“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo analizirati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Ono što se zove kvadratna jednačina

Bitan!

Stepen jednačine je određen najvećim stepenom u kojem se nalazi nepoznata.

Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Bitan! Opšti pogled na kvadratnu jednačinu izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"A", "b" i "c" su dati brojevi.

• "A" - prvi ili najznačajniji koeficijent;
• “B” je drugi koeficijent;
• "C" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine "ax 2 + bx + c = 0".

Vježbajmo definiranje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi, poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik "ax 2 + bx + c = 0". To jest, samo "0" treba da ostane na desnoj strani;
• koristite formulu za korijenje:

Uzmimo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednačina "x 2 - 3x - 4 = 0" je već svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednačinu.

x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =

Uz nju se rješava svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 =" radikalni izraz se često zamjenjuje
"B 2 - 4ac" sa slovom "D" i naziva se diskriminant. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji "Šta je diskriminant".

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

Prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c" u ovom obliku. Najprije dovedemo jednačinu u opći oblik "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu korijena.

X 1; 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x =

6

2

x = 3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednačinama nema korijena. Ova situacija se događa kada se ispod korijena formule nađe negativan broj.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš ..."
I za one koji su "veoma ujednačeni...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini obavezno mora postojati x na kvadrat. Pored njega, jednadžba može (a ne mora biti!) samo x (u prvom stepenu) i samo broj (besplatni član). I ne bi trebalo biti x u stepenu većem od dva.

Matematički govoreći, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali a- bilo šta osim nule. Na primjer:

Evo a =1; b = 3; c = -4

Evo a =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednadžbama na lijevoj strani postoji full setčlanovi. X na kvadrat sa koeficijentom a, x na prvi stepen sa koeficijentom b i slobodan termin sa.

Takve kvadratne jednačine se nazivaju pun.

I ako b= 0, šta dobijamo? Imamo X će nestati u prvom stepenu. To se događa množenjem sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

itd. A ako oba koeficijenta, b i c jednaki su nuli, onda je sve još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

Takve jednačine, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednačinama.

Usput, zašto a ne može biti nula? I ti zameni a nula.) X u kvadratu će nestati od nas! Jednačina postaje linearna. I odlučeno je na potpuno drugačiji način...

Ovo su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuna i nepotpuna.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadatu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. pogledati:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Poziva se izraz pod znakom korijena diskriminatorno... Ali o njemu - u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamena sa tvojim znacima! Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c= -4. Pa zapisujemo:

Primjer je praktično riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. I šta je, po vašem mišljenju, nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa značenjima. a, b i c... Dapače, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formuli za izračunavanje korijena. Ovdje se čuva detaljna notacija formule s određenim brojevima. Ako postoje računski problemi, učiniti!

Pretpostavimo da trebate riješiti ovaj primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti... Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško slikati tako pažljivo. Ali samo izgleda da jeste. Probaj. Pa, ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo farbate. To će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom nedostataka može se riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li saznali?) Da! Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Oni se također mogu riješiti korištenjem opće formule. Samo treba tačno da shvatite čemu su oni jednaki a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? On uopšte nije tamo! Pa, da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Zamijenite nulu u formuli umjesto c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo nulu nemamo ovdje With, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta možete učiniti tamo na lijevoj strani? Možete staviti x iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta s tim? A činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? Pa, onda zamislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to ...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Obojica odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo tačan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo lakše nego korištenje opće formule. Usput, primijetit ću koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Zgodno je zapisivati ​​redom, x 1- šta je manje, i x 2- šta je više.

Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje izdvojiti korijen iz 9 i to je to. Ispostaviće se:

Takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem x u zagrade, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz x, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju se nema šta staviti iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Fraza “odlučivanje kroz diskriminator” je umirujuća i umirujuća. Jer nema potrebe čekati prljave trikove od diskriminatora! Jednostavan je za upotrebu i bez problema.) Sjećam se najopćenitije formule za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D... Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako izvanredno u ovom izrazu? Zašto je zaslužio poseban naziv? Šta značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Evo u čemu je stvar. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, moguće je samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da možete izvući korijen iz njega. Dobar root je izvučen, ili loš - drugo pitanje. Bitno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Pošto sabiranje-oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična... Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Ne uzima se kvadratni korijen iz negativnog broja. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Iskreno, uz jednostavno rješenje kvadratnih jednadžbi, koncept diskriminanta nije posebno potreban. Vrijednosti koeficijenata zamjenjujemo u formulu, ali računamo. Sve se ispostavlja samo od sebe, a postoje dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i diskriminantne formule nije dovoljno. Posebno - u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika na državnom ispitu i na Jedinstvenom državnom ispitu!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili ste naučili, što je također dobro.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c... Znaš kako pažljivo zamijenite ih u korijenskoj formuli i pažljivo pročitajte rezultat. Shvaćate da je ključna riječ ovdje pažljivo?

Za sada, uzmite u obzir najbolje prakse koje će drastično smanjiti greške. Baš one koje su zbog nepažnje... Za koje onda boli i vređa...

Prvi prijem ... Nemojte biti lijeni da ga dovedete u standardni oblik prije rješavanja kvadratne jednadžbe. Šta to znači?
Recimo, nakon nekih transformacija, dobili ste sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse. a, b i c. Napravi primjer ispravno. Prvo, X je na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus ispred x u kvadratu vas može stvarno rastužiti. Lako je zaboraviti... Oslobodite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Morate pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i dovršiti primjer. Uradi sam. Trebali biste imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! Po Vietinoj teoremi. Ne brinite, sve ću vam objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednačina. One. onaj po kojem smo zapisali formulu za korijene. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Trebali biste dobiti besplatnog člana, tj. u našem slučaju, -2. Obratite pažnju, ne 2, već -2! Besplatan član sa mojim znakom ... Ako nije upalilo, onda je već negdje zeznuto. Potražite grešku.

Ako uspije, morate presavijati korijene. Poslednja i konačna provera. Trebao bi dobiti koeficijent b With suprotno poznat. U našem slučaju, -1 + 2 = +1. I koeficijent bšto je prije x je -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem u takvim jednačinama, provjerite! Biće manje grešaka.

Prijem treći ... Ako imate razlomke u jednadžbi, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji Kako riješiti jednačine? Identične transformacije. Prilikom rada sa razlomcima, iz nekog razloga, često se pojavljuju greške...

Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Zadovoljstvo je odlučiti se!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik, gradimo je u pravu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred x u kvadratu, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminišemo množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent na njemu jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinom teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Da li se sve to uklapa? Fino! Kvadratne jednačine nisu vaša glavobolja. Prva tri su uspjela, ali ostala nisu? Tada problem nije s kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Prošetajte linkom, od pomoći je.

Ne radiš baš? Ili uopšte ne radi? Tada će vam pomoći Odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani na komade. Pokazano glavni greške u rješenju. Naravno, govori i o korištenju identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno validacijsko testiranje. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenjem diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor je prikazan tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), odgovor je prikazan u ovom obliku:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ a ne ovako: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ovaj program može biti od koristi učenicima viših razreda srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete voditi vlastitu nastavu i/ili nastavu svoje mlađe braće i sestara, dok se nivo obrazovanja iz oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo se može koristiti kao varijabla.
Na primjer: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomački dio od cjeline može se odvojiti zarezom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x ^ 2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo se cijeli broj može koristiti kao brojnik, nazivnik i cijeli dio razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Prilikom unosa izraza mogu se koristiti zagrade... U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Odluči se

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima dosta ljudi koji žele da reše problem, vaš zahtev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odlučuješ i šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ima oblik
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \ (a \ neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednačine. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b - drugi koeficijent, a broj c - slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je \ (a \ neq 0 \), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent na x 2 1 redukovana kvadratna jednačina... Na primjer, redukovane kvadratne jednadžbe su jednačine
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba... Dakle, jednačine -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 su nepotpune kvadratne jednačine. U prvom od njih b = 0, u drugom c = 0, u trećem b = 0 i c = 0.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri tipa:
1) ax 2 + c = 0, gdje je \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, gdje je \ (b \ neq 0 \);
3) sjekira 2 = 0.

