեղանքով: Այսինքն՝ բարձրանում-իջնում ​​է, բայց չի շրջվում աջ ու ձախ։ Եթե ​​առանցքը ուղղվում է ճանապարհի երկայնքով հորիզոնական, իսկ - ուղղահայաց, ապա ճանապարհի գիծը շատ նման կլինի ինչ-որ շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկին.

Առանցքը զրոյական բարձրության որոշակի մակարդակ է, կյանքում մենք օգտագործում ենք ծովի մակարդակը:

Նման ճանապարհով առաջ շարժվելով՝ մենք նույնպես շարժվում ենք վեր կամ վար։ Կարելի է նաև ասել՝ երբ արգումենտը փոխվում է (շարժում աբսցիսայի երկայնքով), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է (շարժում օրդինատի երկայնքով)։ Հիմա եկեք մտածենք, թե ինչպես կարելի է որոշել մեր ճանապարհի «զառիթափությունը»: Ինչպիսի՞ արժեք կարող է լինել: Շատ պարզ է՝ ինչքանով կփոխվի բարձրությունը որոշակի տարածություն առաջ շարժվելիս։ Իսկապես, ճանապարհի տարբեր հատվածներում, շարժվելով առաջ (աբսցիսայի երկայնքով) մեկ կիլոմետրով, մենք կբարձրանանք կամ կիջնենք ծովի մակարդակի համեմատ տարբեր թվով մետրերով (օրդինատի երկայնքով):

Մենք կնշանակենք առաջ շարժում (այն կարդում է «delta x»):

Հունարեն տառը (դելտա) սովորաբար օգտագործվում է մաթեմատիկայի մեջ որպես նախածանց, որը նշանակում է «փոփոխություն»: Այսինքն՝ դա արժեքի փոփոխություն է, - փոփոխություն; հետո ինչ է դա Ճիշտ է, մեծության փոփոխություն:

Կարևոր է. արտահայտությունը մեկ ամբողջություն է, մեկ փոփոխական: Դուք երբեք չպետք է պոկեք «դելտան» «x»-ից կամ որևէ այլ տառից: Այսինքն, օրինակ,.

Այսպիսով, մենք առաջ ենք շարժվել՝ հորիզոնական, առաջ: Եթե ​​ճանապարհի գիծը համեմատում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ, ապա ինչպե՞ս ենք նշանակում բարձրացումը: Իհարկե, . Այսինքն՝ երբ առաջ ենք գնում, ավելի ենք բարձրանում։

Արժեքը հեշտ է հաշվարկել՝ եթե սկզբում բարձրության վրա էինք, իսկ շարժվելուց հետո բարձրության վրա, ապա. Եթե ​​վերջնակետը մեկնարկից ցածր է, ապա այն բացասական կլինի, սա նշանակում է, որ մենք ոչ թե բարձրանում ենք, այլ իջնում ​​ենք:

Վերադառնալ «կտրուկ». սա մի արժեք է, որը ցույց է տալիս, թե որքան (կտրուկ) բարձրությունը մեծանում է, երբ դուք առաջ եք շարժվում մեկ միավոր հեռավորության վրա.

Ենթադրենք արահետի ինչ-որ հատվածում կմ-ով առաջ գնալիս ճանապարհը կմ-ով բարձրանում է դեպի վեր։ Այնուհետև զառիթափությունը այս կետում է: Իսկ եթե մ-ով շարժվելիս ճանապարհը կմ-ով խորտակվե՞լ է։ Հետո թեքությունն է.

