Video-tutorial 2: Oplossing van vierkante vergelijkingen

Lezing: Kwadratische vergelijkingen

De vergelijking

De vergelijking - Dit is een gelijkheid, in de uitdrukkingen waarvan er een variabele is.

Solve vergelijking - het betekent om een \u200b\u200bdergelijk nummer te vinden in plaats van een variabele die het naar ware gelijkheid zal leiden.

De vergelijking kan één oplossing of meerdere hebben, of niet om het te hebben.

Om elke vergelijking op te lossen, moet het gemakkelijk worden vereenvoudigd naar het formulier:

Lineair: a * x \u003d b;

Plein: a * X 2 + B * X + C \u003d 0.

Dat wil zeggen, elke vergelijking voordat de oplossing moet worden geconverteerd naar een standaardsoort.

Elke vergelijking kan op twee manieren worden opgelost: analytisch en grafisch.

Op de diagram door de vergelijking op te lossen, worden punten in aanmerking genomen waarin het schema de as oversteekt Oh.

Kwadratische vergelijkingen

De vergelijking kan vierkant worden genoemd als het het beeld verwerft wanneer vereenvoudigd:

a * X 2 + B * X + C \u003d 0.

Waarin a, B, C zijn coëfficiënten van vergelijking die verschillen van nul. MAAR "X" - Wortel van de vergelijking. Er wordt aangenomen dat de vierkante vergelijking twee wortels heeft of helemaal geen oplossingen heeft. De verkregen wortels kunnen hetzelfde zijn.

"maar" - de coëfficiënt die vóór de root op het plein staat.

"B" - Het is eerder onbekend in de eerste graad.

"van" - gratis lid van de vergelijking.

Als we bijvoorbeeld de vergelijking van het formulier hebben:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

Daarin is "2" een coëfficiënt met een hoger lid van de vergelijking, "-5" - de tweede coëfficiënt en "3" - een vrij lid.

Oplossing van de vierkante vergelijking

Er zijn een enorme reeks manieren om een \u200b\u200bvierkante vergelijking op te lossen. In het schoolverloop van de wiskunde wordt de oplossing echter bestudeerd op de stelling van de Vieta, evenals met de hulp van discriminant.

Besluit over discriminant:

Bij het oplossen van het gebruik van deze methode is het noodzakelijk om de discriminant door de formule te berekenen:

Als u, wanneer berekeningen, dat u hebt verkregen dat de discriminant minder is dan nul, betekent dit dat deze vergelijking geen oplossingen heeft.

Als de discriminant nul is, heeft de vergelijking twee identieke oplossingen. In dit geval kan het polynoom worden ingestort door de formule van de verkorte vermenigvuldiging in het vierkant van het bedrag of verschil. Daarna, om het op te lossen, als een lineaire vergelijking. Of profiteer van de formule:

Als de discriminant groter is dan nul, dan is het noodzakelijk om de volgende methode te gebruiken:

Vieta Theorem

Als de vergelijking wordt gegeven, is dat, de coëfficiënt in het senior lid gelijk aan één, dan kunt u gebruiken vieta Theorem.

Stel dus dat de vergelijking eruit ziet:

De wortels van de vergelijking zijn als volgt:

Onvolledige vierkante vergelijking

Er zijn verschillende opties voor het verkrijgen van een onvolledige vierkante vergelijking, het type dat afhangt van de aanwezigheid van coëfficiënten.

1. Als de tweede en derde coëfficiënt nul is (B \u003d 0, c \u003d 0)De vierkante vergelijking zal kijken naar:

Deze vergelijking heeft een enkele oplossing. Gelijkheid is alleen correct wanneer de vergelijking nul is als een oplossing.

Vierkante vergelijking - het is eenvoudig opgelost! * Volgende in de tekst "KU".Vrienden schijnbaar, het kan gemakkelijker in de wiskunde zijn dan een oplossing voor een dergelijke vergelijking. Maar iets suggereerde me dat velen problemen met hem hebben. Ik besloot om te zien hoeveel indrukken op aanvraag per maand Yandex geeft. Dat is wat er is gebeurd, zie:

Wat betekent het? Dit betekent dat ongeveer 70.000 mensen op zoek zijn naar deze informatie per maand, wat is deze zomer, en wat er een van het schooljaar zal zijn - verzoeken zullen twee keer zoveel zijn. Het is niet verrassend, omdat die jongens en meisjes die al lang zijn afgestudeerd aan school en voorbereiden op het examen, ze op zoek zijn naar deze informatie, en schoolkinderen proberen het in het geheugen te vernieuwen.

Ondanks het feit dat er veel sites zijn waar het is beschreven hoe deze vergelijking op te lossen, besloot ik mijn bijdrage te leveren en het materiaal te publiceren. Ten eerste wil ik naar mijn site komen voor dit verzoek en kwamen bezoekers naar mijn site; Ten tweede, in andere artikelen, wanneer de speech van "KU" een verwijzing naar dit artikel zal verwijzen; Ten derde zal ik je vertellen over zijn beslissing enigszins dan meestal op andere sites. Baister!De inhoud van het artikel:

De vierkante vergelijking is de vergelijking van het formulier:

waar de coëfficiënten ab. en met willekeurige aantallen, met iets ≠ 0.

In de schoolcursus wordt het materiaal gegeven in de volgende vorm - de scheiding van vergelijkingen per drie klassen is voorwaardelijk gedaan:

1. Heb twee wortels.

2. * Er zijn slechts één wortel.

3. Heb geen wortels. Het is het vermelden waard hier dat ze geen geldige wortels hebben

Hoe worden wortels berekend? Gewoon!

Bereken de discriminant. Onder dit "verschrikkelijke" woord ligt vrij eenvoudige formule:

De wortelformules hebben de volgende vorm:

* Deze formules moeten het kennen van het hart.

