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Scrivere le frazioni in Egitto Gli egiziani cercavano di scrivere tutte le frazioni come somme di frazioni, cioè frazioni della forma 1/n. Ad esempio, invece di 8/15 hanno scritto 1/3 + 1/5. L'unica eccezione era la frazione 2/3. Nel papiro Ahmes c’è un compito: “Dividi 7 pani tra 8 persone”. Se tagliate ogni pagnotta in 8 pezzi, dovrete fare 49 tagli. E in egiziano questo problema è stato risolto in questo modo. La frazione 7/8 è stata scritta come frazioni: 1/2 + 1/4 + 1/8. Ciò significa che a ciascuno dovrebbe essere data metà del pane, un quarto di pane e un ottavo di pane; Tagliamo quindi quattro pani a metà, due pani in 4 parti e un pane in 8 parti, dopodiché diamo a ciascuno una parte.

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Babilonia I babilonesi presero una strada completamente diversa. Hanno lavorato solo con le frazioni sessagesimali. Poiché i denominatori di tali frazioni sono i numeri 60, 602, 603, ecc., Frazioni come 1/7, 1/11, 1/13 non potevano essere espresse con precisione attraverso quelle sessagesimali: erano espresse approssimativamente attraverso di esse. Usiamo ancora tali frazioni per denotare tempo e angoli. Ad esempio, l'ora è 3h.17m.28s. si può scrivere così: 3,17 "28" ore (leggi 3 intere, 17 sessanta 28 tremilasei centesimi d'ora). Invece delle parole “sessantesimi”, “tremilaseicentesimi” si diceva in breve: “prime piccole frazioni”, “seconde piccole frazioni”. Da qui derivano le parole minuto (dal latino - minore) e secondo (dal latino - secondo). Il modo babilonese di annotare le frazioni ha mantenuto il suo significato fino ai giorni nostri. Poiché i babilonesi avevano un sistema numerico posizionale, lavoravano con le frazioni sessagesimali utilizzando le stesse tabelle dei numeri naturali.

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Il sistema romano di frazioni e misure era duodecimale. Anche adesso a volte dicono: "Ha studiato a fondo questa questione". Ciò significa che la questione è stata studiata fino in fondo, che non rimane nemmeno la minima ambiguità. E la strana parola "scrupoloso" deriva dal nome romano per 1/288 assa - "scrupulus". Il sistema romano di frazioni e misure era duodecimale. Anche adesso a volte dicono: "Ha studiato a fondo questa questione". Ciò significa che la questione è stata studiata fino in fondo, che non rimane nemmeno la minima ambiguità. E la strana parola "scrupoloso" deriva dal nome romano per 1/288 assa - "scrupulus". Erano in uso anche i seguenti nomi: "semis" - mezzo asso, "sextanes" - un sesto di esso, "semiounce" - mezza oncia, cioè 1/24 di un asso, ecc. In totale, 18 diversi venivano usati i nomi delle frazioni. Per lavorare con le frazioni, era necessario ricordare sia la tabella delle addizioni che quella della moltiplicazione per queste frazioni. Pertanto, i mercanti romani sapevano per certo che quando si aggiungevano triens (1/3 assa) e sestanti, il risultato è semis, e quando si moltiplicava imp (2/3 assa) per sescunce (3/2 oncia, cioè 1/8 assa), si ottiene un'oncia. Per facilitare il lavoro sono state compilate apposite tabelle, alcune delle quali sono giunte fino a noi.

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Storia dell'origine delle frazioni

Chuiko A.V.

5, scuola secondaria San Shokai

Mano. Riplinger L.A.

introduzione

La necessità di numeri frazionari è nata negli esseri umani in una fase molto precoce dello sviluppo. Già la divisione del bottino, costituito da più animali uccisi, tra i partecipanti alla caccia, quando il numero degli animali risultava non multiplo del numero dei cacciatori, poteva condurre l'uomo primitivo al concetto di numero frazionario.

Oltre alla necessità di contare gli oggetti, fin dai tempi antichi gli uomini hanno avuto la necessità di misurare lunghezza, area, volume, tempo e altre quantità. Il risultato delle misurazioni non può sempre essere espresso in un numero naturale; è necessario tenere conto anche di parti della misura utilizzata. Storicamente, le frazioni hanno avuto origine dal processo di misurazione.

La necessità di misurazioni più accurate portò al fatto che le unità di misura iniziali iniziarono ad essere suddivise in 2, 3 o più parti. All'unità di misura più piccola, ottenuta in seguito alla frammentazione, è stato assegnato un nome individuale e le quantità sono state misurate con questa unità più piccola.