Հիմա հաշվի առեք բլրի գագաթը: Եթե ​​հատվածի սկիզբը վերցնեք գագաթից կես կիլոմետր առաջ, իսկ վերջը դրանից կես կիլոմետր հետո, ապա կարող եք տեսնել, որ բարձրությունը գործնականում նույնն է։

Այսինքն, ըստ մեր տրամաբանության, ստացվում է, որ զառիթափությունն այստեղ գրեթե զրոյական է, ինչը ակնհայտորեն չի համապատասխանում իրականությանը։ Պարզապես կմ-ով հեռավորության վրա շատ բան կարող է փոխվել։ Զառիթափության ավելի համարժեք և ճշգրիտ գնահատման համար անհրաժեշտ է դիտարկել ավելի փոքր հատվածներ: Օրինակ, եթե մեկ մետր շարժվելիս չափեք բարձրության փոփոխությունը, արդյունքը շատ ավելի ճշգրիտ կլինի: Բայց նույնիսկ այս ճշգրտությունը մեզ կարող է չբավականացնել, չէ՞ որ եթե ճանապարհի կեսին սյուն կա, մենք կարող ենք պարզապես սայթաքել դրա միջով։ Այդ դեպքում ի՞նչ հեռավորություն ենք ընտրելու։ սանտիմետրը? Միլիմետր? Ավելի քիչ, ավելի լավ!

Իրական կյանքում հեռավորությունը միլիմետրային ճշգրտությամբ չափելը ավելի քան բավարար է։ Բայց մաթեմատիկոսները միշտ ձգտում են կատարելության։ Հետեւաբար, հայեցակարգը հորինվել է անսահման փոքր, այսինքն՝ մեծությունը փոքր է ցանկացած թվից, որը մենք կարող ենք անվանել։ Օրինակ, դուք ասում եք. մեկ տրիլիոն! Որքա՞ն պակաս: Եվ դուք այս թիվը բաժանում եք - և այն էլ ավելի քիչ կլինի: և այլն: Եթե ​​ուզում ենք գրել, որ արժեքը անսահման փոքր է, գրում ենք այսպես. (կարդում ենք «x-ը ձգտում է զրոյի»): Շատ կարևոր է հասկանալ որ այս թիվը զրո չէ։Բայց շատ մոտ նրան: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք բաժանել դրա վրա:

Անսահման փոքրին հակառակ հասկացությունը անսահման մեծ է (): Դուք հավանաբար արդեն հանդիպել եք դրան, երբ գործ ունեիք անհավասարությունների հետ. Եթե ​​դուք գտնում եք հնարավոր ամենամեծ թիվը, պարզապես այն բազմապատկեք երկուով և կստանաք ավելին: Եվ անսահմանությունը նույնիսկ ավելի մեծ է, քան այն, ինչ դուք ստանում եք: Իրականում անսահման մեծն ու անսահման փոքրը հակադարձ են միմյանց նկատմամբ, այսինքն՝ ժամը, և հակառակը՝ ժամը։

Հիմա վերադառնանք մեր ճանապարհին։ Իդեալական հաշվարկված թեքությունը ուղու անսահման փոքր հատվածի համար հաշվարկված կորությունն է, այսինքն.

Նկատի ունեցեք, որ անսահման փոքր տեղաշարժի դեպքում բարձրության փոփոխությունը նույնպես անսահման փոքր կլինի: Բայց հիշեցնեմ, որ անսահման փոքր չի նշանակում զրոյի հավասար։ Եթե ​​բաժանեք անվերջ փոքր թվերը միմյանց վրա, կարող եք ստանալ միանգամայն սովորական թիվ, օրինակ. Այսինքն՝ մեկ փոքր արժեքը կարող է ճիշտ երկու անգամ մեծ լինել մյուսից։

Ինչի՞ համար է այս ամենը։ Ճանապարհը, զառիթափը... Մենք ավտոերթի չենք գնում, այլ մաթեմատիկա ենք դասավանդում։ Իսկ մաթեմատիկայում ամեն ինչ ճիշտ նույնն է, միայն թե դա այլ կերպ է կոչվում։

Ածանցյալ հասկացություն

Ֆունկցիայի ածանցյալը արգումենտի անվերջ փոքր աճի դեպքում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունն է փաստարկի աճին:

Ավելացումովմաթեմատիկայում փոփոխությունը կոչվում է. Թե որքանով է փոխվել արգումենտը () առանցքի երկայնքով շարժվելիս, կոչվում է փաստարկի ավելացումև նշվում է, թե որքանով է փոխվել ֆունկցիան (բարձրությունը) առանցքի երկայնքով հեռավորությամբ առաջ շարժվելիս կոչվում է. ֆունկցիայի ավելացումև նշվում է.

