Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visi šoniniai šonkauliai Taisyklingosios piramidės yra lygūs vienas kitam, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingos piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pagrindai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE linijos segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, rodantį vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Pagal ploto teoremą stačiakampė projekcija gauname plokščią figūrą:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime

Pirmas lygis

Piramidė. Vizualus vadovas (2019)

Kas yra piramidė?

Kaip ji atrodo?

Matote: piramidės apačioje (jie sako: bazėje") tam tikras daugiakampis, o visos šio daugiakampio viršūnės yra sujungtos su tam tikru erdvės tašku (šis taškas vadinamas " viršūnė»).

Visa ši struktūra vis dar yra šoniniai veidai, šoniniai šonkauliai Ir pagrindo šonkauliai. Dar kartą nupieškime piramidę su visais šiais pavadinimais:

Kai kurios piramidės gali atrodyti labai keistai, bet jos vis tiek yra piramidės.

Pavyzdžiui, čia yra visiškai „įstrižai“ piramidė.

Ir dar šiek tiek apie pavadinimus: jei piramidės pagrinde yra trikampis, tai piramidė vadinama trikampe, jei keturkampė, tai keturkampė, o jei šimtakampė, tai... atspėk patys .

Tuo pačiu metu taškas, kur jis nukrito aukščio, paskambino aukščio pagrindas. Atkreipkite dėmesį, kad „kreivose“ piramidėse aukščio gali atsidurti net už piramidės ribų. Kaip šitas:

Ir tame nėra nieko blogo. Tai atrodo kaip bukas trikampis.

Teisinga piramidė.

Daug sudėtingi žodžiai? Iššifruokime: „Pagrinde - teisingai“ - tai suprantama. Dabar prisiminkime, kad reguliarus daugiakampis turi centrą - tašką, kuris yra ir centras, ir .

Na, o žodžiai "viršus projektuojamas į pagrindo centrą" reiškia, kad aukščio pagrindas patenka tiksliai į pagrindo centrą. Pažiūrėkite, kaip jis atrodo švelnus ir mielas taisyklinga piramidė.

Šešiakampis: prie pagrindo yra taisyklingas šešiakampis, viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

Keturkampis: pagrindas yra kvadratas, viršus projektuojamas iki šio kvadrato įstrižainių susikirtimo taško.

Trikampis: prie pagrindo yra taisyklingasis trikampis, viršūnė projektuojama į šio trikampio aukščių (jie taip pat yra medianos ir pusiausvyros) susikirtimo tašką.

Labai svarbios savybės teisinga piramidė:

Dešinėje piramidėje

• visi šoniniai kraštai lygūs.
• visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.

Piramidės tūris

Pagrindinė piramidės tūrio formulė:

Iš kur tiksliai ji atsirado? Tai nėra taip paprasta, ir iš pradžių tereikia atsiminti, kad piramidės ir kūgio formulėje yra tūris, o cilindro – ne.

Dabar apskaičiuokime populiariausių piramidžių tūrį.

Tegul pagrindo kraštinė yra lygi, o šoninė briauna lygi. Turime rasti ir.

Tai taisyklingo trikampio plotas.

Prisiminkime, kaip ieškoti šios srities. Mes naudojame ploto formulę:

Mums „ “ yra tai, o „ “ taip pat yra tai, eh.

Dabar suraskime.

Pagal Pitagoro teoremą už

Koks skirtumas? Tai yra apskritimo spindulys, nes piramidėteisinga taigi ir centras.

Kadangi - irgi medianų susikirtimo taškas.

(Pitagoro teorema)

Pakeiskime jį į formulę.

Ir pakeiskime viską į tūrio formulę:

Dėmesio: jei turite įprastą tetraedrą (t. y.), tada formulė pasirodo taip:

Tegul pagrindo kraštinė yra lygi, o šoninė briauna lygi.

Nereikia čia žiūrėti; Juk pagrindas yra kvadratas, taigi.

Surasime. Pagal Pitagoro teoremą už

Ar mes žinome? Beveik. Žiūrėk:

(tai pamatėme žiūrėdami).

Į formulę pakeiskite:

O dabar pakeičiame tūrio formulę.

Tegul pagrindo pusė yra lygi, o šoninis kraštas.

Kaip rasti? Žiūrėkite, šešiakampis susideda iš lygiai šešių vienodų taisyklingų trikampių. Mes jau ieškojome taisyklingo trikampio ploto, kai apskaičiuojame taisyklingos trikampės piramidės tūrį, čia naudojame rastą formulę.

Dabar suraskime (tai).

Pagal Pitagoro teoremą už

Bet kas tai svarbu? Tai paprasta, nes (ir visi kiti) yra teisūs.