Razmotrimo rješenja jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0 za \ (c \ neq 0 \), prenesite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Strelica desno x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Pošto je \ (c \ neq 0 \), onda \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Ako je \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), onda jednačina ima dva korijena.

Ako \ (- \ frac (c) (a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + bx = 0 sa \ (b \ neq 0 \) razložimo njenu lijevu stranu u faktore i dobijemo jednačinu
\ (x (ax + b) = 0 \ Strelica desno \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ kraj (niz) \ desno. \ Strelica desno \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ kraj (niz) \ desno. \)

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 za \ (b \ neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = 0 i stoga ima jedinstveni korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednačinu u opštem obliku i kao rezultat dobijamo formulu za korene. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0

Podijelivši oba njegova dijela sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Ovu jednačinu transformiramo odabirom kvadrata binoma:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2- \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Desno \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ lijevo (\ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Strelica desno \) \ (\ lijevo (x + \ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Strelica desno \ lijevo (x + \ frac (b) (2a) \ desno) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Strelica desno \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Desno x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Strelica desno \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ("diskriminant" na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Sada, koristeći notaciju diskriminanta, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), gdje je \ (D = b ^ 2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D> 0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D = 0, onda kvadratna jednadžba ima jedan korijen \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D> 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je postupiti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu korijena, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x + 10 = 0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka kvadratna jednadžba s korijenima posjeduje ovo svojstvo.

Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0 imaju svojstvo:
\ (\ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ kraj (niz) \ desno. \)

Zadaci za kvadratnu jednačinu izučavaju se u školskim programima i na univerzitetima. One se shvataju kao jednačine oblika a * x ^ 2 + b * x + c = 0, gde je x - varijabla, a, b, c - konstante; a<>0. Zadatak je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednačine

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su tačke presjeka parabole sa apscisom (x). Iz ovoga proizilazi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema tačaka preseka sa osom apscise. To znači da je u gornjoj ravni sa granama gore ili dolje sa granama nadole. U takvim slučajevima, kvadratna jednadžba nema realnih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu tačku preseka sa Ox osom. Takva tačka se naziva vrh parabole, a kvadratna jednačina u njoj dobija svoju minimalnu ili maksimalnu vrednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Poslednji slučaj je interesantniji u praksi - postoje dve tačke preseka parabole sa osom apscise. To znači da postoje dva realna korijena jednačine.

Na osnovu analize koeficijenata na stepenima varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, tada je parabola usmjerena prema gore, ako je negativna, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Premjestite konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti, dobijamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili potpuni kvadrat na lijevoj strani, dodajte b ^ 2 u oba dijela i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe

Diskriminant se naziva vrijednost radikalnog izraza. Ako je pozitivna, onda jednačina ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminanta nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), što se lako može dobiti iz gornje formule kada je D = 0. Kada je diskriminanta negativna, jednačina nema realnih korijena. Međutim, pronalaze se rješenja kvadratne jednadžbe u kompleksnoj ravni, a njihova vrijednost se izračunava po formuli

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i konstruirajmo kvadratnu jednačinu na njihovoj osnovi.Vietin teorem lako slijedi iz notacije: ako imamo kvadratnu jednačinu oblika tada je zbir njegovih korijena jednak koeficijentu p, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formalna notacija gore navedenog bit će: Ako je u klasičnoj jednadžbi konstanta a različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednačinu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Zakažite kvadratnu jednačinu za faktore

Neka se postavi problem: faktorizirajte kvadratnu jednačinu. Da bismo to izveli, prvo riješimo jednačinu (pronađimo korijene). Zatim, zamjenjujemo pronađene korijene u formulu za proširenje kvadratne jednadžbe, što će riješiti problem.