U kunt onmiddellijk schrijven en beslissen:

Voorbeeld:

1. Als D\u003e 0, heeft de vergelijking twee wortels.

2. Als D \u003d 0, heeft de vergelijking één wortel.

3. Als D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Laten we kijken naar de vergelijking:

Bij deze gelegenheid, wanneer de discriminant nul is, wordt in de schoolopleiding gezegd dat een wortel blijkt, hier is het gelijk aan negen. Dat klopt en er is, maar ...

Deze weergave is enigszins onjuist. In feite worden twee wortels verkregen. Ja, wees niet verrast, twee gelijke wortels worden verkregen, en als u wiskundig accuraat bent, moeten twee wortels worden vastgelegd in het antwoord:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Maar dit is zo een lichte retraite. Op school kan schrijven en zeggen dat de wortel er een is.

Nu is het volgende voorbeeld:

Zoals we weten, wordt de wortel van het negatieve getal niet verwijderd, dus er is in dit geval geen oplossingen.

Dat is het hele oplossingsproces.

Kwadratische functie.

Hier wordt getoond hoe de oplossing er geometrisch uitziet. Het is uiterst belangrijk om te begrijpen (in de toekomst, in een van de artikelen, zullen we de oplossing van vierkante ongelijkheid in detail demonteren).

Dit is de functie van het formulier:

waar x en y variabelen zijn

a, B, C - Set nummers, met wat een ≠ 0

Het schema is parabola:

Dat wil zeggen, het blijkt dat het bepalen van de vierkante vergelijking bij "y" gelijk aan nul, we vinden het moment van kruising van de parabool met de as Oh. Deze punten kunnen twee (discriminant positief) zijn, één (discriminant is nul) en geen enkele (negatieve discriminant). Detail over de kwadratische functie je kunt bekijken Inna Feldman-artikel.

Overweeg voorbeelden:

Voorbeeld 1: Los 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 B \u003d 8 C \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Antwoord: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Het was mogelijk om onmiddellijk links en rechts van de vergelijking te verdelen 2, dat wil zeggen, om het te vereenvoudigen. Berekeningen zijn eenvoudiger.

Voorbeeld 2: Besluiten x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Verkregen die x 1 \u003d 11 en x 2 \u003d 11

In respons is het toegestaan \u200b\u200bom X \u003d 11 te schrijven.

Antwoord: x \u003d 11

Voorbeeld 3: Besluiten x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

De discriminant is negatief, er zijn geen oplossingen in geldige nummers.

Antwoord: Geen oplossingen

De discriminant is negatief. De oplossing is!

Hier wordt het besproken over het oplossen van de vergelijking in het geval wanneer een negatieve discriminant wordt verkregen. Kent u iets over geïntegreerde nummers? Ik zal niet in detail praten over waarom en waar ze ontstonden en wat hun specifieke rol is en de behoefte aan wiskunde is het onderwerp voor een groot afzonderlijk artikel.

Het concept van een complex getal.

Een beetje theorie.

Complex nummer Z genaamd het aantal soorten

z \u003d a + bi

waar A en B geldige nummers zijn, I - de zogenaamde denkbeeldige eenheid.

a + BI - Dit is een enkel nummer, geen toevoeging.

De imaginaire eenheid is gelijk aan de wortel van min-eenheden:

Overweeg nu de vergelijking:

Ontving twee conjugaatwortels.

Een onvolledige vierkante vergelijking.

Overweeg privécases, dit is wanneer de coëfficiënt "B" of "C" nul is (of beide zijn nul). Ze zijn gemakkelijk opgelost zonder discriminanten.

Case 1. De coëfficiënt B \u003d 0.

De vergelijking verwerft het formulier:

Wij transformeren:

Voorbeeld:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Case 2. C \u003d 0 coëfficiënt.

De vergelijking verwerft het formulier:

Wij transformeren, legen op multipliers:

* Het werk is nul wanneer ten minste één van de vermenigvuldigers nul is.

Voorbeeld:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 of x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Case 3. De coëfficiënten B \u003d 0 en C \u003d 0.

Het is hier duidelijk dat de oplossing van de vergelijking altijd x \u003d 0 zal zijn.

Nuttige eigenschappen en patronen van coëfficiënten.

Er zijn eigenschappen die het oplossen van vergelijkingen met grote coëfficiënten.

maarx. 2 + bX.+ c.=0 Gelijkheid wordt uitgevoerd

eEN. + b. + C \u003d 0,dat

- indien voor de coëfficiënten van de vergelijking maarx. 2 + bX.+ c.=0 Gelijkheid wordt uitgevoerd

eEN. + C \u003d.b., dat

Deze eigenschappen helpen een bepaald type vergelijking op te lossen.

Voorbeeld 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

De som van de coëfficiënten is 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, het betekent

Voorbeeld 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Gelijkheid wordt uitgevoerd eEN. + C \u003d.b., Zo

Wetten van coëfficiënten.

1. Indien in de AX 2 + BX + C \u003d 0 -vergelijking, is de coëfficiënt "B" gelijk aan (een 2 +1), en de coëfficiënt "C" is numeriek gelijk aan de coëfficiënt "A", zijn roots gelijk aan de coëfficiënt

aX 2 + (A 2 +1) ∙ X + A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -A x 2 \u003d -1 / a.

Voorbeeld. Overweeg Vergelijking 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Indien in de AX 2 - BX + C \u003d 0 -vergelijking, is de coëfficiënt "B" gelijk aan (en 2 +1), en de coëfficiënt "C" is numeriek gelijk aan de coëfficiënt "A", zijn roots gelijk aan de coëfficiënt

aX 2 - (A 2 +1) ∙ X + A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Overweeg vergelijking 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Indien in de vergelijkingaX 2 + BX - C \u003d 0 De coëfficiënt "B" gelijk (een 2 - 1), en de coëfficiënt "C" numeriek gelijk aan de coëfficiënt "A", dan zijn zijn wortels gelijk

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / a.