Այսպիսով, ֆունկցիայի ածանցյալը կապն է at-ի հետ: Ածանցյալը նշում ենք ֆունկցիայի հետ նույն տառով, միայն վերևի աջ կողմում պարզ տառով. կամ պարզապես: Այսպիսով, եկեք գրենք ածանցյալ բանաձևը՝ օգտագործելով հետևյալ նշումները.

Ինչպես ճանապարհի անալոգիայում, այստեղ, երբ ֆունկցիան մեծանում է, ածանցյալը դրական է, իսկ ֆունկցիայի նվազման դեպքում՝ բացասական։

Կա՞ զրոյի հավասար ածանցյալ: Իհարկե. Օրինակ, եթե մենք վարում ենք հարթ, հորիզոնական ճանապարհով, զառիթափությունը զրոյական է: Իսկապես, բարձրությունը ընդհանրապես չի փոխվում։ Այդպես է նաև ածանցյալը. հաստատուն ֆունկցիայի (հաստատուն) ածանցյալը հավասար է զրոյի.

քանի որ նման ֆունկցիայի աճը ցանկացածի համար զրո է։

Հիշենք բլրի գագաթի օրինակը. Այնտեղ պարզվեց, որ հնարավոր է հատվածի ծայրերը դասավորել գագաթի հակառակ կողմերում այնպես, որ ծայրերում բարձրությունը նույնն է, այսինքն՝ հատվածը զուգահեռ է առանցքին.

Բայց մեծ ձգումները ոչ ճշգրիտ չափումների նշան են: Մենք մեր հատվածը կբարձրացնենք իրեն զուգահեռ, այնուհետև դրա երկարությունը կնվազի։

Ի վերջո, երբ մենք անսահման մոտ ենք գագաթին, հատվածի երկարությունը կդառնա անսահման փոքր: Բայց միևնույն ժամանակ այն մնաց առանցքին զուգահեռ, այսինքն՝ նրա ծայրերում բարձրությունների տարբերությունը հավասար է զրոյի (չի ձգտում, բայց հավասար է)։ Այսպիսով, ածանցյալը

Դուք կարող եք դա հասկանալ այսպես. երբ մենք կանգնած ենք հենց վերևում, մի փոքր տեղաշարժը դեպի ձախ կամ աջ աննշանորեն փոխում է մեր հասակը:

Կա նաև զուտ հանրահաշվական բացատրություն՝ գագաթից ձախ ֆունկցիան մեծանում է, իսկ աջում՝ նվազում։ Ինչպես արդեն պարզել ենք ավելի վաղ, ֆունկցիայի մեծացման հետ ածանցյալը դրական է, իսկ ֆունկցիայի նվազման հետ՝ բացասական։ Բայց փոխվում է սահուն, առանց թռիչքների (քանի որ ճանապարհը ոչ մի տեղ կտրուկ թեքություն չի փոխում)։ Հետևաբար, պետք է անպայման լինի բացասական և դրական արժեքների միջև։ Դա կլինի այնտեղ, որտեղ ֆունկցիան ոչ մեծանում է, ոչ էլ նվազում է` գագաթային կետում:

Նույնը վերաբերում է ներքևին (տարածքը, որտեղ ֆունկցիան նվազում է ձախից և մեծանում աջ կողմում).

