Jei įdėsite vieneto numerio apskritimą koordinačių plokštuma, tada galima rasti jo taškų koordinates. Skaičių apskritimas išdėstytas taip, kad jo centras sutaptų su plokštumos pradžia, ty tašku O (0; 0).

Paprastai ant vieneto skaičiaus apskritimo yra pažymėti taškai, atitinkantys apskritimo pradžią

• ketvirčiai – 0 arba 2π, π/2, π, (2π)/3,
• viduriniai ketvirčiai – π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trečdaliai ketvirčių – π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinačių plokštumoje su aukščiau nurodyta vieta vieneto ratas galite rasti šiuos apskritimo taškus atitinkančias koordinates.

Kvartalų galų koordinates labai lengva rasti. Apskritimo taške 0 x koordinatė lygi 1, o y koordinatė lygi 0. Galime pažymėti kaip A (0) = A (1; 0).

Pirmojo ketvirčio pabaiga bus teigiama y ašyje. Todėl B (π/2) = B (0; 1).

Antrojo ketvirčio pabaiga yra neigiamoje pusašyje: C (π) = C (-1; 0).

Trečiojo ketvirčio pabaiga: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Bet kaip rasti ketvirčių vidurio taškų koordinates? Tam jie stato taisyklingas trikampis. Jo hipotenuzė yra atkarpa nuo apskritimo centro (arba pradžios) iki ketvirčio apskritimo vidurio. Tai yra apskritimo spindulys. Kadangi apskritimas yra vienetas, hipotenuzė lygi 1. Tada nubrėžkite statmeną iš apskritimo taško į bet kurią ašį. Tegul jis yra link x ašies. Rezultatas yra stačiakampis trikampis, kurio kojų ilgiai yra apskritimo taško x ir y koordinatės.

Ketvirtadalis apskritimo yra 90º. Ir pusė ketvirtadalio yra 45º. Kadangi hipotenuzė nubrėžta iki kvadranto vidurio, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, besitęsiančios nuo pradžios, yra 45º. Bet bet kurio trikampio kampų suma yra 180º. Todėl kampas tarp hipotenuzės ir kitos kojos taip pat išlieka 45º. Dėl to susidaro lygiašonis stačiakampis trikampis.

Iš Pitagoro teoremos gauname lygtį x 2 + y 2 = 1 2. Kadangi x = y ir 1 2 = 1, lygtis supaprastėja iki x 2 + x 2 = 1. Ją išsprendę gauname x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Taigi taško koordinatės M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Kitų ketvirčių vidurio taškų koordinatėse pasikeis tik ženklai, o reikšmių moduliai išliks tokie patys, nes stačiakampis trikampis bus tik apverstas. Mes gauname:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Nustatant apskritimo ketvirčių trečiųjų dalių koordinates, statomas ir stačiakampis trikampis. Jei paimsime tašką π/6 ir nubrėžsime statmeną x ašiai, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, esančios ant x ašies, bus 30º. Yra žinoma, kad koja, esanti priešais 30º kampą, yra lygi pusei hipotenuzės. Tai reiškia, kad radome y koordinatę, ji lygi ½.

Žinodami hipotenuzės ir vienos kojos ilgius, naudodamiesi Pitagoro teorema, randame kitą koją:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 – ¼ = ¾
x = √3/2

Taigi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pirmojo ketvirčio antrojo trečdalio taškui (π/3) y ašiai geriau nubrėžti statmeną ašiai. Tada kampas ištakoje taip pat bus 30º. Čia x koordinatė bus lygi ½, o y atitinkamai √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Kituose trečiojo ketvirčio taškuose pasikeis koordinačių reikšmių ženklai ir tvarka. Visi taškai, esantys arčiau x ašies, turės modulio x koordinatės reikšmę, lygią √3/2. Tie taškai, kurie yra arčiau y ašies, turės modulio y reikšmę, lygią √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Vaizdo pamokoje „Sinuso ir kosinuso apibrėžimas vieneto apskritime“ pateikiama vaizdinė medžiaga pamokai atitinkama tema. Pamokos metu aptariamos sinuso ir kosinuso sąvokos skaičiams, atitinkantiems vienetinio apskritimo taškus, aprašoma daug pavyzdžių, ugdančių gebėjimą spręsti uždavinius, kur naudojamas toks sąvokų aiškinimas. Patogios ir suprantamos sprendimų iliustracijos, detalus samprotavimo kursas padeda greitai pasiekti mokymosi tikslus ir padidinti pamokos efektyvumą.