Pakeiskime:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš bet kurio plokščio daugiakampio (), taško, esančio ne pagrindo plokštumoje (piramidės viršūnėje), ir visų atkarpų, jungiančių piramidės viršūnę su pagrindo taškais (šoniniais kraštais).

Nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos nukrito statmuo.

Teisinga piramidė- piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršus projektuojamas į pagrindo centrą.

Taisyklingos piramidės savybės:

• Taisyklingoje piramidėje visos šoninės briaunos yra lygios.
• Visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai ir visi šie trikampiai yra lygūs.

Apibrėžimas

Piramidė yra daugiakampis, sudarytas iš daugiakampio \(A_1A_2...A_n\) ir \(n\) trikampių, kurių bendra viršūnė \(P\) (nesanti daugiakampio plokštumoje) ir priešingų kraštinių, sutampančių su daugiakampio kraštinės.
Pavadinimas: \(PA_1A_2...A_n\) .
Pavyzdys: penkiakampė piramidė \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trikampiai \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ir kt. yra vadinami šoniniai veidai piramidės, atkarpos \(PA_1, PA_2\) ir kt. – šoniniai šonkauliai, daugiakampis \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – pagrindu, taškas \(P\) – viršuje.

Aukštis piramidės yra statmenas, nusileidęs nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos.

Piramidė, kurios pagrinde yra trikampis, vadinama tetraedras.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis ir tenkinama viena iš šių sąlygų:

\(a)\) piramidės šoninės briaunos yra lygios;

\(b)\) piramidės aukštis eina per apskritimo centrą, apibrėžtą šalia pagrindo;

\(c)\) šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.

\(d)\) šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.

Taisyklingas tetraedras yra trikampė piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai.

Teorema

Sąlygos \((a), (b), (c), (d)\) yra lygiavertės.

Įrodymas

Raskime piramidės aukštį \(PH\) . Tegul \(\alpha\) yra piramidės pagrindo plokštuma.

1) Įrodykime, kad iš \((a)\) seka \((b)\) . Tegu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Nes \(PH\perp \alpha\), tada \(PH\) yra statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei, o tai reiškia, kad trikampiai yra stačiakampiai. Tai reiškia, kad šie trikampiai yra lygūs bendroje kojoje \(PH\) ir hipotenuzoje \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tai reiškia \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tai reiškia, kad taškai \(A_1, A_2, ..., A_n\) yra vienodu atstumu nuo taško \(H\), todėl yra tame pačiame apskritime, kurio spindulys \(A_1H\) . Šis apskritimas pagal apibrėžimą yra apibrėžtas apie daugiakampį \(A_1A_2...A_n\) .

2) Įrodykime, kad \((b)\) reiškia \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) stačiakampis ir lygus ant dviejų kojų. Tai reiškia, kad jų kampai taip pat yra vienodi, todėl \(\kampas PA_1H=\kampas PA_2H=...=\kampas PA_nH\).

3) Įrodykime, kad \((c)\) reiškia \((a)\) .

Panašus į pirmąjį tašką, trikampiai \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) stačiakampiai tiek išilgai kojos, tiek smailiu kampu. Tai reiškia, kad jų hipotenuzės taip pat yra lygios, tai yra, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Įrodykime, kad iš \((b)\) seka \((d)\) .

Nes taisyklingajame daugiakampyje apibrėžtojo ir įbrėžto apskritimų centrai sutampa (paprastai kalbant, šis taškas vadinamas taisyklingo daugiakampio centru), tada \(H\) yra įbrėžto apskritimo centras. Iš taško \(H\) nubrėžkime statmenus į pagrindo šonus: \(HK_1, HK_2\) ir t.t. Tai yra įbrėžto apskritimo spinduliai (pagal apibrėžimą). Tada pagal TTP (\(PH\) yra statmenas plokštumai, \(HK_1, HK_2\) ir kt. yra projekcijos, statmenos kraštams), pasvirusios \(PK_1, PK_2\) ir kt. statmenai kraštams \(A_1A_2, A_2A_3\) ir kt. atitinkamai. Taigi, pagal apibrėžimą \(\kampas PK_1H, \kampas PK_2H\) lygus kampams tarp šoninių paviršių ir pagrindo. Nes trikampiai \(PK_1H, PK_2H, ...\) yra lygūs (kaip stačiakampiai iš dviejų kraštinių), tada kampai \(\kampas PK_1H, \kampas PK_2H, ...\) yra lygūs.

5) Įrodykime, kad \((d)\) reiškia \((b)\) .