Մի փոքր ավելի մանրամասն ավելացումների մասին:

Այսպիսով, մենք փոխում ենք փաստարկը արժեքի: Ինչ արժեքից փոխել: Ի՞նչ է նա (փաստարկը) հիմա: Մենք կարող ենք ընտրել ցանկացած կետ, և հիմա մենք կպարենք դրանից։

Դիտարկենք կոորդինատով կետ: Ֆունկցիայի արժեքը դրանում է. Այնուհետև կատարում ենք նույն աճը. կոորդինատը մեծացնում ենք: Հիմա ինչի՞ն է հավասար փաստարկը: Շատ հեշտ: . Ո՞րն է ֆունկցիայի արժեքը հիմա: Այնտեղ, որտեղ արգումենտն է գնում, նույնն է գործում՝. Ինչ վերաբերում է ֆունկցիայի ավելացմանը: Նորություն չկա. սա դեռ այն չափն է, որը փոխվել է ֆունկցիայի կողմից.

Սովորեք գտնել ավելացումներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի աճը այն կետում, որի արգումենտի աճը հավասար է:
2. Նույնը վերաբերում է կետի ֆունկցիային:

Լուծումներ:

Փաստարկի նույն աճով տարբեր կետերում ֆունկցիայի աճը տարբեր կլինի: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր կետում ածանցյալը տարբեր է (մենք դա քննարկել ենք հենց սկզբում. տարբեր կետերում ճանապարհի զառիթափությունը տարբեր է): Հետևաբար, երբ գրում ենք ածանցյալը, պետք է նշենք, թե որ կետում.

Հզորության գործառույթ:

Հզորության ֆունկցիան կոչվում է այն ֆունկցիան, որտեղ փաստարկը որոշ չափով (տրամաբանական, հա՞):

Եվ ցանկացած չափով.

Ամենապարզ դեպքն այն է, երբ ցուցիչը.

Եկեք գտնենք դրա ածանցյալը կետում: Հիշենք ածանցյալի սահմանումը.

Այսպիսով, փաստարկը փոխվում է մինչև: Որքա՞ն է ֆունկցիայի աճը:

Աճը սա է. Բայց ֆունկցիան ցանկացած կետում հավասար է իր փաստարկին: Ահա թե ինչու:

Ածանցյալը հավասար է.

-ի ածանցյալը հավասար է.

բ) Այժմ դիտարկենք քառակուսի ֆունկցիան ():

Հիմա հիշենք դա. Սա նշանակում է, որ աճի արժեքը կարող է անտեսվել, քանի որ այն անսահման փոքր է և, հետևաբար, աննշան մեկ այլ տերմինի ֆոնի վրա.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալ կանոնը.

գ) Շարունակում ենք տրամաբանական շարքը.

Այս արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել տարբեր ձևերով. ընդլայնել առաջին փակագիծը՝ օգտագործելով գումարի խորանարդի կրճատ բազմապատկման բանաձևը, կամ գործարկել ամբողջ արտահայտությունը՝ օգտագործելով խորանարդների տարբերության բանաձևը: Փորձեք դա անել ինքներդ ձեզ առաջարկվող եղանակներից որևէ մեկով։

Այսպիսով, ես ավարտեցի հետևյալը.

Եվ կրկին, հիշեք դա. Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք անտեսել բոլոր տերմինները, որոնք պարունակում են.

Մենք ստանում ենք.

դ) Նմանատիպ կանոններ կարելի է ձեռք բերել ավելի բարձր աստիճանների համար.

ե) Ստացվում է, որ այս կանոնը կարող է ընդհանրացվել ուժային ֆունկցիայի համար կամայական ցուցիչով, նույնիսկ ոչ ամբողջ թվով.

(2)

Կանոնը կարելի է ձևակերպել «աստիճանը առաջ քաշվում է որպես գործակից, այնուհետև այն նվազում է» բառերով։

Այս կանոնը մենք կապացուցենք ավելի ուշ (գրեթե ամենավերջում): Այժմ նայենք մի քանի օրինակների։ Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալը.