Vaizdo pamoka prasideda temos pristatymu. Demonstravimo pradžioje pateikiamas skaičiaus sinuso ir kosinuso apibrėžimas. Ekrane demonstruojamas vienetinis apskritimas, kurio centras yra koordinačių pradžioje, pažymėti vienetinio apskritimo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis A, B, C, D. Rėmelyje paryškinamas apibrėžimas, kuriame teigiama, jei vienetiniam apskritimui priklausantis taškas M atitinka tam tikrą skaičių t, tai šio taško abscisė yra skaičiaus t kosinusas ir žymima cos t, taško ordinatė yra sinusas ir žymima sin t . Apibrėžimo išreiškimą lydi taško M vaizdas vieneto apskritime, nurodantis jo abscisę ir ordinatę. Trumpas žymėjimas pateikiamas naudojant užrašą, kad M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Nurodomi apribojimai, taikomi skaičiaus kosinuso ir sinuso vertei. Apžvelgtais duomenimis, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

Iš paveikslo taip pat nesunku matyti, kaip keičiasi funkcijos ženklas, priklausomai nuo to, kuriame ketvirtyje yra taškas. Ekrane sudaroma lentelė, kurioje kiekvienai funkcijai nurodomas jos ženklas, priklausomai nuo ketvirčio. Cos t ženklas pirmajame ir ketvirtajame ketvirčiuose yra pliusas, o antrajame ir trečiame - minusas. Sin t ženklas yra pliusas pirmame ir antrame ketvirčiuose, minusas trečiame ir ketvirtame ketvirčiuose.

Mokiniams primenama vienetinio apskritimo lygtis x 2 + y 2 = 1. Pažymima, kad vietoj atitinkamų funkcijų koordinačių pakeitus gauname cos 2 t+ sin 2 t=1 - pagrindinę trigonometrinę tapatybę. Naudodami sin t ir cos t radimo metodą naudojant vienetinį apskritimą, užpildykite pagrindinių sinuso ir kosinuso verčių lentelę skaičiams nuo 0 iki 2π π/4 žingsniais ir skaičiais nuo π/6 iki 11π /6 π/6 žingsniais. Šios lentelės rodomos ekrane. Naudodamasis jais ir piešiniu mokytojas gali patikrinti, kaip gerai įsisavinta medžiaga ir kaip mokiniai supranta nuodėmės kilmę ir kaštų vertes.

Nagrinėjamas pavyzdys, kuriame sin t ir cos t apskaičiuojami, kai t=41π/4. Sprendimą iliustruoja paveikslėlis, kuriame pavaizduotas vienetinis apskritimas, kurio centras yra pradžioje. Ant jo pažymėtas taškas 41π/4. Pažymima, kad šis taškas sutampa su taško padėtimi π/4. Tai įrodoma pavaizdavus šią trupmeną kaip mišrią trupmeną 41π/4=π/4+2π·5. Naudodamiesi kosinusų reikšmių lentele, gauname reikšmes cos π/4=√2/2 ir sinπ/4=√2/2. Iš gautos informacijos matyti, kad cos 41π/4=√2/2 ir sin 41π/4=√2/2.