Le frazioni nell'antica Roma

I romani usavano l’unità base di misura della massa, e anche l'unità monetaria era “asino”. L'asino era diviso in 12 parti uguali: once. Da loro furono aggiunte tutte le frazioni con un denominatore di 12, cioè 1/12, 2/12, 3/12... Nel tempo, le once iniziarono ad essere utilizzate per misurare qualsiasi quantità.

Così sorsero i romani frazioni duodecimali, cioè frazioni il cui denominatore è sempre stato un numero 12 . Invece di 1/12, i romani dicevano “un’oncia”, 5/12 – “cinque once”, ecc. Tre once erano chiamate un quarto, quattro once un terzo, sei once una metà.

Le frazioni nell'antico Egitto

Per molti secoli gli egiziani chiamavano le frazioni “numeri spezzati” e la prima frazione che venne loro introdotta fu 1/2. È stato seguito da 1/4, 1/8, 1/16, ..., poi 1/3, 1/6, ..., cioè le frazioni più semplici chiamate unità o frazioni base. Il loro numeratore è sempre uno. Solo molto più tardi i Greci, poi gli Indiani e altri popoli cominciarono a usare le frazioni di una forma generale, chiamata ordinaria, in cui il numeratore e il denominatore possono essere numeri naturali qualsiasi.

Nell'antico Egitto l'architettura raggiunse un alto livello di sviluppo. Per costruire piramidi e templi grandiosi, per calcolare lunghezze, aree e volumi delle figure, era necessario conoscere l'aritmetica.

Dalle informazioni decifrate sui papiri, gli scienziati hanno appreso che gli egiziani 4000 anni fa avevano un sistema numerico decimale (ma non posizionale) ed erano in grado di risolvere molti problemi legati alle esigenze di costruzione, commercio e affari militari.

Uno dei primi riferimenti conosciuti alle frazioni egiziane è il papiro matematico Rhind. Tre testi più antichi che menzionano le frazioni egiziane sono il rotolo matematico egiziano di cuoio, il papiro matematico di Mosca e la tavoletta di legno di Akhmim. Il Papiro Rhind include una tavola di frazioni egiziane per numeri razionali della forma 2/ N, così come 84 problemi matematici, le loro soluzioni e risposte, scritte sotto forma di frazioni egiziane.

Gli egiziani mettevano il geroglifico ( ehm, "[uno] di" o Rif, bocca) sopra il numero per indicare una frazione unitaria nella notazione ordinaria, ma nei testi sacri si usava una riga. Per esempio:

Avevano anche simboli speciali per le frazioni 1/2, 2/3 e 3/4, che potevano essere usati anche per scrivere altre frazioni (maggiori di 1/2).

Hanno scritto le frazioni rimanenti come somma di azioni. Hanno scritto la frazione nel modulo
, ma non era indicato il segno “+”. E l'importo
scritto nel modulo . Di conseguenza, da allora è stata conservata questa notazione per i numeri misti (senza il segno “+”).

Frazioni sessagesimali babilonesi

Gli abitanti dell'antica Babilonia circa tremila anni a.C. crearono un sistema di misure simile al nostro sistema metrico, solo che si basava non sul numero 10, ma sul numero 60, in cui l'unità di misura più piccola era parte dell'unità superiore. Questo sistema fu completamente seguito dai Babilonesi per misurare il tempo e gli angoli, e noi abbiamo ereditato da loro la divisione delle ore e dei gradi in 60 minuti, e dei minuti in 60 secondi.

I ricercatori spiegano in modi diversi l'apparizione del sistema di numerazione sessagesimale tra i babilonesi. Molto probabilmente, qui è stata presa in considerazione la base 60, che è un multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60, il che semplifica notevolmente tutti i calcoli.

I sessant'anni erano comuni nella vita dei babilonesi. Ecco perché hanno usato sessagesimale frazioni il cui denominatore è sempre il numero 60 o le sue potenze: 60 2, 60 3, ecc. A questo proposito, le frazioni sessagesimali possono essere paragonate alle nostre frazioni decimali.

La matematica babilonese influenzò la matematica greca. Tracce del sistema numerico sessagesimale babilonese sono rimaste nella scienza moderna nella misurazione del tempo e degli angoli. La divisione delle ore in 60 minuti, dei minuti in 60 secondi, dei cerchi in 360 gradi, dei gradi in 60 minuti, dei minuti in 60 secondi è stata conservata fino ad oggi.

I babilonesi diedero un prezioso contributo allo sviluppo dell'astronomia. Gli scienziati di tutte le nazioni usarono le frazioni sessagesimali in astronomia fino al XVII secolo, chiamandole astronomico in frazioni. Al contrario, le frazioni generali che usiamo venivano chiamate ordinario.

Numerazione e frazioni nell'antica Grecia

Poiché i greci lavoravano con le frazioni solo sporadicamente, usavano notazioni diverse. Erone e Diofanto, i più famosi aritmetici tra i matematici greci antichi, scrivevano le frazioni in forma alfabetica, con il numeratore posto sotto il denominatore. Ma in linea di principio, è stata data preferenza alle frazioni con numeratore unitario o alle frazioni sessagesimali.