Problemi kvadratne jednačine

Cilj 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Rješenje: Zapisujemo koeficijente i zamjenjujemo ih u diskriminantnu formulu

Korijen ove vrijednosti je 14, lako ga je pronaći pomoću kalkulatora ili zapamtiti čestom upotrebom, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka ću vam dati listu kvadrata brojeva koji se često mogu nailazi na ovakvim zadacima.
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijen formulu

i dobijamo

Cilj 2. Riješite jednačinu

2x 2 + x-3 = 0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu, ispišite koeficijente i pronađite diskriminanta


Koristeći dobro poznate formule, nalazimo korijene kvadratne jednadžbe

Cilj 3. Riješite jednačinu

9x 2 -12x + 4 = 0.

Rješenje: Imamo punu kvadratnu jednačinu. Odredite diskriminant

Imamo slučaj kada su korijeni isti. Vrijednosti korijena pronalazimo po formuli

Zadatak 4. Riješite jednačinu

x ^ 2 + x-6 = 0.

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti na x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Po njegovom uslovu dobijamo dve jednačine

Iz drugog uslova dobijamo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3; 2), (3; -2). Uzimajući u obzir prvi uslov, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednačine su jednaki

Zadatak 5. Odredite dužine stranica pravougaonika ako je njegov obim 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Polovina opsega pravougaonika je zbir susjednih stranica. Označimo x - velika strana, a zatim je 18-x njena manja strana. Površina pravokutnika jednaka je proizvodu ovih dužina:
x (18-x) = 77;
ili
x 2 -18x + 77 = 0.
Naći diskriminanta jednačine

Izračunajte korijene jednadžbe

Ako x = 11, onda 18 = 7, naprotiv, takođe je tačno (ako je x = 7, onda je 21-x = 9).

Zadatak 6. Faktori kvadratne jednačine 10x 2 -11x + 3 = 0.

Rješenje: Izračunavamo korijene jednačine, za to nalazimo diskriminanta

Zamijenite pronađenu vrijednost u korijen formulu i izračunajte

Primjenjujemo formulu za proširenje kvadratne jednadžbe u korijenima

Proširujući zagrade, dobijamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Za koje vrijednosti parametra a , da li jednadžba (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 ima jedan korijen?

Rješenje: Direktnom zamjenom vrijednosti a = 3 vidimo da nema rješenja. Zatim ćemo koristiti činjenicu da za nulti diskriminant jednadžba ima jedan korijen višestrukosti 2. Hajde da ispišemo diskriminanta

pojednostaviti ga i izjednačiti sa nulom

Dobio je kvadratnu jednačinu za parametar a čije je rješenje lako dobiti Vietinim teoremom. Zbir korijena je 7, a njihov proizvod je 12. Jednostavnim nabrajanjem utvrđujemo da će brojevi 3,4 biti korijeni jednadžbe. Pošto smo već na početku proračuna odbacili rješenje a = 3, jedino ispravno će biti - a = 4. Dakle, za a = 4 jednačina ima jedan korijen.

Primjer 2. Za koje vrijednosti parametra a , jednačina a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrite prvo singularne tačke, to će biti vrijednosti a = 0 i a = -3. Kada je a = 0, jednačina će biti pojednostavljena na oblik 6x-9 = 0; x = 3/2 i postojaće jedan koren. Za a = -3 dobijamo identitet 0 = 0.
Računamo diskriminanta

i pronađite vrijednosti a kod kojih je pozitivan

Iz prvog uslova dobijamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminanta i korijene jednadžbe


Definirajmo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom tačke a = 0 dobijamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3; 1/3), funkcija je negativna. Ne zaboravi poentu a = 0,što treba isključiti, budući da izvorna jednačina u njoj ima jedan korijen.
Kao rezultat, dobijamo dva intervala koji zadovoljavaju uslov problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami smisliti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uslove koji se međusobno isključuju. Dobro naučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi, često su potrebne u proračunima u raznim problemima i naukama.

Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Razmotrimo sve detaljno: suštinu i pisanje kvadratne jednačine, postavićemo povezane pojmove, analiziraćemo šemu za rešavanje nepotpunih i potpunih jednačina, upoznaćemo se sa formulom za korene i diskriminanta, ustanovićemo veze između korijena i koeficijenata, a mi ćemo naravno dati vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba Je li jednačina napisana kao a x 2 + b x + c = 0, gdje x- varijabla, a, b i c- neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednačine nazivaju i jednačinama drugog stepena, jer je u suštini kvadratna jednačina algebarska jednačina drugog stepena.