1. (երկու եղանակով. բանաձևով և օգտագործելով ածանցյալի սահմանումը - ֆունկցիայի աճի հաշվարկով);

1. ... Հավատում եք, թե ոչ, սա ուժային ֆունկցիա է: Եթե ​​ունեք հարցեր, ինչպիսիք են «Ինչպե՞ս է սա: Իսկ որտե՞ղ է աստիճանը: Հիշեք թեման« »:
   Այո, արմատը նույնպես աստիճան է, միայն կոտորակային:
   Այսպիսով, մեր քառակուսի արմատը պարզապես ցուցիչով հզորություն է.
   .
   Մենք փնտրում ենք ածանցյալը վերջերս սովորած բանաձևի համաձայն.

   Եթե ​​այս վայրում կրկին անհասկանալի է դառնում, կրկնեք թեման «» !!! (բացասական ցուցիչով աստիճանի մասին)

2. ... Այժմ ցուցանիշը.

   Եվ հիմա սահմանման միջոցով (արդեն մոռացե՞լ եք):
   ;
   .
   Այժմ, ինչպես միշտ, մենք անտեսում ենք տերմինը, որը պարունակում է.
   .

3. ... Նախորդ դեպքերի համադրություն.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Այստեղ մենք կօգտագործենք բարձրագույն մաթեմատիկայի մեկ փաստ.

Երբ արտահայտությունը.

Ապացույցը կսովորես ինստիտուտի առաջին կուրսում (իսկ այնտեղ հասնելու համար պետք է քննությունը լավ հանձնես)։ Այժմ ես պարզապես ցույց կտամ այն ​​գրաֆիկորեն.

Մենք տեսնում ենք, որ ֆունկցիան գոյություն չունի. գրաֆիկի կետը ծակված է: Բայց որքան մոտ է արժեքին, այնքան մոտ է ֆունկցիան, սա հենց «ձգտումներն» են։

Բացի այդ, դուք կարող եք ստուգել այս կանոնը հաշվիչի միջոցով: Այո, այո, մի ամաչեք, վերցրեք հաշվիչը, մենք դեռ քննության չենք։

Այսպիսով, եկեք փորձենք:

Չմոռանաք հաշվիչը դնել «Radians» ռեժիմում:

և այլն: Մենք տեսնում ենք, որ որքան փոքր է, այնքան մոտ է հարաբերակցության արժեքը։

ա) Դիտարկենք ֆունկցիան. Ինչպես միշտ, եկեք գտնենք դրա աճը.

Եկեք սինուսների տարբերությունը վերածենք արտադրանքի։ Դրա համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (հիշեք «» թեման):

Այժմ ածանցյալը.

Եկեք փոխարինենք. Հետո, անսահման փոքրի համար, այն նաև անսահման փոքր է. For արտահայտությունն ունի հետևյալ ձևը.

Հիմա հիշեք, որ երբ արտահայտությունը. Եվ նաև, ինչ կլինի, եթե անվերջ փոքր արժեքը կարելի է անտեսել գումարում (այսինքն, ժամը):

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ կանոնը. սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսի:

Սրանք բազային («աղյուսակային») ածանցյալներ են։ Ահա դրանք մեկ ցուցակում.

Ավելի ուշ դրանց կավելացնենք ևս մի քանիսը, բայց դրանք ամենակարևորներն են, քանի որ դրանք առավել հաճախ են օգտագործվում։

Պրակտիկա:

1. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը կետում;
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծումներ:

1. Նախ, մենք գտնում ենք ածանցյալը ընդհանուր ձևով, այնուհետև փոխարինում ենք դրա արժեքը.
   ;
   .
2. Այստեղ մենք ունենք հզորության ֆունկցիայի նման մի բան: Եկեք փորձենք բերել նրան
   նորմալ տեսք.
   .
   Հիանալի է, այժմ կարող եք օգտագործել բանաձևը.
   .
   .
3. ... Էէէէէ ... .. Ինչ է սա ????