Panašiai kaip ir ketvirtajame taške, trikampiai \(PK_1H, PK_2H, ...\) yra lygūs (stačiakampiai išilgai kojos ir smailiojo kampo), o tai reiškia, kad atkarpos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) yra lygus. Tai pagal apibrėžimą reiškia, kad \(H\) yra apskritimo, įrašyto į pagrindą, centras. Bet todėl Taisyklingųjų daugiakampių atveju įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centrai sutampa, tada \(H\) yra apibrėžtojo apskritimo centras. Chtd.

Pasekmė

Taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai.

Apibrėžimas

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, ištrauktas iš jos viršūnės, vadinamas apotemas.
Visų taisyklingos piramidės šoninių paviršių apotemos yra lygios viena kitai, taip pat yra medianos ir pusiausvyros.

Svarbios pastabos

1. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis patenka į pagrindo aukščių (arba pusiausvyrų, arba medianų) susikirtimo tašką (pagrindas yra taisyklingas trikampis).

2. Taisyklingos keturkampės piramidės aukštis patenka į pagrindo įstrižainių susikirtimo tašką (pagrindas yra kvadratas).

3. Taisyklingos šešiakampės piramidės aukštis patenka į pagrindo įstrižainių susikirtimo tašką (pagrindas yra taisyklingas šešiakampis).

4. Piramidės aukštis statmenas bet kuriai tiesei, esančiai prie pagrindo.

Apibrėžimas

Piramidė vadinama stačiakampis, jei viena iš jo šoninių briaunų yra statmena pagrindo plokštumai.

Svarbios pastabos

1. Stačiakampėje piramidėje briauna, statmena pagrindui, yra piramidės aukštis. Tai yra, \(SR\) yra aukštis.

2. Nes \(SR\) yra statmena bet kuriai linijai nuo pagrindo, tada \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– stačiakampiai trikampiai.

3. Trikampiai \(\trikampis SRN, \trikampis SRK\)- taip pat stačiakampis.
Tai yra, bet koks trikampis, sudarytas iš šios briaunos ir įstrižainės, kylančios iš šios briaunos viršūnės, esančios prie pagrindo, bus stačiakampis.

\[(\Large(\text(piramidės tūris ir paviršiaus plotas)))\]

Teorema

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui piramidės pagrindo ploto ir aukščio sandaugos: \

Pasekmės

Tegul \(a\) yra pagrindo kraštinė, \(h\) yra piramidės aukštis.

1. Taisyklingos trikampės piramidės tūris yra \(V_(\text(statusis trikampis.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Taisyklingos keturkampės piramidės tūris yra \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Taisyklingos šešiakampės piramidės tūris yra \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Taisyklingo tetraedro tūris yra \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo ir apotemos perimetro sandaugai.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Apibrėžimas

Apsvarstykite savavališką piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Per tam tikrą tašką, esantį ant piramidės šoninio krašto, nubrėžkime plokštumą, lygiagrečią piramidės pagrindui. Ši plokštuma padalins piramidę į dvi daugiakampes, iš kurių viena yra piramidė (\(PB_1B_2...B_n\)), o kita vadinama nupjauta piramidė(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Sutrumpinta piramidė turi du pagrindus – daugiakampius \(A_1A_2...A_n\) ir \(B_1B_2...B_n\), kurie yra panašūs vienas į kitą.

Nupjautos piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš kurio nors viršutinio pagrindo taško į apatinio pagrindo plokštumą.

Svarbios pastabos

1. Visi nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.

2. Atkarpa, jungianti taisyklingos nupjautinės piramidės (tai yra piramidės, gautos taisyklingosios piramidės skerspjūviu) pagrindų centrus, yra aukštis.

Kuriame vienas iš šoninių briaunų yra statmenas pagrindui.

Šiuo atveju šis kraštas bus piramidės aukštis.

Piramidės savybės.

1. Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada:

• lengva apibūdinti apskritimą, esantį šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą;
• šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma;
• Be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoniniai briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tai reiškia, kad visos šoninės briaunos piramidės yra tokio pat dydžio.

2. Kai šoniniai paviršiai turi tokios pat vertės pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada:

• lengva apibūdinti apskritimą, esantį šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą;
• šoninių paviršių aukščiai yra vienodo ilgio;
• šoninio paviršiaus plotas yra lygus ½ pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugai.

3. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, jei piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Sferos centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurius, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos darome išvadą, kad rutulys gali būti aprašytas tiek aplink bet kurią trikampę, tiek aplink bet kurią taisyklingąją piramidę;

4. Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta 1-ajame taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas taps sferos centru.

5. Kūgis bus įrašytas į piramidę, kai jų viršūnės sutaps, o kūgio pagrindas bus įbrėžtas į piramidės pagrindą. Šiuo atveju kūgį į piramidę galima sutalpinti tik tuo atveju, jei piramidės apotemos yra vienodo dydžio (būtina ir pakankama sąlyga);

6. Kūgis bus aprašytas šalia piramidės, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas bus aprašytas šalia piramidės pagrindo. Šiuo atveju kūgį prie piramidės galima apibūdinti tik tuo atveju, jei visi šoniniai piramidės kraštai turi vienodas reikšmes (būtina ir pakankama sąlyga). Šių kūgių ir piramidžių aukščiai yra vienodi.

7. Cilindras bus įrašytas į piramidę, jei vienas jo pagrindų sutaps su apskritimu, kuris piramidės pjūvyje yra įbrėžtas plokštuma, lygiagreti pagrindui, o antrasis pagrindas priklauso piramidės pagrindui.

8. Cilindras bus aprašomas prie piramidės, kai piramidės viršūnė priklauso vienam iš jos pagrindų, o antrasis cilindro pagrindas – prie piramidės pagrindo. Šiuo atveju apibūdinti cilindrą prie piramidės galima tik tuo atveju, jei piramidės pagrindas yra įbrėžtas daugiakampis (būtina ir pakankama sąlyga).

Stačiakampės piramidės tūrio ir ploto nustatymo formulės.

V- piramidės tūris,

S- piramidės pagrindo plotas,

h- piramidės aukštis,

Sb- piramidės šoninio paviršiaus plotas,

a- apotemas (nepainioti su α ) piramidės,

P- piramidės pagrindo perimetras,

n- piramidės pagrindo kraštinių skaičius,

b- piramidės šoninio krašto ilgis,

α - plokščias kampas piramidės viršuje.

Piramidės koncepcija

1 apibrėžimas

Geometrinė figūra, sudaryta iš daugiakampio ir taško, esančio ne plokštumoje, kurioje yra šis daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio viršūnėmis, vadinama piramide (1 pav.).

Daugiakampis, iš kurio padaryta piramidė, vadinamas piramidės pagrindu, susidarę trikampiai, sujungti su tašku, yra piramidės šoniniai paviršiai, trikampių kraštinės yra piramidės kraštinės, o taškas bendras; prie visų trikampių yra piramidės viršūnė.

Piramidžių rūšys

Priklausomai nuo kampų skaičiaus piramidės pagrinde, ji gali būti vadinama trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).

2 pav.

Kitas piramidžių tipas yra taisyklinga piramidė.

Įveskime ir įrodykime taisyklingos piramidės savybę.

1 teorema

Visi taisyklingos piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai, kurie yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite taisyklingą $n-$kampinę piramidę, kurios viršūnė $S$ aukštis $h=SO$. Aplink pagrindą nubrėžkime apskritimą (4 pav.).

4 pav.

Apsvarstykite trikampį $SOA$. Pagal Pitagoro teoremą gauname

Akivaizdu, kad bet koks šoninis kraštas bus apibrėžtas tokiu būdu. Vadinasi, visi šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam, tai yra, visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Įrodykime, kad jie vienas kitam lygūs. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, visų šoninių paviršių pagrindai yra lygūs vienas kitam. Vadinasi, visi šoniniai paviršiai yra lygūs pagal III trikampių lygybės kriterijų.

Teorema įrodyta.

Dabar pristatysime tokį apibrėžimą, susijusį su taisyklingosios piramidės sąvoka.

3 apibrėžimas

Taisyklingos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.

Akivaizdu, kad pagal Pirmąją teoremą visi apotemai yra lygūs vienas kitam.

2 teorema

Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas nustatomas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.

Įrodymas.

$n-$kampinės piramidės pagrindo kraštinę pažymėkime $a$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio paviršiaus plotas yra lygus

Kadangi pagal 1 teoremą visos kraštinės yra lygios, tai

Teorema įrodyta.

Kitas piramidžių tipas yra nupjauta piramidė.

4 apibrėžimas

Jei per paprastą piramidę nubrėžta lygiagreti jos pagrindui plokštuma, tai tarp šios plokštumos ir pagrindo plokštumos susidariusi figūra vadinama nupjautąja piramide (5 pav.).

5 pav. Nupjauta piramidė

Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.

3 teorema

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas nustatomas kaip pagrindų ir apotemos pusperimetrų sumos sandauga.

Įrodymas.

$n-$kampinės piramidės pagrindų kraštines pažymėkime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotemą - $d$. Todėl šoninio paviršiaus plotas yra lygus

Kadangi visos pusės yra lygios, tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdinė užduotis

1 pavyzdys

Raskite nupjautos trikampės piramidės šoninio paviršiaus plotą, jei jis gaunamas iš taisyklingos piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plokštumą, einanti per šoninių paviršių vidurio liniją.

Sprendimas.

Pagal teoremą apie vidurio linija mes tai gauname viršutinė bazė sutrumpinta piramidė lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygi $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$.

Tada pagal 3 teoremą gauname