I difetti della notazione greca per i numeri frazionari, compreso l'uso delle frazioni sessagesimali nel sistema dei numeri decimali, non erano dovuti a difetti nei principi fondamentali. I difetti del sistema numerico greco possono piuttosto essere attribuiti alla sua insistenza sul rigore, che ha notevolmente aumentato le difficoltà legate all'analisi del rapporto tra quantità incommensurabili. I Greci intendevano la parola "numero" come un insieme di unità, quindi quello che oggi consideriamo un unico numero razionale - una frazione - i Greci lo intendevano come il rapporto tra due numeri interi. Ciò spiega perché le frazioni si trovavano raramente nell'aritmetica greca.

Frazioni in Rus'

Nell’aritmetica manoscritta russa del XVII secolo, le frazioni erano chiamate frazioni, in seguito “numeri spezzati”. Nei vecchi manuali troviamo i seguenti nomi di frazioni in Rus':

La numerazione slava fu utilizzata in Russia fino al XVI secolo, poi il sistema di numeri posizionali decimali iniziò gradualmente a penetrare nel paese. Alla fine soppiantò la numerazione slava sotto Pietro I.

Frazioni in altri stati dell'antichità

Nella “Matematica in nove sezioni” cinese si svolgono già le riduzioni delle frazioni e tutte le operazioni con le frazioni.

Nel matematico indiano Brahmagupta troviamo un sistema di frazioni abbastanza sviluppato. Si imbatte in diverse frazioni: sia fondamentali che derivate con qualsiasi numeratore. Il numeratore e il denominatore si scrivono nello stesso modo in cui li scriviamo adesso, ma senza una linea orizzontale, ma sono semplicemente posizionati uno sopra l'altro.

Gli arabi furono i primi a separare il numeratore dal denominatore con una linea.

Già Leonardo da Pisa scrive le frazioni, ponendo, nel caso di numero misto, il numero intero a destra, ma le legge così come è consuetudine da noi. Jordan Nemorarius (XIII secolo) divide le frazioni dividendo il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, paragonando la divisione alla moltiplicazione. Per fare ciò, devi integrare i termini della prima frazione con i fattori:

Nei secoli XV-XVI lo studio delle frazioni assume una forma che ci è già familiare ed è formalizzato all'incirca nelle stesse sezioni che si trovano nei nostri libri di testo.

Va notato che la sezione dell'aritmetica sulle frazioni è stata a lungo una delle più difficili. Non per niente i tedeschi hanno ancora un detto: “Entrare nelle frazioni”, che significava entrare in una situazione senza speranza. Si credeva che chiunque non conoscesse le frazioni non conoscesse l'aritmetica.

Decimali

Le frazioni decimali apparvero nelle opere dei matematici arabi nel Medioevo e indipendentemente da loro nell'antica Cina. Ma anche prima, nell'antica Babilonia, venivano usate frazioni dello stesso tipo, solo sessagesimali.

Successivamente, lo scienziato Hartmann Beyer (1563-1625) pubblicò l'opera “Logistica decimale”, dove scrisse: “... ho notato che i tecnici e gli artigiani, quando misurano una lunghezza qualsiasi, molto raramente e solo in casi eccezionali la esprimono in numeri interi con lo stesso nome; Di solito devono adottare piccole misure o ricorrere alle frazioni. Allo stesso modo, gli astronomi misurano le quantità non solo in gradi, ma anche in frazioni di grado, cioè minuti, secondi, ecc. Dividerli in 60 parti non è così conveniente come dividerli in 10, 100 parti, ecc., perché in quest'ultimo caso è molto più semplice aggiungere, sottrarre e in genere eseguire operazioni aritmetiche; Mi sembra che le frazioni decimali, se introdotte al posto di quelle sessagesimali, sarebbero utili non solo per l’astronomia, ma anche per tutti i tipi di calcoli”.

Oggi usiamo i decimali con naturalezza e libertà. Tuttavia, ciò che ci sembra naturale è stato un vero ostacolo per gli scienziati del Medioevo. Nell'Europa occidentale del XVI secolo. Accanto al diffuso sistema decimale per rappresentare i numeri interi, nei calcoli venivano usate ovunque le frazioni sessagesimali, risalenti all'antica tradizione dei Babilonesi. Ci è voluta la mente brillante del matematico olandese Simon Stevin per riunire la registrazione sia dei numeri interi che dei numeri frazionari in un unico sistema. A quanto pare, l'impulso per la creazione delle frazioni decimali furono le tabelle di interesse composto da lui compilate. Nel 1585 pubblicò il libro Decime, in cui spiegava le frazioni decimali.

Dall'inizio del XVII secolo iniziò un'intensa penetrazione delle frazioni decimali nella scienza e nella pratica. In Inghilterra, il punto fu introdotto come segno che separava una parte intera da una parte frazionaria. La virgola, come il punto, fu proposta come segno di divisione nel 1617 dal matematico Napier.

Lo sviluppo dell'industria e del commercio, della scienza e della tecnologia richiedeva calcoli sempre più macchinosi, che erano più facili da eseguire con l'aiuto delle frazioni decimali. Le frazioni decimali divennero ampiamente utilizzate nel XIX secolo dopo l'introduzione del sistema metrico di pesi e misure strettamente correlato. Ad esempio, nel nostro paese, nell'agricoltura e nell'industria, le frazioni decimali e la loro forma speciale - percentuali - vengono utilizzate molto più spesso delle frazioni ordinarie.

Letteratura:

M.Ya.Vygodsky “Aritmetica e algebra nel mondo antico” (M. Nauka, 1967)

GI Glazer “Storia della matematica a scuola” (M. Prosveshcheniye, 1964)

Estratto della tesi

... storie ordinario frazioni. 1.1 Emersione frazioni. 3 1.2 Frazioni nell'Antico Egitto. 41.3 Frazioni nell'antica Babilonia. 71.4 Frazioni nell'antica Roma. 81.5 Frazioni nell'antica Grecia. 91.6 Frazioni ... origine, – dove il numeratore frazioni stava scrivendo...

1. Argomento: “storia delle frazioni ordinarie e applicazione pratica della conoscenza su di esse”

   Lezione

   Parola del maestro storie: Buon pomeriggio! L'argomento della lezione di oggi è " Storia ordinario frazioni e pratico... con numerazione babilonese, dà informazioni sessagesimali frazioni. Origine Il sistema di numerazione sessagesimale tra i babilonesi è associato...

2. Storia del Medioevo, volumi 1 e 2, a cura

   Estratto della tesi

   Elaborato congiuntamente dai suoi membri, gradualmente frammentato per le piccole famiglie individuali che hanno ricevuto... in Francia. M, 1953. Thierry O. Esperienza storieorigine e successi del terzo stato // Tvri O. Eletto...

Il sistema delle frazioni nell'Antico Egitto Le frazioni apparvero nei tempi antichi. Nella divisione del bottino, nella misurazione delle quantità e in altri casi simili, le persone hanno riscontrato la necessità di introdurre le frazioni. Gli antichi egizi sapevano già come dividere 2 oggetti in tre persone; per questo numero -2/3- avevano un simbolo speciale. A proposito, questa era l'unica frazione usata dagli scribi egiziani che non aveva un'unità al numeratore - tutte le altre frazioni avevano sicuramente un'unità al numeratore (le cosiddette frazioni base): 1/2; 1/3; 1/28;.... Se l'egiziano aveva bisogno di usare altre frazioni, le rappresentava come somma di frazioni di base. Ad esempio, invece di 8/15 hanno scritto 1/3+1/5.

Il sistema delle frazioni nell'antica Babilonia Nell'antica Babilonia si preferiva un denominatore costante pari a 60. Le frazioni sessagesimali, ereditate da Babilonia, furono usate da matematici e astronomi greci e arabi. Ma era scomodo lavorare sui numeri naturali scritti nel sistema decimale e sulle frazioni scritte nel sistema sessagesimale. Ma lavorare con le frazioni ordinarie era già piuttosto difficile. Pertanto, il matematico olandese Simon Stevin propose di passare alle frazioni decimali.

Sistema di frazioni nell'antica Roma Si basava sulla divisione di un'unità di peso in 12 parti, chiamate ass. La dodicesima parte di un asso era chiamata oncia. E il percorso, il tempo e altre quantità sono stati confrontati con una cosa visiva: il peso. Ad esempio, un romano potrebbe dire di aver percorso sette once di sentiero o di aver letto cinque once di un libro. In questo caso, ovviamente, non si trattava di pesare il percorso o il libro. Ciò significava che erano stati completati 7/12 del viaggio o letti 5/12 del libro. E per le frazioni ottenute riducendo le frazioni con un denominatore di 12 o dividendo i dodicesimi in frazioni più piccole, c'erano nomi speciali.

Cruciverba orizzontale: 1. Dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. 2. Il quoziente di due numeri. 3. Una frazione in cui il numeratore e il denominatore sono numeri primi tra loro. 4. Quanto si riduce la frazione 24/36? 5. Un centesimo di numero. Verticale: 6. Il nome di una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore. 7. Per trovare il denominatore comune, devi trovare MCD o LCM? 8. Azione. Con l'aiuto del quale viene trovata una frazione di un numero.9. Per ridurre una frazione, devi trovare MCD o MCM?