Voorbeeld. Overweeg Vergelijking 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Indien in de AX 2 - BX - C \u003d 0 vergelijking, is de coëfficiënt "B" gelijk aan (een 2 - 1), en de coëfficiënt is numeriek gelijk aan de coëfficiënt van "A", zijn de wortels gelijk

aX 2 - (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d - 1 / a.

Voorbeeld. Overweeg vergelijking 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta theorem.

De Vieta Theorem wordt genoemd door de naam van de beroemde Franse wiskunde Francois Vieta. Met behulp van de Vieta-stelling, kunt u het bedrag en het product van de wortels van willekeurige KU door zijn coëfficiënten uiten.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kortom, het nummer 14 wordt slechts 5 en 9 gegeven. Dit zijn wortels. Met een bepaalde vaardigheid, met behulp van de stelling die door vele vierkante vergelijkingen wordt weergegeven, kunt u beslissen of het oraal kan komen.

Vieta theorem, behalve. Het is handig omdat na het oplossen van de vierkante vergelijking op de gebruikelijke manier (door discriminant), de verkregen wortels kunnen worden gecontroleerd. Ik raad aan het altijd te doen.

Methode van passeren

In deze methode wordt de coëfficiënt "A" vermenigvuldigd met een vrij lid, alsof "beweegt" naar hem, dus het wordt genoemd de methode van "transit".Deze methode wordt gebruikt wanneer u gemakkelijk de wortels van de vergelijking kunt vinden met behulp van de Vieta-stelling en, het belangrijkste, wanneer de discriminant een nauwkeurig vierkant is.

Als een maar± b + C.≠ 0, Dan wordt de receptie gebruikt, bijvoorbeeld:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Door de Vieta-stelling in vergelijking (2) is het gemakkelijk om te bepalen dat x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

De verkregen wortels van de vergelijking moeten worden verdeeld in 2 (zoals de tweemaal van x 2 "werd verplaatst), verkrijgen we

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Wat is de rechtvaardiging? Kijk wat er gebeurt.

Discriminantenvergelijkingen (1) en (2) zijn gelijk:

Als u naar de wortels van vergelijkingen kijkt, worden alleen verschillende noemers verkregen en is het resultaat afhankelijk van de coëfficiënt op x 2:

De tweede (gemodificeerde) wortels worden 2 keer meer verkregen.

Daarom het resultaat en deel door 2.

* Als we een reis gooien, wordt het resultaat gescheiden door 3, enz.

Antwoord: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Sq. Ur-gij en ir.

Ik zal over zijn belang zeggen - je zou snel moeten kunnen oplossen en zonder na te denken, de formules van de wortels en discriminant die je nodig hebt om te weten. Zeer veel taken die zijn opgenomen in de taken van het gebruik worden gereduceerd tot het oplossen van een vierkante vergelijking (geometrisch inclusief).

Wat te vieren!

1. De vorm van opnamevergiftiging kan "impliciet" zijn. Dit item is bijvoorbeeld mogelijk:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 of 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 of 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

U moet het naar het standaardformulier brengen (om niet in de war te komen bij het oplossen).

2. Vergeet niet dat X een onbekende waarde is en deze kan worden aangegeven met een andere letter-t, q, p, h en andere.

Eerste level

Kwadratische vergelijkingen. Uitputte gids (2019)

In termen van "vierkante vergelijking" is de sleutel het woord "vierkant". Dit betekent dat de variabele aanwezig moet zijn in de vergelijking (dezelfde IX) op het vierkant, en er zou geen IC's moeten zijn in de derde (en grotere) graad.

De oplossing van veel vergelijkingen wordt verminderd tot het oplossen van nauwkeurige vierkante vergelijkingen.

Laten we leren bepalen dat we een vierkante vergelijking hebben, en niet andere.

Voorbeeld 1.

Elk lid van de vergelijking op de noemer en de dominariteit zal zich afmaken

We brengen alles over naar de linker- en plaatsleden in aflopende volgorde van graden van ICA

Nu kunt u met vertrouwen zeggen dat deze vergelijking vierkant is!

Voorbeeld 2.

Binnenlandse linker en rechterkant op:

Deze vergelijking, hoewel het oorspronkelijk in was, is niet vierkant!

Voorbeeld 3.

Alles op:

Eng? De vierde en tweede graad ... echter, als we vervangen, dan zullen we zien dat we een eenvoudige vierkante vergelijking hebben:

Voorbeeld 4.

Het lijkt te zijn, maar laten we er aandachtig uitzien. We brengen alles naar links over:

Zie, afgenomen - en nu is het een eenvoudige lineaire vergelijking!

Probeer nu te bepalen welke van de volgende vergelijkingen vierkant is en welke NO:

Voorbeelden:

Antwoorden:

1. plein;
2. plein;
3. niet vierkant;
4. niet vierkant;
5. niet vierkant;
6. plein;
7. niet vierkant;
8. plein.

Wiskunde verdelen conventioneel alle vierkante vergelijkingen op het type:

• Volledige vierkante vergelijkingen - Vergelijkingen waarin coëfficiënten en, evenals een vrij lid niet gelijk zijn aan nul (zoals in het voorbeeld). Bovendien, tussen volledige vierkante vergelijkingen toewijzen gepresenteerd - Dit zijn vergelijkingen waarin de coëfficiënt (vergelijking van het voorbeeld is niet alleen voltooid, maar ook gegeven!)

• Onvolledige vierkante vergelijkingen - Vergelijkingen waarin de coëfficiënt en het vrije lid nul is:

  Onvolledig, omdat ze geen soort item hebben. Maar de vergelijking moet altijd aanwezig zijn op het plein !!! Anders zal het niet vierkant zijn, maar een andere vergelijking.

Waarom heb je zo'n divisie gekomen? Het lijkt erop dat er x op het plein is en oké. Een dergelijke divisie is te wijten aan de methoden van oplossingen. Overweeg elk van hen in meer detail.

Besluit van onvolledige vierkante vergelijkingen

Om te beginnen, zullen we stoppen met het oplossen van onvolledige vierkante vergelijkingen - ze zijn veel eenvoudiger!