Antrame pavyzdyje reikia apskaičiuoti sin t ir cos t, kai t=-25π/3. Ekrane rodomas vienetinis apskritimas su pažymėtu tašku t=-25π/3. Pirma, norint išspręsti problemą, skaičius -25π/3 pavaizduojamas kaip mišri trupmena, siekiant išsiaiškinti, kurią lentelės reikšmę atitiks jos sin t ir cos t. Po transformacijos gauname -25π/3=-π/3+2π·(-4). Akivaizdu, kad t=-25π/3 apskritime sutaps su tašku -π/3 arba 5π/3. Iš lentelės pasirenkame atitinkamas sinuso ir kosinuso vertes cos 5π/3=1/2 ir sin 5π/3=-√3/2. Šios reikšmės bus teisingos nagrinėjamam skaičiui cos (-25π/3)=1/2 ir sin (-25π/3)=-√3/2. Problema išspręsta.

Panašiai išspręstas ir 3 pavyzdys, kuriame reikia apskaičiuoti sin t ir cos t, kai t=37π. Norėdami išspręsti pavyzdį, skaičius 37π išplečiamas, išskiriant π ir 2π. Šiame vaizde pasirodo 37π=π+2π·18. Ant vienetinio apskritimo, kuris pavaizduotas šalia sprendinio, šis taškas pažymėtas neigiamos ordinačių ašies dalies ir vienetinio apskritimo sankirtoje – taškas π. Akivaizdu, kad skaičiaus sinuso ir kosinuso reikšmės sutaps su lentelės π reikšmėmis. Iš lentelės randame reikšmes sin π=-1 ir cos π=0. Atitinkamai, tos pačios vertės yra norimos, tai yra, sin 37π = -1 ir cos 37π = 0.

4 pavyzdyje reikia apskaičiuoti sin t ir cos t, kai t=-12π. Skaičius pavaizduojame kaip -12π=0+2π·(-6). Atitinkamai, taškas -12π sutampa su tašku 0. Šio taško kosinuso ir sinuso reikšmės yra sin 0=1 ir cos 0=0. Šios vertės yra būtinos sin (-12π)=1 ir cos (-12π)=0.

Penktame pavyzdyje reikia išspręsti lygtį sin t=√3/2. Sprendžiant lygtį, naudojama skaičiaus sinuso sąvoka. Kadangi jis vaizduoja taško M(t) ordinatę, reikia rasti tašką, kurio ordinatė √3/2. Sprendimą lydinčiame paveikslėlyje matyti, kad ordinatės √3/2 atitinka du taškus – pirmąjį π/3 ir antrąjį 2π/3. Atsižvelgdami į funkcijos periodiškumą, pažymime, kad sveikajam skaičiui k t=π/3+2πk ir t= 2π/3+2πk.

6 pavyzdyje išspręsta lygtis su kosinusu - cos t=-1/2. Ieškodami lygties sprendinių, vienetiniame apskritime randame taškus, kurių abscisė yra 2π/3. Ekrane rodomas paveikslas, kuriame pažymėta abscisė -1/2. Tai atitinka du apskritimo taškus – 2π/3 ir –2π/3. Atsižvelgiant į funkcijų periodiškumą, rastas sprendinys rašomas forma t=2π/3+2πk ir t=-2π/3+2πk, kur k yra sveikas skaičius.

7 pavyzdyje išspręsta lygtis sin t-1=0. Norint rasti sprendimą, lygtis transformuojama į sin t=1. Sinusas 1 atitinka skaičių π/2. Atsižvelgiant į funkcijos periodiškumą, rastas sprendinys rašomas forma t=π/2+2πk, kur k yra sveikas skaičius. Panašiai 8 pavyzdyje išspręsta lygtis cos t+1=0. Transformuokime lygtį į formą cos t=-1. Taškas, kurio abscisė yra -1, atitinka skaičių π. Šis taškas pažymėtas vienetiniame apskritime, pavaizduotame šalia teksto sprendimo. Atitinkamai, šios lygties sprendimas yra skaičius t=π+2πk, kur k yra sveikas skaičius. 9 pavyzdyje lygtį cos t+1=1 išspręsti nėra sunkiau. Transformavus lygtį gauname cos t=0. Vienetiniame apskritime, pavaizduotame šalia sprendinio, pažymime taškus -π/2 ir -3π/2, kuriuose kosinusas įgyja reikšmę 0. Akivaizdu, kad šios lygties sprendimas bus reikšmių serija t= π/2+πk, kur k yra sveikas skaičius.

10 pavyzdyje lyginamos sin 2 ir cos 3 reikšmės. Kad sprendimas būtų aiškus, pavaizduotas paveikslas, kuriame pažymėti taškai 2 ir 3. Žinodami, kad π/2≈1,57, įvertiname taškų atstumą iš jo. Paveikslėlyje pažymėta, kad taškas 2 yra 0,43 atstumu nuo π/2, o 3 yra 1,43 atstumu, taigi taškas 2 turi didesnę abscisę nei taškas 3. Tai reiškia, kad sin 2 > cos 3.

11 pavyzdyje aprašytas išraiškos sin 5π/4 skaičiavimas. Kadangi 5π/4 yra π/4+π, naudojant redukcijos formules, išraišką galima paversti - sin π/4. Iš lentelės pasirenkame jo reikšmę - sin π/4=-√2/2. Panašiai 12 pavyzdyje randama išraiškos cos7π/6 reikšmė. Pavertę jį į formą cos(π/6+π), gauname išraišką - cos π/6. Lentelės reikšmė yra cos π/6=-√3/2. Ši vertė bus sprendimas.

Toliau siūloma prisiminti svarbias lygybes, kurios padeda spręsti problemas – tai sin(-t)= -sin t ir cos (-t)=cos t. Tiesą sakant, ši išraiška atspindi kosinuso lygumą ir sinuso nelygumą. Vieneto apskritimo paveikslėlyje šalia lygybių galite matyti, kaip šios lygybės veikia koordinačių plokštumoje. Taip pat pateikiamos dvi lygybės, atspindinčios funkcijų, svarbių sprendžiant uždavinius sin(t+2πk)= sin t ir cos (t+2πk)=cos t, periodiškumą. Parodytos lygybės, atspindinčios simetrišką taškų išsidėstymą vienetiniame apskritime sin(t+π)= -sin t ir cos (t+π)=-cos t. Šalia lygybių sukonstruotas vaizdas, rodantis šių taškų vietą vieneto apskritime. Ir paskutinės pateiktos lygybės sin(t+π/2)= cos t ir cos (t+π/2)=- sin t.

Vaizdo pamoką „Sinuso ir kosinuso apibrėžimas vieneto apskritime“ rekomenduojama naudoti tradicinėje mokyklinėje matematikos pamokoje, siekiant padidinti jos efektyvumą ir užtikrinti mokytojo paaiškinimo aiškumą. Tuo pačiu tikslu medžiaga gali būti naudojama nuotolinio mokymosi metu. Vadovas taip pat gali būti naudingas ugdant tinkamus mokinių problemų sprendimo įgūdžius, kai jie savarankiškai įsisavina medžiagą.

TEKSTO IŠKODAVIMAS:

"Sinuso ir kosinuso apibrėžimas vieneto apskritime."

Apibrėžkime skaičiaus sinusus ir kosinusus

APIBRĖŽIMAS: jei skaitinio vieneto apskritimo taškas M atitinka skaičių t(te), tai taško M abscisė vadinama skaičiaus t(te) kosinusu ir žymima sąnaudomis, o taško M ordinatė. vadinamas skaičiaus t(te) sinusu ir žymimas sint(fig).

Tai reiškia, kad jei M(t) = M (x,y)(em iš te yra lygus em su koordinatėmis x ir y), tai x = kaina, y = sint (x lygus te kosinusui, y yra lygus te sinusui). Vadinasi, - 1≤ kaina ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (kosinusas te yra didesnis arba lygus minus vienetui, bet mažesnis arba lygus vienam; sinusas te yra didesnis arba lygus iki minus vieno, bet mažesnis arba lygus vienam). Žinodami, kad kiekvienas skaičių apskritimo taškas turi xOy sistemą, turi savo koordinates, galite sudaryti sinuso ir kosinuso verčių lentelę apskritimo ketvirčiais, kur kosinuso reikšmė yra teigiama pirmąjį ir ketvirtąjį ketvirčius ir atitinkamai neigiama antrąjį ir trečiąjį ketvirčius.

Sinuso reikšmė yra teigiama pirmąjį ir antrąjį ketvirčius, o atitinkamai neigiama trečiąjį ir ketvirtąjį ketvirčius. (rodyti ant piešinio)

Kadangi skaičių apskritimo lygtis turi formą x 2 + y 2 = 1 (x kvadratas plius y kvadratas lygus vienetui), tada gauname lygybę:

(kosinuso kvadratas te plius sinuso kvadratas te lygus vienetui).

Remdamiesi lentelėmis, kurias sudarėme nustatydami skaitinio apskritimo taškų koordinates, sudarysime skaitinio apskritimo taškų koordinačių lenteles, skirtas išlaidų ir sintetinių verčių vertėms.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 PAVYZDYS. Apskaičiuokite cos t ir sin t, jei t = (te lygus keturiasdešimt vienam pi per keturis).

Sprendimas. Skaičius t = atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius, nes = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (keturiasdešimt vienas pi padauginus keturi yra lygus pi sumai padauginus keturis ir dviejų pi sandauga iš penkių). O taškui t = pagal lentelę kosinusų 1 reikšmę turime cos = ir sin =. Vadinasi,

2 PAVYZDYS. Apskaičiuokite cos t ir nuodėmė t, jei t = (te lygus atėmus dvidešimt penkis pi per tris).

SPRENDIMAS: Skaičius t = atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius, nes = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (atėmus dvidešimt penkis pi per tris yra lygus minus pi suma per tris ir dviejų pi sandauga iš minus keturi). Ir skaičius atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius. O taškui t = pagal 2 lentelę turime cos = ir sin =. Todėl cos () = ir sin () =.

3 PAVYZDYS. Apskaičiuokite cos t ir sin t, jei t = 37π; (te lygus trisdešimt septyniems pi).

SPRENDIMAS: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Tai reiškia, kad skaičius 37π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičių π. O taškui t = π pagal 1 lentelę turime cos π = -1, sin π = 0. Tai reiškia, kad cos37π = -1, sin37π = 0.

4 PAVYZDYS. Apskaičiuokite cos t ir sin t, jei t = -12π (lygu minus dvylika pi).

SPRENDIMAS: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), tai yra, skaičius - 12π atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičių nulis. O taškui t = 0 pagal 1 lentelę turime cos 0 = 1, sin 0 = 0. Tai reiškia, kad cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

PAVYZDYS 5. Išspręskite lygtį sin t = .

Sprendimas. Atsižvelgdami į tai, kad sin t yra skaičių apskritimo taško M(t) (em iš te) ordinatė, skaičių apskritime rasime taškus su ordinate ir užrašysime, kuriuos skaičius t jie atitinka. Vienas taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių + 2πk. Antrasis taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių + 2πk. Atsakymas: t = + 2πk, kur kϵZ (ka priklauso zet), t= + 2πk, kur kϵZ (ka priklauso zet).

PAVYZDYS 6. Išspręskite lygtį cos t = .

Sprendimas. Atsižvelgdami į tai, kad cos t yra skaičių apskritimo taško M(t) (em iš te) abscisė, rasime taškus su abscisėmis ant skaičių apskritimo ir užrašysime, kuriuos skaičius t jie atitinka. Vienas taškas atitinka skaičių, taigi ir bet kurį skaičių + 2πk. O antrasis taškas atitinka skaičių arba, taigi, bet kurį skaičių + 2πk arba + 2πk.

Atsakymas: t = + 2πk, t=+ 2πk (arba ± + 2πk (plius minus du pi iš trijų plius du pi ka), kur kϵZ (ka priklauso zet).

PAVYZDYS 7. Išspręskite lygtį cos t = .

Sprendimas. Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, skaičių apskritime reikia rasti taškus su abscisėmis ir užrašyti, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Paveikslėlyje parodyta, kad du taškai E ir S turi abscises, tačiau dar negalime pasakyti, kuriuos skaičius jie atitinka. Prie šio klausimo grįšime vėliau.

8 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį sin t = - 0,3.

Sprendimas. Ant skaičių apskritimo randame taškus, kurių ordinatė – 0,3, ir užrašome, kuriuos skaičius t jie atitinka.

Ordinatė – 0,3 turi du taškus P ir H, tačiau dar negalime pasakyti, kokius skaičius jie atitinka. Prie šio klausimo taip pat grįšime vėliau.

PAVYZDYS 9. Išspręskite lygtį sin t -1 =0

Sprendimas. Perkelkime minus vienas į dešinę lygties pusę, gausime sinusą te lygus vienetui (sin t = 1). Skaičių apskritime turime rasti tašką, kurio ordinatė yra lygi vienetui. Šis taškas atitinka skaičių, taigi ir visus + 2πk formos skaičius (pi padauginus dvi plius dvi smailes).

Atsakymas: t = + 2πk, kϵZ(ka priklauso zet).

PAVYZDYS 10. Išspręskite lygtį cos t + 1 = 0.

Perkelkime vieną į dešinę lygties pusę, gausime kosinusą te lygus minus vienas (cos t = - 1) Abscisė minus vienas turi skaičių apskritimo tašką, kuris atitinka skaičių π, ir tai reiškia viską π+2πk formos skaičiai. Atsakymas: t = π+ 2πk, kϵZ.

PAVYZDYS 11. Išspręskite lygtį cos t + 1 = 1.

Perkelkime vienetą į dešinę lygties pusę, gausime kosinusą te lygus nuliui (cos t = 0) Abscisė nulis turi taškus B ir D (1 pav.), kurie atitinka skaičius ir tt Šiuos skaičius galima užrašyti kaip + πk. Atsakymas: t = + πk, kϵZ.

12 PAVYZDYS. Kuris iš dviejų skaičių yra didesnis, cos 2 ar cos 3? (kosinusas iš dviejų arba kosinusas iš trijų)

Sprendimas. Performuluokime klausimą kitaip: skaičių apskritime pažymėti taškai 2 ir 3. Kuris iš jų turi didesnę abscisę?

Skaičių apskritime pažymėkite taškus 2 ir 3. Atminkite tai. Tai reiškia, kad taškas 2 iš apskritimo pašalinamas maždaug 0,43 (nulis taško keturiasdešimt trys šimtosios dalys) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), o taškas 3 - 1,43 (vienas taškas keturiasdešimt trys šimtosios dalys). Todėl taškas 2 yra arčiau taško nei taškas 3, todėl jis turi didesnę abscisę (atsižvelgėme į tai, kad abi abscisės yra neigiamos).

Atsakymas: cos 2 > cos 3.

13 PAVYZDYS. Apskaičiuokite nuodėmę (sinusas penki pi x keturi)

Sprendimas. sin(+ π) = - sin = (sinusas penki pi per keturi yra lygus pi sumai per keturis, o pi lygus minus sinuso pi per keturis lygus minus šaknis du per du).

14 PAVYZDYS. Apskaičiuokite cos (kosinusas iš septynių pi iš šešių).

cos(+ π) = - cos =. (mes pateikėme septynis pi per šešis kaip pi per šešis ir pi sumą ir pritaikėme trečiąją lygybę).

Dėl sinuso ir kosinuso gauname keletą svarbių formulių.

1. Bet kuriai t reikšmei yra teisingos šios lygybės:

sin (-t) = -sin t

cos (-t) = cos t

Minus te sinusas yra lygus minus sinusui iš te

Minutės te kosinusas yra lygus te kosinusui.

Paveikslėlyje parodyta, kad taškai E ir L, simetriški abscisių ašies atžvilgiu, turi tą pačią abscisę, tai reiškia

cos(-t) = kaina, bet ordinatės yra lygios pagal dydį ir priešingos ženklu (tai reiškia sin(- t) = - sint.

2. Bet kuriai t reikšmei galioja šios lygybės:

sin (t+2πk) = sin t

cos (t+2πk) = cos t

Sinusas te plius du pi yra lygus te sinusui

Te plius du pi kosinusas yra lygus te kosinusui

Tai tiesa, nes skaičiai t ir t+2πk atitinka tą patį tašką.

3. Bet kuriai t reikšmei galioja šios lygybės:

sin (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

Sinusas iš te plius pi yra lygus minus sinusui iš te

kosinusas iš te plius pi lygus atėmus te kosinusą

Tegu skaičius t atitinka skaičių apskritimo tašką E, tada skaičius t+π atitinka tašką L, kuris yra simetriškas taškui E pradžios atžvilgiu. Paveikslėlyje parodyta, kad šiuose taškuose abscisės ir ordinatės yra vienodos dydžiu ir priešingos ženklu. Tai reiškia,

cos(t +π)= - kaina;

sin(t +π)= – sint.

4. Bet kuriai t reikšmei galioja šios lygybės:

sin(t+) = cos t

cos(t+) = -sin t

Sinusas te plius pi iš dviejų lygus kosinusui te

Kosinusas te plius pi iš dviejų yra lygus minus sinusui te.

Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... į problemos tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėja, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje taikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti: „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėkime.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, kuri jas neatsiejamai sieja su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: skirtingos monetos turi skirtingą kiekį nešvarumų, kiekvienos monetos kristalinė struktūra ir atomų išsidėstymas savitas...

Ir dabar man kyla įdomiausias klausimas: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris yra teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų mokomi „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. Su dideliu skaičiumi 12345 nenoriu suklaidinti galvos, panagrinėkime skaičių 26 iš straipsnio apie. Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį pro mikroskopą, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje yra įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais, juos palyginus, duoda skirtingus rezultatus, tai tai neturi nieko bendra su matematika.

Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.

Užrašas ant durų Jis atidaro duris ir sako:

Oi! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.

Pamoka ir pristatymas tema: „Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Algebriniai parametrų uždaviniai, 9–11 kl
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios konstravimo užduotys 7-10 kl

Ką mes studijuosime:
1. Apibrėžimas.
2. Svarbios skaičių apskritimo koordinatės.
3. Kaip rasti skaičių apskritimo koordinatę?
4. Skaičių apskritimo pagrindinių koordinačių lentelė.
5. Problemų sprendimo pavyzdžiai.

Skaičių apskritimo koordinačių plokštumoje apibrėžimas

Skaičiaus apskritimą pastatykime į koordinačių plokštumą taip, kad apskritimo centras sutaptų su koordinačių pradžia, o jo spindulį imkime vienetine atkarpa. Skaičių apskritimo A pradžios taškas sulygiuotas su tašku (1;0).

Kiekvienas skaičių apskritimo taškas turi savo x ir y koordinates koordinačių plokštumoje ir:
1) už $x > 0$, $y > 0$ – pirmąjį ketvirtį;
2) už $x 0$ - antrąjį ketvirtį;
3) $x 4) $x > 0 $, $y
Bet kuriam skaičių apskritimo taškui $M(x; y)$ tenkinamos šios nelygybės: $-1
Prisiminkite skaičių apskritimo lygtį: $x^2 + y^2 = 1$.

Mums svarbu išmokti rasti paveikslėlyje pateikto skaičių apskritimo taškų koordinates.

Raskime taško $\frac(π)(4)$ koordinatę

Taškas $M(\frac(π)(4))$ yra pirmojo ketvirčio vidurys. Numeskime statmeną MR iš taško M į tiesę OA ir apsvarstykime trikampį OMP Kadangi lankas AM yra pusė lanko AB, tai $∠MOP=45°$.
Tai reiškia, kad trikampis OMP yra lygiašonis stačiakampis trikampis ir $OP=MP$, t.y. taške M abscisės ir ordinatės yra lygios: $x = y$.
Kadangi taško $M(x;y)$ koordinatės tenkina skaičių apskritimo lygtį, tai norint jas rasti, reikia išspręsti lygčių sistemą:
$\begin (atvejai) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (atvejai)$
Nusprendęs šią sistemą, gauname: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Tai reiškia, kad taško M, atitinkančio skaičių $\frac(π)(4)$ koordinatės bus $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Panašiai apskaičiuojamos ir ankstesniame paveikslėlyje pateiktų taškų koordinatės.

Skaičių apskritimo taškų koordinatės

Pažiūrėkime į pavyzdžius

1 pavyzdys.
Raskite skaičių apskritimo taško koordinatę: $P(45\frac(π)(4))$.

Sprendimas:
45 USD\frak(π)(4) = (10 + \frak(5)(4)) * π = 10π +5\frak(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Tai reiškia, kad skaičius $45\frac(π)(4)$ atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius $\frac(5π)(4)$. Žvelgdami į taško $\frac(5π)(4)$ reikšmę lentelėje gauname: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

2 pavyzdys.
Raskite skaičių apskritimo taško koordinatę: $P(-\frac(37π)(3))$.

Sprendimas:

Nes skaičiai $t$ ir $t+2π*k$, kur k yra sveikas skaičius, atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką, tada:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Tai reiškia, kad skaičius $-\frac(37π)(3)$ atitinka tą patį skaičių apskritimo tašką kaip ir skaičius $–\frac(π)(3)$, o skaičius –$\frac(π) (3)$ atitinka tą patį tašką kaip $\frac(5π)(3)$. Žvelgdami į taško $\frac(5π)(3)$ reikšmę lentelėje, gauname:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

3 pavyzdys.
Suraskite skaičių apskritimo taškus su ordinatėmis $y =\frac(1)(2)$ ir užrašykite, kokius skaičius $t$ jie atitinka?

Sprendimas:
Tiesė $y =\frac(1)(2)$ kerta skaičių apskritimą taškuose M ir P. Taškas M atitinka skaičių $\frac(π)(6)$ (iš lentelės duomenų). Tai reiškia bet kurį formos skaičių: $\frac(π)(6)+2π*k$. Taškas P atitinka skaičių $\frac(5π)(6)$, taigi ir bet kokį $\frac(5π)(6) +2 π*k$ formos skaičių.
Gavome, kaip dažnai sakoma tokiais atvejais, dvi verčių serijas:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ir $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Atsakymas: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ir $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

4 pavyzdys.
Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ ir užrašykite, kuriuos skaičius $t$ jie atitinka.

Sprendimas:

Tiesė $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ kerta skaičių apskritimą taškuose M ir P. Atitinka nelygybė $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ iki lanko PM taškų. Taškas M atitinka skaičių $3\frac(π)(4)$ (iš lentelės duomenų). Tai reiškia bet kokį skaičių $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Taškas P atitinka skaičių $-\frac(3π)(4)$, taigi ir bet kokį $-\frac(3π)(4) +2π*k$ formos skaičių.

Tada gauname $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Atsakymas: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1) Raskite skaičių apskritimo taško koordinatę: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Raskite skaičių apskritimo taško koordinatę: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Suraskite skaičių apskritimo taškus, kurių ordinatė $y = -\frac(1)(2)$ ir užrašykite, kuriuos skaičius $t$ jie atitinka.
4) Suraskite skaičių apskritimo taškus, kurių ordinatė $y ≥ -\frac(1)(2)$ ir užrašykite, kuriuos skaičius $t$ jie atitinka.
5) Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ ir užrašykite, kuriuos skaičius $t$ jie atitinka.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.