Dajemo primjer za ilustraciju date definicije: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. Jesu kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c Jesu koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, a c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 stariji koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 a slobodni termin je − 11 ... Obratimo pažnju na činjenicu da kada su koef b i / ili c su negativni, tada se koristi kratka notacija oblika 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako su koeficijenti a i/ili b su jednaki 1 ili − 1 , onda ne mogu izričito učestvovati u zapisu kvadratne jednačine, što se objašnjava posebnostima snimanja naznačenih brojčanih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 - y + 7 = 0 najveći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednačine se dijele na redukovane i nereducirane.

Definicija 3

Redukovana kvadratna jednačina To je kvadratna jednadžba, gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba se ne reducira.

Navedimo primjere: redukovane su kvadratne jednadžbe x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0, od kojih je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- neredukovana kvadratna jednačina, u kojoj se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka neredukovana kvadratna jednačina može se transformisati u redukovanu jednačinu dijeljenjem oba dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformisana jednačina će imati iste korene kao i data neredukovana jednačina, ili takođe neće imati korena uopšte.

Razmatranje konkretnog primjera će nam omogućiti da jasno demonstriramo implementaciju prijelaza iz nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer 1

Jednačina je 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Potrebno je konvertovati originalnu jednačinu u redukovani oblik.

Rješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane originalne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6. tada dobijamo: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 a ovo je isto kao: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. dakle: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Tako se dobija jednačina koja je ekvivalentna datoj.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to razjasnili a ≠ 0... Sličan uslov je neophodan za jednačinu a x 2 + b x + c = 0 bila je upravo kvadratna, jer za a = 0 u suštini se transformiše u linearnu jednačinu b x + c = 0.

U slučaju kada su koef b i c jednaka nuli (što je moguće, i odvojeno i zajedno), kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba Je li takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b i c(ili oboje) je nula.

Puna kvadratna jednadžba- kvadratna jednačina u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Hajde da razmotrimo zašto se tipovima kvadratnih jednačina daju upravo takva imena.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0što je isto kao a x 2 + c = 0... At c = 0 kvadratna jednačina se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0... At b = 0 i c = 0 jednačina postaje a x 2 = 0... Jednačine koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednačina - nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gornja definicija omogućava razlikovanje sljedećih tipova nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, takva jednačina odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a x 2 + c = 0 za b = 0;
• a x 2 + b x = 0 na c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednačine a x 2 = 0

Kao što je već navedeno, takva jednačina odgovara koeficijentima b i c jednak nuli. Jednačina a x 2 = 0 može se transformisati u ekvivalentnu jednačinu x 2 = 0, koji dobijamo dijeljenjem obje strane originalne jednadžbe brojem a nije jednako nuli. Očigledna je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 to je nula jer 0 2 = 0 ... Ova jednadžba nema druge korijene, što se može objasniti svojstvima stepena: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je tačna p 2> 0, iz čega slijedi da za p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednačinu a x 2 = 0, postoji jedinstveni korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednačinu - 3 x 2 = 0... Jednačina je njemu ekvivalentna x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada originalna jednadžba također ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je formalizirano na sljedeći način:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeći korak je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednačina oblika a x 2 + c = 0... Ovu jednačinu transformiramo prenosom člana s jedne strane jednačine na drugu, mijenjanjem predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednačine brojem koji nije jednak nuli:

• prenijeti c desno, što daje jednačinu a x 2 = - c;
• dijelimo obje strane jednačine sa a, dobijamo kao rezultat x = - c a.

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednačina je također ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućava da se izvede zaključak o korijenima jednačine. Od toga kakva su značenja a i c vrijednost izraza - c a zavisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 i c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = - 2 i c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0... Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti tačna.

Sve je drugačije kada je - c a> 0: zapamtite kvadratni korijen i postaje očigledno da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da - c a 2 = - c a. Lako je shvatiti da je broj - - c a također korijen jednačine x 2 = - c a: zaista, - - c a 2 = - c a.

Jednačina neće imati druge korijene. To možemo demonstrirati koristeći kontradiktornu metodu. Za početak, definirajmo notaciju za korijene pronađene iznad kao x 1 i - x 1... Pretpostavimo da jednačina x 2 = - c a također ima korijen x 2 koji se razlikuje od korijena x 1 i - x 1... To znamo zamjenom u jednadžbi umjesto x njene korijene, transformirajte jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 i - x 1 pišemo: x 1 2 = - c a, i za x 2- x 2 2 = - c a. Na osnovu svojstava numeričkih jednakosti, jednu pravu jednakost oduzimamo od druge pojam po član, što će nam dati: x 1 2 - x 2 2 = 0... Koristimo svojstva akcija na brojeve da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Poznato je da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizilazi da x 1 - x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = - x 1... Nastala je očigledna kontradikcija, jer je u početku bilo dogovoreno da je korijen jednačine x 2 razlikuje od x 1 i - x 1... Dakle, dokazali smo da jednačina nema drugih korijena, osim za x = - c a i x = - - c a.

Sažimamo sva gore navedena obrazloženja.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene za - c a< 0 ;
• imaće dva korena x = - c a i x = - - c a za - c a> 0.

Navedimo primjere rješavanja jednačina a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Dana kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Za to je potrebno pronaći rješenje.

Rješenje

Prenosimo slobodni član na desnu stranu jednačine, tada će jednačina poprimiti oblik 9 x 2 = - 7.
Obje strane rezultirajuće jednačine dijelimo sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9. Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednadžba nema korijen. Zatim originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korena.

odgovor: jednačina 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednačinu - x 2 + 36 = 0.

Rješenje

Pomjerite 36 na desnu stranu: - x 2 = - 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobijamo x 2 = 36... Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36.
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednačina - x 2 + 36 = 0 ima dva korena x = 6 ili x = - 6.

odgovor: x = 6 ili x = - 6.

Rješenje jednačine a x 2 + b x = 0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednačina, kada c = 0... Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristite metodu faktorizacije. Odvajamo polinom na lijevoj strani jednačine, vadeći zajednički faktor izvan zagrada x... Ovaj korak će omogućiti pretvaranje originalne nepotpune kvadratne jednadžbe u njen ekvivalent x (a x + b) = 0... A ova jednadžba je, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednačina x = 0 i a x + b = 0... Jednačina a x + b = 0 linearna, a njen korijen je: x = - b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a x 2 + b x = 0 imaće dva korena x = 0 i x = - b a.

Popravimo materijal na primjeru.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednačine 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Rješenje

Izvaditi x zagrade i dobijemo jednačinu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbi x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada trebate riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko zapisujemo rješenje jednačine na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Da biste pronašli rješenje za kvadratne jednadžbe, postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 - 4 a c- takozvani diskriminant kvadratne jednačine.

Oznaka x = - b ± D 2 · a u suštini znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Neće biti suvišno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0... Izvršimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijelite obje strane jednačine brojem a različit od nule, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu: x 2 + b a · x + c a = 0;
• odaberite puni kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Nakon toga, jednačina će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu promjenom predznaka u suprotan, nakon čega dobijamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dakle, došli smo do jednačine x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, koja je ekvivalentna originalnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednačina analizirali smo u prethodnim paragrafima (rješenje nepotpunih kvadratnih jednačina). Već stečeno iskustvo omogućava da se izvuče zaključak o korijenima jednačine x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• na b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 jednačina ima oblik x + b 2 a 2 = 0, tada je x + b 2 a = 0.

Dakle, jedini korijen x = - b 2 · a je očigledan;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 bit će tačno: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisustvo ili odsustvo korijena jednačine x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a samim tim i izvorne jednačine) zavisi od predznaka izraza b 2 - 4 a c 4 · 2 napisano na desnoj strani. A predznak ovog izraza je postavljen predznakom brojioca, (imenik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno po predznaku izraza b 2 - 4 a c... Ovaj izraz b 2 - 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednačine i slovo D se definiše kao njena oznaka. Ovdje možete zapisati suštinu diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku se zaključuje da li će kvadratna jednadžba imati realne korijene i, ako ima, koliki je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednačinu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Prepisujemo ga koristeći notaciju diskriminanta: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Hajde da ponovo formulišemo zaključke:

Definicija 9

• at D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
• at D = 0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a;
• at D> 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 a + D 4 a 2 ili x = - b 2 a - D 4 a 2. Na osnovu svojstava radikala, ovi korijeni se mogu zapisati kao: x = - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A, kada otvorimo module i dovedemo razlomke do zajedničkog imenioca, dobijamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 - 4 a c.

Ove formule omogućavaju, sa diskriminantom većim od nule, određivanje oba realna korijena. Kada je diskriminanta nula, primjena obje formule će dati isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom da izvučemo kvadratni korijen negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednadžbinu moguće je riješiti odmah korištenjem formule korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva, obično se ne traži kompleksni, već realni korijeni kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminanta i uvjeriti se da nije negativna (u suprotnom ćemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje omogućava formulisanje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 - 4 a c pronaći vrijednost diskriminanta;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, naći jedini koren jednačine po formuli x = - b 2 · a;
• za D> 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe po formuli x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminanta nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo neke primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Dajemo rješenje primjera za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednačine x 2 + 2 x - 6 = 0.

Rješenje

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = - 6... Zatim postupamo po algoritmu, tj. počnimo s računanjem diskriminanta, za koji zamjenjujemo koeficijente a, b i c u diskriminantnu formulu: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Dakle, dobili smo D> 0, što znači da će originalna jednačina imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x = - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobijamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo rezultirajući izraz uzimajući faktor izvan predznaka korijena, a zatim smanjimo razlomak:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Rješenje

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Sa ovom vrijednošću diskriminanta, originalna jednačina će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednačinu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Rješenje

Numerički koeficijenti ove jednačine će biti: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Izračunati diskriminant je negativan, tako da originalna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu za korijene, izvodeći radnje sa kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

odgovor: nema valjanih korijena; kompleksni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školskom planu i programu ne postoji standardni zahtjev da se traže kompleksni korijeni, stoga, ako se prilikom rješavanja diskriminanta odredi kao negativna, odmah se bilježi odgovor da nema pravih korijena.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, na primjer 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hajde da pokažemo kako je ova formula izvedena.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednadžbe a x 2 + 2 n x + c = 0. Postupamo prema algoritmu: odredimo diskriminanta D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), a zatim koristimo formulu za korijene:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Neka izraz n 2 - a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava sa D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 - a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očigledno, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao indikator prisustva ili odsustva korijena kvadratne jednačine.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• naći D 1 = n 2 - a · c;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odrediti jedini korijen jednadžbe po formuli x = - n a;
• za D 1> 0 odrediti dva realna korijena formulom x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Rješenje

Drugi koeficijent date jednačine može se predstaviti kao 2 · (- 3). Zatim prepisujemo datu kvadratnu jednačinu kao 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, gdje je a = 5, n = - 3 i c = - 32.

Računamo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Rezultirajuća vrijednost je pozitivna, što znači da jednačina ima dva realna korijena. Definirajmo ih prema odgovarajućoj korijenskoj formuli:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvršiti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2.

Pojednostavljivanje pogleda na kvadratne jednadžbe

Ponekad je moguće optimizirati oblik originalne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 je očigledno pogodnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem oba njena dijela određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednačine 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobivenu dijeljenjem oba dijela sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno prosti brojevi. Tada se obično obje strane jednačine dijele najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njenih koeficijenata.

Kao primjer, koristite kvadratnu jednačinu 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Odredite gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednačinu 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se oslobađate razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, pomnožite sa najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će postati napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x - 18 = 0.

Konačno, napominjemo da se oni gotovo uvijek riješe minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednačine, mijenjajući predznake svakog člana jednačine, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela sa - 1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njenu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe u smislu njenih numeričkih koeficijenata. Na osnovu ove formule, u mogućnosti smo specificirati druge zavisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije su formule Vietine teoreme:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbir njenih korijena 7 3, a proizvod korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u vidu koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter