Методот на координати е многу ефикасен и разновиден начин за наоѓање агли или растојанија помеѓу стереометриските објекти во вселената. Ако вашиот учител по математика е високо квалификуван, тогаш тој треба да го знае ова. Инаку би советувал за делот „Ц“ да смени тутор. Мојата подготовка за испитот по математика C1-C6 обично вклучува анализа на основните алгоритми и формули опишани подолу.

Агол помеѓу правите a и b

Аголот помеѓу линиите во просторот е аголот помеѓу сите пресечни линии паралелни на нив. Овој агол е еднаков на аголот помеѓу векторите на насоката на овие линии (или го надополнува до 180 степени).

Кој алгоритам го користи учителот по математика за да го најде аголот?

1) Изберете кои било вектори и има насоки на правите a и b (паралелни со нив).
2) Ги одредуваме координатите на векторите и со соодветните координати на нивните почетоци и краеви (координатите на почетокот мора да се одземат од координатите на крајот на векторот).
3) Пронајдените координати ги заменуваме во формулата:
. За да го пронајдете самиот агол, треба да го пронајдете лачниот косинус на резултатот.

Нормално за авион

Нормална на рамнина е секој вектор нормален на таа рамнина.
Како да го пронајдете нормалното?За да се најдат координатите на нормалата, доволно е да се знаат координатите на кои било три точки M, N и K кои лежат во дадената рамнина. Користејќи ги овие координати, ги наоѓаме координатите на векторите и бараме условите и да бидат задоволени. Изедначувајќи го скаларниот производ на вектори на нула, составуваме систем на равенки со три променливи, од кои можеме да ги најдеме координатите на нормалата.

Белешка од учител по математика : Не е неопходно целосно да се реши системот, бидејќи доволно е да се избере барем еден нормален. За да го направите ова, можете да замените кој било број (на пример, еден) наместо некоја од неговите непознати координати и да решите систем од две равенки со преостанатите две непознати. Ако нема решенија, тогаш тоа значи дека во семејството на нормални нема некој што има единица за избраната променлива. Потоа заменете една со друга променлива (друга координата) и решете нов систем. Ако пропуштите повторно, тогаш вашата нормална ќе има единица на последната координата и ќе испадне дека е паралелна со некоја координатна рамнина (во овој случај, лесно е да се најде без систем).

Да речеме дека ни се дадени права и рамнина со координатите на векторот на насоката и нормалата
Аголот помеѓу права линија и рамнина се пресметува со следнава формула:

Нека и се кои било две нормални на дадените рамнини. Тогаш косинусот на аголот помеѓу рамнините е еднаков на модулот на косинус на аголот помеѓу нормалните:

Равенка на рамнина во вселената

Точките кои ја задоволуваат еднаквоста формираат рамнина со нормалата. Коефициентот е одговорен за количината на отстапување (паралелно поместување) помеѓу две рамнини со иста дадена нормала. За да ја напишете равенката на рамнината, прво мора да ја пронајдете нејзината нормала (како што е опишано погоре), а потоа да ги замените координатите на која било точка на рамнината, заедно со координатите на пронајдената нормала, во равенката и да го пронајдете коефициентот .

Тест за час по геометрија во 11 одделение

Тема: "Метод на координати во просторот“.

Цел: Проверете ги теоретските знаења на учениците, нивните вештини и способности да го применат ова знаење при решавање проблеми на векторски, векторско-координатни начини.

Задачи:

1 .Создавање услови за контрола (самоконтрола, меѓусебна контрола) на асимилација на знаењата и вештините.

2. Развијте математичко размислување, говор, внимание.

3. Да се ​​промовира активност, мобилност, способност за комуникација, општата култура на учениците.

Формулар за спроведување: работа во групи.

Опрема и извори на информации: екран, мултимедијален проектор, табела, кредитни картички, тестови.

За време на часовите

1. Мобилизирачки момент.

Лекција за користење на ООП; студентите се поделени во 3 динамични групи, во кои студенти со прифатливо, оптимално и напредно ниво. Секоја група има координатор кој раководи со работата на целата група.

2 . Самоопределување на учениците врз основа на исчекување.

Задача:поставување на цели според шемата: запомни-учи-да може.

Тест за влез - пополнете ги празните места (на отпечатоците)

влезен тест

Пополнете ги празнините…

1.Три парни нормални линии се повлечени низ точка во просторот

ние, на секоја од нив, се избира насоката и единицата за мерење на сегментите,

тогаш велат дека е поставено …………. во вселената.

2. Правите линии со избрани насоки на нив се нарекуваат ……………..,

а нивната заедничка точка е ……………. .

3. Во правоаголен координатен систем, секоја точка M од просторот е поврзана со тројка од броеви кои ја нарекуваат …………………..

4. Координатите на точка во просторот се викаат …………………..

5. Вектор чија должина е еднаква на еден се вика …………..

6. Вектори јасyксе нарекуваат………….

7. Шансите xyzво распаѓање а= xјас + yј + zкповикани

……………вектор а .

8. Секоја координата од збирот на два или повеќе вектори е еднаква на ……………..

9. Секоја координата на разликата на два вектори е еднаква на ……………….

10. Секоја координата на производ на вектор и број е еднаква на………………..

11. Секоја координата на векторот е еднаква на…………….

12. Секоја координата на средината на отсечката е еднаква на……………….

13. Векторска должина а { xyz) се пресметува со формулата …………………………

14. Растојание помеѓу точките М 1(x 1 ; y 1; z 1) и М 2 (x 2; y 2 ; z2) се пресметува со формулата ………………………

15. Скаларниот производ на два вектори се вика……………..

16. Скаларниот производ на ненулта вектори е еднаков на нула…………………..

17. Точка производ на векториа{ x 1; y 1; z 1} б { x 2 ; y 2 ; z 2) во изразено со формулата ……………………

Взаемна проверка на влезниот тест. Одговори на задачите од тестот на екранот.

Критериум за оценување:

1-2 грешки - „5“

3-4 грешки - „4“

5-6 грешки - „3“

Во други случаи - "2"

3. Вршење работа. (за картички).

Секоја картичка содржи две задачи: бр.1 - теоретска со доказ, бр.2 вклучува задачи.

Објаснете го нивото на тежина на задачите вклучени во работата. Групата извршува една задача, но има 2 дела. Координаторот на групата раководи со работата на целата група. Дискутирањето за исти информации со неколку партнери ја зголемува одговорноста не само за сопствените успеси, туку и за резултатите од колективната работа, што позитивно влијае на микроклимата во тимот.

КАРТИЧКА бр. 1

1. Изведете формули кои ги изразуваат координатите на средината на отсечката во однос на координатите на нејзините краеви.

2. Задача: 1) Дадени се точките A (-3; 1; 2) и B (1; -1; 2)

Најдете:

а) координатите на средната точка на отсечката AB

б) координати и должина на векторот AB

2) Дадена е коцката ABCDA1 B1 C1 D1. Користејќи го методот на координати, пронајдете го аголот

помеѓу линиите AB1 и A1 D.

КАРТИЧКА бр. 2

Изведете формула за пресметување на должината на векторот од неговите координати.

Задача: 1) Дадени поени М(-4; 7; 0),Н(0; -1; 2). Најдете го растојанието од потеклото на координатите до средината на отсечката МН.

→ → → → →

2) Векторски податоци аИ б. Најдете б(а+б),ако a(-2;3;6),b=6i-8k

КАРТИЧКА бр. 3

Изведете формула за пресметување на растојанието помеѓу точките со дадени координати.

Задача: 1) Дадени се бодовите A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Докажете дека ∆ABC е рамнокрак и најдете ја должината на средната линија на триаголникот што ги поврзува средните точки на страните.

2) Пресметајте го аголот помеѓу правите AB и SD ако A(1;1;0),

Б(3;-1;2), Д(0;1;0).

КАРТИЧКА бр. 4

Изведете формули за косинус на аголот помеѓу вектори кои не се нула со дадени координати.

Задача: 1) Дадени се координатите на три темиња на паралелограмот ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Најдете ги координатите на точката Д.

2) Најдете го аголот помеѓу правите AB и CD, ако A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

КАРТИЧКА број 5

Кажете ни како да го пресметаме аголот помеѓу две прави во просторот користејќи ги векторите на насоката на овие линии. →→

Задача: 1) Најдете го скаларниот производ на векториаИ б, ако:

→ → → ^ →

а) | а| =4; | б| =√3 (аб)=30◦

б) а {2 ;-3; 1}, б = 3 јас +2 к

2) Дадени се точките A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) и D(2;4;4). Докажете дека ABCD е ромб.

4. Проверка на работата на динамичните групи на картички.

Ги слушаме говорите на претставниците на групите. Работата на групите ја оценува наставникот со учество на ученици.

5. Рефлексија. Оценки за кредит.

Завршен тест со избор на одговори (во отпечатоци).

1) Дадени се вектори а {2 ;-4 ;3} б(-3; ─ ; 1). Најдете векторски координати

→ 2

в = а+ б

а) (-5; 3 −; 4); б) (-1; -3,5; 4) в) (5; -4 −; 2) г) (-1; 3,5; -4)

2) Дадени се вектори а(4; -3; 5) и б(-3; 1; 2). Најдете векторски координати

В=2 а – 3 б

а) (7;-2;3); б) (11; -7; 8); в) (17; -9; 4); г) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Пресметај го скаларниот производ на векторимИ n, ако м = а + 2 б- в

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 а - бако | а|=2 , ‌| б |=3, (аб‎) = 60 °, в ┴ а , в ┴ б.

а) -1; б) -27; во 1; г) 35.

4) Векторска должина а { xyz) е еднакво на 5. Најдете ги координатите на векторот a ifx=2, z=-√5

а) 16; б) 4 или -4; во 9; г) 3 или -3.

5) Најдете ја областа ∆ABC ако A(1;-1;3); B(3;-1;1) и C(-1;1;-3).

а) 4√3; б) √3; в) 2√3; г) √8.

Тест за вкрстена валидација. Кодови за одговор на тест задачи на екранот: 1(b); 2 (в);

3 (а); 4 (б); 5 (в).

Критериум за оценување:

Сè е точно - „5“

1 грешка - "4"

2 грешки - "3"

Во други случаи - "2"

Табела со знаење на учениците

Работи на

картички

конечна

тест

Кредитен резултат

Задачи

теорија

вежбање

1 група

2 група

3 група

Евалуација на подготовката на учениците за тестот.

Суштината на координатниот метод за решавање на геометриски проблеми

Суштина решавање на проблемкористењето на методот на координати е да се воведе координатен систем што ни е погоден во еден или друг случај и да ги препишеме сите податоци користејќи го. После тоа, сите непознати количини или докази се чуваат со помош на овој систем. Како да влезете координати на точкиво кој било координатен систем, беше разгледано од нас во друга статија - нема да се задржиме на ова овде.

Да ги претставиме главните тврдења што се користат во методот на координати.

Изјава 1:Координати векторќе се определи со разликата помеѓу соодветните координати на крајот на дадениот вектор и неговиот почеток.

Изјава 2:Координатите на средната точка на отсечката ќе се дефинираат како половина од збирот на соодветните координати на нејзините граници.

Изјава 3:Должината на кој било вектор $\overline(δ)$ со дадени координати $(δ_1,δ_2,δ_3)$ ќе се определи со формулата

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Изјава 4:Растојанието помеѓу било кои две точки дадени со координатите $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$ ќе се определи со формулата

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Шема за решавање на геометриски задачи со помош на методот на координати

За решавање на геометриски проблеми со помош на методот на координати, најдобро е да се користи оваа шема:

Анализирајте што е дадено во проблемот:

• Поставете најсоодветен координатен систем за задачата;
• Математички се запишува состојбата на проблемот, прашањето за проблемот, за оваа задача се гради цртеж.

1. Запишете ги сите податоци за проблемот во координатите на избраниот координатен систем.

2. Составете ги потребните односи од условите на проблемот, а исто така поврзете ги овие односи со она што треба да се најде (докажано во проблемот).
3. Добиениот резултат е преведен на јазикот на геометријата.

Примери на проблеми решени со координатен метод

Следниве задачи може да се издвојат како главни задачи што водат до методот на координација (нивните решенија нема да бидат дадени овде):

1. Задачи за наоѓање на координатите на вектор на неговиот крај и почеток.
2. Задачи поврзани со поделба на сегмент во кој било поглед.
3. Доказ дека три точки лежат на иста права или дека четири точки лежат на иста рамнина.
4. Задачи да се најде растојанието помеѓу две дадени точки.
5. Задачи за пронаоѓање на волумени и плоштини на геометриски форми.

Резултатите од решавањето на првиот и четвртиот проблем се претставени од нас како главни искази погоре и доста често се користат за решавање на други проблеми со помош на методот на координати.

Примери на задачи за примена на методот на координати

Пример 1

Најдете ја страната на правилната пирамида чија висина е $3$cm ако страната на основата е $4$cm.

Да ни се даде редовна пирамида $ABCDS$, чија висина е $SO$. Ајде да воведеме координатен систем, како на слика 1.

Бидејќи точката $A$ е центар на координатниот систем што го конструиравме, тогаш

Бидејќи точките $B$ и $D$ припаѓаат на оските $Ox$ и $Oy$, соодветно, тогаш

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Бидејќи точката $C$ припаѓа на рамнината $Oxy$, тогаш

Бидејќи пирамидата е правилна, тогаш $O$ е средната точка на сегментот $$. Според изјавата 2, добиваме:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Од висината $SO$

За да го користите методот на координати, треба добро да ги знаете формулите. Има три од нив:

На прв поглед изгледа заканувачки, но само малку вежбање - и сè ќе функционира одлично.

Задача. Најдете го косинусот на аголот помеѓу векторите a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Бидејќи ни се дадени координатите на векторите, ги заменуваме во првата формула:

Задача. Напишете равенка за рамнина што минува низ точките M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), ако се знае дека не поминува низ потеклото.

Решение. Општата равенка на рамнината: Ax + By + Cz + D = 0, но бидејќи саканата рамнина не поминува низ потеклото - точката (0; 0; 0) - тогаш поставуваме D = 1. Бидејќи оваа рамнина поминува преку точките M, N и K, тогаш координатите на овие точки треба да ја претворат равенката во вистинска нумеричка еднаквост.

Да ги замениме координатите на точката M = (2; 0; 1) наместо x, y и z. Ние имаме:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Слично, за точките N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) ги добиваме равенките:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Значи, имаме три равенки и три непознати. Ние го составуваме и решаваме системот на равенки:

Добивме дека равенката на рамнината има форма: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Рамнината е дадена со равенката 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Најдете ги координатите на векторот нормално на дадената рамнина.

Решение. Користејќи ја третата формула, добиваме n = (7; − 2; 4) - тоа е сè!

Пресметка на координати на вектори

Но, што ако нема вектори во проблемот - има само точки што лежат на прави линии и потребно е да се пресмета аголот помеѓу овие прави? Едноставно е: знаејќи ги координатите на точките - почетокот и крајот на векторот - можете да ги пресметате координатите на самиот вектор.

За да се најдат координатите на векторот, потребно е да се одземат координатите на почетокот од координатите на неговиот крај.

Оваа теорема работи подеднакво на рамнината и во вселената. Изразот „одземи координати“ значи дека x координатата на друга точка се одзема од x координатата на една точка, а потоа истото мора да се направи со координатите y и z. Еве неколку примери:

Задача. Во просторот има три точки, дадени со нивните координати: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Најдете ги координатите на векторите AB, AC и BC.

Размислете за векторот AB: неговиот почеток е во точката A, а неговиот крај е во точката B. Затоа, за да се најдат неговите координати, потребно е да се одземат координатите на точката A од координатите на точката B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Слично на тоа, почетокот на векторот AC сè уште е истата точка А, но крајот е точката C. Затоа, имаме:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Конечно, за да се најдат координатите на векторот BC, потребно е да се одземат координатите на точката B од координатите на точката C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Одговор: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Обрнете внимание на пресметката на координатите на последниот вектор BC: многу луѓе прават грешки кога работат со негативни броеви. Ова се однесува на променливата y: точката B има координата y = − 1, а точката C има y = 3. Добиваме точно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, како што мислат многу луѓе. Не правете такви глупави грешки!

Пресметување на вектори на насока за прави линии

Ако внимателно го прочитате проблемот C2, ќе се изненадите кога ќе откриете дека таму нема вектори. Има само прави линии и рамнини.

Да почнеме со прави линии. Тука сè е едноставно: на која било линија има најмалку две различни точки и, обратно, кои било две различни точки дефинираат една права...

Дали некој разбира што пишува во претходниот пасус? Јас сам не го разбрав, па ќе го објаснам поедноставно: во проблемот C2, линиите секогаш се дадени со пар точки. Ако воведеме координатен систем и разгледаме вектор со почеток и крај во овие точки, ќе го добиеме таканаречениот вектор за насочување за права линија:

Зошто е потребен овој вектор? Поентата е дека аголот помеѓу две прави линии е аголот помеѓу векторите на нивната насока. Така, се движиме од неразбирливи прави линии кон специфични вектори, чии координати лесно се пресметуваат. Колку лесно? Погледнете ги примерите:

Задача. Линиите AC и BD 1 се нацртани во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Најдете ги координатите на векторите на насоката на овие прави.

Бидејќи должината на рабовите на коцката не е одредена во условот, поставивме AB = 1. Да воведеме координатен систем со почеток во точката A и оските x, y, z насочени по линиите AB, AD и AA 1, соодветно. Единечниот сегмент е еднаков на AB = 1.

Сега да ги најдеме координатите на векторот на насоката за правата линија AC. Ни требаат две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Од тука ги добиваме координатите на векторот AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - ова е векторот на насоката.

Сега да се справиме со правата линија BD 1 . Исто така, има две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Го добиваме векторот на насоката BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Одговор: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. Во правилна триаголна призма ABCA 1 B 1 C 1, чиишто рабови се еднакви на 1, се нацртани прави линии AB 1 и AC 1. Најдете ги координатите на векторите на насоката на овие прави.

Воведуваме координатен систем: потеклото е во точката A, оската x се совпаѓа со AB, оската z се совпаѓа со AA 1 , y-оската ја формира рамнината OXY со оската x, која се совпаѓа со рамнината ABC .

Прво, да се справиме со правата линија AB 1 . Сè е едноставно овде: имаме точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Го добиваме векторот на насока AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Сега да го најдеме векторот на насоката за AC 1 . Сè е исто - единствената разлика е во тоа што точката C 1 има ирационални координати. Значи, A = (0; 0; 0), па имаме:

Одговор: AB 1 = (1; 0; 1);

Мала, но многу важна забелешка за последниот пример. Ако почетокот на векторот се совпадне со потеклото, пресметките се значително поедноставени: координатите на векторот се едноставно еднакви на координатите на крајот. За жал, ова важи само за вектори. На пример, при работа со авиони, присуството на потеклото на координатите на нив само ги комплицира пресметките.

Пресметка на нормални вектори за рамнини

Нормалните вектори не се вектори на кои им оди добро, или кои се чувствуваат добро. По дефиниција, нормален вектор (нормален) на рамнина е вектор нормален на дадената рамнина.

Со други зборови, нормала е вектор нормален на кој било вектор во дадена рамнина. Сигурно сте налетале на ваква дефиниција - сепак, наместо вектори, станувало збор за прави линии. Сепак, веднаш над тоа се покажа дека во проблемот C2 може да се работи со кој било пригоден објект - дури и права линија, дури и вектор.

Да ве потсетам уште еднаш дека која било рамнина е дефинирана во просторот со равенката Ax + By + Cz + D = 0, каде што A, B, C и D се некои коефициенти. Без да се намали општоста на решението, можеме да претпоставиме D = 1 ако рамнината не поминува низ потеклото, или D = 0 ако поминува. Во секој случај, координатите на нормалниот вектор на оваа рамнина се n = (A; B; C).

Значи, авионот може успешно да се замени и со вектор - истата нормала. Секоја рамнина е дефинирана во просторот со три точки. Како да ја пронајдеме равенката на авионот (а оттука и нормалната), веќе разговаравме на самиот почеток на статијата. Сепак, овој процес предизвикува проблеми за многумина, па ќе дадам уште неколку примери:

Задача. Делот A 1 BC 1 е нацртан во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Најдете го нормалниот вектор за рамнината на овој дел, ако потеклото е во точката A, а оските x, y и z се совпаѓаат со рабовите AB, AD и AA 1, соодветно.

Бидејќи рамнината не минува низ потеклото, нејзината равенка изгледа вака: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коефициент D \u003d 1. Бидејќи оваа рамнина поминува низ точките A 1, B и C 1, координатите на овие точки ја претвораат равенката на рамнината во правилна нумеричка еднаквост.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Слично, за точките B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) ги добиваме равенките:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но, коефициентите A = − 1 и C = − 1 ни се веќе познати, па останува да го најдеме коефициентот Б:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Ја добиваме равенката на рамнината: - A + B - C + 1 = 0, Според тоа, координатите на нормалниот вектор се n = (- 1; 1; - 1).

Задача. Пресекот AA 1 C 1 C е нацртан во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Најдете го нормалниот вектор за рамнината на овој дел ако почетокот е во точката A, а оските x, y и z се совпаѓаат со рабовите AB, AD и AA 1 соодветно.

Во овој случај, рамнината минува низ потеклото, па коефициентот D \u003d 0, а равенката на рамнината изгледа вака: Ax + By + Cz \u003d 0. Бидејќи рамнината минува низ точките A 1 и C, координатите на овие точки ја претвораат равенката на рамнината во правилна нумеричка еднаквост.

Да ги замениме координатите на точката A 1 = (0; 0; 1) наместо x, y и z. Ние имаме:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Слично на тоа, за точката C = (1; 1; 0) ја добиваме равенката:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Нека B = 1. Тогаш A = − B = − 1, а равенката на целата рамнина е: − A + B = 0. Според тоа, координатите на нормалниот вектор се n = (− 1; 1; 0).

Општо земено, во горенаведените проблеми потребно е да се состави систем од равенки и да се реши. Ќе има три равенки и три променливи, но во вториот случај една од нив ќе биде бесплатна, т.е. земете произволни вредности. Затоа имаме право да ставиме B = 1 - без предрасуди за општоста на решението и точноста на одговорот.

Многу често во проблемот C2 се бара да се работи со точки кои го делат сегментот на половина. Координатите на таквите точки лесно се пресметуваат ако се познати координатите на краевите на отсечката.

Значи, нека отсечката е дадена со неговите краеви - точки A \u003d (x a; y a; z a) и B \u003d (x b; y b; z b). Тогаш координатите на средината на сегментот - ја означуваме со точката H - може да се најдат со формулата:

Со други зборови, координатите на средината на сегментот се аритметичка средина на координатите на нејзините краеви.

Задача. Единечната коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставена во координатниот систем така што оските x, y и z се насочени по должината на рабовите AB, AD и AA 1 соодветно, а потеклото се совпаѓа со точката A. Точката K е средната точка на работ A 1 B еден . Најдете ги координатите на оваа точка.

Бидејќи точката K е средината на отсечката A 1 B 1 , нејзините координати се еднакви на аритметичката средина на координатите на краевите. Да ги запишеме координатите на краевите: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Сега да ги најдеме координатите на точката К:

Задача. Единечната коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е поставена во координатниот систем така што оските x, y и z се насочени по должината на рабовите соодветно AB, AD и AA 1, а потеклото се совпаѓа со точката A. Најдете ги координатите од точката L каде што сечат дијагонали на квадратот A 1 B 1 C 1 D 1 .

Од текот на планиметријата се знае дека точката на пресек на дијагоналите на квадрат е еднакво оддалечена од сите негови темиња. Особено, A 1 L = C 1 L, т.е. точката L е средната точка на отсечката A 1 C 1 . Но, A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), така што имаме:

Одговор: L = (0,5; 0,5; 1)