Onvolledige vierkante vergelijkingen zijn typen:

1. In deze vergelijking is de coëfficiënt gelijk.
2. In deze vergelijking is een vrij lid gelijk.
3. In deze vergelijking zijn de coëfficiënt en het vrije deel gelijk.

1. en. Net als we weten hoe ze een vierkantswortel moeten extraheren, laten we uiten van deze vergelijking

De uitdrukking kan zowel negatief als positief zijn. Het getal dat in het plein is opgericht, kan niet negatief zijn, omdat met het vermenigvuldigen met twee negatieve of twee positieve nummers - het resultaat altijd een positief getal zal zijn, zodat als, de vergelijking geen oplossingen heeft.

En als je twee wortels krijgt. Deze formules hoeven niet te onthouden. Het belangrijkste wat je moet weten en onthouden altijd dat het misschien niet minder is.

Laten we proberen een paar voorbeelden op te lossen.

Voorbeeld 5:

Beslis vergelijking

Nu moet het van links en rechts worden verwijderd. We herinner je tenslotte hoe je wortels kunt extraheren?

Antwoord:

Vergeet nooit wortels met een negatief teken !!!

Voorbeeld 6:

Beslis vergelijking

Antwoord:

Voorbeeld 7:

Beslis vergelijking

Oh! Het vierkant van het aantal kan niet negatief zijn, wat de vergelijking betekent

geen wortels!

Voor dergelijke vergelijkingen waarin er geen wortels zijn, kwam wiskunde met een speciaal pictogram - (lege set). En het antwoord kan worden geschreven als:

Antwoord:

Zo heeft deze vierkante vergelijking twee wortels. Er zijn hier geen beperkingen, omdat we de root niet hebben verwijderd.
Voorbeeld 8:

Beslis vergelijking

Ik zal de haakjes samenvatten:

Op deze manier,

Deze vergelijking heeft twee wortels.

Antwoord:

Het gemakkelijkste type onvolledige vierkante vergelijkingen (hoewel ze allemaal eenvoudig zijn, toch?). Uiteraard heeft deze vergelijking altijd maar één root:

Hier zullen we zonder voorbeelden doen.

Volledige vierkante vergelijkingen oplossen

We herinneren u eraan dat de volledige vierkante vergelijking de vergelijking is van de vergelijking waar

De oplossing van complete vierkante vergelijkingen is een beetje ingewikkelder (zeer enigszins) dan het bovenstaande.

Onthouden, elke vierkante vergelijking kan worden opgelost met behulp van discriminant! Zelfs onvolledig.

De rest van de wegen zal het sneller helpen, maar als je problemen hebt met vierkante vergelijkingen, om mee te beginnen, wordt de oplossing genoemd met de hulp van discriminant.

1. De oplossing van vierkante vergelijkingen met behulp van discriminatuur.

De oplossing van vierkante vergelijkingen op deze manier is heel eenvoudig, het belangrijkste is om de reeks acties en een paar formules te onthouden.

Als de vergelijking een wortel van bijzondere aandacht heeft om een \u200b\u200bstap te betalen. Discriminant () geeft ons aan op het aantal wortels van de vergelijking.

• Als, dan wordt de formule gereduceerd tot. Dus de vergelijking heeft een hele wortel.
• Als we de oorzaak van de discriminant in stap niet kunnen extraheren. Dit geeft aan dat de vergelijking geen wortels heeft.

Laten we terugkeren naar onze vergelijkingen en overweeg verschillende voorbeelden.

Voorbeeld 9:

Beslis vergelijking

Stap 1 We slaan over.

Stap 2.

We vinden discriminant:

Dus de vergelijking heeft twee wortels.

Stap 3.

Antwoord:

Voorbeeld 10:

Beslis vergelijking

De vergelijking wordt in een standaardformulier gepresenteerd, dus Stap 1 We slaan over.

Stap 2.

We vinden discriminant:

Dus de vergelijking heeft één wortel.

Antwoord:

Voorbeeld 11:

Beslis vergelijking

De vergelijking wordt in een standaardformulier gepresenteerd, dus Stap 1 We slaan over.

Stap 2.

We vinden discriminant:

Het kan de oorzaak van de discriminant niet extraheren. De wortels van de vergelijking bestaan \u200b\u200bniet.

Nu weten we hoe ze dergelijke antwoorden op de juiste manier moeten schrijven.

Antwoord:Geen wortels

2. Oplossing van vierkante vergelijkingen met behulp van de Vieta-stelling.

Als u zich herinnert, dat wil zeggen, zo'n soort vergelijkingen dat wordt gepresenteerd (wanneer de coëfficiënt A gelijk is aan):

Dergelijke vergelijkingen zijn heel gemakkelijk op te lossen met behulp van de Vieta Theorem:

De som van de wortels gespecificeerd De vierkante vergelijking is gelijk en het product van de wortels is gelijk.

Voorbeeld 12:

Beslis vergelijking

Deze vergelijking is geschikt voor het oplossen van de Vieta-stelling, omdat .

Het bedrag van de wortels van de vergelijking is gelijk, d.w.z. We krijgen de eerste vergelijking:

En het werk is:

We zullen ook het systeem bepalen:

• en. Het bedrag is gelijk;
• en. Het bedrag is gelijk;
• en. Het bedrag is gelijk.

en zijn de oplossing van het systeem:

Antwoord: ; .

Voorbeeld 13:

Beslis vergelijking

Antwoord:

Voorbeeld 14:

Beslis vergelijking

De vergelijking wordt gegeven en daarom:

Antwoord:

Kwadratische vergelijkingen. GEMIDDELD NIVEAU

Wat is een vierkante vergelijking?

Met andere woorden, de vierkante vergelijking is de vergelijking van de soort waarbij het onbekende sommige aantallen is, en.

Het nummer wordt ouderling of eerste coëfficiënt vierkante vergelijking - de tweede coëfficiënt, maar - gratis lid.

Waarom? Omdat als de vergelijking onmiddellijk lineair wordt, omdat verdwijnen.

Tegelijkertijd, en kan nul zijn. In deze kruk wordt de vergelijking onvolledig genoemd. Als alle componenten aanwezig zijn, is dat is de vergelijking voltooid.

Oplossingen van verschillende soorten vierkante vergelijkingen

Methoden voor het oplossen van onvolledige vierkante vergelijkingen:

Om te beginnen zullen we de methoden van oplossingen van onvolledige vierkante vergelijkingen analyseren - ze zijn gemakkelijker.

U kunt het type van dergelijke vergelijkingen selecteren:

I. In deze vergelijking zijn de coëfficiënt en het vrije orgaan gelijk.

II. In deze vergelijking is de coëfficiënt gelijk.

III. In deze vergelijking is een vrij lid gelijk.

Overweeg nu de oplossing van elk van deze subtypes.

Uiteraard heeft deze vergelijking altijd maar één root:

Het getal dat in het vierkant is opgericht, kan niet negatief zijn, omdat met het vermenigvuldigen met twee negatieve of twee positieve nummers, het resultaat altijd een positief aantal is. Daarom:

als de vergelijking geen oplossingen heeft;

als we twee wortels hebben geleerd

Deze formules hoeven niet te onthouden. Het belangrijkste om te onthouden dat het misschien niet minder is.

Voorbeelden:

Oplossingen:

Antwoord:

Vergeet nooit wortels met een negatief teken!

Het vierkant van het aantal kan niet negatief zijn, wat de vergelijking betekent

geen wortels.

Om kort op te nemen dat de taak geen oplossingen heeft, gebruik dan een leeg set-pictogram.

Antwoord:

Deze vergelijking heeft dus twee wortels: en.

Antwoord:

Ik zal de fabriek voor haakjes samenvatten:

Het product is nul, als ten minste één van de vermenigvuldigers nul is. Dit betekent dat de vergelijking een oplossing heeft wanneer:

Dus deze vierkante vergelijking heeft twee wortels: en.

Voorbeeld:

Beslis vergelijking.

Besluit:

Verspreid het linkerdeel van de fabrieksvergelijking en vind de wortels:

Antwoord:

Methoden voor het oplossen van volledige vierkante vergelijkingen:

1. Discriminant

Het oplossen van vierkante vergelijkingen op deze manier eenvoudig, het belangrijkste is om de reeks acties en een paar formules te onthouden. Vergeet niet dat elke vierkante vergelijking kan worden opgelost met behulp van discriminant! Zelfs onvolledig.

Heb je de oorzaak van de discriminant in de wortelformule opgemerkt? Maar de discriminant kan negatief zijn. Wat moeten we doen? We moeten speciale aandacht besteden aan stap 2. De discriminant geeft ons aan op het aantal wortels van de vergelijking.

• Als de vergelijking een root heeft:
• Als de vergelijking dezelfde root heeft, en in feite één root:

  Dergelijke wortels worden dubbel genoemd.

• Als de wortel van de discriminant niet wordt verwijderd. Dit geeft aan dat de vergelijking geen wortels heeft.

Waarom is het mogelijk om een \u200b\u200bander aantal wortels? Laten we ons wenden tot de geometrische betekenis van de vierkante vergelijking. De functie Grafiek is Parabola:

In een bepaald geval, wat een vierkante vergelijking is. En dit betekent dat de wortels van de vierkante vergelijking de punten van kruising zijn met de as van de abscis (as). Parabola kan de as helemaal niet oversteken, of het oversteken in één (wanneer de bovenkant van de parabola op de as ligt) of twee punten.

Bovendien is een coëfficiënt verantwoordelijk voor de richting van de takken van de parabool. Als de parabola-takken naar boven zijn gericht, en als deze down is.

Voorbeelden:

Oplossingen:

Antwoord:

Antwoord:.

Antwoord:

Dus er zijn geen oplossingen.

Antwoord:.

2. Vieta theorem

De stelling van Vieta is zeer eenvoudig te gebruiken: u hoeft zo'n aantal cijfers alleen maar op te pakken, waarvan het product gelijk is aan een vrij lid van de vergelijking, en de hoeveelheid is de tweede coëfficiënt die met het tegenovergestelde teken is genomen.

Het is belangrijk om te onthouden dat de theorem van de Vieta alleen kan worden gebruikt verlaagde vierkante vergelijkingen ().

Overweeg een paar voorbeelden:

Voorbeeld nummer 1:

Beslis vergelijking.

Besluit:

Deze vergelijking is geschikt voor het oplossen van de Vieta-stelling, omdat . De resterende coëfficiënten:; .

Het bedrag van de wortels van de vergelijking is:

En het werk is:

We zullen dergelijke paren van cijfers selecteren, waarvan het product gelijk is en controleert of hun som gelijk is:

• en. Het bedrag is gelijk;
• en. Het bedrag is gelijk;
• en. Het bedrag is gelijk.

en zijn de oplossing van het systeem:

Dus de wortels van onze vergelijking.

Antwoord:; .

Voorbeeld nummer 2:

Besluit:

We zullen dergelijke aantal nummers selecteren die in het werk worden gegeven en controleren of hun som gelijk is:

en: in het bedrag dat ze geven.

en: in het bedrag dat ze geven. Om genoeg te krijgen om de tekenen van de vermeende wortels te veranderen: en, omdat het werk.

Antwoord:

Voorbeeld nummer 3:

Besluit:

Het vrije lid van de vergelijking is negatief, wat het product van de wortels betekent - een negatief getal. Dit is alleen mogelijk als een van de wortels negatief is, en de andere is positief. Daarom is het bedrag van de wortels gelijk de verschillen van hun modules.

We zullen dergelijke paren van cijfers selecteren die in het werk worden gegeven, en het verschil van wat gelijk is aan:

en: hun verschil is gelijk - niet geschikt;

en: - niet geschikt;

en: - niet geschikt;

en: - Geschikt. Het blijft alleen om te onthouden dat een van de wortels negatief is. Aangezien hun bedrag gelijk moet zijn, moet een negatief een kleinere rootmodule zijn :. Controleren:

Antwoord:

Voorbeeld nummer 4:

Beslis vergelijking.

Besluit:

De vergelijking wordt gegeven en daarom:

Het vrije lid is negatief, en daarom is het product van de wortels negatief. En dit is alleen mogelijk wanneer een wortel van de vergelijking negatief is, en de andere is positief.

We zullen dergelijke cijfers selecteren, waarvan het product gelijk is, en dan definiëren we welke wortels een negatief teken moeten hebben:

Uiteraard zijn alleen de wortels geschikt voor de eerste voorwaarde en:

Antwoord:

Voorbeeld nummer 5:

Beslis vergelijking.

Besluit:

De vergelijking wordt gegeven en daarom:

Het bedrag van de wortels is negatief, wat betekent dat ten minste één van de wortels negatief is. Maar omdat hun werk positief is, betekent dit zowel wortels met een minteken.

We zullen dergelijke paren van cijfers selecteren, waarvan het product is:

Uiteraard zijn de wortels cijfers en.

Antwoord:

Mee eens, het is erg handig - om wortels in te vinden, in plaats van deze nare discriminant te overwegen. Probeer zoveel mogelijk de theorem van de Vieta te gebruiken.

Maar de Vieta-stelling is nodig om de bevinding van de wortels te faciliteren en te versnellen. Om het te helpen om het te gebruiken, moet u actie ondernemen aan het automatisme. En hiervoor laster meer hielen van voorbeelden. Maar geen schalen: de discriminant kan niet worden gebruikt! Alleen Vieta Theorem:

Taakoplossingen voor onafhankelijk werk:

Taak 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Op de Vieta Theorem:

Zoals gewoonlijk beginnen we de selectie van het werk:

Past niet omdat het bedrag;

: Bedrag - wat je nodig hebt.

Antwoord:; .

TAAK 2.

En nogmaals, onze favoriete Vieta-stelling: in het bedrag zou moeten blijken, en het werk is gelijk.

Maar aangezien het niet zou moeten zijn, maar de tekenen van de wortels veranderen: en (in het bedrag).

Antwoord:; .

TAAK 3.

Hmm ... en waar is wat?

Het is noodzakelijk om alle voorwaarden in één deel over te dragen:

Het bedrag van de wortels is gelijk, het werk.

Dus stop! De vergelijking wordt niet gegeven. Maar de Vieta-stelling is alleen van toepassing in de bovenstaande vergelijkingen. Dus eerst moet je de vergelijking brengen. Als u niet werkt, gooit u dit idee en besluit op een andere manier (bijvoorbeeld door discriminant). Laat me je eraan herinneren die de vierkante vergelijking brengt - het betekent om een \u200b\u200bsenior coëfficiënt te maken om:

Uitstekend. Dan is het bedrag van de wortels gelijk en het werk.

Hier is het gemakkelijker om eenvoudig op te halen: immers een eenvoudig nummer (sorry voor tautology).

Antwoord:; .

TAAK 4.

Gratis lid is negatief. Wat is er speciaal hierin? En het feit dat de wortels verschillende tekenen zijn. En nu tijdens de selectie, controleren we het bedrag van de wortels niet, maar het verschil tussen hun modules: dit verschil is gelijk en het werk.

Dus de wortels zijn gelijk en, maar een van hen met een min. De Vieta-stelling vertelt ons dat het bedrag van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, dat is. Dus minus zal op een kleinere root zijn: en sinds.

Antwoord:; .

TAAK 5.

Wat moet er eerst worden gedaan? Rechts, breng de vergelijking:

Nogmaals: we selecteren de multipliers van het nummer en hun verschil moet gelijk zijn:

De wortels zijn gelijk en, maar een van hen met een min. Wat? Hun bedrag moet gelijk zijn, het betekent dat de min grotere wortel zal zijn.

Antwoord:; .

Ik zal samenvatten:

1. Vieta Theorem wordt alleen gebruikt in de gegeven vierkante vergelijkingen.
2. Met behulp van de Vieta Theorem vindt u de wortels door de selectie, oraal.
3. Als de vergelijking niet wordt gegeven of er geen geschikt paar vermenigvuldigers van een vrij lid is, wat betekent dat er geen hele wortels zijn, en het is noodzakelijk om een \u200b\u200bandere methode (bijvoorbeeld door discriminant) op te lossen.

3. Werkwijze voor de toewijzing van een volledig vierkant

Als alle termen die een onbekende omvatten, in de vorm van de componenten van de verkorte vermenigvuldiging van de som van het bedrag of het verschil, dan na het vervangen van de variabelen, kan een vergelijking in de vorm van een onvolledige vierkante vergelijking van het type worden weergegeven, worden weergegeven .

Bijvoorbeeld:

Voorbeeld 1:

Beslis vergelijking :.

Besluit:

Antwoord:

Voorbeeld 2:

Beslis vergelijking :.

Besluit:

Antwoord:

Over het algemeen ziet de transformatie er als volgt uit:

Dit houdt in: .

Niets herinnert eraan? Dit is de discriminant! Dat is het, de formule van de discriminant en kreeg.

Kwadratische vergelijkingen. Kort over het belangrijkste ding

Kwadratische vergelijking- Dit is de vergelijking van de soort, waar - het onbekende, - de coëfficiënten van de vierkante vergelijking, een vrij lid is.

Volledige vierkante vergelijking - Vergelijking waarin de coëfficiënten niet gelijk zijn aan nul.

De verminderde vierkante vergelijking - Vergelijking waarin de coëfficiënt, dat is :.

Onvolledige vierkante vergelijking - Vergelijking waarin de coëfficiënt en het vrije lid nul is:

• als de coëfficiënt, is de vergelijking :,
• als een gratis lid, heeft de vergelijking het formulier:,
• als de vergelijking het formulier heeft :.

1. Algoritme oplossen onvolledige vierkante vergelijkingen

1.1. Een onvolledige vierkante vergelijking van de soort waar,:

1) Druk het onbekende uit:

2) Het teken van expressie controleren:

• als de vergelijking geen oplossingen heeft,
• als de vergelijking twee wortels heeft.

1.2. Een onvolledige vierkante vergelijking van de soort waar,:

1) Ik zal de fabriek voor haakjes samenvatten:

2) Het product is nul, als ten minste één van de vermenigvuldigers nul is. Daarom heeft de vergelijking twee wortels:

1.3. Een onvolledige vierkante vergelijking van de soort, waar:

Deze vergelijking heeft altijd slechts één root :.

2. Algoritme voor het oplossen van volledige vierkante vergelijkingen van de soort waar

2.1. Oplossing met behulp van discriminant

1) Wij geven de vergelijking aan het standaardformulier:,

2) Bereken de discriminant volgens de formule: die het aantal wortels van de vergelijking aangeeft:

3) Zoek de wortels van de vergelijking:

• als de vergelijking een root heeft die in de formule is:
• als de vergelijking de root heeft, die door de formule is:
• als de vergelijking geen wortels heeft.

2.2. Oplossing met behulp van de Vieta-stelling

De som van de wortels van de gereduceerde vierkante vergelijking (vergelijking van de vorm, waar) is gelijk, en het product van de wortels is gelijk, d.w.z. , maar.

2.3. Het oplossen van een volledige vierkante toewijzingsmethode

Eenvoudig. Volgens formules en duidelijk eenvoudige regels. In de eerste fase

het is noodzakelijk voor de gespecificeerde vergelijking tot het standaardformulier, d.w.z. In het ergste:

Als de vergelijking in dit formulier wordt gegeven - is de eerste fase niet nodig. Het belangrijkste is goed

bepaal alle coëfficiënten maar, b. en c..

De formule voor het vinden van de wortels van de vierkante vergelijking.

De uitdrukking onder het teken van de root wordt genoemd discriminant . Zoals je kunt zien, voor het vinden van Iqua, wij

gebruik makend van alleen A, B en met. Die. Coëfficiënten uit vierkante vergelijking. Gewoon netjes gesubstitueerd

waarden a, B en met In deze formule en we overwegen. Substituut dus ondeugend Tekens!

bijvoorbeeld, in vergelijking:

maar =1; b. = 3; c. = -4.

We vervangen de waarden en schrijven:

Een voorbeeld is praktisch opgelost:

Dit is het antwoord.

De meest voorkomende fouten - verwarring met tekenen van waarden a, B.en van. Eerder, met een substitutie

negatieve waarden in de wortelberekeningsformule. Hier depass een gedetailleerde invoer van de formule

met specifieke nummers. Als er problemen zijn met computing, doe het dan!

Stel dat het noodzakelijk is om een \u200b\u200bdergelijk voorbeeld op te lossen:

Hier eEN. = -6; b. = -5; c. = -1

We beschrijven alles in detail, zorgvuldig, ik mis niets met alle tekens en beugels:

Vaak zien vierkante vergelijkingen iets anders. Zo, zoals dit:

En neem nu rekening met praktische technieken die het aantal fouten drastisch verminderen.

Ontvangst eerst. Wees niet eerder lui door een vierkante vergelijking op te lossen breng het naar het standaardformulier.

Wat betekent dit?

Stel dat u na alle transformaties zo'n vergelijking hebt ontvangen:

Haast je niet om de wortelformule te schrijven! Bijna waarschijnlijk verwar je de coëfficiënten a, B en S.

Bouw een voorbeeld correct. Ten eerste is X op het plein, dan zonder een vierkant, dan een gratis lul. Soortgelijk:

Ontdoen van min. Hoe? Het is noodzakelijk om de gehele vergelijking op -1 te vermenigvuldigen. We krijgen:

Maar nu kunt u de formule voor de wortels veilig opnemen, rekening houden met de discriminant en het voorbeeld.

Dore jezelf. Je moet wortels 2 en -1 hebben.

Receptie twee. Controleer de wortels! Door vieta Theorem.

Om de vermelde vierkante vergelijkingen op te lossen, d.w.z. Als de coëfficiënt

x 2 + BX + C \u003d 0,

dan x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b.

Voor een complete vierkante vergelijking waarin a ≠ 1.:

x 2 +.b.x +.c.=0,

we verdelen alle vergelijking op maar:

→ →

waar x 1 en x. 2 - Roots-vergelijking.

Derde. Als er fractionele coëfficiënten in uw vergelijking zijn, - Weg van fracties af! Dom

vergelijking op een gemeenschappelijke noemer.

Uitvoer. Praktische tips:

1. Voordat we oplossen, geven we een vierkante vergelijking aan het standaardformulier, bouwen het rechtsaf.

2. Als een negatieve coëfficiënt op een vierkant op een vierkant op een vierkant staat, elimineer deze met vermenigvuldiging

vergelijkingen op -1.

3. Als fractionele coëfficiënten de fractie elimineren door de gehele vergelijking met de juiste te vermenigvuldigen

factor.

4. Als X zich in een vierkant bevindt - schoon, is de coëfficiënt gelijk aan één, kan de oplossing eenvoudig worden gecontroleerd door

Vierkante vergelijkingen worden bestudeerd in Grade 8, dus er is hier niets moeilijk. Het vermogen om ze op te lossen is absoluut noodzakelijk.

De vierkante vergelijking is de vergelijking van de vormbijl 2 + BX + C \u003d 0, waarbij de coëfficiënten A, B en C willekeurige getallen zijn en een ≠ 0.

Voordat we specifieke beslissingsmethoden bestuderen, merken we op dat alle vierkante vergelijkingen kunnen worden onderverdeeld in drie klassen:

1. Geen wortels hebben;
2. Hebben precies één wortel;
3. Twee verschillende wortels hebben.

Dit is een belangrijk verschil tussen vierkante vergelijkingen van lineair, waar de root altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaalt hoeveel wortels een vergelijking hebben? Hiervoor is er een prachtige ding - discriminant.

Discriminant

Laat de vierkante vergelijking AX 2 + BX + C \u003d 0. Dan is de discriminant slechts het nummer D \u003d B 2 - 4AC.

Deze formule moet door het hart bekend zijn. Waar ze neemt - nu doet het er niet toe. Anders is het belangrijk: het discriminante teken kan worden bepaald hoeveel wortels een vierkante vergelijking heeft. Namelijk:

1. Als D< 0, корней нет;
2. Als D \u003d 0, is er precies één wortel;
3. Als D\u003e 0, zijn er twee wortels.

Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet op hun borden, als om de een of andere reden, velen overwegen. Bekijk de voorbeelden - en je zult alles begrijpen:

Een taak. Hoeveel wortels zijn vierkante vergelijkingen:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

We stoten de coëfficiënten af \u200b\u200bvoor de eerste vergelijking en vinden de discriminant:
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Dus, de discriminant is positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. Demonteer de tweede vergelijking op dezelfde manier:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

De discriminant is negatief, geen wortels. De laatste vergelijking blijft:
a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

De discriminant is nul - de root zal er een zijn.

Houd er rekening mee dat voor elke vergelijking de coëfficiënten ontladen. Ja, het is een lange tijd, ja, het is een vervelend - maar je zult de coëfficiënten niet verwarren en geen domme fouten toestaan. Kies jezelf: snelheid of kwaliteit.

Trouwens, als u "de hand" vult ", na een tijdje niet langer alle coëfficiënten hoeft te schrijven. Dergelijke bewerkingen die u in uw hoofd wordt uitgevoerd. De meeste mensen beginnen dit te doen na 50-70 opgeloste vergelijkingen - in het algemeen, niet zozeer.

Wortels vierkante vergelijking

We draaien nu, eigenlijk, naar de beslissing. Als discriminant D\u003e 0, zijn roots gevonden door formules:

De basisformule van de wortels van de vierkante vergelijking

Wanneer D \u003d 0, kunt u een van deze formules gebruiken - het is hetzelfde nummer dat het antwoord is. Eindelijk, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Eerste vergelijking:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ A \u003d 1; b \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ De vergelijking heeft twee wortels. Vind ze:

Tweede vergelijking:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ A \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ De vergelijking heeft opnieuw twee wortels. We vinden ze

\\ [\\ start (uitlijnen) & ((x) _ ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ CDOT \\ linker (-1 \\ rechts)) \u003d - 5; \\\\ & (x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ CDOT \\ linker (-1 \\ rechts)) \u003d 3. \\\\ \\ END (uitlijnen) \\]

Ten slotte, de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ De vergelijking heeft één root. U kunt elke formule gebruiken. Bijvoorbeeld de eerste:

Zoals te zien is uit voorbeelden, is alles heel eenvoudig. Als u de formule kent en kunt overwegen, zijn er geen problemen. Meestal treden fouten op tijdens de vervanging in de formule van negatieve coëfficiënten. Hier zal de hierboven beschreven receptie opnieuw helpen: kijk letterlijk naar de formule, verf elke stap - en wees al snel van fouten.

Onvolledige vierkante vergelijkingen

Het gebeurt dat de vierkante vergelijking enigszins anders is dan wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Het is gemakkelijk om te zien dat er in deze vergelijkingen geen van de voorwaarden is. Dergelijke vierkante vergelijkingen zijn nog eenvoudiger dan standaard: ze hoeven niet eens discriminant te overwegen. Dus introduceren we een nieuw concept:

De AX 2 + BX + C \u003d 0-vergelijking wordt een onvolledige vierkante vergelijking genoemd als B \u003d 0 of C \u003d 0, d.w.z. De coëfficiënt met een variabele X of het vrije element is nul.

Natuurlijk is een volledig moeilijke case mogelijk wanneer beide coëfficiënten nul zijn: b \u003d c \u003d 0. In dit geval neemt de vergelijking de vorm bijl 2 \u003d 0. Uiteraard heeft een dergelijke vergelijking een enkele root: x \u003d 0 .

Overweeg de resterende gevallen. Laat b \u003d 0 zijn 0, dan krijgen we een onvolledige vierkante vergelijking van de vorm AX 2 + C \u003d 0. Wij converteren het een beetje:

Omdat de rekenkundige vierkante roet alleen bestaat uit een niet-negatief getal, is de laatste gelijkheid exclusief logisch op (-C / A) ≥ 0. Conclusie:

1. Indien in een onvolledige vierkante vergelijking van de vormbijl 2 + C \u003d 0, wordt ongelijkheid (-c / a) uitgevoerd ≥ 0, er zullen twee wortels zijn. De formule wordt hierboven gegeven;
2. Als (-c / a)< 0, корней нет.

Zoals u kunt zien, heeft de discriminant niet nodig - in onvolledige vierkante vergelijkingen zijn er geen complexe computervergunning. In feite is zelfs niet nodig om de ongelijkheid (-c / a) ≥ 0 te onthouden. Het is genoeg om de waarde van x 2 uit te drukken en te zien wat aan de andere kant van het gelijkheidsteken staat. Als er een positief aantal is - zullen de wortels er twee zijn. Als negatief - de wortels zijn helemaal niet.

Nu zullen we het begrijpen met de vergelijkingen van de vormbijl 2 + BX \u003d 0, waarin het vrije element nul is. Alles is hier eenvoudig: de wortels zullen altijd twee zijn. Het is genoeg om een \u200b\u200bpolynoom te ontbinden met vermenigvuldigers:

Multiplier voor beugel

Het werk is nul, wanneer ten minste één van de vermenigvuldigers nul is. Vanaf hier zijn roots. Concluderend zullen we verschillende dergelijke vergelijkingen analyseren:

Een taak. Vierkante vierkante vergelijkingen:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Geen wortels, omdat Vierkant kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1.5.