Լավ, դու ճիշտ ես, մենք դեռ չգիտենք, թե ինչպես գտնել նման ածանցյալներ: Այստեղ մենք ունենք մի քանի տեսակի գործառույթների համադրություն: Նրանց հետ աշխատելու համար դուք պետք է սովորեք ևս մի քանի կանոն.

Ցուցանիշ և բնական լոգարիթմ.

Մաթեմատիկայում կա այնպիսի ֆունկցիա, որի ածանցյալը ցանկացածի համար հավասար է բուն ֆունկցիայի արժեքին։ Այն կոչվում է «էքսպոնենցիալ» և էքսպոնենցիալ ֆունկցիա է

Այս ֆունկցիայի հիմքը՝ հաստատունը, անվերջ տասնորդական կոտորակն է, այսինքն՝ իռացիոնալ թիվ (օրինակ)։ Այն կոչվում է «Էյլերի համար», և, հետևաբար, նշվում է տառով:

Այսպիսով, կանոնը հետևյալն է.

Շատ հեշտ է հիշել:

Դե, հեռու չգնանք, անմիջապես կդիտարկենք հակադարձ ֆունկցիան։ Ո՞ր ֆունկցիան է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ. Լոգարիթմ:

Մեր դեպքում հիմքը մի թիվ է.

Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և մենք դրա համար օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրել։

Ինչի՞ն է հավասար. Իհարկե, .

Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
2. Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Պատասխանները: Ցուցանիշը և բնական լոգարիթմը ածանցյալի տեսանկյունից եզակի պարզ ֆունկցիաներ են։ Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը մենք կվերլուծենք ավելի ուշ՝ տարբերակման կանոնները անցնելուց հետո։

Տարբերակման կանոններ

Ինչի կանոնները: Կրկին նոր տերմին, կրկին ?! ...

Տարբերակումածանցյալի որոնման գործընթացն է:

Այսքանը: Ուրիշ ինչպե՞ս անվանել այս գործընթացը մեկ բառով: Ոչ ածանցյալ ... Մաթեմատիկայի դիֆերենցիալը կոչվում է ֆունկցիայի նույն աճը ժամը: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.

Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու ֆունկցիա, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ են նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.

Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.

հաստատունը տեղափոխվում է ածանցյալ նշանից դուրս:

Եթե ​​ինչ-որ հաստատուն թիվ է (հաստատուն), ապա.

Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.

Եկեք ապացուցենք դա։ Թույլ տվեք, կամ ավելի հեշտ:

Օրինակներ.

Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

1. կետում;
2. կետում;
3. կետում;
4. կետում։

Լուծումներ:

1. (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):

Ստեղծագործության ածանցյալ

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է. մենք ներկայացնում ենք նոր գործառույթ և գտնում ենք դրա աճը.

Ածանցյալ:

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները և.
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը կետում:

Լուծումներ:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, ոչ թե միայն ցուցիչը (մոռացե՞լ եք, թե որն է դա):

Այսպիսով, որտեղ է որոշ թիվ:

Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան փոխանցել նոր արմատի.

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք պարզ կանոն. Ապա.

Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:

Տեղի է ունեցել?

Ահա, ստուգեք ինքներդ.

Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվեց միայն բազմապատկիչ, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։

Օրինակներ.
Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Պատասխանները:

Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ չի կարելի գրել ավելի պարզ ձևով։ Հետևաբար, պատասխանում թողնում ենք այս ձևով.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ

Այստեղ դա նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.

Հետևաբար, տարբեր հիմքով լոգարիթմից կամայական մեկը գտնելու համար, օրինակ.

Դուք պետք է բերեք այս լոգարիթմը բազայի վրա: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.

Միայն հիմա փոխարեն մենք կգրենք.

Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, փոփոխական չկա): Ածանցյալը շատ պարզ է.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալները գրեթե երբեք չեն գտնում քննության ժամանակ, սակայն դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և արկտանգենս չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ դժվար է թվում, ապա կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և ամեն ինչ կանցնի), բայց մաթեմատիկայի տեսանկյունից «դժվար» բառը չի նշանակում «դժվար»։

Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են անում ինչ-որ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Ստացվում է այսպիսի կոմպոզիտային առարկա՝ ժապավենով փաթաթված և կապած շոկոլադե սալիկ։ Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է հակառակ քայլերն անել հակառակ հերթականությամբ։

Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը կկտրենք։ Այսպիսով, մեզ տրվում է մի թիվ (շոկոլադե սալիկ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), այնուհետև քառակուսի ես դնում իմ ունեցածը (կապում ես ժապավենով): Ինչ է պատահել? Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո ևս մեկ երկրորդ գործողություն՝ առաջինի արդյունքով:

Մենք կարող ենք նույն գործողությունները կատարել հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը. Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր է լինելու։ Բարդ ֆունկցիաների կարևոր հատկանիշ. երբ փոխում եք գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է:

Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .

Առաջին օրինակի համար.

Երկրորդ օրինակը (նույնը): ...

Այն գործողությունը, որը մենք անում ենք վերջինը, կկոչվի «Արտաքին» գործառույթ, և առաջին հերթին կատարված գործողությունը, համապատասխանաբար «Ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):

Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.

Պատասխանները:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխականների փոփոխմանը. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ

1. Ո՞րն է առաջին գործողությունը, որը պետք է ձեռնարկվի: Նախ, մենք կհաշվարկենք սինուսը, և միայն դրանից հետո այն կբարձրացնենք խորանարդի: Սա նշանակում է, որ դա ներքին ֆունկցիա է, բայց արտաքին։
   Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է.
2. Ներքին :; արտաքին:.
   Փորձաքննություն:
3. Ներքին :; արտաքին:.
   Փորձաքննություն:
4. Ներքին :; արտաքին:.
   Փորձաքննություն:
5. Ներքին :; արտաքին:.
   Փորձաքննություն:

փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։

Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադե սալիկը՝ փնտրեք ածանցյալ: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի հետ կապված, այն ունի հետևյալ տեսքը.

Մեկ այլ օրինակ.

Այսպիսով, եկեք վերջնականապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոն.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

Ամեն ինչ պարզ է թվում, չէ՞:

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

Լուծումներ:

1) Ներքին:

Արտաքին :;

2) Ներքին`;

(ուղղակի մի փորձեք նվազեցնել մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ չի կարելի հանել, հիշո՞ւմ եք):

3) Ներքին`;

Արտաքին :;

Միանգամից պարզ է դառնում, որ այստեղ եռաստիճան կոմպլեքս ֆունկցիա կա. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և դրանից մենք հանում ենք նաև արմատը, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք. մի փաթաթան և դրեց այն ժապավենով պայուսակի մեջ): Բայց վախենալու պատճառ չկա. ամեն դեպքում, մենք այս ֆունկցիան «կբացենք» սովորական հերթականությամբ՝ վերջից։

Այսինքն՝ սկզբում տարբերում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այս ամենը։

Նման դեպքերում հարմար է համարակալել քայլերը։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք գործողություններ կատարելու այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Օրինակ բերենք.

Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան ավելի «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը - ինչպես նախկինում.

Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք սահմանենք գործողության ընթացքը.

1. Արմատական ​​արտահայտություն. ...

2. Արմատ. ...

3. Սինուս. ...

4. Քառակուսի. ...

5. Ամեն ինչ միացնելով.

ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի ավելացմանը փաստարկի անսահման փոքր աճով.

Հիմնական ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոններ.

հաստատունը տեղափոխվում է ածանցյալ նշանից դուրս.

Գումարի ածանցյալ.

Աշխատանքի ածանցյալը.

Գործակիցի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

1. Մենք սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան, գտնում ենք դրա ածանցյալը։
2. Մենք սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան, գտնում ենք դրա ածանցյալը։
3. Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները։